弹塑性力学第八章

dA 2
A
Ci Ai（多连域）
i 1
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§8-2 按应力函数求解
在柱体侧边
s = 0 si =Ci
（单连域） （多连域）
当 K 和 (x,y) 由上述方程确定后，可求 出zx、zy以及应变和位移。
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§8-3 薄膜比拟
对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位 移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是
当为多连域时：s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3
MT
2AdA Ci Ñsi (x
dy ds
y
dx )ds ds
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§8-2 按应力函数求解
MT
2AdA Ci Ñsi (x
dy ds
y
dx )ds ds
MT 2
m
dA 2
A
Ci Ai
(Ai为si围成的面积。)
u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为
扭曲函数。
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3
§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。
未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz ,
（工程）应变分量：
w= K(x,y)
tg 2
x
(z
z x
dx)
z x
2z x 2
dx
sin 3
tg 3
z y
sin 4
tg 4
z y
2z y 2
dy
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§8-3 薄膜比拟
Tdy z Tdy( z 2 z dx) Tdx z Tdx( z 2 z dy) qdxdy 0
x
x x2
y
y y 2
整理后，得
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§8-2 按应力函数求解
在 x,y 方向面力应用圣维南原理
A zxdA AXdA 0 A zydA AYdA 0
A ( zx y zy x)dA M z
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§8-2 按应力函数求解
2.2 按应力函数(x,y)求解
设应力分量与应力函数的关系为
zx
x y
前两式自然满足，剩下一个控制方程
无体力相容方程为：
2 ij
1
1
,ij
0
由于设 x=y=z=0， = 0
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§8-2 按应力函数求解
则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程
2zx =0 和
按应力法求解 基本方程为三个
2zy =0
zx (x, y) zy (x, y) 0
T(2z 2z) q 0 x 2 y 2
或 2z q T
oq
T
x
z dx T
oT
x
T
T dy
T
y
—— z(x,y) 所应满足的方程。
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§8-3 薄膜比拟
oq
T
x
薄膜垂度z=z(x,y) 所应满 足的边界条件：
z dx T oT
x
T
T dy
zs= 0（单连域）。
T y
与扭转问题应力函数(x,y)所应满足方程和 边界条件相比（2 =-2KG ，s = 0 ）， 与z之间存在比拟关系:
2.1 按应力法求解方程
同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0 仅存在 zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz
两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）
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§8-2 按应力函数求解
三个平衡方程：
zx 0,
z
zy 0,
z
zx zy 0
zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 ,
K为单百度文库长扭转角。
K MT GI
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对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由
扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：
扭曲函数(x,y)除了满足 2 = 0,还需
要满足边界条件，
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
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§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）
在侧边上方向余弦
(l,m,n)=(l,m,0)
o
MT
面力： X Y Z 0 y
x
X i n j ij
x
y
2zx =0 2zy =0
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§8-2 按应力函数求解
边界条件： 在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)
面力：X Y Z 0；前两个方程满足；
第三个力边界条件：lzx+mzy = 0
在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
面力：Z z 0 满足。
很困难的，而普朗特（Prondtl）在1903年提出
了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与 等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相 似性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找 扭转问题的解答,尤其是对截面较复杂的扭转可 以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验 测定，形象的获得一些有价值的解。
x
y
y )dA ——扭转刚度
x
当(x,y) 和K均找到后，则扭杆的位移、
应力均可求出。
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作业：
证 面明 杆扭x2曲 函y2 数 1的扭 bb转22 问aa22题xy，能其用中来a求和椭b圆为截
a2 b2
椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为
GKa3b3
M z a2 b2
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X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0
MT
z
满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGK(
x
y) mGK(
y
x)
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§8-1 位移法求解
上式也可以用
MT o
-dx
x
l( y) m( x) 0
dy n
x
y
y
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
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§8-3 薄膜比拟
寻求z=z(x,y)应满足的 方程，即求解方程是由薄 膜微元dxdy的z方向的平衡
条件来确定(Fz = 0)。
oq
T
x
z dx T
oT
x
T
T dy
T
y
Tdy sin 1 Tdysin 2 Tdxsin 3 Tdxsin 4 qdxdy 0
sin
1
tg1
z x
sin 2
5
§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。
两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
zx zy z 0
x y z
2 2
GK( x2 y2 ) 0
或 2 = 0
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§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。
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§8-2 按应力函数求解
按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程
2 = 0,其边界条件
ly mx
n
( (x,y) 的微分形式）但能满足边界条件调
合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力
法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函
数法求解等截面杆扭转问题的作法。
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§8-2 按应力函数求解
由于 l cos(n, x) dx dy
dn ds
m cos(n, y) dy dx dn ds
则 dx dy l m
n x dn y dn x y
代入侧面边界条件 dx dy ly mx
n x dn y dn
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§8-1 位移法求解
在扭杆端面（如z = 0):
S2
对于单连域：可取 s = 0
x
对于复连域：可取一条边界线 S0
S1
上s为零，而其它边界s为非
y
零常数：
s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3
再将(x,y)代入端面上的边界条件：
方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力：Z z 0 满足。
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§8-2 按应力函数求解
( x,
y
y)
,
zy
( x,
x
y)
则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自 然满足。
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§8-2 按应力函数求解
将上式代入应力法的其它两个基本方程，得
2 (2) 0
y y
2 ( ) (2) 0
x x
2 = C（泊
松方程）
常数C是什么？C 和位移法公式中的
系数有什么关系?
