2020年上海市静安区高考数学一模试卷(有答案解析)
2020届上海市静安区高三上学期第一次模拟考试数学试题
学习资料分享[公司地址]静安区2019学年第一学期教学质量检测高三数学试卷 2019.12一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.计算lim(10.9)nn →∞-=_____. 【答案】1【解析】lim(10.9)nn →∞-=1 2.双曲线在单位圆中，60o 的圆心角所对的弧长为_____. 【答案】3π 【解析】23l r π==3.若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32o 和152o 则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60o【解析】1801523260-+=o o o o 4.若直线l 的一个法向量为(2,1)n =r ，则若直线l 的斜率k =_____.【答案】2-【解析】(2,1)n =r ，则单位向量(1,2)d =-u r ，221k ==- 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_____个.【答案】128【解析】712128⨯=6.设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =, 现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____. 【答案】23π【解析】22112333r πππ== 7.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u r u u u r 的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r8.三倍角的正切公式为tan 3α=_____.【答案】 【解析】322tan tan tan 313tan αααα-=-.9. 设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.【答案】2880【解析】4种类型的矩阵6642880P =10. 现将函数s e c ,(0,y x x π=∈的反函数定义为正反割函数，记为：sec y arc x =. 则sec(4)arc -=________.（请保留两位小数）【答案】1.82 【解析】cos y 1=∂，(0,)x π∈，故可知4cos t 1=-，arccos( 1.824t 1∴=-≈）. 11. 设双曲线222x y a a -=1+1的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________.【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 2c =. 12. 设0,,0,0a a M N >≠1>>，我们可以证明对数的运算性质如下：log log log log a a a a M N M N a a a MN +==Q ，① log log log a a a MN M N ∴=+.我们将①式称为证明的“关键步骤”.则证明log log r a a M r M =（其中0,M r R >∈）的“关键步骤”为________.【答案】log log r a a M r M =【解析】,log log ()a a M r M r r aa M ==Q ,log log r a a M r M ∴=.二、选择题13. “三个实数,,a b c 成等差数列”是“2b a c =+”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数,,a b c 成等差数列”，所以2b a c =+.14. 设,x y R ∈，若复数x i y i+-是纯虚数，则点(,)p x y 一定满足 （ ） A .y x = B .y x 1=C .y x =-D .y x 1=- 【答案】B 【解析】2221()()()()()()x x i y i xy x y i xy x y i y i y i y i y y y +++-1++-1+===+--++1+1+1，并且1x y i+-为纯虚数，则0xy -1=，1y x=. 15.若展开()(2)(3)(4)(5)a a a a a +1++++，则展开式中3a 的系数等于 ( )A .在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和； B .在23451，，，，中所有任取三个不同的数的乘积之和； C .在23451，，，，中所有任取四个不同的数的乘积之和；D .以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中3a 的系数等于在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和. 16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21o 方向，且塔顶的仰角为81o ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39o 方向，则该塔的高度约为 （ ）A .265米B .279米C .292米D .306米【答案】C【解析】000sin 5sin 60cos69tan87292.72811≈o o o o米.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在正六棱锥P ABCDEF -中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60︒.（1）求该六棱锥的体积V ；（2）求证：PA CE ⊥【答案】（1）12；（2）见解析.【解析】（1）连接BE 、AD ，设交点为O ，连接POP ABCDEF -Q 为正六棱锥ABCDEF ∴为正六边形侧棱与底面所成角即PBO ∠PO ∴=111233V S h ∴=⋅⋅=⋅= （2）PO ⊥Q 面ABCDEF ，CE ⊂面ABCDEFP O C E ∴⊥Q 底面为正六边形A O C E ∴⊥Q A O P O O⋂= CE ∴⊥面PAOQ PA ⊂面PAOC E P A ∴⊥18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.图1 图2【答案】（1）1（2）2【解析】（1）设(01)OA x x =<<，1OD =QAD ∴2S x ∴=221122x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭Q当且仅当x x =时等号成立 1212S ∴=⋅= （3）椭圆方程为221(01)4x y y +=≤≤ 设()(2cos ,sin )0,C θθθπ∈22cos sin 2sin 2S θθθ∴=⋅⋅=当且仅当sin 1θ=，即4πθ=时取得最大值面积最大值为2，此时OB =BC .19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S .（1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()n a n b n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）有等差数列可知，1(1)n a a n d =+-⋅，由140a =，638a =可知d =2-5， 由240(1)05n a n =--≥可得，101n ≤，所以当n =100或者n =101时取得最大值，由公式可知为2020.（2）设1(1)n a d n =+-，得122(2)n a d d n n b -==⋅，可知}{n b 为等比数列，Q 对任意的*n N ∈，都有20n T ≤12lim 201212n d d b T ∴==≤--恒成立且21d < d ∴∈29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦20. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知抛物I 的准线方程为02=++y x .焦点为()1,1F .（1）求证：抛物线上任意一点P 的坐标()y x ,都满足方程：;088222=--+-y x y xy x（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线交于B A 、两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）见解析（2）关于x y =对称1,1--≥≥y x 。
2020年中考模拟上海市静安区中考数学一模试卷 含解析
