聚焦集合中的求参数问题
故所求 问题 可转 化 为不 等 式 ｔ ｑ － ２ ｔ ≤ ｍ
ｆ ａ ＝ ＝ ＝口 ， ｆ 口 一 ０， ｆ 口 一 １，
４。
解 ： 由 集 合１ ３ 一 ｛ ｚ ｌ ｚ （ ｚ ＋ ４ ） （ ｚ 一 号 ） 一
０ ， ｚ∈Ｚ｝ ， 可得 Ｂ一 ｛ 一４ ， ０ ） ， 所 以集合 Ｂ 的
子 集 有 ， ｛ 一 ４） ， ｛ ０ ） ， ｛ 一 ４， ０ ） 。
合 题意 ； 当 ｍ 一 ３时 ， 集 合 Ａ一 ｛ ０， ３， ２ ｝ ， 可 知 适
Ｉ ２ 口≤ 口＋ ３，
可得 一÷≤ｎ ≤２ 。
综上所 述 ， 所 求 实 数 。 的 取 值 集 合 是
合 题意 。 综 上 可知 ， ｍ一 ３ 。 评析 ： 本 题 主 要 考 查 集 合 中 元 素 的 互 异 性 。在 解 决 集 合 问 题 时 要 注 意 两 点 ： ① 认 清
由① ② 可 知 ， 所 求 实 数 ｎ， ｂ 的 值 为
ｆ ａ ＝ ２ ’ 或 ｛ “ 一 ～ ２ ’ 或 ｛ 。 一 ？ ’
足 Ａ ｎ Ｂ—Ａ 。
① 当 Ａ 一 时 ， 则 △一 ４ （ ｎ＋ １ ） 一 ４ 。 ＋
９
鲻 醐幽鲻戳艘
知识篇 ． 知 识 结 构 与 拓展
（ 一 ÷ ） 一 ｏ ， ｚ ∈ ｚ ｝ 。 若 Ａ Ｎ Ｂ — Ａ ， 求 实 数
ａ的取值 集合 。
① 由 １ Ｉ ａ 一 一。 ｂ 。 解 得 ｉ ｌ ｂ 一 — 或 ２ ｉ Ｉ ｂ 一 一 一， ２ ， 经 检
验 可 知 这 两 组 解 都 满 足 集 合 元 素 的互 异 性
两 种情 况讨 论求 解 。
当 Ａ 一 时 ， 则 ２ ｎ＞ ａ ｑ － ３ ， 解 得 ａ ＞ ３ ；
ｆ ２ 口≥ ～ １，
当 Ａ≠ 时 ， 则 ａ＋ ３ ≤５ ， 解 不 等 式 组
当 ｍ 一 ０时 ， 集合 Ａ一｛ ０， ０， ２ ） ， 这 时 集 合 Ａ 中的元 素 不 满 足互 异 性 ， 可 知 ｍ 一 ０不
一
评析 ： 由 集合 元 素 的 无序 性 ， 可 知 集 合 Ａ — Ｂ 应 分 两种 情 况 求 解 。 解 答 本 题 的 关 键 是 要 检 验 集 合 元 素 的 互 异性 ， 避免增解的产生。
二 、 借 助 集 合 的 包 含 关 系 求 参 数
、
借 助 集 合 的 互 异 性 求 参 数
集合元 素 的属性 ， 是 点集 、 数 集 还 是 其 他 类 型
｛ ｚ Ｉ 一 丢 ≤ｎ ≤ ２ 或 ａ ＞ ３ ） 。
评析 ： 本 题 容 易 忽 视 集 合 Ａ 一 的 情 形 。 在 解 决 有 关 Ａ ｎ Ｂ 一 ， Ａ ＵＢ— Ａ ， Ａ Ｂ 等 集 合 问题 时 ， 一定要 注意 空 集的 情 况 ， 以 避 免
知识篇 ・ 知识 结构与拓展
高一 数 学 ２ ０ １ ８年 １月
集 合 中 的 求 参 数 问 题 是 集 合 学 习 中 的 难 点 ， 也 是 高 考 命 题 的 热 点 。这 类 问 题 的 解 法 灵 活多 样 ， 下 面 就 此 类 问 题 的 常 见 形 式 和 解 法进 行 归类分 析 ， 供 大家学 习 与提 高 。
解 ： 由 Ａ ｎ Ｂ 一 ， 可 对 Ａ 一 和 Ａ ≠
２ — ２， 解 得 ｍ 一 ２或 ｍ 一 ０或 ｍ 一 ３ 。 当 一 ２ 时 ， 集 合 Ａ一 ｛ ０， ２ ， ０ ） ， 这 时集 合 Ａ 中的元 素 不 满 足互 异 性 ， 可 知 一 ２不 合 Nhomakorabea题 意 ；
②由 ｛ Ｉ ｂ
一
４．
解得 ｛ 或｛ １ ｂ 一 ４ Ｉ ｂ一
经检
验 可知 ｛
‘ ｂ＝ ４
不 满足集 合 元素 的互 异性 。
，
