概率统计(2)
PX k
k 0 k 0
k e
k！
e
k 0
k
e e 1 k！
即P{X k}满足分布律的两个条件
例4 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销 售量服从参数为 10的泊松分布。为了以95%以上的 概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件，
X
0
0.72
1
0.26
2
0.02
pk
（一）（0－1）分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是
P{ X k} p k q1k , k 0,1, p q 1 (0 p 1)
则称 X 服从（0－1）分布或两点分布。 （0－1）分布的分布律也可写成 抛一枚硬币，观察出
出现p k的那一项，故称随机变量X服从参数为n, p的二项分布
记为X ～ b(n, p)
例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产 品中随机地抽查20件，问恰好有k(k=0,1,2,…,20)件次品 的概率是多少？ 解 这是不放回抽样。但由于这批产品的总数很大， 且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小， 因而可以当作放回抽样来处理。这样做会有一些误 差，但误差不大我们将检查一件产品是否为次品看 成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利 试验。以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X 是一个随机变量，且X～ b(20,0.2) 则所求的概率为
显然 PX k 0
n k nk n P X k p q ( p q ) 1 k 0 k 0 k
n n
即PX k满足分布律的两个条件
n k nk n ( p q ) 注意到 p q 刚好是二项式 的展开式中 k
称（1）式为离散型随机变量X的分布律 。
分布律也可以直观地用下面的表格来表示：
X
pk
x1 x2 xn p1 p2 pn
由概率的定义，式（1）中的 p k应满足以下条件：
1
。
p k 0, k 1,2,,
2。
p
k 1
k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量 X的 各个取值所 对应的概率
F ( x)的图形如下图所示
分布函数F x 的图形是一条阶梯曲线， 它在X＝－1、、 0 1处有跳跃 1 1 1 其跳跃值分别为X 取－1、、 0 1的概率 、 、 。 4 2 4
一般地，设离散型随机变量X的分布函数为
PX xk pk， k 1， 2，
由概率的可列可加性得X的分布函数为
X
x
分布函数具有以下基本性质： 1 0 F ( x) 1 2 F ( x)是x的不减函数 3 F () lim F ( x) 0， F () lim F ( x) 1
x x
4 F ( x 0) F ( x)
即F ( x)是右连续的
例1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 pk ¼ ½ ¼
F ( x)
xk x
p
k
分布函数F ( x)在x xk , k 1,2,处有跳跃， 对所有满足xk x的k求和。 其跳跃值为p k P{ X xk }
例2 在区间[1,5]上任意掷一个质点,用X表示这个 质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个 质点落在[1,5]上任一子区间内的概率与这个区间 的长度成正比，求X的分布函数。
P{ X 0} P( A1 A2 ) 0.9 0.8 0.72
P{X 1} P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.26
P{X 2} P( A1 A2 ) 0.1 0.2＝0.02
故所求概率分布为：
现正面H还是反面T， 正面X＝0,反面X＝1
X
0
q
1
p
pk
H T
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元 素，即 W {w1 , w 2 }，我们总能在W上定义一个服从 （0－1）分布的随机变量。
0, 当w w1 , X X (w ) 1, 当w w 2 . 来描述这个随机试验的结果。
以X表示n重伯努力试验中事件A出现的次数，
现在求它的分布律 。 若以Bk 记n重伯努力试验中时间A正好出现k次这一事件， 即事件{ X k}, 而以Ai 表示第i次试验中出现事件A,
以Ai 表示第i次试验中出现 A ，则
Bk A1 A2 Ak Ak 1 An A1 A2 Ank Ank 1 An
a 例 3 设随机变量 X 的分布律 P（x=k）= ， N k=1，2，„，N 试确定常数
a a 解： P( x k ) N 1 N k 1 k 1 N
所以 =1
N
N
第二节
离散型随机变量
例1 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台 与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X 表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律 解 设Ai 表示事件“第i台机器发生故障”，i 1,2
按题意要求为 PX n 0.95
X服从
由附录的泊松分布表知 10 e 10 k！
k 0 15
10 k 10 10的泊松分布，则有 k！e 0.95 k 0 k 14
n
0.9166 0.95 ，
只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可 以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。
20 P X k (0.2)k (0.8)20k ， k k 0， 1， ， 20
将计算结果列表如下：
k
PX k
k
PX k
0 1 2 3 4 5
0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175
6 7 8 9 10 ≥11
10 k 10 e 0.9513 0.95 . k 0 k！
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F ( x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是 整个实数轴。 在几何上，它表示随机变量X落在实数x左 边的概率
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 第二节 随机变量 离散型随机变量
第三节
第四节
随机变量的分布函数
连续型随机变量
第五节
随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函数， 称X ＝X (w )为随机变量。 随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，…等表示。
下图给出样本点w与实数X ＝X (w )对应的示意图
解 由题意知{1 x 5}是一个必然事件
即Leabharlann P 1 X 5 1若1 x 5，则P 1 X x k ( x 1)
若x 1, 则{X x}是不可能事件, F ( x) P{X x} 0
特别取x 5由P{1 X 5} 1可得k 1/ 4, 从而
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别 进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨 论过的“抛硬币”试验都可以用（0－1）分布 的随机变量来描述 。
（二） 伯努利试验与二项分布 设试验 E 只有两个可能结果： A 及 A , 则称 E为伯努利 （Bernoulli）试验。设P( A) p (0 p 1) ，此时 P( A) 1 p ,将E 独立地重复地进行n次，则称这一串 重复的独立试验为n重伯努利试验。 伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同 样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模 型，有着广泛的实际应用。
解 由概率的有限可加性 分布函数为：
0 1 4 F ( x) 3 4 1 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1
求X的分布函数，并求P0 X 1
P 0 X 1 P 0 X 1 P X 0 F (1) F (0) P X 0 3 1 1 4 2 3 . 4
右边的每一项表示某k次试验出现事件A, 另外n k次试验出现 A， n 这种项共有 个，而且两两互不相容。 k
由试验的独立性，得
P( A1 A2 Ak Ak 1 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( Ak ) P( Ak 1 ) P( An )
