中考数学总复习第7讲《一次函数与反比例函数的综合运用
D )
(-2，-1)
A．0＜x＜2 C．x＞2或－2＜x＜0
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B．x＞2 D．x＜－2或0＜x＜2
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【变式训练3】如图，正比例函数 y1 k1 x 的图像与反比例
k2 函数 y2 的图象相交于A、B 两点，其中点A 的横坐标 x
为2，当
图 Z6－5
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解：1 () ∵A(m，6)，B(3，n)两 点 在 反 比 例 函 数 6 y＝ ( x> 0 ) 图 象 上 ， x ∴A(1，6)，B(3，2)． 又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数 y＝ k x ＋b 的图象上，
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题组二
函数图象的共存
a 【例 2】当 a≠0 时，函数 y＝-ax＋1 与 函 数 y＝ 在 同 一 坐 x
标 系 中 的 图 象 可 能 是 图 中 的 ( B )
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【 变 式 训 练
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＞0的解集是x＜﹣4．
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m x
【变式训练4】一次函数y=kx+b 与反比例函数 y= 图象相交于A（-1，4），B（2，n）两点， 直线AB交x轴于点D。 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B 作BC⊥y轴，垂足为C，连接 AC交 x轴于点E，求△AED的面积S。
y1＞y2 时，
x 的取值范围是
（
D
）
A． x＜ 2或x＞2 C． 2＜x＜0或0＜x＜2
B． x＜ 2或0＜x＜2 D． 2＜x＜0或x＞2
小结3：看到两函数交点求不等式， 想到观察图像特点。
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题组四
一次函数、反比例函数的图象与几何综合题
B．第二象限 D．第四象限
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1 1 3 ．如图 4，在平面直角坐标系中，直线 y＝ x ＋ 与 x 轴交 2 2 k 于点 A ，与双曲线 y＝ 在第一象限内交于点 B ， BC ⊥ x x 轴于点 C，OC＝2AO，求双曲线的解析式．
图 Z6－4
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E，C 点，直线 AB 交 x 轴于
中考变形4答图
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5．2 [0 1 5
· 攀 枝 花 ]如图 Z6－6，已知一次函数 y1＝k1x＋b 的
图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 y2 k2 ＝ 的图象分别交于 C，D 两点，点 D(2，－3)，点 B 是 x 线段 AD 的中点． k2 (1)求一次函数 y1＝k1x＋b 与反比例函数 y2＝ x 的解析式； (2)求△COD 的面积； (3)直接写出 y1＞y2 时自变量 x 的取值范围．
a 2】函数 y＝ax－a 与 y＝ (a≠0)在 同 一 直 角 坐 x
(
D
标 系 中 的 图 象 可 能 是 图 中 的
)
小结2：看到一次函数与反比例函数图像的共存， 想到函数图像特点。
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题组三
交点问题与不等式
k1 【例 3】如图所示，反比例函数 y1＝ 的图象与正比例函数 x y2＝k2x 的图象交于点(2，1)，则使 y1＞y2 的 x 的取值范
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4.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB 分别与x轴、y轴交于B 和A，与反比例函数的图象 交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO= ，OB=4， OE=2． （1）求直线AB 和反比例函数的解析式； （2）求△OCD的面积．
y
A
D E C O B
x
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小结4：看到求函数的关系式，想到利用待定系数法 看到交点坐标，想到 是两个函数关系式组成 方程组的解； 看到面积，想到 三角形面积公式，不规则图形 的面积要转化为和它有关的规 则图形的面积来求解.
；
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k 3 k y＝x的解析式得 ＝ ， 2 2
∴k＝3. 3 ∴双曲线的解析式为 y＝x.
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4 ．[ 2 0 1 4
· 自贡]如图 5 ，一次函数 y＝ kx ＋ b 与反比例函数 y
6 ＝ (x >0)的图象交于 A (m ，6)，B (3，n )两点． x (1)求一次函数的解析式； 6 (2)根据图象直接写出 kx ＋b－ <0 的 x 的取值范围； x (3)求△AOB 的面积．
2．如图所示，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝ 其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b＜
交于A、B 两点， 的解集是( B ) D. x<0
A. x<1或x>5
B. 1<x<5
C. x>5或x<0
3.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y= ________. 24
的图象交于
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2-x1 )(y2- y1 )的值为
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k2 1. 已知 k1< 0 < k2，则函数 y＝k1x－1 和 y＝ 的 图 象 大 致 x
是 图 中 的 （ A ）
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6 ( A x(2x ， x1 y )( 1 1 )y2 y1 ) y x
【例4】 如图一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别 交于A，B两点，与反比例函数y= 的图象在第二象 限的交点为C，CD⊥x轴垂足为D，若OB=2，OD=4， △AOB的面积为1． （1）求一次函数与反比例的解析式； （2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣ ＞0的解集．
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6.解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x轴于点E， tan∠ABO= = = ∴OA=2，CE=3．∴点A的坐标为（0，2）、 点B的坐标为（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则 解得 ． 故直线AB的解析式为y=﹣ x+2． 设反比例函数的解析式为y= （m≠0），将点C的坐标代入， 得3= ，∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣ ． （2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得 ，
6＝k＋b， k＝－2， ∴ 解得 2＝3k＋b， b＝8，
即 一 次 函 数 解 析 式 为
y＝－2x＋8；
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2 () 根 据 图 象 可 知 或 x> 3；
6 k x ＋b－x< 0 的x的 取 值 范 围 是
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【变式训练1】 正比例函数y＝4x和反比例函数 y= 的图象相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
求8x1y2－3x2y1的值．
答案：－10.
小结1：看到正比例函数与反比例函数图像交点，
想到 两交点关于原点对称 ____________
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题组一 【例1】
函数图象的对称性 如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=
的图象相交于点A、B 两点，若点A 的坐标为(2，1)，则点B 的坐标是( A．(1，2) C．(－1，－2) D ) B．(－2，1) D．(－2，－1)
解析：由题意可知：A与B关于原点对称，所以B(－2，－1)．
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1 1 解：∵直 线 y＝ x＋ 与 x 轴交于点 A， 2 2 ∴A(－1，0)，∴OA＝1. ∵OC＝2OA，∴OC＝2.
