追求数学课堂的深度思维
1 追求数学课堂的深度思维
【摘要】数学是思维的体操，数学教学最基本的目标就是使学生学会数学地思考，发展数学思维。我们应去除数学课堂追求形式上的热闹和表面上的花哨，追求深度思维，抓住数学学习的本质，把基本的概念和数学思维方法作为教学的重点，发展学生的思维。因此，追求数学课堂的深度思维，凸显浓浓的数学味，应然成为我们每一位数学教师追求的目标。
【关键词】 深度思维 思维异化 个性特色
一、解读思维深度
思维是对存在的认知和反映。思维对某一特定对象反映的准确程度和深刻程度表明了一个人在该事物上的思维深度。假如只是认识到了事物的表面属性，没有深入理解事物的本质属性，那么这种认识就没有思维深度。一个人的思维深度对他的思考力水平具有根本性影响，如果没有思维深度就没有思考的根基，思考力体系就无法建立起来，从而思考力水平也就无法得以充分发挥。一个人只有首先具有思维深度，才能延伸思维广度、提升思想高度。
二、思维异化影响思维深度
1、学生思维异化
①学生思维盲从异化。盲目从众的“羊群”思维。“羊群”思维实质上是非理性的从众心理——随大流。在数学学习中，不少学生数学思维存在人云亦云的盲从式异化现象。盲从异化又分为盲从老师，因为老师就是权威，跟着老师走，没错过；盲从优生，因为优生就是答案，跟着优生走，错不了；盲从差生，谁叫自己是白纸一张，别无选择。无论盲从谁，思维都是非理性思维，思维游离于问题之外，而非问题本身，更谈不上思维的深度。
②定势思维惯性异化。思维定势指的是由一定的心理活动所形成的倾向性状态,影响人对新刺激情景以某种习惯方式进行反应,就是一种思维惯性现象.长期以来,教师在上课讲解习题时习惯用一些常见的典型的练习来分析,这样导致学生对问题产生了定格理解,致使学生视野狭隘,思维单一.学生碰到新问题时,就会盲目照搬旧经验,不注意新旧问题间的差异,容易造成错误
2、老师思维异化
①学生思维过程并不就是一无是处。老师往往不让学生把错误见解说完就打断了，无法让学生的思考过程呈现在学生面前，那样老师就无法深入了解学生思考过程，学生的思路，学生存在哪些问题，已掌握了问题哪些属性，更无法有针对性的释疑
②教师理解与教学切入点不在学生的最近发展区上，让学生的思维跟不上跳跃，要么学生不知所去，无从下手，思维混乱，停止不前。要么不用思考，个个脱口而出，思维浮于表面。学生交流中，优生交流时差生听不懂而不思进取，差生交流时，优生听在感觉好笑，引不起思想共鸣，在这样的交流展示中学生思维得不到激发，思维品质得不到提升。
③史宁中校长说，小学生精力集中的时间，一般只有十几分钟，最多20来分钟，老师就要在这十几二十分钟内把你要讲的东西讲出来。反之老师不能在前20分钟完成教学新知，而反复地唠叨、重复，反而分散了学生的精力，错过学生深入思考的良机。
3、课改流行异化
①问答式教学成为讨论的主流。上课教师八仙过海地采取各种方法和手段来调动学生回答问题，课堂气氛热闹非凡。采用物质奖励的方法来刺激学生踊跃回答问题。这些教师认为师生间的一问一答就叫“讨论”，把谈话法当作讨论法。一堂课中，教师提出了二十来道肤
2 浅的问题，学生叽叽喳喳的举手回答，看似热热闹闹，实则浮华虚空。
②目前流行学生课前预习，结果学生在课前把问题基本上解决了，而课堂中老师核对答案，总是对不对啊，对的举手，这样看似完成率高，形成浓厚的教学氛围，在思维求速度中见热闹，在展示成果中呈现成功的兴奋，给人印象颇佳，然后学生没有质疑，没有能深入思考的时间。
③假象学生的思维是活跃的，甚至是亢奋的，学生列出了能够列出的全部算式。但是这就够了吗？仔细观察这些算式，我们就会发现上述这些算式不过是学生同一思维策略的不同表述。学生变换的只是形式，思维的本质没有根本改变。因此，在此基础上的学生思维的活跃不能说是深层次的活跃，它只能说是一种肤浅的活跃。
二、以人为本促进思维深度
