上海市控江中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019学年控江中学高一年级第一学期期末试卷
一、填空题
1.已知集合
1,2A ，2,3B ，则A B ．【答案】
1,2,3【解析】
试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合
，求出. 考点：1.集合的交集、并集、补集运算；
2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）. 2.设函数
1f x x x ，1g x x x ，则函数f x g x 的定义域为__________.【答案】
0,【解析】
【分析】
根据函数的限制条件，分别求出(),()f x g x 的定义域，交集即为所求
【详解】(),()f x g x 定义域均满足10
0x x
，解0x ，所以f x g x 的定义域为
0,. 故答案为:
0,. 【点睛】本题考查函数定义域，注意不要求
f x
g x 化简后的定义域，属于基础题. 3.已知函数
f x 满足f x x ，则4f __________.【答案】16
【解析】
【分析】
换元令4x ，求出x ，根据对应法则，即可求解
. 【详解】令
4,16,(4)16x x f . 故答案为:16.
【点睛】本题考查复合函数求函数值，注意换元法应用，或求出()f x 的解析式，属于基础题.
4.将函数3f x x 的图象向右平移2个单位后，得到函数g x 的图象，则2g __________
.【答案】0
【解析】
【分析】
根据图像平移关系，求出
()g x ，即可求解. 【详解】将函数
3f x x 的图象向右平移2个单位后，得到函数g x 的图象，
3()(2)(2),(2)0g x f x x g ；
故答案为:0.
【点睛】本题考查函数左右平移关系，掌握函数解析式平移前后“左加右减”原则，或者利用平移前后点的关系直接求解，属于基础题
. 5.已知常数
a R ，设集合,A a ，1,0,1B ，若B A ，则a 的最大值为__________.【答案】
1【解析】
【分析】
根据集合间的关系，利用数轴，即可求解
. 【详解】,
A a ，1,0,1
B ，,1B A a
. 故答案为:1.
【点睛】本题考查集合的关系求参数，属于基础题.
6.设函数2log 31f x
x 的反函数为1f x ，若13f a ，则a __________.【答案】
3【解析】
【分析】
由13f a ，可得(3)a f ，即可求解.。
2018-2019学年上海市控江中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市控江中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ+=+等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由辅助角公式结合条件()sin 2cos x x x ϕ+=+得出cos ϕ、sin ϕ的值，由tan 2ϕ=结合同角三角函数得出cos ϕ、sin ϕ的值，于此可得出结论. 【详解】由22sin tan 2cos sin cos 1ϕϕϕϕϕ⎧==⎪⎨⎪+=⎩可得sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由辅助角公式)sin 2cos sin cos cos sin x x x x x x ϕϕ⎫+=+=+⎪⎪⎭()x ϕ+，其中cos ϕ=，sin ϕ=因此，“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ+=+等式对任意x ∈R 恒成立”的必要非充分条件，故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.2．已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ）A ．3πB ．4π C ．6π D ．2π 【答案】C【解析】将点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式，得出()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，可得出ϕ的最小值. 【详解】由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈， 因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C【解析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 4．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ） A．6 B ．0C．4D ．1【答案】A【解析】先计算出()()244lim 22222222n x x y x x x x x x →∞+=+=+-=++-+++，然后利用基本不等式可得出lim n n M →∞的值. 【详解】()()2222(1)2lim lim lim 32322n n n x n x x n x y x x x nx n x x n →∞→∞→∞⎡⎤+⎡⎤⎢⎥++=+=+=+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦Q ， 由基本不等式得22444422222222x x x x x x x x x x x x -+=++=+-+=+-+++++()4226662x x =++-≥=+， 当且仅当()4222x x +=+时，由于1x ≥-，即当2x =时，等号成立， 因此，lim 6n n M →∞=，故选：A. 【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带x 的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题5．函数()arcsin 2y x =-的定义域________． 【答案】[]1,3.【解析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤，解出x 可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤，解得13x ≤≤，因此，函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3，故答案为：[]1,3. 【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，6．函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1.【解析】根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期. 【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==， 因此，函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1，故答案为：1.【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.7．已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a ⋅⋅=，754a =，则q =_________． 【答案】3.【解析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值，然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==，得42a =，所以，37454272a q a ===，3q ∴=，故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题.8．已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】在分式中分子分母同时除以2cos α，将代数式转化为正切来进行计算.由题意得，原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=，故答案为：13.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的n 次分式齐次式：当分式是关于角α的n 次分式齐次式，在分子分母中同时除以cos n α，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角α弦的二次整式时，先除以22cos sin αα+，将代数式转化为关于角α弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以2cos α，可实现弦化切.9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =________． 【答案】29arccos48π-. 【解析】利用余弦定理求出cos C 的值，结合角C 的取值范围得出角C 的值. 【详解】由余弦定理得22222246929cos 224648a b c C ab +-+-===-⨯⨯，0C π<<Q ，29arccos48C π∴=-，故答案为：29arccos48π-. 【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.10．在ABC ∆中，角A 所对的边为a ，若2a =，且ABC ∆的外接圆半径为2，则A =________．【答案】6π或56π. 【解析】利用正弦定理求出sin A 的值，结合角A 的取值范围得出角A 的值. 【详解】由正弦定理可得4sin a A =，所以，1sin 42a A ==， 0A π<<Q ，6A π∴=或56π，故答案为：6π或56π. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，在利用正弦值求角时，除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意，考查计算能力，属于基础题.11．已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．【答案】23nn a =+.【解析】由题意得出()1332n n a a +=--，可得出数列{}3n a -为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列{}3n a -的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】设()12n n a x a x ++=+，整理得12n n a a x +=+，对比可得3x =-，()1323n n a a +∴-=-，即1332n n a a +--=，且132a -=，所以，数列{}3n a -是以2为首项，以2为公比的等比数列，13222n nn a -∴-=⨯=，因此，23n n a =+，故答案为：23nn a =+. 【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．已知数列{}n a的通项公式为()*124,2,21n n n n k a k N n k -+=⎧⎪=∈⎨=-⎪⎩，n S 是其前n 项和，则15S =_____．（结果用数字作答） 【答案】395.