抛物线的几何性质PPT教学课件
抛物线的标准方程及其几何性质
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数学·选修2-1
抛物线的标准方程及其几何性质
主讲教师：刘杨
【知识概述】
一、抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px
(p>0) y2＝－2px
(p>0) x2＝2py
(p>0) x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F0,2p F0,2-p F20p， F2-0p，
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2
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数学·选修2-1
【学前诊断】
1． [难度] 易
抛物线y2＝8x的焦点坐标是______．
2．[难度] 易
动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
3．[难度] 中
设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
【经典例题】
例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
（2）抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
例2．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P与抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求
|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
例3．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，AB的中点为M，则当点M的坐标为_____时，到y轴的距离最短，最短距离为________．
抛物线的简单几何性质
沈阳市第六十八中学高中教务处制 课题 2.4.2抛物线的简单几何性质（一） 授课时间
任课教师 闵海鹰 授课年级 高二
教
学
目
标 知识目标 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质
能力目标 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
德育目标 在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点 抛物线的几何性质及其运用
教学难点 抛物线几何性质的运用
教法 探究法,讲练结合法,讲授法 使用教具 计算机直尺、投影仪、计算器
教
学
过
程 一、复习引入：
1．抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为px2、图形 xyOFl xyOFl
方程 )0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx
焦点 )0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p
准线 2px 2px 2py 2py xyOFlxyOFl沈阳市第六十八中学高中教务处制 左端为2y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为py2，左端为2x （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
二、讲解新课：
抛物线的几何性质
1．范围
因为p＞0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
人教版高数选修2第5讲：抛物线的标准方程与性质(教师版)
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抛物线的标准方程与性质
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1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下 2 类型一 抛物线的定义及应用
例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于( )
A．217 B.17 C．215 D.15
【解析】设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由 y＝kx－2，y2＝8x，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1.
抛物线的简单几何性质 2
未知驱动探索，专注成就专业
1
抛物线的简单几何性质
抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义
抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。这个定义可以用数学表达式来描述，即：
y = ax^2 + bx + c
其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性
抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。这条直线称为抛物线的对称轴。对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。对于抛物线的标准方程 y = ax^2 +
bx + c，对称轴的公式为 x = -b/(2a)。 未知驱动探索，专注成就专业
2
3. 抛物线的顶点
抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过 -b/(2a) 计算得出。将其代入方程中得到对应的 y
坐标。
4. 抛物线的焦点和准线
在抛物线的定义中提到了焦点和准线。焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：
F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)
准线的方程为 y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向
焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。焦距的计算公式为 f = 1/(4a)。由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。当 a 的值越小，焦距越大，抛未知驱动探索，专注成就专业
3
物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
1、抛物线的定义、标准方程、几何性质
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1、抛物线的定义、几何性质
学习目标：
理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题
重点： 抛物线的定义、几何性质
难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题
知识梳理：
抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F不在直线l上）．
注意：点F在直线l上时，轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线
2．抛物线四种标准方程的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
)0(22ppxy
轴
)0(22ppxy
轴
)0(22ppyx
轴
)0(22ppyx
轴
3．抛物线)0(22ppxy的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．
(3)顶点（0，0），焦点(,0)2pF，准线2px，焦准距p．
(4) 焦半径：
抛物线 )0(22ppxy上一点),(00yxP到焦点(,0)2pF的距离2||||0pxPF
抛物线 )0(22ppyx上一点),(00yxP到焦点(,0)2pF的距离 2||||0pyPF
(5) 焦点弦长：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB,
6
则pxxAB21||．
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，
焦点(,0)2pF
(1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切
(2) 221pyy，4221pxx
(3)pBFAF211
(4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p．
5．弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则
