三阶非线性差分方程的振动性和非振动性准则
第３８卷第２期 ２０１２年４月 曲阜师范大学 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｕｆｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｖｏ１．３８ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１２
三阶非线性差分方程的振动性和非振动性准则
陈文强， 孟凡伟
（曲阜师范大学数学科学学院，２７３１６５，山东省曲阜市）
摘要：给出一类三阶非线性差分方程的所有解都是振动解或非振动解的充分条件，方程为 △ （ｐ ｇ（ａ２ｏｙ ））＋ｇ ，ｌ（ａ２ｏｙ ）＝，（ｎ，ｙ ，Ａｂｙ ，Ａ２ｂｙ ）， 其中△ 为广义差分算子：△ｙ ＝Ｙ 一ｘｙ ， ：。，ｂ，ｏ≠０，ｂ∈ ．所得结论推广了已有文献的结果
关键词：三阶差分方程；振动性；非振动性；广义差分算子 中图分类号：Ｏ１７５．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１－５３３７（２０１２）０２－０００１－０７
１ 引 言
本文主要研究～类三阶非线性差分方程 △。（Ｐ ｇ（△２。ｙ ））＋ｑ．ｈ（Ａ２ｙ ）＝ ｌ＂ｔ，Ｙ ，△６Ｙ ，△ ｙ ） （１．１）
的解的振动性和非振动性问题，其中，ｎ∈ ， 为自然数集，口∈ 、｛０｝， 为实数集，｛Ｐ ｝和｛ｇ ｝为实
数列，且Ｐ ≠０（ｎ∈ ），并且，： × 。一 ．广义差分算子△ 定义为Ａ Ｙ ＝Ｙ川一ｘｙ ．当 ＝１时，记
△ ＝△为一个前跳算子．我们定义当ｋ≥２时， ，， ＝△ （ ～Ｙ ）． 方程（１．１）的非平凡解是指这样一个实序列｛Ｙ ｝：它满足方程（１．１），且任给ｍ∈ （ｎ。），有
ｓｕｐ Ｉ ｌ＞０． ｎ≥ｍ 我们总假定方程（１．１）存在这样的解．方程（１．１）的一个非平凡解｛Ｙ ｝称为非振动的，若它最终为正
或最终为负时，否则称它为振动的．方程（１．１）称为振动的，若它的每一个非平凡解都是振动的．
当ｇ（ｕ）＝ ，ｈ（ ）＝ 时，方程（１．１）变为三阶非线性差分方程 △。（ＰｎＡ］ｙ ）＋ｇ Ａ］ｙ ： 凡，Ｙ ，Ａ６Ｙ ，△２６ｙ ）， （１．２）
而当口＝ｂ时，方程（１．２）进一步可变为三阶非线性差分方程 △。（ｐ Ａ２。Ｙ ）＋ｇ Ａ］ｙ ＝ ，Ｙ ，Ａ。Ｙ ，Ａ］ｙ ）． （１．３）
关于方程（１．２）和方程（１．３）振动性和非振动性的研究可见文献［１，２］．其中２００７年，Ｐａｒｈｉ和Ｐａｎｄａ
给出了方程（１．３）所有解的振动陛和非振动陛．２００９年，张樱凡在文献［２］中推广和改进了文献［１］中的相 应结果．
本文在文献［１－３］的基础上，将方程（１．２）的形式更一般化，主要研究当ｏ≠０时，方程（１．１）的所有解 都是振动解和非振动解的新的充分条件，推广和改进了文献［２］中的相应结果． 三阶差分方程所建立的离散模型已经在经济学、生物数学、物理学和系统控制论等领域上得到应用．关
于三阶差分方程的振动性和非振动性的研究是当前差分方程理论研究的热点之一，可见文献［４－ｌ５］，但是， 对含有广义差分算子的差分方程的相关研究并不多见． 本文总假设：
（口）ｇ： 一 连续函数，严格上升，ｓｇｎｇ（ ）＝ｓｇｎｕ，ｇ（ ）＝嗯，ｇ（ ＋Ｙ）＝ｇ（ ）＋ｇ（Ｙ），
（ｂ）ｈ： 一 连续且单调不减，ｕ≠０时， Ｍ）＞０，ｎ∈ （ ），厂（０）＝０．
十收稿日期：２０１１－１２—１２ 基金项目：国家自然科学基金资助课题（１１１７１１７８）． 作者简介：孟凡伟，男，１９６３一，博士，教授，博士生导师；研究方向：微分方程及应用．Ｅ—ｍａｉｌ：ｆｗｍｅｎｇ＠ｍａｉｌ．ｑｆｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
２ 曲阜师范大学学报（自然科学版） ２０１２正
２非振动解
本部分我们将研究方程（１．１）的非振动解．假设０＞０．为了证明主要结果的需要，先给出下面引理． 引理２．１… 设｛Ｙ ｝（７ｌ，∈ ）为实数列，当ｂ＞０，若｛△ ｙ ｝最终定号，则｛ｙ ｝也最终定号．