数学是思维的体操，数学教学最基本的目标就是使学生学会数学地思考，发展数学思维。然而，现在有很多的数学课堂追求的是形式上的热闹和表面上的花哨，学生热衷于活动而不思考，习惯于接受而不质疑。因此，追求数学课堂的深度思维，凸显浓浓的数学思辨味，还数学课堂教学的本色，成为我们每一位数学教师追求的目标。
1、教材为本，挖掘思维深度
①统一教材，吃透教材。发展思维的主阵地在课堂，主要依据教材。同样的教材由于教材思维价值挖掘程度的不同，学生的思维发展就不一样。我们现状是不分城市农村，一样亲，不分智力高低，一个年龄一个班，统一教材统一课标。这就要求我们教师首先要深刻地钻研教材，吃透编者意图，个性化教学。对书本的内容进行灵活地自主地创造性的运用；吃透教材理解教材运用教材。
②依托教材，超越教材 。我们教师和学生在实施课程过程中，依据课程标准对教材内容进行适当的增删、调整、加工和补充，合理整合其他教学资源，从而使之更好地适应学生的实际需求和特定的教育教学情景。它既以教材为依托，基于教材又超越教材。挖掘选择相关的其他教育资源，进行整合优化和拓展；杨弃教材，活用教材、重组教材 顺次教材 逆向教材
③不唯教材，开发教材。发散求异法，作为实践新课程改革的教师，我们不应拘泥于教材，而要打开思路，对教材进行创造性的拓展和延伸，“借他山之石以攻玉”，这样，才不会失去新教材原有的灵活性。结合本土的教育资源，自主开发创新。
2、以人为本，探究思维深度
①积极鼓励学生独立思考。独立思考是学生学习能力发展的基础，没有学生自己的独立思考就没有真正的数学学习。事实上现在的课堂学生能够沉下心来静静的独立思考的时间是很少的，特别是中下等的学生。不少教师为了赶进度，求结果，总是让优等生代言，久而久之，大多数学生就会形成思维的惰性，思维比较肤浅，没有深度。因此，课堂上我们一定要积极鼓励学生独立思考，并努力创设学生独立思考的时间和空间，让学生大胆表达自己思考的成果，而不是人云亦云。让每位学生都能经历思维的过程，远比最后的结果重要。
②教育家总结出了一条学习知识的可贵经验——“学贵有疑“学而不思则惘”这句话也强调了“思”在学习中的重要性，而“思”又是从疑为先导的。可是我们发现几乎所有的课堂提问都是由教师严格、有序地主导来控制着的。这就不禁产生一个疑问：学生是课堂学习的主体，为什么没有强烈的提问意识呢？这到底是因为什么呢？
③发散求异法，作为实践新课程改革的教师，我们不应拘泥于教材，而要打开思路，对教材进行创造性的拓展和延伸，“借他山之石以攻玉”，这样，才不会失去新教材原有的灵活性。
④老师钓鱼法。老师故意出错，看看学生能否听出来。也就是让思维转个弯，测试一下学生的反应，这也是为思维深入做准备。老师反问，让学生深入思考，作为判断，并说明理
3 由，学生不得不综合思考。思维不仅有了宽度也有了深度。顺向学生的思维作为错误结果，学生深陷其中，不深入思考很难发现自己的思考误山，在老师列举验证有误后才知道思维出了问题，为找出思维吴区，学生在刺激后进入了深度思考。
三、个性特色成就思维深度
1、思辨。辩证思维是指以矛盾运动为视角认识事物的思维方式，通常被认为它是一种与形式逻辑相对立的思维方式。在形式逻辑思维中，事物一般是“非此即彼”、“非真即假”，而在辩证思维中，事物可以在同一时间里“亦此亦彼”、“亦真亦假”而无碍思维活动的正常进行。辨证思维要求观察问题和分析问题时以矛盾的眼光来看问题，它是唯物辩证法在思维方法中的运用，唯物辩证法的范畴、观点、规律完全适用于辩证思维。对立统一规律、质量互变规律、否定之否定规律是唯物辩证法的基本规律，也是辩证思维的基本规律。
由于矛盾运动具有普遍性，因此辩证思维也得到了最广泛的运用。事实上，思维的一体化水平就是思维大整合的水平，离开了辩证思维谈不上思维整合，从而也就谈不上思维的一体化。例如，在目标合理性分析中需要通过辩证思维分析事物之间的矛盾性和利益相关者之间的矛盾性，并且需要通过辩证思维融合它们之间的矛盾；在方法可行性分析中需要通过辩证思维方法确定着力点，并通过辩证思维融合各种矛盾的力度、适度和量度关系；在组织有效性的分析中，辩证思维更是发挥一个人智商和情商的重要思考方法。因此，在文化诊断学的思考力训练中，辩证思维作为一项基本功其重要性是不可低估的。