221212()()ABxxyy||11||1212212yykxxk
高一数学复习考点知识专题讲解23---抛物线的简单几何性质
1 / 16 高一数学复习考点知识专题讲解
抛物线的简单几何性质 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组 y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；2 / 16 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
1．抛物线关于顶点对称．( × )
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ )
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )
4．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( √ )
5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( √ )
一、抛物线的几何性质的应用
例1 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
抛物线几何性质
1 抛物线几何性质
●交流展示，分享成功
1以抛物线y2=2px（p>0）说明性质
2（1）求顶点在原点，焦点为（4，0）的抛物线的方程
（2）求顶点在原点，准线方程为x=3的抛物线方程
（3）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）的抛物线方程
3已知抛物线y2=2px的焦点F，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线交于P1，P2两点，求线段P1P2的长
2 ●精讲点拨，凸显重点
例1已知抛物线的顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线的方程
例2 （1）点P（x0，y0）在抛物线y2=-32x上，F为抛物线的焦点，求PF的长度
（2）抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5，求这点坐标
（3）若抛物线y2=-2px （p>0）上有一点M其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标
3 例3若线段P1P2为抛物线C y2=2px （p>0）的一条焦点弦,F为C的焦点,
求证12112PFPFP
●巩固案,温故知新
1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
(1)x+y2=0 (2)y2-8x=0 (3)y2=ax(a>0)
4 2已知抛物线的焦点在y轴上,点M(m,-3)是抛物线上的一点,M到焦点的距离是5,求m的值以及抛物线的标准方程,准线方程
3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．
抛物线的几何性质
1 抛 物 线
（一）知识回顾
1.定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线L(L不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.MFMH，FKp为焦准距。
2.标准方程：
（1）焦点在x轴正半轴：22ypx（0p），焦点(,0)2pF，准线：2px；
（2）焦点在x轴负半轴：22ypx（0p），焦点(,0)2pF，准线：2px；
（3）焦点在y轴正半轴：22xpy（0p），焦点(0,)2pF，准线：2py；
（4）焦点在y轴负半轴：22xpy（0p），焦点(0,)2pF，准线：2py；
（二）几何性质：以22ypx（0p）为例
（1）范围：0x，yR；
（2）对称性：x轴；（抛物线的轴）
（3）顶点：原点；
（4）离心率：1e
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.
说明:①对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程.
②根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。根据焦参数p的值确定抛物线开口的大小，p越大，抛物线开口越开阔。
③抛物线没有渐近线.④垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p。
(5) 范围:
当x的值增大时,y也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线). 2 （三）、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；
（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；
（四）弦长公式与中点弦问题：
(1) 弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质
word 1 / 15 高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质
【基础知识精讲】
抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：
图形
标准
方程 y2=2px(p＞0) y2=-2px(p＞0) x2=2py(p＞0) x2=-2py(p＞0)
焦点
坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p) (0，-2p)
准线
方程 x=-2p x=2p y=-2p y=2p
X围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
顶点 (0，0) (0，0) (0，0) (0，0)
离心率 e=1 e=1 e=1 e=1
焦半径 ｜PF｜=x0+2p ｜PF｜=2p-x0 ｜PF｜=2p+y0 ｜PF｜=2p-y0
参数p的几何
意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
本节学习要求：
1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.
2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.
3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.
通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.
【重点难点解析】 word
2 / 15 1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.
例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点(x0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.
分析 设方程为y2=2px(p＞0)或y2=-2px(p＞0)
第2课时抛物线的简单几何性质
1 第2课时 抛物线的简单几何性质
一、抛物线的性质
1．抛物线2y＝2px(p>0)的简单几何性质
(1)对称性：以－y代y，方程2y＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形．
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴．
(2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．
(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，
(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.
(5)范围：由y2＝2px≥0，p>0知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p值越大，它开口越开阔．
2．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为
3.p表示焦点到准线的距离，p>0.p值越大，抛物线的开口越宽；p值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；
(2)|AB|＝2(x0＋p2)＝x1＋x2＋p；
(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝42p，y1·y2＝2p.
题型一、抛物线的对称性
例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[解析] 如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y21＝2px1，y22＝2px2.
又|OA|＝|OB|，∴x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，