一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法
Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ
一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法
倪培峰，胡雄
（上海海事大学物流工程学院，上海２０１３０６）
摘要：针对小波阂值降噪中硬阈值函数和软阈值函数的不足，结合现有文献提出一种新的阈值函数。新阈值函数
克服了传统阈值函数的缺点，保证了阈值函数的连续性，同时可以通过改变参数灵活地调节函数。在新阈值函数的
基础上结合改进的阈值确定方法，提出一种新的降噪算法。通过ＭＡＴＬＡＢ仿真，对几种小波降噪算法进行了试验分
析，利用信噪比和均方根误差两个指标进行评价。结果表明，相比于传统的降噪算法，新降噪算法取得了更好的降
噪效果。 关键词：小波降噪；阈值函数；阈值选取；信噪比；均方根误差
中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．１６１５７／ｉ．ｉｓｓｎ．０２５８—７９９８．２０１６．０８．０２４
中文引用格式：倪培峰，胡雄．一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法【Ｊ１．电子技术应用，２０１６，４２（８）：９８—１００，１０４．
英文引用格式：Ｎｉ Ｐｅｉｆｏｎｇ，Ｈｕ Ｘｉｏｎｇ．Ａ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，２０１６，４２（８）：９８－１００，１０４．
Ａ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
Ｎｉ Ｐｅｉｆｅｎｇ，Ｈｕ Ｘｉｏｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１３０６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｅｃｔｓ ｏｆ ｈａｒｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｏｆｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｅｔｉｏｎ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｅ ｗｅａｋｎｅｓｓ ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ａｎｄ ｇｕａｒａｎｔｅｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ ｔｈｅ ｆｕｎｅｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｆｌｅｘｉｂｌｙ ａｄｊｕｓｔｅｄ ｂｙ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｂａｓｅｄ Ｏｉｌ ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｐｒｏ— ｐｏｓｅｄ ｃｏｍｂｉｎｇ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｏｕｇｈ ＭＡＴＬＡＢ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｓｅｖｅｒａｌ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｗａｖｅｌｅｔ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ ｗｅｒｅ ｔｅｓｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｄ．ｕｓｉｎｇ ｓｉｇｎａｌ—ｔｏ—ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ ａｎｄ ｒｏｏｔ—ｍｅａｎ—ｓｑｕａｒｅ—ｅｒｒｏｒ ａｓ ｔｗｏ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ ｆｏｒ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｒｅ— ｓｕｈｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｅｗ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｅｔｔｅｒ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｄｅ— ｎｏｉｓｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ＳＮＲ；ＲＭＳＥ
０引言
实际的工程测量测试中，工程信号在采集和传输过 程中，总会因外界的干扰引入噪声，为了准确地获得有
用信号，降噪是信号分析前必须经过的预处理环节。传
统降噪方法的不足在于使信号变换后的熵增高，无法刻
画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相关性『１Ｊ。而