p k q nk
0.109 0.055 0.022 0.007 0.002 < 0.001
作出上表的图形，如下图所示
从上图可以看出，当k增加时，概率P{X k}先是随之增加, 直至达到
最大值（k 4），随后单调减少。一般地，对于固定的n及p，二项分布
b(n, p)都有类似的结果
例3 设某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率 为20%现新发明两种疫苗，疫苗A注射在9只健康鸭后 无一只感染传染病，疫苗B注射在25只鸭后仅有一只 感染，试问应如何评价这两种疫苗，能否初步估计哪 种疫苗较为有效？
因此可以初步认为疫苗B是有效的，并且比A有效。
（三）泊松分布
设随机变量X 所有可能取值为0,1, 2,，
而取各个值的概率为 k e
PX k k！
k 0， 1， 2， 其中 0是常数
则称X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ ( )
显然，P{X k} 0, k 1,2,, 且有
解 若疫苗A完全无效，则注射后鸭受感染的概率仍为 0.2，故9只鸭中无一只感染的概率为
0.8
2012高考理科数学概率统计_(答案详解)2
高考试题汇编（理）---概率统计解答题1、（全国卷大纲版）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。
每次发球，胜方得1分，负方得0分。
设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望。
2、（全国卷新课标版）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(1) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：n∈）的函数解析式；枝，N(2)以（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.3、（北京卷）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中0a >， 600a b c ++=。
当数据c b a ,,的方差2s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值。
（注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数） 4、（福建卷）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （2）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
概率论与数理统计(二)
欢迎阅读内容串讲第一章 随机事件及其概率1． 事件的关系与运算必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。
不可能事件：φ 一般事件A ：A φ⊂⊂Ω若A 若A 11111,,nnni i i i i i i i A A A A ∞=====等等。
例1 2（1（2（3（4（5）)()()(AB P A P B A P -=-（6）若n A A A ,,21两两互不相容，则∑===ni i ni i A P A P 11)()(（7）若n A A A ,,21相互独立，则例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P则5.0)()()(1)(1)(=+--=⋃-=⋃AB P B P A P B A P B A P3．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A 的概率为例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P（1）无放回抽样：（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～)52,2(B ，从而)(=P A P 4（1（2例103 （3，j i j i ,,≠)(i B（4例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有)4,3,2,1(=i i 个次品的概率如下（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i 个次品的概率。
)4,3,2,1(=i解：（1）设事件i B 是恰有i 个次品的一批产品)4,3,2,1(=i ，则由题设设事件A 是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有1)(0=B A P由全概率公式，即得8142.0)()()(40≈=∑=i i i B A P B P A P（2）由Bayes 公式，所求概率分别为5．事件的独立性（1）定义：A 、B 相互独立等价于)()()(B P A P B A P ⋅=（2）若n A A A ,,,21 相互独立，则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。
概率统计2.第3章作业题
第三章作业题一. 填空：1、已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率=>>),(b Y a X P .2．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P3. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K=),(y x f ⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它。
,0;0,10),1(x y x x y K 二、选择1、设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从均匀分布的随机变量是)(A Y X Z += )(B Y X Z -= )(C ),(Y X )(D ),(2Y X2、设二维随机变量(X,Y)取下列数组(-1,0)，(-1,1)，(0,0)，(1,0)的概率依次为3/(4c)，1/(2c)，3/(4c)，1/c ，其余数组概率为0，则c 的取值为( )A . 1B . 2C . 3D . 4三、综合1．已知随机变量X ，Y 的联合概率分布如下表（1）写出X 与Y 的边缘概率分布.（2）Y X ,是否相互独立？为什么？(3) 写出XY , Y X -的分布（4） 求1X =的条件下Y 的条件分布2. 已知随机变量X ，Y 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,6),()32(y x e y x f y x（1）求X 与Y 的边缘密度)(x f X 及)(y f Y（2）判断X 与Y 是否相互独立，为什么？（3）求概率(1)P X Y +≤,(1,2)P X Y ≤≤3．设二维随机变量（X,Y ）在区域 }||,10|),({x y x y x G ≤≤≤= 上服从均匀分布。
求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .4．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .5．设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为2,01,(,)0,C x x y x f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他， 试求：（1）常数C ；（2）边际密度函数(),()X Y f x f y ，并讨论X 和Y 的独立性；（3）)2(X Y P < 。
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
2概率统计第二讲
∑
k ≥1
pk＝1.
三、一维离散型r.v的几个常用分布 一维离散型 的几个常用分布
1. 退化分布 单点分布) 退化分布(单点分布 单点分布 X～P{X＝a}＝1，其中 为常数。 ～ 为常数。 ＝ ＝ ，其中a为常数 2. (0－1)分布 两点分布 － 分布 两点分布) 分布(两点分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ～ ＝ ＝ － － ＝ ， 3. 几何分布 X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0<p<1) k＝1, 2, … ～ ＝ ＝ － － ＝ 4. 二项分布 二项分布B(n, p) － － X～P{X＝k}＝ Ck pk(1－p)n－k, ～ ＝ ＝ n (0<p<1) k＝0, 1, 2, …, n ＝
3. [04(一)(三)(四)一(6)] 设r.v.X服从参数为λ的指数分布 则 服从参数为λ 一 三 四一 服从参数为 的指数分布,
P { X > DX } = _____ .
