八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程(含答案)
专题08 分式方程
阅读与思考
分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，
常用的方法有直接去分母、换元法等．
在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件．
例题与求解
【例1】 若关于x的方程22xax＝－1的解为正数，则a的取值范围是______．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．
【例2】 已知22221111xxABCxxxxx，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．
【例3】解下列方程：
（1）596841922119968xxxxxxxx； （“五羊杯”竞赛试题）
（2）222234112283912xxxxxxxx； （河南省竞赛试题）
（3）2x＋21xx＝3． （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）
解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相
关技巧、方法解．
【例4】（1）方程18272938xxxxxxxx的解是___________． （江苏省竞赛试题）
（2）方程222111132567124xxxxxxx的解是________．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．
【例5】若关于x的方程2211kxkxxxxx只有一个解，试求k的值与方程的解．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解
题．
【例6】求方程11156xyz的正整数解． （“希望杯”竞赛试题）
解题思路：易知,,xyz都大于1，不妨设1＜x≤y≤z，则111xyz，将复杂的三元不定方程转
化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．
能力训练
A级
1．若关于x的方程1101axx有增根，则a的值为________． （重庆市中考试题）
2．用换元法解分式方程21221xxxx时，如果设21xx＝y，并将原方程化为关于y的整式方程，
那么这个整式方程是___________． （上海市中考试题）
3．方程2211340xxxx的解为__________． （天津市中考试题）
4．两个关于x的方程220xx与132xxa有一个解相同，则a＝_______．
（呼和浩特市中考试题）
5．已知方程11xaxa的两根分别为a，1a，则方程1111xaxa的根是（ ）．
A．a，11a B．11a，1a C．1a，1a D．a，1aa
（辽宁省中考试题）
6．关于x的方程211xmx的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞－1 B．m＞－1且m≠0
C．m＜－1 D．m＜－l且m≠－2
（孝感市中考试题）
7．关于x的方程22xcxc的两个解是x1＝c，x2＝2c，则关于x的方程2211xaxa的
两个解是（ ） ．
A．a，2a B．a－1，21a C．a，21a D．a，11aa
8．解下列方程：
（1）2221160xxxx； （苏州市中考试题）
（2）2216104933xxxx． （盐城市中考试题）
9．已知13xx．求x10＋x5＋51011xx的值．
10．若关于x的方程2211kxkxxxxx只有一个解（相等的两根算作一个），求k的值．
（黄冈市竞赛试题）
11．已知关于x的方程x2＋2x＋221022mxxm，其中m为实数.当m为何值时，方程恰有三个互
不相等的实数根?求出这三个实数根.
（聊城市中考试题）
12．若关于x的方程122112xxaxxxxx无解，求a的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
B级
1．方程222211114325671221xxxxxxxx的解是__________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2．方程222111011828138xxxxxx的解为__________．
3．分式方程1112xmxxx有增根，则m的值为_________．
4．若关于x的分式方程22xax＝－1的解是正数，则a的取值范围是______．
（黑龙江省竞赛试题）
5．（1）若关于x的方程2133mxx无解，则m＝__________． （沈阳市中考试题）
（2）解分式方程225111mxxx会产生增根，则m＝______． （“希望杯”邀请赛试题）
6．方程33116xxxx的解的个数为（ ）．
A．4个 B．6个 C．2个 D．3个
7．关于x的方程11ax的解是负数，则a的取值范围是（ ） ．
A．a＜l B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
（山西省竞赛试题）
8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合
做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则111111abc的值
是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
（江苏省竞赛试题）
9．已知关于x的方程（a2－1）2271011xxaxx有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，且121231111xxxx，求a的值.
（TI杯全国初中数学竞赛试颞）
10．求方程22x－xy3x＋y＋2006＝0的正整数解.
（江苏省竞赛试题）
11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去
年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种
电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，
有几种进货方案?
