2020年中考数学复习正多边形与圆 专题练习题及答案
正多边形与圆
1．一个正多边形每一个内角是它相邻的外角的4倍，这个正多边形的边数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．王明想用一块边长为60cm的等边三角形做成一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此六边形的边长是( )
A．20cm B．25cm C．30cm D．40cm
4. 利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是()
A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正七边形
5. 已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是()
A.3 3
B.9 3
C.18 3
D.36 3
6. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是()
A. R2－r2＝a2
B. a＝2Rsin36°
C. a＝2rtan36°
D. r＝Rcos36°
7. 小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )
A.23cm
B.43cm
C.63cm
D.83cm
8. 已知等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是( ) A.1∶2∶ 3 B.2∶3∶4 C.1∶3∶2 D.1∶2∶3 9. 下列命题：①正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；⑤正n 边形的中心角是a n ＝360°
n ，且正多边形的中心角与其每一个外
角相等.其中真命题有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
10. 正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是( )
A.互补
B.互余
C. 既互补又互余
D.无法确定 11. 圆内接正六边形的一边所对的圆周角是 或 12. 中心角为40°的正多边形的对称轴有____条 13. 下面图形中，是正多边形的是 (填序号). ①矩形 ②菱形 ③正方形 ④等腰梯形
14. 已知正六边形ABCDEF 的边心距为3cm ，则正六边形的半径为 cm.
15. 如图正六边形ABCDEF 内接于半径为3的圆O ，则劣弧AB 的长度为 .
16. 圆内接正六边形的边心距为23，则这个正六边形的周长为 cm.
17. 如图，已知⊙O 的周长等于6πcm，则它的内接正六边形ABCDEF 的边长为 cm.
18. 如图，有一个边长为2cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为____cm.
19. 正多边形的面积为240cm2, 周长为60cm,则边心距为 cm.
20. 如图所示，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为123，则⊙O的半径是
21. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，求阴影部分的面积。
22. 已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
23. 如图，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形ABCDEF.求证：六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.
24. 已知正六边形的边长为4，如图，求这个正六边形的边长a6，周长P6，面积S6.
25. 如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M，求证：
(1)AC∥DE；
(2)ME＝AE.
26. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形，连接OF，OG.
(1)求正方形EFGH的面积；
(2)求∠OGF的度数．
27. 如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是____，图③中∠MON的度数是____；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
28. 如图，点E、D分别是三角形ABC，正方形ABCM，正五边形ABCMN 中以点C为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点.
(1)求图①中，∠APD的度数；
(2)图②中，∠APD的度数为________，图③中，∠APD的度数为________；
(3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形中？若能，
写出推广问题与结论；若不能，请说明理由.
参考答案:
1---10 DCADC ABDAB
11. 30° 150°
12. 9
13. ③
14. 2
15. π 16. 24 17. 3 18. 2 19. 8 20. 4 21. 3
π
16 22. 解：周长为6a ，面积为3
2
3a 2
23.
24. 解：过O 作OG⊥AB 于G ，连接OA 、OB ，
∴∠AOB＝360°
6＝60°.∵OA＝OB ，∴△OAB 是等边三角形，
∴a 6＝4.P 6＝4×6＝24.在Rt △OAG 中，OA ＝4，AG ＝BG ＝2， ∴OG ＝42
－22
＝23，∴S 6＝1
2
×4×23×6＝24 3.
答：这个正六边形的边长是4，周长为24，面积为24 3.
25. (1) 证明：∵正五边形，∴AB＝CB ，∴∠BAC＝∠BCA. ∵∠BAC＋∠BCA＋∠ABC＝180°，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝36°. ∵∠EAC＋∠BAC＝∠EAB＝108°，∴∠EAC＝72°.∵∠AED＝108°， ∴∠EAC＋∠AED＝180°，∴AC∥DE.
(2) 证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠EAB＝108°，EA ＝AB ， ∴∠BEA＝∠ABE＝36°，同理∠MAB＝36°，∴∠EMA＝72°，∠EAM ＝72°， ∴EM＝EA. 26.
解：(1)连接OE ，易知∠EOF ＝60°，
△EOF 是等边三角形，∴EF ＝OE ＝5， ∴S 正EFGH ＝25；(2)∵△EOF 是等边三 角形，∴∠OFE ＝60°，OF ＝EF ，又 ∵四边形EFGH 是正方形，∴EF ＝GF ， ∠GFE ＝90°，∠GFO ＝150°且OF ＝FG ， ∴∠OGF ＝∠FOG ＝15°.
27.
解：(1)120° (3)∠MON ＝360°
n
(2) 90° 72°
28. 解：(1) 正三角形ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC＝∠C＝60°，又BE ＝CD ，∴△ABE≌△BCD，∴∠BAE＝∠CBD.∵∠ABD＋∠DBC＝60°， ∴∠ABD＋∠BAE＝60°，即∠APD＝60°； (2) 90°；108°；
(3) 能.推广的问题与结论为点E 、D 分别为正n 边形中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE ＝CD ，BD 与AE 交于点P ，则∠APD 的度数为n －2·180°n .。
2020年中考(人教版)数学备考综合专项练习：圆的综合(含答案)
圆的综合达标单元测试卷一．选择题1．已知△ABC内接于⊙O，下列结论正确的是（）A．若∠C＝90°，则点O是AC的中垂线与AB的交点B．若∠A＝30°，则＝30°C．若AB是直径，则∠A与∠B互补D．点O一定在△ABC的内部或边上2．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（）A．50°B．40°C．100°D．80°3．如图，圆上有A，B，C，D四点，其中∠BAD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．100°C．160°D．120°4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OAC＝20°，则∠B＝（）A．40°B．60°C．70°D．80°5．下列说法正确的有几个：①直径是弦，弦是直径；②优弧一定大于劣弧；③平分弦的直径垂直于弦；④三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知⊙O的面积为25π（）A．若PO＝5.5，则P点在⊙O内B．若PO＝，则P点在⊙O外C．若点P在⊙O内，则PO＜4 D．若点P在⊙O上，则PO＝57．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（）A．B．C．D．8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E均在⊙O上，若∠ACD＝40°，则∠BED的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝40°，∠ABC的平分线交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．85°B．95°C．100°D．105°10．如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积（）A．4﹣πB．4πC．16﹣πD．8﹣π11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC与圆O相切于点D，AB经过圆心O，且与圆交于点E，连接BD，若AC ＝3CD＝3，则BD的长为（）A．3 B．2C．D．212．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH ＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（）A．6≤C≤6B．6≤C≤4C．3≤C≤6 D．3≤C≤6二．填空题13．已知扇形OAB的半径是5，圆心角是72°，则此扇形的面积是．14．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝40°，则∠BAC的度数为．15．如图，已知直线PA与PB与圆O分别相切于点A，B，若PB＝2，∠APB＝60°，则劣弧AB的长为．16．如图，点C是以AB为直径的半圆上任意一点，AB＝4，D、E分别是、的中点，AD、BE交于点F，则∠AFE＝度，△ABF的外接圆半径是．三．解答题17．如图，CD为⊙O的直径，E是DC上一点．若DE＝6cm，CE＝2cm，过点E作⊙O的弦AB．（1）求AB长度的最小值；（2）当AB最小时，求弓形ACB的面积．18．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，求图中阴影部分的面积．19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，且BD＝DE，过点B作BP ∥DE，交⊙O于点P，连结OP．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠A＝30°，求∠BOP的度数．20．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣8，0），B（0，6），∠ABO的角平分线交△ABO的外接圆⊙M于点D，连接OD，C为x正半轴上一点．（1）求⊙M的半径；（2）若OC＝，求证：∠OBC＝∠ODB；（3）若I为△ABO的内心，求点D到点I的距离．22．正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积（π取3.14）23．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；24．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD＝（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求弦AD的长．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC内接于⊙O，∴若∠C＝90°，则点O是AC的中垂线与AB的交点，此选项不符合题意；若∠A＝30°，则＝60°，此选项不符合题意；∵AB是直径，∴∠C＝90°，则∠A与∠B互补，此选项符合题意；当△ABC是锐角三角形，则点O一定在△ABC的内部，当△ABC是直角三角形，则点O一定在△ABC的边上，当△ABC是钝角三角形，则点O一定在△ABC的外部，∴点O一定在△ABC的内部或外部或边上，此选项不符合题意．故选：C．2．解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝100°，∵BO＝CO，∴∠OBC＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝80°，∴∠BCD＝180°﹣80°＝100°．故选：B．4．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝20°，∴∠AOC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠B＝AOC＝70°，故选：C．