上海九年级数学-圆复习课(一)
圆复习课（一）【教学目标】1、详细复习圆的基本性质、垂径定理和直线与圆的位置关系；2、熟练掌握相关方法，能做到快速解题；【教学内容】一、圆的有关概念（1）圆是到定点的距离等于定长的点的集合，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦。
（2）圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
（3）圆心相等、半径不同的两个圆是同心圆，半径相同、圆心不同的两个圆是等圆。
（4）一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外，Rd>；点P在圆上，Rd=；点P在圆内，Rd<≤0。
（5）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，不在同一直线上的三点确定一个圆。
（6）圆内接三角形与三角形的外接圆：三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点。
★例题分析例1：P是平面内任意一点，到圆上的最大距离是8，最小距离是2，求该圆的半径。
例2：判断正误：（1）经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆；（2）经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆；（3）经过三个定点，只能作一个圆；（4）经过三角形三个顶点，只能作一个圆。
（5）任何一个三角形有且仅有一个外接圆；（6）任何一个四边形都有一个外接圆；（7）等腰三角形的外心一定在它的内部；（8）一个圆的内接三角形且只有一个，三角形只有一个外接圆；（9）等腰三角形的外接圆的圆心必在其顶角的平分线上；（10）圆内接梯形是等腰三角形，圆内接平行四边形是菱形，圆内接菱形是正方形；例3：已知一个圆形纸片被撕破了，只剩下一部分，请你用尺规把这个圆补完整。
例4：已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r。
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外。
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外。
C B★巩固练习1、在△ABC中，如果O是△ABC的外心，且∠A=73°，那么∠BOC=_______。
2、锐角三角形外心的位置在_______；直角三角形外心的位置在_______；钝角三角形外心的位置在______________。
3、直角三角形两条直角边分别为8cm、15cm，则其外接圆半径长为_______。
4、经过不共线三点A、B、C的圆的圆心是_______，半径是_________________________；可以画_______个圆。
5、经过M、N两点的圆的圆心在，这样的圆有个。
6、圆的半径为R，则其内接直角三角形斜边长为，内接正方形边长为，内接等边三角形边长为。
7、已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是。
8、直角三角形两条直角边长为a、b，则直角三角形的外接圆半径是_________。
9、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有个。
10、到定点的距离等于定长的点的轨迹是______________________________________11、到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是____________________________________12、⊙O的半径r = 10 cm，圆心到直线l的距离OM = 8 cm，在直线l上有一点N，且MN = 6 cm。
则点N与圆O 的位置关系是。
二、圆心角、弧、弦、弦心距（1）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径。
以圆心为顶点的角叫做圆心角。
（2）圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
圆心到弦的距离叫做弦心距。
能够重合的两条弧称为等弧；半径长相等的两个圆一定能够重合，把半径长相等的两个圆称为等圆。
（3）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。
（4）圆心角的度数等于它所对应弧的度数。
★例题分析例1：（1）如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等；B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D．以上说法都不对（2）在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A．AB=2CD B．AB>CD C．AB<2CD D．不能确定（3）⊙O中，如果AB=2AC，那么（）．A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC例2：如图，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=CE ，则AC 与BC 弧长的大小关系是 。
例3：∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD 。
OB ACED F★巩固练习1、在ABC ∆中，060=∠A ，以BC 为直径的圆O 与AB 、AC 分别相交于点D 、E ，试判断DEO ∆的形状。
EDOA BC2、在圆O 中，OA 、OB 是两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC 平行于OA 且交⋂AB 于C ，求MCO ∠的度数。
OABC M3、已知点Ｅ是⊙O 上的点，Ｂ、Ｃ分别是劣弧ＡＤ的三等分点，046=∠BOC ，则∠AED 的度数为_________4、请用尺规作图：四等分弧AB （保留痕迹，不写作法）。
5、如图⊙O 是是等腰三角形ABC 的外接圆,AB=AC,D 是弧AC 的中点，已知∠EAD=114O ，求∠CAD 在度数。
6、如图，已知AB 是⊙O 的直径， BC CD DE ==，∠BOC=400，那么∠AOE = 。
OABCDE7、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是 。
8、⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆心角的度数为 。
三、垂径定理以及它的推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论：⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎩⎨⎧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦得到垂直于弦经过圆心一条直线具有 （2）在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦、弦心距四组两种有一组量相等，那么它所对应的其余的量也相等。