由 Ａ ｎ Ｂ— Ａ ， 可 得 Ａ Ｂ ， 所 以 当 Ａ 一 Ａ＝ ＝ ＝ ｛ 一４ ） ， Ａ一 ｛ ０｝ 或 Ａ 一｛ 一 ４， ０） 时， 满
鼹麟 黼 黼勰 黼
高一数学 ２ ０ １ ８ 年１ 月 所 以 一 ４ 。 ＋２ 一（ ２ ） ＋ ２・ ２ 。 一ｔ ＋２ ｔ 。
４ —８ ａ＋ ８ ＜ Ｏ， 解 得 ｎ＜ 一 １ ；
② 当 Ａ一 ｛ 一４ ｝ 时 ， 则 △一 ８ ａ＋ ８— ０， 解
得 “一 一 ， 此 时 ｚ ＋ ２ （ ｎ＋ ｚ 十 ｎ 一 一 ０ 可化 为 ｚ 一０ ， 即 ｚ一 ０， 这 与 ｚ一 一 ４矛 盾 ； ③ 当 Ａ一 （ Ｏ ｝ 时， 由 ② 可 知 ａ一 一 １ ， 显 然
产 生漏 解 。
的集合 ； ② 要 注 意 检 验 集 合 中元 素 的 互 异 性 ，
否 则 容 易产 生 增 解 。
侧 卑 已知集 合 Ａ一 ｛ ｚ ｌ ＿ ｚ 。 ＋２ （ ａ十 １ ） ｚ
侧 ２ 已知 集 合 Ａ 一 ｛ １ ， ４， ｎ） ， Ｂ一 ｛ １ ，
倒
已知 集 合 Ａ 一 （ ｌ ２ ａ≤ ｚ≤ ａ＋
倒 ， 已知集合 Ａ一 ｛ ０， ｍ， ｍ 一 ３ ｍ ＋ ２ ｝ ， 且 ２ ∈Ａ ， 求 实 数 ｍ 的值 。
解 ： 因为 ２ ∈Ａ ， 所 以 ｍ 一 ２或 ｍ 一 ３ ｍ ＋
３ ｝ ， Ｂ一 ｛ ｚ ＜ 一 １或 ＞ ５ ｌ ） ， 若 Ａ ｎ Ｂ 一 ， 求 实数 ｎ的取值 集 合 。
ａ ， ｂ） ， 若 Ａ —Ｂ ， 求 实 数 ｎ， ６的 值 。 解 ： 由 Ａ — Ｂ， 可 分 两种情 形求 解 。
ｆ ４＝ ＝ ＝ ａ ｚ， ｆ ａ 一 ２， ｆ ｎ 一 一 ２，
＋ ｎ ２ —１ — ０ ｝ ， 集 合Ｂ 一｛ ｚ １ ｚ （ ｚ ＋ ４ ） ・
集合不足的诊断与处理
集合不足的处理
• 合理的屈光矫正 儿童及成人：近视足矫、远视欠矫 老年人：近视足矫+BI棱镜
• 有效的视觉训练(儿童及成人)
视训内容
• 1~2周 • Brock线
黄球(中距)+红球(近距)交替看--3分钟 移近红球，交替看与固视交替进行--3分钟 训练结果：记录能把持单视的最近的红球距离
• 晶体操表(双眼) 10分钟
训练结果：记录能阅读完一面大小字母表的时间
视训内容
• 3~4周 • 集合卡(频率训练)---5分钟 • 融像卡(BO方向)---5分钟
红绿矢量图 偏振矢量图(绳圈图、轨道图) 训练结果：记录能保持立体视的最大BO量
• 反转拍训练(单眼不同步先单眼练，单眼同 步可双眼练)---10分钟
训练结果：记录一分钟可翻转的周期数
集合不足的诊断与处理
张晴
集合不足定义
• Von Greafe 1862 • 双眼近距离运动能力不足，或无法维持足
够的辐辏力 • 发病率占总人口 3-5%
症状
• 近距离阅读需求与实际用眼能力不协调 • 视近时有模糊、重影、复视感、聚焦困难、
文字跳动、手指阅读、串行、跳字 • 眼部有牵拉感、紧张感、眼球酸痛、眼周
训练内容
• 5~6周
复查视功能，一般隐斜量可能减少不明显，但融像 功能会显著增加 • 聚散球(频率训练)---10分钟
红球、黄球、绿球交替看，红球逐渐移近，绿球 逐渐移远 • 融像卡(BO方向)---5分钟
偏振矢量图(轨道图、小丑图) 训练结果：记录能保持立体视的最大BO量 • 反转拍训练
• 7~8 • 聚散球(频率训练)---10分钟
• 计算性AC/A<3:1
与调节超前的鉴别诊断
专题02 充分条件与必要条件(有答案)
要想得到 p : x 1 ，还要补充一个前提： x 不能取 1 ，那既然还要补充，则说明是“不充分的”；
② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏， 人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当 a > 0,b > 0 时， a b 2 ab ，则当 a b 4 时，有 2 ab a b 4 ，解得 ab 4 ，充分
面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若 p 则 q ”的真假，也要判断“若 q 则 p ”真假
3、两个条件之间可能的充分必要关系：
（1） p 能推出 q ，但 q 推不出 p ，则称 p 是 q 的充分不必要条件 （2） p 推不出 q ，但 q 能推出 p ，则称 p 是 q 的必要不充分条件 （3） p 能推出 q ，且 q 能推出 p ，记为 p q ，则称 p 是 q 的充要条件，也称 p, q 等价 （4） p 推不出 q ，且 q 推不出 p ，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件
（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系 ① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意
味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由 p 就 可以得到结论 q ，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件 p : x 1 ，不需再做任何说明或
重庆单招对口升学高职分类考试数学复习第1章集合
典例解析
【例3】已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2-4x+p=0}， 若B ⊆ A，求实数p的取值范围.
【解析】由题意得A={-1,2}.因为B ⊆ A,所以B= Ø或B={-1}或 B={2}或B={-1，2}. 又因为B={x|x2-4x+p=0},所以B={-1,2}不成立. 当B= 时，Δ=（-4）2-4p=16-4p<0,解得p>4.
典例解析
【例3】已知集合M={x|a≤x≤a+3},N={x|x<-1或x>5}， 若M∩N= Ø,求实数a的取值范围.
【解析】如图所示，要使M∩N= Ø ，必须满足， 解得-1≤a≤2，所以实数a的取值范围为{a|-1≤a≤2}.
第三节
充要条件
知识聚焦
一、充分必要条件的定义
(1)对于两个命题p，q，如果有p ⇒ q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 注意:p是q的充分条件，是指只要具备了条件p，那么q就一定成立，即命题中的条件是充分的； q是p的必要条件，是指如果不具备条件q，则p就不能成立，即q是p成立的必不可少的条件. (2)如果p ⇒ q且q ⇒ p，即p=q，则p是q的充分且必要条件，简称充要条件. 注意: ①当p ⇒ q时，也称p与q是等价的. ②与充要条件等价的词语有：“当且仅当”“等价于”“有且只有”“必须且只须”“……， 反过来也成立”等.
第二节
集合的运算
知识聚焦
1.交集 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B 的交集，记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B｝. 性质： （1）A∩B=B∩A.
(2)A∩A=A. (3)A∩ Ø= Ø . (4)A∩B ⊆ A,A∩B ⊆ B. (5)若A ⊆ B，则A∩B=A.