2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）1．已知a x y =+，b x y =-，那么ab 的值为( ) A ．2xB ．2yC ．x y -D ．x y +2．已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为( ) A ．3:2B ．3:5C ．5:2D ．5:33．在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:4:5AD DB =，下列结论中正确的是( ) A ．45DE BC = B ．94BC DE = C ．45AE AC = D ．54EC AC = 4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为( )A ．13B ．3C ．24D ．10105．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是( )A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r rC ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r6．如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是( )A ．向右平移4个单位，向上平移11个单位B ．向左平移4个单位，向上平移11个单位C ．向左平移4个单位，向上平移5个单位D ．向右平移4个单位，向下平移5个单位 二、填空题（本大题共12题） 7．因式分解：25x x -= ．8．已知()31f x x =+，那么f （3）= ．9．方程1112x x -=+的根为 ． 10．已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- ．11．在ABC ∆中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = ． 12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 ． 13．如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 米．（结果保留根号）14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是 ． 15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 ．16．已知二次函数2228(y a x a x a a =++是常数，0)a ≠，当自变量x 分别取6-、4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y 2y （填“>”、“ <”或“=” )．17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC= ． 18．如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=︒，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 ．三、解答题（本大题共7题）19．先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =︒，cos60y =︒．20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，20AC =，3sin 4A =，CD AB ⊥，垂足为D ． （1）求BD 的长；（2）设AC a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，用a r、b r 表示AD u u u r ．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(y x bx b =++为常数）的对称轴是直线1x =． （1）求该抛物线的表达式；（2）点(8,)A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A '，求点A '的坐标； （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．x⋯ ⋯ y⋯⋯22．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30︒的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin 220.375︒≈，cos 220.927︒≈，tan 220.404︒≈，3 1.732≈．)23．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =g ． （1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF =g g ，求证：ABE ACD ∆∆∽．24．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0)a ≠的图象经过点(0,3)A -、(1,0)B 、(3,0)C ，联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan DBC ∠的值； （3）如果点E 在该二次函数图象的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标．25．已知：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =g ，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．（1）找出图中与ACD ∆相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图2，当90BAC ∠=︒，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值．参考答案一、选择题1．已知a=+b=，那么ab的值为()A．B．C．x y-D．x y+【解答】解：a=+Q，b，ab x y∴=-=-，故选：C．2．已知点P在线段AB上，且:2:3AP PB=，那么:AB PB为()A．3:2B．3:5C．5:2D．5:3【解答】解：由题意:2:3AP PB=，:():(23):35:3AB PB AP PB PB=+=+=；故选：D．3．在ABC∆中，点D、E分别在边AB、AC上，//DE BC，:4:5AD DB=，下列结论中正确的是()A．45DEBC=B．94BCDE=C．45AEAC=D．54ECAC=【解答】解：如图所示：:4:5AD DB=Q，∴49 ADAB=，//DE BCQ，ADE ABC∴∆∆∽，∴49 AE DE ADAC BC AB===，∴94 BCDE=；故选：B．4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为( ) A ．13B ．3C ．24D ．1010【解答】解：Q 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，3a b =， 1cot 3b A a ∴==． 故选：A ．5．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是( )A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r rC ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =，Q AB AO OB =+u u u r u u u r u u u r ∴DC AB a b ==-+u u u r u u u r r r ，故选：C ．6．如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是( )A ．向右平移4个单位，向上平移11个单位B ．向左平移4个单位，向上平移11个单位C ．向左平移4个单位，向上平移5个单位D ．向右平移4个单位，向下平移5个单位【解答】解：Q 抛物线2289(4)7y x x x =-+=--的顶点坐标为(4,7)-，抛物线22y x =-的顶点坐标为(0,2)-，∴顶点由(0,2)-到(4,7)-需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．故选：D ．二、填空题（本大题共12题） 7．因式分解：25x x -= (5)x x - ． 【解答】解：25(5)x x x x -=-． 故答案为：(5)x x -．8．已知()f x =，那么f （3）=【解答】解：当3x =是，f （3）==，9．方程1112x x -=+的根为 3x = ． 【解答】解：方程两边同时乘以2(1)x +，得 2(1)1x x -=+，解得3x =，经检验，3x =是原方程的根， ∴原方程的解为3x =，故答案为3x =． 10．已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -- 4． 【解答】解：Q 34x y =，且4y ≠， ∴3344x y -=-． 故答案为：3411．在ABC ∆中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = 4 ． 【解答】解：AD Q 、BE 为ABC ∆的中线，且AD 与BE 相交于点G ， G ∴点是三角形ABC 的重心，226433AG AD ∴==⨯=， 故答案为4．12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 16:25 ． 【解答】解：两个相似三角形面积的比是2(4:5)16:25=． 故答案为：16:2513．如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 153 米．（结果保留根号）【解答】解：由题意得，90BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，15AC =， tan 315AB ABACB AC ∴∠=== 3153AB ∴==，答：大楼AB 的高度为153米．14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是2200400200y x x =++ ．【解答】解：根据题意，得2200(1)y x =+2200400200x x =++．故答案为2200400200y x x =++．15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 240 ． 【解答】解：如图所示：Q 四边形ABCD 是矩形， 90BAD ∴∠=︒，26AC BD ==，5tan 13CD DAC AC ∠==Q ， 10CD ∴=，2222261024AD AC CD ∴=-=-=，∴矩形的面积2420240AD CD =⨯=⨯=，故答案为：240．16．已知二次函数2228(y a x a x a a =++是常数，0)a ≠，当自变量x 分别取6-、4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y > 2y （填“>”、“ <”或“=” )．【解答】解：222222228(8)(4)16y a x a x a a x x a a x a a =++=++=++-， ∴对称轴4x =-，x Q 分别取6-、4-时，在对称轴左侧，y ∴随x 的增大而减小，12y y ∴>，故答案为>．