【解析】由题意知，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出15S 的值. 【详解】()()1717151821232212281232S =+++++=+++++++L L L ()8878321221140395122⨯+-=+=-+=-，故答案为：395. 【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.13．在等差数列{}n a 中，若11101a a -＜，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时，n 的值为_______. 【答案】12.【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，所以由11101a a <-得1110111011100,0,0a a a a a a <-⇒+<，所以119191010()1002a a S a +==>，1202010()2a a S +=＝101110()02a a +<，所以当19n =时，n S 取到最小正值．【考点】1、等差数列性质；2、等差数列的前n 项和公式．【方法点睛】求等差数列前n 项和的最值常用的方法有：(1)先求n a ，再利用10{n n a a +≥≤或10{0n n a a +≤≥求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋(A B ，为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．14．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________． 【答案】[)()2,33,4U【解析】根据极限存在得出()(]1,00,1q ∈-U ，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围.由于13lim 1n n q q a →∞+-⎫⎪⎝⎭=⎛，则()(]1,00,1q ∈-U .①当10q -<<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫=⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则1133lim 1n n q qq a a →∞⎛⎫=⎪+⎝⎭+-=，()133,4a q ∴=+∈；③当1q =时，113lim 114n n q q a a →∞⎛⎫⎪⎝=⎭+--=，解得12a =.综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4U ，故答案为：[)()2,33,4U . 【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 15．在数列{}()*n a n N∈中，12a=，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S -成等比数列，则()2lim 1n n n n a →∞++⋅=________．【答案】2-.【解析】由题意得出()22n n n S a S =-，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，代入()22n n n S a S =-，化简得出1122n n n S S S --=+，利用倒数法求出{}n S 的通项公式，从而得出1n n n a S S -=-的表达式，于是可求出()2lim 1n n n n a →∞++⋅的值. 【详解】当2n ≥时，由题意可得()22n n n S a S =-，即()()212n n n n S S S S -=--，化简得1122n n n n S S S S --+=，得1122n n n S S S --=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S ----=+=+，11112n n S S -∴-=， 所以，数列{}n S 是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列，()1111222n nn S ∴=+-⋅=，2n S n∴=，则()12222211n n n a S S n n n n n n-=-=-=-=----， 因此，()()222211121lim 1li 2m lim 211n n n n n n n n n n n nn a →∞→∞→∞+++-++=-=-⋅=--+，故答案为：2-.【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含n S 的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用1n n n a S S -=-转化为n S 的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.16．设集合{}2016,nA n n N =≤≤∈，它共有136个二元子集，如{}012,2、{}122,2、L 等等．记这136个二元子集为1B 、2B 、3B 、L 、136B ，设{}()*,1136,i B x y i i N =≤≤∈，定义()1S B x y =-，则()()()()123136S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=_____．（结果用数字作答）【答案】1835028【解析】分别分析中二元子集中较大元素分别为12、22、L 、162时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果. 【详解】当二元子集较大的数为12，则较小的数为02； 当二元子集较大的数为22，则较小的数为02、12； 当二元子集较大的数为32，则较小的数为02、12 、22；L L L L当二元子集较大的数为162，则较小的数为02、12、22、L 、152. 由题意可得()()()()()()10201123136222222S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=-+⨯--+()()301216011532222162222⨯---++⨯----L L()231612316121212222232162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()()()()11223316162212221322116221=-++⨯-++⨯-+++⨯-+L()2316122215216=⨯+⨯++⨯+L ，令23161222152S =⨯+⨯++⨯L ， 得31617212142152S =⨯++⨯+⨯L ，上式-下式得()21523161717217212222152152214212S --=+++-⨯=-⨯=--⨯-L ，化简得2172142S =+⨯，因此，()()()()2171231362142161835028S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=+⨯+=，故答案为：1835028. 【点睛】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.三、解答题17．在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()121n n b n a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*153n a n n N=-=；（2）()*11114612nT n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭. 【解析】（1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式； （2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和nT.【详解】（1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ，则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，()()111231153n a a n d n n =+-=--=-Q ；（2）()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦Q ，因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18．设函数()222cos 24sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，定义域为R ． （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()2f x =的解集．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【解析】（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解出x 的范围得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由()2f x =1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解出该方程可得出结果. 【详解】（1）()222cos 24sin 3f x x xπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭221cos 22cos 2cos sin 2sin423cos 22332x x x x x ππ-⎛⎫=++⋅=-+ ⎪⎝⎭1sin 2cos 22sin 2cos cos 2sin 22233x x x x ππ⎫⎫=-+=-+⎪⎪⎪⎭⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==， 由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）令()2223f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 52236x k πππ∴-=-+或()2236x k k Z πππ-=-+∈， 解得4x k ππ=-或()12x k k Z ππ=+∈，因此，关于x 的方程()2f x =,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.19．已知函数()()21f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(),1q q R q ∈≠的等比数列．且()11a f d =-，()91a f d =+，()21b f q =-，()41b f q =+．（1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足：()*112233n n n b c b c b c b c a n N ++++=∈L ，求数列{}nc 的通项公式．【答案】（1）10n a n =-，23n n b -=；（2）227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. 