常见集合不足的判断、分析与处理
常见集合不足的判断、分析与处理王红梅此时根据患者主诉情况的描述，应怀疑患者可能存在双眼视功能异常，应对其进行视功能检查。
2.1 双眼视功能数据检查融像Worth 4 dot检查：可通过患者反应视标的位置关系，判断其融像情况。
眼位检查：常用检查方法有遮盖法、棱镜分离法（VonGraefe法）和马氏杆Maddox法。
一般情况下最好使用棱镜分离法，因为遮盖法调节若不受控制，检测结果将不可靠。
Maddox法对环境要求高，必须在暗室中进行，且重复性比较低。
而棱镜分离法不仅可重复性比较高，而且检测结果相对稳定。
AC/A值：分梯度性AC/A和计算性AC/A。
因受近感知性集合的影响，计算性AC/A比梯度性AC/A要大一些，所以一般采用梯度性AC/A进行分析。
融像性聚散（PFV、NFV）：在检查时需先检查完负融像性聚散，再检查正融像性聚散，不可颠倒次序，因为正融像性聚散检测时可能会诱发调节。
集合近点（NPC）：在测量过程中要观察患者眼睛是否存在单眼抑制的情况，若存在，则抑制也是分裂点，要记录其位置距离。
相对性调节：针对集合不足，主要分析判断其负相对性调节，若大于+2.50D时应注意远距离验光时调节未完全放松、验光结果负值过大的情况。
调节滞后：用动态检影法更加客观，要注意保证室内正常照明，因为暗照明会影响调节反应。
调节灵敏度：采用球镜反转拍进行。
调节幅度：采用推近法或者负镜法，一般选用推近法。
因为在负镜法中，随着度数增加，患者看到的视标会越来越小，所以该方法测出来的结果相对偏低。
120 中国眼镜科技杂志·11·2020摘要：集合不足是非斜视性双眼视功能异常的一种，近年来，随着人们近距离工作时间的不断增多，尤其是手机和电脑的长时间使用，集合不足型双眼视异常人群越来越多，其症状主要表现为近距离工作时出现视疲劳、注意力不能集中、阅读能力差，甚至产生视疲劳性头痛等。
因此在检查双眼视功能时对检查数据的判断分析和处理是非常重要的。
聚焦聚集聚合聚力近义词
聚焦聚集聚合聚力近义词
“聚焦”“聚集”“聚合”和“聚力”这四个词语都有集中、汇集的意思，但在使用时略有不同。
“聚焦”强调将注意力、精力或资源集中在某一个特定的目标或领域上，以实现更好的效果。
例如：“我们需要聚焦于提高产品质量，以满足客户的需求。
”
“聚集”则更强调人或物的集合、汇集，通常用于描述人群、物品等的集中。
例如：“广场上聚集了大量的人群。
”
“聚合”则强调将分散的元素或力量汇聚在一起，形成一个整体。
例如：“这些企业聚合在一起，形成了一个强大的集团。
”
“聚力”则更强调将力量集中在一起，以实现某个目标或任务。
例如：“我们需要聚力攻克这个技术难题。
”
总的来说，这四个词语在意义上有一定的重叠，但在使用时需要根据具体情境和语境进行选择。
逻辑推理三段论解集合推理
逻辑推理三段论解集合推理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：逻辑推理是一种通过思维和推理来解决问题的方法。
其中的三段论是一种基本的推理模式，由三个命题组成：一个前提，一个结论以及一个中介命题。
通过逻辑推理，我们可以从已知的真实前提中得出正确的结论。
本文将聚焦于三段论解集合推理，探讨其基本原理和应用。
让我们先来了解三段论的基本结构。
三段论由三个命题构成，包括一个首位命题（major premise）、一个中介命题（minor premise）以及一个结论。
首位命题是一个一般性的命题，通常是一个普遍真实的陈述。
中介命题则是一个特殊情况的命题，基于首位命题中的一部分内容。
最终，结论是通过前两个命题进行推理得出的结论性命题。
在三段论中，通过首位命题和中介命题的结合，我们可以得出一个符合逻辑规则的结论。
这种推理方法可以帮助我们理清问题的逻辑关系，从而得出正确的结论。
举例来说，如果首位命题是“所有人类都是哺乳动物”，中介命题是“苏菲是人类”，那么结论就会是“苏菲是哺乳动物”。
而在集合推理中，我们可以利用三段论来推导出集合之间的关系。
集合是数学中一个非常基本的概念，它通过一组元素的集合来定义一个集合。
在集合推理中，我们可以根据已知的集合关系来推导出新的集合关系。
这种推理方法可以帮助我们更好地理解集合之间的关系，解决各种集合问题。
举个例子，如果我们已知集合A包含了所有奇数，集合B包含了所有小于10的数，那么我们可以通过三段论来得出结论：集合A∩B包含了所有小于10的奇数。
这个结论是通过首位命题“所有奇数都在集合A中”和中介命题“所有小于10的数都在集合B中”得出的。
在集合推理中，我们经常会使用几种常见的逻辑操作，比如并集、交集、差集等。
通过这些逻辑操作，我们可以更加精确地推导出集合之间的关系。
这种推理方法在数学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
第二篇示例：逻辑推理是一种通过对前提和命题进行推理和论证来得出结论的思维方式。
充分条件与必要条件
题型三 充分条件与必要条件的应用 一题多变 已知 p：实数 x 满足 3a<x<a，其中 a<0；q：实数 x 满足－2≤x≤3.若 p 是 q
的充分条件，求实数 a 的取值范围．
[自主解答] p：3a<x<a， 即集合 A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合 B＝{x|－2≤x≤3}． 因为 p⇒q，所以 A⊆B，
[提示] 条件是两个三角形全等，结论是两个三角形面积相等．
必要条件与命题“若 p，则 q”的真假性有什么关系？ [提示] 当命题“若 p，则 q”为真命题时，q 是 p 的必要条件．
若 p 是 q 的充分条件，这样的条件 p 唯一吗？ [提示] 不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p 可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等．
3a＞3， 所以a＜－2， ⇒a∈∅.