而 l dx dy , m dy dx ,
dn ds
dn ds
zx
y
,
zy
x
MT o
-dx
x
dy
n
y
代入边界条件，得
lzx+mzy = 0
dy dx 0 d 0
y ds x ds
ds
则应力函数在扭杆侧边应该为常数 : s =C1
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§8-2 按应力函数求解
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 位移法求解 §8-2 按应力函数求解 §8-3 薄膜比拟 §8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 §8-5 薄壁杆的自由扭转
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1
在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT）
应力：x=y=z=xy=0 ，
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§8-3 薄膜比拟
oq
一均匀薄膜形状同扭杆 截面，周边固定，并使薄膜
T z dx T oT
x x
受均匀微小压力q作用，薄膜 T T dy
将微微凸起，而形成曲面
T y
z=z(x,y)，
薄膜仅承受张力（拉力）T。
下面来寻求薄膜垂度z=z(x,y) 所应满足 的方程和边界条件。
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法线的方向余弦
(l,m,n)=(0,0,-1)
o MT
x
y
MT
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足；
而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣
维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求
合力为零
AXdA 0 AY dA 0
合力矩为零
A (Yx Xy)dA M z
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A
zx
dA
KGA ( x
x
y)dA
y
KG
(
x
y
x2 )dA
2 = 0
KG
x
x(
x
y)
y
x(
y
x)
dxdy
利用格 林公式
KG
Ñs x
(
x
y)l (
y
x)m ds
0
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§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
§8-1 位移法求解
上式也可以表示为
A
zy
dA
0
A
zx dA
0
( A
zx
y
zy
x)dA
M
z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主
要边界上力边界条件满足时，
则 A zxdA 0和 A zydA 0 自然满足。见以下：
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§8-1 位移法求解 l( y) m( x) 0
i 1
蜒
Ci
(xl ym)ds
si
Ci
(xdy ydx)
si
Ci (1 (1)dA Ci 2Ai
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§8-2 按应力函数求解
总结：
按应力函数(x,y)求解,(x,y)须满足 2 =-2KG= C，
且(x,y)与MT 之间满足
MT 2AdA
（单连域）
m
MT 2
y
左
A ( zy x zx y)dA
(x y )dA
A x y
＝
A
x
(
x
)
y
(
y
)
2
dA
A 2dA Ñs (xl ym)ds MT
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§8-2 按应力函数求解
A 2dA Ñs (xl ym)ds MT
当为单连域时：在s上 s = 0
MT 2AdA
小结：
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数
(x,y)和单位扭转角K。
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§8-1 位移法求解
2 = 0
在V上
由 l( y) m( x) 0 在杆侧边上
x
y
当(x,y)确定后，利用杆端面条件
求(x,y)
GK
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——求K
令
D GA (x2
y2
x
u x
0,
y
v y
0,
z
w z
0,
xy
u y
v x
0
zx
u z
w x
K
x
Ky
K (
x
y)
zy
v z
w y
K
y
Kx
K (
y
x)
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§8-1 位移法求解
应力分量：x=y=z=xy=0，
zx
GK(
x
y)
zy
GK (
y
x)
所有物理量均由K和(x,y) 表示。
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在x,y方向面力应用圣维南原理
第一个方程
第二个方程
A zxdA AXdA 0
A zydA AYdA 0
A
zx
dA
A
y
dxdy
(
y
dy)dx
(
A
B
)dx
0
第一、二方程恒满足。
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§8-2 按应力函数求解
MT
x
在x,y方向面力应用圣维南原理
oX
Y
第三个方程 A (Yx Xy)dA MT
由应力函数法和位移法可知
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§8-2 按应力函数求解
zx
(x, y)
y
GK (
x
y),
zy
(x, y)
x
GK (
y
x)
2 GK ( 2 1) GK( 2 1) 2GK C
xy
xy
将应力函数代入杆侧边的边界条件 lzx+mzy = 0
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§8-2 按应力函数求解