17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DF FC3． 【解答】解：连接BD 交EF 于G ，如图所示： EF Q 是梯形ABCD 的“比例中线”， 24936EF AD BC ∴=⨯=⨯=， 6EF ∴=， ////EF AD BC Q ，BEG BAD ∴∆∆∽，DFG DCB ∆∆∽， ∴EG BG AD BD =，DF GF DGDC BC BD==， ∴1EG GF BG DG BD AD BC BD BD BD +=+==，即6149EG EG-+=， 解得：125EG =， 1865GF EG ∴=-=， ∴182595DF DC ==， ∴23DF FC =； 故答案为：23．18．如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=︒，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 17．【解答】解：如图，连接BD ．设2BC a =．Q 四边形ABC 都是菱形，2AB BC CD AD a ∴====，60A C ∠=∠=︒， BDC ∴∆是等边三角形，DE EC a ==Q ， BE CD ∴⊥，BE ∴==，//AB CD Q ，BE CD ⊥，BE AB ∴⊥， 90EBF ∴∠=︒，设AF EF x ==，在Rt EFB ∆中，则有222(2))x a x =-+， 74a x ∴=， 74a AF EF ∴==，4a BF AB AF =-=， 14cos 774a BF EFB a EF ∴∠===，故答案为17． 三、解答题19．先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =︒，cos60y =︒． 【解答】解：原式22()()(2)22(2)2()()x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y-+--++=÷==++++-+g ，当sin 45x =︒=1cos602y =︒=时，原式== 20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，20AC =，3sin 4A =，CD AB ⊥，垂足为D ． （1）求BD 的长；（2）设AC a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，用a r、b r 表示AD u u u r ．【解答】解：（1）CD AB ⊥Q ，90ADC BDC ∴∠=∠=︒， 在Rt ACD ∆中，sin CDA AC =， 3sin 20125CD AC A ∴==⨯=g ， 2222201216AD AC CD ∴=-=-=，3tan 4CD A AD ∴==， 90ACB ∠=︒Q ，90DCB B A B ∴∠+∠=∠+∠=︒， DCB A ∴∠=∠．3tan tan 1294BD CD DCB CD A ∴=∠==⨯=g g ． （2）16925AB AD DB =+=+=Q ， ∴1625AD AB =， 又Q AB AC CB a b =+=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴161616252525AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(y x bx b =++为常数）的对称轴是直线1x =． （1）求该抛物线的表达式；（2）点(8,)A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A '，求点A '的坐标； （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．x⋯ 1- ⋯ y⋯⋯【解答】解：（1）Q 对称轴为2bx =-，12b∴-=， 2b ∴=-，∴抛物线的表达式为221y x x =-+；（2）Q 点(8,)A m 在该抛物线的图象上， ∴当8x =时，2221828149y x x =-+=-⨯+=． ∴点(8,49)A ，∴点(8,49)A 关于对称轴对称的点A '的坐标为(6,49)-；（3）列表：x⋯ 1- 0 1 2 3 ⋯ y⋯4114⋯描点、连线，画出图象如图：22．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30︒的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin 220.375︒≈，cos 220.927︒≈，tan 220.404︒≈，3 1.732≈．)【解答】解：（1）过点M 作MD AC ⊥交AC 的延长线于D ，设DM x =， Q 在Rt CDM ∆中，tan tan 22CD DM CMD x =∠=︒g g ，又Q 在Rt ADM ∆中，45MAC ∠=︒， AD DM ∴=，100tan 22AD AC CD x =+=+︒Q g ， 100tan 22x x ∴+︒=g ，100100167.791tan 2210.404x ∴=≈≈-︒-，答：轮船M 到海岸线l 的距离约为167.79米． （2）作30DMF ∠=︒，交l 于点F ．在Rt DMF ∆中，tan tan 30DF DM FMD DM =∠=︒g g 33167.7996.8733DM =≈⨯≈米， 167.7996.87264.66300AF AC CD DF DM DF ∴=++=+≈+=<，所以该轮船能行至码头靠岸．23．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =g ． （1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF =g g ，求证：ABE ACD ∆∆∽．【解答】（1）证明：2OD OE OB =Q g ， ∴OE ODOD OB=， //AD BC Q ， AOD COB ∴∆∆∽， ∴OA ODOC OB =∴OA OEOC OD=//AF CD ∴，∴四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：//AF CD Q ，AED BDC ∴∠=∠，BEF BDC ∆∆∽，∴BE BF BD BC=，BC BD=Q，BE BF∴=，BDC BCD∠=∠，AED BCD∴∠=∠．180AEB AED∠=︒-∠Q，180ADC BCD∠=︒-∠，AEB ADC∴∠=∠．AE AF AD BF=Q g g，∴AE ADBF AF=，Q四边形AFCD是平行四边形，AF CD∴=，∴AE ADBE DC=，ABE ADC∴∆∆∽．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0)a≠的图象经过点(0,3)A-、(1,0)B、(3,0)C，联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan DBC∠的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分BAE∠时，求点E的坐标．【解答】解：（1）将(0,3)A-、(1,0)B、(3,0)C代入2y ax bx c=++，得，3930ca b ca b c=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是243y x x =-+-；（2）过点D 作DH BC ⊥于H ，在ABC ∆中，设AC 边上的高为h ，则132122ABD BCDAD hS AD S DC DC h ∆∆===g g ，又//DH y Q 轴， CHD COA ∴∆∆∽， ∴25CH DC DH OC AC OA ===， 26355CH DH ∴==⨯=， 64255BH BC CH ∴=-=-=， 3tan 2DH DBC BH ∴∠==；（3）2243(2)1y x x x =-+-=--+Q ，∴对称轴为直线2x =，设直线2x =与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线2x =，垂足为F ，3OA OC ==Q ， 90AOC ∠=︒，45OAC OCA ∴∠=∠=︒， //AF x Q 轴，45FAC OCA ∴∠=∠=︒， AC Q 平分BAE ∠， BAC EAC ∴∠=∠，BAO OAC BAC ∠=∠-∠Q ，EAF FAC EAC ∠=∠-∠， BAO EAF ∴∠=∠，90AOB AFE ∠=∠=︒Q ， OAB FEA ∴∆∆∽， ∴13OB EF OA AF ==， 2AF =Q ， 23EF ∴=， 27333EG GF EF AO EF ∴=-=-=-=， 7(2,)3E ∴-．25．已知：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =g ，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．（1）找出图中与ACD ∆相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图2，当90BAC ∠=︒，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值．【解答】解：（1）与ACD ∆相似的三角形有：ABE ∆、ADC ∆，理由如下： 2AB BE DC =Q g ， ∴BE ABAB DC=， AB AC =Q ， B C ∴∠=∠，BE ACAB DC=， ABE DCA ∴∆∆∽． ABE DCA ∆∆Q ∽， AED DAC ∴∠=∠．AED C EAC ∠=∠+∠Q ，DAC DAE EAC ∠=∠+∠， DAE C ∴∠=∠． ADE CDA ∴∆∆∽；（2）ADE CDA ∆∆Q ∽， 又DF Q 平分ADC ∠， ∴DG DE ADDF AD CD==， 设CE a =，则33DE CE a ==，4CD a =， ∴34a ADAD a=， 解得：23AD a =， ∴233DF AD a DG CD ===（3）90BAC ∠=︒Q ，AB AC =， 45B C ∴∠=∠=︒， 45DAE C ∴∠=∠=︒DG AE ⊥Q ，45DAG ADF∴∠=∠=︒，AG DG∴====，EG∴===，AE AG EG a∴=+=+，AED DAC∠=∠Q，ADE DFA∴∆∆∽，∴AD AEDF AD=，2ADDF a AE∴===，∴DGDF==．。