5．解：①直径是弦，弦不是直径；故不符合题意；②优弧一定大于劣弧；故符合题意；③平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；④不在同一条直线上的三点确定一个圆；故不符合题意；⑤三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故符合题意．故选：C．6．解：设⊙O的半径为r，根据题意，得：πr2＝25π，解得r＝5（负值舍去），A．若PO＝5.5＞5，则P点在⊙O外，此选项不符合题意；B．若PO＝＝＜5，则则P点在⊙O内，此选项不符合题意；C．若点P在⊙O内，则PO＜5，此选项不符合题意；D．若点P在⊙O上，则PO＝5，此选项符合题意；故选：D．7．解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；故选：C．8．解：∵AB为⊙O的直径，∴的度数是180°，∵∠ACD＝40°，∴的度数是80°，∴的度数是100°，∴∠BED＝＝50°，故选：A．9．解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，由圆周角定理得，∠D＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠D＝180°﹣45°﹣40°＝95°，故选：B．10．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝4，∴OB＝2，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OBE＝×4×4﹣＝8﹣π．故选：D．11．解：连接OD，如图，∵AC与圆O相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ODA＝90°，∵∠C＝90°，∴OD∥BC，∵＝＝3，∴AO＝2OB，∴AO＝2OD，∴sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC＝×3＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝＝2．故选：B．12．解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的．∵GK的最大值为3，GK的最小值为，∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为，∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3≤C≤6．故选：C．二．填空题（共4小题）13．解：扇形的面积＝＝5π，故答案为：5π．14．解：连接BC，OB，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝140°，由圆周角定理知，∠C＝∠AOB＝70°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝20°．故答案为：20°．15．解：∵直线PA与PB与圆O分别相切于点A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PB＝2，∠OPB＝30°，∴OB＝，∴劣弧AB的长＝＝，故答案为：．16．解：连接AC，BC，∵D、E分别是、的中点，∴＝，＝，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠FBA+∠FAB＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠AFE＝∠FAB+∠FBA＝45°；∴∠AFB＝135°，设△ABF的外接圆的圆心为O，取弦AB所对的弧上的点G与点F在AB的两侧，∴∠AG B＝180°﹣∠AFB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵AB＝4，∴OA＝AB＝2，∴△ABF的外接圆半径是2，故答案为：45，2．三．解答题（共9小题）17．解：（1）∵DE＝6cm，CE＝2cm，∴CD＝8cm，∵CD为⊙O的直径，∴OD＝OC＝4cm，∴OE＝2cm，∵AB是⊙O的弦，∴如图，当AB⊥CD时，AB最小，连接OA，∵AB⊥CD，∴AE＝AB，∵AE＝＝＝2，∴AB＝4，即AB长度的最小值为4；（2）∵∠AEO＝90°，OE＝2，OA＝4，∴OE＝OA，∴∠AOE＝60°，连接OB，则∠AOB＝120°，∴弓形ACB的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×2＝﹣4．18．（1）证明：连接OD，如图所示：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）解：∵OF⊥BD，∴BF＝BD＝2，OB＝＝＝4，∴OF＝OB，∴∠OBF＝30°，∴∠BOF＝60°，∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝﹣×4×2＝﹣4．19．（1）证明：连接AD，∵BD＝DE，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠CDA，在△ADB和△ADC中∴△ADB≌△ADC（ASA），∵AB＝AC；（2）解：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝×（180°﹣30°）＝75°，∵四边形ABDE为圆O的内接四边形，∴∠EDC＝∠BAC＝30°，∵BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30°，∴∠OBP＝∠ABC﹣∠PBC＝45°，∵OB＝OP，∴△OBP为等腰直角三角形，∴∠BOP＝90°．20．（1）证明：连接OD，如图，∵BC为切线，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠CAD＝∠OAD，即AD平分∠BAC；（2）∵AD平分∠BAC，∠CAD＝25°，∴∠FAE＝2∠CAD＝50°，∵AE＝2，∴OE＝1，∴的长为．21．（1）解：∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙M的直径，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝10，∴⊙M的半径OA＝5；（2）证明：∵∠AOB＝∠BOC＝90°，∴tan∠OBC＝＝＝，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OBC＝∠OAB，∵∠ODB＝∠OAB，∴∠OBC＝∠ODB；（3）解：作∠BOE的平分线交BD于I，作IM⊥OB于M，如图所示：则IM∥OA，I为△ABO的内心，IM为△ABO的内切圆半径，OM＝IM＝（6+8﹣10）＝2，∴BM＝4，∴BI＝＝2，∵IM∥OA，∴△BIM∽△BEO，∴＝，即＝，解得：EO＝3，∴AE＝OA﹣EO＝5，BE＝＝＝3，∴IE＝BE﹣BI＝，由相交弦定理得：BE×DE＝AE×EO，即3DE＝5×3，解得：DE＝，∴D I＝DE+IE＝2；即点D到点I的距离为2．22．解：由题意得，BO＝AO＝CO，则阴影部分的面积＝×π×42﹣×42＝4.56．23．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．24．（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）连接BD．∵∠CDO＝∠ADB＝90°，∴∠2＝∠CDB＝∠1，∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD，∴＝＝，∴CD2＝CB•CA，∴（3）2＝3CA，∴CA＝6，∴AB＝CA﹣BC＝3，∴⊙O的半径＝；（3）∵＝＝，设BD＝K，AD＝2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2＝9，∴k＝，∴AD＝．25．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在R t△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．。
2020年中考数学 圆综合专项复习练习(含答案)
2020年中考数学 圆综合专项复习（含答案）一、单选题1.下列结论正确的是（ ）A ．弦是直径B ．弧是半圆C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径2.两圆半径分别为2和3，圆心距为5，则这两个圆的位置关系是（ ）．A ．内切B ．相交C ．相离D ．外切3.如图，在⊙O 中，»»AB AC =，∠A ＝30°，则∠B ＝（ ）A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°．4.如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( )A.40°B.50°C.80°D.100°5.已知⊙1O 的半径1r =2，⊙2O 的半径2r 是方程321x x =-的根，1O ⊙与2O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切6.如图，⊙O 中，弧AB 和弧AC 相等，∠BAC=50°，则∠AEC 的度数为（ ）度。
A.30B.75C.507.已知⊙O 的半径r=3，设圆心O 到直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题中正确命题的个数是（ ） ①若d ＞5，则m=0； ②若d =5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.A.1B.2C.3D.58.如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝6，OP＝8，则⊙O的半径是( )A．4 B．C．5 D．10C是⊙O上的三点，若∠OBC=50°,则∠A的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.100°10.下列命题中，假命题．．．是（）A．经过两点有且只有一条直线 B．平行四边形的对角线相等C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形 D．圆的切线垂直于经过切点的半径11.如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB = 45°，则弦AB的长为( )A．2B．2 C．22D．412.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，△ABC绕点A逆时针旋转30°后，得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（）CDA.2512π B.45π C.34π D.512π13.如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ）A. 3≤OM ≤5B. 4≤OM ≤5C. 3＜OM ＜5D. 4＜OM ＜514.已知圆柱体的底面半径为3 cm,髙为4 cm,A.2cm 24πB.2cm36π C.2cm 12 D.2cm 2415.如图，从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么⊙O 的半径是（ ） A B C ． D ．16.如图，要拧开一个边长为a =6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（ ）A ．B ．12cmC ．D ．17.圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（ ） A ．90° B ．120° C ．150° D ．180°二、填空题18.如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积是A O B19.如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC ＝40°，则∠BOD 的度数是 ．20.如图，若AB 是⊙O 的直径，AB =10cm ，∠CAB =30°,则BC = cm ．21.在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________．22.如图,正六边形ABCDEF 的边长为2，则对角线AE 的长是 .23.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ．24.已知⊙O 的半径为l 和点O 的距离为d ，如果直线l 与⊙O 有唯一公共点，那么d 的值为 。
2020年中考数学几何部分考点圆专项训练题(附答案)