引理２．２设｛ｙ ｝（ ∈ ）为实数列，ｇ： 一 连续函数，严格上升，ｓｇｎｇ（ ）＝ｓｇｎｕ，ｇ（ ）＝ ，
当ｂ＞０，若｛ｇ（△ Ｙ ）｝最终定号，则｛ｇ（ｙ ）｝也最终定号．
证明 由条件知，ｓｇｎｇ（ ）＝ｓｇｎｕ，ｇ（ ）ｒａｍ． ，结合引理２．１，当ｂ＞０时，若｛ｇ（Ａ Ｙ ）｝最终定号， 则｛Ａ Ｙ ｝最终定号，进而｛ｙ ｝也最终定号，则｛ｇ（Ｙ ）ｌ也最终定号．
引理２．３… 当ｂ＞０时，实数列｛Ｙ ｝（ｎ∈ ）为振动的充要条件是对所有整数ｆ≥０，有｛△ ｙ ｝是振
动的，其中／，ｏｙ 一ｙ ．
引理２．４［２ 当０＞０，ｂ∈ 时，对于实数列｛）， ｝（／／，∈ ），有
△：）， ＋（ｂ一 ）（Ａ６ｙ ＋△。Ｙ ）＝Ｙ ＋２—２ａｙ ＋１＋口２ｙ ＝△ ）， ．
引理２．５ 当０＞０，６∈ 时，对于实数列｛Ｙ ｝（１１，∈ ），有
Ａ。Ｙ ：△；ｙ 一１＋（６—０）（Ａ６Ｙ 一ｌ＋Ａ Ｙ 一１）＋０△ ｙ 一１
和 △ ，， 一１＝△２ｂｙ ｌ＋（ｂ一日）（△ｂ，， 一１＋△ Ｙ 一１）．
证明 由Ａ ）， ：ｙ ＋１一ａｙ ，得△。（Ａ Ｙ ）＝Ａ。Ｙ ＋１一ａ２Ｌ。ｙ ，即△ ）， ＝△。Ｙ ＋ｌ一Ⅱ△。Ｙ ，则
Ａ ｙ ＋ｌ＝△ ＋ａＡ。ｙ ， 贝４ Ａ Ｙ ＝△。２）， 一ｌ＋ａＡ Ｙ 一ｌ＝△ ）， 一 ＋（ｂ一０）（△６ｙ 一】＋Ａ。Ｙ 一】）＋ａＡ Ｙ 一１，
△２。ｙ 一Ｉ：Ａ。Ｙ 一ａＡ。Ｙ 一１＝△２６ １＋（ｂ一Ⅱ）（△６Ｙ 一１＋△ Ｙ ～１）＋ａＡ。Ｙ 一ｌ一０△ Ｙ 一１
＝△ 一ｌ＋（ｂ—ｎ）（△６Ｙ 一１＋△。ｙ 一１）． 令Ｚ＝ ＋（ｂ一０）（口＋△。１１，）．
定理２．６若函数，满足如下条件
（＿ 二一 ［ ｎ，ｕ， ， ） ＋叩 ｇ（ｚ） 一ｑ （ｚ）］ ≥０， （２．１） Ｐｎ＋１ 其中“， ， ∈ ， ∈ ，则方程（１．１）的所有解都是非振动解． 证明设｛Ｙ ｝为方程（１．１）的振动解，则对于每一个 ∈ ，存在ｚ＞ ，使得）， ≥０且ｙ…＜０或Ｙｌ
＞０且，， ≤０．在任一情形下，都有△ Ｙｆ＝ｙｆ＋Ｉ—ａｙｆ＜０． 由于Ａ。Ｙ ＝）， 一ａｙ ，得△。２ｙ ＝Ａ。Ｙ 一ａＡ Ｙ ，则△。Ｙ ＋ｌ＝△２ ｙ ＋ａＡ。Ｙ ．因此，对Ｖ ｎ≥Ｚ，方程
（１．１）可写成 △。（Ｐ．－１ｇ（△ ｙ 一１））＋ｑ．－１ｈ（△ ｙ 一 ）＝ ｎ一１，Ｙ 一 ，△ ｙ 一 ，△：ｙ 一。），
即 ｐ ｇ（△ ）， ）一叩 一。ｇ（△ ｙ 一 ）＋ｑ．－Ｉ （△２。ｙ 一 ）＝，（ｎ一１，ｙ 一 ，Ａ６ｙ 一，，△ ｙ 一 ），
即 ｇ（△ ｙ ）＝ ［ ｎ一１，Ｙ 一。，ＺＸｂｙ 一 ，△ ｙ 一。）＋ａｐ ～ ｇ（△２ ｙ 一。）一ｑ．－Ｉ （△ ｙ 一 ）］．
则 ｇ（△。Ｙ ＋１）＝ｇ（△２。ｙ ＋ａＡ。Ｙ ）＝ａｇ（△。ｙ ）＋ｇ（△２。ｙ ）
＝ａｇ（△。Ｙ ）＋ ［厂（ 一１，Ｙ 一１，△６Ｙ 一１，△６２ 一１）＋
印 ｇ（△ ｙ ）一ｑ．－１ｈ（ ｙ ）］． （２．２）
特别地，
ｇ（Ａ￣Ｙ１）ｇ（ａ ＋１）：ａｇ （Ａｏｙ￣）＋ ｆ一１ △ △：ｙｆ－１）＋叩 ｇ（△２。ｙｆ＿１）一ｇｆ－ ｈ（２ 一 ）］．
由引理２．５知，当（２．１）式与△。Ｙ＜０成立时，有ｇ（Ａ。Ｙｆ）ｇ（Ａ。Ｙｆ＋ ）＞０．由引理２．２知，ｇ（△。Ｙ ）＜０．
第２期 陈文强，等：三阶非线性差分方程的振动性和非振动性准则
令（２．２）式中ｎ：Ｚ＋１，重复上述过程可得ｇ（Ａ。Ｙ…）ｇ（Ａ。Ｙｆ＋２）＞０，因此ｇ（△。Ｙ ）＜０．由归纳法可知，
对于所有ｋ∈ ，有ｇ（Ａ。Ｙ ）＜０．由引理２．２知｛ｇ（Ｙ ）｝最终定号，即｛Ｙ ｝最终定号，这与假设矛盾．
综上所述，方程（１．１）的所有解都是非振动解，定理得证． 注当ｇ（ｕ）＝ ，ｈ（ｖ）＝ 时，则定理２．６即为文献［２］中的定理３．２，进一步当ｂ＝口时，定理２．６
就是文献［１］中的定理２．３． 定理２．７若函数，满足如下条件
— 一［，（ｎ，ｕ， ，＂１／３）＋ａｐ ｇ（Ｚ）一ｑｎ （Ｚ）］≤０， （２．３） ｎ＋１ 其中“， ， ∈ ，ｎ∈ ，则方程（１．１）的所有解都是非振动解． 证明设｛Ｙ ｝为方程（１．１）的振动解，则对于每一个ｚ∈ ，都有Ｙｌ＞０且Ｙ…≤０或Ｙ ≥０且Ｙｆ＋】