其次要指导学生对比辨析。对比辨析可以异中求同，同中求异，有助于揭示事物的本质。在教学中，可以通过相似概念的比较，还可以通过题组对比，引发学生深入思考，提高分析和解决问题的能力。教学圆的周长和面积后，可以安排这样的两组对比，第一组：圆周长的一半和半圆周长的对比，第二组：整圆面积和半圆面积的对比。通过对比和辨析，使学生进一步理解每组题的意义和解法有什么不同，既加深了对圆周长和面积的理解，又提升了学生的思考和理解能力。
2、回顾。张奠宙教授指出：“强调体验、经历、探究，这是对的，但是我们忽略了反思，我认为反思可能更为重要。”“学生对所学的知识进行反思，是一种更深层次的学习过程。”反思就是学生对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程。在数学学习中，反思是发现的源泉，是训练思维，优化思维品质的极好方法，是促进知识同化和迁移的可靠途径。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力。”教师在教学活动中，应重视引导学生形成反思的意识，掌握反思的方法。
教师可以利用每节课结束前的几分钟，让学生对所学的内容、学习过程、运用的数学思想方法进行回顾、思考和提升。学生经过反思，不仅能及时将学到的新知识进行梳理，而且还能沟通新旧知识间的联系，有利于学生建构知识，更好地发展数学思考。在解决问题的过程中，很多学生满足于做完题就完成了任务，不能主动对解题过程进行回头看和再思考，也不会对特殊问题所包含的一般意义作进一步认识，从而导致学习效率低下，思维的灵活性不能得到有效培养。因此，学生在解决问题后，我引导他们对解决问题的思路和过程进行反思：解决这个问题的关键在哪儿？解题的基本思路和一般步骤是什么？还有没有其他方法？哪种方法更好？……对于学生来说，形成这种反思的意识其实比做题本身更重要，它不仅可以培养学生思维的深刻性，而且还能发展学生的元认知能力。让学生整理错题集也是培养学生良好反思意识和能力的有效途径。我要求学生每天整理出解题过程中出现的典型错误，并分析错误原因，提出改进措施，每周交流一次。在这样的训练中，充分暴露了学生的思维过程，展现了学生各自的思维方法，从而深入了解了学生真实的数学思维活动，这样教师后续的教学才更有针对性。
让我们的数学课堂有深度思维，才能让学生的个体思维从狭隘走向广阔，从肤浅走向深刻；才能使数学课堂成为学生不断挑战自我，发展思维，提升智慧的大舞台。
打造有深度的数学课堂
打造有深度的数学课堂
深度学习是培养学生核心素养的重要路径，是一种有意义的学习，也是一种触及学生心灵的学习。教师依托数学课堂，让学生亲历知识的发现与建构过程，让思考与感悟真发生，形成积极地内在学习动机，发展高阶思维。
以《用乘法口诀求商》这节课为例，本节课把“为什么可以用乘法口诀求商？”定为核心问题，围绕核心问题梳理问题结构，通过有深度的问题串引导学生沟通乘法、除法之间的联系，理解用乘法口诀求商的意义，由此发生深度学习。
一、深度参与，探寻知识本源
《用乘法口诀求商》是学习除法计算的开始，二年级的学生能根据已有经验计算8
÷2=4这样的算式。在以往的教学中，往往直接缩水成“怎样用口诀求商”，缺少引导学生运用已有的知识经验去探索道理、沟通方法。因此引导学生在各种求商方法与口诀求商之间建立起联系，探寻知识本源是关键一环。
【片段一】
问题：一共采了8朵花，每种花有2朵，采了几种花？
师：怎样列算式？
生：8÷2=4，有4种花。
师：8÷2为什么等于4？你能讲讲道理吗？请把你的想法画一画、写一写。
生1：我是画图来想的。圈出两个是一种花，一共圈了四次，所以8÷2=4。
生2：我的方法是8-2-2-2-2=0，减了4次2，所以8÷2=4。
生3：我是2+2+2+2=8。就是4个2加起来等于8，所以8÷2=4。 生4：我用乘法2×4=8，就知道8里面有4个2 ，所以8÷2=4。
......