【解析】（1）根据题意分别列出关于d 、q 的方程，求出这两个量，然后分别求出数列{}n a 、{}n b 的首项，再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1n =可得出1c 的值，再令2n ≥，由112233n n n b c b c b c b c a ++++=L 得出112233111n n n b c b c b c b c a ---++++=L ，两式相减可求出n c ，于此得出数列{}n c 的通项公式. 【详解】（1）由题意得()()2211244a f d d d d =-=-=-+，()291a f d d =+=，()229184444d a a d d d d =-=--+=-，解得1d =-，且()()221239a d =-=-=，()()119110n a a n d n n ∴=+-=--=-，()()2221244b f q q q q =-=-=-+Q ，()241b f q q =+=，2242244b q q b q q ∴==-+，0q ≠Q 且1q ≠，整理得2430q q -+=，解得3q =，()2221b q ∴=-=，2113b b q ∴==，由等比数列的通项公式可得11211333n n n n b b q ---=⋅=⋅=； （2）由题意可知，对任意的n *∈N ，11223310n n n b c b c b c b c a n +++=+=-L . 当1n =时，119b c =，11927c b ∴==； 当2n ≥时，由11223310n n b c b c b c b c n ++++=-L ， 可得1122133111n n b c b c b c b c n --++++=-L ，上述两式相减得1n n b c =-，即231n n c -=-，213n n c -∴=-.127c =不适合上式，因此，227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，以及利用作差法求数列通项，解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 20．已知常数R λ∈且3λ>-，在数列{}()*n a n N ∈中，首项1aλ=，n S 是其前n 项和，且143n n S a +=+，*n N ∈.（1）设12n n n b a a +=-，*n N ∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式； （2）设2nn n a c =，*n N ∈，证明数列{}n c 是等差数列，并求出{}n c 的通项公式； （3）若当且仅当7n =时，数列{}n S 取到最小值，求λ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，()1*(3)2n n b n N λ-=+⋅∈；（2）证明见解析，()()*334n N n c n λλ+-∈+=；（3）79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）令1n =，求出2a 的值，再令2n ≥，由143n n S a +=+，得出143n n S a -=+，将两式相减得1144n n n a a a +-=-，再利用等比数列的定义证明1nn b b -为常数，可得出数列{}n b 为等比数列，并确定等比数列{}n b 的首项和公比，可求出n b ；（2）由题意得出()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，再利用等差数列的定义证明出数列{}n c 为等差数列，确定等差数列{}n c 的首项和公差，可求出数列{}n c 的通项公式；（3）求出数列{}n a 的通项公式，由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >，再利用参变量分离法可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1n =时，有2143S a =+，即21143a a a +=+，213333a a λ∴=+=+； 当2n ≥时，由143n n S a +=+，可得143n n S a -=+，将上述两式相减得1144n n n a a a +-=-，12n n n b a a +=-Q ，()11111114422242222n n n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a a b a a a a a a -+---------∴====---， 且()12123323b a a λλλ=-=+-=+，所以，数列{}n b 是以13b λ=+，以2为公比的等比数列，()()132n n b n N λ-*∴=+⋅∈； （2）由（1）知()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，2nn n a c =Q ，由等差数列的定义得()1111111322322224n n n n n n n n n n n a a a a c c λλ-+++++++⋅-+-=-===，且1122a c λ==，所以，数列{}n c 是以12c λ=为首项，以34λ+为公差的等差数列， 因此，()()3331244n n c n λλλλ++-+=+-=；（3）由（2）知，()3324nn n n a c λλ++-==，()2332n n a n λλ-∴=++-⋅⎡⎤⎣⎦， 由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >， 由0n a <，得()330n λλ++-<， 得()6313363111n n n n n λ-+-<==-+++在7n ≤时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在7n ≤时单调递减，则66933184n -≥-=-+，此时，94λ<-； 由0n a >，得()330n λλ++->，得()6313363111n n n n n λ-+->==-+++在8n ≥时恒成立，由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在8n ≥时单调递减，则66733193n -≤-=-+，此时，73λ>-.综上所述：实数λ的取值范围是79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.21．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴． （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围； （3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =.【解析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式；（2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值. 【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈， 由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈，得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=， 因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）A B C <<Q ，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-Q ，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==， 由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=Q ，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位， 得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++Q ，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根， 由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意；（iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根， 由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =. 【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.。
上海市建平中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题((解析版)
2019年上海市建平中学高一数学期末试卷一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）1.已知集合{}1,2,3A =，{}|2B y y x x A ==∈，，则B =．【答案】{}2,4,62.写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题．【答案】若22am bm ≥，则a b≥3.已知关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是1(,2)(,)2∞-+∞ --，则b c +的值为．【答案】724.设函数()f x 的图象关于原点对称，且存在反函数1()f x -．若已知()4=2f ，则1(2)f --=．【答案】4-5.已知幂函数()f x 的部分对应值如下表：x112()f x 122则不等式(||)2f x 的解集是．【答案】[]4,4-6.函数2()ln 32f x x x =--的值域是．【答案】(,ln 2]-∞7.已知当0x >时，函数1()(21)(0,)2xf x a a a =->≠的值总大于1，则函数22x x y a -=的单调增区间是．【答案】(,1]-∞8.乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x （吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点)C ．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为吨时，老陈在这次买卖中所获的利润W 最大．【答案】239.已知a R ∈且11a>，则关于x 的不等式2log (57)0a x x -+>的解集为．【答案】2,3（）10.已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3,4,5,6A =，值域为{}7,8,9B =，且对任意的x y <，恒有()()f x f y ，则满足条件的不同函数共有个．【答案】1011.若不等式25|6|x xt <--对于1[,2]2x ∈恒成立，则实数t 的取值范围是．【答案】57,22（）12.设,,a b c 是三个正实数，且2bc a b c a ++=，则393a b c+的最大值为．