＜０成立．无论哪种情形下，都有Ａ。Ｙｌ＝Ｙ 一ａｙｌ＜０． 对Ｖ ｎ≥ｚ，仿照（２．２）式，可将方程（１．１）改写成
ｇ（Ａ。Ｙｚ＋１）＝ ｇ（Ａ。Ｙｆ）＋ 一［ ｚ一１，Ｙｆ一１，Ａ６Ｙｚ—ｌ，△：ｙｚ一１）＋ａｐ２—１ｇ（△ ｙｚ—１）一ｑｚ－１ｈ（△：ｙ —１）］． ｆ 由于Ａ。Ｙｚ＜０且（２．３）成立时，故上式ｇ（Ａ ｙｆ＋１）＜０． 令（２．２）式中ｎ＝ｚ＋１，利用（２．３）式，我们得到Ａ。Ｙｆ＋２＜０．由归纳法可知，对于所有ｋ∈ ，有Ａ ＹＭ ＜０．由引理２．２知｛ｇ（Ｙ ）｝最终定号，即｛Ｙ ｝最终定号，这与假设矛盾．
综上所述，方程（１．１）的所有解都是非振动解，定理得证． 注当ｇ（Ｍ）＝ｕ，ｈ（ ）＝ 时，则定理２．７即为文献［２］中的定理３．３，进一步当ｂ＝０时，定理２．７
就是文献［１］中的定理２．４．
定理２．８ 若函数，满足如下条件
［ ｎ， ， ， ）＋ａｐ ｇ（Ｚ）一ｑｎｈ（Ｚ）］≥０， （２．４） ｎ＋１ 其中ｌｇ， ， ∈ ，ｎ∈ ，则方程（１．１）的所有解都是非振动解．
证明 设｛Ｙ ｝为方程（１．１）的振动解，则对于每一个Ｚ∈ ，都有Ｙ ＜０且Ｙ ≥０或Ｙ ≤０且Ｙ… ＞０成立．无论哪种情形下，都有Ａ。Ｙ ＝Ｙ…一ａｙ ＞０．接下来的证明过程与定理２．７的类似，定理得证．
注当ｇ（Ｍ）＝ ，ｈ（ ）＝ 时，则定理２．８即为文献［２］中的定理３．４，进一步当ｂ＝Ⅱ时，定理２．８
就是文献［１］中的定理２．５． 定理２．９ 若函数 满足如下条件
ｎ，Ｍ， ， ）＝０，Ｚ＝０；
ｎ，“， ）＋印 ｇ（ｚ）一ｇ （ｚ）］＞０，Ｚ≠０． （２．５） Ｒ＋ｌ 其中 ， ， ∈ ，ｔｌ，∈ ，则方程（１．１）的所有解都是非振动解．
证明设ｘ为方程（１．１）的所有解的集合，Ｙ＝｛Ｙ ｝为方程（１．１）的任一个解． 令ｘｌ＝｛Ｙ∈ｘ：ｇ（△。２）， ）＝０， ｎ∈ ｝，且ｘ２＝ｘ—Ｘ１．
若Ｙ∈Ｘ。，则存在某个ｍ∈ ，使得
△。２ｙ Ｙ ＋２—２ａｙ ＋ｌ＋ｎ２ｙ ＝０．
由ｇ（Ｏ＋０）＝ｇ（Ｏ）＋ｇ（ｏ），得ｇ（ｏ）＝０．由ｈ（ｏ）＝０，得ｈ（△。２ｙ ）＝０．由引理２．４知
Ｚ＝△２６ｙ ＋（ｂ一口）（Ａ６Ｙ ＋Ａ。ｙ ）
＝Ｙｍ＋２—２ａｙｍ＋ｌ＋０２ｙｍ， 即Ｚ＝０．由（２．５）式可得 ｍ，Ｙ ，Ａ Ｙ ， ｙ ）＝０，即Ａ。（Ｐｍｇ（ ｙ ））＝０．将上式展开得
ｐ ＋１ｇ（Ａ２ｙ ＋１）：ａｐ ｇ（△：ｙ ），
即 ｇ（ ｙ川）＝ （ ｙ ）＝０．
二阶非线性中立型时滞泛函微分方程的振动性
２００８年１１月 第ｌ７卷第４期 中央民族大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ ＣＵＮ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｎｏｖ．．２００８ Ｖ０１．１７ Ｎｏ．４
二阶非线性中立型时滞泛函微分方程的振动性
杨甲山
（邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳４２２００４）
摘要： 本文研究了一类二阶非线性中立型时滞泛函微分方程的振动性，通过引入参数函数丑（ ，ｓ），得到
了该方程振动的几个新的准则，改进了现有文献中的一些结果． 关键词： 中立型泛函数微分方程；非线性；振动性 中图分类号：Ｏ１７５．１７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—８０３６（２ＯＯ８）０４．００４１．０６
１ 引 言
随着科学技术的迅猛发展，时滞微分方程定性理论的研究也引起了大批学者的广泛兴趣和高度关
注．早在１７２８年Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ在研究有限长度管中声的振动问题时就提出了一类时滞型微分方程的数学模
型，但由于该类方程的解空间通常是无限维的，不再像常微分方程那样定义方向场或速度场，以至于学
者们大都采取了避开该类方程的直接研究的方法．近年来，随着社会发展的需要许多自然现象要通过科
学研究进行探讨和解释，很多实际问题都离不开时滞因素的影响，如生物学中遗传病的潜伏期、电力系