师：大家想到了这么多方法讲道理，真了不起！想一想，这些方法其实都是在求什么？
生：都是求8里面有几个2。
通过“8÷2为什么等于4？你能讲讲道理吗？”这一问题，引导学生借助学过的画图、加法、减法和乘法等知识，把8÷2为什么等于4的道理讲明白了，沟通了除法与加、减、乘法之间的联系。接着通过问题“这些方法其实都是在求什么？”把学生的思维引向深入，思考不同方法背后的知识本质，都是求“8里面有几个2”。这样有价值的问题，就像打开了深度学习的秘密，沟通四种方法的内在关联，切入到“意义世界”，理解用口诀求商的原理，建立思维路径，提升学习力。
如何提高学生数学思维的深度
如何提高学生数学思维的深度
数学作为一门精密而高深的学科，是很多学生所头痛的难点。尤其在当今社会中，数学已成为国家科技和经济快速发展的核心要素，无论是作为职业的挑战还是学术研究的门槛，都需要学生具备扎实的数学基础和较高的数学思维深度。为此，如何提高学生数学思维的深度，成为许多教师和家长关注的焦点。本文将探讨如何提高学生数学思维的深度。
一、在教学环节中，强调透彻思维
数学是一门以推理和演绎为核心的学科，它要求学生在进行求解过程时不能只注重结果，更要注重思维过程的透彻性，以达到深度思考的目的。在教学环节中，教师其一要注重理解与概念：学生在进行数学思维时，首先要理解所学知识的概念，并将其内化为自己的思维基础，才能够进行深度思考。学生只有掌握数学的内在逻辑关系，才能更好地进行复杂的数学运算。其二要注重批判性思维：数学思维需要学生能够在解题过程中自主思考，加以推断，进行批判性的思考。如果教师能够在教学中强调这一点，鼓励并指导学生进行批判性的思考，那么对提高学生数学思维的深度将大有裨益。
二、多角度观察数学问题，培养启发性思维
学生的数学思维深度不只体现在对数学知识本身的掌握上，同时也体现在对于数学问题的不同视角和角度的把握上。为了提高学生的数学思维深度，教师可以在课堂教学中，引导学生以多元化的角度去观察、分析同一问题。例如，通过拓展思维模式，扩大数学问题的应用顶点，使学生对数学问题的理解更加全面，从而提高了数学思维的深度。
三、借鉴适宜的教学工具，激发创新思维
随着人工智能、大数据等信息化技术的发展，各种数学教学工具的应用逐渐兴起。有系统有趣的数学游戏、互动教学课件、数学智能教学平台等等，这些教学工具的应用可以为学生提供更丰富、生动、直观的数学学习体验。同时，别具一格的教学工具也能够激发学生的创新思维，扩充数学知识面，提高数学思维的深度。教师可以根据自己的教学经验和学生的情况选择适宜的教学工具，为学生提供创新性的数学教育。
让“思维体操”深入数学课堂——提升数学思维深度的三大途径探究
新课程学习 ＮＥＷ Ｃ０ＵＲＳＥＳ’ＳＴＵＤＹ Ｉ｜｝》课题展示 让 思维体操刀深入数掌澡童 ——提升数学思维深度的三大途径探究 乔国锋 （苏州市吴江区盛泽实验小学） 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科 学，数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认 识数学本质和规律的理性活动。数学教学的主要目标是训练学生 的思维，而所谓“数学思维体操”，就是在平时教学中对学生进行 系统化、有目的的思维训练，锻炼学生学会用数学的眼光看问题、 用数学思维想问题、用数学方法解决问题，从而探究问题的本元， 开阔学生的视野，提升思维深度。在平时的教学中，我们可以通过 以下三个途径来提升学生的思维深度。 一、在“联结与深化”中提升思维深度 有人说：人的思维从问题与惊奇开始。每节课开始，教师都会 设计精彩的情境，吸引学生进入其中，深入地思考问题。每位教师 都明白，学生在课堂里是带着自己的知识与经验来学习新知的，因 此每位老师都会在课堂上努力唤醒学生已有的经验，并将新知转 化成旧知来解决。学生在解决问题时，也会将问题与已有的知识 和经验相联结，并试图找出答案。 例如三角形面积一课，学生已有的知识是长方形、正方形、平 行四边形的面积计算公式，已有的经验是数方格以及图形转化。 教师在教学过程中，首先对已学的平行四边形进行复习，帮助学 生了解要解决问题的相关知识，同时提问：请你说一说我们是怎 样得到平行四边形的面积公式的？以此来回顾常用的求面积的思 维方式。最后教师提出：三角形的面积该如何求呢？请借助已有的 知识与经验探讨。于是学生便拿出三角形，通过剪、拼、折等手段， 最终发现三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的 一半。 学生在探索的过程中，思维一刻也没停过，他们不断把三角 形与已学过的图形进行联结，把解决的方法与已有的方法进行联 结，于是他们首先想到的便是用剪拼的方式，试图像平行四边形 转化成长方形一样求出三角形的面积，但始终没有成功。