2020年中考数学几何部分考点圆专项训练题（附答案）一、单选题（共7题；共21分）1.已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP=6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（）A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定2.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的直径为（）A. B. C. 或 D. 或3.在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（）A. E，F，GB. F，G，HC. G，H，ED. H，E，F4.⊙O的半径为4，点P是⊙O所在平面内的一点，且OP=5，则点P与⊙O的位置关系为（）A. 点P在上B. 点P在外C. 点P在内D. 以上都不对5.下列说法中不正确的是（）A. 若点A在半径为r的⊙O外，则OA＜rB. 相切两圆的切点在两圆的连心线上C. 三角形只有一个内切圆D. 相交两圆的连心线垂直平分其公共弦6.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等三角形，则符合条件的点P的个数共有（）A. 10个B. 8个C. 4个D. 6个7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AC=4cm，D是AB的中点，若以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D二、填空题（共2题；共10分）8.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________9.已知∠APB=90°，以AB为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是________．三、解答题（共2题；共14分）10.仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形．11.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．答案一、单选题1.A2.D3. A4.B5.A6.B7. A二、填空题8.3cm或8cm9.点P在⊙O上三、解答题10.解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形．11.解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°∴∠A=90°﹣∠B=65度．∵CA=CD∴∠CDA=∠CAD=65°∴∠ACD=50°即弧AD的度数是50度．。
初三数学12 圆与正多边形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
专题12 圆与正多边形一．选择题1．（2022·湖北鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A 、B 、E 三点的截面示意图，已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，若CD =16cm ，AC =BD =4cm ，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【答案】C【分析】连接OA ，OE ，设OE 与AB 交于点P ，根据AC BD =，AC CD ⊥，BD CD ⊥得四边形ABDC 是矩形，根据CD 与O 切于点E ，OE 为O 的半径得OE CD ⊥，OE AB ⊥，即PA PB =，PE AC =，根据边之间的关系得8PA cm =，4AC BD PE cm ===，在Rt OAP △，由勾股定理得，222+=PA OP OA ，进行计算可得10OA =，即可得这种铁球的直径．【详解】解：如图所示，连接OA ，OE ，设OE 与AB 交于点P ，∵AC BD =，AC CD ⊥，BD CD ⊥，∴四边形ABDC 是矩形，∵CD 与O 切于点E ，OE 为O 的半径，∴OE CD ⊥，OE AB ⊥，∴PA PB =，PE AC =，∵AB =CD =16cm ，∴8PA cm =，∵4AC BD PE cm ===，在Rt OAP △，由勾股定理得，222+=PA OP OA 2228+(4)=OA OA -解得，10OA =，则这种铁球的直径＝221020OA cm =⨯=，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．2．（2022·湖南娄底）如图，等边ABC 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边ABC 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与ABC 的面积之比是（ ）A B C D 【答案】A【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC =2a ，则BD =a ，根据勾股定理，得出AD =，同时在Rt △BOD 中，OD ，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．【详解】解：令内切圆与BC 交于点D ，内切圆的圆心为O ，连接AD ，OB ，由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC =2a ，则BD =a ，在等边三角形ABC 中AD ⊥BC ，OB 平分∠ABC ，∴∠OBD =12∠ABC =30°，由勾股定理，得AD，在Rt △BOD 中，OD =tan30°×BD，∴圆中的黑色部分的面积与ABC=A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．3．（2022·山东聊城）如图，AB ，CD 是O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知30P ∠=︒，80AOC ∠=︒，则 BD的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．10°【答案】C【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解100OAC OCA ∠+∠=︒，再求解50PAO PCO ∠+∠=︒，从而可得260BOA COD ∠+∠=︒，再利用周角的含义可得3608026020BOD ∠=︒-︒-︒=︒，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC，∵80AOC ∠=︒，∴100OAC OCA ∠+∠=︒，∵30P ∠=︒，∴50PAO PCO ∠+∠=︒，∵OA OB =，OC OD =，∴OBA OAB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，∴50OBA ODC ∠+∠=︒，∴260BOA COD ∠+∠=︒，∴3608026020BOD ∠=︒-︒-︒=︒．∴ BD的度数20°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．4．（2022·湖北黄冈）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交AB 于点D ，则弧AD 的长为（ ）A ．πB ．43πC ．53πD ．2π【答案】B【分析】连接CD ，根据∠ACB =90°，∠B =30°可以得到∠A 的度数，再根据AC =CD 以及∠A 的度数即可得到∠ACD 的度数，最后根据弧长公式求解即可．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵ACB =90°，∠B =30°，AB =8，∴∠A =90°-30°=60°，AC =12AB =4，由题意得：AC =CD ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD =60°，∴ AD 的长为：604180π⨯＝43π，故选：B ．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．5．（2022·四川达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以AB 长为半径作 BC ， AC ， AB ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）A ．2π-B ．2πC ．2πD ．π【答案】A【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为a 【详解】解：设等边三角形ABC 的边长为r ，6012,1803r ππ∴⋅⋅=⨯解得2r =，即正三角形的边长为2，∴2226022322360ππ⎛⎫⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．6．（2022·江苏无锡）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，以AC 所在直线为轴，把△ABC 旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A ．12πB ．15πC ．20πD ．24π【答案】C【分析】先利用勾股定理计算出AB ，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．【详解】解：∵∠C =90°，AC =3，BC =4，∴AB ，以直线AC 为轴，把△ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积=12×2π×4×5=20π．故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（2022·湖北荆州）如图，以边长为2的等边△ABC 顶点A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，分别交AB ，AC 于D ，E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A 4πB ．πC D 2π-【答案】D【分析】作AF ⊥BC ，再根据勾股定理求出AF ，然后根据阴影部分的面积=A B C A D E S S - 扇形得出答案．【详解】过点A 作AF ⊥BC ，交BC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，BC =2，∴CF=BF=1．在Rt △ACF 中，A F ==∴1==222ABCADE S S S π-⨯ 阴影扇形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．8．（2022·广西贺州）如图，在等腰直角OAB 中，点E 在OA 上，以点O 为圆心、OE 为半径作圆弧交OB 于点F ，连接EF ，已知阴影部分面积为π2-，则EF 的长度为（ ）AB ．2C ．D ．【答案】C【分析】根据题意可得：OE =OF ，∠O =90°，设OE =OF =x ，利用阴影部分面积列出等式，得出24x =，然后由勾股定理求解即可．【详解】解：根据题意可得：OE =OF ，∠O =90°，设OE =OF =x ，∴2OEF OEF S S S π=-=- 阴影扇形2290123602x x ππ-=-，解得：24x =，∴EF ===故选：C ．【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．9．（2022·江苏无锡）如图，AB 是圆O 的直径，弦AD 平分∠BAC ，过点D 的切线交AC 于点E ，∠EAD ＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．【详解】解：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故选项C不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10．（2022·黑龙江大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )A ．60πB ．65πC ．90πD ．120π【答案】B【分析】根据圆锥侧面展开图的面积πS rl =，计算求解即可．【详解】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长l 13=，∴圆锥侧面展开图的面积为ππ51365S rl π==⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积，勾股定理．解题的关键在于明确圆锥侧面展开图的面积πS rl =，其中r 为圆锥底面半径，l 为圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长．11．（2022·内蒙古包头）如图，,AB CD 是O 的两条直径，E 是劣弧 BC的中点，连接BC ，DE ．若22ABC ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．44︒【答案】C【分析】连接OE ，由题意易得22OCB ABC ∠=∠=︒，则有136COB ∠=︒，然后可得68COE ∠=︒，进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OE ，如图所示：∵OB =OC ，22ABC ∠=︒，∴22OCB ABC ∠=∠=︒，∴136COB ∠=︒，∵E 是劣弧 BC 的中点，∴1682COE COB ∠=∠=︒，∴1342CDE COE ∠=∠=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．12．（2022·辽宁锦州）如图，线段AB 是半圆O 的直径。
2020中考数学 与圆有关的位置关系专题练习(含答案)
