【考研数学】中值定理总结
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中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法
做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。
1、 所证式仅与ξ相关
①观察法与凑方法
1 ()[0,1](0)(1)(0)02() (,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()fxffffabfxfxxfxfxfxxfxxfxxfx例设在上二阶可导，
试证至少存在一点使得
分析：把要证的式子中的换成，整理得
由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口
因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0 ()(1)()()fxfxfxxfxfxfxfxxfxFxxfxfx，那么把式变一下：
这时要构造的函数就看出来了
②原函数法
dxxgdxxgdxxgexfxFCCexfCexfCdxxgxfxgxfxfxgffgfbabaxgbfafbabaxf)()()()()( )( )(ln)()(ln )()()( )()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分0
0
③一阶线性齐次方程解法的变形法
0 ()()()[,](,)()0()() (,)()()()()0 [()()]pdxpdxfpfpxuxeFxfefxabcabfcffaabfbaffafbaffa对于所证式为型，（其中为常数或的函数）
可引进函数，则可构造新函数
例：设在有连续的导数，又存在，使得
求证：存在，使得
分析：把所证式整理一下可得：
11[()()]00 () C=0()[()()]()() ()0()() xx
dxbababaffafpfbauxeeFxefxfafbfafcfbfaba－－
，这样就变成了型
引进函数＝（令），于是就可以设
注：此题在证明时会用到这个结论
2、所证式中出现两端点
①凑拉格朗日
2
ab
aafbbf
ffF
xxfxF
ffabaafbbfba
babaxf
)()()()()( ),()( )()()()(),( ),(],[)( 3 下用拉格朗日定理验证一
可以试一下，不妨设证的式子的特点，那么分析：很容易就找到要
使得证明至少存在一点
内可导上连续，在在设例
②柯西定理
数就很容易证明了用柯西定理设好两个函
没有悬念了于是这个式子一下变得
分子分母同除一下是交叉的，变换一下，发现容易看出来了这题就没上面那道那么的式子分析：先整理一下要证，使得至少存在一点可导，证明在在，设例 )()( )()( )()()()()()()()( ),(],[)( 4 1212212121212121111012121221212121xxxxxxxxxxxxxxxxeeexfexfexfexfecfcfeexfexfecfcfxfxfeeeecxxxxxfxx
③k值法
。，用罗尔定理证明即可记得回带
，验证可知那么进入第二步，设还是一样的称式，也是说互换很容易看出这是一个对整理得设量的这个式子的形式了，现在就看常以此题为例已经是规范两边常量的式子分写在等号第一步是要把含变量与值法方法叫做在老陈的书里讲了一个呢？很好上面那题该怎么办对柯西定理掌握的不是分析：对于数四，如果仍是上题kxFxFkxfexFxxkxfekxfekeexfexfekxxxxxxx )()(])([)( ])([])([ )()( 21212112212121
④泰勒公式法
老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，
而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。
3、所证试同时出现ξ和η
①两次中值定理
3
)]()([)(
)(
)]()([
)()(
)(
)()(])([)]()([
)]()([
)]()([),(
)()( ),(],[)( 5
ffeabeeeGexGeabeeabeeffeabafebfeFxfexFfeffeeffeffebfafbabaxfabxabababx得到则再用拉格朗日定理就令这个更容易看出来了，
的关系就行了与只要找到
再整理一下利用拉格朗日定理可得
，设很容易看出
子下手试一下那么可以先从左边的式一下子看不出来什么，
分开，那么就有与分析：首先把
使得，试证存在内可导，上连续，在在例110
1
②柯西定理（与之前所举例类似）
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书
的习题里就出现过类似的题。
一、高数解题的四种思维定势
1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公
式再说。
2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处
理一下再说。
3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管
三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之
成为简单形式f(u)再说。
二、线性代数解题的八种思维定势
1、题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4、若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。
5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7、若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
考研数学中值定理证明题技巧-以及结论汇总
2016年考研数学中值定理证明题技巧-以及结论汇总
本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 目 录 第一部分：中值定理结论总结........................................................................
................................ 1
1、介值定理........................................................................
...................................................... 1
2、零点定理........................................................................
...................................................... 2
3、罗尔定理........................................................................
...................................................... 2
4、拉格朗日中值定理........................................................................
...................................... 2
5、柯西中值定理........................................................................