统中过电压关于不同期合闸情形等．时滞型常微分方程和相应的常微分方程在解的性态上有很大的区
别．如时滞型常微分方程 （ｔ）＋ （ｔ一 ）：０存在振动解 （ｔ）＝ｃｏｓｔ和 （ｔ）＝ｓｉｎｔ；但相应的常微分 上 方程 （ｔ）＋ （ｔ）＝０的一切解却都是单调的．因此对时滞中立型泛函微分方程解的振动性和渐近性在
理论研究和实际应用中都具有非常重要的意义，近几年来，在这一领域出现了许多研究成果，对于较一 般的二阶中立型泛函微分方程，Ｂａｉｎｏｖ，Ｍｉｓｈｅｖ，Ｅｒｂｅ，Ｋｏｎｇｔ和Ｚｈａｎｇ已在专著中给出了很好的总结ｎ ］．
本文将讨论一类形式更为广泛的二阶非线性中立型泛函微分方程： ，２ ｌ ‘ｔｒｔ 【 （ ）＋∑ （ｆ） （ —Ｚ＇ｊ）］＋∑ｑ （ｆ） （ （ｇ （ ））， （ ｉ（ ）））＝０， ≥￡。＞０ （１） ｊ＝１ １ 这里ｒ ＞Ｏ（ｊ：１，２，…，ｚ）为常数．
二阶非线性阻尼差分方程的振动性
第３３卷第２期 延边大学学报（自然科学版） ２００７年６月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙａｎｂｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．２ Ｊｕｎｅ ２００７
文章编号：１００４—４３５３（２００７）０２—００８３—０３
二阶非线性阻尼差分方程的振动性
姜英秀， 何延生
（延边大学理学院数学系，吉林延吉１３３００２）
摘要：研究一类带有负的或振动阻尼项的二阶非线性差分方程，利用分部差分法以及差分不 等式，建立该类方程振动的一个新准则，推广了文献［１］～［３］的结果． 关键词：阻尼差分方程；振动；充分条件 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ
０ 引言
考虑阻尼差分方程 Ａ ，７７ ＋Ｐ Ａｘ ＋ｇ （３２ ＋１）ｇ（Ａ３２ ）＝０， ∈ｚ， （１） 其中ｚ为自然数集，Ａ３２ ＝３２ ＋１—３２ ，｛Ｐ ｝为实数序列，｛ｑ ｝为正实数序列，ｆ，ｇ∈Ｃ（Ｒ，Ｒ）．
对于方程（１）的特殊情况Ａ ３２ ＋ｑ．ｆ（３２ ＋１）＝０，文献［１］～［３］建立了振动定理．本文 的目的是在允许｛Ｐ ｝振动或为负时建立方程（１）的振动准则，所得结果是新的，同时文献
［４］中定理４的离散类似可视为其的一个特例． 为叙述方便我们给出如下条件：
（Ｈ１） （３２），ｇ（３２）＞０对一切３２≠０；
（Ｈ２）ｇ（３２）非增，对ｚ＞０；ｇ（３２）非减，对Ｘ＜０；且存在常数ｋ１＞０使得ｇ（ｘｙ）≥
ｋ１ｇ（ｚ）ｇ（Ｙ），对ｚ，Ｙ≠０；
（Ｈ３）ｆ（ｚ）ｇ（３２）非减，对ｚ≠０；
（Ｈ４）ｆ（ｚ）一ｆ（Ｙ）＝ （ｚ，Ｙ）（ｚ—Ｙ）， （Ｘ，Ｙ）ｇ（ｚ—Ｙ）≥ｂ＞０，对Ｘ，Ｙ≠０．
１ 引理及主要结果
引理１１１１ 设ｚＮ≥ｏ，△ｚ ＞ｏ＿Ｒ ｚｘ２ｚ ≤ｏ，７ｚ≥Ｎ，则当７ｚ≥２Ｎ时恒有 ＋ｌ≥詈△ｚ ．
引理２ 设ｚＮ≤Ｏ，△ ＜０ ｇ ＺＸ２ｚ ≤Ｏ，７ｚ≥Ｎ，则当７ｚ≥２Ｎ时恒有 ＋ｌ≤－ＺＸｘ ．
时间测度链上具非线性中立项的二阶阻尼动力方程的振动性
第39卷第3期
2012年5月浙江大学学报f理学版)
J伽maIofzhejiangunive体ity(scjenceEditi佃)
http：／／www．journaIs．zju．edu．cn／sciVol39No．3
Mav201Z
时间测度链上具非线性中立项的
二阶阻尼动力方程的振动性
杨甲山
(邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳422004)
摘要：研究了时间测度链上的一粪具有非线性中立项和阻尼项的二阶非线性变时滞动力方程的振动性．通过引
入参数函数和广义的Riccati变换，并借助时间测度链上的有关理论，得到了谊类方程振动的几个充分条件．所得结
果推广和改进了现有文献中相应的结果．
关键词：时问测度链；动力方程；非线性中立项；阻尼项；Riccati变换；振动性
中图分类号：O175．7文献标志码：A文章编号：1008—9497(2012)03—26卜05