3 1 1 3 令 x＝2，则有 y＝ ×2＋ ＝ ，∴B2，2. 2 2 2
将点 B
3 的坐标2，2代入双曲线
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图Z6－6
解：(1)∵点 D(2，－3)在反比例 k2 函数 y2＝ x 的图象上， 6 ∴k2＝2×(－3)＝－6，∴y2＝－ ； x
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中考变形5答图
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如答图，作 DE⊥x 轴于 E， ∵D(2，－3)，点 B 是线段 AD 的中点，∴A(－2，0)， ∵A(－2，0)，D(2，－3)在 y1＝k1x＋b 的图象上， 3 k1＝－ ， － 2 k ＋ b ＝ 0 ， 4 1 ∴ 解得 2k1＋b＝－3， b＝－3. 2 3 3 ∴y1＝－ x－ ； 4 2
可得交点D的坐标为（6，﹣1）， 则△BOD的面积=4×1÷2=2，
△BOD的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8．
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4 4．如图所示，函数 y＝－x 与函数 y＝－ 的图象相交于 A，B 两 x 点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D.则 四边形 ACBD 的面积为 ( D )
2025年九年级中考数学二轮复习专题突破课件：专题七反比例函数的综合
∵B(－3，－2)，BC⊥x 轴．∴C(－3，0)，OC＝3.
设点 P 的坐标为n，n6 . S△POC＝12 OC·yP＝12 ×3×n6 ＝n9 . ∵S△POC＝2S△ABC＝10，∴n9 ＝10. ∴n＝190 .∴n6 ＝230 .∴点 P 的坐标为190，230 .
第1题图
2．如图，直线y＝kx＋b与双曲线y＝mx 相交于点A(2，3)，B(n，1). (1)分别求双曲线和直线的函数表达式；
∴S△ODE＝S△OBC－S△OCD－S△BDE＝12－3－29 ＝92 .
(3)若P是x轴上的动点，当PD＋PE的值最小时，求点P的坐标．
解：如答图5，作点E关于x轴的对称点E′，连接DE′，与x轴相交于
点P，此时PD＋PE的值最小．
由(1)知，E(3，2).∴E′(3，－2).
设直线DE′的解析式为y＝mx＋n.
k x
(x＞0)的图象与正比例函数y＝3x
(x≥0)的图象交于点A(2，a)，点B是线段OA上(不与点A重合)的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
解：将A(2，a)代入y＝3x，得a＝3×2＝6.
∴A(2，6).
将 A(2，6)代入 y＝kx ，得 6＝k2 .解得 k＝12.
∴反比例函数的表达式为 y＝1x2 .
答图3
②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围． 解：b＞92 .
【提示】∵BC＞BD，∴点C在点B的上方，如答图4所示．
当BC＝BD时，此时点B为CD的中点．
∵yB＝3，yD＝0，∴yC＝6.
将 yC＝6 代入 y＝3x ，得 6＝x3 .解得 x＝12 .∴C12，6 . 把 C12，6 代入 y＝3x＋b，得 6＝3×21 ＋b.解得 b＝92 . ∵BC＞BD，∴b＞92 .
中考数学专题复习7反比例函数及其运用(解析版)
反比例函数及其运用复习考点攻略考点一 反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地.函数ky x=（k 是常数.k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数.函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数k y x =（k 是常数.k ≠0）中x .y 的取值范围：反比例函数ky x=（k 是常数.k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数.函数值y 的取值范围也是非零实数． 【例1】下列函数中.y 与x 之间是反比例函数关系的是 A ．xyB ．3x +2y =0C ．y =D ．y =【答案】A考点二 反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线.它有两个分支.这两个分支分别位于第一、三象限.或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0.函数y ≠0.所以.它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.即双曲线的两个分支无限接近坐标轴.但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时.函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内.y 随x 的增大而减小．当k <0时.函数图象的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大．2kx 21x +表达式 ky x=（k 是常数.k ≠0） kk >0k <0大致图象所在象限 第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内.y 随x 的增大而减小在每个象限内.y 随x 的增大而增大反比例函数的图象既是轴对称图形.又是中心对称图形.其对称轴为直线y =x 和y =-x .对称中心为原点． 【注意】（1）画反比例函数图象应多取一些点.描点越多.图象越准确.连线时.要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x |的增大.双曲线逐渐向坐标轴靠近.但永远不与坐标轴相交.因为反比例函数ky x=中x ≠0且y ≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的.因此在谈到反比例函数的增减性时.都是在各自象限内的增减情况．当k >0时.在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小.但不能笼统地说当k >0时.y 随x 的增大而减小．同样.当k <0时.也不能笼统地说y 随x 的增大而增大．【例2】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．y ax a =-(0)ay a x=≠【答案】D【解析】当时..则一次函数经过一、三、四象限.反比例函数经过一 、三象限.故排除A.C 选项； 当时..则一次函数经过一、二、四象限.反比例函数经过二、四象限.故排除B 选项.故选：D ．【例3】若点.在反比例函数的图象上.且.则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或【答案】B【解析】解：∵反比例函数.∴图象经过第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大.①若点A 、点B 同在第二或第四象限.∵.∴a -1＞a+1.此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限.∵.∴.解得：； ③由y 1＞y 2.可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能． 综上.的取值范围是．故选：B ．考点三 反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法.由于在反比例函数ky x=中.只有一个待定系数.因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标.即可求出k 的值.从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为ky x=（k ≠0）； （2）把已知一对x .y 的值代入解析式.得到一个关于待定系数k 的方程； （3）解这个方程求出待定系数k ；（4）将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式．【例4】点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.到x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为（ ）0a >0a -<y ax a =-(0)ay a x=≠0a <0a ->y ax a =-(0)ay a x=≠()11,A a y -()21,B a y +(0)ky k x=<12y y >a 1a <-11a -<<1a >1a <-1a >(0)ky k x=<12y y >12y y >1010a a -⎧⎨+⎩＜＞11a -<<a 11a -<<A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x【答案】B【解析】设A点坐标为（x.y）．∵A点到x轴的距离为3.∴|y|=3.y=±3．∵A点到原点的距离为5.∴x2＋y2=52.解得x=±4.∵点A在第二象限.∴x=-4.y=3.∴点A的坐标为（-4.3）.设反比例函数的解析式为y=.∴k=-4×3=-12.∴反比例函数的解析式为y=.故选B．考点四反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时.可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①.S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②.已知一次函数与反比例函数kyx=交于A、B两点.且一次函数与x轴交于点C.则S△AOB=S△AOC+S△BOC=1||2AOC y⋅+1||2BOC y⋅=1(||||)2A BOC y y⋅+；（3）如图③.已知反比例函数kyx=的图象上的两点.其坐标分别为()A Ax y，.k x 12 x-()B B x y ，.C 为AB 延长线与x 轴的交点.则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．【例5】如图.已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D .与直角边AB 相交于点C .若△OBC 的面积为9.则k =__________．【答案】6【解析】如图.过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E .∵△ODE 的面积和△OAC 的面积相等．∴△OBC 的面积和四边形DEAB 的面积相等且为9． 设点D 的横坐标为x .纵坐标就为. ∵D 为OB 的中点．∴EA =x .AB =. ∴四边形DEAB 的面积可表示为：（+）x =9；k =6． 故答案为：6．【例6】如图.A 、B 两点在双曲线y x=的图象上.分别经过A 、B 两点向轴作垂线段.已知1S =阴影.则12S S +=ky x=k x 2k x12k x 2k xA ．8B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】∵点A 、B 是双曲线y =上的点.分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段.则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |=4.∴S 1+S 2=4+4-1×2=6.故选B ．考点五 反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时.联立两个解析式.构造方程组.然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围.只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如.如下图.当12y y >时.x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理.