2020中考数学圆的巩固练习（含答案）一、选择题1.☉O的半径r=5cm,圆心到直线的距离OM=4 cm,在直线上有一点P,且PM=3 cm,则点P()A.在☉O内B.在☉O上C.在☉O外D.可能在☉O上或在☉O内2.下列语句中,正确的是()A.长度相等的弧是等弧B.在同一平面上的三点确定一个圆C.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等3.如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,则∠BOD等于()A.40°B.50°C.60°D.80°4.如图,PA,PB切☉O于A,B两点,∠APB=80°,C是☉O上不同于A,B的任一点,则∠ACB等于()A.80°B.50°或130°C.100°D.40°5.如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为()A.4B.2C.3D.2.56.如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为()A.∠AIB=∠AOBB.∠AIB≠∠AOBC.2∠AIB-∠AOB=180°D.2∠AOB-∠AIB=180°7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O 的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为()A. B.C. D.2二、填空题8.直角三角形的两条直角边长分别是5 cm和12 cm,则它的外接圆半径为,内切圆半径为.9.如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=°.三、解答题10.如图,CD是☉O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.11.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交☉O于点F.(1)求证:DE⊥AC;(2)若DE+EA=8,☉O的半径为10,求AF的长.B组提升题组一、选择题1.下图是一块三角形余料,已知AB=20 cm,BC=7 cm,AC=15 cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是()A.π cm2B.2π cm2C.4π cm2D.8π cm22.如图,☉O的半径为2,点A的坐标为(2,2),直线AB为☉O的切线,B为切点,则B点的坐标为()A.-B.-C.-D.-二、填空题3.如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=°.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O,☉O 分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为.三、解答题5.如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与☉O交于点F.(1)求∠DAF的度数;(2)求证:AE2=EF·ED;(3)求证:AD是☉O的切线.6.如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的☉O经过点C,连接AC、OD交于点E.(1)证明:OD∥BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与☉O相切;(3)在(2)的条件下,连接BD交☉O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.7.如图,已知△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.(1)E为BD的中点,连接CE,求证:CE是☉O的切线;(2)若AC=3CD,求∠A的大小.8.已知:AB为☉O的直径,AB=2,弦DE=1,直线AD与BE相交于点C,弦DE在☉O上运动且保持长度不变,☉O的切线DF交BC于点F.(1)如图1,若DE∥AB,求证:CF=EF;(2)如图2,当点E运动至与点B重合时,试判断CF与BF是否相等,并说明理由.参考答案A组基础题组一、选择题1.B2.D3.D4.B连接OA,OB.∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠P=80°,∴在四边形APBO中,∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°. 当点C在优弧AB上时,∠ACB=∠AOB=50°.当点C在劣弧AB上时,∠ACB=180°-50°=130°.故选B.5.A连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°.∵BC⊥PC,∴∠PCB=90°,∴DO∥BC,∴△POD∽△PBC,∴=,∴=,∴PA=4,故选A.6.C∵点O是△ABC的外心,∴∠C=∠AOB.∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠CBA.∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-(180°-∠C)=90°+∠C,∴2∠AIB=180°+∠C,∴2∠AIB=180°+∠AOB,即2∠AIB-∠AOB=180°.7.A连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,∵AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,∴四边形AFOE,FBGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=AD-AE=3.∵DM是☉O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN.在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+NM)2=(3-NM)2+42,∴NM=,∴DM=3+=,故选A.二、填空题8.答案 6.5 cm;2 cm解析∵直角边长分别为5 cm和12 cm,∴斜边长是13 cm,∴这个直角三角形的外接圆的半径为×13=6.5(cm).根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,可得其内切圆的半径是-=2(cm).9.答案44解析连接OB,∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°,∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°,∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°,∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=180°-68°-68°=44°,故答案为44.三、解答题10.解析(1)证明:连接OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是☉O的切线,OD是☉O的半径, ∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)∵∠C=∠C,∠CAD=∠BDC,∴△CDB∽△CAD,∴=.∵=,∴=.∵AC=3,∴CD=2.11.解析(1)证明:∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DE是☉O的切线,OD是半径,∴DE⊥OD,∴DE⊥AC.(2)如图,过点O作OH⊥AF于点H,则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,∴四边形ODEH是矩形,∴OD=EH,OH=DE.设AH=x.∵DE+AE=8,OD=10,∴AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知AH2+OH2=OA2, 即x2+(x-2)2=102,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去).∴AH=8.∵OH⊥AF,∴AH=FH=AF,∴AF=2AH=2×8=16.B组提升题组一、选择题1.C当该圆为三角形内切圆时面积最大,设内切圆半径为r cm,则该三角形面积为·r·(AB+BC+AC)=21r.根据已知条件易得△ABC的面积S=42 cm2,则可得r=2,所以所求的最大面积为4π cm2.故选C.2.D过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.∵☉O的半径为2,点A的坐标为(2,2),即OC=2=x A,∴AC=2=y A,∴AC是圆O的切线,∴在Rt△OCA中,tan∠AOC===,∴∠AOC=60°.又∵直线AB为☉O的切线,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=60°.又∵OB=2,∴OD=1,BD=,即B点的坐标为(-1,).故选D.二、填空题3.答案60解析∵AB,AC分别与☉O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC.在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D是AB的中点,∴BD=AB=BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.4.答案解析如图,连接OF,∵FG为☉O的切线,∴OF⊥FG.∵Rt△ABC中,D为AB中点,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC,∴∠CFO=∠B,∴OF∥BD,∴AB⊥FG.∵O为CD的中点,∴F为BC的中点,∴CF=BF=BC=4.∵Rt△ABC中,AB==10,∴sin∠B==,∴在Rt△BGF中,FG=BFsin∠B=4×=.三、解答题5.解析(1)∵AD∥BC,∴∠D=∠CBD,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=×(180°-∠BAC)=72°,∴∠AFB=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=×72°=36°,∴∠D=∠CBD=36°,∴∠BAD=180°-∠D-∠ABD=180°-36°-36°=108°, ∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB=180°-36°-72°=72°, ∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=108°-72°=36°.(2)证明:∵∠CBD=36°,∠FAC=∠CBD,∴∠FAC=∠D,∵∠AED=∠AEF,∴△AEF∽△DEA,∴=,∴AE2=EF·ED.(3)证明:连接OA、OF,∵∠ABF=36°,∴∠AOF=2∠ABF=72°,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA=×(180°-∠AOF)=54°,由(1)知∠DAF=36°,∴∠OAD=36°+54°=90°,即OA⊥AD,又∵OA为半径,∴AD是☉O的切线.6.解析(1)证明:如图1,连接OC,则OA=OC,图1 ∴点O在线段AC的垂直平分线上,同理,点D也在线段AC的垂直平分线上,∴OD是线段AC的垂直平分线,∴OD⊥AC,AE=EC,∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°,即BC⊥AC,∴OD∥BC.(2)证明:∵tan∠ABC=2,∴BC=AC,由(1)得E是AC的中点,∴AE=AC,∴BC=AE.∵AB=AD,∴Rt△ABC≌Rt△DAE,∴∠BAC=∠ADE,∴∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°,∴AB⊥AD, ∴DA与☉O相切.(3)如图2,连接AF,则AF⊥BD,图2∵BC=1,∴AC=ED=2,∴AD=CD=AB==,∴AO=BO=AB=,∴OD==.∵AB=AD,AB⊥AD,∴△ABD是等腰直角三角形,∴BD=AB=.且F是BD的中点,∴FD=BD=,∴==,∵∠EDF=∠BDO,∴△DEF∽△DBO,∴==,∴EF=BO=.7.解析(1)证明:连接OC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠DCB=90°.∵E为BD的中点,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC.∵BD⊥AB,∴∠OCE=∠OBE=90°,∴CE是☉O的切线.(2)设CD=m,则AC=3m.由(1)知∠ACB=∠DCB,又易得∠A=∠CBD, ∴△ACB∽△BCD,∴=,∴BC2=AC·CD,∴BC=m,∴tan A==,∴∠A=30°.8.解析(1)证明:如图1,连接OD,OE,∵AB=2,∴OA=OD=OE=OB=1.∵DE=1,∴OD=OE=DE,∴△ODE是等边三角形,∴∠ODE=∠OED=60°.∵DE∥AB,∴∠AOD=∠ODE=60°,∠EOB=∠OED=60°,∴△AOD和△BOE是等边三角形,∴∠OAD=∠OBE=60°,∴∠CDE=∠OAD=60°,∠CED=∠OBE=60°,∴△CDE是等边三角形.∵DF是☉O的切线,∴OD⊥DF,∴∠EDF=90°-60°=30°,∴∠DFE=90°,∴DF⊥CE,∴CF=EF.(2)相等,理由如下:如图2,点E运动至与点B重合时,BC是☉O的切线, ∵☉O的切线DF交BC于点F,∴BF=DF,∴∠BDF=∠DBF,∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴∠BDF+∠FDC=∠DBF+∠C=90°,∴∠FDC=∠C,∴DF=CF,∴BF=CF.图1 图2。