★例题分析 例1：判断：（1）垂直于弦的直线必平分这条弦。
（2）平分弦的直径必垂直于这条弦。
（3）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上。
（4）如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等。
（5）（6）如图，如果AE=BF ，那么⋂⋂=BD AC 。
F E OABDC（7）圆O 与圆'O 是等圆，'//OO AD 则AB=CD 。
例2：计算。
（1）如图，已知圆O 中，060,1,=∠=⊥DOB ED BC OD ，求圆的直径长和弦BC 的长。
EOACD（2）已知AB 、CD 是⊙O 中互相垂直的弦，并且AB 把CD 分成3cm 和7cm 的两部分，则两条弦和圆心的距离分别为 cm 。
（3）已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 。
（4）已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为。
（5）在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是。
例3：应用。
1、在1300多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，跨度AB（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高CD（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径。
R D BAOC例4：综合应用1、在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8。
现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN其中，DE在AB上，如图所示的设计方案是使AC=8，BC=6。
（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。
ACN FEM2、如图，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90，AB = 7，BC －AD = 1。
以CD 为直径的圆与AB 有两个不同的交点E ，F ，且AE = 1。
问线段AB 上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P ，B ，C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，这样的P 点有几个？并求AP 的长。
CODABEF★巩固练习1、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4 cm ，最短的弦长为2 cm ，则OM 的长等于 。
2、如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ：PB=1：5，那么⊙O 的半径等于 。
3、如果⊙O 中弦AB 与直径CD 垂直，垂足为E ，AE=4，CE=2，那么⊙O 的半径等于 。
4、如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，且AC=CD ，AB 的弦心距等于CD 的一半。
则这两个同心圆的大小圆的半径之比 。
5、如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为 。
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图6、如图，已知AB 为圆O 的弦（非直径），E 为AB 的中点，EO 的延长线交圆于点C ，CD AB ∥，且交AO 的延长线于点D ．:EO OC 1:2=，4CD =，求圆O 的半径。
7、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面。
若这个输水管道有水部分的水面宽16cm AB =，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径。
8、已知圆O 的半径为10，弦AB=16，P 是弦AB 上的一个动点，则OP 的取值范围是 。
9、AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则tan COE ∠= 10、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为。
四、直线和圆的位置关系 （1）相离、相切、相交：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。
九年级数学圆复习课课件
12/3/2014
6.(苏州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它 的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( D ) A．35° C．110° B.70° D.140°
12/3/2014
7、(广州市)如图，A是半径为5的⊙O内的 一点，且OA=3，过点A且长小于8的 ( A ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条
F
o
B
4
C
B
C
6
E
1 S △ABC= C △ABC· r内 2
12/3/2014
AB＋CD＝AD＋CB
（五）如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a， OD=d且OC⊥AB于D，CD为h，下面的说法或等式： ①r=d+h, ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( C ) A.① B.①② C.①②③ D.②③
h
h
r
r
d
d
a
a
12/3/2014
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、小试牛刀 1.根据下列条件,能且只能作一个圆的是( C ) A.经过点A且半径为R作圆; B.经过点A、B且半径为R作圆; C.经过△ABC的三个顶点作圆; D.过不在一条直线上的四点作圆; 2.能在同一个圆上的是( C ) A.平行四边形四个顶点; B.梯形四个顶点; C.矩形四边中点; D.菱形四边中点.
过点A且弦长为整数的弦有( 4 )条
12/3/2014
8、一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口， 它们不在一条直线上，这只猫应蹲在何处， 才能最省力地顾及到三个洞口? 【解析】在农村、城镇上这是一个猫捉老鼠 会遇到的一个问题，我们可以为这个小动物 设计或计算出来.这个问题应考虑两种情况： 设三个洞口分别为A、B、C三点，又设A、C相 距最远 ①当△ABC为钝角三角形或直角三角形时，AC 的中点即为所求. ②当△ ABC 为锐角三角形时，△ ABC 的外心即 为所求.