但一些 学生学会了合作，两人的三角形（完全相同）可以拼成一个平行四 边形或长方形，求出拼成图形的面积再除以２就能求出三角形的 面积了。 学生在联结旧知解决问题时，思维不断地发展，但这还不够， 还应挖掘学生的潜力，促进学生的思维向深度发展，因此在课堂 中，教师还要引导学生继续思考：求三角形的面积与以前图形的 面积求法有何不同？今天的学习与过去有何不同？通过今天的学 习，获取了怎样的新经验？学生在不断的反思和比较中，对问题的 认识更加深入，思维更具深度。 二、在“发散与聚敛”中提升思维深度 发散思维又叫求异思维，是从一点出发向不同的方向思考， 以获得不同的收获。通常解决一个问题有多种方法，因此在教学 的过程中教师往往不满足于一种方法来解决问题，常让学生思考 多种方法来解决，在这一过程中，学生通过不断思考，思维本身也 得到了发展，但如果从发散的思维中聚敛，比较各种方案的优越 性，从中选择最优的策略，才能让思维更加深入。 例如，计算争 １ １ 亩 …＋— 的和就有很多方法：可 以通分计算；可以找规律求和；可以在后面添上＋ 一— ，再 Ｚ］０ ０ 把加法从后往前加，最后和为１，再减去— 得出结果；也可以画 ．３０ 个图，通过数形结合直接把加法转化成减法来计算。学生通过发 散思维得到了很多解决问题的方法，但不同的方法对学生的思维 发展起着不同的作用，比如用通分的方法解决问题是常规方 法，思维还停留在原有的水平上，而进行数形结合，通过直观观 察，把加法转化成减法计算就是一种创新思维，才更值得学生去 研究，发现其中的奥秘。 从发散中聚敛是对思维的一种考验，是将思维深化的表现。 对于小学生而言，经常把思维停留于原有经验基础之上，总希望 能用一成不变的方法来解决万变的问题，而教师要做的是让他们 感受到创新思维所带来的惊奇与简便，从而使学生更愿意思考， 更愿意创新，并且学会从长远发展的角度及创新角度去思考问题， 使自身的思维更加深入。 三、在“猜想与验证”中提升思维深度 小学生具有天生的求知欲，面对新鲜的事物都会进行深入的 研究。在平时的教学过程中，教师可以抓住契机，让学生对未知的 数学进行大胆猜测，并在不断验证自己想法的同时使自己的思维 走向深刻。 一次，在完成小数乘小数的新授之后，我发现一些学生在做 练习时很迟疑，竖式上的结果他们都不敢写上去。一些不“安分” 的学生叫了起来：“怎么越乘越小了？”（学生比的是乘积与第一个 因数）这个问题引起了共鸣，这与他们潜意识里的“整数乘整数会 越乘越大”的认知产生了矛盾，他们反复检查自己的竖式，但没有 发现ＮＵＬ有错，于是把疑惑的目光投向了老师。老师笑而不语，只 是示意学生按今天学的方法往下做，完成后对计算结果进行分 析，看“什么情况下会越乘越大？什么情况下会越乘越小？”学生陷 入了深深的思考…… ’ 学生思考的内容本来要在下一课时进行对比研究，但学生敏 锐的眼光居然在做练习时有所感悟，随之产生大胆的猜想，教师 要很好地抓住时机，让学生的热情延续下去，让学生通过观察，通 过对比验证自己的猜想。此时的学生在求知欲望的驱使下会“用 尽脑汁”思考，争取把所有的情况都考虑周到，争取得到最优的结 论，在这样不断验证的过程中，他们想得很多，他们的思维不断走 向深刻。 综上所述，在课堂教学中应着眼于学生的发展，留更多的时 间让学生去思考，做思维的体操，从中发现事物的本质，让学生思 维的发展更具深度。 参考文献： 王敏．浅谈数学课堂深度思维训练［Ｊ］．吉林省教育学院学报： 小学教研版，２０１０。２６（８）． 注：本文系吴江区第五批学年课题（ｏｓ（１４）ＬＸ５８４）《数学思维 体操：提升学生思维深度的实践研究》成果。 ・编辑赵飞飞 ・
四个途径，让数学思维更有深度
四个途径，让数学思维更有深度
王冬晖
摘要：小学数学是训练学生思维的重要平台。在教学实践中，要注重发掘学生的
思维深度，引导学生的数学思维向深层次推进。实践表明，在数学教学中，通过问题驱
动、多元表征、智慧导读、思维导图四个途径可以让学生的数学思维走向深入。
关键词：数学思维;问题驱动;多元表征;智慧导读;思维导图
小学数学是训练学生思维的重要平台，这就要求教师除了帮助学生掌握基础知识和基
本技能外，还要培养学生的数学思维。在教学实践中，要注重发掘学生思维的深度，完善
学生思维品质。但是，笔者听课过程中发现，很多教师在课堂上对于学生思维能力的培养
和训练依然停留在表面，不利于学生思维深度的提升，也影响知识的理解与学习的迁移。
调研表明，数学教师都认同学生思维深度发展的重要性，但缺乏引导的方法与策略，以致
教学陷入平庸。因此，积极探寻让学生思维走向深度的途径，是突破教学瓶颈的关键性举