2020中考数学 专题练习：圆的综合题(含答案)
2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案） 类型一 与全等结合1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)．(1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CPAC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM .(1)求证：AC ＝DC ；(2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC ， ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL)，∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知， △OAC ≌△ODC ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∴∠AOD ＝2∠AOC ，∵∠AOD ＝2∠OBD ，∴∠AOC ＝∠OBD ，∴BD ∥CM ；(3)解：∵BD ∥CM ，∴∠BDM ＝∠M ，∠DOC ＝∠ODB ，∠AOC ＝∠B ，∵OD ＝OB ＝OM ，∴∠ODM ＝∠OMD ，∠ODB ＝∠B ＝∠DOC ，∵∠DOC ＝2∠DMO ，∴∠DOC ＝2∠BDM ，∴∠B ＝2∠BDM ，如解图，作OE 平分∠AOC ，交AC 于点E ，作EF ⊥OC 于点F ，第2题解图∴EF ＝AE ，在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OEAE ＝EF ，∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)，∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，∴点F 在⊙O 上，又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ，∴∠AOE ＝∠BDM ，设AE ＝EF ＝y ，∵sin B ＝45， ∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45， ∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2，∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ，∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，解得y ＝32x ， ∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ， ∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x ＝255. 3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ；(2)求证：BE 是⊙O 的切线；(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵AB ︵＝BD ︵，∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB，∴△ABF ≌△DBE (AAS)，∴BF ＝BE ，∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ，∴∠1＝∠BCE ；(2)证明：如解图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°，∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ，∴∠BAC ＝∠EBC ，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°，∴∠EBO ＝90°，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)，∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4，∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二 与相似结合4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F .(1)求∠DAF 的度数；(2)求证：AE 2＝EF ·ED ；(3)求证：AD 是⊙O 的切线．第4题图(1)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°， ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝36°，∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝36°，∴∠DAF ＝∠AFB －∠D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF ＝∠FBC ＝∠D ，∠AEF ＝∠AED ，∴△EAF ∽△EDA ，∴AE DE ＝EF EA， ∴AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足，∵AB ＝AC ，∴AG 垂直平分BC ，∴AG 过圆心O ，∵AD ∥BC ，∴AD ⊥AG ，∴AD 是⊙O 的切线．第4题解图5. 如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F .(1)求证：∠CED ＝45°；(2)求证：AE ＝BD ；(3)求AO OF的值．第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°，又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°，而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ，∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ，∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x＝1＋ 2.6. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ，连接AD ，作BE ⊥AB ，OE //AD 交BE 于E 点，连接AE 、DE ，AE 交CD 于点F .(1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，sin ∠ADP ＝13，求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE，∴△BOE ≌△DOE (SAS)，∴∠ODE ＝∠OBE ，∵BE ⊥AB ，∴∠OBE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵AB ⊥CD ，∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13， ∵⊙O 的半径为3，∴AB =6，∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ，证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE ，∴△APF ∽△ABE ，∴PF BE ＝AP AB， ∴PF ＝AP ·BE AB， 在△APD 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠PAD ＝∠BOE ， ∴△APD ∽△OBE ，∴PD BE ＝AP OB， ∴PD ＝AP ·BE OB， ∵AB ＝2OB ，∴PF ＝12PD ， ∴PF ＝FD .7. 如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC ，OD 交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠COD .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FG FC 的值．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD .∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ，又∵∠COD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠BAC ，∴∠ABC ＋∠CBD ＝90°，∴∠ABD ＝90°，即OB ⊥BD ，又∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGBD＝AFAB，即FG＝BD·AFAB，∴FCFG＝ABOB＝2，∴FGFC＝12.8. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度． 第8题图 (1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径，∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCPC＝CECB，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34， 设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3. 类型三 与全等相似结合9. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．第9题图(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心，∴OA ⊥AE ，即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°，而∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠EAB ＝∠BCA ，而∠EBA ＝∠ABC ，∴△EBA ∽△ABC ，∴EB AB ＝BA BC， ∴AB 2＝BE ·BC ，由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①， ∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0， 即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③， 将③代入①得，CD ＝332. 10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC， ∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。
【北师大版2020中考数学专项复习】：正多边形与圆的有关的证明和计算