小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，并
且小波变换具有众多优良的特性，如多分辨率特性、低
熵性、去相关性和选基灵活性等。这些特性很好地克服
了传统方法的不足，使得小波变换适用于信号的降噪处
理。因此利用小波变换进行降噪，已经成为近几年研究
的热点。
运用小波变换处理噪声的方法主要分为３类：
ＭＡＴＬＡＢ提出的模极大值处理算法【 ；ｘＵ提出的空域相
基金项目：上海海事大学研究生创新基金资助项目（ＹＸＲ２０１５１２２）
９８ 欢迎网上投稿ＷＷＷ．ＣｈｉｎａＡＥＴ．ｃｏｒｎ 关降噪算法 ；ＤＯＮＯＨＯ提出的阈值降噪算法ｌ４】。其中，以
闽值降噪算法最为常用。阈值降噪算法中，通过对分解后
的小波系数进行阈值处理以达到降噪的目的。最常用的
阈值函数是由ＤＯＮＯＨＯ在１９９５年提出的硬阈值函数和
软阈值函数，但这两种函数也存在不足之处。采用硬阈值
函数时，由于硬阈值函数的不连续，导致重构信号可能出
现局部震荡；采用软阈值函数时，与真实小波系数之间存
在恒定的偏差，导致重构后信号的精度下降 ｌ。针对软、
硬阈值函数存在的缺点和不足，本文提出一种新的阈值
函数。新阈值函数既保证了阈值函数的连续性，又能避免
软阈值固定偏差的缺点。并通过ＭＡＴＬＡＢ仿真分析验证
了改进的小波阈值降噪算法优于传统阈值算法。
１小波阈值降噪原理
假设一维离散含噪信号由式（１）表示
（ ）：Ｓ（ ）＋Ｅ（ ）
《电子技术应用》２０１６年第４２卷第８期 Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ
其中，ｘ（ｋ）是含噪信号；ｓ（ｋ）是原始标准信号；Ｅ（ｋ）是叠
加的高斯白噪声，其服从Ｎ（０，０－２）分布。
小波变换后，有用信号的能量集中于幅值较大的小
波系数，而噪声能量则分布在整个小波域中【 。因此，较
大的小波系数是由有用信号引起的，较小的小波系数则
代表噪声。基于小波系数的特征，ＤＯＮＯＨＯ和ＪＯＨＮ— ＳＴＯＮＥ 提出了阈值降噪算法。首先确定一个阈值，即选
择一个合适的数，当小波分解系数小于阈值时，认为这
部分系数主要是由噪声引起的，予以舍弃；当系数大于
阈值时，认为这是由信号引起的小波分解系数，就把这
一部分进行阈值处理，然后用阈值处理后的量化系数进
行重构，即为降噪后的信号。小波阈值降噪的基本步骤
如图Ｉ所示。
Ｉ ：鎏坌壁Ｈ塑篁竺里Ｈ重塑笪呈ｌ
图１小波阈值降噪步骤
２改进阈值算法
阈值的确定直接影响着小波阈值降噪的效果。如果
阈值取得太小，噪声依然存在；如果阈值取得太大，那么
有用信号的重要信息也可能被滤除。最常选用的通用阈
值可用式（２）表示：
Ａ＝ 、，／ （２）
其中，Ⅳ为信号的长度， 为噪声的均方差估计值，
由式（３）给出：
＝
因为通用阈值有过扼杀有用信号的风险，文献［６】提
出一种基于层间相关性的阈值选取方法。本文在此基础 上结合分层阚值的思想对该阈值算法进行改进，如式（４）
所示：
ｌＯ·７Ａｊ Ｋ（ ）∈［０，０．５ｒ）
９Ａ ㈤ ’ ｆ０． ， Ｋｆｎ１ Ｅ『ｏ．８ｒ，ｒ１
【 Ｋ（ｎ）∈［ｒ，＋∞）
其中，ｒ为常数， ， 为小波分解第 层位置ｎ处的阈值，
Ａ 为第．，层的阈值，其表达式如式（５）所示：
Ｊ ＝ Ｖ２１ｎ（Ｎ）／ｌｎ（ｊ＋１） ，
Ｌｏ］＝ｍｅｄｉａｎ（Ｉ ， ｉ）／ｏ．６７４ ５ 一
式中， ， 为第 层上的小波系数，＇『为分解层数。
Ｋ（ｎ）为定义的一个参数，用来表征小波系数的层间
相关性，其定义如式（６）所示：
）： （６）
式中，Ｗ（：，ｎ）表示点Ｉ１，处的所有小波系数。
当Ｋ（ｎ）∈【０，ｒ），点ｎ处的小波系数相关性较强，点
ｎ处可能是一个信号点；当Ｋ（ｎ）∈【ｒ，＋∞），点／７，处的相
关性较差，该点可能是由噪声引起的。由式（４）可知，新
阈值方法通过比较小波系数层间相关性，对不同点ｎ的
《电子技术应用》２０１６年第４２卷第８期 阈值进行修正。当Ｋ（ｎ）∈【０，０．５ｒ）时，小波系数间的相关
性很大，该点非常有可能是纯信号点，对阈值进行收缩，
取为０．７Ａ ；当Ｋ（ｎ）∈【０．５ｒ，０．８ｒ）时，小波系数的相关性
比较大，该点有可能是信号点，该点的阈值取为０．８ ＡＪ；
当Ｋ（ｎ）∈［０．８ｒ，ｒ）时，相关性较大，该点依旧可能是信号
点，减小阈值收缩程度，取为Ｏ．９Ａｊ；当Ｋ（ｎ）∈【ｒ，＋。。）时，
认为小波系数的相关性较小，该点几乎不可能是纯信号
点，将阈值取为ＡＪ。
Ｋ（ｎ）在计算时，要求不同层上的小波分解系数的数
目一致，因此需要采用平稳小波变换（ＳＷＴ）。ｒ是测量小
波系数相关性的一个重要参数，取值太小，可能会过扼
杀有用信号，取值过大，可能会保留较多的噪声信息。通
过相关实验，ｒ取为０．５～１．５之间时，降噪效果比较好。
本文中，ｒ取为１。
３构造新阈值函数
传统的阈值函数是由ＤＯＮＯＨＯ提出的软阈值函数
和硬阈值函数，软阈值函数定义如式（７）所示，硬阈值函
数定义如式（８）所示。
ｍ：｛ ｇｎ（ ， ）（。 ，ｋＩ－Ａ）。 ， 。≥Ａ ｆ７）
。 【０ ｌ ，＾Ｉ＜Ａ
ｆ８） ’ ｌ０ Ｉ ， Ｉ＜Ａ 一 硬阈值函数在小波域内存在间断点，在重构信号时
会出现局部震荡现象；软阈值函数虽然在小波域内连
续，但是阈值处理后的小波系数与真实小波系数存在恒
定偏差，会造成信号高频有用信息的丢失。
本文结合文献【８】与文献【９］中的方法，构造了一个
新的阈值函数，如式（９）所示：
