2013届高考数学一轮复习讲义第四章 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
2013年高考一轮复习讲义第一讲(学生)---三角函数的概念、同角三角函数关系式与诱导公式
第一讲 三角函数的概念、同角三角函数关系式与诱导公式本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】知识点一 任意角1. 角的概念一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α.2. 角的分类为了表示不同旋转方向所形成的角，联想到雍正负数表示具有相反意义的量得方法，集合S = rad 1 π2rad =0360，πrad =0180，1rad ='00185730.57=≈⎪⎭⎝π3. 弧度制与角度制的换算公式设一个角的弧度数为α，角度为0n ，则有α)(rad =0)180(α⋅n ，))(180(0rad n n π⋅=. 知识点五 弧度制下得弧长公式和扇形面积公式 1. 弧度制下得弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则rl=α，即r l α=，此公式称为弧长公式。
2. 弧度制下的扇形面积公式因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为22212r r =ππ，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为r l rad ，所以其面积为lr r r l S 2122=⋅=。
将r l α=代入可得22121r r l S ⋅=⋅=α，此公式称为扇形面积公式。
知识点六 同角三角函数的关系yr =【基础自测】1．若角α与角β的终边相同，则一定有（ ）A. 0180=+βα B. 00=+βαC. Z k k ∈⋅=,036-0βαD. Z k k ∈⋅=+,0360βα2. 已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 2cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 2或43. α是第四象限角，1312cos =α，则αsin = （ ） A. 135 B. 135- C. 125D. 125-4.5.【例题2】若),(-036,0360Z m k m k ∈⋅=+⋅=θβθα,则角α与β的终边的位置关系（ ） A. 重合 B. 关于原点对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称【变式练习1】若0045018+⋅=k α)(Z k ∈，则α是（ ）A. 第一或第三象限角B. 第一或第二象限角C. 第二或第四象限角D. 第三或第四象限角考点二 扇形的弧长公式及面积公式【例题3】（1）若两个角的差为1弧度，它们的和为01，求这两个角的大小分别为_______. （2）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）考点三 三角函数的定义【例题5】已知θ的终边经过点0))(,4(-3≠a a a P ，求θθθtan ,cos ,sin .【例题6】角α终边经过点)2,(-x P )0(≠x ，且x 63cos =α，求ααtan sin +的值.【变式练习3】已知角α的终边上一点))(4,(-12R m m m P ∈,求ααααtan ,cos ,sin =.（1θ2； （4【例题8】已知παπα<<=2,552sin ，求αtan .【变式练习4】已知),2(,0cos 2cos sin sin 622ππααααα∈=-+，求下列各式的值.（1）θθθθcos sin cos 3sin --；（2）ααα2sin cos sin -；（3）2cos sin 3-sin 2-ααα.=___.)B ，求ABC ∆的三个内角.【变式练习5】已知)2(32)cos()sin(παπαπαπ<<=+=-.求下列各式的值. （1）ααcos sin -；（2）)2(cos )2(sin cos sin 33απαπαα++--.第三部分：【实战演练】【实战演练一】 一、选择题1.下列说法正确的是 ( ) A.第二象限的角比第一象限的角大 B.若sinα＝12，则α＝π6C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 2.若sin θ>0且sin2θ>0，则角θ的终边所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在( )A. x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上4.已知扇形的面积为2 cm 2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A.sin θ2B.cos θ2C.tan θ2 D.cos2θ 6.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向[转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ) 的图像大致为 ( )二、填空题7.在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的圆心角α是 rad . 8.若点P (m ，n )(n ≠0)为角600°终边上一点，则mn等于 .9.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为 . 三、解答题10.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，求α的三角函数值.11.(1)确定tan(－3)cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号.12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时 针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长.是( 2.是( 3.4.为 ( 5.已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α、β、a 、b 均为非零实数，若f (2010)＝－1，则f (2011)等于( )A.－1B.0C.1D.2 6.已知sin(2π＋θ)tan(π＋θ)tan(3π－θ)cos(π2－θ)tan(－π－θ)＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.6 二、填空题7.若cos(2π－α)＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝ 8.若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝ .2，则(2)化简：1－2sin130°cos 130°sin130°＋1－sin 2130° .11 12.是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos (－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由。
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3。
【高考调研】高考数学总复习 4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式配套课件 理 新人教A版
第 2 课时 同角三角 函数的基本关系式及诱导公式
2013•考纲下载
1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin2α ＋cos2α＝1，csionsαα＝tanα，掌握已知一个角的三角函数值求其他 三角函数值的方法．
2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(π2±α，π±α 的 正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式求三角函数值，感 受诱导公式的变化规律．
思考题 4 已知 tanα＝2，求sinαc＋ os2cαosα2的值．
【解析】 方法一 原式可化为sin2α＋cocos2sα2α－＋si2ns2iαnαcosα 分子、分母同除以 cos2α tan2α1＋－2tatann2αα＋1＝－3.