YANGJia—shan(DPpdHme"fo，＆iencP吐靠dIn。佑rmnffo”，S^皿oy吐Hg【如fz肥雄i印，s^口oydng422004，H“nnnProt卜
i雄fP，(’^i”4)
0sci¨ationofse∞nd-orderdampingdyn枷icequationontimes∞l酋withno叫in曲r耻utnI协珊．JoumalofZhejjang
Universitv(ScienceEdition)，2012，39(3)：261—265
Abst憎ct：Theoscillationforaclassofsecondordernonlinearvariabledelaydynamicequationontimescaleswith
nonlinearneutralte椰and
dampingte珊wasdiscussed．UsingthetimescalestheoryandsomenecessaryanaIytic
techniques，somesufficientconditionsforoscillationoftheequationwereproposedbyintroducingparameterfunc—
具有连续变量的2阶差分方程的振动性
第３６卷第２期
２０１２年３月 江西师范大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｍｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） 、，０ｌ－３６Ｎｏ．２
Ｍａｒ．２０ｌ２
文章编号：１０００－５８６２（２０１２）０２－０１６５－０３
具有连续变量的２阶差分方程的振动性
赵玉萍
（青海民族大学数学与统计学院，青海西宁８１０００７）
摘要：利用振动理论研究一类具有连续变量的２阶非线性差分方程的振动性，得到了方程的解和解的１阶差
分振动的充分条件，并且利用Ｂａｎａｃｈ空间的不动点原理研究这类方程的非振动解，得到了这类方程在特殊
情形下的有界正解．
关键词：振动性；连续变量；差分方程
中图分类号：Ｏ １７５．７ 文献标志码：Ａ
０ 引言
差分方程在计算机科学、经济学、生物数学等
领域有着广泛应用，差分方程的研究越来越受到人
们的重视．近年来，关于离散变量的差分方程定性
理论研究成果比较多【 ，且对于连续变量的差分方
程解的振动性，也引起许多学者的关注［６－１０】．
文献［６—７】研究了一类连续变量的１阶非线性差
分方程
” △（ ）一ｐ（ｆ） 一ｆ））＋∑ ，ｘ（ｔ－ｃｒｉ））＝０
ｉ＝ｌ
的振动性．
本文研究２阶非线性差分方程
Ａ（ｐ（ｔ）Ａｘ（ｔ））＋ｑ（ｔ）ｆ（ｘ（ｔ一 ））＝ｏ（ｏ＜ｔｌ≤ｔ＜＋ｏ０）（１）
解的振动性，其中 （，）＝ （，＋ｆ）一 （，），ｆ＞０是步长，
ｐ（ｔ）∈ｃ（【＾，＋∞），（０，１］）， ＞０是给定的正数，ｑ（ｔ）∈
ｃ（［ｔｌ，＋ｏｏ），［０，＋∞）），ｆ（ｕ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），ｆ（ｕ）／ｕ≥１．
１ 主要结果
∞ 定理ｌ设∑ｑ（ｔ＋ｎｒ）＝∞，则方程（１）的一切解
ｎ＝Ｏ
振动．
证（反证法）设方程（１）具有非振动解，不失一
般性，设 （ｆ）是方程（１）的最终正解，ｘ（ｔ）＞０，ｔ＞ｔ１． 由方程（１）可得
Ａ（ｐ（ｔ）Ａｘ（ｔ））＝－ｑ（ｔ）ｆ（ｘ（ｔ一 ））≤０，
高阶中立型差分方程非振动解的存在性
第３Ｏ卷第２期 ２００８年６月 湘潭师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉａｎ￣ａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＶｏＩ．３０ Ｎｏ．２ Ｊｕｎｅ．２０ｏ８
高阶中立型差分方程非振动解的存在性
郭 智
（湖南工程学院数理系，湖南湘潭４１１１００）
摘要：得到了下列高阶中立型差分方程的一个非振动性理论，△［ｒｎ（△ ＿１（ ＋ 一 ））。］＋ ，ｌ，期一ａｌ， 一 ，…，
一 ）＝ｏ，，ｌ∈Ｎ，其中口为正奇数的商，ｍ，ｕ为大于等于２的整数，ｒｎ＞Ｏ，其中，ｌ∈Ｎ，ｏ∈Ｒ，ｒ，ｄ１，０＂２都为大于等于。
