八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式课件
八年级数学下册电子版全册教案(新人教版)
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第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念和性质
1．二次根式的概念和应用．
2．二次根式的非负性．
重点
二次根式的概念．
难点
二次根式的非负性．
一、情景导入
师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔．
电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝2Rh(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？
由学生计算、讨论后得出结果，并提问．
生：半径之比为2Rh12Rh2，暂时我们还不会对它进行化简．
师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动1：知识迁移，归纳概念
用含根号的式子填空．
(1)17的算术平方根是________；
(2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm；
(3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m；
(4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________；
(5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．
【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4)3 a (5)h5
活动2：二次根式的非负性
(1)式子a表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子a才有意义？
(2)当a＞0时，a________0；当a＝0时，a________0；二次根式是一个________．
【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数 (2)＞ ＝ 非负数
老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性．
人教版八年级数学下册第16章 二次根式 教案
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.
2.利用a(a≥0)的意义解答具体题目.
自学指导：阅读教材第2页至3页，完成下列的问题.
知识探究
平方根的性质：
正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为S的正方形的边长为__________；
(2)要修建一个面积为6.28 m2的圆形喷水池，它的半径约为__________m；
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=5t2如果用含有h的式子表示t，则t=__________.
在上面的问题中，结果分别是S、2、5h，它们都表示一些正数的算术平方根.
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
开平方时，被开方数a的取值范围是a≥0(为什么？)
自学反馈
(1)下列式子，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
2、33、1x、x(x>0)、0、42、-2、1xy、xy(x≥0，y≥0).
是二次根式的有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；
不是二次根式的有：33、1x、42、1xy.
判断二次根式的依据是一个形式一个条件，二者缺一不可.
(2)当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 1a a≥1 23a a≥-32
3a a≤3 5a a≥0
a a≤0 2a 任意实数
13a a>3 21a
任意实数
21a
任意实数
二次根式中求字母的取值范围的依据是：被开方数大于等于零.
人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)
1 第十六章 二次根式
教材简析
本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．
在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．
教学指导
【本章重点】
二次根式的性质和运算．
【本章难点】
灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．
【本章思想方法】
1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．
2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．
3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．
课时计划
16.1 二次根式2课时
16.2 二次根式的乘除2课时
16.3 二次根式的加减2课时 2 16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．
【过程与方法】
经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．
【情感态度与价值观】
经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的概念，二次根式有意义的条件．
【教学难点】
求二次根式中字母的取值范围．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
精品 2014年八年级数学下册同步讲义--二次根式
八年级数学
1 第十六章 二次根式
16.1 二次根式乘除运算
例1.写出下列各式有意义的条件:
（1）43x （2）a831 （3）42m
（4）x1 （5）12xx （6）0)2(11xxx
例2.若x＜y＜0，则222yxyx＋222yxyx=（ ）
A.2x B.2y C.-2x D.-2y
例3.若x,y为实数,且21131311xxy.求yxxyxyyx22的值．
例4.已知443422ccba，求cba)(的值．
例5.已知实数a满足aaa20092008，求22008a的值．
例6.在实数范围内分解因式：
（1）xx363 （2）3322xx
例7.若x,y是实数，且33113xxy，化简33yy.
二次根式的非负性：
1.有意义的条件：
2.公式：
yxyxyxyxyx000022
yxbyaxbyaxbyaxbyax0)(0)(0022yxbxaaxy,二次根式乘除运算公式
2222)()(baaabaaa）（bababababaab22)0,0(
)0,0(,bababababa
abmnbnam最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式；
被开方数的因数是整数, 八年级数学
八年级数学下册16.1二次根式趣味数学根号的由来素材(新版)新人教版
1 根号的由来
早在1480年，德国人便开始用一个点来表示方根，如3表示3的平方根，3表示3的4次方根，3表示3的立方根，到了16世纪初，平方根用小点带上一条小尾巴来表示，就像一个小蝌蚪，因而很难标准。1525年，德国数学家鲁道夫的代数书中用√8表示8的平方根，显然用“小钩子”要比“小蝌蚪”好多了，不过后来又发现了新问题。传说，两个工程人员为式中“√2100g”引起了矛盾，差一点要上法庭打官司。究其原因，是因为小钩子“√”的意义不明确，不知道它能管后面几个字母及数字。
后来，笛卡尔在他的《几何学》一书中创设了现代的平方根号“”，并把立方根写成c，在原书第一版中写道：“如果我想求22ab的平方根，就写作22ab；如果想求3310100a33ababc的立方根，则可写作33cababc。”笛卡尔的根号与鲁道夫的根号最大区别在于：笛卡尔考虑到，当被开方数有几项时，鲁道夫的根号会引起混淆，因次，他在上方用直线把这几项括起来，前面再放上记号“√”，也就是现在使用的根号了。
现代的立方根号出现的很晚，一直到18世纪才在一些书中看到，在1732年以后才渐渐通行。之后，一般的n次方根符号也就相继出现了。
逐步逼近法估算
在数学计算中，“逐步逼近法”是常用的计算方法。
例如，计算13，用计算器可以立即知道13的近似值，但是若是生活在荒岛上，又未带计算器和其他资料，人们就可以用逐步逼近的方法计算13的近似值，更重要的是，这种方法可以运用到其他问题中。
由于3134，所以可设133x（x是一个正的纯小数）。两边平方，得21396xx.由于x是一个小量，所以2x是一个比x更小的高次小量。可以忽略掉，故1396x。
即23x，所以21333
再作第二次逼近：
设21333y，两边平方，得21212212122139393yyy
所以233y
于是221191333.60633333 2 如果继续逼近下去，就可以得到更精确的近似值。
最新人教版八年级数学下册十六章二次根式16.1二次根式第一课时及答案
班级 姓名 得分
16.1二次根式
16.1.1二次根式的定义及有意义条件
（时间：45分钟 满分：100分）
一.填空题（每题5分，共30分）
1.若6-x3在实数范围内有意义，则x的取值范围是
2.若x2-1-1xx有意义，则x的取值范围是
3.若n18是整数，则正整数n的最小值是
4.若实数a、b满足b＝则a+b的值为
5.