（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，
返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
（齐齐哈尔市中考试题）
北师大版八下数学《分式方程》典型例题1(含答案)
《分式方程》典型例题例1．指出下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程，并说出它们的区别. ①21=+x x ②275-=y y ③2132-=x x ④ab x b a x -+=+2（x 是未知数）⑤x x x -=-2212例2．满足方程2211-=-x x 的x 的值是 A ．1 B ．2 C ．0 D ．没有例3．解方程114112=---+x x x例4．解方程 413132=-+--++x x x x x例5．当a 为何值时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解等于零？例6．为何值时，关于x 的分式方程53221+-=-+a a x x 的解为零？例7．把以下公式进行变形： （1）已知Ir nIR E +=（0≠+rn R ），求I ； （2）已知2021gt t v s -=（0≠t ），求0v .例8．m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？例9．分式方程0111=+--+-x x x k x x 有增根1=x ，求k 的值.例10．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.352,413yx y x参考答案例1．解答 整式方程为：③④分式方程为：①②⑤它们的主要区别在于：分式方程的分母中含有未知数.说明 根据定义，把握分母中是否含有未知数这一特征来判断.例2．分析 用验证法比用直接法简便. 当1=x 或2=x 时，方程中均有1个分式无意义，所以1=x 与2=x 不是所求的值. 当0=x 时，方程的左右两边相等.解答 C说明 考查分式方程的解法.例3．解答 原方程变形为1)1)(1(411-+---+x x x x 方程两边都乘)1)(1(+-x x ，约去分母，得)1)(1(4)1(2+-=-+x x x ，解这个整式方程，得1=x检验：当1=x 时，0)1)(1(=+-x x∴ 1=x 是增根，∴原方程无解．说明 分式方程一定要注意验根．例4．分析 去分母时，把12++x x 看做整体处理．解答 方程两边都乘)1(-x ，约去分母，得)1(4)3()1)(1(32-=+----+x x x x x x ，（分数线起着扩号的作用）解这个整式方程，得0=x检验：当0=x 时，.01≠-x∴ 0=x 是原方程的解．说明 解分式方程的思路一般为：抓形式特点→整体处理→转化为整式方程→解整式方程→检验得解例5．解答 方程的两边都乘以)2)(5(-+x a ，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x ，整理，得.51)8(a x a -=-当8≠a 时，方程有惟一解aa x --=851. 设0851=--a a ，则051=-a ，故51=a . 综上，当51=a 时，原方程的解等于零. 说明 考查分式方程的解法.例6．分析一 由方程解的定义，将0=x 代入方程便可求出a 值.解答一 ∵0=x ，故原方程化为53221+-=-a a 解此分式方程，得 51=a . 经检验知51=a 是原方程的解. ∴ 51=a 时，方程的解为零. 分析二 解关于x 的分式方程，求出用a 表示x 的关系后，令0=x ，求出0=x ，此法较复杂.解答二 方程两边都乘以最简公分母)5)(2(+-a x ，约去分母，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x解关于x 的整式方程得 815--=a a x ∵ 0=x ，∴ 0815=--a a ， ∴ 015=-a ，.51=a 检验：当51=a 时，0)5)(2(≠+-a x ∴ 当51=a 时，方程的解为零. 例7．分析 公式变形从实质上看就是解含有字母已知数的分式方程. 它的解法和含数字已知数的分式方程是一样的. 一般情况，公式变形不必检验.（1）题中，I 是未知数，r n R E ,,,是字母已知数；（2）题中0v 是未知数，g t s ,,是字母已知数.解答（1）两边都乘以n ，得n Ir IR n E ⋅+=⋅，即E n I n r R ⋅=⋅+)(，∵0≠+rn R∴两边都除以rn R +，得rnR nE I += （2）移项，2021gt s t v +=， ∴ 2022gt s v t +=⋅，∵0≠t ，∴两边都除以t 2，得tgt s v 2220+= 例8．分析 增根是分式方程去掉分母后的整式方程的根，但又使原方程的分母为0.解答 方程两边都乘以)2)(2(-+x x ，得6342-=++x mx x ，整理，得10)1(-=-x m .当1≠m 时，110--=m x . 如果方程产生增根，那么042=-x ，即2=x 或2-=x（1）若2=x ，则2110=--m ，故4-=m . （2）若2-=x ，则2110-=--m ，故.6=m 例9．分析 这是含有参数字母k 的分式方程，x 是未知数，我们把k 看做“暂时常数”，并考虑增根1=x 的条件解出k 来.解答 原方程可化为01)1()1()1(2=---+++x x x x k x x ， 即 01222=-+-+++x x x k kx x x ， ∴ k x k -=+)2(若02≠+k ，则k k x +-=2， 当1=x 时，kk +-=21， ∴ .1-=k说明 这是一道含有参数字母k 的分式方程. 如果把求出分式方程的增根作为正向思维的话，本题则是已知1=x 是增根，要求求出分式方程中的参数k ，显然具有考察逆向思维的功能. 因而，其求解步骤为：求x →令x 取增根值→解k .例10．解答 把y x 1,1分别看做一个整体，运用换元法设a x =1，b y =1， 则原方程可化为：⎩⎨⎧-=+=-)2( 352)1( 43b a b a )2(5)1(+⨯,得1717=a ，∴ 1=a ，代入（1）中，得1-=b .∴⎩⎨⎧-==11b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.11,11yx ∴⎩⎨⎧-==.1,1y x 经验证⎩⎨⎧-==11y x 是原方程组的解.说明 换元法是一种重要的数学方法，通过换元不但可使方程组、方程及解答变得简单，还可使解题思路清晰明了. 本题运用了整体思想和换元法，有化难为易之妙.。
八年级分式解答题专题练习(解析版)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .【解析】【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时． 【详解】设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ，由题意可得：330.50.520360x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根，∴315x =答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.2．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．据上述条件解决下列问题：①规定期限是多少天？写出解答过程；②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】规定期限20天；方案（3）最节省【解析】【分析】设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定期限x 天完成，则有：415x x x +=+， 解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解； 答：规定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（万元）方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）． 