考研复习微分学中的中值定理与应用
上具有 n阶导数，且 阶导数，
(1) f (k) (a) = g(k) (a) (k = 0,1,2,L, n−1)
则当
时，
18、不等式的证明方法： 18、不等式的证明方法： 利用函数的单调性； 利用函数的单调性；
利用泰勒公式； 利用泰勒公式； 利用拉格郎日中值定理. 利用拉格郎日中值定理.
x →−∞ x →−∞
则
y = kx + b 为曲线的斜渐近线。 曲线的斜渐近线。
(0 16、几个常见函数的麦克劳林公式： 16、几个常见函数的麦克劳林公式： < θ < 1) 1 2 1 n eθ x ex = 1+ x + x +L+ x + x n+1 ( −∞ < x < +∞ ) 2! n! ( n + 1)! x3 x 2 n −1 n+1 n cos θ x sin x = x − x 2 n+1 + L + ( −1) + ( −1) 3! (2n − 1)! (2n + 1)! ( −∞ < x < +∞ ) x2 x 2n n n+1 cos θ x cos x = 1 − x 2 n+ 2 + L + ( −1) + ( −1) 2! (2n)! (2n + 2)! ( −∞ < x < +∞ ) x2 x3 xn ( −1)n ln(1 + x ) = x − x n+1 + − L + ( −1)n−1 + 2 3 n ( n + 1)(1 + θ x )n+1 ( −1 < x < 1)
中值定理在考研数学中占的比例
中值定理在考研数学中占的比例
在考研数学中，中值定理是一项非常基础且重要的数学知识，涉
及到微积分和函数论等多个领域，因此在考试中占据了相当重要的比例。
中值定理是一类函数性质定理的统称，包括拉格朗日中值定理、
柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理通常表达的是函数在某个区
间的某些特定性质，例如函数在该区间取到最大值、最小值、增、减
等等。
在考研数学中，通常会涉及到如何证明这些定理，并利用这些
定理进行计算题目。
具体来说，考研数学中的中值定理的比例主要表现在以下几个方面：
第一，纵向比较。
在历年的考研试题中，中值定理几乎每年都会
出现，占据了数分考试内容的相当比例。
例如2019年的数学一考试，
考生需要利用拉格朗日中值定理证明某个函数在一个区间内的某个性质，相对来说这道题并不算很难，但如果不掌握这一定理，将难以得分。
第二，横向比较。
除了在数学一试卷中出现之外，中值定理也会
在数学二试卷中出现。
尽管数学二考试内容上相对于数学一来说更为
复杂，但占据中值定理比例仍然相当重要。
第三，考试方式。
中值定理在考研数学中占据比例的另一个重要
原因是，它们往往是表达题和计算题的重要考点，并且这种题型的难
度不高，求解过程通常是基于中值定理推导而成的。
因此，在考试中，能否熟练地掌握中值定理，深度理解定理的具体推导过程，对于拿高
分来说是至关重要的。
总而言之，中值定理在考研数学中占据非常重要的比例，考生需
要认真掌握这些定理的具体内容和各种应用，深刻理解它们在微积分
和函数论领域的意义，以此提升自己的数学水平并取得优异的成绩。
考研数学中值定理 证明题
考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。
中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。
罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。
那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。
证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。
如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。
接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。
我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。
因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。
那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。
假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。
又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
中值定理
f (c) 0.
在 [a,c]和 [c,b] 上 f ( x) 连续,
证设
f (a) 0, f (b) 0.
f (c) 0. 在 [a,c]和 [c,b] 上 f ( x) 连续, 由于 f (a) 和 f (c)
异号, f (c) 和 f (b) 异号, 所以, 至少存在一点
x1 (a,c), 使 f ( x1) 0; 至少存在一点x2 (c,b), 使 f ( x2 ) 0. 在区间 [ x1, x2 ] 上, f ( x) 显然满足 罗尔定理的三个条件, 即 f ( x) 在 [ x1, x2 ]上连续,
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证 从结论倒推分析知, 可引进辅助函数
( x) f ( x)e x , 由于 (a) (b) 0, 易知 ( x) 在 [a,b] 上满足
完
拉格朗日(Lagrange)中值定理
推论1 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那么 f ( x)在区间 I 上是一个常数.