《试卷3份集锦》上海市静安区2020高考数学考试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=2．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >3．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．324．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.366．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±8．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M N =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<9．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．2210．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．111．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直12．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020年上海市高考数学试卷+参考答案+详情解析
2020年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝．2．（4分）计算：＝．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．（4分）已知行列式＝6，则＝．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C 于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD 16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4} ．【分析】由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4}．故答案为：{2，4}．【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．2．（4分）计算：＝．【分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝x，x∈R．【分析】由已知求解x，然后把x与y互换即可求得原函数的反函数．【解答】解：由y＝f（x）＝x3，得x＝，把x与y互换，可得f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x）＝．故答案为：．【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）已知行列式＝6，则＝ 2 ．【分析】直接利用行列式的运算法则求解即可．【解答】解：行列式＝6，可得3＝6，解得＝2．故答案为：2．【点评】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝36 ．【分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得a+b＝13，＝3，解得a，b，再算出答案即可．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a+b＝4×4﹣1﹣2＝13，因为中位数是3，所以＝3，解得a＝4，代入上式得b＝13﹣4＝9，所以ab＝36，故答案为：36．【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．【分析】根据等差数列的通项公式可由a1+a10＝a9，得a1＝﹣d，在利用等差数列前n 项和公式化简即可得出结论．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满足a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d，所以＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析a1与d的关系，属于基础题．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有180 种安排情况．【分析】根据题意，由组合公式得共有排法，计算即可得出答案．【解答】解：根据题意，可得排法共有＝180种．故答案为：180．【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是x+y﹣1＝0 ．【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：椭圆C：+＝1的右焦点为F（1，0），直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1，进而结合条件（2）可得a的范围【解答】解：根据条件（1）可得x0＝0或1，又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是 6 ．【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【分析】利用（a+b）2≥0恒成立，可直接得到a2+b2≥﹣2ab成立，通过举反例可排除ACD．【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．【分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解答】解：的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y+1＝0，正确；的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y﹣7＝0，不正确；故选：B．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD【分析】由图可知点P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，由平面与平面平行的判定可得平面EFG ∥平面A1DC，连接AC，交FG于M，连接EM，再由平面与平面平行的性质得EM∥A1C，在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，可得PN∥A1C，由此说明过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．【解答】解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，∴EM∥A1C．在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，则PN∥A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．∴过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件【分析】对于命题q1：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合f（x）单调递增，推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f （a），命题q2都是p的充分条件．【解答】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，当a＞0时，此时x+a＞x，又因为f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）又因为f（x）＞0恒成立时，所以f（x）＜f（x）+f（a），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，又因为f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．【分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；（2）先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S＝2×π×12+2π×1＝4π．故该圆柱的表面积为4π．（2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1＝，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB＝A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA＝＝，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos．【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，所以f（x）＝sin．令sin，故或，整理得或．故解集为{x|或，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sin x．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．由于x∈[0，]，所以．，故，故．所以函数g（x）的值域为[﹣．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．【分析】（1）易知v越大，x越小，所以v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，于是只需令，解不等式即可；（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）的解析式中，求出k的值，利用q＝vx可得到q 关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可．