【答案】3二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）13.设{}21,M x x a a N *==+∈，{}245,P y y b b b N *==-+∈，*}b N ∈，则下列关系正确的是().A ．M P =B ．M PÜC ．P M ÜD ．M 与P 没有公共元素【答案】B 14.函数()3210y x x =-≤的反函数是().A ．()3(1)1y x x =+≥-B ．()3(1)1y x x =-+≥-C ．()3(1)0y x x =+≥D ．()3(1)0y x x =-+≥【答案】B15.设函数()f x 的定义域为R ，有下列四个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若对任意R ∈x ，有()(2)20f x f x +-+=，则()f x 图像是中心对称图形，且对称中心为()1,1-；（3）若对任意R ∈x ，有(1)(3)0f x f x ---=，则()f x 图像是轴对称图形，且对称轴为1x =；（4）已知(2)y f x =-是R 上的奇函数，则()(4)0f x f x +-=.这些命题中，真命题的个数是().A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A16.已知()f x 为奇函数，当[]0,1x ∈时，1()122f x x =--，当(],1x ∈-∞-，1()1x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>有解，则实数m 的取值范围为().A ．(1,0)(0,)-+∞ B ．(2,0)(0,)-+∞ C ．1(ln 2,1)(0,)2---+∞ D ．1(ln 2,0)(0,)2--+∞ 【答案】D【分析】根据函数的奇偶性求出函数()f x 的解析式，然后作出函数的图象，对m 进行分类讨论进行求解即可．【解答】解：若[1x ∈-，0]，则[0x -∈，1]，则11()12||12||22f x x x -=---=-+，()f x 是奇函数，1()12||()2f x x f x ∴-=-+=-，则1()2||12f x x =+-，[1x ∈-，0]，若[1x ∈，)+∞，则(x -∈-∞，1]-，则1()1()x f x e f x -+-=-=-，则1()1x f x e -+=-，[1x ∈，)+∞，作出函数()f x 的图象如图：当0m >时，()f x m +的图象向左平移，此时()()f x m f x +>有解，满足条件．当0m <时，()f x m +的图象向右平移，当()f x m +的图象与()f x 在1x >相切时，1()x f x e -'=，此时对应直线斜率2k =，由12x e -=，即12x ln -=，得21x ln =+．此时121111211x ln y e e -+-=-=-=-=，即切点坐标为(12,1)ln +，设直线方程为2()y x a =-此时12(12)ln a =+-，即1122ln a =+-，得122a ln =+，1022m ln <-<+，得1202ln m --<<，综上1202ln m --<<或0m >综上m 的取值范围是1(22ln --，0)(0⋃，)+∞，故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结三．解答题（共5小题，满分48分）17．（7分）解下列方程：（1）2122xx -=．【答案】1x =-【解析】2122.xx -= 2 1.x x ∴=- 1.x ∴=-（2）239(log )log (3)2x x +=．解：令3log .t x =∴原等式为2112.22t t ++=∴223(23)(1)0.t t t t +-=+-=32t ∴=-或 1.t =39x ∴=或 3.x =18．（8分）设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数2()11g x x =--的定义域为集合N .求：（1）集合M ，R C N ；（2）集合N M ，()R C M N 。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则B＝．2．写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题．3．已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则b+c的值为．4．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）＝2，则f﹣1（﹣2）＝．5．已知幂函数f（x）的部分对应值如表：x1f（x）1则不等式f（|x|）≤2的解集是．6．函数的值域是．7．已知当x＞0时，函数f（x）＝（2a﹣1）x（{a＞0，且a≠）的值总大于1，则函数y ＝的单调增区间是．8．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．9．已知a∈R且，则关于x的不等式的解集为．10．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．11．若不等式x2＜5﹣|6﹣xt|对于恒成立，则实数t的取值范围是．12．设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为．二.选择题13．设M＝{x|x＝a2+1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2﹣4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是（）A．M＝P B．M⫋PC．P⫋M D．M与P没有公共元素14．函数y＝﹣1（x≤0）的反函数是（）A．y＝（x≥﹣1）B．y＝﹣（x≥﹣1）C．y＝（x≥0）D．y＝﹣（x≥0）15．设函数f（x）的定义域为R，有下列四个命题：（1）若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；（2）若对任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）+2＝0，则f（x）图象是中心对称图形，且对称中心为（﹣1，1）；（3）若对任意x∈R，有f（x﹣1）﹣f（3﹣x）＝0，则f（x）图象是轴对称图形，且对称轴为x＝1；（4）已知y＝f（x﹣2）是R上的奇函数，则f（x）+f（4﹣x）＝0；这些命题中，真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣﹣ln2，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣﹣ln2，0）∪（0，+∞）三.解答题17．解下列方程：（1）22x＝2x﹣1；（2）．18．设函数f（x）＝lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，∁R N；（2）集合M∩N，∁R（M∪N）．19．已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．20．已知（m∈R）是定义在[﹣1，1]上的奇函数．（1）求实数m的值；（2）求证：f（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数；（3）若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，求实数a的取值范围．21．设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1）使得f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为f（x）的含峰区间．（1）判断下列函数是否为[0，1]上的单峰函数：①，x∈[0，1]；②，x∈[0，1]；③，x∈[0，1]；④，x∈[0，1]；对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度l（区间长度l等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；（3）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2﹣x1≥2r，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．参考答案一.填空题1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则B＝{2，4，6}．【分析】根据A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，从而得出x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝4；x＝3时，y＝6，从而得出集合B．解：∵A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，∴B＝{7，4，6}．故答案为：{2，4，2}．2．写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题若am2≥bm2，则a≥b．【分析】根据否命题的定义即可求出．解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题为若am2≥bm2，则a≥b，故答案为：若am2≥bm8，则a≥b3．已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则b+c的值为．【分析】由条件知﹣2和是方程x2+bx+c＝0的两实根，然后由韦达定理可得c，b的值，再求出c+b．解：∵不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞．﹣2）∪（﹣，+∞），∴﹣2和是方程x2+bx+c＝0的两实根，∴．故答案为：．4．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）＝2，则f﹣1（﹣2）＝﹣4．【分析】由图象关于原点对称得此函数是奇函数，结合题意和奇函数的定义得到f（﹣4）＝﹣2，因原函数与反函数的定义域和值域恰相反，故得f﹣1（﹣2）＝﹣2．解：∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴此此函数在定义域上是奇函数，∵f（4）＝2，∴f（﹣4）＝﹣2，故答案为：﹣4．5．已知幂函数f（x）的部分对应值如表：x1f（x）1则不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，4]．【分析】先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．解：设幂函数为f（x）＝xα，则，∴α＝，∴不等式f（|x|）≤2等价于，∴|x|≤4∴不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，6]故答案为[﹣4，4]．6．函数的值域是（﹣∞，ln2]．【分析】运用配方，可得二次函数的值域，根据复合函数的性质可得f（x）的值域；解：设函数t＝＝，（t＞0）可得t∈（0，2]，根据对数函数的图象及性质，可得lnt≤ln2；故得值域为：（﹣∞，ln2]．7．