的整数以及ｆ∈ｃ（［，ｌ０，∞］×Ｒ×Ｒ×…×阜， ）。
关键词：非振动；非线性选择；差分方程；凝聚算子 中图分类号：Ｏ１７５．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１一（Ｐ－３１（２００８）０２—００１７—０４
考虑差分方程 △［ｒｎ（△ Ｉ１（ ＋似 一 ）） ］＋ ｎ， ｎ— ｌ， 一 ，…，Ｘｎ－ａｕ）＝０，ｎ∈Ｎ （１）
其中ａ为正奇数的商，ｍ，ｕ为大于等于２的整数，ｒｎ＞ｒ其中ｎ∈Ｎ，口∈Ｒ，ｒ， （ｉ＝１，２，…，ｕ）≥０为
固定的大于等于０的整数以及 ∈Ｃ（［ｎ０，∞］× Ｒ×Ｒ×…×尽，Ｒ）。
当（１）式的解终正或终负的时候，此解为非振动解，否则为振动解。 迄今为止很少有（１）式的非振动解出现。本文通过使用和改进文献［１—２］证明中的方法，讨论了（１）
式的非振动解并得到了如下结论。 定理１ 假设Ｉ口Ｉ≠１，取个固定的数卢，其中０＜卢＜１，固定的正数 ，固定的非负序列｛ ｝，其中 一０和Ａ，，－ｒ／Ａ 一１，以及固定的映射ｇ：Ｎ—Ｊ７ｖ。如果对于任意的卢（１一ｍｉｎ｛Ｉ口Ｉ，１／Ｉ口Ｉ｝）／ｍｉｎ｛Ｉ口
Ｉ，ｌ／Ｉ口Ｉ｝＞￡＞Ｏ则存在ｎ０≥ ，其中 ＝ｍａｘ｛ｒ， ｌ， ２，…， ｝，使得对于Ｋ／２≤‰≤Ｋ中的每个ｉ ｝ 和Ｉ Ｘｎ＋ （ ）一 Ｉ≤ ，其中／１，≥／１，０一 ，有
带最大值项的二阶非线性差分方程的振动性定理
２０１２年５月 第３６卷第３期 安徽大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｍａｖ ２０１２ Ｖ０ｌ＿３６ Ｎｏ．３
带最大值项的二阶非线性差分方程的振动性定理
杨甲山，李继猛
（邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳４２２００４）
摘要：研究一类带有最大值项的二阶非线性中立型时滞差分方程的振动性，利用Ｂａｎａｃｈ空间的 不动点原理和一些分析技巧，得到这类方程存在最终正解及方程振动的充分条件． 关键词：最大值项；振动性；不动点原理；最终正解 中图分类号：０１７５．７ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００—２１６２（２０１２）０３—００１９—０４
Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｍａｘｉｍａ
ＹＡＮＧ Ｊｉａ－ｓｈａｎ，ＬＩ Ｊｉ—ｍｅｎｇ， （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｓｈａｏｙａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｏｙａｎｇ ４２２００４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｎｅｕｔｒａｌ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ“ｍａｘｉｍａ”ｗａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ
时间测度链上一类二阶动力方程的振动准则
高校应用数学学报 ２０１１，２６（２）：１４９—１５７
时间测度链上一类二阶动力方程的振动准则
杨甲山 ， 方彬
（１．邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳４２２００４；
２．信阳师范学院数学与信息科学学院，河南信阳４６４０００）
摘要：研究了时间测度链上的一类二阶非线性中立型时滞动力方程的振动性，利用
时间测度链上的理论和一些分析技巧，通过引入参数函数和Ｒｉｃｃａｔｉ变换，得到了该方
程振动的几个充分条件，推广和改进了现有文献中的有关结果，并给出了一些例子用
以说明文中的主要结论．
关键词：时间测度链；中立型时滞动力方程；非线性；振动性；Ｒｉｃｃａｔｉ变换
中图分类号：Ｏ１７５．７
文献标识码：Ａ 文章编号：ｉ０００—４４２４（２０１１）０２．０１４９—０９
§１ 引 言
对于连续系统微分方程及离散系统差分方程的振动理论和渐近理论的研究历史悠久，其实