【解答】解：（1）∵v＝，∴v越大，x越小，∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，当40≤x≤80时，v最大为85，于是只需令，解得x＞3，故道路密度x的取值范围为（3，40）．（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，得50＝﹣k•40+85，解得k＝．∴q＝vx＝，当0＜x＜40时，q单调递增，q＜100×40﹣135×≈4000；当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x＝，此时q有最大值，为＞4000．故车辆密度q的最大值为．【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．【分析】（1）联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及x A＝，解方程可得b；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线l：y＝﹣x+，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得•，进而得到所求范围．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．【分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可；（2）假设公比q的等比数列满足性质p，可得：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，推出（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，通过q≥1，0＜q≤1时，﹣1≤q＜0时：q＜﹣1时，四种情况讨论求解即可．（3）设a1＝p，分p＝1时，当p＝m时，当p＝2时，当p＝m﹣1时，以及P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．【解答】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2﹣3|＝1，|5﹣3|＝2，|1﹣3|＝2，满足题意，该数列满足性质P；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3﹣4|＝1，|2﹣4|＝2，|5﹣4|＝1．不满足题意，该数列不满足性质P．（2）由题意：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，可得：|q n﹣1|≥|q n﹣1﹣1|，n∈{2，3，…，9}，两边平方可得：q2n﹣2q n+1≥q2n﹣2﹣2q n﹣1+1，整理可得：（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，当q≥1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≥0此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以，（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2，或q≥1，所以取q≥1，当0＜q≤1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q （q+1）﹣2≤0，所以（q+2）（q﹣1）≤0，所以﹣2≤q≤1，所以取0＜q≤1．当﹣1≤q＜0时：q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，不恒成立；故当﹣1≤q＜0时，矛盾，舍去．当q＜﹣1时，得q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，恒成立；故等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2或q≥1，所以取q≤﹣2，综上q∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．（3）设a1＝p，p∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，因为a1＝p，a2可以取p﹣1，或p+1，a3可以取p﹣2，或p+2，如果a2或a3取了p﹣3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；②a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；③a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；④a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；对于①，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p＝1时，有数列{a n}：1，2，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m时，有数列{a n}：m，m﹣，…，3，2，1满足题意．当p＝2时，有数列{a n}：2，1，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m﹣1时，有数列{a n}：m﹣1，m，m﹣2，m﹣3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【点评】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
【解析】根据向量减法的运算规律，ai bj {1,2}可转化为以向量a1 和 a2 终点为圆心，作半径r1 1 和 r2 2
的圆，两圆交点即为满足题意的b ，由图知， k 的最大值为 6。
1 /6
二、 13.【答案】B 14.【答案】D 15.【答案】D 【解析】 延长 BC 至 M 点，使得CM 2 延长C1C 至 N 点，使得CN 3 ，
2
b4 a b2
，
所以有4＜ b4 ，解得b2＞2 2 5 ，或 b2＜2 2 5 （舍） 4 b2
又因为OM ON由 ON 在 OM 上的投影可知： OM ON b2 4
所 以 OM ON b2 4＞6 2 5
OM ON 6 2 5,
21.【答案】（1）对于第一个数列有 2 3 1， 5 3 2 ， 1 3 2 ， 满足题意，该数列满足性质 p
以 C 、 M 、 N 为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为 H ， 连接 A1P 、 PH 、 HC ，则易得四边形 A1PHC 为平行四边形，
因为点 P 在平面 ADD1A1内，点 H 在平面 BCC1B1 内，
且点 P 在平面 ABCD 的上方，点 H 在平面 ABCD 下方， 所以线段 PH 必定会在和平面 ABCD 相交， 即点Q 在平面 ABCD 内。 16.【答案】C 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质 P 的条件是，存在a R 且 a 0 ，
上海市静安区2020届高三上学期第一次模拟考试(期末)数学试题 PDF版含解析
静安区2019学年第一学期教学质量检测高三数学试卷 2019.12一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.计算lim(10.9)nn →∞-=_____.【答案】1【解析】lim(10.9)nn →∞-=12.双曲线在单位圆中，60o 的圆心角所对的弧长为_____.【答案】3π【解析】23l r π==3.若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32o 和152o 则1l 与2l 的夹角为_____. 【答案】60o【解析】1801523260-+=o o o o4.若直线l 的一个法向量为(2,1)n =r，则若直线l 的斜率k =_____.【答案】2-【解析】(2,1)n =r ，则单位向量(1,2)d =-u r，221k ==- 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_____个.【答案】128 【解析】712128⨯=6.设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =, 现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.【答案】23π【解析】22112333r πππ==7.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,,则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r8.三倍角的正切公式为tan3α=_____. 【答案】【解析】322tan tan tan 313tan αααα-=-.9. 设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________. 【答案】2880【解析】4种类型的矩阵6642880P =10. 现将函数sec ,(0,)y x x π=∈的反函数定义为正反割函数，记为：sec y arc x =. 则sec(4)arc -=________.（请保留两位小数）【答案】1.82【解析】cos y 1=∂，(0,)x π∈，故可知4cos t 1=-，arccos( 1.824t 1∴=-≈）. 11. 设双曲线222x y a a -=1+1的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________.【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 2c =.12. 设0,,0,0a a M N >≠1>>，我们可以证明对数的运算性质如下：log log log log a a a a M N M N a a a MN +==Q ，① log log log a a a MN M N ∴=+.