第二十四章圆 复习课课件(共35张PPT)人教版九年级数学上册
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
4.会画三角形的外接圆和内切圆,知道三角形内心和外心的性质,知 道圆内接多边形并会相关计算. 5.知道弧长和扇形面积的计算公式,并能用这些公式进行相关计算.
学习目标
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典型例题
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1 圆的有关概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
O．
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
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2 圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数 条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合, 即圆具有旋转不变性.
解：设直径BC与弦AD交于点E
A
∵∠D=36°，∴∠ABC=36°
∵AD⊥BC，
B
∴在直角三角形ABE中，∠BAD=90°-36°=54°
C E D
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例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2)求证明：∠1=∠2.
典型例题
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例3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直 径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这 个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
解析:设圆心为O，连接AO,作出过点O的 弓形高CD，垂足为D,可AO=5mm,OD=3mm 利用勾股定理进行计算，AD=4mm， 所以AB=8mm.
九年级数学《圆-复习课》课件
CD
(Ⅱ)如图②,连接AA′、BB′,设△ACA′和△BCB′的面积分别 为S1、S2.求证：S1:S2=1:3；
(Ⅲ)如图③,设AC的中点为E,A′B′的中点为P,AC=a,连接EP. 求当θ为何值时,EP的长度最大,并写出EP的最大值 (直接 写出结果即可).
圆中分类讨论 1已知，△ABC内接于⊙O，BC=4 3 半径为4,则∠A=___
3 如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的O经过点 D,E是O上一点,且∠AED=45∘.(1)试判断CD与O的位置关系， 并说明理由；(2)若O的半径为3cm，AE=5cm，求sin∠ADE.
4 已知：△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外 接圆相交于点D，求证：DE=DB=DC
5 如图，圆O为△ABC的内切圆，切点为E,F,G,∠C=90°， AO的延长线交BC于点D,AC=4，CD=1,求圆的半径.
第3 题
第4 题
第5题
二 旋转性质的运用 1.在△ABC中,∠ACB=90∘,∠ABC=30∘,将△ABC绕顶点C 顺时针旋转,旋转角为θ (0∘<θ<180∘),得到△A′B′C.(Ⅰ)如 图①,当AB∥CB′时,设A′B′与CB相交于点D. 证明：△A′CD 是等边三角形；
3 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC=BC,D为⊙O中弧AB上 一点，延长DA至点E，使CE=CD. (1)求证：AE=BD；(2)若AC⊥BC,求证：AD+BD=2√CD.
4已知：如图，AB、CD是⊙O的两条平行切线，A. C是切点， ⊙O的另一条切线BD与AB、CD分别相交于B. D两点。 （1）求证：BO⊥OD.
第24章 圆的复习-九年级数学上册教学课件(人教版)
原 所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
理
C
精
炼
O
8mm
A
B
提
D
升
与圆有关的概念
典 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
例 2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦.
原 4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
理 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
炼 【注意】(1)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点.
(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
提
(3)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
升
(4)一个三角形的内切圆是唯一的.