【2020中考数学专项复习】：正多边形与圆的有关的证明和计算【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O 与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（）A.4B.92C.112D.5【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE 的长加上半径即为AD的长．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴9042180AEππ⨯==，∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1，∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式. 举一反三：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习7】【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.【答案】解：连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，∴S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五边形OKBCH：S阴影= 21=42.即重叠部分面积与阴影部分面积之比为：12 .【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习8】【变式2】 已知：正十边形的半径是R ，求证：它的边长为1011)2a R =.【答案】证明：作∠OAB 的平分线AM 交OB 于M ，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°， ∴OM=MA=AB ，则△ABM ∽△OAB 得：OA AB=AB BM用R ，a 10分别表示OA ，AB ，BM ，代入以上比例式整理得a 102+ Ra 10-R 2=0,解关于a 10的一元二次方程得1011)2a R =（负值已舍去）.类型二、正多边形与圆综合运用2．如图所示，AB 是半圆的直径，AB ＝2r ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中阴影部分是一个不规则图形，可利用C 、D 是半圆的三等分点，得到AC BD =，从而 有∠CDA ＝∠DAB ，进而CD ∥AB ，故有△ACD 与△OCD 的面积相等，将阴影部分的面积转化为 扇形OCD 的面积． 【答案与解析】解：连接OC 、OD 、CD ．∵ AC BD =，∴ ∠CDA ＝∠DAB ．∴ CD ∥AB ，∴ ACD OCD S S =△△． ∴ OCD S S =阴影扇形．又∵ ∠COD ＝13∠AOB ＝60°， ∴ 2226013603606OCDn r r S S r πππ====阴影扇形．【总结升华】本题容易误认为阴影部分是扇形，对扇形的定义、图形理解不准确，此阴影部分为不规则图形，应利用等积转化法转化为规则图形——扇形．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．449π-B ．849π-C ．489π-D ．889π- 【答案】连接AD ，则AD ⊥BC ，阴影部分面积ABC EAF S S =-△扇．故21802842423609S ππ⨯=⨯⨯-=-阴影． 答案：B3．有一个两直角边分别为15cm 和20cm 的直角三角形，若绕一边旋转一周，可得到几种几何体？你能分别求出其全面积吗？【思路点拨】可将直角三角形绕边长为15cm 的直角边旋转一周，所得几何体是底面半径为20cm ，锥高为15cm 的圆锥体；绕边长为20cm 的直角边旋转一周，可得底面半径为15cm ，锥高为20cm 的圆锥体；绕斜边旋转一周，可得两个圆锥的组合体，按这三种情况分别计算全面积即可． 【答案与解析】解：三种．由图①可知，以AC ＝15cm 为轴旋转一周，则其全面积22020S S S ππ=+=⨯⨯侧底 2900(cm )π=．由图②可知，以BC ＝20为轴旋转一周，则其全面积21515S S S ππ=+=⨯⨯圆侧 2375225600(cm )πππ=+=．如图③所示，以AB 为轴旋转一周，得一个圆锥组合体，其全面积S 是上下两个锥体的侧面积之和． 作CD ⊥AB 于D ，则1122ABC S AC BC AB CD ∆==， ∴ 201512cm 25CD ⨯==，即底面半径为12cm ． ∴ S ＝π×12×20+π×12×15＝240π+180π＝420π(cm 2)．【总结升华】利用面积公式计算时，要仔细分析题意，找准已知量和未知量，特别注意全面考虑问题，分情况逐一计算，防止漏解．4．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6cm 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？【思路点拨】小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点B 、P 之间的线段长度. 【答案与解析】解：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，展开后圆心角度数为n °，则底面圆的周长为2πr ，侧面展开图的弧长为180n l π，∴ 2180n ll ππ=． ∵ 轴截面△ABC 为等边三角形， ∴ AB ＝BC ，即26l r ==． ∴ r ＝3． ∴ 623180n ππ⨯⨯=． ∴ n ＝180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则△ABP 为直角三角形，BP 为最短路线．在Rt △ABP 中，BP ===．答：小猫所经过的最短路程为． 【总结升华】将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长沟通空间元素与平面元素之间的关系．5．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB ，OD 为直径作⊙O 1，⊙O 2．(1)求⊙O 1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【思路点拨】连接O 1E ，求出一个小弓形的面积再乘以4即可.【答案与解析】解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∴ BD ==．∴ ⊙O 1的半径为1144BD =⨯=即⊙O 1．(2)连接O 1E ，∵ BD 为正方形ABCD 的对角线，∴ ∠ABO ＝45°．∵ O 1E ＝O 1B ，∴ ∠BEO 1＝∠EBO 2＝45°．∴ ∠BO 1E ＝90°．∴ 111O BE O BE S S S =-=△扇形211122π⨯=-． 根据图形的对称性得 S 1＝S 2＝S 3＝S 4，∴ 1424S S π==-阴影．【总结升华】求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和.举一反三：【变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求O点移动的距离．【答案】解：观察图形可知O点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧AOB的弧长．∵12S l R=⨯弧扇，∴223010(cm)6SlRππ⨯===弧．答：O点移动的距离为10π cm．6．如图，已知在⊙O中，43AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【思路点拨】（1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD ＝2∠BOC ＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形求出OB 的长，即可利用扇形面积2360n r π=求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求出BCD 的长l ，利用2l r π=可求出半径r 的长．【答案与解析】解：(1)过O 作OE ⊥AB 于E，则12AE AB == 在Rt △AEO 中，∠BAC ＝30°，cos30AE OA =°． ∴4cos302A OA ===°．又∵ OA ＝OB ，∴ ∠ABO ＝30°．∴∠BOC＝60°．∵ AC⊥BD，∴BC CD=．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴221201643603603n OASπππ==⨯=阴影．(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴12024180rππ=⨯．∴43r=．【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（）度．A.60B.90C.120D.1502．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，4tan3α=，则圆锥的底面积是（）平方米．A.9πB.16πC. 25πD.36π3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m 长为半径的扇形区域内（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ）A ．6πm 2B ．5πm 2C ．4πm 2D ．3πcm 24．如图所示，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．如图所示，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC ，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 （ ）A ．13B ．6C ．3D ．4 6．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是( )A ．0，1，2，3B ．0，1，2，4C ．0，1，2，3，4D ．0，1，2，3，4，5二、填空题7．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．8．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为________．9．如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为__________米．10．将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥(接缝忽略不计)，那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是________．11．如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．在母线OF上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为________cm．12．如图，扇形OAB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是________．三、解答题13．如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝DPA＝45°．(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．14.如图AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．15．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE ⊥AB 于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．(1)求证：P 是△ACQ 的外心；(2)若3tan 4ABC ∠=，CF ＝8，求CQ 的长； (3)求证：(FP+PQ)2＝FP ·FG ．16. 如图，△ABC 内接于⊙O ，且∠B ＝60°．过点C 作圆的切线l 与直径AD 的延长线交于点E ，AF ⊥l ，垂足为F ，CG ⊥AD ，垂足为G ．(1)求证：△ACF ≌△ACG ；(2)若AF ＝AF =，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】圆锥的底面周长为22510r πππ=⨯=，所以它的侧面展开图的圆心角是1801015012n ππ⨯==°． 2.【答案】D ； 【解析】因为4tan 3AO BO α==，AO ＝8，所以BO ＝6，所以圆锥的底面积是2636ππ=． 3.【答案】A ； 【解析】五个扇形的半径都为2cm ，设其圆心角分别为1n °，2n °，3n °，4n °，5n °，则无法直接利用扇形面积公式求解，可以整体考虑，123455n n n n n ++++=°°°°°边形形 内角和＝(5-2)×180°＝540°，∴ 2254026(m )360S ππ⨯==阴影． 4.【答案】A ；【解析】如果分别求S Ⅰ和S Ⅲ得阴影面积则很复杂，由旋转前后图形全等，易得S Ⅰ＝S Ⅱ，∴ 26066360ABB S S S S S S ππ'⨯=+====ⅠⅢⅡⅢ阴影扇形+． 5.【答案】B ；【解析】要求围成的圆锥的底面圆半径，只要求出扇形ABC 中BC 的弧长，该弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，再根据周长即可以求出半径．∵ 直径为2，∠BAC ＝60°∴ AC ，∴ BC ，设底面圆的半径为r ，则由2r π=解得r = 6.【答案】C ；【解析】∵ 32+42＝52，∴ 这个三角形是直角三角形，且其内切圆半径34512r +-==．则这个三角形的边与半径为1的圆的公共点个数有如下情况：共有0，1，2，3，4五种情况．二、填空题7．【答案】3；【解析】设圆锥的母线长为R ，侧面展开图半圆弧长为l ，圆锥底面积半径为r ， 则有：218018360R ππ=． ∴ R 2＝36，R ＝6．又1182Rl π=． ∴ 2l π=，∴ 2πr ＝6π，r ＝3．8．【答案】3π； 【解析】设⊙O 与BC 切于D 点，连接OD ，OC ．在Rt △ODC 中，112122DC BC ==⨯=．∠OCD ＝30°．∴ tan 303OD DC ==°．∴ 3OD =，则22O 3S r πππ===⎝⎭⊙．9．【答案】0.4；【解析】如图，过O 作OC ⊥AB 于C ，并延长并AB 于D ．在Rt △OBC 中，212OB ==，11 1.60.822BC AB ==⨯=．∴ 20.6OC ==．∴ CD ＝OD-OC ＝1-0.6＝0.4(米)．10．【答案】45； 【解析】如图，因为2πR ＝12π，所以R ＝6．由勾股定理，得8h ==． 所以84cos 105AO CAO AC ∠===．11．【答案】【解析】底圆周长为2πr ＝10π，设圆锥侧面展开图的扇形所对圆心角为n °， 有2180n R r ππ=，即1010180n ππ⨯=， ∴ n ＝180°，如图所示，FA ＝2，OA ＝8，在Rt △OEA 中由勾股定理可得EA 即为所求最短距离．∴ EA ====12．【答案】 34+； 【解析】连接OC ，PE ，PF ，则四边形OEPF 是正方形．设PE ＝r ，则OP ，OC ＝1)r +．∴ 2S r ==扇形．∴ OAB S 扇形:234S r +=⊙P :2r π34+=．