方法二 原式可化为 csoinsα2α＋－csoisnα2α2＝cosα－sisninαα＋ccoossαα＋2 sinα ＝scionsαα＋－csoinsαα＝t1a－nαt＋an1α＝－3. 【答案】 －3
tanα －tanα
1．(课本习题改编)sin2 490°＝________；
cos(－335π)＝________.
答案
－12
1 2
2．若 tanα＝2，则2sisninαα＋－2ccoossαα的值为
A．0
3 B.4
C．1
5 D.4
答案 B 解析 2sisniαnα＋－2ccoossαα＝2ttaannαα＋－21＝42－ ＋12＝34.
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理
[探究 3] 在本例(3)的条件下，求 sin2α＋2sin αcos α 的值． 解：sin2α＋2sin αcos α＝sin2sαin＋2α2＋sincoαsc2αos α ＝tan12＋α＋ta2nt2aαn α＝1196＋－19836＝－285.
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(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化， 利用csions αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化．
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[典题 1] (1)(2015·福建高考)若 sin α＝－153，且 α 为第四
象限角，则 tan α 的值等于( )
A.152
B．－152
C.152
D．－152
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
(3)已知 α 为三角形的内角，且 sin α＋cos α＝15，则 tan α
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利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式 化成单角三角函数；③整理得最简形式． (2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可 能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
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1．已知 sinα＋1π2＝13，则 cosα＋71π2的值为________．
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解：(1)f(α)＝sintαa－nπ－2·αco－sπ32π·s＋inα－·taαn－ππ－ α
＝－cos－αta·sninαα··si－n αtan α＝－cos α.
(2)∵cosα－32π＝15，∴－sin α＝15，从而 sin α＝－15.
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
【解】(1)原式=
2tan������-3 4tan������-9
=
2×2-3 =-1. 4×2-9
(2)∵ sin2α+cos2α=1, ∴ 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α
4sin2 α-3sin������cos������-5cos2 α = sin2 α+cos2 α 4tan2 α-3tan������-5 = tan2 α+1
sinα 把正切化成正弦、余弦. cos������
(2)和积转换法:利用(sinθ± cosθ)2=1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =….
4
2.下面各角的终边与角 α 的终边的关系
角 2kπ+α(k∈Z) π+ α -α
12 5
.
【解析】∵ sinα,cosα 是方程 5x2-7x+m=0 的两根, ∴ sinα+cosα= ,sinα·cosα= ,把等式 sinα+cosα= 两边平方,得 1+2sinαcosα= ,即 1+ m= ,∴ m= .
49 25 2 5 49 25 12 5 7 5 ������ 5 7 5
=
4×4-3×2-5 =1. 4+1
这是一组在已知 tanα=m 的条件下,求关于 sinα,cosα 的齐次式之值 的问题,解这类问题需注意: (1)齐次指的是关于 sinα,cosα 的齐次式或能化为齐次式的三角函数式; (2)由 cosα≠0,可用 cosα 除,这样可以将被求式化为关于 tanα 的表达式, 代入 tanα=m 即可.
高考数学第一轮基础复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
8 解法 2：设 tanα1＝ ，α1 为锐角， 15 8 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝ ， 15 设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， 8 ∴sinα1＝ ， 17
8 ∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝ . 17 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， sinα 8 又 tanα＝ ＝－ ， 由勾股数组 8,15,17 知排除 A， cosα 15 ∴选 C.
π ∴θ∈2，π，∴sinθ>0，cosθ<0，
∴|sinθ|>|cosθ|，∴|tanθ|>1，即
π 3π θ∈2， 4
∴tanθ<－1，∴tanθ＝－ 3，故应选 C.
答案：C
3－1 点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 两边平方扩大了 2 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ π cosθ<1 得出 <θ<π， 进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ 2 3 ＝－ ，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一 3 定要检验．
第 二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
重点难点 重点：①掌握同角三角函数的关系公式． π ②掌握－α，π±α，2π－α， ± α 的诱导公式． 2 难点：诱导公式的规律性及综合运用．
知识归纳 1．同角三角函数的基本关系
1； (1)倒数关系：tanα· cotα＝__
sinα (2)商数关系： ＝_____； cosα tanα
[例 2]
解题技巧 1．怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化 任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用－ α 的诱导 公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；
高考数学一轮总复习课件：同角三角函数的基本关系式及诱导公式
sin（kπ＋α） sinα
＋
cos（kπ＋α） cosα
(k∈Z)，则A的
值构成的集合是( C )
A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}
C．{2，－2}
D．{1，－1，0，2，－2}
【解析】 当k为偶数时，A＝ssiinnα α＋ccoossα α＝2； 当k为奇数时，A＝－sisniα nα－ccoossα α＝－2.