6.已知y=x-22-x+23，则xy=
二．选择题（每题5分，共30分）
7.下列各式中，不是二次根式的是（ ）
8.下列各式一定是二次根式的是（ ）
9.
A．-1 B．1 C．2 D．3
10.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11.若1-m3有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
12.要使2-x8有意义，则字母x应满足的条件是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＞0且x≠2
三．解答题（共40分） 班级 姓名 得分
14.
15.
16.
17.
答案 （6分）
（6分）
（8分）
（10分）
（10分） 班级 姓名 得分
一．填空题
16.1.1二次根式的定义(教案)
16.1.1二次根式的定义（教案）
一、教学内容
16.1.1二次根式的定义：本节教学内容选自数学八年级下册教材，主要包括以下内容：
1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子，称为二次根式。
2. 二次根式的性质：讨论二次根式的非负性、乘除法则、加减法则等。
3. 二次根式的化简：通过平方、分解因式等方法对二次根式进行化简。
4. 二次根式的应用：解决实际问题，如求面积、体积等。
本节课将结合实际例子，让学生掌握二次根式的定义，理解其性质，并学会化简和应用二次根式。教学内容与课本紧密关联，注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
1. 培养学生的数学抽象能力，使其理解二次根式的定义，并能用数学语言表达。
2. 培养学生的逻辑推理能力，通过探索二次根式的性质，理解其运算规律。
3. 培养学生的数学建模能力，学会将实际问题转化为二次根式问题，并能解决。
4. 培养学生的数学运算能力，掌握二次根式的化简和运算方法，提高解题效率。
5. 培养学生的直观想象能力，通过二次根式的图形表示，加深对二次根式的理解。
这些核心素养目标与新教材要求相符，旨在帮助学生形成扎实的数学基础，提高综合运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 二次根式的定义：理解形如√a（a≥0）的式子为二次根式，掌握其基本形式。
- 二次根式的性质：掌握二次根式的非负性、乘除法则、加减法则等，能应用于实际运算。
- 二次根式的化简：学会运用平方、分解因式等方法对二次根式进行化简。
- 二次根式的应用：能将二次根式应用于解决实际问题，如求面积、体积等。
举例解释：
- 重点讲解二次根式乘除法则，如√a * √b = √(ab)，强调a、b必须大于等于0。
- 通过具体例子说明二次根式的化简方法，如√(4*9) = √4 * √9 = 2*3 = 6。
2. 教学难点
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计
一、内容和内容解析
1．内容
二次根式的概念.
2．内容解析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.
本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；
二、目标和目标解析
1.教学目标
（1）体会研究二次根式是实际的需要．
（2）了解二次根式的概念．
2. 教学目标解析
（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．
（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．
三、教学问题诊断分析
对于二次根式的定义，应侧重让学生理解 “的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.
本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.
四、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
问题1你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．
人教版八年级数学下册全册集体备课教案
XX中学数学教研组集体备课教学设计
目 录
第十六章 二次根式
16.1 二次根式/2
第1课时 二次根式的概念/2
第2课时 二次根式的性质/4
16.2 二次根式的乘除/6
第1课时 二次根式的乘法/6
第2课时 二次根式的除法/8
第3课时 最简二次根式/10
16.3 二次根式的加减/12
第1课时 二次根式的加减/12
第2课时 二次根式的混合运算/14
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理/17
第1课时 勾股定理/17
第2课时 勾股定理的应用(1)/19
第3课时 勾股定理的应用(2)/21
17.2 勾股定理的逆定理/23
第1课时 勾股定理的逆定理(1)/23
第2课时 勾股定理的逆定理(2)/25
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形/28
18.1.1 平行四边形的性质/28
第1课时 平行四边形的性质(1)/28
第2课时 平行四边形的性质(2)/30
18.1.2 平行四边形的判定/32
第1课时 平行四边形的判定(1)/32
第2课时 平行四边形的判定(2)/34
18.2 特殊的平行四边形/36
18.2.1 矩形/36
第1课时 矩形的性质/36 第2课时 矩形的判定/38
18.2.2 菱形/40
第1课时 菱形的性质/40
第2课时 菱形的判定/42
18.2.3 正方形/44
第十九章 一次函数
19.1 函数/47
19.1.1 变量与函数/47
第1课时 变量/47
第2课时 函数/49
19.1.2 函数的图象/51
19.2 一次函数/54
19.2.1 正比例函数/54
19.2.2 一次函数/56
第1课时 一次函数/56
第2课时 求一次函数的表达式/59
19.2.3 一次函数与方程、不等式/61
19.3 课题学习 选择方案/63
第二十章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势/67
20.1.1 平均数/67
20.1.2 中位数和众数/70
沪教版八年级数学第十六章二次根式及经典习题与答案
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... 1 二次根式的知识点汇总
第十六章 二次根式
第一节 二次根式的概念和性质
16.1 二次根式
1． 二次根式的概念: 式子)0(aa叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
2． 二次根式的性质
①)0()0(2aaaaaa；
②)0()(2aaa
③)0,0(babaab；
④)0,0(bababa
16.2 最简二次根式与同类二次根式
1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式
16.3 二次根式的运算
1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，
即 ).0,0(baabba
3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
二次根式的运算法则：
ac+bc=(a+c) c(c0)
).0,0(baabba
aabb（a0,b>0）
()nnaa( a0)
.
... 2
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。