弹塑性力学第八章
在x,y方向面力应用圣维南原理
第一个方程
第二个方程
A zxdA AXdA 0
A zydA AYdA 0
A
zx
dA
A
y
dxdy
(
y
dy)dx
(
A
B
)dx
0
第一、二方程恒满足。
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§8-2 按应力函数求解
MT
x
在x,y方向面力应用圣维南原理
oX
Y
第三个方程 A (Yx Xy)dA MT
u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为
扭曲函数。
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§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。
未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz ,
（工程）应变分量：
w= K(x,y)
x
y
2zx =0 2zy =0
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§8-2 按应力函数求解
边界条件： 在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)
面力：X Y Z 0；前两个方程满足；
第三个力边界条件：lzx+mzy = 0
在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
面力：Z z 0 满足。
i 1
蜒
Ci
(xl ym)ds
si
Ci
(xdy ydx)
si
Ci (1 (1)dA Ci 2Ai
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§8-2 按应力函数求解
总结：
按应力函数(x,y)求解,(x,y)须满足 2 =-2KG= C，
且(x,y)与MT 之间满足
MT 2AdA
（单连域）
m
MT 2
y
左
A ( zy x zx y)dA
(x y )dA
A x y
＝
A
x
(
x
)
y
(
y
)
2
dA
A 2dA Ñs (xl ym)ds MT
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§8-2 按应力函数求解
A 2dA Ñs (xl ym)ds MT
当为单连域时：在s上 s = 0
MT 2AdA
zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 ,
K为单位长扭转角。
K MT GI
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对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由
扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：
A
zx
dA
KGA ( x
x
y)dA
y
KG
(
x
y
x2 )dA
2 = 0
KG
x
x(
x
y)
y
x(
y
x)
dxdy
利用格 林公式
KG
Ñs x
(
x
y)l (
y
x)m ds
0
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§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 位移法求解 §8-2 按应力函数求解 §8-3 薄膜比拟 §8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 §8-5 薄壁杆的自由扭转
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在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT）
应力：x=y=z=xy=0 ，
T(2z 2z) q 0 x 2 y 2
或 2z q T
oq
T
x
z dx T
oT
x
T
T dy
T
y
—— z(x,y) 所应满足的方程。
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§8-3 薄膜比拟
oq
T
x
薄膜垂度z=z(x,y) 所应满 足的边界条件：
z dx T oT
x
T
T dy
zs= 0（单连域）。
T y
与扭转问题应力函数(x,y)所应满足方程和 边界条件相比（2 =-2KG ，s = 0 ）， 与z之间存在比拟关系:
S2
对于单连域：可取 s = 0
x
对于复连域：可取一条边界线 S0
S1
上s为零，而其它边界s为非
y
零常数：
s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3
再将(x,y)代入端面上的边界条件：
方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力：Z z 0 满足。
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§8-2 按应力函数求解
X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0
MT
z
满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGK(
x
y) mGK(
y
x)
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§8-1 位移法求解
上式也可以用
MT o
-dx
x
l( y) m( x) 0
dy n
x
y
y
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
15
§8-2 按应力函数求解
按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程
2 = 0,其边界条件
ly mx
n
( (x,y) 的微分形式）但能满足边界条件调
合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力
法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函
数法求解等截面杆扭转问题的作法。
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§8-2 按应力函数求解
5
§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。
两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
zx zy z 0
x y z
2 2
GK( x2 y2 ) 0
或 2 = 0
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§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。
法线的方向余弦
(l,m,n)=(0,0,-1)
o MT
x
y
MT
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足；
而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣
维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求
合力为零
AXdA 0 AY dA 0
合力矩为零
A (Yx Xy)dA M z
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tg 2
x
(z
z x
dx)
z x
2z x 2
dx
sin 3
tg 3
z y
sin 4
tg 4
z y
2z y 2
dy
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§8-3 薄膜比拟
Tdy z Tdy( z 2 z dx) Tdx z Tdx( z 2 z dy) qdxdy 0
x
x x2
y
y y 2
整理后，得
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§8-3 薄膜比拟
寻求z=z(x,y)应满足的 方程，即求解方程是由薄 膜微元dxdy的z方向的平衡
条件来确定(Fz = 0)。
oq
T
x
z dx T
oT
x
T
T dy
T
y
Tdy sin 1 Tdysin 2 Tdxsin 3 Tdxsin 4 qdxdy 0
sin
1
tg1
z x
sin 2
扭曲函数(x,y)除了满足 2 = 0,还需
要满足边界条件，
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
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§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）
在侧边上方向余弦
(l,m,n)=(l,m,0)
o
MT
面力： X Y Z 0 y
x
X i n j ij
很困难的，而普朗特（Prondtl）在1903年提出
了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与 等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相 似性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找 扭转问题的解答,尤其是对截面较复杂的扭转可 以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验 测定，形象的获得一些有价值的解。
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§8-2 按应力函数求解
在 x,y 方向面力应用圣维南原理
A zxdA AXdA 0 A zydA AYdA 0
A ( zx y zy x)dA M z
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§8-2 按应力函数求解
2.2 按应力函数(x,y)求解
设应力分量与应力函数的关系为
zx
2.1 按应力法求解方程
同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0 仅存在 zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz
两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）
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000弹塑性力学-应力理论