(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为 (sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx， (sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx， (sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可 求其余两个代数式的值．
＝
（－751）×15＝－275.
【答案】 －275
题型四 齐次式下弦切互化
例4 (1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
【解析】 ∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α－3sinαcosα＋1＝sin2sαin2－α3＋sincoαs2cαosα＋1 ＝tan12α＋－tan32tαanα＋1＝321－＋33×2 3＋1＝1. 【答案】 1
本例属于同角三角关系式中的基本题，关键是掌握“先开 方，后作商”的原则，先求与 sinα(或 cosα)的平方关系相联系 的 cosα(或 sinα)，再由公式求 tanα.(2)(3)中 α 的范围不确定， 需讨论确定开方的符号．
思考题 2 (1)设 sinα2＝45，且 α 是第二象限角，则 tanα2的 4 值为____3____．
状元笔记
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终 了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终 了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函 数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝ cos(π－α)＝－cosα.
新高考数学一轮复习教师用书：第4章 2 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．[基本关系式变形]sin 2α＝1－cos 2α,cos 2α＝1－sin 2α,sin α＝tan αcos α, cos α＝sin αtan α,(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α.2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin α sin α cos__α cos α 余弦 cos α －cos α cos__α －cos α sin α －sin__α正切 tan αtan α－tan α－tan__α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k∈Z)的形式,奇变偶不变,符号看象限．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意的角α,β,都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ,则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n∈Z),则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× [教材衍化]1．(必修4P19例6改编)若sin α＝55,π2<α<π,则tan α＝________． 解析：因为π2<α<π,所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55,所以tan α＝sin αcos α＝－12.答案：－122．(必修4P22B 组T3改编)已知tan α＝2,则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：33．(必修4P28练习T7改编)化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin (α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.答案：－sin 2α [易错纠偏](1)不会运用消元的思想；(2)π±α的形式没有把k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错． 1．已知tan x ＝2,则1＋sin 2x 的值为________． 解析：1＋sin 2x ＝cos 2x ＋2sin 2x ＝cos 2x ＋2sin 2x sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2tan 2x 1＋tan 2x ＝95. 答案：952．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k∈Z),则A 的值构成的集合是________．解析：k ＝2n(n∈Z)时,A ＝sin （2n π＋α）sin α＋cos （2n π＋α）cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.当k ＝2n ＋1(n∈Z)时,A ＝sin （π＋α）sin α＋cos （π＋α）cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－1＋(－1)＝－2. 答案：{2,－2}同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛,也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦． 角度一 知弦求弦(2020·丽水模拟)已知sin θ＋cos θ＝43,θ∈(0,π4),则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23 D ．－13【解析】 (sin θ＋cos θ)2＝169,所以1＋2sin θcos θ＝169,所以2sin θcos θ＝79,由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29,可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0,π4),sin θ<cosθ,所以sin θ－cos θ＝－23. 【答案】 C 角度二 知弦求切已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34 【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35,所以sin α＝－35,显然α在第三象限,所以cos α＝－45,故tan α＝34.【答案】 B 角度三 知切求弦若tan α＝34,则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625【解析】 法一：由tan α＝sin αcos α＝34,cos 2α＋sin 2α＝1,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425,则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 【答案】 A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．(2)知弦求切：常通过平方关系sin 2α＋cos 2α＝1及商数关系tan α＝sin αcos α结合诱导公式进行求解．(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式,然后用平方关系求解．若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,如asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；asin 2α＋bcos 2α＋csin αcos α＝asin 2α＋bcos 2α＋csin αcos αsin 2α＋cos 2α＝atan 2α＋b ＋ctan αtan 2α＋1.1．已知sin α＋cos α＝15,那么角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第二或第四象限解析：选D.因为sin α＋cos α＝15,所以两边平方得1＋2sin αcos α＝125,即2sin αcos α＝－2425,所以sin αcos α<0,验证可知,角α是第二或第四象限角,故选D. 2．已知α是第二象限的角,tan α＝－12,则cos α＝________．解析：因为α是第二象限的角,所以sin α＞0,cos α＜0,由tan α＝－12,得cos α＝－2sin α,代入sin 2α＋cos 2α＝1中, 得5sin 2α＝1,所以sin α＝55,cos α＝－255. 答案：－255诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________． (2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根,且α是第三象限角,则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23,则sin (α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1,x 2＝－23,由题知cos α＝－23,所以sin α＝－53,tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2,所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时,用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦,统一名． ②用诱导公式,统一角．