际应用特别是在生物医药，自动控制理论，经济计算机等方面的应用也非常广泛．例如，中立型
时滞微分差分方程在高速计算机连接开关电路的无损耗传输网络以及弹性体上质点振动问题
中都有着其实际应用背景，所以直到现在这个领域的研究还非常活跃［１－３］．为了统一连续分析
和离散分析理论，德国学者ＳｔｅｆａｎＨｉｌｇｅｒ［ 】于１９９０年在他的博士论文中首次提出了时间测度链上
的分析理论．该文发表以后，引起了学术界的广泛兴趣和高度关注［５－１３］．如Ｂｏｈｎｅｒ和Ｐｅｔｅｒｓｏｎ［５］１
Ａｇａｒｗａｌ，ＢｏｈｎｅｒＳＨＯ’Ｒｅｇａｎ［６】研究了时间测度链上的几类典型的动力方程的振动性问题，
Ｓａｈｉｎｅｒ［７］研究了时间测度链上二阶非线性时滞动力方程Ｘ△△（ｔ）＋ｐ（￡）．，（ （７－（ ）））＝Ｏ的振动性问
题．而关于下面的一类非常广泛的时间测度链上二阶超线性中立型变时滞动力方程 ｍ ｛ｒ（ｔ）［（Ａ（ｔ） （ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｘ（ｔ一 ））△】 ）△＋＞：ｐｉ（ｔ）ｆ￣（ （ （ ）））＝ｏ（ｔ∈Ｔ） （１）
【国家自然科学基金】_振动性_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
序号科研热词推荐指数序号科研热词1振动性191振动性2振动62非线性3中立型63脉冲4脉冲44中立型5测度链35渐近性6偏差分方程36时滞7非线性27微分方程8连续变量28振动9脉冲微分方程29时标10渐近性210强迫项11时滞211带阻尼项12时标212高阶13数值解213非齐次14差分方程214非线性脉冲时滞方程15动力系统215阻尼项16非线性时滞微分方程116阻尼17非线性差分方程117连续变量18非线性中立项118连续分布滞量19非振动性119连续偏差变元20零点分布120边值问题21连续分布滞量121脉冲时滞22连续分布偏差变元122网格变形23转移条件123特征系统24累次积分变换124渐近稳定25特征函数125混合中立型微分方程26特征值126泛函偏微分方程27渐近稳定性127有限元-无网格28泛函微分方程128最终正(负)解29求和均值129时间尺度30最终正解130时滞差分方程31时间尺度131时滞动力方程32时滞阻尼差分方程132振动系数33振动解133振动性判别准则34振动准则134振动准则35持久性135拟线性36抛物微分方程136抛物型方程组37抛物型偏泛函微分方程137抛物型方程38强迫振动性138抛物型偏微分方程组39强振动139抛物型偏微分方程40延迟微分方程140扰动差分方程41奇阶141形函数42多项式序列142应用43吸引性143带强迫项44双曲方程144差分方程45双曲型偏微分方程145存在性46动力方程146奇数阶微分不等式47动力学方程147多时滞48分布偏差变元148四边形单元49中立型阻尼泛函微分方程149周期解50中立型时滞微分方程150向量51中立型微分方程151变号系数52中立型延迟微分方程152双曲方程2008年2009年53中立型差分方程153双曲型54中立154动力方程55三阶155分段常数变元56△-导数156分布时滞57riccati变换157全局吸引性58h-振动158偶数阶59emden-fowler中立型时滞动力159二阶中立60二阶61中立型泛函微分方程62中立型时滞微分方程63中立型方程64中立型差分方程65不稳定型66riecati变换67n阶微分方程68h-振动性69gronwall不等式70emden-fowler差分方程
分数阶差分方程解的振动性
分数阶差分方程解的振动性
王志云;刘淑娟;李巧銮
【摘 要】Fractional calculus is a theory that studies the properties and
application of arbitrary order differentiation and integration.It can describe
the physical properties of some systems more accurately, and better adapt