当12y y <时.x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从几何角度看.一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定. ①k 值同号.两个函数必有两个交点；②k 值异号.两个函数可能无交点.可能有一个交点.也可能有两个交点；（2）从代数角度看.一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．【例7】已知抛物线y ＝x 2+2x +k +1与x 轴有两个不同的交点.则一次函数y ＝kx ﹣k 与反比例函数y ＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）4xA．B．C．D．【解析】∵抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点.∴△＝4﹣4（k+1）＞0.解得k＜0.∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一二四象限.反比例函数y＝的图象在第二四象限.故选：D．考点六反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时.先确定函数解析式.再利用图象找出解决问题的方案.特别注意自变量的取值范围．【例8】如图.△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∠ACO=∠ADB=90°.反比例函数y=k在第一象限的图象经过点B.若xOA2−AB2=12.则k的值为______．【解析】设B点坐标为(a,b).∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∴OA=√2AC.AB=√2AD.OC=AC.AD=BD.∵OA2−AB2=12.∴2AC2−2AD2=12.即AC2−AD2=6.∴(AC+AD)(AC−AD)=6.∴(OC+BD)⋅CD=6.∴a⋅b=6.∴k=6．故答案为：6．.(其中mk≠0)图象交于【例9】如图.一次函数y=kx+b与反比例函数y=mxA(−4,2).B(2,n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△ABO的面积；(3)请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【解析】(1)∵一次函数y =kx +b 与反比例函数y =m x(mk ≠0)图象交于A(−4,2).B(2,n)两点．根据反比例函数图象的对称性可知.n =−4. ∴{2=−4k +b−4=2k +b .解得{k =−1b =−2.故一次函数的解析式为y =−x −2. 又知A 点在反比例函数的图象上.故m =−8. 故反比例函数的解析式为y =−8x ； (2)在y =−x −2中.令y =0.则x =−2. ∴OC =2.∴S △AOB =12×2×2+12×2×4=6； (3)根据两函数的图象可知：当x <−4或0<x <2时.一次函数值大于反比例函数值．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中.是反比例函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①不是正比例函数.②③④是反比例函数.故选C ．2.点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.则x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为（ ）A ．y =12xB ．y =-12xC ．y =112xD ．y =-112x【答案】C【解析】∵反比例函数y =-中.k =-6.∴只需把各点横纵坐标相乘.结果为-6的点在函数图象上.四个选项中只有C 选项符合.故选C ． 3. 已知点A （1.m ）.B （2.n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上.则（ ） A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<.它的图象经过A （1.m ）.B （2.n ）两点.∴m =k <0.n =2k<0.∴0m n <<.故选A ．4. 如图.等腰三角形ABC 的顶点A 在原点.顶点B 在x 轴的正半轴上.顶点C 在函数y =kx（x >0）的图象上运动.且AC =BC .则△ABC 的面积大小变化情况是（ ）A ．一直不变B ．先增大后减小C ．先减小后增大D ．先增大后不变【答案】A【解析】如图.作CD ⊥AB 交AB 于点D .则S △ACD =.∵AC =BC .∴AD =BD .∴S △ACD =S △BCD . ∴S △ABC =2S △ACD =2×=k .∴△ABC 的面积不变.故选A ．6x 2k2k5.如图.点.点都在反比例函数的图象上.过点分别向轴、轴作垂线.垂足分别为点.．连接..．若四边形的面积记作.的面积记作.则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：点P （m.1）.点Q （−2.n ）都在反比例函数y ＝的图象上. ∴m×1＝−2n ＝4.∴m ＝4.n ＝−2.∵P （4.1）.Q （−2.−2）.∵过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线.垂足分别为点M.N.∴S 1＝4.作QK ⊥PN.交PN 的延长线于K.则PN ＝4.ON ＝1.PK ＝6.KQ ＝3. ∴S 2＝S △PQK −S △PON −S 梯形ONKQ ＝×6×3−×4×1−（1＋3）×2＝3.∴S 1：S 2＝4：3.故选：C ．6. 已知一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示.则当y 1<y 2时.x 的取值范围是（ ）(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =4x121212A ．x <-1或0<x <3B ．-1<x <0或x >3C ．-1<x <0D ．x >3【答案】B【解析】根据图象知.一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx的交点是（-1.3）.（3.-1）.∴当y 1<y 2时.-1<x <0或x >3.故选B ．7.如图.在平面直角坐标系xOy 中.函数()0y kx b k =+≠与()0my m x=≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --.则不等式mkx b x+>的解集为（ ）A ．6x <-B 60x -<<．或2x >C ．2x >D 6x <-．或02x <<8. 如图.直线l ⊥x 轴于点P .且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A .B .连接OA .OB .已知△OAB 的面积为2.则k 1-k 2的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-4【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k .△BOP 的面积为22k. ∴△AOB 的面积为12k −22k . ∴12k −22k =2.∴k 1–k 2=4.故选C ． 9. 一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=.其中ab <0.a 、b 为常数.它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0. ∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限.所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴正半轴.则b >0.满足ab <0. ∴a −b <0.∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限.所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0.∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx的图象过一、三象限.所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab >0.与已知相矛盾. 所以此选项不正确.故选C ．10. 如图.一次函数与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2).与反比例函数的图象交于点Q .反比例函数图象上有一点P 满足：①PA ⊥x 轴；②PO =√17(O 为坐标原点).则四边形PAQO 的面积为( )A. 7B. 10C. 4+2√3D. 4−2√3【答案】C【解析】∵一次函数y =ax +b 与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2). ∴−4a +b =0.b =2. ∴a =12.∴一次函数的关系式为：y =12x +2. 设P(−4,n).∴√(−4)2+n 2=√17. 解得：n =±1.由题意知n =−1.n =1(舍去). ∴把P(−4,−1)代入反比例函数y =mx . ∴m =4.反比例函数的关系式为：y =4x .解{y =12x +2y =4x 得.{x =−2+2√3y =√3+1.{x =−2−2√3y =1−√3. ∴Q(−2+2√3,√3+1).∴四边形PAQO 的面积=12×4×1+124×2+12×2×(−2+2√3)=4+2√3. 故选：C ．第二部分 填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.则该反比例函数的解析式为________． 【答案】 【解析】令y=2x 中y=2.得到2x=2.解得x=1.∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2）. 设反比例函数解析式为.将点（1,2）代入.得. ∴反比例函数的解析式为.故答案为：. 12.如图.直线y =x 与双曲线()0ky k x=>的一个交点为A .且OA =2.则k 的值为__________．【答案】2【解析】∵点A 在直线y =x 上.且OA =2.∴点A的坐标为把得.∴k=2.故答案为：2． 13. 已知(),3A m 、()2,B n -在同一个反比例函数图像上.则m n =__________．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠.将(),3A m 、()2,B n -分别代入.得 3k m =.2k n =-. 2y x =2y x=2y x =ky x=122k =⨯=2y x =2y x=(22)，(22)，ky x=22=∴2332k m k n ==--. 故答案为：23-． 14.平面直角坐标系xOy 中.点A （a .b ）（a >0.b >0）在双曲线y =上.点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =.则k 1+k 2的值为__________． 【答案】0【解析】∵点A （a .b ）（a >0.b >0）在双曲线y =上.∴k 1=ab ； 又∵点A 与点B 关于x 轴对称.∴B （a .–b ）.∵点B 在双曲线y =上.∴k 2=–ab ；∴k 1+k 2=ab +（–ab ）=0.故答案为：0． 15.如图.点A 是反比例函数图象上的一点.过点A 作轴.垂足为点C .D 为AC 的中点.若的面积为1.则k 的值是【答案】4【解析】点A 的坐标为（m.2n ）.∴.∵D 为AC 的中点.∴D （m.n ）. ∵AC ⊥轴.△ADO 的面积为1.∴. ∴.∴ 16. 如图.反比例函数y =24x(x >0)的图象与直线y =32x 相交于点A .与直线y =kx(k ≠0)相交于点B .若△OAB 的面积为18.则k 的值为______．