(专题精选)初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案
初中数学九年级下锐角三角函数练习题含答案
试卷第1页，总30页 初中数学九年级下锐角三角函数练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘．若𝐴𝐶=2𝐵𝐶，则sin𝐶的值是( )
A.12 B.2 C.√32 D.√3
2. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝90∘，𝐴𝐵＝3，𝐵𝐶＝4，则cos𝐵＝（ ）
A.34 B.√74 C.35 D.45
3. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中， ∠𝐶=90∘，若△𝐴𝐵𝐶的三边都缩小5倍，则sin𝐴的值( )
A.放大5倍 B.缩小5倍 C.不变 D.无法确定
4. 当∠𝐴为锐角，且cos𝐴的值大于√32时，∠𝐴( )
A.小于30∘ B.大于30∘ C.小于60∘ D.大于60∘
5. 已知cos𝐴>12，则锐角∠𝐴的取值范围是( )
A.0∘<∠𝐴<30∘ B.30∘<∠𝐴<90∘ C.0∘<∠𝐴<60∘ D.60∘<∠𝐴<90∘
6. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，若各边长都扩大5倍，则sin𝐴的值（ ）
A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定
7. 当锐角𝐴>45∘时，下列不等式不成立的是（ ）
A.sin𝐴>√22 B.cos𝐴<√22 C.𝑡𝑔𝐴>1 D.𝑐𝑡𝑔𝐴>1
8. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶＝90∘，若cos𝐴=√32，则sin𝐴的值是（ ）
A.√3 B.√33 C.√32 D.12
9. 若tanа=2，则3sin𝛼−cos𝛼4sin𝛼+2cos𝛼的值为（ ）
试卷第2页，总30页 A.13 B.56 C.12 D.1
10. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，下列式子不一定成立的是（ ）
锐角三角函数专项练习题
锐角三角函数专项练习题
一. 选择题
1. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C等于：
a) 30°
b) 60°
c) 90°
d) 120°
2. 在锐角三角形ABC中，已知a=3，b=4，则∠C等于：
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
3. 已知在锐角三角形ABC中，a=5，c=13，则∠C等于：
a) 30° b) 45°
c) 60°
d) 90°
4. 在锐角三角形ABC中，已知a=8，b=15，则sinC等于：
a) 8/17
b) 15/17
c) 17/8
d) 17/15
5. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，b=24，则cosC等于：
a) 7/24
b) 24/7
c) 7/25
d) 24/25
二. 填空题 1. 在锐角三角形ABC中，已知a=4，b=5，则c=____。
2. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，c=10，则b=____。
3. 在锐角三角形ABC中，已知b=9，c=15，则a=____。
4. 已知sinA=3/5，∠A为锐角，则cosA=____。
5. 已知cosA=4/5，∠A为锐角，则sinA=____。
三. 计算题
1. 在锐角三角形ABC中，已知a=6，b=8，求c。
解：利用勾股定理，c=sqrt(a^2+b^2)
c=sqrt(6^2+8^2)=sqrt(36+64)=sqrt(100)=10
2. 在锐角三角形ABC中，已知a=5，c=13，求∠A。
解：利用余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosA=(5^2+13^2-5^2)/(2*5*13)= (25+169-25)/(130)=169/130
然后，∠A=arccos(169/130)=22.62°
3. 在锐角三角形ABC中，已知b=7，c=10，求∠B。 解：利用余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
初中数学竞赛：锐角三角函数(附练习题及答案)
1 初中数学竞赛：锐角三角函数
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式．
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间的关系；
3．同角三角函数间的关系．
平方关系：sin2α+cos2α=1；
商数关系：tgα=cossin，ctgα=sincos；
倒数关系：tgαctgα=1．
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝135，tanB=2，AB=29cm，
则S△ABC
= ．
思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135ACCD，tanB=2BDCD，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．
注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
(1) S△ABC=CabBacAbcsin21sin21sin21； 2 （2）RCcBbAa2sinsinsin．
【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( )
A．32 B．32 C．0.3 D．23
思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数（一）
1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（ ）
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定
2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ ）
A．34 B．43 C．45 D．35
图1 图2 图3 图4
图5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（ ）
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（ ）
A．35 B．53 C．255 D．52
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．
6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．
7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．
8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．
9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．
10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为
10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．
2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数
一、单选题（本大题共10小题）
1. （天津市2022年）tan45的值等于（ ）
A．2 B．1 C．22 D．33
2. （陕西省2022年（A卷））如图，AD是ABC的高，若26BDCD，tan2C，则边AB的长为（ ）
A．32 B．35 C．37 D．62
3. （吉林省长春市2022年）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BCAD，垂足为点C．设ABC，下列关系式正确的是（ ）
A．sinABBC B．sinBCAB C．sinABAC D．sinACAB
4. （湖北省荆州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，:1:2OCBC，连接AC，过点O作OPAB∥交AC的延长线于P．若1,1P，则tanOAP的值是（ ）
A．33 B．22 C．13 D．3
5. （四川省广元市2022年）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A．35 B．255 C．25 D．55
6. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A．13 B．12 C．33 D．32
7. （贵州省黔东南州2022年）如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，连接PO并延长与O交于点C、D，若12CD，8PA，则sinADB的值为（ ）