Ｗｊ． ：
｛ ， ＋（ 一“）ｓｇｎ（ ， ）（。 ，ｋｌ— 而 ‘ ， ’≥Ａ
／ｏ Ｉ ， Ｉ＜Ａ
（９） 其中，Ｍ：１一ｅ ‘ · ，且０ｃ为正数， 为正数。
由式（９）可知，当ｆ ， Ｉ一士Ａ时， 一Ｏ，即新阂值函
数在 ． ＝±Ａ处是连续的，克服了硬阈值函数不连续的
缺陷，重构信号不会有震荡产生；当 一±ｏ。时， Ⅲ／
， 一１，即当小波系数足够大时，新阈值函数等同于硬
阈值函数，从而克服了软阈值函数 ¨与 之间具有
恒定偏差的问题；同时新阈值函数具有高阶可导性。从
表达式中可以看出，当 一０且 一Ｏ时，新阈值函数即
为软阈值函数；当 一＋∞时，ｕ一１，新阈值函数即为硬
阈值函数；适当选取Ｏｔ和ＪＢ的值，新阈值函数可以在硬
阈值函数与软阈值函数之间进行调整，灵活性更强。硬、
软阈值函数的图形如图２（ａ）、图２（ｂ）所示，选取不同的
和Ｊ８的新阈值函数如图２（ｃ）、图２（ｄ）所示。
利用改进的小波阈值算法进行图像消噪处理
第２７卷第６期 ２００７年１２月 西 安 工 业 大 学 学 报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩ’ＡＮ ＴＥＣＨＮ０ＬｏＧＩＣＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＶｏＬ ２７ Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２００７
文章编号： １６７３—９９６５（２００７）０６—５６７—０３
利用改进的小波阈值算法进行图像消噪处理
樊亚军，曹蔚，王蕊
（西安工业大学机电工程学院，西安７１００３２）
摘 要： 硬阈值函数用于图像去噪处理时重构的信号会产生震荡，而软阈值函数用于图像去
噪处理又会造成边缘模糊现象，本文引入参数ａ将软硬阈值函数相结合，提出一种新的阈值函
数，并将该算法应用于静态图像去噪处理中．结果表明，该算法不仅能有效的改善图像信噪比，
而且能使信号的边缘保持较高的分辨率，是一种有效地图像去噪方法，具有一定的实用价值．
关键词： 小波变换；噪声；多分辨率分析；图像处理
中图号：ＴＰ３９１．４１ 文献标识码：Ａ
小波理论ｌ１］是十多年来由Ｍｅｙｅｒ Ｙ，Ｍａｌｌａｔ Ｓ
和Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ Ｉ等人的奠基工作迅速发展起来的
一门新兴学科．小波变换ｌ＿２ ｊ是一种新的可达到时
（空）域或频率域局部化的时（空）一频域分析方法，
具有多分辨率分析功能和逐步细分等性质，正因如
此，才使得小波变换能更有效地从图像中提取出信
息，并且可通过缩放、平移等对图像进行多尺度细 化分析处理，最终达到高频部分地空问细分、低频
部分的频率细分，从而实现对图像的自适应分析．
近年来，小波变换进入了高速发展和全面应用阶
段，迅速延伸到科研和工程技术的许多领域．在图
像处理领域小波变换也因其优良的自适应特点，而
在边缘提取、图像分解、编码压缩以及图像纹理分
析等多方面取得了很好的应用效果．
目前小波变换用于图像去噪，应用比较广泛的
是ＢａｙｅＳｈｒｉｈｋ阈值算法，本文在ＢａｙｅＳｈｒｉｈｋ阈值
基础上进行改进，在改进的阈值算法中的参数是根
据各子带的数据获得，更有效的利用了小波系数的
一种改进的小波软阈值去噪方法性能分析
第１９卷第３期 ２００７年６月 军械工程学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｒｄｎａｎｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｖ０１．１９ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．，２００７
文章编号：１００８—２９５６（２００７）０３—００２７—０４
一种改进的小波软阈值去噪方法性能分析
刘卫东，刘尚合，王雷，胡小锋
（军械工程学院弹药工程系，河北石家庄０５０００３）
摘要：分别利用软阈值函数和修正软阈值函数对局部放电仿真信号进行小波去噪分析。仿真结果表明，修正软 阈值函数在优于传统软阈值函数去噪性能的基础上，更具有灵活性，仅通过调节函数的可变参数，就可以获得 具有最大信噪比和最小均方误差的去噪信号。 关键词：小波阈值去噪；软阈值；修正软阈值；局部放电 中图分类号：ＴＭ８３５ 文献标识码：Ａ
Ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｍｅｔｈｏｄ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｗａｖｅｌｅｔ Ｓｏｆｔ Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ Ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ
ＬＩＵ Ｗｅｉ—ｄｏｎｇ，ＬＩＵ Ｓｈａｎｇ—ｈｅ，ＷＡＮＧ Ｌｅｉ，ＨＵ Ｘｉａｏ—ｆｅｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｍｍｕｎｉｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｏｒｄｎａｎｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈ￣ｉａｚｈｕａｎｇ ０５０００３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｓｏｆｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ａｎｄ．ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｓｏｆｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｓｃｈａｒｇｅ ｓｉｇｎａｌ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｓｏｆｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｇｉｖｅｓ ｂｅｔｔｅｒ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｓｏｆｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄ ｉｔ ｃａｎ ｏｆｆｅｒ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ，ｓｕｃｈ
小波变换语音消噪(改进阈值)
.
. 改进阈值函数进行语音信号消噪，但是在程序运行过程中频频报错。本人经验不足调试不出，希望求得各位指导改进函数表达式附图
clear all; clc; close all;
fs=8000; %语音信号采样频率为8000
xx=wavread('lw1.wav');
x1=xx(:,1);%取单声道
t=(0:length(x1)-1)/8000;
y1=fft(x1,2048); %对信号做2048点FFT变换
f=fs*(0:1023)/2048;
figure(1)
plot(t,x1) %做原始语音信号的时域图形
y=awgn(x1',10,'measured'); %加10db的高斯白噪声
[snr,mse]=snrmse(x1,y')%求得信噪比 均方误差
figure(2)
plot(t,y) %做加噪语音信号的时域图形
[c,l]=wavedec(y,3,'db1');%多尺度一维分解
%用db1小波对信号进行3层分解并提取系数
a3=appcoef(c,l,'db1',3);
%a2=appcoef(c,l,'db1',2);
%a1=appcoef(c,l,'db1',1);
d3=detcoef(c,l,3);
d2=detcoef(c,l,2);
d1=detcoef(c,l,1);
thr1=thselect(d1,'rigrsure');%阈值获取，使用Stein的无偏风险估计原理
thr2=thselect(d2,'rigrsure');
thr3=thselect(d3,'rigrsure');
%利用改进阈值函数进行去噪处理
gd1=Garrote_gg(d1,thr1);
gd2=Garrote_gg(d2,thr2);
gd3=Garrote_gg(d3,thr3);
基于改进阈值函数的提升小波变换超声信号去噪研究
控制与检测・ 组合机床与自动化加工技术
文章编号：１００１—２２６５（２０１０）０９—００４８—０４
基于改进阈值函数的提升小波变换超声信号去噪研究
０ 陈渊
（西安科技大学理学院，西安７１００５４）
摘要：在焊接缺陷的超声检测中，噪声和伪信号大大降低了检测结果的可靠性和质量。因此消除噪
声、提高超声检测信号的信噪比，已成为超声无损检测与评价技术成功应用的关键。首先介绍了提 升小波变换的基本理论，分析了小波阈值法去噪的原理和方法；然后在软、硬阈值函数的基础上，提
出了一种基于改进阈值函数的提升小波去噪方法；最后对实际焊接缺陷超声回波信号进行了去噪实
验研究，并从信噪比和均方根误差两个方面对去噪性能进行了比较分析。结果表明，该方法在一定 程度上改进了软、硬阈值去噪法的缺点，获得了更好的去噪性能和更高的信噪比，并且提升小波变换 的去噪速度快、设计灵活、编程简单，因此在实时信号去噪方面具有很好的应用前景。
关键词：焊接缺陷；超声检测；信号去噪；提升小波变换；阈值函数 中图分类号：ＴＨ１６；ＴＧ６５ 文献标识码：Ａ
Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ Ｓｉｇｎａｌ Ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌｉｆｔｉｎｇ Ｗａｖｅｌｅｔ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｗｉｔｈ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＣＨＥＮ Ｙ１／ａｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈａｎｘｉ Ｘｉ’ａｎ ７１００５４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｔｅｓｔｉｎｇ ｏｆ ｗｅｌｄｉｎｇ ｆｌａｗｓ，ｔｈｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｅｓｔｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｙ ａｆｆｅｃｔ－