措。
笔者通过已有经验的分析与新近实践的探索，筛选出以下四条促进学生思维发展的有
效途径。
一、问题驱动——促数学思维深刻
从学科特点来看，问题是数学的心脏。从认知心理来讲，建构主义学习理论强调，让
学生在真实的教学情境中带着问题学习，以探索问题的解决方法来驱动和维持学习的兴趣
和动机。实践同样表明，以问题驱动的形式让学生在学习过程中逐步走向数学知识的深入
理解与建构，是对数学知识内部意义的追寻与理解。学生在探索解决问题的过程中，通过
观察、操作、发现、交流、比较、反思等步骤，使数学知识的理解更加深入，数学能力与
数学思维也能获得相应提高。
例如，人教版“分数的初步认识”一课，首先通过激发认识冲突：2人平分4个、2
个、1个月饼，让学生体会引进“新”数的必要性，由此引出核心问题：（1）怎样分才是“一半”？“一半”怎样表示？
然后，在引导学生语言规范表达基础上进一步提问：
（2）能不能像这样说一说，怎样得到一个西瓜的？一个长方形的呢？
（3）你能表示出下面图形（图形略）的吗？（师生交流）
在深度思维中追寻数学本质
在深度思维中追寻数学本质
教师要由“知识本位”向“素养本位”转向，促进数学学科思维的培养，让学生通过深度学习去探寻数学规律，形成深度的数学理解，获得有意义的建构。教师要借助挑战性的问题引导学生积极参与，在深度的思考中获得创新的见解。
一、比较：凸显本质，形成深度理解
比较，能借助于相对点与不同点的研究理解知识，分析事物特征，形成有深度的理解。比较，能厘清概念与性质的异同，把握概念间的逻辑关系，能化解难点内容，暴露出错根源，探寻分析错根。教师要借助于知识的比较，加强横向与纵向的联系，能促进学生对本质内容的理解。
1.比较工具，掌握优势。教师要借助于不同数学工具的比较，让学生去发现优势，从而不自觉地探寻其中蕴含的规律。如在学习苏教版五下《圆的认识》一课内容时，教师提出问题：如果让大家画一个圆，你会用怎样的方法去画？学生想到了不同的方法，有的学生想到用瓶盖、硬币、钮扣等圆形的物体去画，有的学生想到借助三角尺中间的圆去画，也有学生想到用圆规画图。教师让学生试着用圆形物体、圆规这些方法画圆，并说说自己的体会。学生通过比较，发现圆形物体画得容易，但只能画出与物体一样大小的圆，圆规画得慢，但可以画出大小不等的圆。
为了让学生发现圆规的特征，教者故意不去讲述圆规的正常使用方法，而为他们留有探索使用圆规的空间。教师呈现标准的圆以及用圆规画出的不规则的圆，让学生分析“病因”，有针尖动了的，有两脚距离发生变化的，有旋转不流畅的……教师顺势引导学生认识圆规的各个部分，让他们掌握画圆的“窍门”，懂得“定点”“定长”这两个关键点。
2.比较方法，多向思维。教师要引领学生立足于不同的视角去分析问题、探寻规律，以不同的方法去分析、归纳，从而获得相同的答案。教师将多种方法加以对比，既能激活学生的思维，也能让学生学会从不同的角度去思考问题、解决问题。
如在学习苏教版五下《圆的面积》一课内容时，为促进学生对“转化”思想的认识，教师引导学生将圆的面积“切割”成等大的小扇形（32 份、64 份……），并将之重组成近似的长方形，这个长方形的长就是圆周长的一半，高就是圆的半径，因而可以自然地推导出圆的面积公式。教师也可以借助于多媒体动画将圆的面积“层层剥离”，从外圈逐步向内层剥起，将之转化为一个底为圆的周长、高为圆的半径的三角形，这样学生也能轻易地推导出圆的面积。教师通过形式化的推导，让学生感受转化的数学思维，也学会从多角度去探寻解决问题的方法。
高三数学教师如何帮助学生提高数学思维深度
高三数学教师如何帮助学生提高数学思维深度
数学思维深度是数学学科中一个非常重要的方面，对于高三学生来说，更是至关重要。数学思维深度的提高能够帮助学生更好地理解数学概念和方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。作为高三数学教师，我们应该积极探索有效的方法和策略，帮助学生提高数学思维深度。本文将从培养学生的问题意识、激发学生的创新思维以及引导学生的独立思考等方面，探讨高三数学教师如何帮助学生提高数学思维深度。
一、培养学生的问题意识
培养学生的问题意识是提高数学思维深度的关键。数学是一个充满问题的学科，而培养学生的问题意识可以帮助他们主动思考、积极探索。高三数学教师可以在课堂上提出一些具有挑战性的问题，引导学生思考，让他们从问题中发现规律和解决方法。同时，教师还可以鼓励学生在学习过程中主动提问，解答学生的疑惑，帮助他们建立起自信和探索的勇气。通过培养学生的问题意识，可以引导学生深入思考，提高数学思维的深度。
二、激发学生的创新思维