4. [98(三)(四)二(5)] 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的 三 四二 与 分别为 分布函数, 为使F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 是某一r.v.的分布函数 分布函数 为使 − 是某一 的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 5. 已知 ~ 已知X X P (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
2. 多维离散型随机变量函数的分布律
定理2 定理 设X1，X2，… , Xn是一个n维随机变量，若y＝ 则 Y＝g(X1，X2，…, Xn)也是一个随机变量。 以二维为例，若 (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yk)＝pik ，i, k＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zl}＝
副本-概率统计习题解答(1)(2)
习题1A -⒈ 投掷一枚硬币三次，观察三次投掷出现正反面情况，比如一种可能结果为H H H （表示第一次出现的是正面，第二次和第三次出现的都是反面）.⑴写出所有可能结果构成的样本空间Ω；⑵事件A 表示恰好出现两次正面，写出A 中所包含的所有可能结果； ⑶事件B 表示三次中出现过正面，写出B 中所包含的所有可能结果；⑷分别写出A B ⋃,A B ⋂,A B -,B 中所包含的所有可能结果.解 ⑴{,,,,,,,}HHH HHH H HH HH H H H H HH H H HH H H H Ω=； ⑵{,,}A HH H H HH HHH =；⑶{,,,,,,}B HHH HH H H HH HHH H H H HH H H HH =； ⑷{,,,,,,}A B HHH HH H H HH HHH H H H HH H H HH ⋃=,{,,}A B HH H H HH HHH ⋂=, A B φ-=,{}B H H H =.⒉设,,A B C 为三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： ⑴A 发生且B 与C 至少有一个发生； ⑵A 与B 都发生而C 不发生； ⑶A ，B ，C 中恰有一个发生； ⑷A ，B ，C 中不多于一个发生； ⑸A ，B ，C 不都发生；⑹A ，B ，C 中至少有两个发生. 解 ⑴()A B C ⋃；⑵ABC ；⑶ABC ABC ABC ⋃⋃； ⑷ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃； ⑸ABC 或A B C ⋃⋃；⑹ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃或AB AC BC ⋃⋃. ⒊一位工人生产四个零件，以i A 表示事件“他生产的第i 个零件是合格的”，1,2,3,4i =，用诸i A 表示下列事件：⑴全是合格品； ⑵全是不合格品；⑶至少有一个零件是合格的； ⑷至少有一个零件是不合格的； ⑸仅第一个零件是不合格的； ⑹仅有一个零件是不合格的. 解 ⑴1234A A A A ； ⑵1234A A A A ； ⑶1234A A A A ⋃⋃⋃； ⑷1234A A A A ⋃⋃⋃； ⑸1234A A A A ；⑹1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃.⒋将3个乒乓球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别是1,2，3的概率各是多少？解 以i A 表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，1,2,3i =.134326()416P A ⨯⨯==，2313439()416C P A ⨯⨯==，333411()416P A ⨯==. ⒌一个学习小组共有8名同学，其中有2名男生，假设他们到达学习地点先后次序的所有模式都有同样的可能性.⑴求女生均比男生先到校的概率；⑵李明和王菲是学习小组中的两位同学，求李明比王菲先到学习地点的概率. 解 将8名同学按到达学习地点的先后次序排成一列，则有： ⑴男生均比女生先到校的概率：6!2!218!8728==⨯ ⑵李明比王菲先到学习地点的概率＝王菲比李明先到学习地点的概率李明比王菲先到学习地点的概率+王菲比李明先到学习地点的概率＝1所以，李明比王菲先到学习地点的概率为0.5.或286!18!2C ⨯=（李明在左，王菲在右，先安排他们.） ⒍一袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，从袋中任取一球，观察颜色后放回袋中，然后再取一球，这种取球方式叫做有放回抽样.现有放回连续抽取3次，试求下列事件的概率.⑴取出的3球全是白球；⑵取出的3球中2个红球1个白球.解 ⑴3360.21610=；⑵2233460.28810C ⨯⨯=.⒎一袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，从袋中任取一球，观察颜色后不放回袋中，然后再从剩余球中任取一球，这种取球方式叫做无放回抽样.现无放回连续抽取3次，试求下列事件的概率.⑴取出的3球全是白球；⑵取出的3球中2个红球1个白球.解 ⑴654110986⨯⨯=⨯⨯；⑵234360.31098C ⨯⨯⨯=⨯⨯. ⒏（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大？解 “出现双6”这一事件记为A ，则252535()0.494536P A =≈，()1()0.5055P A P A =-≈.所以，“出现双6”的概率大.⒐（约会问题）甲、乙两人相约在某天中午12:00~13:00在预定地点见面，先到者等候另一人15分钟后即离去，求甲、乙两人能会面的概率（假设他们均能在12:00至13:00间到达，且在12:00~13:00内任一时刻到达预定地点是等可能的）.解 记12点为计算时刻的0时，以分钟为单位，设甲、乙两人到达预定地点的时刻分别为x 和y ，则样本空间可表示为：{(,)|060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤，记A=“两人能会面”，则有{(,):||15,(,)}A x y x y x y =-≤∈Ω于是两人能会面的概率为：222()60457()()6016L A P A L -===Ω ⒑已知 ()0.4P A =,()0.25P B =,()0.25P A B -=， 求 ()P AB ,()P A B ⋃,()P B A -,()P AB .解 ()(())()()0.15P AB P A B P A P A B =Ω-=--=，()()()0.5P A B P B P A B ⋃=+-=，（或()()()()0.5P A B P A P B P AB ⋃=+-=） ()()()0.1P B A P B P AB -=-=，()()1()0.5P AB P A B P AB =⋃=-=.⒒一辆飞机场的交通车载有25名乘客，途经9个站，每位乘客都等可能在9个站中任意一站下车，交通车只在有乘客下车时才停车，求下列各事件的概率：⑴交通车在第i 站停车；⑵交通车在第i 站和第j 站至少有一站停车； ⑶交通车在第i 站和第j 站均停车； ⑷在第i 站有3人下车.解 i A 表示交通车在第i 站停车（有乘客下车）⑴交通车在第i 站停车的概率：25252588()1()11()99i i P A P A =-=-=-⑵交通车在第i 站和第j 站至少有一站停车：25252577()1()1()11()99i j i j i j P A A P A A P A A ⋃=-⋃=-=-=-⑶交通车在第i 站和第j 站均停车：252587()()()()12()()99i j i j i j P A A P A P A P A A =+-⋃==-⨯+⑷在第i 站有3人下车：33222525189C ⨯⨯.⒓已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求(|)P B A B ⋃.解 (())()(|)()()()()P B A B P BA BB P B A B P A B P A P B P AB ⋃⋃⋃==⋃+- ()()()()()()()()()P BA P A P AB P A P B P AB P A P B P AB -==+-+- 0.70.50.250.70.60.5-==+- ⒔某光学仪器厂制造的透镜，在第一次落下时打破的概率为0.5，在第二次落下时打破的概率为0.7，在第三次落下时打破的概率为0.9，求透镜三次落下而未打破的概率.解 设i A 表示透镜在第i 次落下时打破，1,2,3i =，则123121312()()(|)(|)0.50.30.10.015P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯=.⒕甲、乙、丙三人各自独立地破译密码，设他们能破译密码的概率分别为111,,345，求密码能破译的概率.