ｅｄ ｂｙ ｎｏｉｓｅ ａｎｄ ｓｐｕｒｉｏｕｓ ｓｉｇｎａｌｓ．Ｔｈｕｓ．ｓｉｇｎａｌ ｄｅ。ｎｏｉｓｉｎｇ ａｎｄ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ ｔｏ ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ ａｒｅ ａ ｋｅｙ ｔｏ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ａｐｐ ｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ＮＤＴ ａｎｄ ＮＤＥ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｌｉｆｔｉｎｇ ｗａｖｅｌｅｔ
EEMD与改进小波阈值结合应用于心电信号去噪研究
现代电子技术ModernElectronicsTechniqueJun.2023Vol.46No.122023年6月15日第46卷第12期
0引言心电信号是人体活动的基本表征，是判断心律失常、心肌梗死等的重要临床依据。而监测得到的信号常常存在各种噪声[1]，从监测信号中提取有用信号是当前科研活动的关键。目前提取有用信号多采用集合经验模态分解（EEMD）去噪处理手段，但此方法容易产生模态混叠现象，且对含噪声的固有模态IMF分量直接剔除[2⁃5]等缺点会影响去噪性能。对此，本文提出将改进的小波阈值与EEMD相结合，应用于心电信号去噪。首先介绍了改进的小波阈值方法和EEMD算法；再将结合算法应用于模拟信号去噪，达到了良好效果；最后对真实心电信号进行去噪实验，实验证明了改进的算法是有效的，比单一的EEMD算法应用于心电信号提取处理更有效。1EEMD算法介绍为解决经典EMD方法模态混叠问题，研究者们提出了一种新的噪声辅助数据分析方法，即EEMD算法。EEMD算法的核心思想是利用白噪声具有频率均匀分DOI：10.16652/j.issn.1004⁃373x.2023.12.023引用格式：蔡帮贵，朱雨男，王彪.EEMD与改进小波阈值结合应用于心电信号去噪研究[J].现代电子技术，2023，46（12）：137⁃140.EEMD与改进小波阈值结合应用于心电信号去噪研究
蔡帮贵1，2，朱雨男2，王彪2（1.四川卫生康复职业学院，四川自贡643000；2.江苏科技大学海洋学院，江苏镇江212000）摘要：心电信号监测过程中噪声是不可避免的，目前主要采用EEMD算法对观测信号所带有的噪声进行滤除，但该方法会直接丢弃高频噪声主导的低阶IMF分量或低频噪声主导的余项，导致部分有用信息丢失。为此，文中提出将改进的小波阈值与EEMD相结合，应用于心电信号去噪。改进的阈值方法能有效地去除各IMF分量噪声，再将处理后的各分量叠加，得到去噪的心电信号。通过真实监测信号实验进行验证，结果表明，所提方法具有较好的去噪声和重构效果，能够完整地保留QRS特征。关键词：EEMD算法；改进阈值函数；信号提取；噪声处理；QRS特征；IMF分量；小波阈值中图分类号：TN911.7⁃34文献标识码：A文章编号：1004⁃373X（2023）12⁃0137⁃04ResearchonECGsignaldenoisingbycombiningEEMDwithimprovedwaveletthresholdCAIBanggui1,2,ZHUYunan2,WANGBiao2(1.SichuanVocationalCollegeofHealthandRehabilitation,Zigong643000,China;2.OceanCollege,JiangsuUniversityofScienceandTechnology,Zhenjiang212000,China)Abstract：Noiseisinevitableinthemonitoringprocessofelectrocardiogramsignals.Currently,theEEMDalgorithmismainlyusedtofilteroutthenoisecarriedbytheobservedsignals.However,thismethodcandirectlydiscardthelow⁃frequencynoisedominatedlow⁃orderIMFcomponentsorthelow⁃frequencynoisedominatedresidualterms,resultinginthelossofsomeusefulinformation.TheimprovedwaveletthresholdcombinedwithEEMDisproposedfordenoisingofelectrocardiogramsignals.TheimprovedthresholdmethodcaneffectivelyremovethenoiseofeachIMFcomponent,andthensuperimposetheprocessedcomponentstoobtaintheECGsignalwithdenoising.Thismethodisverifiedbytherealmonitoringsignalexperiments,theresultsshowthattheproposedmethodhasgooddenoisingandreconstructioneffects,andcanfullypreserveQRSfeatures.Keywords：EEMDalgorithm;improvedthresholdfunction;signalextraction;noiseprocessing;QRScharacteristics;IMFcomponent;waveletthreshold