三、解答题13.【答案与解析】（1）∵ 直径AB ⊥DE ，∴ 12CE DE == ∵ DE 平分半径OA ，∴ 1122CE AO OE ==． 在Rt △OCE 中，∵ ∠CEO ＝30°．∴ OE ＝2．即⊙O 的半径为2．（2）连OF ，在Rt △DCP 中，∵ ∠DPC ＝45°．∠D ＝90°-45°＝45°∴ ∠EOF ＝2∠D ＝90°．∵ 2902360S ππ=⨯⨯=扇形OEF ． 1122222OEF S OE OF ∆==⨯⨯= ∴ 2OEF OEF S S S π∆=-=-阴影扇形．14.【答案与解析】解：(1)直线CD 与⊙O 相切．如图，连接OD ．∵ OA ＝OD ，∠DAB ＝45°，∴ ∠ODA ＝45°．∴ ∠AOD ＝90°．∵ CD ∥AB ，∴ ∠ODC ＝∠AOD ＝90°，即OD ⊥CD ．又∵ 点D 在⊙O 上，∴ 直线CD 与⊙O 相切．(2)∵ BC ∥AD ，CD ∥AB ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形．∴ CD ＝AB ＝2．∴ ()(12)13222OBCD OB CD OD S +⨯+⨯===梯形． ∴ 图中阴影部分的面积等于231312424OBD OBCD S S ππ-=-⨯⨯=-扇形梯形．15.【答案与解析】(1)证明：∵ C 是AD 的中点，∴ AC CD =．∴ ∠CAD ＝∠ABC ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°．∴ ∠CAD+∠AQC ＝90°．又 CE ⊥AB ，∴ ∠ABC+∠PCQ ＝90°．∴ ∠AQC ＝∠PCQ ．∴ 在△PCQ 中，有PC ＝PQ ．∵ CE ⊥直径AB ，∴ AC AE =．∴ AE CD =．∴∠CAD＝∠ACE．∴在△APC中，有PA＝PC．∴ PA＝PC＝PQ．∴ P是△ACQ的外心．(2)解：∵ CE⊥直径AB于F，∴在Rt△BCF中，由3tan4CFABCBF∠==，CF＝8，得43233 BF CF==．∴由勾股定理，得403 BC==．∵ AB是⊙O直径，∴在Rt△ACB中，由3tan4ACABCBC∠==，403BC=，得3104AC BC==．易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ AC2＝CQ·BC．∴2152ACCQBC==．(3)证明：∵ AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°．∴∠DAB+∠ABD＝90°．又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G＝90°．∴∠DAB＝∠G．∴ Rt△AFP∽Rt△GFB．∴AF FPFG BF=，即AF·BF＝FP·FG．易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴ FC2＝AF·BF(或由射影定理得)∴ FC2＝FP·FG．由(1)，知PC＝PQ，∴ FP+PQ＝FP+PC＝FC．∴ (FP+PQ)2＝FP·FG．16.【答案与解析】(1)证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC＝∠B＝60°．∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴∠ACG＝∠ADC＝60°．由于∠ODC＝60°，OC＝OD，∴△OCD为正三角形，得∠DCO＝60°．由OC l⊥，得∠ECD＝30°，∴∠ECG＝30°+30°＝60°．进而∠ACF＝180°-2×60°＝60°，∴△ACF≌△ACG．(2)解：在Rt △ACF 中，∠ACF ＝60°，AF ＝CF ＝4．在Rt △OCG 中，∠COG ＝60°，CG ＝CF ＝4，得3OC ==．在Rt △CEO 中，23OE OC ==．于是2160)23609CEO COD OC S S S OE CG ππ=-=-=△阴影扇形．。
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (48)
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有菱形，正方形．（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD①证明：四边形ABCD是“十字形”；②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．【分析】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）①连接AC和BD，运用垂直平分线的判定即可；②先判断出∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED＝∠AEB＝90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），设AC＝m，列出二次函数分析即可．（3）由已知条件推知，AC⊥BD．过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，构造矩形OMEN，利用勾股定理得到：OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2），设AC ＝m，则BD＝3﹣m，利用方程和m的取值范围进行解答．【解答】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有菱形、正方形的对角线互相垂直，故答案为：菱形、正方形；（2）①如图1，连接AC，BD∵AB＝AD，且CB＝CD∴AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“十字形”；②S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×22+×2×1＝+1．（3）如图2∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CAD，∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）设AC＝m，则BD＝3﹣m，∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，∴1≤m≤2，OE2＝＝，∴≤OE2≤，∴≤OE≤．。
2020年中考数学 《圆》专项典型试题训练及答案1
设 OC＝OA＝x 寸，则 AB＝2x 寸，OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26 寸， 即直径 AB 的长为 26 寸． 16．证明：（1）连接 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，点 C 是 的中点，∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC 是△ABD 是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥BD， ∵点 B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线；
∵AB 是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE， ∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF， ∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°， ∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD． （2）解：作 EH⊥BD 于 H． ∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝ ，∵AB＝5，
延长线于点 D，在 AD 上取一点 E，使 AE＝AB，连接 BE，交⊙O 于点 F． 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE＝2∠EBD； （2）如果 AB＝5，sin∠EBD＝ ．求 BD 的长．
14．如图，P 是 所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥AB 交 于点 C，取 AP 中点 D，连 接 CD．已知 AB＝6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm，C．D 两点间的距离为 ycm．（当 点 P 与点 A 重合时，y 的值为 0；当点 P 与点 B 重合时，y 的值为 3） 小凡根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小凡的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
中考数学专卷2020届中考数学总复习(22)圆-精练精析(1)及答案解析
图形的性质——圆1一．选择题（共8小题）1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣2．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C．D．5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3 B．3 C． D．6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A．B．C．3 D．27．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（）A．3或5 B．5 C．4或5 D．48．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（）A．3 B．6 C．6 D．12二．填空题（共7小题）9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是_________ ．10．正六边形的中心角等于_________ 度．11．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_________ ．12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________ ．13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为_________ cm．14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________ ．15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_________ ．三．解答题（共8小题）16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．（1）所对的圆心角∠AOB=_________ ；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积．图形的性质——圆1 参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．如图，正方形ABCD 的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A ．B ．1﹣C ．﹣1D ． 1﹣考点： 扇形面积的计算． 分析： 图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．解答： 解：如图： 正方形的面积=S 1+S 2+S 3+S 4；① 两个扇形的面积=2S 3+S 1+S 2；② ②﹣①，得：S 3﹣S 4=S 扇形﹣S 正方形=﹣1=．故选：A ．点评： 本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．2．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB⊥CD，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A ． cmB ．cmC ．cm 或cmD ． cm 或cm考点： 垂径定理；勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A． 2 B．4C．6D．8考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．解答：解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A． 4 B．C．D．考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．专题：计算题；压轴题．分析：PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3B．3C．D．考点：垂径定理；等边三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．解答：解：如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵⊙O的面积为2π∴⊙O的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．