解 设,,A B C 分别表示甲、乙、丙能破译密码，则()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ⋃⋃=++---+ 1111111111110.6345343545345=++-⨯-⨯-⨯+⨯⨯= ⒖某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂产品每箱装100个，废品率为0.06，乙厂产品每箱120个，废品率为0.05.将所有产品开箱混装出售.⑴任取一个，求它为废品的概率；⑵任取一个，发现其为废品，求它是甲厂生产的概率. 解⑴设H ：抽取的产品是甲厂生产的；A ：抽取的产品是废品.300024001()(|)()(|)()0.060.0554********P A P A H P H P A H P H =+=⨯+⨯=.⑵()(|)()(|)0.6()(|)()(|)()P HA P A H P H P H A P A P A H P H P A H P H ===+ ⒗一架长机与两架僚机一同飞往某地进行轰炸，途中必须经过高炮阵地上空，此时每架飞机被击落的概率均为0.2，如果长机被击落，则僚机也无法飞往目的地.而每架飞机飞到目的地，炸毁目标的概率均为0.3，求目标被炸毁的概率.解 设A 表示长机通过高炮阵地，12,B B 分别表示两架僚机通过高炮阵地，i H 表示恰有i 架飞机通过高炮阵地，1,2,3i =.C 表示目标被炸毁.则2112()()0.80.2P H P AB B ==⨯，221212()()20.80.2P H P AB B AB B =⋃=⨯⨯，3312()()0.8P H P AB B ==，123C H H H ⊂⋃⋃，1(|)0.3P C H =，22(|)10.7P C H =-，33(|)10.7P C H =-.所以，112233()()(|)()(|)()(|)0.476544P C P H P C H P H P C H P H P C H =++=.习题1B -⒈从五双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多少？解 445410213121C C ⨯-=或212255441021321C C C C +⨯⨯= ⒉在线段AD 上任取两个点,B C ，在,B C 处折断而得三个线段，求这三个线段能构成三角形的概率.解 ,B C 相对位置如左图所示：AB C D记AD a =，AB x =，AC y =，则{(,)|0}x y x y a Ω=≤≤≤.三个线段,,AB BC CD 能构成三角形AB BC CD AB CD BC BC CD AB +>⎧⎪⇔+>⎨⎪+>⎩，2()2()200y a y y a x a y y x y x a a x x x a x y a x y a>->⎧⎧⎪⎪+->--<⎪⎪⇔⇔⎨⎨-><⎪⎪⎪⎪≤≤≤≤≤≤⎩⎩从而可得所求概率为14. ⒊某国经济可能面临三个问题：1A =“高通胀”，2A =“高失业”，3A =“低增长”， 假设1()0.12P A =，2()0.07P A =，3()0.05P A =，12()0.13P A A ⋃=，13()0.14P A A ⋃=，23()0.10P A A ⋃=，123()0.01P A A A ⋂⋂=.求⑴该国不出现高通胀的概率；⑵该国同时面临高通胀、高失业的概率；⑶该国出现滞胀（即低增长且高通胀）的概率； ⑷该国出现高通胀、高失业但却高增长的概率； ⑸该国至少出现两个问题的概率； ⑹该国最多出现两个问题的概率. 解 ⑴11()1()0.88P A P A =-=；⑵121212()()()()0.06P A A P A P A P A A =+-⋃=； ⑶311313()()()()0.03P A A P A P A P A A =+-⋃=； ⑷12312123()()()0.05P A A A P A A P A A A =-=； ⑸121323()P A A A A A A ⋃⋃121323123()()()2()P A A P A A P A A P A A A =++- 0.060.030.020.020.09=++-=（232323()()()()0.02P A A P A P A P A A =+-⋃=）；⑹123123()1()0.99P A A A P A A A =-=.⒋今有两名射手轮流对同一目标射击，甲射手命中概率为1p ，乙射手命中概率为2p ，甲先射，谁先命中谁得胜，求甲、乙得胜的概率各是多少？解 设i A ：甲第i 次命中； i B ：乙第i 次命中. 甲先射，谁先命中谁得胜，则甲得胜的概率：111211223()P A A B A A B A B A ⋃⋃⋃111211223()()()P A P A B A P A B A B A =+++111211112231122()()(|)()(|)P A P A B P A A B P A B A B P A A B A B =+++1111211()()(|)(|)P A P A P B A P A A B =+111211*********()(|)(|)(|)(|)P A P B A P A A B P B A B A P A A B A B ++21121121[(1)(1)][(1)(1)]p p p p p p p =+--+--+112112121(1)(1)p p p p p p p p ==---+- 乙得胜的概率： 1212121212121p p p p p p p p p p p p --=+-+-⒌设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.⑴求先抽到的一份是女生表的概率p ；⑵已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率q . 解 设1H ：抽取的报名表来自共10名考生的地区；2H ：抽取的报名表来自共15名考生的地区； 3H ：抽取的报名表来自共25名考生的地区； k A ：第k 次抽到是女生表（1,2k =）.⑴1111212313()()(|)()(|)()(|)p P A P H P A H P H P A H P H P A H ==++ 1317152931031532590=⨯+⨯+⨯=⑵1212121221121212()()()(|)(){()}()()P A A P A A P A A q P A A P A P A A A P A A P A A ====⋃+其中12112121223123()()(|)()(|)()(|)P A A P H P A A H P H P A A H P H P A A H =++1371781520203109315143252490⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯， 12112121223123()()(|)()(|)()(|)P A A P H P A A H P H P A A H P H P A A H =++17618712019413109315143252490⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯， 所以，2061q =.⒍某场战斗准备调用甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率都等于α，若只有一支部队投入战斗，则取胜的概率为0.4；若两支部队协同作战，则必胜无疑；若两支部队都未能及时赶到，则必败无疑.欲达0.9以上的取胜概率，求α的最低值.解 设12,A A 分别表示甲、乙能及时赶到，i H 表示恰有i 支部队及时赶到，0,1,2i =，B 表示“取胜”.则012(|)0,(|)0.4,(|)1P B H P B H P B H ===，且11212()()2(1)P H P A A A A αα=⋃=-，2212()()P H P A A α==.所以，001122()()(|)()(|)()(|)P B P H P B H P H P B H P H P B H =++222(1)0.410.20.8ααααα=-⨯+⨯=+ 由于，2()0.20.80.9,01P B αααα=+≥<<⇔≥≈0.9155. 习题2A -⒈一袋中有编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个球，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.求X 的概率分布和分布函数.解 351(3)0.1P X C ===,2335(4)0.3C P X C ===,2435(5)0.6C P X C ===,0,3,0.1,34,()0.4,45,1, 5.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩⒉设某批电子管的合格品率为34，不合格品率为14，现在对该批电子管进行测试，设第X 次为首次测到合格品，求X 的概率分布.