【答案】41k x2k x1k x2k x y x=AC x ⊥AOD ∆2mn k =x ()ADO11121222S AD OC n n m mn =⋅=-⋅==2mn =24k mn ==【解析】：由题意得.{y =24xy =32x .解得：{x 1=4y 1=6.{x 2=−4y 2=−6(舍去). ∴点A(4,6).(1)如图1.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的下方. 过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴.BN ⊥x 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =b .BN =24b.∴点A(4,6).∴OM =4.AM =6；∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(6+24b)(b −4).解得.b 1=8.b 2=−2(舍去) ∴点B(8,3).代入y =kx 得. k =38； (2)如图2.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的上方. 过点A 、B 分别作AM ⊥y 轴.BN ⊥y 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =24b.BN =b .∴点A(4,6).∴OM =6.AM =4；∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(b +4)(24b −6). 解得.b 1=2.b 2=−8(舍去) ∴点B(2,12).代入y =kx 得. k =6；故答案为：6或38．第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17. 如图.已知A （–4.n ）.B （2.–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．【答案】（1）y =–x –2.y =–；（2）6【解析】（1）∵B （2.–4）在y =图象上. ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–． ∵点A （–4.n ）在y =–图象上. ∴n =2. ∴A （–4.2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4.2）.B （2.–4）.∴.解得．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图.令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点.mx8xmx 8x8x4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩12k b =-=-⎧⎨⎩当x=0时.y =–2. ∴点C （0.–2）． ∴OC =2.∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6． 18.如图.已知反比例函数y x=与一次函数y =x +b 的图象在第一象限相交于点A （1.-k +4）． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标.并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）.y =x +1；（2）B 的坐标为（-2.-1）.x <-2或0<x <1 【解析】（1）∵已知反比例函数经过点A （1.-k +4）. ∴.即-k +4=k . ∴k =2.∴A （1.2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1.2）. ∴2=1+b .∴b =1.∴反比例函数的表达式为. 一次函数的表达式为y =x +1．12122y x=ky x=41kk -+=2y x=（2）由.消去y .得x 2+x -2=0. 即（x +2）（x -1）=0. ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2．∴或．∵点B 在第三象限. ∴点B 的坐标为（-2.-1）.由图象可知.当反比例函数的值大于一次函数的值时.x 的取值范围是x <-2或0<x <1． 19.如图.一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于.两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位.使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点.求的值．【答案】（1）；（2）b 的值为1或9． 【解析】（1）由题意.将点代入一次函数得： 将点代入得：.解得 则反比例函数的表达式为； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为联立整理得： 12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩21x y ⎧=-⎨=-⎩12x y ⎧=⎨=⎩5y x =+ky x=k 0k ≠(1,)A m -B 5y x =+y b (0)b >ky x=b 4y x=-(1,)A m -5y x =+154m =-+=(1,4)A -∴(1,4)A -ky x=41k =-4k =-4y x =-5y x =+y b 5y x b =+-54y x by x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩2(5)40x b x +-+=一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点 关于x 的一元二次方程只有一个实数根此方程的根的判别式解得则b 的值为1或9．20.如图.一次函数y =kx +b （k 、b 为常数.k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.且与反比例函数y =（n 为常数.且n ≠0）的图象在第二象限交于点C ．CD ⊥x 轴.垂足为D .若OB =2OA =3OD =12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E .求△CDE 的面积； （3）直接写出不等式kx +b ≤的解集．【答案】（1）y =–2x +12；（2）140；（3）x ≥10.或–4≤x ＜0 【解析】（1）由已知.OA =6.OB =12.OD =4.∵CD ⊥x 轴.∴OB ∥CD .∴△ABO ∽△ACD . ∴=.∴=.∴CD =20. ∴点C 坐标为（–4.20）.∴n =xy =–80. ∴反比例函数解析式为：y =–. 把点A （6.0）.B （0.12）代入y =kx +b 得：.解得.∴一次函数解析式为：y =–2x +12； （2）当–=–2x +12时.解得x 1=10.x 2=–4； 当x =10时.y =–8.∴点E 坐标为（10.–8）. ∴S △CDE =S △CDA +S △EDA =×20×10+×8×10=140； 5y x b =+-4y x=-∴2(5)40x b x +-+=∴2(5)440b ∆=--⨯=121,9b b ==nxnxOA AD OBCD 61012CD80x0612k b b =+=⎧⎨⎩212k b =-=⎧⎨⎩80x1212（3）不等式kx +b ≤.从函数图象上看.表示一次函数图象不高于反比例函数图象； ∴由图象得.x ≥10.或–4≤x ＜0． 21.如图.一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y=的图象相交于A 、B 两点.其中点A 的坐标为（–1.4）.点B 的坐标为（4.n ）．（1）根据图象.直接写出满足k 1x +b >的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上.且S △AOP ∶S △BOP =1∶2.求点P 的坐标． 【答案】（1）x <–1或0<x <4；（2）y =–（3）P （.）【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1.4）.点B 的坐标为（4.n ）．由图象可得：k 1x +b >的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）∵反比例函数y =的图象过点A （–1.4）.B （4.n ）. ∴k 2=–1×4=–4.k 2=4n .∴n =–1.∴B （4.–1）. ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A .点B .∴. 解得k =–1.b =3.∴直线解析式y =–x +3.反比例函数的解析式为y =–； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C .∴C （0.3）.∵S △AOC =×3×1=. ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =×3×1+×3×4=. n x2k x 2k xx 332k x2k x 11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩4x 12321212152∵S△AOP ：S △BOP =1：2.∴S △AOP =×=. ∴S △COP =–=1.∴×3x P =1.∴x P =. ∵点P 在线段AB 上.∴y =–+3=.∴P （.）．22.如图.反比例函数1k y x=和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -． （1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA.试问在x 轴上是否存在点P.使得OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.若存在.直接写出满足题意的点P 的坐标；若不存在.说明理由．【答案】（1）22y x =+（2）见解析【解析】（1）∵反比例函数1k y x =和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -. ∴k=1×3=3.∴13y x=. ∴-3a=3.解得：a=-1.∴B(-3.-1).∴331m n m n +=⎧⎨-+=-⎩.解得：12m n =⎧⎨=⎩. ∴22y x =+；（2）设P(t.0).∵()1,3A .∴222(1)(03)(1)9t t -+-=-+t 221310+. 15213525232122323732373∵OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.∴OA=AP 或OA=OP.当OA=AP 时.22(1)9(10)t -+=.解得：1220t t ==，（不符合题意.舍去）. ∴P(2.0)；当OA=OP 时.t 10解得：10.∴10.0)或P(10.0).综上所述：存在点P.使OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.点P 坐标为：(2.0) 或10.0)或(10.0)．。
中考复习_一次函数与反比例函数的综合应用
一次函数与反比例函数的综合应用一、选择题1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数a y x =与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ） 考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：由已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，然后就可以确定反比例函数xa y =与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象．解答：解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向向下，∴a ＜0，对称轴在y 轴的左边，∴x ＝－a b 2＜0，∴b ＜0， ∴反比例函数xa y =的图象在第二四象限， 正比例函数y ＝bx 的图象在第二四象限．故选B ．点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值．2. （2011•青海）一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=错误!未找到引用源。