已知当x＞0时，函数f（x）＝（2a﹣1）x（{a＞0，且a≠）的值总大于1，则函数y ＝的单调增区间是（﹣∞，1）（或（﹣∞，1]）．【分析】根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解：当x＞0时，函数f（x）＝（2a﹣1）x（{a＞0，且a≠）的值总大于1，即2a﹣1＞1，解得a＞1，则要求函数y＝的单调增区间，∵函数t＝2x﹣x2的增区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）（或（﹣∞，1]）8．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为23时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．【分析】根据所给的函数的图象，可以判断该函数关系为分段函数，分两段分别求解函数的解析式，即可得到答案；利用函数解析式表示出w，进而利用函数性质分段求解最值，最后比较两个最值，即可得到答案．解：根据图象可知，当0＜x≤20时，y＝8000，∵B（20，8000），C（40，4000）在图象上，∴y＝﹣200x+12000，①当0＜x≤20时，w＝（8000﹣2800）x＝8 200x，∴当x＝20时，w取得最大值为104000；②当20＜x≤40时，w＝（﹣200x+12 000﹣2800）x＝﹣200（x2﹣46x）＝﹣200（x﹣23）2+105800，对称轴为x＝23∈（20，40]，综合①②，由于105800＞104000，故乔经理的采购量为23时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．故答案为：23．9．已知a∈R且，则关于x的不等式的解集为（2，3）．【分析】先由题意求得0＜a＜1，原不等式即0＜x2﹣5x+7＜1，由此求得x的范围．解：∵a∈R且，∴0＜a＜1，则关于x的不等式，即0＜x2﹣5x+7＜1．解x2﹣5x+8＜1，求得2＜x＜3，故原不等式的解集为（2，3），故答案为：（2，3）．10．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有10个．【分析】根据题目的条件一一列举出符合条件的函数即可．解：如下图，可知满足条件的函数共10个，故答案为：10．11．若不等式x2＜5﹣|6﹣xt|对于恒成立，则实数t的取值范围是（）．【分析】将原不等式化为5﹣x2＞|6﹣tx|，问题即转化为当时，y＝5﹣x2的图象恒在y＝|6﹣tx|的上方，结合两函数的单调性，容易求解．解：由已知得：不等式可化为：5﹣x2＞|6﹣tx|，，令f（x）＝7﹣x2，，显然该函数在[]上单调递减；同一坐标系中做出符合题意的两函数图象如下：可见，要使原式恒成立，只需，即，故答案为：（）．12．设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为3．【分析】由题意可求出c的表达式，根据c＞0，把原式转化为关于的解析式，设＝x，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出答案．解：∵a+b+2c＝，∴a2+ab+2ac＝bc，∵c＞2，解法一：设b﹣2a＝t，则t＞0，b＝t+2a；当且仅当t＝a时成立；解法二：由b﹣2a＞5，得＞2，设＝x，则x＞2，当且仅当x＝3时取等号，即的最大值为3．故答案为：3．二.选择题13．设M＝{x|x＝a2+1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2﹣4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是（）A．M＝P B．M⫋PC．P⫋M D．M与P没有公共元素【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．解：M＝{x|x＝a2+1，a∈N*}＝{2，8，10…}，P＝{y|y＝b2﹣4b+5＝（b﹣2）2+1，b∈N*}＝{1，2，5，10…}，所以M⫋P．故选：B．14．函数y＝﹣1（x≤0）的反函数是（）A．y＝（x≥﹣1）B．y＝﹣（x≥﹣1）C．y＝（x≥0）D．y＝﹣（x≥0）【分析】从函数y＝﹣1（x≤0）中解出x＝，并求出函数值域y≥﹣1，将x与y互换位置后即为反函数同时标明定义域．解：由y＝﹣1（x≤0）得y+1＝，所以y+1≥0，且（y+1）3＝x2，所以反函数为y＝﹣（x≥﹣1）故选：B．15．设函数f（x）的定义域为R，有下列四个命题：（1）若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；（2）若对任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）+2＝0，则f（x）图象是中心对称图形，且对称中心为（﹣1，1）；（3）若对任意x∈R，有f（x﹣1）﹣f（3﹣x）＝0，则f（x）图象是轴对称图形，且对称轴为x＝1；（4）已知y＝f（x﹣2）是R上的奇函数，则f（x）+f（4﹣x）＝0；这些命题中，真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）直接利用函数的最值的应用求出结果．（2）利用函数的对称性的应用求出结果．（3）根据函数的对称轴方程的应用求出结果．（4）根据函数的奇偶性的应用求出结果．解：（1）若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，必须满足f（x0）＝M，则M是函数f（x）的最大值；（1）错误．（2）若对任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）+2＝0，则f（x）图象是中心对称图形，整理得f（x）＝﹣f（2﹣x）﹣7，则函数关于（1，﹣1）对称，故错误．（4）已知y＝f（x﹣2）是R上的奇函数，则f（﹣x﹣3）＝﹣f（x﹣2），整理得f（﹣x﹣2）+f（x﹣2）＝0，整理得不到f（x）+f（4﹣x）＝4；故错误．故选：A．16．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣﹣ln2，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣﹣ln2，0）∪（0，+∞）【分析】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，然后作出函数的图象，对m进行分类讨论进行求解即可．解：若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，则f（﹣x）＝1﹣6|﹣x﹣|＝1﹣2|x+|，∴f（﹣x）＝1﹣2|x+|＝﹣f（x），若x∈[1，+∞），则﹣x∈（﹣∞，﹣8]，则f（x）＝e﹣1+x﹣1，x∈[1，+∞），当m＞0时，f（x+m）的图象向左平移，此时f（x+m）＞f（x）有解，满足条件．当f（x+m）的图象与f（x）在x＞5相切时，f′（x）＝e x﹣1，此时对应直线斜率k＝2，即切点坐标为（6+ln2，1），此时1＝2（8+ln2﹣a），得a＝+ln2，得﹣﹣ln2＜m＜5，综上m的取值范围是（﹣﹣ln2，0）∪（6，+∞），故选：D．三.解答题17．解下列方程：（1）22x＝2x﹣1；（2）．【分析】（1）根据题意，原方程变形可得（2x）2＝×2x，求出2x的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，原方程变形可得（log3x）2+（log9x）﹣＝0，求出log3x的值，由对数的运算性质分析可得答案．解：（1）根据题意，22x＝3x﹣1，变形可得（2x）8＝×2x，又由5x＞0，则2x＝，（5），即（log3x）7+（l+log9x）﹣2＝0，解可得log3x＝1或log3x＝﹣，则有x＝3或．18．设函数f（x）＝lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，∁R N；（2）集合M∩N，∁R（M∪N）．【分析】（1）利用函数的定义域能求出集合M，利用函数的定义域先求出集合N．由此能求出∁R N．（2）先求出M∩N，由此能求出∁R（M∪N）．解：（1）∵函数f（x）＝lg（2x﹣3）的定义域为集合M，∴，∴N＝{x|x＜5或x≥3}，∴∁R N＝{x|1≤x＜3}．∴M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝{x|x＜1或x＞}，∴．19．已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．【分析】（1）令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数的图象恒经过定点的坐标．（2）由题意利用偶函数的性质求得b、c的值，再根据函数图象经过定点A（1，1），可得a的值．解：（1）令+＝1，可得x＝5，y＝1，可得函数（m＞0，m≠8）的图象恒经过A（1，1）．且有1﹣2c＝﹣c，求得c＝7，故g（x）＝ax2﹣1．综上可得，a＝7，b＝0，c＝1．20．已知（m∈R）是定义在[﹣1，1]上的奇函数．（1）求实数m的值；（2）求证：f（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数；（3）若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义建立方程解出即可；（2）先设﹣1≤x1＜x2≤1，然后利用作差法比较f（x1）﹣与（x2）的大小即可判断，（3）先求出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，进而转化为解不等式﹣1≤1﹣a≤2a2≤1，解：（1）∵f（x）为定义在[﹣1，1]上奇函数，∴f（0）＝m﹣1＝0，即m＝8，设﹣1≤x1＜x2≤1，＝＝（）（1+）＞0，即f（x）在[﹣1，7]上为单调递增函数，∴f（a﹣1）+f（2a2）≤0等价于f（2a3）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），∴﹣1≤1﹣a≤2a2≤1，故不等式的解集{a|}21．设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1）使得f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为f（x）的含峰区间．（1）判断下列函数是否为[0，1]上的单峰函数：①，x∈[0，1]；②，x∈[0，1]；③，x∈[0，1]；④，x∈[0，1]；对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度l（区间长度l等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；（3）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2﹣x1≥2r，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．【分析】（1）利用单峰函数的定义，判断①②③④四个函数是否存在x*∈（0，1）使得f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，即可解答；（2）利用单峰函数的定义，可以直接证明；（3）利用含峰区间长度的定义，可以直接证明．解：（1）根据单峰函数的定义可以判断，①在（0，0.5）上单调递增，在（0.5，4）上单调递减；②在（0，0.5）上单调递增，在（0.6，1）上单调递减；③在（0，）上单调递增，在（，8）上单调递减；④在（0，0.25）上单调递减，在（0.25，1）上单调递增；故①③是单峰函数；则由单峰函数定义可知，f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减．从而f（x*）≥f（x2）＞f（x1），当f（x1）≤f（x2）时，假设x*∉（x1，1），则x*≤x1＜x2，这与f（x5）≤f（x2）矛盾，（3）证明：由（2）的结论可知：当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l3＝1﹣x1；x8≤0.5+r 1﹣x1≤3.5+r①又因为x2﹣x1≥2r，所以x2﹣x1＝3r，②x1≤0.5﹣r，x2≥3.5﹣r，③所以这时含峰区间的长度l1＝0.5+r，即存在x8，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．。
