第二章 衍射 B 菲涅尔圆孔 圆屏衍射

s
O
Bk
R
k
B0
Rh
rk
l
h
r0
P
6
R h2 1 1 k ( ) r0 R
• 如果用平行光照射，与波带数对应的圆孔半径为:
r0 R k R r0
2 k
k kr0
自由空间传播的球面波 a n 0 球面波自由传播（无光阑）时,整个波面上各次波源在 P 点产生的合振动振幅等于第一半波带在该点产生振 幅之半,强度为1/4 a1
泊松亮点（Poisson Spot）
小圆屏的作用：使点光源成实象——相当于凸透镜。
三、波带片
从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带 中，奇数序（1、3、5…….） （或偶数序）半波带 所发出的次波在P点是同相位的，而奇数序和偶数序 半波带所发出的次波在P点是反相的（相差π 的奇数 倍）。 若做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数 的半波带或序数为偶数的半波带透光，则P点的 振幅为同相位各次波叠加，因此叠加后将会振幅 很大。
二、圆屏衍射
我们讨论一下点光源发出的光通过圆屏边缘时的衍
射现象。O为点光源，光路上有一不透明的圆屏， 现在先讨论P点的振幅。设圆屏遮蔽了开始的k个带。 于是从第k+1个带开始，所有其余的带发的次波都 能到达P点。把所有这些带的次波叠加起来，可得P 点的合振幅为：
a k 1 A 2


即不论圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的 中心永远有光。不过圆屏的面积越小时，被遮蔽 的带的数目就越小，因而 a k 1 就越大，到达P点 的光就越强。改变圆屏和光源之间或圆屏和P之 间的距离时，k也将因之改变，因而也将影响P点 的光强。 如果圆屏足够小，只遮住中心带的一小部分，则 光看起来可完全绕过它，除了圆屏影子中心有亮 点外没有其它影子。这个初看起来似乎是荒谬的 结论，是泊松于1818年在巴黎科学院研究菲涅耳 的论文时把它当作菲涅耳论点谬误的证据提出来 的。但阿喇果做了相应的实验，证实了菲涅耳的 理论的正确性。
r0 kr0 r0 rR kr0 (1 )k 0 ( R r0 ) ( R r0 ) R r0
2 ( R r0 ) 2 1 1 k ( ) r0 R r0 R
r ( r0 h ) r r 2 r0 h h
2 k 2 k 2 2 k 2 0
2
rk2 r02 2 r0 h
（1）
R h2 1 1 k ( ) r0 R
由上式可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的 半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长， 还有点光源到衍射屏距离R都有关。 当Rh、R、一定时， 改变r0，即改变光屏的位 置，我们可以看到，光 屏的中心点会有时明时 暗的变化。
由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是 暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目。
3
k2 rk2 ( r0 h ) 2 rk2 r02 2 r0 h h 2
rk2 r02 2 r0 h
（1）
k rk2 r02 r0 (k ) r02 k r0 ( )2 k r0 2 2
13
成像特点 1. 光强大：如某波带片露前5个奇数半波带（1,3,5,7,9). P点合振幅 A A1 A3 A5 A7 A9 5 A1 不放任何光阑（孔开得无穷大） A A1
2
——振幅差10倍，光强差100倍。
14
2 有焦距： 焦距——发光点在无穷远处的像点
若视o为物点，p为像点，从成像角度看：
12
如图，若只允许序数为奇数的 半波带透光，则P点的合振幅为:
AP a1 a3 a5 a2k 1
a2k 1
k
如图，若只允许序数为偶数的半波 带透光，则P点的合振幅为 :
AP a 2 a 4 a6 a 2k

akຫໍສະໝຸດ 2k此时P点为光强很强的亮点。把 这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。
R f ' r0 k
2 hk
从焦距公式可见，波带片的焦距取决于波带片通光孔的 半径Rhk,半波带的数目k，和光波的波长。
3. 多焦距：k不是单一取值 距波带片
f k
2

2
k f f f 处有弱焦点 , , 3 5 7
f k 3 2
f 3
f 2 f 2 2 ( k ) ( ) ( f k ) ( f ) 2 3 2 3 2
由
1 1 k ( ) r0 R
2 Rhk
s
Bk
O
R
k
B0
Rh
rk
得： 1 1 1 2 r0 R Rhk k
若令
2 Rhk f ' k
l
h
r0
P
则有
1 1 1 R r0 f '
Rhk f ' r0 k
和一般的会聚透镜成像公式相似。因此，上式称为波 带片的焦距公式。 2 即波带片也有焦距，当R时，有
A( P ) 2
圆孔衍射，当孔的大小刚好等于第一个半波带时,中心 是亮点 A ( P ) a1 圆孔衍射，当孔的大小刚好包含前两个半波带时,中心 是暗点 A(P ) a a 0
1 2
一般说来，当圆孔包含奇数个半波带时，中心是亮 点；包含偶数个半波带时，中心是暗点。 衍射图样中心强度随孔径的增大而亮暗交替变化。
F2
f (r0 )
F1

k 3k
( f )
k kr0
表明在F1看每一开带中一个半波带，在F2含三 个半波带，F2也是亮点，但光强比F1弱。
k 4.有色差：f k
2
——像点位置与波长有关。
※例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、~~~19等10个奇数带露出。第2、4、6、~~~20等 10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传播 时光强的多少倍？ 解：波带片在轴上场点的振幅为

2
（2）
还有关系 k2 R 2 ( R h ) 2 rk2 ( r0 h ) 2
2 Rh h 2 rk2 r02 2 r0 h h 2 rk2 r02 h 2 ( R r0 )
（3）
将（2）和（3）代入（1）
2 k2 kr0
圆孔衍射
一、菲涅耳圆孔衍射——处理方法
将一束光投射在一个圆孔上，并在距孔1－2m处放置一接 收屏，可观察衍射图样。 根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数 量有k个。
光 学
1 Ak a1 a k 2 1 Ak a1 a k 2
Bk
O
R
k
B0

Rh
rk r0
P
l
2
A P a1 a 3 a19 1 0 a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为
AP 0
则它们的振幅之比为
AP 10 a1 20 a1 AP 0 2
a1 2
光强之比为
Ip I p0

A A
2 p 2 p0
400
18
视窗与链接
波带片与普通透镜相比的优点是：长焦距的波带 片不难制作，而长焦距的普通物镜的设计、加工都是 相当麻烦的，而且采用照相复制方法制造波带片比光 学玻璃冷加工省事。普通透镜无法将一个点光源成像 为十字亮线，而方形波带片却可以实现这一点，在长 距离准直工作中是十分有用的，最后，起衍射聚焦作 用的波带片和普通透镜相比，还具有面积大、轻便、 可折叠等优点，特别适宜用远程光通讯、测距以及宇 航技术之中波带片的焦距随波长的增加而缩短，正好 与玻璃透镜的焦距色差相反，两者配合使用就有利于 消除光学系统的色差。