点与圆的位置关系
典 1.在△ABC中,∠C=90º,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆 例 心,1为半径作⊙C,则( C )
原 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦, 理 并且平分这条弦所对的两条弧；
精 3.垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 炼
提 升
圆的基本性质
典 1.圆的对称性： 例 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
原 2.有关圆心角、弧、弦的性质：
理
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、
° 精 炼
提 升
典 6.如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点 例 E.若BC=BE.求证：△ADE是等腰三角形．
原 理
精 炼
提 升
典 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC. 例 (1)若∠CBD=39º,求∠BAD的度数； 原 (2)求证：∠1=∠2. 理
沪科初中数学九下《24 圆复习课件 沪科版
15、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆 的面积。
16．把一个圆拼割成一个近似的长方形， 割拼成的长方形的长相当于圆周长的一 半（πr），宽相当于圆的半径（r），因 为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积 = πr×r=πr²。 17．圆的面积公式：Ｓ＝πr² 或者S=π （d/2)² 2019/9/22 或者S=C ²/4π
r Ｓ＝πr²
公式 d r S=π（d/2)²
C r S=C ²/4π
圆环：S=πR²－πｒ² 或 S=π（R²－ｒ²）
2019/9/22
3.圆：圆是平面上的一种曲线图形。 4、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折
痕相交于圆中心的一点，这一点叫做 圆ห้องสมุดไป่ตู้。圆心一般用字母“O”表示。它 到圆上任意一点的距离都相等．
d 或 Ｃ＝πr＋2r 20．半圆面积＝圆的面积/2
公式为：Ｓ＝πｒ²/2
2019/9/22
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍， 那么直径和周长就都扩大４倍，而面 积扩大１６倍。
2019/9/22
例如：两个圆的半径比是２：３， 那么这两个圆的直径比和周长比 都是２：３，而面积比是４：９ 即（２²：３²）。
2019/9/22
5.半径：连接圆心和圆上任意一点的线 段叫做半径。用字母“r”表示。
7、圆规画圆的根据：从圆心到圆上任 意一点的距离（即半径）都相等。
2019/9/22
9.在同一个圆或等圆内,所有的半径都相 等,所有的直径都相等。
10．在同一个圆内，有无数条半径，有 无数条直径。
11．在同一个圆或等圆内，直径的长度 是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝２r r ＝d/2
2019/9/22
上海九年级数学-圆复习课(一)知识讲解
上海九年级数学-圆复习课(一)圆复习课（一）【教学目标】1、详细复习圆的基本性质、垂径定理和直线与圆的位置关系；2、熟练掌握相关方法，能做到快速解题；【教学内容】一、圆的有关概念（1）圆是到定点的距离等于定长的点的集合，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦。
（2）圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
（3）圆心相等、半径不同的两个圆是同心圆，半径相同、圆心不同的两个圆是等圆。
（4）一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外，Rd>；点P在圆上，Rd=；点P在圆内，Rd<≤0。
（5）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，不在同一直线上的三点确定一个圆。
（6）圆内接三角形与三角形的外接圆：三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点。
★例题分析例1：P是平面内任意一点，到圆上的最大距离是8，最小距离是2，求该圆的半径。
例2：判断正误：（1）经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆；（2）经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆；（3）经过三个定点，只能作一个圆；（4）经过三角形三个顶点，只能作一个圆。
（5）任何一个三角形有且仅有一个外接圆；（6）任何一个四边形都有一个外接圆；（7）等腰三角形的外心一定在它的内部；（8）一个圆的内接三角形且只有一个，三角形只有一个外接圆；（9）等腰三角形的外接圆的圆心必在其顶角的平分线上；（10）圆内接梯形是等腰三角形，圆内接平行四边形是菱形，圆内接菱形是正方形；例3：已知一个圆形纸片被撕破了，只剩下一部分，请你用尺规把这个圆补完整。
例4：已知△ABC ，AC =3，BC =4，∠C =90°，以点C 为圆心作⊙C ，半径为r 。
（1）当r 取什么值时，点A 、B 在⊙C 外。
（2）当r 在什么范围时，点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外。
★巩固练习 1、在△ABC 中，如果O 是△ABC 的外心，且∠A=73°，那么∠BOC=_______。
上海中考数学复习课圆 -教案
C A相切的存在性问题教学目标:1、巩固直线与圆相切、圆与圆相切的的数量特征，能运用这些数量特征进行有关的计算。
2、体会分类讨论的思想方法。
教学重点和难点：运用直线与圆相切、圆与圆相切的的数量特征解决综合性的问题。
教学过程：一、复习旧知:问题1：已知直线l与⊙O相切，⊙O的半径长为5，点O到直线l的距离是d，那么d=___________。
小结:如果⊙O的半径长为r，圆心O到直线l的距离为d直线l与⊙O相切⇔rd=问题2：已知半径长分别是5和6的两圆相切，那么这两圆的圆心距等于_______。
小结:两圆相切包括 __________和__________两种情况；如果两圆的半径长分别为1r、2r，圆心距为d，那么：（1）两圆外切⇔21rrd+=（2）两圆内切⇔21rrd-=二、基础练习：练习1：1、已知，如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦与小圆相切，这条弦的长等于________。
第1题图第2题图2、已知，如图，在ABCRt∆中，C∠=︒90，AB=10，︒=∠30A，若以点C为圆心的圆与AB相切，⊙C的半径为 _________。
练习2：1、⊙1O与⊙2O的直径分别为8和6，圆心距为7，则两圆的位置关系是：________。
2、已知⊙1O 与⊙2O 外切，⊙1O 的半径为5cm ，cm O O 821=,则⊙2O 的半径为___。
3、两圆内切，圆心距为5cm ，其中一个圆的半径长为8cm,则另一个圆的半径长为_________。
4、已知相切两圆的圆心距为5,其中一个圆的半径长等于3,那么另一个圆的半径长等于_________。
三、例题讲解例1、如图，ABC ∆中，AB=AC=10，BC=12，点D 在边BC 上，且BD=4，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ，（1）设BE=x ，CF=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当以点C 为圆心、CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心、AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长；C D小结：例2、如图，已知直线434:+=x y l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，⊙O 的半径为1，点C 是y 轴正半轴上的一个点，如果⊙C 既与⊙O 相切，也与直线l 相切，求圆心C 的坐标。