③用因式分解将式子变形,化为最简．1．若sin(π2＋α)＝－35,且α∈(π2,π),则sin(π－2α)＝( )A.2425B.1225C ．－1225D ．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cos α＝－35,且α∈(π2,π),得sin α＝45,所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,选项D 正确．2．已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线3x －y ＝0上,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）＝________．解析：由题意可知tan θ＝3,原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.答案：323．(2020·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－12,求sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n∈Z)．解：因为cos(π＋α)＝－12,所以－cos α＝－12,cos α＝12.sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.[基础题组练]1．计算：sin 116π＋cos 103π＝( )A ．－1B ．1C ．0D.12－32解析：选A.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3 ＝－sin π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－12－cos π3 ＝－12－12＝－1.2．已知tan (α－π)＝34,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B.由tan (α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,所以cos α＝－45,所以α为第三象限的角,sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ),|θ|<π2,则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ), 所以－sin θ＝－3cos θ,所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2,所以θ＝π3.4．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α),则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25D ．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α),所以sin α＝－2cos α,所以tanα＝－2,当α在第二象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55,所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55,所以sin αcos α＝－25,综上,sin αcos α＝－25,故选A.5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5,则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5,所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 6．已知sin α＋3cos α＋1＝0,则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：选D.由sin α＝－3cos α－1,可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1,即5cos 2α＋3cos α＝0,解得cos α＝－35或cos α＝0,当cos α＝0时,tan α的值不存在,当cos α＝－35时,sin α＝－3cos α－1＝45,tan α＝sin αcos α＝－43,故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：0 8．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α,而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. 答案：－239．已知θ为第四象限角,sin θ＋3cos θ＝1,则tan θ＝________．解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ,得6sin θcos θ＝－8cos 2θ,又因为θ为第四象限角,所以cos θ≠0,所以6sin θ＝－8cos θ,所以tan θ＝－43.答案：－4310．(2020·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α＋cos α＝10,则tan α的值为________；1cos 2α＋sin 2α的值为________．解析：由3sin α＋cos α＝10,得到cos α＝10－3sin α,代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＋(10－3sin α)2＝1,得10sin 2α－610sin α＋9＝0,即(10sin α－3)2＝0, 解得sin α＝31010,cos α＝1010,则tan α＝sin αcos α＝3；1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝9＋11＋6＝107. 答案：310711．已知π＜α＜2π,cos (α－7π)＝－35,求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：因为cos (α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35,所以cos α＝35.所以sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角,f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f(α)；(2)若cos (α－3π2)＝15,求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α. (2)因为cos (α－3π2)＝15, 所以－sin α＝15, 从而sin α＝－15. 又α为第三象限角,所以cos α＝－1－sin 2α＝－265, 所以f(α)＝－cos α＝265. [综合题组练]1．(2020·台州市高三期末评估)已知cos α＝1,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝( ) A.12B.32 C ．－12 D ．－32 解析：选C.因为cos α＝1⇒α＝2k π,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin π6＝－12,故选C. 2．(2020·金华十校联考)已知sin αcos α＝18,且5π4<α<3π2,则cos α－sin α的值为( ) A ．－32 B.32C ．－34D.34解析：选B.因为5π4<α<3π2, 所以cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34, 所以cos α－sin α＝32. 3．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案：－3344．若sin α＝2sin β,tan α＝3tan β,则cos α＝________． 解析：因为sin α＝2sin β,①tan α＝3tan β,tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4.又sin 2α＋cos 2α＝1,所以cos 2α＝38, 所以cos α＝±64. 答案：±645．已知f(x)＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x](n∈Z)． (1)化简f(x)的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π的值．解：(1)当n 为偶数,即n ＝2k(k∈Z)时,f(x)＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k＋1）π－x]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x(n ＝2k,k ∈Z)；当n 为奇数,即n ＝2k ＋1(k∈Z)时,f(x)＝cos 2[（2k ＋1）π＋x]·sin 2[（2k ＋1）π－x]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x(n ＝2k ＋1,k ∈Z)．综上得f(x)＝sin 2x.(2)由(1)得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝sin 2π12＋sin 25π12 ＝sin2π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12 ＝sin2π12＋cos 2π12＝1.。