上海市控江中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
上海市控江中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____. 【答案】5250x y --= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题.2.过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上， 则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案：43250x y +-=.【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.3.焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【分析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a 的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a-=>，==2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y -=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题.4.平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____. 【答案】()044y x =-≤≤ 【解析】 【分析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程.【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P，则PA PB AB +=， 则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 5.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为arccos 5，则实数k 的值为_____. 【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos5β=，则tan 2α=，cos β=，sin β=1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.已知t 是实数，设向量()3,4a =，向量()2,1b =，若()a a tb ⊥-，则t 的值为_____.【答案】52【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a 和ab ⋅的值，由()a a tb ⊥-得()0a a tb ⋅-=，由此可计算出实数t 的值. 【详解】()3,4a =，()2,1b =，则2223425a =+=，324110a b ⋅=⨯+⨯=，()a a tb ⊥-，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=，解得52t =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.7.直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB .【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6.【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.8.设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =- 【解析】 【分析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程.【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-.【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.9.椭圆()22210416x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】 【分析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c == 由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =，即()7a c a c +=-，可得334c a ==3=，解得b =..【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=，则1F P =_____.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P 和2F P 的方程组，即可解出1F P 的值. 【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=，则120F P F P ->，由双曲线的定义可得1223F P F P -= 又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=，则1212F P F P +=，所以，12122312F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩173F P =.故答案为：73.【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____.【答案】23【解析】 【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值.【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-= 【解析】 【分析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程. 【详解】点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=.【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题. 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20-∞B. (),5-∞C. ()5,+∞D.()20,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ） A.35B.35C.95D.95【答案】C 【解析】 【分析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离. 【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为22312951024d -+==+. 故选：C.【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.15.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A. A 点处B. B 点处C. C 点处D. D 点处【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处.【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分，所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.16.设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A. 甲和乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲和乙都是假命题【答案】A 【解析】 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：()222221111111324414544x x AP x y x x x =-+=-++-=-+同理可得2223454x AQ x =-+AP AQ =，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5题，共46分）17.已知向量()11,2e =与()24,2e =是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-，试用向量1e 与2e 表示v ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =，设b 与1e 的夹角为α，b 与2e 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-；（2）6t =. 【解析】 【分析】（1）设12v e e λμ=+，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值.【详解】（1）设12v e e λμ=+，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩， 因此，123v e e =-；（2）根据题意，11cos 5b e b e α⋅==⋅⋅22cos 25b e b e β⋅==⋅αβ=，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上. 【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析.【解析】 【分析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值； （2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19.设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由. 【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论.