的大致图象是（ ）A 、B 、Ox yO y x A O y x B O y xD O y x CC、D、考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
分析：根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判断出反比例函数所在的象限即可．解答：解：根据题意：一次函数y=﹣2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y=错误!未找到引用源。
过一、三象限．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中k1、b 及y=错误!未找到引用源。
中k2的取值．3.（2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx错误!未找到引用源。
在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
中考数学一次函数与反比例函数的综合运用复习
中考数学一次函数与反比例函数的综合运用复习文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]2016中考数学一次函数与反比例函数的综合运用复习本专题是对一次函数与反比例函数的综合问题进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强.试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合又有与空间几何的综合.解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型.例 1 (2015·成都)如图，一次函数y=kx+5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例函数y=-的图象交于A(-2,b)，B 两点. (1)求一次函数的表达式； (2)求B 点的坐标. 针对训练1.(2014·菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过点A(1，0)，与反比例函数y ＝(x ＞0)的图象相交于点B(2，1). (1)求m 的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx+b>的解集. 2.(2014·广州)已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=-的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2.(1)求k 的值和点A 的坐标； (2)判断点B 的象限，并说明理由.3.(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=mx 与双曲线y=相交于A(-1，a)、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1. (1)求m 、n 的值； (2)求直线AC 的解析式.8xmxmx2kxn x4.(2014·宜宾)如图，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数y=-的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称. (1)求A 、B 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积.5.(2014·甘孜)如图，在△AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA ，AB 于点C 和点D ，且△BOD 的面积S △BOD ＝4. (1)求反比例函数解析式； (2)求点C 的坐标.6.(2014·资阳)如图，一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象过点P(-，0)，且与反比例函数y=(m ≠0)的图象相交于点A(-2,1)和点B. (1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？ 参考答案1.(1)把点B(2，1)代入y ＝，得m ＝1×2=2. ∵一次函数y ＝kx+b 的图象经过点A(1，0)，B(2，1), ∴解得∴一次函数的解析式为y ＝x-1. (2)x ＞2.2.(1)当x=2时，y=kx-6=2k-6， y=-=-k. 由题意，得2k-6=-k.解得k=2.3xk x32mxmx0,12.k b k b =+⎧⎨=+⎩1,1.k b =⎧⎨=-⎩2kx故一次函数解析式为y=2x-6， 反比例函数解析式为y=-. ∴A(2，-2).(2)B 点在第四象限，理由如下：一次函数y=2x-6经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， 因此它们的交点都是在第四象限.3.(1)∵直线y=mx 与双曲线y=相交于A(-1，a)、B 两点， ∴B 点横坐标为1，即C(1，0). ∵△AOC 的面积为1，∴A(-1，2). 将A(-1，2)代入y=mx ，y=可得 m=-2，n=-2.(2)设直线AC 的解析式为y=kx+b ， ∵y=kx+b 经过点A(-1，2)、C(1，0)， ∴解得∴直线AC 的解析式为y=-x+1.4.(1)根据题意得解方程组得或∴A(-1，3)，B(3，-1).(2)把y=0代入y=-x+2得-x+2=0，解得x=2， ∴D(2，0).∵C 、D 两点关于y 轴对称， ∴C(-2，0)，4xn x nx20.k b k b -+=⎧⎨+=⎩，11.k b =-⎧⎨=⎩，23y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩1,3x y =-⎧⎨=⎩3,1.x y =⎧⎨=-⎩∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =×(2+2)×3+×(2+2)×1=8. 5.(1)由S △BOD ＝4，得k ＝8. ∴反比例函数解析式为y=. (2)∵OB ＝4，AB ＝8，∠ABO ＝90°， ∴A 点坐标为(4，8).设直线AO 的解析式为y ＝kx ，则4k ＝8，解得k ＝2. 即直线AO 的解析式为y ＝2x.联立方程组：解得或(舍去)∴点C 的坐标为(2，4).6.（1）∵函数y=kx+b 图象过点P(-，0)和点A(-2，1)，∴解得∴一次函数的解析式为y=-2x-3. 又反比例函数的图象过点A(-2，1)， ∴=1，即m=-2. 故反比例函数的解析式为y=-.(2)联立解得或 ∴B(，-4).由图可知，当-2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.12128x82.y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，1124x y =⎧⎨=⎩，2224.x y =-⎧⎨=-⎩，3230,22 1.k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩2,3.k b =-⎧⎨=-⎩2m-2x23,2y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩1121x y =-⎧⎨=⎩，221,24.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩1212。
中考数学复习 查补重难点 反比例函数与一次函数的综合运用(原卷版)
查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。
无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。
通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。
在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。
题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。
解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。
．B ．．．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx =k x的图象可能是（）．B ．C ．D ．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。
厦门中考初三复习一次函数和反比例函数的综合
初三复习编写日期：2014-7-12 授课日期：2014-7- 授课人: 授课课题：一次函数和反比例函数的综合教学目的:掌握一次函数和反比例函数的综合问题，会求解析式，会求交点坐标，会与不等式结合，解决相关问题。
教学重难点:综合问题 知识点：【例1】将直线4=y x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904⎛⎫⎪⎝⎭，A ，与双曲线(0)=>k y x x 交于点B ．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点B 的纵标为m ，求k 的值（用含有m 的式子表示）．【例2】如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象相交于A 、B 两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y <BAOyx-2-6413-8-6-4-2-2642642OBAy x【例3】已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()32A ，．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MB x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【例4】如图，反比例函数8y x=的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1．（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标；（2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值（第22题）【思考1】2009，北京 如图，A 、B 两点在函数()0my x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ， 即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值． 解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3， 当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)， 设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173， 令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1， 得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称． 【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)， 代入一次函数y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。
这个三角形的面积等于2k 。
2. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。
3. 反比例函数与一次函数的不等式问题： 若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk+＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。
反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
练习题1、（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝xk1（k 1是非零常数，x ＞0）的图像交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝xk2（k 2是非零常数，x ＞0）的图像交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．23 D ．﹣23【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论． 【解答】解：∵y 1、y 2的图像均在第一象限， ∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3， ∴k 2﹣k 1＝3， ∴k 1﹣k 2＝﹣3， 故选：B ．2、（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝43，若反比例函数y ＝xk（k ≠0）图像的一支经过点A ，则k 的值是（ ）A ．233 B ．23C ．433 D ．43【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，得出S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，即可求出k 的值．【解答】解：如图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ， ∵△OAB 是正三角形， ∴OC ＝BC ，∴S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，又∵k ＞0， ∴k ＝4，故选：D ．3、（2022•郴州）如图，在函数y ＝x2（x ＞0）的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣x8（x ＜0）的图像于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可． 【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图像上， ∴S △BOC ＝×8＝4， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4 ＝5， 故选：B ．4、（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y ＝x 3的图像上，顶点A 在反比例函数y ＝xk的图像上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【分析】设B （a ，），根据四边形OBAD 是平行四边形，推出AB ∥DO ，表示出A 点的坐标，求出AB ＝a ﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B （a ，）， ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB ∥DO ， ∴A （，），∴AB ＝a ﹣，∵平行四边形OBAD 的面积是5， ∴（a ﹣）＝5，解得k ＝﹣2， 故选：D ．5、（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝xk 1（k 1＞0）和y ＝xk 2（k 2＞0）的图像上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE ＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B ．6、（2022•邵阳）如图是反比例函数y ＝x1的图像，点A （x ，y ）是反比例函数图像上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．C ．2D ．【分析】由反比例函数的几何意义可知，k ＝1，也就是△AOB 的面积的2倍是1，求出△AOB 的面积是．【解答】解：∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，∵A 为反比例函数y ＝图像上一点， ∴xy ＝1，∴S △ABO ＝AB •OB ＝xy ＝1＝，故选：B ．7、（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝x 8和y ＝xk的图像交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【分析】利用k 的几何意义解题即可． 【解答】解：∵直线l ∥y 轴， ∴∠OMP ＝∠OMQ ＝90°，∴S △OMP ＝×8＝4，S △OMQ ＝﹣k ． 又S △POQ ＝15， ∴4﹣k ＝15， 即k ＝11，∴k ＝﹣22． 故选：D ．8、（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝x1（x ＞0）的图像上，则经过点A 的函数图像表达式为 ．【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，根据△OAB 是等腰直角三角形，可证明△BOC ≌△OAD ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △OBC ＝，则S △OAD ＝，所以|k |＝，然后求出k 得到经过点A 的反比例函数解析式． 【解答】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ， ∴∠ADO ＝∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOD +∠BOC ＝90°， ∴∠AOD +∠DAO ＝90°， ∴∠BOC ＝∠DAO ， ∵OB ＝OA ，∴△BOC ≌△OAD （AAS ），∵点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △OBC ＝， ∴S △OAD ＝， ∴k ＝﹣1，∴经过点A 的反比例函数解析式为y ＝﹣． 故答案为：y ＝﹣．9、（2022•盐城）已知反比例函数的图像经过点（2，3），则该函数表达式为 ． 【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可． 【解答】解：令反比例函数为y ＝（k ≠0）， ∵反比例函数的图像经过点（2，3）， ∴3＝， k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．10、（2022•湖北）在反比例函数y ＝xk 1−的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 【分析】由整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，可得k ＝±4，由反比例函y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解得k ＞1，则k ＝4，即可得反比例函数的解析式．【解答】解：∵整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，∴k ＝±4， ∵反比例函数y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，∴k ﹣1＞0， 解得k ＞1， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．35．（2022•陕西）已知点A （﹣2，m ）在一个反比例函数的图像上，点A '与点A 关于y 轴对称．若点A '在正比例函数y ＝21x 的图像上，则这个反比例函数的表达式为 ．【分析】根据轴对称的性质得出点A '（2，m ），代入y ＝x 求得m ＝1，由点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上，从而求得反比例函数的解析式． 【解答】解：∵点A '与点A 关于y 轴对称，点A （﹣2，m ）， ∴点A '（2，m ），∵点A '在正比例函数y ＝x 的图像上， ∴m ＝＝1，∴A （﹣2，1），∵点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上， ∴反比例函数的表达式为y ＝﹣， 故答案为：y ＝﹣．11、（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝xk 2的图像交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x ≤xk2时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B 点的坐标，然后根据图像即可求得． 【解答】解：∵正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图像交于A （1，m ）、B 两点，∴B （﹣1，﹣m ）， 由图像可知，当k 1x ≤时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜0或x ≥1，故选：A ．37．（2022•东营）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 与反比例函数y 2＝xk 2的图像相交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为﹣1，则不等式k 1x +b ＜xk2的解集是（ ）A ．﹣1＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜﹣1或0＜x ＜2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜2【分析】根据两函数图像的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k 1x +b ＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图像可知，当﹣1＜x ＜0或x ＞2时，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像在反比例函数y 2＝的图像的下方，∴不等式k 1x +b ＜的解集为：﹣1＜x ＜0或x ＞2，故选：A ．12、（2022•朝阳）如图，正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝xk（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点，则不等式ax ＞xk的解集为（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．﹣2＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B （2，﹣m ），然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．【解答】解：∵正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点， ∴B （2，﹣m ），∴不等式ax ＞的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜2， 故选：D ．13、（2022•无锡）一次函数y ＝mx +n 的图像与反比例函数y ＝xm的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （﹣m1，﹣2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积是（ ） A ．