所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．所以方案（3）最节省．点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．3．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+． （1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ； （2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式．【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-． 【解析】【分析】 仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩， 解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.4．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟，900900151.2x x+＝， 解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．5．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①22a b ，②22a b -，③11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．①若m =-n =，求对称式b a a b+的值． ②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b+++的最小值． 【答案】（1）①③．（2）①2．②172【解析】试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++421b b+= a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2222a b ab a b+-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++421b b+的最小值是172． 试题解析：（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b是对称式， ∴①、③是对称式；（2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，∴a +b =m ，ab =n ，∵m =－n， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-22-－2； ②421a a ++421b b +， =a 2+21a +b 2+21b， =（a +b ）2－2ab +()2222a b ab a b +-， =m 2+8+2816m +， =21716m +172， ∵1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172，∴421a a ++421b b+的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.6．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式431x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2【解析】试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-()535(2)1313255.2222x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-()434(1)1134.111x x x x x --+==+--- 又∵代数式431x x --的值为整数， 11x ∴-为整数， 11x ∴-=或11x -=-2x ∴=或 0.7．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；（2）乙商场定价有两种方案：方案①将该商品提价20%；方案②将该商品提价1元。
初中数学：分式方程习题精选(附参考答案)
初中数学：分式方程习题精选（附参考答案）1．某学校组织七、八两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动，已知七年级植树900棵与八年级植树1 200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵。
求七年级年级平均每小时植树多少棵？设七年级年级平均每小时植树x 棵，则下面所列方程中正确的是( ) A ．900350−x ＝1 200xB ．900x ＝1 200350+xC ．900350+x ＝1 200xD ．900x＝1 200350−x2．若关于x 的方程2x ＝m2x+1无解，则m 的值为( ) A ．0 B ．4或6 C ．6D ．0或43．解分式方程2x −1x+1＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是_____________． 4．分式方程3−x x−4+14−x＝1的解是________．5．甲、乙两人做某种机器零件，甲每小时比乙每小时多做10个，甲做160个所用时间与乙做140个所用时间相等，甲、乙两人每小时分别做多少个？设甲每小时做x 个，则可列分式方程为__________． 6．(1)解方程：xx+1＝2x 2−1(2)解方程：1x−1＋1＝32x−27．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动。
甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1 500千克土豆与乙班挖1 200千克土豆所用的时间相同。
已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问：乙班平均每小时挖多少千克土豆？8．已知点P (1－2a ，a －2)关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程x+1x−a ＝2的解是( ) A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x ＝3D ．不能确定9．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个。
设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为( ) A ．20x+10x+4＝15 B ．20x−10x+4＝15 C ．20x+10x−4＝15 D ．20x−10x−4＝1510．照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f ＝1u +1v (v ≠f )表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片(像)到镜头的距离。
【精品讲义】人教版 八年级数学(上) 专题15.3 分式方程(知识点+例题+练习题)含答案