【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦， 直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140kk k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点， 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=；（2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+，点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=， 上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程；（3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立.【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =， 由0FA FB FC ++=，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =， 由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+， 将①代入可得()1123x x <-，解得12x <， 所以点A 的横坐标小于2.【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S .（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.【答案】（1）圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =±；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+， 联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得AB ===可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得3t =±，因此，直线l 的方程为y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O ，圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎫⎛⎫--=--+=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()222294131203333m m OS m --=+-=--≤⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
上海市青浦区2019-2020年高一上学期期末数学试题(解析版)
青浦区高一上期末数学试卷一、填空题1.已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________．【答案】{}12－，【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2.不等式2430x x -+≤的解集是______.【答案】[]1,3【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】2430,(1)(3)0,13x x x x x -+≤--≤≤≤，所以不等式的解集为[]1,3.故答案:[]1,3. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，属于基础题.3.函数()f x =______.【答案】[)1,+∞【分析】由被开方数不小于0,得出关于x 的对数不等式,求出x 的范围,即是定义域.【详解】由2log 0,1x x ≥∴≥,所以函数()f x =[)1,+∞.故答案为:[)1,+∞.【点睛】本题考查函数的定义域,解题的关键是对函数成立的限制条件要熟悉,属于基础题.4.已知函数()f x =()g x =()()f x g x ⋅=______. 【答案】()1x x >【解析】【分析】先求出函数(),()f x g x 的定义域，进而求出()()⋅f x g x 的定义域，求出()()⋅f x g x 的解析式，即可得出结论.【详解】()f x =[1,)+∞， ()g x =(1,)+∞， ()()f x g x ∴⋅的定义域为(1,)+∞，()()(1)f xg x x x ∴==>⋅. 故答案为:()1x x >【点睛】本题考查函数解析式的求解，根据已知先确定函数的定义域是解题的关键，容易被忽略，属于基础题.5.函数()21f x x =-的值域是______. 【答案】()(),00,-∞⋃+∞【解析】根据函数与反比例函数的关系，结合反比例函数的值域，即可求解.【详解】函数()21f x x =-图像是由函数2y x =图像向右平移1个单位得到， 所以函数()21f x x =-值域与函数2y x =值域相同为()(),00,-∞⋃+∞. 故答案为:()(),00,-∞⋃+∞【点睛】本题考查函数的值域，掌握函数图像间的变换关系以及初等简单函数的性质，是解题的关键，属于基础题.6.函数()()210f x x x =-<反函数()1f x -=________.【答案】()1x >-【解析】【分析】由0x <，得出1y >-，再由21y x =-可解出x ，由此可得出函数()1y fx -=的解析式，并标明定义域.【详解】当0x <时，()211f x x =->-，由21y x =-，得x =因此，())11f x x -=>-，故答案为()1x >-.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，还应注意求解原函数的值域，作为反函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.7.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =， ()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为:[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.8.已知条件p ：213k x k -≤≤-，条件q ：13x -<≤，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围是__．【答案】1k ≤-【解析】【分析】根据集合的包含关系得到关于k 的不等式组，解出即可．【详解】∵p ：213k x k -≤≤-，条件q ：13x -<≤，且p 是q 的必要条件，∴(][]1,321,3k k -⊆--，∴12133k k -≥-⎧⎨≤-⎩，解得：1k ≤-， 故答案为：1k ≤-．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．9.函数()24f x x a =--恰有两个零点，则实数a 的取值范围为__． 【答案】0a =或4a >【解析】【分析】 画出函数24y x =-，与y a =的图象，利用函数的两个零点，写出结果即可． 【详解】函数()24g x x =-的图象如图所示， ∵函数()24f x x a =--恰有两个零点， ∴0a =或4a >．故答案：0a =或4a >．【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．10.已知对于任意实数x ，函数()f x 满足()()f x f x -=.若方程()0f x =有2019个实数解，则这2019个实数解之和为______.【答案】0【解析】【分析】由已知可得函数是偶函数，根据偶函数的对称性，即可得出结论.【详解】对于任意实数x ，函数()f x 满足()()f x f x -=，()f x 为偶函数，，若0a ≠是()f x 的零点，即()0,()()0f a f a f a =-=-=，a -为()f x 的零点，()0f x =非零的解两两关于原点对称，和为0，而()0f x =有2019个实数解，则(0)0f =，所以这2019个实数解之和为0.故答案为:0.【点睛】本题考查函数的零点，考查函数奇偶性的应用，属于基础题.11.已知100a b +=，0b >，则1a a b+的最小值为______. 【答案】19100【解析】【分析】对a 分类讨论去绝对值，所求式子中的“1”用()1100a b +替换，应用基本不等式，即可求解. 【详解】显然0a ≠， ①0a >，()111001a b a a a b a a a b b +=+=++1121100100100100b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭； ②0a <，()111100a b a a a a a b a bb +--=+=+--+1100100b a a b -⎛⎫=-++ ⎪-⎝⎭119100100-+=…； 综上，1a a b +的最小值为19100. 【点睛】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查分类讨论思想，属于中档题.12.已知函数()(323log 31xx x f x ⨯=++在[](),0k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M m +=______.【答案】2【解析】分析】由函数()f x 变形，构造函数()(33log 131x x f x x =+-++，判断为奇函数，设出()g x 最大值和最小值，即可求出结论’ 【详解】()(323log 31xx x f x ⨯=++(32log 231x x =+-+ (313log 131x x x =-+++， 令([]()33()log ,,0311x x g x x k k k =+->+-， ((3333log log 3131(()1)1x x x x x g x x g x --+++-+-+-+-+= ()223313log 1031311x xx x x x --=-++++=++， ()g x 为奇函数，设()g x 的最大值为a ，则最小值为a -，则()f x 的最大值为1M a =+，最小值为1m a =-+，所以2M m +=.【【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用构造函数、判断奇偶性，考查运算求解能力，属于中档题.二、选择题13.“a b >”是“22a b >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】【分析】 22||||a b a b >⇔>，与a b >没有关联，取特值，利用充分和必要条件的定义进行判断.【详解】当0,1a b ==-时，满足a b >，但22a b >不成立，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，但a b >不成立，∴“a b >”是“22a b >”的既非充分又非必要条件.故选:D.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解题的关键，属于基础题.14.幂函数2y x -=的大致图象是( ) A. B.C. D.【解析】【分析】根据函数在(0,)+∞的单调性，以及奇偶性，即可求解.【详解】幂函数2y x -=在(0,)+∞是减函数，且为偶函数，故选:C.【点睛】本题考查幂函数的图象，应用函数单调性和奇偶性是解题的关键，属于基础题.15.