3B ．413C ．27D ．415【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征求出m ，进而求出点A 、B 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点A （﹣，﹣2m ）在反比例函数y ＝上， ∴﹣2m ＝，解得：m ＝2，∴点A 的坐标为：（﹣，﹣4），点B 的坐标为（2，1）， ∴S △OAB ＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，故选：D ．14、（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y 1＝2x 和y 2＝x2的图像．观察图像可得不等式2x ＞x2的解集为（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．x ＜﹣1或x ＞1C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1【分析】结合图像，数形结合分析判断．【解答】解：由图像，函数y 1＝2x 和y 2＝的交点横坐标为﹣1，1， ∴当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即2x ＞， 故选：D ．15、（2022•怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝xa 1−（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．16、（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴＝，∴V＝I（为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．17、（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据等量关系“电流＝”，即可求解．【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．18、（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，∴I＝．∵已知电灯电路两端的电压U为220V，∴I＝．∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，∴≤0.11，∴R≥2000．故选：A．19、（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝U，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝A．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．20、（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图像如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图像经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．。
2020年中考数学高频重点《反比例函数与一次函数的综合》专题突破精练精解(含答案)
【中考数学】专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象，根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如 (k 为常数，0k ≠)的函数，叫做反比例函数，其中x 叫自变量，y 是x 的函数.变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数，0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k的集合意义在反比例函数kyx=(k为常数，0k≠)的图象上任取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数，0k≠)，在根据条件求出未知系数k的值，从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．m>B．m<-C．m m><-．m-<<kxxy2-=3.如图，一次函数y=－x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．4.如图，已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a>0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx上的图象于点N．若PM>PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．5.已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx的图象交于点A ，与x 轴交于点B （5，0），若OB =AB ，且S △OAB =152． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．6.如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．7.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（–1，n）、B（2，–1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系．8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点． (1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)9.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？10.如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．11.如图，矩形ABCD 的两边AD ，AB 的长分别为3，8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝mx 的图象经过点E ，与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(－6，0)，求m 的值及图象经过A ，E 两点的一次函数的解析式； (2)若AF －AE ＝2，求反比例函数的解析式．12.如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ．（1）求直线AB 和反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．13.如图，已知点A在反比例函数(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b 的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．14.如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．15.一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,12)，B(8,-3)．（1）求该一次函数的解析式；（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C(x1，y1)，D(x2,y2)，与轴交于点E，且CD=CE，求m的值．16.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象，根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数，叫做反比例函数，其中x 叫自变量，y 是x 的函数. 变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数，0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k 的集合意义 在反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象上任取一点，过这个点分别作x 轴、y 轴的平行线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于k ｜｜ .知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数，0k≠)，在根据条件求出未知系数k的值，从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．m>B．m<-C．m m><-．m-<<kxkxk xkx xy2-=【答案】C【解析】∵反比例函数2y x=-上两个不同的点关于y 轴对称的点，在一次函数y =–x +m 图象上，∴反比例函数2y x=-与一次函数y =–x +m 有两个不同的交点，联立两个函数解方程22220y x m x mx x x y x m⎧=⎪⇒=-+⇒-+=⎨⎪=-+⎩，∵有两个不同的交点，∴有两个不等的根，∴Δ=m 2–8>0，∴m或m <–，故选C ．3.如图，一次函数y =－x +3的图象与反比例函数y =kx（k ≠0）在第一象限的图象交于A （1，a ）和B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△APC 的面积为5，求点P 的坐标．【解析】（1）把点A （1，a ）代入y =－x +3，得a =2，∴A （1，2），把A （1，2）代入反比例函数y =kx，∴k =1×2=2； ∴反比例函数的表达式为y =2x； （2）∵一次函数y =－x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0）， 设P （x ，0），∴PC =|3－x |，∴S △APC =12|3－x |×2=5，∴x =－2或x =8， 022=+-mxx∴P 的坐标为（－2，0）或（8，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．4.如图，已知反比例函数y =kx（k ≠0）的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P （a ，0）（a >0），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y =﹣x +b 的图象于点M ，交反比例函数y =kx上的图象于点N ．若PM >PN ，结合函数图象直接写出a 的取值范围．【解析】（1）∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点，∴3=1k，3=﹣1+b ，∴k =3，b =4， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y =3x，y =﹣x +4； （2）由图象可得：当1<a <3时，PM >PN ．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．5.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=152．