创新思维是数学思维深度的重要组成部分。高三数学教师可以通过设计富有创新性的数学问题或者开展数学探究活动，激发学生的创新思维。例如，引导学生自己发现和证明数学定理，让他们在解决实际问题的过程中灵活运用数学知识。此外，教师还可以组织学生进行数学竞赛，提供创新性的数学题目，并鼓励学生展示他们的创新思维。通过这些活动，可以激发学生的学习兴趣，培养他们的创新思维和解决问题的能力。
三、引导学生的独立思考
独立思考是培养学生数学思维深度的必备能力。高三数学教师应该注重培养学生的独立思考能力。在课堂教学中，教师可以引导学生进行课堂讨论，鼓励他们自己思考问题、找出解决方法。此外，教师还可以组织学生进行小组合作学习，在一些开放性的数学问题中，让学生自主探索解决方法，培养他们的独立思考和合作精神。同时，教师还可以给予学生必要的指导和反馈，帮助他们提高自主学习和解决问题的能力。
总结起来，高三数学教师在帮助学生提高数学思维深度方面，可以从培养学生的问题意识、激发学生的创新思维以及引导学生的独立思考等方面下功夫。通过有效的教学方法和策略，可以提高学生数学思维的深度，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。最终，学生将不仅在数学学科中取得好成绩，更能在生活中灵活运用数学思维，解决各种实际问题。
深度思维突破卡点，让数学学习更真实的发生—以《穿孔问题》指导课为例
深度思维 突破卡点，让数学学习更真实的发生—以《穿孔问题》指导课为例
摘要：随着课程改革的推进，看似高效的数学课堂背后，其实存在着一种现象：不是不知道，而是想不到。究其原因，很多时候都是老师或其他同学的过早提示，让学生在思维卡点时，借助别人的帮助顺利度过，但是没有帮助时，自己就无从下手。因此，我们要更加精准地了解学生的思维起点，分层指导，在遇到思维困难点时不要急于点破，引导学生持续在思考、能够深思考、自主会思考，让数学学习更真实地发生。
关键词：思维卡点 学会思考 真实学习
随着课程改革的大力推进，我们经常会看到这样的课堂现状：任课老师精心设计，全程以学生为主体，注重引导学生思考，当学生遇到解题困难时，教师或及时点播，或优生分享，其他学生恍然大悟、茅塞顿开，接下来全班积极思考、交流分享、动脑动手，成功把问题解决，整个过程流畅自然，学生学得明白，课堂高效。
这样的课堂现状已经不仅仅存在于所谓的展示课中，很多老师已经在自己的常规课中实践，这值得肯定与欣喜；但是，我们也经常会发现：等让学生自己独立解题时，还是不会。我们也时常发出抱怨：这种题都讲了多少遍了，你怎么还是不会？不会，有各种各样的原因，但其中有一个很重要的原因是：不是不知道，而是想不到。课堂中，经过老师或其他学生提示，就像给他搭建了一个梯子，爬上去就很简单了，表面看，学生也懂了、会了；但当没有人帮忙搬梯子，他就不知道去哪里找这把梯子，就算知识点掌握的很好，依然不能主动正确的应用。
这把“梯子”就是思维的卡点，思维存在困难或障碍的地方。我们不仅要关注“我是这样想的”，也要关注“我为什么要这样想”。
一、了解学情、分层促思，把握思维起点，让学生持续在思考 《义务教育数学课程标准》指出，数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础上。课前通过观察、调查、交流等方式对学生的情况有一个整体了解，才能更好地把握学生思维的起点，有层次、有目的地激发学生疑问，促进不同层次的学生进行基于思维起点的持续思考，更加精准地实施教学。
积极探索,追寻深度学习的数学课堂
积极探索，追寻深度学习的数学课堂
1. 引言
1.1 积极探索
积极探索是一种积极主动、勇于尝试、不畏困难的学习态度。在数学课堂中，积极探索意味着不仅要按部就班地学习书本知识，更要主动去探索其中的规律和深层次含义。通过积极探索，学生可以更好地理解数学知识，培养自主学习的能力和创新思维。在追寻深度学习的过程中，积极探索是必不可少的一环。积极探索可以激发学生的求知欲和探索精神，帮助他们建立自信心，克服困难，培养解决问题的能力。
在数学课堂中，教师可以通过激发学生的兴趣和探索欲望，引导他们进行积极探索。教师可以设计一些富有启发性、挑战性的问题，让学生自己去思考、探讨、发现问题的解决方法，从而提高他们的学习兴趣和参与度。教师也要给予学生足够的自主空间，让他们在探索中不断提升自己的能力和思维水平。通过积极探索，学生可以更好地理解数学知识，提高解决问题的能力，为深度学习奠定坚实的基础。【2000字】
1.2 追寻深度学习
追寻深度学习，是当今数学教育领域的重要命题。随着人工智能和机器学习技术的快速发展，深度学习已经成为了解决复杂问题、推动科学研究和技术创新的重要手段。在这个时代，数学课堂不再只是灌输知识，更需要引导学生去深度思考、探索知识的背后逻辑与原理。追寻深度学习，意味着深入理解数学知识的内涵和应用，发现其中的奥秘和规律，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