解 113(),1,2,.44k P X k k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⒊离散型随机变量X 的概率分布为 ⑴(),1,2,,cp k k N N==(N 为正整数);⑵(),1,2,,!kp k ck k λ==(0)λ>.分别求⑴、⑵中c 的值.解 ⑴由1()1Nk p k ==∑得1c =.⑵由11()(1)1!kk k p k c c e k λλ∞∞====-=∑∑得1(1)c e λ-=-.⒋设随机变量X 的分布函数为0,5;1,52;53(),20;101,02;21, 2.x x F x x x x <-⎧⎪-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩求X 的概率分布及(2),(2)P X P X <-≤-及(0).P X > 解1(2)(5)5P X P X <-==-=，3(2)(2),10P X F ≤-=-= 1(0)(2)2P X P X >===.求2Y X =的概率分布.解 1(0)5P Y == , 7(1)30P Y ==,1(4)5P Y ==,11(9).30P Y ==即⒍设离散型随机变量X 的概率分布为：1(),1,2,3,4,5.5P X k k ===求()E X 、2()E X 及2(2)E X +.解 1()(12345)3,5E X =++++=2222221()(12345)11,5E X =++++=22(2)()4()427.E X E X E X +=++=⒎设随机变量~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，求(),().E X D X 解 由(1)(2)P X P X ===得121!2!e e λλλλ--=解之得=2λ，于是()() 2.E X D X ==⒏设连续型随机变量X 的分布函数为20,0;(),01;1, 1.x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩试求：⑴常数A ；⑵概率{0.50.8}P X <≤；⑶X 的概率密度. 解 ⑴(1)(10)1F F A =+⇒=或1211Axdx A =⇒=⎰⑵22{0.50.8}(0.8)(0.5)0.80.50.39P X F F <≤=-=-= ⑶2,01,()()0,.x x f x F x <≤⎧'==⎨⎩其它⒐设随机变量X 的概率密度为11,()0,.x f x -<<=⎩其它试求：⑴常数A ；⑵概率1()2P X <；⑶X 的分布函数.解⑴由11()()f x dx f x dx A π+∞-∞-===⎰⎰得1A π=.⑵ 1111()()2223P X P X <=-<<== ⑶X 的分布函数为0,1,1()()(arcsin ),11,21, 1.x x F x f t dt x x x ππ-∞≤-⎧⎪⎪==+-<<⎨⎪≥⎪⎩⎰⒑(拉普拉斯(Laplace )分布)设随机变量X 的概率密度为(),.xf x Aex -=-∞<<+∞试求：⑴常数A ；⑵概率(01)P X <<；⑶X 的分布函数. 解 ⑴由1()22xx f x dx Ae dx A e dx A +∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰得12A =. ⑵ 11011(01)(1)22x P X e dx e --<<==-⎰. ⑶X 的分布函数为1,0,2()()1(1),0.2xxx e x F x f t dt e x -∞-⎧<⎪⎪==⎨⎪-≥⎪⎩⎰⒒设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 求下列随机变量X 的函数的概率密度：⑴11Y X =-; ⑵22.Y X = 解 ⑴1Y 的分布函数为111(()(1)(1)()Y yF y P Y y P X y P X y f x dx +∞-=≤=-≤=≥-=⎰）当11y ->即0y <时，1(0Y F y =）， 当011y <-≤即01y ≤<时，1121(22Y yF y xdx y y -==-⎰），当10y -≤即1y ≥时，1(1Y F y =）, 即120,0,(2,01,1,1,Y y F y y y y y <⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩）故1Y 的概率密度为12(1),01,(0,Y y y f y -≤<⎧=⎨⎩）其它.⑵2Y 的分布函数为222(()()Y F y P Y y P X y =≤=≤），当0y <时，1(0Y F y =）， 当01y ≤<时，10((,Y F y P X xdx y =≤≤==）当时，1(1Y F y =）,即10,0,(,01,1,1,Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩）故2Y 的概率密度为21,01,(0,Y y f y <<⎧=⎨⎩）其它. ⒓设随机变量X 的概率密度为1(),.2xf x e x -=-∞<<+∞求X 的数学期望()E X 和方差().D X解 1()()02x E X xf x dx xe dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰,222201()()22xx E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰,22()()(())2D X E X E X =-=.⒔设X 服从区间(1,2)-上的均匀分布，令1,0,0,0.X Y X >⎧=⎨≤⎩求()E Y 和方差().D Y解 易知Y 服从0-1分布，且1(1)(0)3P Y P X ==>=， 1(0)(0)3P Y P X ==≤=，故 1()3E Y =，112()(1)339D Y =-=.⒕设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即其概率密度为,0,()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其它, 0λ>,试求：⑴12Y X =的数学期望1()E Y ; ⑵22X Y e -=的数学期望2().E Y解 ⑴ 12()(2)2()E Y E X E X λ===;⑵22220()()()2X x x x E Y E e e f x dx e e dx λλλλ+∞+∞-----∞====+⎰⎰.⒖设X 服从区间(0,5)上的均匀分布，求t 的二次方程24420t X t X +++=有实根的概率.解 24420t X t X +++=有实根的充要条件为221644(20(221X X X X X X -⨯+≥⇔-+≥⇔≥≤-））0或，于是所求概率为5213(2)(1)(2)55P X P X P X dx ≥+≤-=≥==⎰.⒗设某种型号的电子元件的寿命X (以小时计)服从参数11500λ=的指数分布，试求：⑴该电子元件的寿命不超过1500小时的概率;⑵从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有1只寿命超过1500小时的概率. 解 ⑴X 的分布函数为15001,0,()0,x X e x F x -⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其它,于是电子元件的寿命不超过1500小时的概率为1(1500)(1500)1P X F e -≤==-;⑵ 5只中至少有1只寿命超过1500小时的概率.电子元件的寿命超过1500小时的概率为151(1)e ---.⒘设某种电池的寿命X 服从正态分布2(,)N μσ，其中300μ=(小时)，35σ=(小时). ⑴求电池寿命在250小时以上的概率；⑵求x ，使寿命在x μ-与x μ+之间的概率不小于0.9. 解 ⑴300(250)(1.43)35X P X P ->=>-300( 1.43)(1.43)0.923635X P -=<=Φ≈ ⑵300()()353535x X xP a x X a x P --<<+=-<< =9.01)35(2)35()35(≥-Φ=-Φ-Φxx x 即95.0)35(≥Φx所以,65.135≥x,75.57≥x . ⒙设考生的概率统计成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求⑴Y 的概率分布;⑵EY 和DY .解 ⑴ 由题意知~(,)Y B n p ,其中,100n =,8472607212(6084)()()2()1p P X σσσ--=<≤=Φ-Φ=Φ-，由9672240.023(96)1()1()P X σσ-=>=-Φ=-Φ得24()0.977σΦ=,242,12σσ==,所以2(1)10.6826p =Φ-=，故Y 的概率分布为100100()(0.6826)(0.3174)k k k P Y k C -==;⑵1000.682668.26EY =⨯=，68.260.317421.6657DY =⨯=.习题2B -⒈设离散型随机变量X 的概率分布为 ⑴{}2,1,2,,100iP X i a i ==⨯=；⑵{}2,1,2,iP X i a i ===.分别求⑴、⑵中的常数a 的值.