第十五章分式15.3 分式方程一、分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做__________．【归纳】1．分式方程的重要特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数；（3）是方程．2．方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．3．分母中含有字母的方程未必是分式方程．二、分式方程的解法1．解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．2．解分式方程的一般方法和步骤：（1）去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．简称为一化，二解，三检验．3．解分式方程产生不适合原方程解的原因：在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．三、分式方程的应用分式方程的应用基本思路和方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；二找：找出等量关系；三设：设未知数；四列：列出分式方程；五解：解这个方程；六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；七答：写出答案．在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．一、分式方程 二、最简公分母1．分式方程的解法 检验的方法（1）直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．（2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．解方程25113x x x -+=--时，去分母得 A ．(1)(3)25x x x --+=+B ．12(3)(5)(1)x x x +-=--C ．(1)(3)2(3)(5)(1)x xx x x --+-=--D ．(3)2(3)5x x x -+-=-【答案】C【解析】观察可得最简公分母是（x -1）（x -3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．方程两边同乘（x -1）（x -3）得（x -1）（x -3）+2（x -3）=（x -5）（x -1），故选C ．方程212x x =+的解是 A ．2B ．-2C ．4D ．-4【答案】D【解析】去分母得：2（x +2）=x ， 去括号，移项合并得：x =–4， 经检验x =–4是分式方程的解． 原方程的解是x =–4， 故选D ．2．分式方程的应用（1）在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．（2）在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是A ．360480140x x =- B ．360480140x x =- C ．360480140x x+=D ．360480140x x-=【答案】A【解析】设甲型机器人每台x 万元，根据题意，可得360480140x x=-， 故选A ．甲、乙两座城市的中心火车站A ，B 两站相距360 km ．一列动车与一列特快列车分别从A ，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km /h ，当动车到达B 站时，特快列车恰好到达距离A 站135 km 处的C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？ 【解析】设特快列车的平均速度为x km /h ，则动车的速度为（x +54）km /h ，由题意，得：36036013554x x-=+， 解得：x =90，经检验得：x =90是这个分式方程的解． x +54=144．答：特快列车的平均速度为90 km /h ，动车的速度为144 km /h ．3．含有字母系数的分式方程的解法 解含有字母系数的分式方程的方法：解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验．但要注意：（1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0； （2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0．若关于x 的方程233x mx x -=--有正数解，则 A ．m >0且m ≠3B ．m <6且m ≠3C ．m <0D ．m >6【答案】B【解析】将方程的两边同时乘以（x -3）可得：x -2（x -3）=m ，解得：x =6-m ，根据解为正数可得：0x >且3x ≠，则：60m ->且63m -≠，解得：6m <且3m ≠．1．下面是分式方程的是A ．14+ B ．315673x x +-= C D ．321121x x +=-+2．解分式方程32112x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是 A ．x +2=3B ．x -2=3C ．x -2=3（2x -1）D ．x +2=3（2x -1）3．分式方程5211x x x-+=-的解为 A ．1x =-B ．1x =C ．2x =D ．2x =-4．若x =4是分式方程213a x x -=-的根，则a 的值为 A ．6B ．-6C ．4D ．-45．小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为A ．15243x x =+B ．15243x x =-C ．15243x x =+D ．15243x x=- 6．分式方程2111224x x x -=-+-去分母时，两边都乘以__________．7．解分式方程1324x x =++的解是__________．8．关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数，则a 的取值范围为__________．9．解方程： （1）32322x x x +=+-；（2）242111x x x++=---．10．列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．11．已知关于x 的分式方程5=12x a x x+--． （1）若方程的增根为x =2，求a 的值； （2）若方程有增根，求a 的值； （3）若方程无解，求a 的值．12．若关于x 的方程11322x m x x+-=+--无解，则m 的值是 A ．-2B ．2C ．1D ．-413．关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是A ．4k >-B ．4k <C ．4k >-且4k ≠D ．4k <且4k ≠-14．当x =__________时，43与的值相等．15．规定11*a b a b =-x 为__________．16．已知关于x 的分式方程=+4x x 与分式方程3121x x =-的解相同，求m 2-2m 的值．17．某校为美化校园，计划对面积为1800 m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？18．（2019•百色）方程111x =+的解是 A ．无解B ．1x =-C ．0x =D ．1x =19．（2019•株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为 A ．3-B ．2-C ．2D ．320．（2019•淄博）解分式方程11222x x x-=---时，去分母变形正确的是 A ．()1122x x -+=--- B ．()1122x x -=-- C ．()1122x x -+=+-D ．()1122x x -=---21．（2019•荆州）已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围为 A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠22．（2019•伊春）已知关于x 的分式方程213x mx -=-的解是非正数，则m 的取值范围是 A ．3m ≤B ．3m <C ．3m >-D ．3m ≥-23．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为A ．1209020x x =- B ．1209020x x =+ C ．1209020x x =-D ．1209020x x =+ 24．（2019•辽阳）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是 A ．