追寻深度学习还意味着要追求更高的认知层次和解决问题的能力。数学不再是枯燥的计算和公式，而是一门丰富多彩的学科，它蕴含着丰富的思想和方法，可以帮助我们理解世界的运作规律和发展趋势。通过深入学习数学知识，我们可以更好地应对未来的挑战和机遇，提升自己的综合素质和竞争力。
追寻深度学习不仅是为了更好地掌握数学知识，更是为了培养创新精神、批判性思维和团队合作能力。在积极探索的过程中，我们可以不断挑战自我、突破局限，实现自身的成长和进步。深度学习，正是为了让我们在不断探索中积累更多的知识和智慧，成为未来社会的领军人才。
数学学习的思考如何发展数学思维的深度
数学学习的思考如何发展数学思维的深度
数学学习的思考：如何发展数学思维的深度
数学是一门极具挑战性和逻辑性的学科，它既是一种工具，也是一种思维方式。通过学习数学，不仅可以培养逻辑思维能力，还可以提高解决问题的能力。然而，要想真正领悟数学的精髓，发展数学思维的深度，则需要持续的思考和反思。本文将探讨如何在数学学习中培养深度思维，以更好地应对数学问题和挑战。
一、培养对基础概念的理解和把握
数学是一个由基础概念组成的体系，只有对基础概念有准确的理解和把握，才能够顺利地理解和推导后续的知识。因此，数学学习的第一步是对基础概念进行深入的思考。在自学时，学生可以通过阅读相关教材和参考资料，逐步建立完整的概念体系；在课堂上，学生应主动思考老师所讲解的概念，提出问题并积极与老师及同学们讨论，加深对概念的理解。
二、注重问题的探究和解决
数学学习最重要的目的是培养学生解决问题的能力。因此，在学习过程中，学生应主动提出问题，并思考如何有效地解决这些问题。这些问题既可以是现实生活中的实际问题，也可以是数学题目中的抽象问题。通过解决问题，学生可以培养对数学的兴趣和责任感，同时也可以锻炼自己的思维能力。在解决问题的过程中，学生应注重思路的合理性和解题方法的多样性，积极尝试不同的思路和方法，以培养问题解决的深度思维。
三、加强数学的逻辑思维训练
数学学科强调逻辑性，逻辑思维是数学思维的核心。因此，要想发展数学思维的深度，就必须加强逻辑思维的训练。学生可以通过做数学题、证明数学定理等方式来锻炼自己的逻辑思维能力。在解题过程中，学生应注重推理的过程和结论的合理性，不仅仅关注答案的正确与否，更要理清思路，展现出逻辑思维的深度。此外，学生还可以多阅读数学思维方面的书籍和文章，通过学习他人的思考方式和思维方法，来拓宽自己的思维触角。
四、培养数学的创新思维
数学是一门追求创新的学科，蕴含着丰富的创造力和想象力。为了发展数学思维的深度，学生应培养数学的创新思维。学生可以通过解决一些特殊、复杂、抽象的问题来激发自己的创新潜能。在解题过程中，学生不仅要灵活运用已有的数学知识，还要学会超越已有的思维框架，寻找新的思考路径和解题方法。通过培养创新思维，学生可以在数学学习中不断突破自我，挖掘数学的无限可能。
自主提问,让数学课堂走向深度
自主提问，让数学课堂走向深度
数学课堂走向深度是一个重要的教育目标。在传统的数学课堂中，通常以老师为中心，学生被动接受知识的灌输。这种教学模式往往无法激发学生的主动学习和深度思考能力。要让数学课堂走向深度，我们可以采取以下措施：
1. 引入探究学习：数学是一门探究性的学科，学生在实际问题中发现规律和解决问题的过程中培养了解决问题的能力。教师可以设计一些富有挑战性的问题，鼓励学生自己思考和探索解决方法，从而提高学生的思维能力和问题解决能力。
2. 培养学生的数学思维：数学思维是指通过数学语言和符号进行抽象、逻辑推理和问题解决的思考方式。在课堂上，教师可以设计一些任务和讨论，鼓励学生运用数学概念、原理和方法来解决问题。通过培养学生的数学思维，可以提高他们的数学素养和解决实际问题的能力。
3. 引入多元化的资源和工具：传统的数学课堂通常依赖教科书和讲台，学生缺乏与数学相关的实际经验和感知。我们可以引入多样化的资源和工具，如数学实验、模型、数学游戏、计算机软件等，以激发学生对数学的兴趣和热爱，并且从多个角度来理解和应用数学知识。
4. 引导学生进行自主学习：在课堂上，教师可以适当减少对知识点的直接讲解，而是引导学生去探究和发现。可以尝试让学生合作学习，并组织小组活动，让学生主动参与探索、交流和解决问题。学生在合作中相互协作，共同思考和解决问题，提高了学习效果和学习乐趣。
要让数学课堂走向深度，需要教师改变传统的教学模式，从而激发学生的主动学习和深度思考能力。以探究学习为主导，培养学生的数学思维，引入多元化的资源和工具，并且强调数学应用和跨学科学习，这些都有助于提高数学课堂的深度和学习效果。