图像采集中基于小波变换阈值去噪算法研究
２０１２年第３期 福 建 电脑 ８５ 图像采集中基于小波变换阈值去噪算法研究 马向华 （凯迈（洛阳）测控有限公司河南洛阳４７１００９） 【摘 要】：阐述了基于小波变换阈值去噪算法的相关概念与优点，介绍了小波变换基本原理，对基于 小波阈值的图像去噪方法进行了深入探讨研究．并给出了仿真结果。 【关键词】：图像；采集；小波变换；去噪；算法 １、引言 图像采集随着人们对图像需求的不断增加．以及 采集手段的不断拓展．图像已经成为人们认识世界的 最主要的信息源之一．在当今的信息社会中占据着越 来越重要的地位。然而现实中的图像多为含噪图像。去 噪的质量好坏决定了对图像采集的最终效果。因此，图 像的采集最终以去噪的水平为衡量标准。小波变换是 以某些特殊函数为基将数据过程或数据系列变换为级 数系列以发现它的类似频谱的特征．从而实现数据处 理 由于对高频成人采用逐步精细的时域或频域采样 步长．从而可以分析信号的任意细节．小波分析法非常 适合时变信号的分析与处理 在传统的基于傅立叶变 换的信号处理方法中．要使信号和噪声的频带重叠部 分尽可能的小．需要在频域就可以通过时不变滤波方 法将信号同噪声区分开。而当它们的频域重叠时。这种 方法就无能为力了。但如果采用线形小波的分析方法。 是可以通过选择不同的基的方法．使得在相应坐标系 统内的信号同噪声的重叠尽可能小。这样就可以通过 抑制不需频带的信号。而达到去噪的目的。在图像采集 中利用基于小波变换阈值去噪算法．可以有效克服小 波阈值去噪算法的一些缺陷．提高图像质量。 ２、小波变换 所谓小波（Ｗａｖｅｌｅｔ）．即存在于一个较小区域的波。 小波函数的数学定义是：设 ｒｚ）为一平方可积函数，即 ）∈ ： ），若其傅立叶变换 ）满足： ｃ ｆ ＿＜∞ （式１） ＪＲ １ ｌ 时，则称 ）为一个基本小波或小波母函数，并称 上式是小波函数的可容许条件。根据小波函数的定义， 小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集．即函 数的非零值定义域具有有限的范围．这即所谓“小”的 特点；另一方面，根据可容许性条件可知 ）１ｗ：。＝０，即 直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。将 小波母函数 ）进行伸缩和平移，设其伸缩因子（亦称 尺度因子）为ａ，平移因子为ｂ。并记平移伸缩后的函数 为ｌｆ， ），则： （ ）＝ （等），口，ｂｅＲ；ａ≠ｏ （式２） 并称 Ｊ为参数ａ和ｂ小波基函数。由于ａ和ｂ 均取连续变换的值．因此又称为连续小波基函数．它们 是由同一母函数 ）经伸缩和平移后得到的一组函数 系列。定义小波母函数 ）的窗口宽度为△ｔ，窗Ｅｌ中心 为ｔｏ，则可以求得连续小波基函数 的窗１３中心及 窗口宽度分别为： 口ｆ０＋ｂ，Ａｔ ａＡｔ （式３） 设 ）是 ｆｚ）的傅立叶变换，频域窗１３中心为Ｗ。， 窗口宽度为Ａ ， ）的傅立叶变换为 ），则有： ， （ ）＝ 删 （口ｗ） （式４） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为： ．６＝ Ｗｏ，Ａｗ，．６：古△ｗ （式５） 由此可见．连续小波的时、频窗口中心和宽度均是 尺度因子ａ的函数．均随着ａ的变化而伸缩，并且还有： Ａｔａ ・Ａｗ 。６＝Ａｔ・Ａｗ （式６） 即连续小波基函数的窗口面积是不变的。这正是 Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ测不准原理。将不同ａ．ｂ值下的时频窗口 绘在同一个图上，就得到小波基函数的相平面（如图１ 所示）。 文
基于改进阈值函数小波语音增强方法的研究
第９卷第１期 ２０１０年１月 软件导刊 Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｇｕｉｄｅ Ｖｏ１．９ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０１０
基于改进阈值函数小波语音增强方法的研究
刘佳林．孙旋
（桂林理工大学机械与控制工程学院，广西桂林５４１００４）
摘要：提出了一种基于小波阈值去噪的语音增强算法。根据含噪语音中噪声、清音和浊音的不同特点，首先对它们
进行检测区分．然后采用改进的Ｇａｒｒｏｔｅ阈值函数分别对噪声、清音和浊音运用不同的阈值方案进行处理。该方法在
很大程度上抑制了噪声，叉减少了语音段清音的损失，提高了信噪比，在ＭＡＴＬＡＢ７．１中的仿真实验结果表明，该方
法具有较好的增强效果。 关键词：小波阈值：改进的Ｇａｒｒｏｔｅ阈值函数；语音增强
中图分类号：ＴＰ３９１．４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—７８００（２０１０）０２－００４３－０３
０引言
基于小波阈值的语音增强有较强的应用范围，尤其在通信 领域中，由于语音信号不可避免会受到各种噪声的影响，噪声
污染使语音信号处理系统的性能急剧恶化，如语音识别系统在