60(125%)6060x x⨯+-=B ．6060(125%)60x x⨯+-= C ．606060(125%)x x-=+D ．606060(125%)x x-=+ 25．（2019•济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x-=D ．500500045x x-=26．（2019•黄石）分式方程：241144x x x -=--的解为__________． 27．（2019•襄阳）定义：aa b b⨯=，则方程2(3)1(2)x x ⨯+=⨯的解为__________．28．（2019•烟台）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为__________．29．（2019•绥化）甲、乙两辆汽车同时从A 地出发，开往相距200km 的B 地，甲、乙两车的速度之比是45∶，结果乙车比甲车早30分钟到达B 地，则甲车的速度为__________km /h ． 30．（2019•玉林）解方程：311(1)(2)x x x x -=--+．31．（2019•常州）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？32．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？33．（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润=售价﹣进价）34．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A ，B 两种型号的机器可以各安排多少台？1．【答案】D【解析】A 、不是方程，故本选项错误；B 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；C 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；D 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．故选D ． 2．【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x -1），得x -2=3（2x -1），故选C ． 3．【答案】A【解析】根据分式方程的解法去分母得x （x –5）+2（x –1）=x （x –1）， 化简得2x =–2，解得x =–1，故选A ． 4．【答案】A【解析】由题意得：24a -=143-，解得：a =6，故选A ． 5．【答案】A【解析】找到等量关系为两人买的笔记本数量，15243x x =+，故选A ． 6．【答案】（x +2）（x −2）【解析】方程两边都乘最简公分母（x +2）（x −2）．故答案为：（x +2）（x −2）． 7．【答案】x =-1【解析】两边同时乘最简公分母（x +2）（x +4）整理成整式方程为：x +4=3x +6，解得x =-1，经检验x =-1是方程的解，故答案为：x =-1． 8．【答案】4a ≤且3a ≠【解析】21311x a x x--=--， 方程两边同乘以1x -，得()2131x a x -+=-，去括号，得2133x a x -+=-，移项及合并同类项，得4x a =-，∵关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数，10x -≠， ∴()40410a a -≥⎧⎨--≠⎩，解得4a ≤且3a ≠， 故答案为：4a ≤且3a ≠．9．【解析】（1）方程两边乘（x +2）（x -2），得3x （x -2）+2（x +2）=3（x +2）（x -2）．化简得-4x =-16，解得x =4．经检验，x =4是原方程的解．所以原方程的解是x =4．（2）方程两边都乘以（x +1）（x -1），去分母，得4-（x +1）（x +2）=-（x +1）（x -1）．解得x =13． 经检验，x =13是原方程的解． 所以原方程的解是x =13． 10．【解析】设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为()40x +元， 由题意，得32002400240x x =⨯+， 解得80x =，经检验，80x =是原方程的解，且符合题意，所以，原分式方程的解为80x =，答：每套《三国演义》的价格为80元．11．【解析】（1）原方程去分母并整理，得（3-a ）x =10．因为原方程的增根为x =2，所以（3-a ）×2=10， 解得a =-2．（2）因为原分式方程有增根，所以x （x -2）=0，解得x =0或x =2．因为x =0不可能是整式方程（3-a ）x =10的解，所以原分式方程的增根为x =2，所以（3-a ）×2=10， 解得a =-2．（3）①当3-a =0，即a =3时，整式方程（3-a ）x =10无解，则原分式方程也无解．②当3-a ≠0时，要使原方程无解，则由（2）知，此时a =-2，综上所述，a 的值为3或-2．12．【答案】A 【解析】∵分式方程无解，∴2x =．把原方程去分母得：13(2)(1)x x m +=---，把2x =代入方程，得2m =-．故选A ．13．【答案】C【解析】分式方程去分母得：(24)2k x x --=， 解得：44k x +=， 根据题意得：404k +>，且424k +≠， 解得：4k >-，且4k ≠．故选C ．14．【答案】-14 【解析】4322x x =-+，解得：14x =-， 经检验：14x =-符合题意．故答案为：14-．15．【答案】-1【解析】∵11*a b a b =- ∴1122x x x-=+， 解此分式方程得；1x =-，经检验：1x =-是这个方程的根，故x 的值是1-．故答案为：-1． 16．【解析】解分式方程3121x x =-，得x =3． 经检验，x =3是该方程的解．将x =3代入24x +=m x ，得273m =， 解得m =67， ∴m 2-2m =（67）2-2×67=-4849． 17．【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x （m 2），根据题意得：40040042x x-=， 解得：x =50，经检验x =50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m 2）， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m 2、50 m 2．（2）设应安排甲队工作y 天，根据题意得：0.4y +180010050y -×0.25≤8， 解得：y ≥10，答：至少应安排甲队工作10天．18．【答案】C【解析】方程两边同时乘以（x +1），得1=x +1，解得：0x =，检验：当0x =时，x +1≠0，∴方程的根是0x =，故选C ．19．【答案】B【解析】去分母得：2650x x --=，解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解，故选B ．20．【答案】D【解析】去分母得：()1122x x -=---，故选D ．21．【答案】B 【解析】∵211x k x x -=--，∴21x k x +=-，∴2x k =+， ∵该分式方程有解，∴21k +≠，∴1k ≠-，∵0x >，∴20k +>，∴2k >-，∴2k >-且1k ≠-，故选B ．22．【答案】A 【解析】213x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-， ∵分式方程213x m x -=-的解是非正数，30x -≠， ∴30(3)30m m -≤⎧⎨--≠⎩，解得3m ≤，故选A ． 23．【答案】B 【解析】由题意可得，1209020x x=+，故选B ． 24．【答案】D【解析】设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：606060(125%)x x-=+．故选D ． 25．【答案】A【解析】设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是：5005004510x x -=．