推论1表明: 导数为零的函数就是常数函数. 这一 结论以后在积分学中将会用到. 由推论1立即可得：
推论2 如果函数 f ( x) 与 g( x) 在区间 I 上恒有 f ( x) g( x),
拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数 f ( x) 在闭区
间 [a,b] 上连续, 在开区间 (a,b) 内可导,则在(a,b)
内至少有一点 (a b), 使得 f (a) f ( )(b a)
于是, 若作辅助函数
考研数学三大纲解析之中值定理
大纲解析之中值定理：1，理清定理内容，熟练运用理论定理有：费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。
前四个定理属于微分中值定理的部分，中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质，最后一个为积分相关定理。
而这里，除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外，其余定理是要求同学们会证明的。
2，总结做题思路，具体分析问题中值相关证明大部分情况下应从结论出发。
考研中所要求的关于中值定理这块的证明百分之六十到七十都是要去用罗尔定理来证明的。
在做此类证明时，同学们要看所要证明的式子是含一个中值还是两个中值，紧接着要看所要求的中值是属于开区间还是闭区间的。
（1）所要证明的式子含有一个中值如果是在含有一个中值的前提下，再看是否含有导数。
若是含一个中值，且这个中值时属于开区间的，并且有含有导数，这时我们往往要考研罗尔定理。
在确定用罗尔定理的前提下，紧接着我们就是构造辅助函数并且找两个点的函数值相等，当然这里同学们在找两个相等点时，不一定要求是找区间的端点，也有可能是区间内部的点。
如果含有一个中值，中值所属于的区间是开区间或者是闭区间，并且不含有导数，那考虑闭区间上连续函数的性质，在第一章闭区间上连续里我们有两个常用的定理--零点定理和介值定理。
如果区间是开区间则选择零点定理，如果区间是闭区间则选择介值定理来证明。
这是一个中值的情况。
（2）所要证明的式子含有两个中值如果需要证明的式子中含有两个中值，这个时候同学们要考虑需要用几次定理来证明。
若是要出现两个中值，一定是用了两次中值定理。
当然，在用两次定理后，这时一定会得到两个式子，而最终所得到的式子含两个中值应该为前面所得到的两个式子合并后的结果。
根据历年真题的详细解读，含有两个中值的情况一般同学们可考虑用两次拉格朗日中值定理或一次拉格朗日中值定理和一次柯西定理。
具体怎么用这个两个定理，以及如何选择辅助函数，一般可以通过所要证明的式子来确定。
考研数学-高数7大中值定理详解
考研数学:高数7 大中值定理详解考研数学:高数7 大中值定理详解，更多考研报名入口、考研数学大纲、考研数学指导、考研数学备考经验等信息，请及时关注关注经济类联考数学全程规划班掌握经济类联考数学的复习方法，制定全复习规划1李擂《考研经综数学导学讲义》无逻辑真题解析了解逻辑真题的主要考查内容，试题结构，预测逻辑真题的命题趋向2王晓东《经济类联考综合真题及其答案》高等数学基础班全面学习高等数学的基本知识点，理解基本概念，掌握基本运算方法，为强化提高打下基础。
16李擂《考研经综数学基础讲义》《经济类联考综合阅卷人核心教程》高等数学强化课程，依据考试大纲及历真题介绍分别高等数学、线性代数、概率论主要知识点，归纳总结命题方向和常见的解题思想，结合强化课，帮助考生进一步强化解题思路。
24李擂《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》逻辑强化熟悉逻辑各题型的特点和表现形式，能熟练地运用各知识点和相关的逻辑方法解题16饶思中《考研管综逻辑强化讲义》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·逻辑》写作强化通过课程学习巩固考研写作的要点重点难点，并掌握写作的大体思路12王诚《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》冲刺串讲各科冲刺串讲，系统串讲各科知识体系，指导考生针对核心考点进行深度学习。
8李擂《考研经综数学冲刺讲义》《经济类联考综合阅卷人核心预测4 套卷》逻辑冲刺提高运用各种知识点和逻辑方法解答各种类型的逻辑题的综合能力；消灭逻辑理解中的盲点和误区；提高解题的速度和正确率4饶思中《考研经综逻辑冲刺讲义》《经济类联考综合阅卷人考前8 天写作大预测》写作冲刺掌握写作大小作文的模版，能利用模版衍生解决应试模版的能力，规范写作8王诚《考研经综写作冲刺讲义》写作模考通过应试技巧的学习，提供写作的速度，发现考试中的问题，及时解决，提高考试分值4王诚《考研管综写作4 套卷》逻辑真题解析了解逻辑真题的主要考查内容，试题结构，预测逻辑真题的命题趋向2王晓东《考研管综真题》数学基础通过学习管理类联考数学的基本概念、基本理论、基本方法，为强化提高打基础20刘京环《考研管综初数基础讲义-刘京环》《管理类联考数学阅卷人核心教程》数学强化依据考试大纲及历真题介绍管理数学数学主要知识点，归纳总结命题方向和常见的解题思想。
中值定理和导数应用总结
驻点和不可导点统称为临界点.
定理(第一充分条件) (1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. ' x ( x , x ) x ( x , x ) f (3)如果当 时, ( x ) 符 0 0 及 0 0 号相同,则 f ( x )在 x0 处无极值.
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
如果对区间 I 上任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x ) 在 I 上的图形是（向上）凸 的;
考研数学高数中值定理的详解
考研数学高数中值定理的详解考研数学高数中值定理的详解七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。
应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。
对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。