第六章运筹学整数规划案例教材

第六章整数规划

6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。

1、 max z=3x1+2x2

S.T. 2x1+3x2≤12

2x1+x2≤9

x1、x2≥0

解：

2、 min f=10x1+9x2

S.T. 5x1+3x2≥45

x1≥8

x2≤10

x1、x2≥0

6.2 求解下列整数规划问题

1、 min f=4x1+3x2+2x3

S.T. 2x1-5x2+3x3≤4

4x1+x2+3x3≥3

x2+x3≥1

x1、x2、x3=0或1

解：最优解（0，0，1），最优值：2

2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3

S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2

-2x1+4x2+2x2+4x2≥4

x1+x2-x2+x2≥3

x1、x2、x3、x3=0或1

解：此模型没有可行解。

3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4

S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤30

2x1+5x2-x2+3x2≤20

-x1+3x2+5x2+3x2≤40

3x1-x2+3x2+5x2≤25

x1、x2、x3、x3=正整数

解：最优解（0，3，4，3），最优值：47

4、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+

5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19

约束条件x1 + x2+x3≤30

x4+ x5＋x6-10 x16≤0

x7+ x8＋x9-20 x17≤0

x10+ x11＋x12-30 x18≤0

x13+ x14＋x15-40 x19≤0

x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30

x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20

x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20

x i为非负数（i=1,2…..8）

x i为非负整数（i=9,10…..15）

x i为为0－1变量（i=16,17…..19）

解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860

6.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：

公司办公会决定选择原则如下：

（1）B5、B3和B7只能选择一个。

（2）选择了B1或B14就不能选B6。

（3）B2、B6、B1、B12，最多只能选两个。

（4）B5、B7、B10、B8，最少要选两个。

问应选择哪几个点，使总的建店费用为最低？

解：数学模型：

min f＝1.2 x1+1.5 x2+1.7 x3+2.1 x4+3.3 x5+1.2 x6+2.8 x7+2.5 x8+1.9 x9+3 x10+2.4 x11+2.4

x12+2.1 x13+1.6 x14

S.T. x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14=8

x3+ x5-2 x7=2

x1+ x6=1

x6+ x14=1

x1+x2+x6+x12≤2

x5+x7+x8+x10≥2

x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3， (14)

最优解：（1，1，1，1，1，0，0，0，1，0，0，0，1，1）最优值：15.4。

即：B1，B2，B3，B4,B5,B9,B13,B14选中，建店的最低费用15.4万元。

6.4有四个工人（甲、乙、丙、丁），要分别指派他们完成四项不同的工作（A、B、C、D），请按以下要求求解指派问题。

1、每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何分配工作，才能使总的消耗时间为最少？

2、每人做各项工作所创的利润如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的创利为最多？

解：1、消耗时间为最少问题

线性规划数学模型：

min f=18x1+16x2+19x3+20x4+16x5+20x6+19x7+18x8+17x9+21x10+12x11+15x12+20x13 S.T. x1+x2+x3 =1

x4+x5+x6=1

x7+x8+x9+x10=1

x11+x12+x13=1

x1+x7+x11 =1

x2+x4+x8 +x12 =1

x5+x9+x13 =1

x3+x6+x10 =1

x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3， (13)

最优解：（0，1，0，0，1，0，0，0，0，1，1，0，0，），最优值：65。

即：给甲分配工作B，给乙分配工作C，给丙分配工作D，给丁分配工作A，所用最少的时间为65小时。

2、总的创利为最多问题

线性规划数学模型：

max Z =41+52+73+94+75+5x6+6x7+8x8+3x9+4x10+3x11+5x12+7x13+6x14+8x15+8x16

S.T. x1+x2+x3 +x4 =1

x5+x6+x7+x8=1

x9+x10+x11+x12=1

x13+x14+x15+x16=1

x1+x5+x9 +x13 =1

x2+x6+x10+x14=1

x3+x7+x11+x15=1

x4+x8+x12+x16=1

x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3，…，16

最优解：（0，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0,1,0），最优值：28。

即：给甲分配工作D，给乙分配工作A，给丙分配工作B，给丁分配工作C，所创最多的利润为28元。

6.5 某企业在A1地已有一个工厂，其产品的生产能力为3万箱，为了扩大生产，打算在A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在A2地建厂的固定成本为1

7.5万元，在A3地建厂的固定成本为30万元，在A4地建厂的固定成本为37.5万元，在A5地建厂的固定成本为50万元，另外，五个产地建成后的产量、销地的销量以及产地到销地的单位运