故选A ． 26．【答案】1x =-【解析】去分母得：4–x =x 2–4x ，即x 2–3x –4=0，解得：x =4或x =–1，经检验x =4是增根，分式方程的解为x =–1，故答案为：x =–1．27．【答案】1x =【解析】∵2(3)1(2)x x ⨯+=⨯，∴2132x x=+，∴43x x =+，∴1x =， 经检验：1x =是原方程的解，故答案为：1x =．28．【答案】3【解析】去分母得3x –（x –2）=m +3，当增根为x =2时，6=m +3，∴m =3．故答案为：3．29．【答案】80【解析】设甲车的速度为x km /h ，则乙车的速度为54x km /h ，依题意，得200200305604x x -=，解得80x =， 经检验，80x =是原方程的解，且符合题意，故答案为：80．30．【解析】(2)31(1)(2)x x x x +-=-+， 2231(2)(1)x x x x +-=+-， 223(1)(2)x x x x +-=-+，1x =，经检验1x =是方程的增根，∴原方程无解．31．【解析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30x -）个零件， 由题意得：18012030x x=-，解得18x =， 经检验：18x =是原分式方程的解，则301812-=（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．32．【解析】（1）设小本作业本每本x 元，则大本作业本每本（x +0.3）(0.3)x +元， 依题意，得：850.3x x=+， 解得：0.5x =，经检验，0.5x =是原方程的解，且符合题意，∴0.30.8x +=．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m 本，则小本作业本购买2m 本，依题意，得：0.80.5215m m +⨯≤， 解得：506m ≤． ∵m 为正整数，∴m 的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．33．【解析】（1）设第一批仙桃每件进价x 元，则24003370025x x ⨯=+， 解得180x =．经检验，180x =是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元．（2）设剩余的仙桃每件售价打y 折． 则：3700370022580%225(180%)0.1370044018051805y ⨯⨯+⨯⨯-⨯-≥++， 解得6y ≥．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．34．【解析】（1）设每台B 型机器每小时加工x 个零件，则每台A 型机器每小时加工(2)x +个零件， 依题意，得：80602x x=+， 解得：x =6，经检验，x =6是原方程的解，且符合题意，∴28x +=．答：每台A 型机器每小时加工8个零件，每台B 型机器每小时加工6个零件．（2）设A 型机器安排m 台，则B 型机器安排(10)m -台， 依题意，得：()()861072861076m m m π⎧+-≥⎪⎨+-≤⎪⎩， 解得：68m ≤≤，∵m 为正整数，∴678m =、、， 答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排6台，B 型机器安排4台；方案二：A 型机器安排7台，B 型机器安排3台；方案三：A 型机器安排8台，B 型机器安排2台．。
八年级的下册的数学分式方程应用题及答案.doc
1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要 40 分完工；若甲、乙共同整理 20 分钟后，乙需要再单独整理 20 分才能完工。
问：乙单独整理需多少分钟完工？解：设乙单独整理需 x 分钟完工，则20 20 20解，得 x ＝ 80401x经检验： x ＝ 80 是原方程的解。
答：乙单独整理需 80 分钟完工。
2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜 900 千克和 1500 千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少 300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？ 解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x 千克，则900 1500 解，得 x ＝ 450xx300经检验： x ＝ 450 是原方程的解。
答：第一块试验田每亩收获蔬菜 450 千克。
3、甲、乙两地相距 19 千米，某人从甲地去乙地，先步行7 千米，然后改骑自行车，共用了2 小时到达乙地。
已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍。
求步行的速度和骑自行车的速度。
解：设步行速度是 x 千米 / 时，则7 19 7 解，得 x ＝5x4x 2经检验： x ＝ 5 是原方程的解。
进尔 4x ＝ 20（千米 / 时） 答：步行速度是 5 千米 / 时，骑自行车的速度是 20 千米 / 时。
4、小兰的妈妈在供销大厦用12.50 元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜 0.2 元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去 18.40 元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？解：⑴设她第一次在供销大厦买了x 瓶酸奶，则12.518.400.2解，得 x ＝ 5x1 3 x5经检验： x ＝ 5 是原方程的解。
答：她第一次在供销大厦买了 5 瓶酸奶。
5、某商店经销一种纪念品， 4 月份的营业额为 2000 元，为扩大销售， 5 月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加 20 件，营业额增加 700 元。
北师大版八下数学《分式方程》典型例题1(含答案)
《分式方程》典型例题例1．指出下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程，并说出它们的区别. ①21=+x x ②275-=y y ③2132-=x x ④a bx b a x -+=+2（x 是未知数）⑤x x x -=-2212例2．满足方程2211-=-x x 的x 的值是A ．1B ．2C ．0D ．没有例3．解方程 114112=---+x x x例4．解方程 413132=-+--++x x x x x例5．当a 为何值时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解等于零？例6．为何值时，关于x 的分式方程53221+-=-+a a x x 的解为零？例7．把以下公式进行变形：（1）已知Ir n IRE +=（0≠+rn R ），求I ；（2）已知2021gt t v s -=（0≠t ），求0v .例8．m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？例9．分式方程0111=+--+-x xx kx x有增根1=x ，求k 的值.例10．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.352,413yx y x参考答案例1．解答 整式方程为：③④分式方程为：①②⑤它们的主要区别在于：分式方程的分母中含有未知数.说明 根据定义，把握分母中是否含有未知数这一特征来判断.例2．分析 用验证法比用直接法简便. 当1=x 或2=x 时，方程中均有1个分式无意义，所以1=x 与2=x 不是所求的值. 当0=x 时，方程的左右两边相等.解答 C说明 考查分式方程的解法.例3．解答 原方程变形为1)1)(1(411-+---+x x x x 方程两边都乘)1)(1(+-x x ，约去分母，得)1)(1(4)1(2+-=-+x x x ，解这个整式方程，得1=x检验：当1=x 时，0)1)(1(=+-x x∴ 1=x 是增根，∴原方程无解．