我们将①式称为证明的“关键步骤”.则证明log log ra a M r M =（其中0,M r R >∈）的“关键步骤”为________.【答案】log log ra a M r M =【解析】,log log ()a a M r M rr aa M ==Q ,log log r a a M r M ∴=.二、选择题13. “三个实数,,a b c 成等差数列”是“2b a c =+”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数,,a b c 成等差数列”，所以2b a c =+.14. 设,x y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)p x y 一定满足 （ ） A .y x = B .y x 1=C .y x =-D .y x1=- 【答案】B【解析】2221()()()()()()x x i y i xy x y i xy x y i y i y i y i y y y +++-1++-1+===+--++1+1+1，并且1x y i+-为纯虚数，则0xy -1=，1y x=. 15.若展开()(2)(3)(4)(5)a a a a a +1++++，则展开式中3a 的系数等于 ( )A .在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和； B .在23451，，，，中所有任取三个不同的数的乘积之和； C .在23451，，，，中所有任取四个不同的数的乘积之和；D .以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中3a 的系数等于在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和.16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21o方向，且塔顶的仰角为81o，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39o方向，则该塔的高度约为 （ ）A .265米B .279米C .292米D .306米【答案】C【解析】000sin5sin 60cos69tan87292.72811≈o o o o 米. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在正六棱锥P ABCDEF -中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60︒. （）求该六棱锥的体积V ；（）求证：PA CE ⊥【答案】（）12；（）见解析.【解析】（）连接BE 、AD ，设交点为O ，连接PO ,P ABCDEF -Q 为正六棱锥 ABCDEF ∴为正六边形侧棱与底面所成角即PBO ∠23PO ∴=1163231233V S h ∴=⋅⋅=⋅⋅=,,,（2）PO ⊥Q 面ABCDEF ，CE ⊂面ABCDEF PO CE ∴⊥ Q 底面为正六边形 AO CE ∴⊥ Q AO PO O ⋂= CE ∴⊥面PAO12121Q PA⊂面PAOCE PA∴⊥18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.（）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,图1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,图2【答案】（1）1（2）2【解析】（1）设(01)OA x x=<<，1OD=QAD∴=2S x∴=221122x xx⎛⎫+-=⎪⎝⎭Q12当且仅当x =，即x =时等号成立 1212S ∴=⋅= （3）椭圆方程为221(01)4x y y +=≤≤设()(2cos ,sin )0,C θθθπ∈22cos sin 2sin2S θθθ∴=⋅⋅=当且仅当sin 1θ=，即4πθ=时取得最大值面积最大值为2，此时OB BC .19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S .（1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()n a n b n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）有等差数列可知，1(1)n a a n d =+-⋅，由140a =，638a =可知d =2-5，由240(1)05n a n =--≥可得，101n ≤，所以当n =100或者n =101时取得最大值，由公式可知为2020.（2）设1(1)n a d n =+-，得122(2)n a d d n n b -==⋅，可知}{n b 为等比数列，Q 对任意的*n N ∈，都有20n T ≤12lim 201212n d db T ∴==≤--恒成立且21d < d ∴∈29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦20. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知抛物I 的准线方程为02=++y x .焦点为()1,1F .（1）求证：抛物线上任意一点P 的坐标()y x ,都满足方程：;088222=--+-y x y xy x（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线交于B A 、两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）见解析（2）关于x y =对称1,1--≥≥y x 。
2020年上海市静安区中考数学一模试卷(附答案)
2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 已知a =√x +√y ，b =√x −√y ，那么ab 的值为（ ） A.2√x B.2√y C.x −y D.x +y2. 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB ＝2:3，那么AB:PB 为（ ） A.3:2 B.3:5 C.5:2 D.5:33. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE // BC ，AD:DB ＝4:5，下列结论中正确的是（ ） A.DE BC=45B.BCDE=94C.AE AC=45D.EC AC=544. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a ＝3b ，那么∠A 的余切值为（ ） A.13 B.3C.√24D.√10105. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA →=a →，OB →=b →，下列式子中正确的是（ ）A.DC →=a →+b →B.DC →=a →−b →C.DC →=−a →+b →D.DC →=−a →−b →6. 如果将抛物线y ＝x 2−2平移，使平移后的抛物线与抛物线y ＝x 2−8x +9重合，那么它平移的过程可以是（ ）A.向右平移4个单位，向上平移11个单位B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）因式分解：x 2−5x ＝________．已知f(x)=√3x +1，那么f(3)＝________．方程x−1x+1=12的根为________．已知：xy =34，且y ≠4，那么x−3y−4=________．在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD ＝6，那么AG ＝________．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________．如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为________米．（结果保留根号）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x >0)，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是________．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为________．已知二次函数y ＝a 2x 2+8a 2x +a(a 是常数，a ≠0)，当自变量x 分别取−6、−4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1 > y 2（填“>”、“<”或“＝”）．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD ＝4，BC ＝9，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC =________．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60∘，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）先化简，再求值：x−y x+2y÷x 2−y 2x 2+4xy+4y 2，其中x ＝sin 45∘，y ＝cos 60∘．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，AC ＝20，sin A=34，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求BD 的长；（2）设AC →=a →，BC →=b →，用a →、b →表示AD →．