a>0
2．(变条件)将例题中的条件“q：实数 x 满足－2≤x≤3”改为“q：实数 x 满足－ 3≤x≤0”，其他条件不变，求实数 a 的取值范围．
解析 p：3a<x<a，其中 a<0，
即集合 A＝{x|3a<x<a}．
q：－3≤x≤0，即集合 B＝{x|－3≤x≤0}．
[自主解答] (1)由于 p⇒q，故 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． (2)由于 q⇒p，故 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件．
[规律方法] 1．判断 p 是 q 的什么条件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若 q 成立时，能否推出 p 成立；若 p⇒q 为真，则 p 是 q 的充分条件，若 q⇒p 为真，则 p 是 q 的必要条件． 2．也可利用集合的关系判断，已知条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若 A⊇B， 则甲是乙的必要条件．
第2讲 充分条件与必要条件
1. (2019·山东模拟)“x>0”是“x2 020>0”的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 当 x>0 时，可以推得 x2 020>0；但当 x2 020>0 时，不可以推得 x>0，故“x>0”
是“x2 020>0”的充分不必要条件，故选 A.
第19页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
目标 2 结合充要条件确定参数的取值范围 (2019·临沂一模)“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条
件是( D ) A. m≥1
B. m≤1
C. m≥0
D. m≥2
【解析】 不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立的充要条件为 Δ＝(－2)2－4m≤0，即
第24页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
2. (2019·浙江卷)设 a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
第16页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
2. 设 x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 2－x≥0，则 x≤2；由|x－1|≤1，则－1≤x－1≤1,0≤x≤2.据此可知， “2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．故选 B.
专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。
双眼集合需求计算公式
双眼集合需求计算公式
双眼集合需求计算公式是一个用于确定两个眼睛在看一个物体
时所需集合的数学公式。
这个公式可以帮助眼科专业人士，如眼镜设计师和验光师，确定适当的集合需求，以确保视力矫正器具（如眼镜或隐形眼镜）能够提供最佳的视觉效果。
在制定这个公式时，眼科专业人士会考虑以下几个因素：
1. 眼睛的屈光度：这是一个衡量眼睛对光线的聚焦能力的指标。
正
常视力的人通常有零屈光度，即眼睛能够完全聚焦在无限远的物体上。
然而，视力问题，如近视或远视，会导致眼睛的屈光度发生变化。
2. 视力问题的程度：视力问题的程度可以通过屈光度的差异来确定。
近视者的眼睛屈光度过高，导致他们在看近处物体时集合过多；而远视者的眼睛屈光度过低，导致他们在看远处物体时集合不足。
基于以上因素，可以使用下列公式来计算双眼集合需求：
双眼集合需求 = 左眼集合需求 + 右眼集合需求
左眼集合需求 = 屈光度差异 * 视力问题程度
右眼集合需求 = 屈光度差异 * 视力问题程度
这个公式将视力问题的程度乘以屈光度差异，以确定每只眼睛所需的集合程度。
两个眼睛的集合需求相加后，就可以确定适当的集合需求，从而为患者提供最佳的视觉矫正效果。
需要指出的是，双眼集合需求计算公式只是眼科专业人士在确定视力矫正器具时的一个参考。
在实际应用中，还需要考虑其他因素，如个体的生理特征和个人偏好。
因此，在进行任何视力矫正操作之前，建议患者咨询专业眼科医生或验光师，以确保获得最准确和最适合自己的视力矫正方案。