说明 分式方程一定要注意验根．例4．分析 去分母时，把12++x x 看做整体处理．解答 方程两边都乘)1(-x ，约去分母，得)1(4)3()1)(1(32-=+----+x x x x x x ，（分数线起着扩号的作用）解这个整式方程，得0=x检验：当0=x 时，.01≠-x∴ 0=x 是原方程的解．说明 解分式方程的思路一般为：抓形式特点→整体处理→转化为整式方程→解整式方程→检验得解例5．解答 方程的两边都乘以)2)(5(-+x a ，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x ，整理，得.51)8(a x a -=-当8≠a 时，方程有惟一解aa x --=851. 设0851=--a a ，则051=-a ，故51=a . 综上，当51=a 时，原方程的解等于零. 说明 考查分式方程的解法.例6．分析一 由方程解的定义，将0=x 代入方程便可求出a 值.解答一 ∵0=x ，故原方程化为53221+-=-a a 解此分式方程，得 51=a . 经检验知51=a 是原方程的解. ∴ 51=a 时，方程的解为零. 分析二 解关于x 的分式方程，求出用a 表示x 的关系后，令0=x ，求出0=x ，此法较复杂.解答二 方程两边都乘以最简公分母)5)(2(+-a x ，约去分母，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x解关于x 的整式方程得 815--=a a x ∵ 0=x ，∴ 0815=--a a ， ∴ 015=-a ，.51=a 检验：当51=a 时，0)5)(2(≠+-a x ∴ 当51=a 时，方程的解为零. 例7．分析 公式变形从实质上看就是解含有字母已知数的分式方程. 它的解法和含数字已知数的分式方程是一样的. 一般情况，公式变形不必检验.（1）题中，I 是未知数，r n R E ,,,是字母已知数；（2）题中0v 是未知数，g t s ,,是字母已知数.解答（1）两边都乘以n ，得n Ir IR n E ⋅+=⋅，即E n I n r R ⋅=⋅+)(，∵0≠+rn R∴两边都除以rn R +，得rnR nE I += （2）移项，2021gt s t v +=， ∴ 2022gt s v t +=⋅，∵0≠t ，∴两边都除以t 2，得tgt s v 2220+= 例8．分析 增根是分式方程去掉分母后的整式方程的根，但又使原方程的分母为0.解答 方程两边都乘以)2)(2(-+x x ，得6342-=++x mx x ，整理，得10)1(-=-x m .当1≠m 时，110--=m x . 如果方程产生增根，那么042=-x ，即2=x 或2-=x（1）若2=x ，则2110=--m ，故4-=m . （2）若2-=x ，则2110-=--m ，故.6=m 例9．分析 这是含有参数字母k 的分式方程，x 是未知数，我们把k 看做“暂时常数”，并考虑增根1=x 的条件解出k 来.解答 原方程可化为01)1()1()1(2=---+++x x x x k x x ， 即 01222=-+-+++x x x k kx x x ， ∴ k x k -=+)2(若02≠+k ，则k k x +-=2， 当1=x 时，kk +-=21， ∴ .1-=k说明 这是一道含有参数字母k 的分式方程. 如果把求出分式方程的增根作为正向思维的话，本题则是已知1=x 是增根，要求求出分式方程中的参数k ，显然具有考察逆向思维的功能. 因而，其求解步骤为：求x →令x 取增根值→解k .例10．解答 把y x 1,1分别看做一个整体，运用换元法设a x =1，b y =1， 则原方程可化为：⎩⎨⎧-=+=-)2( 352)1( 43b a b a )2(5)1(+⨯,得1717=a ，∴ 1=a ，代入（1）中，得1-=b .∴⎩⎨⎧-==11b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.11,11yx ∴⎩⎨⎧-==.1,1y x 经验证⎩⎨⎧-==11y x 是原方程组的解.说明 换元法是一种重要的数学方法，通过换元不但可使方程组、方程及解答变得简单，还可使解题思路清晰明了. 本题运用了整体思想和换元法，有化难为易之妙.。
八年级下册数学分式方程应用题及答案
1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。
问：乙单独整理需多少分钟完工解：设乙单独整理需x 分钟完工，则120204020=++x解，得x ＝80 经检验：x ＝80是原方程的解。
答：乙单独整理需80分钟完工。
2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x 千克，则3001500900+=x x 解，得x ＝450 ?经检验：x ＝450是原方程的解。
答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克。
3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。
已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。
求步行的速度和骑自行车的速度。
解：设步行速度是x 千米/时，则247197=-+xx 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。
进尔4x ＝20（千米/时）答：步行速度是5千米/时，骑自行车的速度是20千米/时。
4、小兰的妈妈在供销大厦用元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶.解：⑴设她第一次在供销大厦买了x 瓶酸奶，则2.053140.185.12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。
答：她第一次在供销大厦买了5瓶酸奶。
5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
⑴ 求这种纪念品4月份的销售价格。
⑵ 若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元解：⑴设4月份销售价为每件x 元，则|xx 9.07002000202000+=+ 解，得x ＝50 经检验：x ＝50是原方程的解。
北师大版八下数学《分式方程》典型例题1(含答案)
《分式方程》典型例题例1．指出下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程，并说出它们的区别. ①21=+x x ②275-=y y ③2132-=x x ④a bx b a x -+=+2（x 是未知数）⑤x x x -=-2212例2．满足方程2211-=-x x 的x 的值是A ．1B ．2C ．0D ．没有例3．解方程 114112=---+x x x例4．解方程 413132=-+--++x x x x x例5．当a 为何值时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解等于零？例6．为何值时，关于x 的分式方程53221+-=-+a a x x 的解为零？例7．把以下公式进行变形：（1）已知Ir n IRE +=（0≠+rn R ），求I ；（2）已知2021gt t v s -=（0≠t ），求0v .例8．m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？例9．分式方程0111=+--+-x xx kx x有增根1=x ，求k 的值.例10．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.352,413yx y x参考答案例1．解答 整式方程为：③④分式方程为：①②⑤它们的主要区别在于：分式方程的分母中含有未知数.说明 根据定义，把握分母中是否含有未知数这一特征来判断.例2．分析 用验证法比用直接法简便. 当1=x 或2=x 时，方程中均有1个分式无意义，所以1=x 与2=x 不是所求的值. 当0=x 时，方程的左右两边相等.