to changes in the system, playing an important role in many fields.For
example, it can describe the process of tumor growth (growth stimulation
and growth inhibition) in biomedical science.The oscillation of solutions of
two kinds of fractional difference equations is studied, mainly using the
proof by contradiction, that is, assuming the equation has a nonstationary
solution.For the first kind of equation, the function symbol is firstly
determined, and by constructing the Riccati function, the difference is
calculated.Then the condition of the function is used to satisfy the
一类二阶差分方程非振动解的存在性研究
第３２卷第５期 Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．５ ２０１１年９月 Ｓｅｐ．２０１１ 井冈山大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） １５
文章编号：１６７４－８０８５（２０１ １）０５—００１５—０４
一类二阶差分方程非振动解的存在性研究
王志伟，邓志云，杨云苏
（井冈山大学数理学院，江西，吉安３４３００９）
摘要：本文主要讨论了一类二阶非线性混合型差分方程，即带正负项的方程非振动解的存在性。我们利用离散 的Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理对中立型项系统的两种情形给出了方程存在最终正解存在性定理。 关键词：混合型差分方程，中立型项，振动性，非振动性 中图分类号：０１７５．７ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：ＩＯ．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４—８０８５．２０１１．０５．００４
ＳＴＵＤＹ ｏＮ ＴＨＥ ＥⅪＳＴＥＮＣＥ ｏＦ ＴＨＥ ＮｏＮ．ｏＳＣＩＬＬＡＴｏＲＹ ＳｏＬＵＴＩｏＮ
Ｔｏ ＴＨＥ ＳＥＣｏＮＤ ｏＲＤＥＲ ＤＩＦＦＥＲＥＮＣＥ ＥＱＵＡＴＩｏＮ ’ＷＡＮＧＺｈｉ—ｗｅｉ，ＤＥＮＧＺｈｉ．ｙｕｎ，ＹＡＮＧＹｕｎ－ｓｕ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉ’ａｌｌ，Ｊｉａｎｇｘｉ ３４３００９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｍａｉｎｌｙ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎ—ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｉｘｅｄ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｎａｍｅｌｙ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ａｎｄ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｔｅｒｍ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’Ｓ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