背景噪声很强时的识别率会大大下降。因此语音信号的增强是
语音信号处理系统的主要组成部分，它能够改善语音质量，提
高语音可懂度，在语音通信、语音识别及语音编码等语音处理 系统的性能提高方面起着非常重要的作用。为此该领域相继提 出许多方法，应用在此领域。其中较早的一种方法为Ｂｏｌｌ提出
的谱减法，这种方法仍然是许多研究者的研究方向。小波分析 是一种有效的信号分析处理技术。它在时域和频域都具有良好
的局部化性质。即能够在整体上提供信号的主要特征，同时又
能够提取任一局部时间或频域内信号变化剧烈程度的信息，因
而成为分析非平稳信号（语音信号）的锐利工具。现今，基于小
波分析的方法成为该领域的研究热点。
Ｄｏｎｏｈｏ等已经提出了一种典型的阈值选取方法，即全局 阈值。由于语音信号包含清音和浊音两部分，清音部分包含较
多类似于噪声的高频成分．若不区分，在进行阈值处理时会被 当成噪声除掉，因此直接进行阈值处理效果并不理想。本文提
一种改进的小波变换阈值去噪法
第２４卷 Ｖｏ１．２４ 第６期 Ｎｏ．６ 重庆理工大学学报（自然科学） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２０１０年６月 Ｊｕｎ．２０１０
一种改进的小波变换阈值去噪法
汪小梅 ，朱华
（１．军事经济学院基础部，武汉４３００３５；２．湖北大学知行学院，武汉４３００１１）
摘 要：对传统相关去噪方法进行了改进，把相关去噪方法和阈值去噪方法结合在一起，得 到一种组合方法。该方法滤波之后得到的小波系数不仅连续性好，准确率高，而且易于重构信 号。仿真结果表明，消噪效果有了明显的改观。 关键词：小波消噪；阂值函数；空域相关；信噪比 中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—８４２５（２０１０）０６—００４８—０４
Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｓｉｇｎａｌ Ｄｅ－Ｎｏｉｓｉｎｇ ｉｎ Ｗａｖｅｌｅｔ
ＷＡＮＧ Ｘｉａｏ—ｍｅｉ ．ＺＨＵ Ｈｕａ。
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｉｍａｔｉｃｓ，Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ Ａｃａｄｅｍｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００３５，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｚｈｉｘｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＨｕＢｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００１ １，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｔｏ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ
ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｅｔｈｏｄ．Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈ－ ｏｄ，ｔｈｅ ｗａｖｅｌｅｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｈａｖｅ ｇｏｏｄ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ａｎｄ ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ ｂｕｔ ａｌｓｏ ａｒｅ ｅａｓｙ ｔｏ ｒｅ— ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｓｉｇｎａｌｓ ａｆｔｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｓ ａｒｅ ｃｌｅａｒｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔ ｄｅ－ｎｏｓｉｎｇ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｓｐａｔｉａｌ Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ；ｓｉｇｎａｌ ｔｏ ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ
基于小波分析的阈值去噪改进算法
■嘲 理论与方法 己口口７年］月 第己５卷第］期
基于小波分析的阈值去噪改进算法
赵婷婷苑惠娟邹纯宏
（哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院通讯系 哈尔滨 １５００８０）
摘要：针对小波边缘检测阈值设定问题，本文提出了一种基于小波分析的改进阈值设定方法，采用一个矫正因子 来构造一
个新的阈值函数，调整软硬阚值的恒定偏差。实验证明，新阈值函数不但整体上连续性好而且在克服硬阈值函数的不连续以
及软阈值函数在处理较大小波系数时总存在恒定偏差这２个不足的同时，又保留了软、硬阈值函数原有的优点。