解⑴1001001001011011111{}22(22)122ii i i i P X i a a a a =======-=⇔=-∑∑∑；⑵11121{}22113ii i i i a P X i a a a a ∞∞∞========⇔=-∑∑∑ ⒉设随机变量X 的概率分布为1(),1,2,,2kP X k k ===求⑴()P X 为偶数; ⑵(3)P X 能被整除. 解⑴21111()(2)23k k k P X P X k ∞∞======∑∑为偶数; ⑵31111(3)(3)27k k k P X P X k ∞∞======∑∑能被整除. ⒊(帕斯卡(Pascal )分布)设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，进行重复独立试验，直到事件A 发生r 次时为止.求需要进行的试验总次数X 的概率分布.当1r =时，是什么分布？解 11()(1),,1,,r r k rk P X k C p p k r r ---==-=+当1r =时，X 的概率分布为几何分布.⒋在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率.解 设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’0,1,k= n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’,1,n k k =+则()()()(|)n n n n k n kP B P C B P C P B C ∞∞====∑∑(1)!nk kn k n n ke C p p n λλ∞--==-∑()(1)!()!k n kn k n k p e p k n k λλλ-∞--==--∑(),0,1,2,!k p p e k k λλ-==.⒌设随机变量X 的概率分布为:1(),1,2,,2kP X k k ===求随机变量sin()2Y X π=的概率分布.解 易知Y 的所有可能取值为-1,0,1，且411112(1)(41)215k k k P Y P X k +∞+∞-===-==-==∑∑,21111(0)(2)23kk k P Y P X k +∞+∞=======∑∑, 431118(1)(43)215k k k P Y P X k +∞+∞-=====-==∑∑. ⒍设袋中有k 号的球k 只，1,2,,k n =从中随机取一球，求所得号码的数学期望.解 以X 表示取一球的号码数.袋中球的总数为(1)(12)2n n n ++++=，所以2(),1,2,,(1)(1)2k kP X k k n n n n n ====++,1121()()(21)(1)3nn k k k E X kP X k kn n n ======++∑∑.⒎设随机变量X 的概率分布为:1(),1,2,,2kP X k k ===求()E X 及()D X .解 11111()2222k k k k k EX k -∞∞=====∑∑,122211116222k k k k k EX k -∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑22()2DX EX EX =-=.⒏设X 为非负随机变量，密度函数为()f x，证明Y 的密度函数为22(),0,()0,0.Y yf y y f y y ⎧>=⎨≤⎩证0,0;()()),0,Y y F y P Y y P y y ≤⎧⎪=≤=⎨>⎪⎩220,0,()(),0,y y P X y f x dx y ≤⎧⎪=⎨≤=>⎪⎩⎰ 所以22(),0;()()0,0.Y Y yf y y f y F y y ⎧>'==⎨<⎩⒐设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证21X Y e -=和221X Y e -=-都服从区间(0,1)上的均匀分布.证 X 的分布函数为21,0,()0,0x X e x F x x -⎧-≥=⎨≤⎩, 而1Y 的分布函数为121()()()X Y F y P Y y P e y -=≤=≤当0y ≤时，1(0Y F y =）， 当01y <<时，121(()(2ln )1(ln )2X Y F y P e y P X y P X y y -=≤=-≤=-≤-=），当1y ≥时，1(1Y F y =）, 即10,0,(,01,1,1,Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩）故1Y 的概率密度为11,01,(0,Y y f y <<⎧=⎨⎩）其它,所以21X Y e -=服从区间(0,1)上的均匀分布;⑵2Y 的分布函数为222()()(1)X Y F y P Y y P e y -=≤=-≤1(1)P y Y =-≤10,0,1(1),01,1,1,y P Y y y y y ≤⎧⎪=-≤-=<<⎨⎪≥⎩故2Y 的概率密度为21,01,(0,Y y f y <<⎧=⎨⎩）其它, 所以221XY e -=-服从区间(0,1)上的均匀分布.⒑设X 服从参数为λ的指数分布，记min{,2}Y X =. ⑴求Y 的分布函数； ⑵求{2}P Y =；⑶判断Y 是否为连续型随机变量；⑷在{2}Y =的条件下，求{3}X >的概率.解 ,0;()0,0.x X e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩⑴(){}{min{,2}}Y F y P Y y P X y =≤=≤ 1{min{,2}}1{,2}P X y P X y y =->=->>0,0;0,0;1{},02;1,02;1, 2.1,2.y y y P X y y e y y y λ-<⎧<⎧⎪⎪=->≤<=-≤<⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩ ⑵2{2}{min{,2}2}{2}P Y P X P X e λ-====≥=⑶由于2220()()(1)11yY Y dF y dF y ee λλ+∞---∞==-=-≠⎰⎰，所以Y 不是连续型随机变量；⑷在{2}Y =的条件下，求{3}X >的概率：(3,2)(3,min{,2}2)({3}|{2}){2}{2}P X Y P X X P X Y P Y P Y >=>=>===== 32{3}{2}P X e e P Y eλλλ--->==== ⒒(拉普拉斯(Laplace )分布)设随机变量X 的概率密度为1(),.2x f x ex μλλ--=-∞<<+∞求()E X 、().D X解 1()()()2x x E X xf x dx xe dx t μλμλλ-+∞+∞--∞-∞-===⎰⎰令,0222t t t t t e dt e dt e dt λμλμμμ+∞+∞+∞----∞-∞-∞+==+=+=⎰⎰⎰ 221()()()()()2x x D X x f x dx x e dx t μλμμμλλ-+∞+∞--∞-∞-=-=-=⎰⎰令,22222200()220t t t t e dt t e te dt λλλλ+∞+∞---∞==-+=⎰⎰.⒓设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求2()X E X e -+.解 由2—A 习题13知2()2X E e λλ-=+,于是22212()()()2(2)XXE X e E X E e λλλλλλλ--+++=+=+=++. ⒔假设国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机向量X (吨)，X 服从区间(2000,4000)上的均匀分布.设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元，如售不出去而囤积于仓库，则每吨需要浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家收益的期望值最大？解 设国家应组织s 吨货源(显然只需考虑20004000s ≤≤)，国家收益为Y (万元). Y 为随机变量，且3,,()3(),,s X s Y g X X s X X s ≥⎧==⎨--<⎩于是400020001()(())()2000E Y E g X g x dx ==⎰4000200011(4)320002000s s x s dx sdx =-+⎰⎰261(7000410)1000s =-+-⨯, 由此可知，当3500s =时国家收益的期望值最大.⒕若对连续型随机变量X ，有(||)(0)r E X r <+∞>，试证：对0ε∀>，有(||)(||).r rE X P X εε≥≤证()()()()().r X X rx x rrX rrxP X px dx p x dxxE X p x dx εεεεεε≥≥+∞-∞≥=≤≤=⎰⎰⎰习题3A -⒈一批产品共有100件，其中一等品60件、二等品30件、三等品10件.从这批产品中有放回地任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求(,)X Y 的联合概率分布.解 33!631(,)()()(),,0,1,2,3,3!!