解答 C说明 考查分式方程的解法.例3．解答 原方程变形为1)1)(1(411-+---+x x x x 方程两边都乘)1)(1(+-x x ，约去分母，得)1)(1(4)1(2+-=-+x x x ，解这个整式方程，得1=x检验：当1=x 时，0)1)(1(=+-x x∴ 1=x 是增根，∴原方程无解．说明 分式方程一定要注意验根．例4．分析 去分母时，把12++x x 看做整体处理．解答 方程两边都乘)1(-x ，约去分母，得)1(4)3()1)(1(32-=+----+x x x x x x ，（分数线起着扩号的作用）解这个整式方程，得0=x检验：当0=x 时，.01≠-x∴ 0=x 是原方程的解．说明 解分式方程的思路一般为：抓形式特点→整体处理→转化为整式方程→解整式方程→检验得解例5．解答 方程的两边都乘以)2)(5(-+x a ，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x ，整理，得.51)8(a x a -=-当8≠a 时，方程有惟一解aa x --=851. 设0851=--a a ，则051=-a ，故51=a . 综上，当51=a 时，原方程的解等于零. 说明 考查分式方程的解法.例6．分析一 由方程解的定义，将0=x 代入方程便可求出a 值.解答一 ∵0=x ，故原方程化为53221+-=-a a 解此分式方程，得 51=a . 经检验知51=a 是原方程的解. ∴ 51=a 时，方程的解为零. 分析二 解关于x 的分式方程，求出用a 表示x 的关系后，令0=x ，求出0=x ，此法较复杂.解答二 方程两边都乘以最简公分母)5)(2(+-a x ，约去分母，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x解关于x 的整式方程得 815--=a a x ∵ 0=x ，∴ 0815=--a a ， ∴ 015=-a ，.51=a 检验：当51=a 时，0)5)(2(≠+-a x ∴ 当51=a 时，方程的解为零. 例7．分析 公式变形从实质上看就是解含有字母已知数的分式方程. 它的解法和含数字已知数的分式方程是一样的. 一般情况，公式变形不必检验.（1）题中，I 是未知数，r n R E ,,,是字母已知数；（2）题中0v 是未知数，g t s ,,是字母已知数.解答（1）两边都乘以n ，得n Ir IR n E ⋅+=⋅，即E n I n r R ⋅=⋅+)(，∵0≠+rn R∴两边都除以rn R +，得rnR nE I += （2）移项，2021gt s t v +=， ∴ 2022gt s v t +=⋅，∵0≠t ，∴两边都除以t 2，得tgt s v 2220+= 例8．分析 增根是分式方程去掉分母后的整式方程的根，但又使原方程的分母为0.解答 方程两边都乘以)2)(2(-+x x ，得6342-=++x mx x ，整理，得10)1(-=-x m .当1≠m 时，110--=m x . 如果方程产生增根，那么042=-x ，即2=x 或2-=x（1）若2=x ，则2110=--m ，故4-=m . （2）若2-=x ，则2110-=--m ，故.6=m 例9．分析 这是含有参数字母k 的分式方程，x 是未知数，我们把k 看做“暂时常数”，并考虑增根1=x 的条件解出k 来.解答 原方程可化为01)1()1()1(2=---+++x x x x k x x ， 即 01222=-+-+++x x x k kx x x ， ∴ k x k -=+)2(若02≠+k ，则k k x +-=2， 当1=x 时，kk +-=21， ∴ .1-=k说明 这是一道含有参数字母k 的分式方程. 如果把求出分式方程的增根作为正向思维的话，本题则是已知1=x 是增根，要求求出分式方程中的参数k ，显然具有考察逆向思维的功能. 因而，其求解步骤为：求x →令x 取增根值→解k .例10．解答 把y x 1,1分别看做一个整体，运用换元法设a x =1，b y =1， 则原方程可化为：⎩⎨⎧-=+=-)2( 352)1( 43b a b a )2(5)1(+⨯,得1717=a ，∴ 1=a ，代入（1）中，得1-=b .∴⎩⎨⎧-==11b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.11,11yx ∴⎩⎨⎧-==.1,1y x 经验证⎩⎨⎧-==11y x 是原方程组的解.说明 换元法是一种重要的数学方法，通过换元不但可使方程组、方程及解答变得简单，还可使解题思路清晰明了. 本题运用了整体思想和换元法，有化难为易之妙.。
八年级数学分式方程的典型例题优秀课件
速度
3x x
时间
150 3x 250 x
四、分式方程的实际应用
1、从甲到乙乘坐高铁路程为150千米，乘坐普通列车的路程为 250千米。高铁的平均速度是普通列车平均速度的3倍，高铁的乘 车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时，高铁的平均速度是 每小时多少千米？
解. 设普通列车的平均速度是 x km/h，
则高铁的平均速度是 3x km/h
由题意得
250 150 2 x 3x
解得 x 100
检验：当 x 100 时， 3x 0
所以原分式方程的解是 x 100 3x 100
答 ：高铁的平均速度是300km/h。
2、甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地 顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h， 假设甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，那么求两船在静水中的速度。
x的方程
x3
k
1
x 2 (x 1)(x 2)
的解是负数，求
k 的取值范围．
解. 方程两边同时乘 (x 1)(x 2) 得 (x 1)(x 3) k (x 1)(x 2) 化简得 x2 2x 3 k x2 x 2 解得 x k 1
∵方程的解是负数，且 x 1 0、x 2 0 ∴ x 0且x 1、x 2 ∴ k 1 0且k +1 1、k 1 2 ∴解得 k 1且k 0、k 3
2400+840
3240 0.9x
由题意得 3240 2400 =30 解得 x 40 0.9x x
4、某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为
2 400元.为扩大销量减少库存，4月份在3月份的售价根底上打9折销售，结果销
专题15.4 分式方程的应用【八大题型】(学生版)2023年八年级数学上册举一反三系列(人教版)
专题15.4 分式方程的应用【八大题型】【人教版】【题型1 行程问题】 (1)【题型2 工程问题】 (2)【题型3 销售利润问题】 (3)【题型4 航行问题】 (4)【题型5 和、差、倍、分问题】 (5)【题型6 数字问题】 (5)【题型7 图形问题】 (6)【题型8 方案问题】 (7)【题型1 行程问题】【例1】（2022·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院．（1）求两人的速度．（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高m/min.【变式1-1】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5，下坡的7，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？平均速度是平路上跑步的平均速度的54【变式1-2】（2022·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟．（1）小明步行的速度是每分钟多少米？（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．【变式1-3】（2022·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．【题型2 工程问题】【例2】（2022·全国·七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h。