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学基本理论及应用__第八章_能量原理及其应用
第八章 能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。
然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。
因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。
这些解法的依据都是能量原理。
本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。
本章共讨论五个能量原理。
首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。
另外，还简单介绍最大耗散能原理。
本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。
8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。
因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。
如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。
物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。
令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。
假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有00==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有W U δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ik ij ij ij ij d U εσεσε2100==⎰ (8.1-2)对于一维应力状态，在x x εσ-平面内，则0U 实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'x x εε=所围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xx x d U εεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图8.1 应变能与应变余能 变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。
弹塑性力学第08章
应力偏量不变量
§8-2 八面体应力 应力强度
1.八面体应力 2.应力强度（或等效应力）
1.八面体应力
等倾面 八面体应力:ζ 8(ζ oct) 和η 8 (η oct) 设坐标轴x、y、z与应 力主轴方向一致
2 2 2
l mn
1 3
1 8 1l 2 m 3 n 1 2 3 m ? 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p8 f nx f ny f nz 1l 2 m 3 n 1 2 3
2 2 1 3 2 3 S 2 S3 2 1 2 1 1 3 1 3 S1 S 3 MP 1 M P2
§8-4 应力空间
如同在三维空间中x、y、z三 个坐标值可以确定空间一个 点的位置一样，一点的应力 状态可以用九维或六维应力 空间中的一个点来表示。应 力空间中任一点都表示一个 应力状态。由于我们讨论的 是各向同性体，与方向无关。 因此只要注意主应力的大小， 而不考虑它们在物理空间中 的方向。这样，我们就可以 采用主应力空间。
J 1 e x e y e z e1 e 2 e 3 0 1 2 2 2 2 2 2 J 2 e x e y e y e z e z e x 6 e xy e yz e zx 6 1 3 2 2 2 2 2 2 x y y z x x xy yz zx 6 2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6 e 1 e 2 e 2 e 3 e 3 e1 1 1 1 1 2 2 2 J e x e y e z xy yz zx e x yz e y zx e xy 3 4 4 4 4 e1 e 2 e 3
工程弹塑性力学题库及答案
(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。
弹塑性力学断裂力学基础PPT课件
第八章 断裂力学基础
8.4 应力强度因子(stress intensity factors)
应力强度因子
① 与坐标无关，是表征裂纹尖端附近应力场强度的参量； ② 与裂纹形状、尺寸、方向有关 ③ 与载荷的大小及作用方式有关 ④ 与材料参数相关 物理意义：在断裂力学分析中人为引进的，反映裂纹尖端应力场强度
的 力学参量。 第3页/共6页
第八章 断裂力学基础
8.5 断裂准则(fracture criterion)
Ki Kic (i I,II,III)
——断裂韧度，表征材料抵抗裂纹扩展的抗力，由实验确定 （平面应力型，平面应变型）。
当试样厚度较小时，裂纹尖端处
于平面应力状态，相对塑性区较
大，裂纹扩展耗能高Kic高；
采用三点弯曲（图8-3）或紧凑拉伸（图8-4）试验进行测试。
第5页/共6页
感谢您的欣赏
第6页/共6页
当试样厚度较小时裂纹尖端处于平面应力状态相对塑性区较大裂纹扩展耗能高当试样厚度较大时裂纹尖端处于平面应变状态相对塑性区较小裂纹扩展耗能低型裂纹断裂准则为材料常数应与试样几何尺寸无关
第八章 断裂力学基础
8.2 裂纹扩展(propagation of cracks) 的基本 类型
Ⅰ型（张开型）: 正应力作用，裂纹扩展方向垂直于应力 Ⅱ型（滑开型）：剪应力作用，裂纹扩展方向平行于应力 Ⅲ型（撕开型）：剪应力作用，裂纹线与应力方向一致
当试样厚度较大时，裂纹尖端处 于平面应变状态，相对塑性区较
第4页/共6页
第八章 断裂力学基础
8.6 KIC—— 平 面 应 变 断 裂 韧 度 (fracture toughness)
KI = KIC（Ⅰ型裂纹断裂准则） KIC为材料常数，应与试样几何尺寸无关。但在测试时，应尽量增大
弹塑性力学部分习题
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
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1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
《力学》第八章弹性体应力和应变ppt课件
＝ y(x x) y(x)
x
当 x 0 时：
＝ lim y(x x) y(x) y
x0
x
x
因此，
＝G y
x
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第八章 弹性体的应力和应变 5、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：
E
0 p
1 G
2
2
（5）
注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只 能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用 下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除 去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
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第八章 弹性体的应力和应变
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代 弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹 性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开 始的。
由于课程所限，我们在本章仅对弹性体力学作简单的 介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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第八章 弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩形变
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力）
＝ Fn
S
（1）
其中，F沿作用力截面的法线方向。
例：如图示，一般取n为外法线方向，则
0,也可能是 0.
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第八章 弹性体的应力和应变
2. 线应变（相对伸长或压缩）
弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件
塑性力学
研究材料在塑性状态下应 力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假 设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。 塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。 塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满 足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关 系由本构方程描述，该方程反映了材 料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足 应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定 物体的边界条件和初始条件，求 解物体内部的应力和应变状态的 问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程 或积分方程来解决，具体方法取 决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的 刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀 的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的 最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性 质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严 谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的 解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便 地处理非线性问题。