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【解析】（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB=5，∵S△OAB=152，∴12×5×AD=152，∴AD=3，∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ADB中，BD，∴OD=OB+BD=9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y=mx中得，m=9×3=27，∴反比例函数的解析式为y=27x，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y=kx+b中，9350k bk b+=⎧⎨+=⎩，∴3434kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB的解析式为y=34x﹣34；（2）由（1）知，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB=PB时，∴PB=5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB=AP时，如图2，由（1）知，BD=4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP=BD=4，∴OP=5+4+4=13，∴P（13，0），③当PB =AP 时，设P （a ，0）， ∵A （9，3），B （5，0），∴AP 2=（9﹣a ）2+9，BP 2=（5﹣a ）2， ∴（9﹣a ）2+9=（5﹣a ）2，∴a =658， ∴P （658，0）， 即：满足条件的点P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（658，0）． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．6.如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．【答案】（1）由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）P （23，73）． 【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）∵反比例函数y =2k x的图象过点A （–1，4），B （4，n ）， ∴k 2=–1×4=–4，k 2=4n ，∴n =–1，∴B （4，–1）， ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A ，点B ，∴11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得k =–1，b =3，∴直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∵S △AOC =12×3×1=32， ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152， ∵S △AOP ：S △BOP =1：2，∴S △AOP =152×13=52， ∴S △COP =52–32=1，∴12×3x P =1，∴x P =23， ∵点P 在线段AB 上，∴y =–23+3=73，∴P （23，73）．【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．7.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（–1，n）、B（2，–1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系．【答案】（1）一次函数的解析式为y=–x+1，反比例函数的解析式为y=–2x．（2）S△ABD=3．（3）y1<y2．【解析】（1）∵反比例函数y=mx经过点B（2，–1），∴m=–2，∵点A（–1，n）在y=2x-上，∴n=2，∴A（–1，2），把A，B坐标代入y=kx+b，则有221k bk b-+=+=-⎧⎨⎩，解得11kb=-=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=–x+1，反比例函数的解析式为y=–2x．（2）∵直线y=–x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，–1），∵B（2，–1），∴BD∥x轴，∴S △ABD =12×2×3=3． （3）∵M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y =–2x 上的两点，且x 1<x 2<0，s ∴y 1<y 2． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝m x(x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝2，BC ⊥x 轴．∴AD ⊥x 轴．又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵D 在反比例函数y ＝m x的图象上， ∴m ＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x. (2)当x ＝3时，y ＝kx ＋3－3k ＝3，∴一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定过点C.(3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3. 归纳：反比例函数中，y 随x 的大小变化的情况，应分x ＞0与x ＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k ＜0时，y 随x 的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y 随x 的变化是一致的．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．9.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值y ＝10即可．【解答】 解：(1)设线段AB 解析式为y ＝k 1x ＋b(k ≠0)，∵线段AB 过点(0，10)，(2，14)，代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，2k 1＋b ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝10. ∴AB 解析式为y ＝2x ＋10(0≤x ＜5)．∵B 在线段AB 上，当x ＝5时，y ＝20.∴B 坐标为(5，20)．∴线段BC 的解析式为y ＝20(5≤x ＜10)． 设双曲线CD 的解析式为y ＝k 2x(k 2≠0)． ∵C(10，20)，∴k 2＝200.∴双曲线CD 解析式为y ＝200x(10≤x ≤24)． ∴y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋10（0≤x<5），20（5≤x<10），200x （10≤x ≤24）.(2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为20 ℃.(3)把y ＝10代入y ＝200x中，解得x ＝20. ∴20－10＝10.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息，挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题． 10.如图，已知点D 在反比例函数y=的图象上，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足为B （0，3），直线y=kx+b 经过点A （5，0），与y 轴交于点C ，且BD=OC ，OC ：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b 的表达式；（2）直接写出关于x 的不等式＞kx+b 的解集．【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，∴a=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的表达式为y=﹣．将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣2．（2）将y=x ﹣2代入y=﹣，整理得： x 2﹣2x+6=0， ∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图形，可知：当x ＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式＞kx+b 的解集为x ＜0．11.如图，矩形ABCD 的两边AD ，AB 的长分别为3，8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝m x的图象经过点E ，与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(－6，0)，求m 的值及图象经过A ，E 两点的一次函数的解析式；(2)若AF －AE ＝2，求反比例函数的解析式．【解析】：(1)点B 坐标为(－6，0)，AD ＝3，AB ＝8，E 为CD 的中点，∴点A(－6，8)，E(－3，4)．∵函数图象经过点E ，∴m ＝－3×4＝－12.设AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，将点A ，E 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝8，－3k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝0.∴一次函数的解析式为y ＝－43x. (2)AD ＝3，DE ＝4，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝5.∵AF －AE ＝2，∴AF ＝7，BF ＝1.设点E 坐标为(a ，4)，则点F 坐标为(a －3，1)，∵E ，F 两点在函数y ＝m x图象上， ∴4a ＝a －3，解得a ＝－1.∴E(－1，4)．∴m ＝－1×4＝－4.∴反比例函数的解析式为y ＝－4x. 12.如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ． （1）求直线AB 和反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．【答案】见解析。
一次函数与反比例函数综合运用说课
一次函数与反比例函数函数综合应用说课稿一、考情分析：历年中考中将一次函数和反比例函数放在一个坐标系内，根据所给图像提供的信息求解各函数的解析式、确定自变量取值范围、比较函数大小、图形面积等问题，是这部分内容考查的“高频考点”，题型有填空题、选择题、也有中档的解答题。
二、学情分析：之前已经对一次函数和反比例函数进行了专项复习，学生已经初步掌握了一次函数和反比例函数的相关知识，但由于中考中一般是以综合题型的形式进行考查的，而学生综合应用知识和分析问题能力较弱，因此在本节课中特别准备了一些中考常见题型，帮助学生提升分析问题的能力和灵活应用知识的能力。
三、教学目标分析：基于以上分析，本节课我制定了如下教学目标：知识与技能：进一步理解、掌握一次函数和反比例函数的图像及性质，能运用一次函数与反比例函数的图象与性质解决有关问题。
过程与方法：通过对一次函数和反比例函数综合题型的探索与研究，学会运用数形结合的数学思想，提高解题的技能。
情感态度、价值观：激发学生学习数学的兴趣。
让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，增强学数学的信心。
四、教学方法：引导发现，以练代讲，练中总结。
五、学习方法：小组合作，探索发现，总结整合。
六、教学过程：（一）导入以复习一次函数和反比例函数的图像及性质导入，并让学生在学案上记录自己还没有掌握的性质。
设计意图：查漏补缺，起到承上启下的作用，为本节课的探究内容奠定基础。
（二）新授1.中考回顾：以历年中考题为原型，分别从比较函数值大小、求解析式、求图形面积三个方面进行探究，尽量让学生自己思考，口述和书写解题过程，老师在学生出现疑问或错误时进行引导和强调。
设计意图：一方面是为了引领学生开拓思维，提升分析问题的能力和综合应用知识的能力。
另一方面是为了规范学生解题格式，为后面的活动做好铺垫。
2.大显身手：在前面环节的基础上，以中考题为原型，但只给条件，让学生换位思考，假设问题并解决。
设计意图：通过进一步的提高难度，激发学生的好胜心和挑战自我的冲动。