(3)!101010i j i j P X i Y j i j i j i j i j --====+≤--. ⒉将一硬币抛掷3次，以X 表示在3次中正面出现的次数，Y 表示在3次中正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值，求⑴(,)X Y 的联合概率分布⑵(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率分布.解(,)X Y 的联合概率分布表⑵(,)X Y 关于Y 的边缘概率分布（以小时计），设(,)X Y 的分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---其它,01),()(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x求两个组件的寿命都超过120的概率.解 两个组件的寿命都超过120的概率为1.2 1.2 1.22.42.4(120,120)1[(120)(120)]1(120)(120)(120,120)1(120,)(,120)(120,120)1(1)(1)(12)0.09P X Y P X Y P X P Y P X Y F F F e e e e e ----->>=-≤≤=-≤-≤+≤≤=-∞-∞+=----+-+=≈⒋设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为,01,0,(,)0,.Axy x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求⑴常数A ; ⑵(,)X Y 的联合分布函数; ⑶(1)P X Y +<; ⑷(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率密度.解⑴由密度函数的性质得11001(,)8x A f x y dxdy dx Axydy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰故8A =. ⑵由⑴知8,01,0,(,)0,.xy x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它⑶11211(1)(1)(,)86y yx y P X Y P X Y f x y dxdy dy xydx -+<+<=+<===⎰⎰⎰⎰⑷34,01,()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞⎧<<==⎨⎩⎰其它,344,01,()(,)0,Y y y y f x f x y dx +∞-∞⎧-<<==⎨⎩⎰其它,⒌设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布.求⑴(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率密; ⑵Z X Y =+的分布函数与概率密度.解：⑴(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01,()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它,22,01,()(,)0,Y y y f x f x y dx +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它.⑵利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰，其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 当 0z <或1z >时，()0Z f z =01z ≤≤时 00()222zzZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z F z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.⒍设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求22(),(),(),(),().E X D X E Y E XY E X Y +解112004()(,)125xE X xf x y dxdy dx xy dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，112222002()(,)123x E X x f x y dxdy dx x y dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，222()()()75D XE X EX =-=，112003()(,)125xE Y yf x y dxdy dx yy dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，112001()(,)122x E XY xyf x y dxdy dx xyy dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，112222002()(,)125x E Y y f x y dxdy dx y y dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，222216()()()15E X Y E X E Y +=+=.⒎设已知(,)X Y 的联合概率分布及边缘概率分布如下表：⑴求(,)X Y 的联合分布表中11p ，12p ，13p ，22p 的值； ⑵判断X 与Y 是否独立.解⑴1114p =，1314p =，121110244p =--=，2212p =； ⑵由于11111124X Yp p p ⨯=⨯≠，所以X 与Y 不是独立的.⒏设随机变量X 与Y 独立，且分别服从参数为12,λλ的泊松分布，求Z X Y =+的分布. 解 12120()()()()!()!i k i kki i e e P Z k P X Y k P X i P Y k i ik i λλλλ---====+====-=-∑∑121212()()12121200!(),0,1,2,!()!!!()!!i k i k kki k ii i eeek e k i k i k i k i k λλλλλλλλλλλλ---+-+--==+====--∑∑所以Z X Y =+服从参数为12λλ+的泊松分布.⒐设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为(23)6,0,0,(,)0,.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它求：⑴(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率密度; ⑵条件概率密度;⑶判断X 与Y 是否独立.解 ⑴22,0,()(,)0,x X e x f x f x y dy -+∞-∞⎧>==⎨⎩⎰其它,33,0,()(,)0,y Y e y f x f x y dx -+∞-∞⎧>==⎨⎩⎰其它,⑵当0x >时，33,0,(,)()()0,0,yY X X e y f x y f y x f x y -⎧>==⎨≤⎩ 当0y >时，22,0,(,)()()0,0.xX Y Y e x f x y f x y f y x -⎧>==⎨≤⎩ ⑶由于()()(,)X Y f x f y f x y =，故X 与Y 是否独立.⒑设随机变量X 与Y 独立，X 服从区间(0,1)上的均匀分布，Y 服从指数分布(1)E ，求⑴(,)X Y 联合概率密度;⑵概率()P X Y ≤;⑶Z X Y =+的概率密度.解⑴1,01,()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其它, ,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它,故由X 与Y 独立得(,)X Y 联合概率密度为,01,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧<<>==⎨⎩其它. ⑵所求概率为1112()(,)1y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy e--≤≤===-⎰⎰⎰⎰ ⑶Z X Y =+的概率密度 ⑵利用卷积公式()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰得 10,0,()()1,01,(1), 1.z Z Y z z f z f z x dx e z e e z --<⎧⎪=-=-≤<⎨⎪-≥⎩⎰⒒设U aX b =+,V cX d =+,其中0ac >,试证U 与V 的相关系数等于X 与Y 的相关系数.解(,)(,)U V X Y ρρ===.⒓假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，记0,,1,2.1,,k Y k X k Y k ≤⎧==⎨>⎩求⑴12(,)X X 的联合概率分布；⑵1X 与2X 的相关系数.