故选：C．点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A．B．C3 D．2考点：垂径定理；圆周角定理．分析：当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．解答：解：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，∴PA⊥OA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，∴PA==．故选B．点评：本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，PA取最小值”即“PA⊥OA时，∠OPA取最大值”这一隐含条件．7．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（）A．3或5 B．5 C．4或5 D．4考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形．专题：分类讨论．分析：作AD⊥BC于D，由于AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，根据正弦的定义计算出AD=4，根据勾股定理计算出BD=3，再在Rt△OBD中，根据勾股定理计算出OD=1，然后分类讨论：①当点A与点O在BC的两侧，有OA=AD+OD；②当点A与点O在BC的同侧，有OA=AD ﹣OD，即求得OA的长．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∴AD垂直平分BC，∴点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，sinB==，∵AB=5，∴AD=4，∴BD==3，在Rt△OBD中，OB=，BD=3，∴OD==1，当点A与点O在BC的两侧时，OA=AD+OD=4+1=5；当点A与点O在BC的同侧时，OA=AD﹣OD=4﹣1=3，故OA的长为3或5．故选：A．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．8．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（）A．3B．6 C．6D．12考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OC交BD于E，设∠BOC=n°，根据弧长公式可计算出n=60，即∠BOC=60°，易得△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，由于BC∥OD，则∠2=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠1=∠2=30°，即BD平分∠OBC，根据等边三角形的性质得到BD⊥OC，接着根据垂径定理得BE=DE，在Rt△CBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3，CE=CE=3，所以BD=2BE=6．解答：解：连结OC交BD于E，如图，设∠BOC=n°，根据题意得2π=，得n=60，即∠BOC=60°，而OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，∵BC∥OD，∴∠2=∠C=60°，∵∠1=∠2（圆周角定理），∴∠1=30°，∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，∴BE=DE，在Rt△CBE中，CE=BC=3，∴BE=CE=3，∴BD=2BE=6．故选：C．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．二．填空题（共7小题）9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是32 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：连接OD，∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，∴PD=CD=4，∴OP===3，∴AP=OA+OP=5+3=8，∴S△ACD=CD•AP=×8×8=32．故答案为：32．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．正六边形的中心角等于60 度．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．解答：解：∵正六边形的六条边都相等，∴正六边形的中心角==60°．故答案为：60．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．11．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=50°．考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．解答：解：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理）故答案为：50°．点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．考点：垂径定理；轴对称的性质．分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．故答案为：点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 2 cm．考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．专题：计算题．分析：先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．解答：解：连结OB，如图，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）．故答案为：2．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4．考点：垂径定理；圆周角定理．专题：压轴题．分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．解答：解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．故答案为：4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3 ．考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD=BC，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出OD的长，进而可得出结论．解答：解：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．点评：本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．三．解答题（共8小题）16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：（1）延长CO交DE于点F，连接OD，根据垂径定理求出BC的长，由sin∠COB=得出OB的长，根据DE∥AB可知∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．由OF过圆心可得出DF的长，再根据勾股定理求出OF的长，进而可得出CF的长；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的长，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出结论．解答：解：（1）延长CO交DE于点F，连接OD∵OC⊥AB，OC过圆心，AB=24m，∴BC=AB=12m．在Rt△BCO中，sin∠COB==，∴OB=13mCO=5m．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．又∵OF过圆心，∴DF=DE=×4=2m．在Rt△DFO中，OF===7m，∴CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4m时，此时的水深为12m；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中，DF===4m．在Rt△CDF中，cot∠CDF==．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∴cot∠ACD=cot∠CDF=．答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时∠ACD的余切值为．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长．考点：切线的判定；勾股定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接AD，OD，则∠ADB=90°，AD⊥BC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，故∠EAD=∠BAD，=，ED=BD，OE=OB；故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG=AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2，代入数值即可求出AE的值．解答：（1）证明：连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；∵AB=AC，∴BD=DC．∵OA=OB，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴∠ODF=∠DFA=90°，∴DF为⊙O的切线．（2）解：连接BE交OD于G；∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，∴∠EAD=∠BAD．∴．∴ED=BD，OE=OB．∴OD垂直平分EB．∴EG=BG．又AO=BO，∴OG=AE．在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2∴（）2﹣（﹣OG）2=BO2﹣OG2解得：OG=．∴AE=2OG=．点评：本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；解答：解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．考点：垂径定理；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．解答：解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．考点：垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．专题：几何图形问题．分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．解答：解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=，∵∠PBC=∠C=22.5°，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，∴劣弧AC的长为：=．点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．考点：圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．专题：几何图形问题．分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC===．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．点评：本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．（1）所对的圆心角∠AOB=120°；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算．专题：几何综合题．分析：（1）根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解；（2）证明直角△OAP≌直角△OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（3）首先求得△OPA的面积，即求得四边形OAPB的面积，然后求得扇形OAB的面积，即可求得阴影部分的面积．解答：（1）解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°；（2）证明：连接OP．在Rt△OAP和Rt△OBP中，，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB；（3）解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=30°，在Rt△OAP中，OA=3，∴AP=3，∴S△OPA=×3×3=，∴S阴影=2×﹣=9﹣3π．点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．。