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +1（b 为常数）的对称轴是直线x ＝1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A(8, m)在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A ′，求点A ′的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45∘方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22∘方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30∘的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由． （参考数据：sin 22∘≈0.375，cos 22∘≈0.927，tan 22∘≈0.404，√3≈1.732．）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2＝OB ⋅OE ．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE⋅AF＝AD⋅BF，求证：△ABE∽△ACD．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)，联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD:S△BCD＝3:2，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE⋅DC，DE:EC＝3:1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90∘，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．参考答案与试题解析2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.【答案】 C【考点】二次根式的化简求值 【解析】将a 、b 直接代入ab ，利用平方差公式求值即可． 2.【答案】 D【考点】 比例线段 【解析】根据比例的合比性质直接求解即可． 3.【答案】 B【考点】相似三角形的性质与判定 【解析】由平行线证出△ADE ∽△ABC ，得出AE AC=DE BC=AD AB=49，即可得出答案．4.【答案】 A【考点】锐角三角函数的定义 【解析】根据余切函数的定义即可求解． 5.【答案】 C【考点】 *平面向量平行四边形的性质 【解析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB →即可解决问题．6.【答案】 D【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【答案】 x(x −5) 【考点】因式分解-提公因式法 因式分解【解析】根据提公因式法，可分解因式． 【答案】 √10【考点】 函数值 【解析】将x ＝3代入f(x)=√3x +1计算即可． 【答案】 x ＝3 【考点】 解分式方程 【解析】根据分式方程的解法，方程两边同时乘以2(x +1)，将分式方程化为整式方程求解即可． 【答案】34【考点】 比例的性质 【解析】根据分比性质可得答案． 【答案】 4【考点】 三角形的重心 三角形中位线定理 相似三角形的性质与判定【解析】由三角形的重心的概念和性质求解． 【答案】 16:25【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【答案】15√3【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】解直角三角形即可得到结论．【答案】y＝200x2+400x+200【考点】二次函数的应用【解析】根据增长率问题公式列出函数解析式即可．【答案】240【考点】矩形的性质解直角三角形【解析】由矩形的性质和三角函数求出CD，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【答案】>【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解析】求出二次函数的对称轴x＝−4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即可求解．【答案】23【考点】梯形相似三角形的性质与判定【解析】连接BD交EF于G，由EF是梯形ABCD的“比例中线”，得出EF2＝AD×BC＝36，EF＝6，由平行线证出△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EGAD =BGBD，DFDC=GFBC=DGBD，求出EGAD+GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1，即EG4+6−EG 9=1，解得EG=125，得出GF＝6−EG=185，即可得出答案．【答案】17【考点】等边三角形的性质与判定翻折变换（折叠问题）解直角三角形菱形的性质【解析】如图，连接BD．设BC＝2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【答案】原式=x−yx+2y÷(x+y)(x−y)(x+2y)2=x−yx+2y⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)=x+2yx+y，当x＝sin45∘=√22，y＝cos60∘=12时，原式=√22+2×12√22+12=√2．【考点】特殊角的三角函数值分式的化简求值【解析】现将原式化简为x+2yx+y，再将x＝sin45∘=√22，y＝cos60∘=12代入计算即可．【答案】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90∘，在Rt△ACD中，sin A=CDAC，∴CD＝AC⋅sin A＝20×35=12，∴AD=√AC2−CD2=√202−122=16，∴tan A=CDAD=34，∵∠ACB＝90∘，∴∠DCB+∠B＝∠A+∠B＝90∘，∴∠DCB＝∠A．∴BD＝CD⋅tan∠DCB＝CD⋅tan A＝12×34=9．∵AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴ADAB=1625，又∵AB→=AC→+CB→=a→−b→，∴AD→=1625AB→=1625a→−1625b→．【考点】*平面向量 解直角三角形【解析】（1）解直角三角形求出CD ，AD ，再在Rt △CDB 中求出BD 即可． （2）利用三角形法则求解即可． 【答案】∵ 对称轴为x =−b2， ∴ −b2=1，∴ b ＝−2，∴ 抛物线的表达式为y ＝x 2−2x +1； ∵ 点A(8, m)在该抛物线的图象上，∴ 当x ＝8时，y ＝x 2−2x +1＝82−2×8+1＝49． ∴ 点A(8, 49)，∴ 点A(8, 49)关于对称轴对称的点A ′的坐标为(−6, 49)； −1,0,1,2,3,4,1,0,1,4 【考点】二次函数的性质二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）根据对称轴公式求得b 的值，即可求得抛物线的解析式；（2）把点A(8, m)代入解析式求得m 的值，然后根据轴对称的性质即可求得A′的坐标； （3）列表、连线，画出函数的图象即可． 【答案】过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM ＝x ， ∵ 在Rt △CDM 中，CD ＝DM ⋅tan ∠CMD ＝x ⋅tan 22∘， 又∵ 在Rt △ADM 中，∠MAC ＝45∘， ∴ AD ＝DM ，∵ AD ＝AC +CD ＝100+x ⋅tan 22∘， ∴ 100+x ⋅tan 22∘＝x ，∴ x =1001−tan 22≈1001−0.404≈167.79， 答：轮船M 到海岸线l 的距离约为167.79米． 作∠DMF ＝30∘，交l 于点F ．在Rt △DMF 中，DF ＝DM ⋅tan ∠FMD ＝DM ⋅tan 30∘=√33DM ≈√33×167.79≈96.87米，∴ AF ＝AC +CD +DF ＝DM +DF ≈167.79+96.87＝264.66<300， 所以该轮船能行至码头靠岸．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【解析】（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM ＝x ，解直角三角形即可得到结论； （2）作∠DMF ＝30∘，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论． 【答案】证明：∵ OD 2 ＝OE ⋅OB ， ∴ OEOD =ODOB ， ∵ AD // BC ，∴ △AOD ∽△COB ， ∴OA OC =OD OB∴ OAOC =OEOD∴ AF // CD ，∴ 四边形AFCD 是平行四边形； 证明：∵ AF // CD ，∴ ∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ， ∴ BEBD =BFBC ，∵ BC ＝BD ，∴ BE ＝BF ，∠BDC ＝∠BCD ， ∴ ∠AED ＝∠BCD ．∵ ∠AEB ＝180∘−∠AED ，∠ADC ＝180∘−∠BCD ， ∴ ∠AEB ＝∠ADC ． ∵ AE ⋅AF ＝AD ⋅BF ， ∴ AEBF =ADAF ，∵ 四边形AFCD 是平行四边形， ∴ AF ＝CD ， ∴ AEBE =ADDC ， ∴ △ABE ∽△ADC ．【考点】 梯形相似三角形的判定 平行四边形的性质与判定 【解析】 （1）由已知得出OE OD=OD OB，由平行线得出△AOD ∽△COB ，得出OA OC=OD OB，证出OA OC=OE OD，得出AF // CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，得出BEBD =BFBC ，证出∠AEB ＝∠ADC ．