关键词：小波分析；软阈值；硬阈值
Ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｄｅｌｅｔｉｎｇ ｎｏｉｓｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗａｖｅｌｅｔ ａｎａｌｙｓｉｓ
Ｚｈａｏ Ｔｉｎｇｔｉｎｇ Ｙｕａｎ Ｈｕｉｊｕａｎ Ｚｏｕ Ｃｈｕｎｈｏｎｇ （Ｔｅｓｔｉｎｇ－Ｍｅａｓｕｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｎｇ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｈａｒｂｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５Ｏ０８０）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓ ｆｏｒ ｈｏｗ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｐｒｏｐｅｒ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｉｎ ｔｈｅ ｅｄｇｅ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ，ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗａｖｅ—
ｌｅｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗａＳ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｗｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ａ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｔｏ ａａｊｕｓｔ ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｂｌｅｎｅｓｓ ｗｉｎｄａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｆｔ－ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ａｎｄ ｈａｒｄ－ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈ—
小波阈值去噪改进算法研究
电子测量技术 第３３卷第８期 ＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣ ＭＥＡＳＵＲＥＭＥＮＴ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ２０１０年８月
小波阈值去噪改进算法研究
许丽群
（大连交通大学电气信息学院 大连 １１６０２８）
摘要：提出了一种基于传统阈值去噪法的新的阈值函数，新阈值函数表达式简单易于计算，它既克服了硬阈值函 数不连续的缺点，同时又克服了软阈值函数中估计小波系数与分解小波系数之间存在着恒定偏差的缺陷，它具有硬、
软阈值函数不可比拟的灵活性。仿真实验结果表明，新的阈值函数的去噪效果无论是在视觉效果上，还是在信噪比
增益均优于传统的硬、软阈值方法。 关键词：小波阈值去噪；硬阈值；软阈值；信噪比 中图分类号：ＴＰ３９１．９ 文献标识码：Ａ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ ｉｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ
Ｘｕ Ｌｉｑｕｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｅｔｒｉｅａｌ￣Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｄａｌｉａｎ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ １ １ ６０２８）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ Ｉｔｓ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ
ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｅａｓｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ａｎｄ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｈａｒｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ。ｉｔ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｉｎｖａｒｉａｂｌｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