上海九年级数学上册复习寒假班讲义-圆与圆,圆与正多边形(学生版)
数学辅导讲义学员学校：年级：初三课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题圆与圆、圆与正多边形授课时间：备课时间：教学内容知识精要1、用数量关系识别两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R，r，圆心距为d(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) 即：两圆外离d R r⇔>+；(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))即：两圆外切d R r⇔=+；(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) 即：两圆相交R r d R r⇔-<<+；(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))即： 两圆内切d R r ⇔=-； (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6)) 即：两圆内含0d R r ⇔≤<-。
2、按公共点的个数分类可分为三类①相离 ②相切 ③相交圆与圆的位置关系 两圆位置关系 外离外切相交内切内含（包括同心）公共点d 与,R r 的关系外公切线 内公切线3、相交、相切两圆的性质定理相切两圆的性质定理：（1）两圆相切连心线必过切点。
（2）两圆外（内）公切线长相等。
相交两圆的性质定理：两圆相交，连心线垂直平分公共弦。
（一） 正多边形的概念 1.各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
有n 条边的正多边形(n 是正整数，且错误！未找到引用源。
)就称作正n 边形. 当n 为奇数时，正n 边形不是中心对称图形；当n 为偶数时，正n 边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点。
沪科版九年级数学下册第二十四章《圆章末复习》优课件
You made my day!
我们，还在路上……
①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④
⑤
①推②论2：③圆④的⑤两或条①平③行弦所②夹④的⑤弧或相…等…。 BC BD
AC AD
即：在⊙O中，∵AB∥CD
A
∴
AC BD O
C
D
O
A
B
E
C
D
B
圆心角定理
• 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要 知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论
即：在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
B
A
O
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的
中线等于斜边的一半的逆定理。
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互
补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C+∠BAD=180°， B+∠D=180°， ∠DAE=∠C
∴ C E 2D E 2E AE B
D
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线
与圆交点的两条线段长的比例中项
A
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
D
∴ PA2PCPB
P
O
C
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的
交点的两条线段长的积相等（如上图）
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线
《圆》知识点复习
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 两种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
沪教版初三下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【高清ID号：362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过点P 且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设点P在数轴上对应的数值为x，则的取值范围是（）.A．－1≤≤1 B．≤≤C．0≤≤ D．＞【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为≤OP≤0．故答案为：≤OP≤．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-≤x＜0或0＜x≤ D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=，∴0＜OP≤，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-≤OP＜0，∴-≤OP＜0，或0＜OP≤．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴．∵，∴．∴∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵ AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴．∵，∴．∴ BF＝CG，ON＝OD．∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE，∴ NE＝DE．∵，，∴ BN＝CD，∴ BN-EN＝CD-ED，∴ BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵，∴ OC⊥BF．∵ AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∵，．∴，．∵ OC＝OB，∴ OC-ON＝OB-OD，即＝BD．又∠ E＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△ E≌△BDE，∴ CE＝BE．【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【高清ID号：362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图所示，在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果.【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O3∴四边形ABCD的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2016•绵阳）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．【思路点拨】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【答案与解析】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为 (cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。