由已知得出AEBF =AD AF，由平行四边形的性质得出AF ＝CD ，得出AE BE=AD DC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【答案】将A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)代入y ＝ax 2+bx +c ， 得，{c =−3a +b +c =09a +3b +c =0 ，解得，{a =−1b =4c =−3，∴ 此抛物线的表达式是y ＝−x 2+4x −3； 过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，则S △ABDS △BCD=12AD⋅ℎ12DC⋅ℎ=AD DC =32，又∵ DH // y 轴， ∴ △CHD ∽△COA ， ∴CH OC=DC AC=DH OA =25，∴ CH ＝DH =25×3=65， ∴ BH ＝BC −CH ＝2−65=45， ∴ tan ∠DBC =DH BH=32；∵ y ＝−x 2+4x −3＝−(x −2)2+1，∴ 对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ， ∵ OA ＝OC ＝3， ∠AOC ＝90∘，∴ ∠OAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AF // x 轴，∴ ∠FAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AC 平分∠BAE ， ∴ ∠BAC ＝∠EAC ，∵ ∠BAO ＝∠OAC −∠BAC ，∠EAF ＝∠FAC −∠EAC ，∴ ∠BAO ＝∠EAF ，∵ ∠AOB ＝∠AFE ＝90∘， ∴ △OAB ∽△FEA ， ∴ OBOA =EFAF =13， ∵ AF ＝2，∴ EF =23，∴ EG ＝GF −EF ＝AO −EF ＝3−23=73， ∴ E(2, −73)．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）将A 、B 、C 的坐标直接代入y ＝ax 2+bx +c 即可；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，求出AD 与DC 的比，证△CHD ∽△COA ，可求出CH ，DH ，BH 的长，可根据正切定义求出结果；（3）求出抛物线对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ，证∠OAC ＝∠OCA ＝45∘，∠FAC ＝∠OCA ＝45∘，推出∠BAO ＝∠EAF ，证△OAB ∽△FEA ，即可求出AF 的长，EF 的长，EG 的长，即可写出点E 的坐标．【答案】与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2＝BE⋅DC，∴BEAB =ABDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴3aAD =AD4a，解得：AD＝2√3a，∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45∘，∴∠DAE＝∠C＝45∘∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45∘，∴AG＝DG=√22AD=√22×2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√(3a)2−(√6a)2=√3a，∴AE＝AG+EG＝(√6+√3)a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE =√3a)2(√6+√3)a=4(√6−√3)a，∴DGDF =√6a4(√6−√3)a=2+√24．【考点】相似三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【解析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．。
2020上海静安区高三一模数学理试题及答案
2020上海静安区高三一模数学理试题及答案 静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（理）试卷（试卷满分150分考试时间120分钟）2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合，，则.答案：考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。2．设，则.答案：考点：二项式定理解法：将代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。3．不等式的解集是.答案：考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。4．如图，在四棱锥中，已知底面，，底面是正方形，与底面所成角的大小为，则该四棱锥的体积是.答案：考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。5．已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和.答案：考点：数列分组求和，等比数列求和。备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。6．已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，,若=0，则=.答案：2考点：向量的数量积：解法：由于与、、的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个。7．已知，(其中，则.答案：考点：绝对值方程的解法。解法：先解出方程，之后再解备考建议：带领学生回忆遇到绝对值的几种处理方法：分段讨论、数形结合、绝对值不等式解法。同时，不要忘记圈划题目中特殊的范围信息“(其中”8．已知△的顶点、、，则△的内角的大小是.（结果用反三角函数值表示）答案：考点：向量数量积求夹角。备考建议：回忆向量数量积求夹角公式，以及斜率求夹角公式，并分析它们的缺陷及适用情形。9．若、是一元二次方程的两根，则=.答案：考点：韦达定理的应用注意：方程判别式小于0，但不影响这道题的解答，韦达定理对一元二次方程均适用。10．已知、是方程的两根，、，则=.答案：考点：韦达定理，两角和与差的正切公式，任意角的三角比。注意：由两根的和与积可以判断出、都是负角11．直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是.答案：或考点：点到直线距离公式。备考建议：此类题型若只解出一条直线时，注意判断斜率不存在的情况。12．已知实数、满足，则的取值范围是.答案：考点：利用函数性质作图，数形结合。备考建议：画带有绝对值的函数的图像，注意利用绝对值得对称性，如本题只要画出函数在第一象限的图像，然后利用绝对值的对称性，即可得到函数其他象限的图像。同时，也可以数形结合，理解成斜率去求范围。13．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是.答案：。考点：无穷等比数列各项和。备考建议：带领学生回忆一下，无穷等比数列需要满足各条件是，其公比分别需要满足的不同范围，以及强调在某些等比数列极限题型中，不要忘记排除的情况。14．两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）答案：7或者14考点：排列组合解法：通过所有人的总分和为联系来列等式。设高二年级学生共有人，高二年级每人获得分（）于是所有人的总分和为：由于共有场比赛，所以所有人的总分和也可表示为故，得（），故备考建议：此类较新颖的题型，建议学生要仔细审题，抓住题中的关键点作为突破口入手。二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是()A．；B．；C．；D．答案：D考点：幂函数的图像及其性质备考建议：带领学生回忆考纲中涉及到的几类幂函数的性质及其图像。16．已知直线与直线，记.是两条直线与直线平行的()A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件答案：B考点：行列式判断两直线位置关系备考建议：带领学生回忆，判断直线位置关系的先后步骤，并指出二元一次方程组的解与直线位置关系之间的联系。17．已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是()A．B．C．D．答案：D考点：复平面，复数的运算备考建议：学生要理解复数与复平面坐标之间的互相联系与转化。18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为()A．1个；B．4个；C．7个；D．8个答案：C考点：立体几何，排列组合解法：分两种情形进行讨论1.一个点在平面的一侧，而另外三个点在平面的另一侧，故有种情况。2.两个点在平面的一侧，而另外两个点在平面的另一侧，故有种情况。（注意此处为平均分组问题，故要除以2，以以防重复。）备考建议：遇到此类，直接思考会比较复杂的题型，建议利用分类的思想，简化情况，可能会取得比较好的效果。三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足.（1）求B的大小；（2）若，的面积，求的值.
上海市静安区达标名校2020年高考二月数学模拟试卷含解析
上海市静安区达标名校2020年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④2．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．603．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)(3,)e +∞B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或25．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．3海里C ．2D ．36．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞7．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．3510．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦12．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。