2019版高考数学文科一轮复习§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
)
B.-
12 5
C.
5 12
D.-
5 12
5 13 12 ∴cos α= 1 sin 2α = , 13 sin α 5 ∴tan α= =- . cos α 12
答案 D ∵sin α=- ,α为第四象限角,
故选D.
栏目索引
2.(2017北京,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对
GH (不包含端点G)上,则角α在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,故排 若点P在
︵
除D,故选C.
栏目索引
考点二
同角三角函数的基本关系与诱导公式
5 13
1.(2015福建,6,5分)若sin α=- ,且α为第四象限角,则tan α的值等于 ( A.
称.若sin α= ,则sin β= 答案
1 3 1 3
.
解析 本题考查三角函数的诱导公式. 由角α与角β的终边关于y轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin α= ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α = .
1 3 1 3
栏目索引
3.(2016四川,11,5分)sin 750°=
3 4 , . 5 5
(1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)= ,求cos β的值. 解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.
4 3 4 (1)由角α的终边过点P , , 得sin α=- 5 5 5 4 所以sin(α+π)=-sin α= . 5 3 3 4 得cos α=- (2)由角α的终边过点P , , 5 5 5 5 12 由sin(α+β)= 得cos(α+β)=± . 13 13n(720°+30°)=sin 30°= .
解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.
1 2
栏目索引
4.(2015四川,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是
答案 -1 解析 由sin α+2cos α=0得tan α=-2. 2sin αcos α-cos2α=
5 13
由β=(α+β)-α得
cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
56 或cos β= 16 . 所以cos β=- 65 65
栏目索引
思路分析 (1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(π+α)的值.
2sin α cos α cos 2 α 2 tan α 1 2 (2) 1 5 = 2 = = =-1. 5 sin 2 α cos 2 α tan α 1 (2)2 1
.
栏目索引
5.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P
4 5 3 C.- 5
)
A.
B. D.-
4
3 5
4 5
答案 D 由三角函数的定义知cos α=
(4) 2 3
=- .故选D. 2
4 5
栏目索引
考点二
同角三角函数的基本关系与诱导公式
2 3
(2018课标全国Ⅰ,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两 点A(1,a),B(2,b),且cos 2α= ,则|a-b|= ( A.
4
sin α cos α
栏目索引
B组
考点一 三角函数的概念
自主命题·省（区、市）卷题组
︵
AB , EF , CD , GH 是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其 (2018北京,7,5分)在平面直角坐标系中,
︵
︵
︵
中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是(
1 1 知sin 2α>0,C正确;α取 时,cos 2α=2cos2α-1=2× -1=- <0,D错.故选C. 3 2 2
2
评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法, 具有一定的灵活性.
栏目索引
2.(2014大纲全国,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α= (
栏目索引
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角 函数的关系及诱导公式
栏目索引
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一
A.sin α>0
三角函数的概念
) B.cos α>0
1.(2014课标Ⅰ,2,5分,0.718)若tan α>0,则 (
C.sin 2α>0
D.cos 2α>0
答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin 2α=2sin αcos α
)
AB A.
︵
B. CD
︵
︵
EF C.
︵
D. GH
︵
答案 C 本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的关系式.
AB 或 CD (不包含端点A,D)上,则角α在第一象限,此时tan α-sin α=tan α(1-cos α)>0,与tan 若点P在
︵
α<sin α矛盾,故排除A,B.
∴5(b-a)2=1,得(b-a)2= ,即|b-a|= ,故选B. 方法归纳 三角函数求值与化简的常用方法:
1 5
5 5
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α= 化成正弦、余弦;
(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ进行变形、转化; (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan .
1 5
)
B.
5 5
C.
2 5 5
D.1
答案 B 本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换.
cos 2 α sin 2 α 1 tan 2 α 1 (b a ) 2 2 ba 2 2 由题可知tan α= =b-a,又cos 2α=cos α-sin α= 2 = = = , cos α sin 2 α 1 tan 2 α 1 (b a) 2 3 2 1
2019版高考数学(文)第3章 三角函数、解三角形 第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式 Word版含解析
第讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点同角三角函数的基本关系式
．平方关系：α＋α＝.
．商数关系：α＝.
考点六组诱导公式
[必会结论]
．同角三角函数基本关系式的常用变形
(α±α)＝±αα；
(α＋α)＋(α－α)＝；
(α＋α)－(α－α)＝αα.
．诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
[考点自测]
．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()若α，β为锐角，则α＋β＝.()
()已知α＝，α∈，则α＝.()
()(π＋α)＝－α成立的条件是α为锐角．()
()六组诱导公式中的角α可以是任意角．()
()若(π－θ)＝(∈)，则θ＝.()
答案()×()×()×()√()×
．[·商丘模拟](－°)的值为()
．
答案
解析(－°)＝(－°＋°)＝°＝.
．已知＝，且α∈，则α＝()
．－．±
答案
解析∵α＝－，α＝－，∴α＝.选.
．若(π＋α)＝－，则(π－α)＝，＝.
答案
解析由(π＋α)＝－，得α＝，。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件 文
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2
=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α
cos
α
1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化
1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标 根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5
-
2
5 5
=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件文
典例2
A. 3
5
(1)已知sin 2
α
= 53,α∈ 0, 2
,则sin(π+α)等于
(
B.- 3 C. 4 D.- 4
5
5
5
考点突破
)
(2)若sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,则
sin
α
cos
2
3 2
sin
栏目索引
3-2
tan(
α)
cos(2
α) sin
α
3 2
3
β=sin[(2k+1)π-α]=sin α= 1 .
3
栏目索引
栏目索引
5.已知sin
θ+cos
θ= 43 ,θ∈ 0, 4
,则sin
θ-cos
θ的值为
-
2 3
.
答案 - 2 3
解析 由题易知(sin θ+cos θ)2= 16 ,∴1+2sin θcos θ= 16 ,
9
9
∴2sin θcos θ= 7 ,∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-7 2= ,可得sin θ-cos θ=±
5
α= 1 ,从而sin
5
α=- 1 .
5
又α为第三象限角,∴cos α=- 1 sin2α =- 2 6 , 5
∴f(α)= 2 6 . 5
考点突破
栏目索引
考点突破
方法技巧 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 任意负角的三
高考数学第一轮基础复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
解法 2：设 tanα1＝185，α1 为锐角， 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝185， 设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， ∴sinα1＝187，
∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝187. 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， 又 tanα＝csionsαα＝－185，由勾股数组 8,15,17 知排除 A， ∴选 C.
已知
tan2α ＝ － 2
2
，
且
满
足
π 4
<α<
π 2
，
则
2cos2α2－sinα－1 2sinπ4＋α
的值为(
)
A. 2
B．－ 2
C．－3＋2 2
D．3－2 2
解析：2cos22sα2i－nπ4si＋nαα－ 1＝csionsαα＋－csoinsαα＝1ta－nαta＋nα1. 又 tan2α＝－2 2＝1－2tatannα2α
cos2
sin2
＝sinα2＋cosα2 －sinα2－cosα2
α2为第二象限角 α2为第四象限角
∴原式＝± 2sinα2＋π4. 答案：± 2sinα2＋π4
利用诱导公式进行化简求值
[例 3] 设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中 a，b，
α∈R，且 ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若 f(2009)＝5，则 f(2010)
答案：C
点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方扩大了 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ cosθ<1 得出π2<θ<π，进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ ＝－ 33，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一 定要检验．
高中数学一轮复习重难点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
考点清单
考点1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360°+α,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k ∈Z}. 2.弧长与扇形面积公式 (1)弧长公式:l=|α|·r;
sin α= y,cos α= x,tan α= y(x≠0).
r
r
x
(3)三角函数在各个象限的符号简记为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
考点2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:
sin α cos α
=tan
α
α
2
k
,
k
Z
.
3.三角函数的诱导公式
11
(2)扇形面积公式:S= 2 l·r=2 |α|r2.(其中l为扇形弧长,α为圆心角,r为扇形半径)
3.任意角的三角函数的定义
(1)借助单位圆:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α= y(x≠0).