解⑴由题意知112(0,0)(1,2)(1)1P X X P Y Y P Y e -===≤≤=≤=-， 12(0,1)(1,2)0P X X P Y Y ===≤>=，1212(1,0)(1,2)(12)P X X P Y Y P Y e e --===>≤=<≤=-， 212(1,1)(1,2)(2)P X X P Y Y P Y e -===>>=>=；即12(,)X X 的联合概率分布为⑵11(0)(1)1P X P Y e -==≤=-，11(1)(1)P X P Y e -==>=， 22(0)(2)1P X P Y e -==≤=-，22(1)(2)P X P Y e -==>=，于是有11111(),()(1)E X e D X e e ---==-，22221(),()(1)E X e D X e e ---==-，212()11E X X e -=⨯⨯, 21221121212(,)()()()(1)Cov X X E X X E X E X e e e e e -----=-=-=-,21(,)X Y ρ--===⒔设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为22221,1,(,)0, 1.x y f x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩ 试验证X 与Y 不相关，但不独立.证11()()0X E X xf x dx +∞-∞-===⎰⎰2221111()(,)0Rx y E XY xyf x y dxdy xy dxdy dx π-+≤====⎰⎰⎰⎰⎰,(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-=,所以,X 与Y 不相关,但,11,11,()(,)0,0,X x x f x f x y dy +∞-∞⎧-<<⎪-<<===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他,其他,11,()(,)0,Y y f y f x y dx +∞-∞-<<==⎪⎩⎰其他, ()()(,)X Y f x f y f x y ≠,所以X 与Y 不独立.⒕计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量，并且都在区间[0.5,0.5]-上服从均匀分布，求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.解 设随机变量i X 表示第i 个加数的取整误差，则i X 在区间[0.5,0.5]-上服从均匀分布，且1()0,(),1,2,,30012i i E X D X i ===,于是所求概率为3001(10)i i P X P =<=<∑,(2)(2)2(2)10.9544≈Φ-Φ-=Φ-=.⒖某工厂有200台同类型的机器，每台机器工作时需要的电功率为Qkw.由于工艺等原因，每台机器实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的.求：⑴任一时刻有144～160台机器正在工作的概率；⑵需要供应多少电功率才可以保证所有机器正常工作的概率不小于99%？ 解⑴设随机变量Y 表示任意时刻正在工作的机器台数，则(,)Y B n p ,其中 200,0.75,0.25n p q ===,由于150,37.5np npq ==，所以由中心极限定理得(144160)37.537.5P Y P ≤≤=≤≤ (1.63)(0.98)(1.63)(0.98)10.7849Φ-Φ-=Φ+Φ-=;⑵设至少需要供应m Q ⋅kw 电功率才可以保证所有机器正常工作的概率不小于99%,于是有()0.99P Y Q m Q ⋅≤⋅≥,而150()((2.33)0.9937.5m P Y Q m Q P -⋅≤⋅=Φ≥Φ=，于是2.33,164.3m ≥≥, 所以取165m =，即需要供应165Qkw 电功率.习题3B -⒈某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件、10件，现从中随机抽取一件，记1,1,2,3,0,i i i X =⎧=⎨⎩若抽到等品,其它.试求：⑴随机向量12(,)X X 的联合概率分布;⑵随机变量1X 与2X 的相关系数.解⑴由题意知1231(0,0)(1)10P X X P X =====，1231(0,1)(0)10P X X P X =====， 1238(1,0)(0)10P X X P X =====，12(1,1)0P X X ===， ⑵11()0.8,()0.80.20.16,E X D X ==⨯= 22()0.1,()0.10.90.09,E X D X ==⨯=12()0E X X =, 121212(,)()()()0.08Cov X X E X X E X E X =-=-,2(,)3X Y ρ==-.⒉设袋中装有个颜色各不相同的球，现有放回地摸取n 次，每次取一球.记1,0,i n i X ⎧=⎨⎩如果在次取球中摸到第种颜色的球，否则。
概率统计-习题及答案-（2）
2.12 考虑函数 3(2)02/5 ()0C x x x f x ?-<<=? ? 其他 能否作为随机变量的概率密度？如果能，试求出常数C 的值。 2.13 已知随机变量X 的概率密度为 01 ()0 Ax x f x < ?其他 ， 求：（1）系数A ；（2）概率{0.5}P X ≤； （3）随机变量X 的分布函数。 2.14 已知随机变量X 的概率密度为()x f x Ae
0}3{=>ηP 。 2.3 （1）ξ可能的取值为1，2，3。 从8个好灯泡和2个坏灯泡中任取3个，恰好取到k 个好灯泡和k -3个坏灯泡的概率为 3 10 32 8}{C C C k P k k -==ξ（3,2,1=k ）。 由此求得ξ的概率分布为
ξ的分布函数为 ???? ??? ≥==+=+=<≤==+=<≤==<=≤=31 }3{}2{}1{3215
2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保证有99%的把握获得一个就业机会？ 2.6 已知1000个产品中有100个废品。从中任意抽取3个，设X 为取到的废品数。 （1）求X 的概率分布，并计算X =1的概率。 （2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回地任意抽取3次”，每次取到废品 的概率都是0.1，因此取到的废品数服从二项分布。试按照这一假设，重新求X 的概率分布，并计算X =1的概率。 2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给5个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。根据保险统计表，这类成年人中的每一个 人未来能活30年的概率是2/3。求： （1）5个人都能活30年的概率； （2）至少3个人都能活30年的概率； （3）仅2个人都能活30年的概率； （4）至少1个人都能活30年的概率。 2.8 一张答卷上有5道选择题，每道题列出了3个可能的答案，其中有一个答案是正确的。某学生靠猜测能答对至少4道题的概 率是多少？
概率统计2-3
1−p o p 1
p x
9
例题与解答
例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ξ,η表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
ξ
P
8
9
10
η
P
8
9
10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
解 Eξ=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是9.3和9.1, 故甲射手较乙射手的技术好。
+ ∫ ( 55 − x )dx + ∫ ( 65 − x )dx ]
25 55
55
60
E(Y)=E(g(X))=
∫
+∞
−∞
g( x ) f ( x )dx
1 = ( 12.5 + 200 + 450 + 37.5 ) 60 =11.67(分)
21
例题与解答
*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 X≥y 3y y∈[2000,4000],且有 Y = g( X ) = 3X − ( y − X ) X < y +∞ 4000 1 EY = ∫ g( x) f ( x)dx = 2000 g ( x ) dx −∞ 由微积分可知： 由微积分可知： 2000 4000 y 1 y=3500时 = 2000 [ ∫ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx 当y=3500时， 2000 y EY最大 EY最大。 最大。 2
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。