A．45 B．35 C．34 D．43
初三数学锐角三角函数试题答案及解析
初三数学锐角三角函数试题答案及解析
1. （2014山东德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1︰2，则斜坡AB的长为（ ）
A．米
B．米
C．米
D．24米
【答案】B
【解析】∵斜面坡度为1︰2，∴在Rt△ABC中，BC︰AC＝1︰2，∴米，由勾股定理得米，故选B．
2. （2013湖北十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米／分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为________米．
【答案】
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴米．在Rt△ABD中，易知∠B＝30°，∴米．
3. 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米的速度收绳．问：
（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？
（2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）
【答案】见解析
【解析】（1）在Rt△ABC中，，
∴（米），
∴绳子BC的长度是10米．
（2）未收绳时，（米），收绳8秒后，绳子BC缩短了4米，只剩6米，这时，船与河岸的距离为（米），
∴船向岸边移动的距离为米．
4. (2014江苏无锡)如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．
【答案】
【解析】如图，在直角△AOE中，
，
∴．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
5. (2014四川宜宾)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny．
据此判断下列等式中成立的是________(写出所有正确的序号)．
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
1 中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）
命题点分类集训
命题点1 特殊角的三角函数值
【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．
【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．
1. sin60°的值等于( )
A. 12
B.
22 C. 32 D. 3
1. C
2. 下列式子错误．．的是( )
A. cos40°＝sin50° B. tan15°·tan75°＝1
C. sin225°＋cos225°＝1 D. sin60°＝2sin30°
2. D 【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √
B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1 √
C sin2A＋cos2A＝1 √
D ∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×
3. 已知α，β均为锐角，且满足|sinα－12|＋（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝________．
3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sinα－12|＝0，（tanβ－1）2＝0，则sinα ＝12，tanβ ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.
命题点2 直角三角形的边角关系
【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．
中考数学锐角三角函数综合经典题及答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝2CD•OE；
（3）若314cos,53BADBE，求OE的长．
【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；
（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：
连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC2=AC•CD．
∴BC2=2CD•OE；
专题05锐角三角函数重点江苏精选解析版
专题05 锐角三角函数（重点，江苏精选）
一、单选题
1．（2022上
·江苏无锡·九年级统考期末）tan45°
的值是（ ）
A．
2B．
3C．1D．
5
【答案】C
【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解析】解：tan45°
的值是1，
故选：C．
【点睛】本题考查了求特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2022上·河北石家庄·九年级统考期中）在RtABC△
中，90CÐ=°，10AB=
，8AC=
，则cosB
的值等
于（
）
A．3
5B．4
5C．3
4D．5
3
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出BC
的长，然后根据余弦的定义求解．
【解析】解：
90CÐ=°Q，10AB=
，8AC=
，
22
1086BC\=-=，
63
cos
105BC
B
AB\===．
故选：
A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是正确理解余弦的定义．
3．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）如图，ABCV
的顶点均在正方形网格的格点上，则
tanACBÐ的值为
（
）
A．1
2B．2C．5
5D．25
5
【答案】A
【分析】连接小正方形的对角线，证明BCD△
是直角三角形，再利用正切的定义求解即可．
【解析】如图，连接小正方形的对角线BD，
设每个小正方形的边长为1，
则由勾股定理得，22
22,3110,2CDBCBD==+==，
∵222
(2)(22)(10)+=，
即222
CDBDBC+=，
∴BCD△
是直角三角形，
∴21
tan
2
22BD
ACB
CDÐ===
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵
活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键．
4．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树AB的高度，小明站在点C处测
得树顶A的仰角为30°，若小明的测量点到地面距离15mDC=.
，测量点与树底距离18mBC=
，则这棵树AB
的高度是（
）
A．6mB．
初三数学锐角三角函数测试题及答案
1/11 A C O P D B 图3 锐角三角函数（一）测试题
一、
选择题（每小题3分，共30分）
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，已知AC=5，BC=2，那么sin∠ACD=（ ）
A、35 B、32 C、552 D、25
2、如图1，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为（ ）
A、1200m B、2400m C、4003m D、12003m
3、（08）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A．12B．22C．32D．33
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（ ）
A、34 B、43 C、35 D、53
5、如图2，CD是平面镜，光线从A点射出，经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为（ ）
A、311 B、113 C、119 D、911
6、在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC三个角的大小关系是（ ）
A、∠C＞∠A＞∠B B、∠B＞∠C＞∠A
C、∠A＞∠B＞∠C D、∠C＞∠B＞∠A
7、若关于x的方程x2-2x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）
A、30° B、45° C、60° D、0°
8、如图3，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥DB，
如果PC=6，那么PD等于（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
9、已知∠A为锐角，且cosA≤21，则（ ）