x
(2)借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则
针对训练
cos 1.已知tan α= 2 sin ,则sin α= ( )
15
1
3
1
A. 4
B. 2 C. 2
D. 4
答案 B
cosθ(1 sin 2θ)
2.若tan θ=-1,则 sin θ cosθ 等于 ( )
1
1
A. 2 B.2 C.-1 D.- 3
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。
例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求 的值； 5 sin 3 cos
符 号 看 象 限 。
函 数 名 改 变 ，
以上九组公式称为诱导公式，其规 律可总结为：
奇变偶不变，
符号看象限。
例1、化简下列各式： sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习 练习 6 6 （1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式： 2 sin . 2 是关键； 化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修 桂林装饰好啊，请各位稍等片刻！”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影，耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说：“耿掌柜，快去看，有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了，一共三个人呢，说是 要见你！”话音刚落，那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的，并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了，昔日的 那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子，但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人， 耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下，他试探着问：“请问，你们是？”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一 起上前眼含热泪给大哥深深施礼，耿正声音哽咽地说：“大哥，您可记得七年半之前的夏天，山那边发生溃坝的当晚，您和大嫂曾经挽 留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜，还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴：“啊！你们是„„”“是我们！我们要回老家去了，特地 来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话！这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说！”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内，将骡 子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃，激动地大声说：“好兄弟，好兄弟啊！” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃，高兴地说：“小兄弟，你长大了，个头比你哥哥当年还高呢，长得也真像啊！”再仔细地端详耿英， 拍一拍她的肩膀，说：“好妹子，了不起啊！”他激动得不知道说什么好了：“七年多了，我和你们大嫂经常想起你们来，老惦念呢！ 咱们到家里说话，你们大嫂又快生娃了，在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头，说：“喏，就在大院儿里„„”当他领着耿 正兄妹仨往家里走去时，一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来，口里还欢叫着：“爹，我在屋里就能听见是你回来 了！”一边说着，一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他，小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业 的身后。耿大业把小家伙拉到身前来，挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说：“小铁蛋儿，这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑，快叫 啊！”小家伙眨巴着小眼睛看看三人，再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍：“叫大叔叔、二叔叔、姑姑！”这一回，小家伙亮着小嗓子 叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来，欣喜地说：“你叫小铁蛋儿，好一个可爱的小铁蛋儿啊！”这边正高兴着呢，耿大嫂听着外 面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了，笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问：“他爹，这是„„”耿英一看见大嫂如此模 样，赶快将小铁蛋儿递到耿
高考数学第一轮考点复习课件 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：
考 纲
sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
要 求
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
热 点 提 示
同角三角函数的基本关系式和诱导公式是三角函 数部分的重要基础知识，对三角函数的考查都会 涉及到这部分知识，在高考中除了和其他知识一 起综合考查外，有时也直接考查，直接考查时常 以小题形式出现.
sinx＋cosx＝15 ① ， sin2x＋cos2x＝1 ② 由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得 25cos2x－5cosx－12＝0.
∵－π2<x<0，∴scionsxx＝＝－45 35
，
所以 sinx－cosx＝－75.
解法二：∵sinx＋cosx＝15，
∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，
解：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·(i－nαtanα)＝－cosα. (2)∵cos(α－32π)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
【例 1】 已知 sin(3π＋α)＝2sin(32π＋α)，求下列 各式的值．
(1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin2α.
▪ 1．由一个角的一个三角函数值求其他三 角函数值时，要注意讨论角的范围．
▪ 2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角 代换、消元是三角代换的重要方法，要尽 量减少开方运算，慎重确定符号．
▪
▪ 3.注意“1”的灵活代换，如1＝sin2α＋ cos2α.
▪ 4.应用诱导公式时，重点是“函数名称” 与“正负号”的正确判断，一般常用“奇 变偶不变，符号看象限”的口诀．
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(试题部分)
4.(2020届辽宁本溪高级中学开学检测,13)若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是.
答案-4
方法2 齐次式问题的求解方法
1.(2020届贵州贵阳一中9月月考,5)在等差数列{an}中,an≠0(n∈N*),角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(a2,a1+a3),则 =()
破考点 练考向
【考点集训】
考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020届山西运城9月联考,3)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=- ,则y=()
A.-8B.-4C.2D.4
答案A
2.(2020届豫南九校第二次联考,6)若cos165°=a,则tan195°=()
答案A
7.(2020届湖南郴州ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ校联考,4)已知sinθ+2cosθ=0,则 =.
答案1
8.(2018广东惠阳高级中学月考,15)已知α∈ ,4sinα+3cosα=0,则sin2α+3cos2α的值为.
答案
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1 用定义法求三角函数值
1.(2019广东普宁一中联考,3)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P ,则cos2α=()
A. B.- C. D.
答案B
3.(2019闽粤赣三省十校联考,2)若α∈ ,sinα= ,则tanα=()
A.- B.- C.- D.
答案C
4.(2019河北唐山第二次模拟,4)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sinα,3)(sinα≠0),则cosα=()
2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝ 得 2sin
2 α cos α＝－ ，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝ ，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