已知函数()123,0,log ,0x x f x x x +⎧≤=⎨>⎩若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( ) A. (8，，∞)B. (，∞，0)∪(8，，∞)C. (0,8)D. (，∞，0)∪(0,8) 【答案】A【解析】依题意，得0010,33x x +≤⎧⎨>⎩或0200,log 3x x >⎧⎨>⎩ 即000,11x x ≤⎧⎨+>⎩或02020,log log 8.x x >⎧⎨>⎩ 所以x 0∈∅，或x 0>8，故选A.16.偶函数()f x 对任意x ∈R 满足1(3)()f x f x +=，且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，则(107.5)f 等于（ ）A. 10B. 10-C. 110D. 110- 【答案】D【解析】【分析】 由1(3)()f x f x +=可以得出()f x 的一个周期T=6，然后利用周期性和奇偶性，以及题目条件，将(107.5)f化成定义在[]3,2x ∈--的一个函数值，代入解析式，即可求出结果 【详解】1(3)()f x f x +=Q ，1(6)()(3)f x f x f x ∴+==+ ，所以()f x 的一个周期为6 (107.5)(107.5618)(0.5f f f ∴=-⨯=-）1(3)()f x f x +=Q ，1(0.53)(0.5)f f ∴-+=- 即1111(0.5)=(2.5)( 2.5)4 2.510f f f -===--⨯-（） 故选：D【点睛】本题主要考查函数性质，周期性和奇偶性的应用，函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、解答题17.已知集合344,2x A x x R x ⎧⎫+=>∈⎨⎬-⎩⎭，集合{}|31,B x x x R =-≤∈，求集合A B U . 【答案】[)2,12【解析】【分析】化简集合,A B ，按照并集的定义，即可求解. 【详解】34124,0,212,(2,12)22x x x A x x +-><<<∴=--， {}|31,[2,4]B x x x R =-≤∈=，[2,12)A B ∴=U .【点睛】本题考查集合间的运算，应特别注意不等式的求解，属于基础题.18.已知函数()()221a a a f x x +-+=为幂函数，且为奇函数，函数()()g x f x x =+.（1）求实数a 的值及函数()g x 的零点；（2）是否存在自然数n ，使()2020g n =？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =，0x =；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据()f x 是幂函数和奇函数求出a ，通过求解方程()0f x x +=，即可求出()g x 的零点； （2）利用()g x 单调性，进行分析，即可得出结论.【详解】（1）函数()()221a a a f x x +-+=为幂函数，211,0a a a ∴-+==或1a =，当0a =时，2()f x x =是偶函数，不合题意，当1a =时，3()f x x =是奇函数为所求， ()()32(1)g x f x x x x x x =+=+=+，令()0,0g x x ==，所以函数()g x 的零点为0；（2）3()g x x x =+Q 在(.)-∞+∞上是增函数，而(12)1740,(13)2210g g ==，所以不存在自然数n ，使()2020g n =. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的实数根的关系，以及函数的单调性与函数值的问题，属于基础题.19.已知k ∈R ，0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，函数()x x f x a k b =+⋅.（1）如果实数a ，b 满足1a >，1ab =，试判断函数()f x 的奇偶性；（2）设10>>>a b ，0k …，判断函数()f x 在R 上的单调性并加以证明.【答案】（1）当1k =时，()f x 是偶函数；当1k =-时，()f x 是奇函数；当1k ≠±时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（2）函数()f x 在R 上是增函数，证明见解析.【解析】 的【分析】（1）讨论1k =，1k =-，1k ≠±三种情况，根据奇偶性的定义得到答案.（2）函数单调递增，设1x ，2x R ∈且12x x <，计算得到21 ()()0f x f x ->，得到证明.【详解】（1）由已知，得1b a=，()x x f x a k a ∴=+⋅，()x x f x a k a -=+⋅. 若()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即x x x x a k a a k a --+⋅=+⋅，22(1)()0k a a -∴--=对任意实数x 恒成立，1k ∴=；若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x a k a a k a -+⋅=-+⋅，(1)()0x x k a a -∴++=对任意实数x 恒成立，1k ∴=-.综上，当1k =时，()f x 是偶函数；当1k =-时，()f x 是奇函数；当1k ≠±时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（2）1a >Q ，01b <<，∴函数x y a =是增函数，x y b =是减函数.由0k ≤知，x x y a k b =+⋅是增函数，即函数()f x 在R 上是增函数.证明如下：设1x ，2x R ∈且12x x <，则2222111121 ()()()()x x x x x x x x f x f x a k b a k ba a kb b -=+⋅--⋅=-+-. 1a >Q ，01b <<，12x x <，0k ≤，210x x a a ∴->，21()0x x k b b -≥，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >，故函数()f x 在R 上是增函数.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.20.已知函数()()log 82x a f x =-（0a >，且1a ≠）.（1）若函数()f x 的反函数是其本身，求实数a 的值；（2）当1a >时，求函数()()y f x f x =+-的值域.【答案】（1）2；（2）(],log 49a -∞.【解析】【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a 的值；（2）当1a >时，先求函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）令()log 82,82,28x x y x y a y a a =--=∴=-，122log (8),()log (8)(),2y x x a f x a f x a -=-∴=-=∴=；（2）当1a >时，由题意可得820,3x x -><，函数()()y f x f x =+-的定义域为()3,3-，函数()()log (82)log (82)x xa a y f x f x -=+-=-+- log 658[](22)x x a -=-+，而222x x -+≥，当且仅当0x =时，等号成立，658(22)49,10x x a -∴<-+≤>Q ，()log 49a f x ∴≤，∴函数()()y f x f x =+-的值域是(,log 49]a -∞.【点睛】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 21.用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()211f x x =+. （1）求()0f 的值，并解释其实际意义；（2）现有()0a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.【答案】（1）()01f =，没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量；（2）0a <<的农药量更少；a =a >时，清洗两次残留的农药量更少.【解析】【分析】（1）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量保持原样；（2）先设仅清洗一次，计算出残留在蔬菜中的农药量，再求分清洗两次后，农药的残留量，比较二者的大小关系，即可得出结论.【详解】（1）()01f =，其实际意义为没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量；（2）()2101f a a =>+，22142412a f a a ⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()222224160244a f a a ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，()()()222241612a f a a a f +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ①()212f a a f >⎛⎫ ⎪⎝⎭，即a >()22a f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 此时清洗两次残留的农药量更少，②()212f a a f =⎛⎫ ⎪⎝⎭，即a =()22a f f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 此时清洗一次或两次残留的农药量一样，②()212f a a f <⎛⎫ ⎪⎝⎭，即0a <<()22a f a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 此时清洗一次残留的农药量更少，综上，0a <<a =a >.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，理解函数解析式的意义及比较大小等知识，意在考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
上海国际中学2019-2020学年高一数学理上学期期末试题含解析
上海国际中学2019-2020学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，在区间(0，)上为增函数且以为周期的函数是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 在中，角所对的边分别为，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是，，，，，，，，参考答案：B3. 符号的集合的个数是 ( )A. 2B.3 C.4 D. 5参考答案：B4. 若，则（▲ ）A. B. C. D.参考答案：C5. ，则的值是A. 0B.C. 1D.参考答案：A解析：若≠0，则有，取，则有：（∵是偶函数，则）由此得6. 下列四个函数中，与y=x表示同一个函数的是（）A. B. C. D.参考答案：B7. 已知向量，如果∥那么（）A．k=1且与同向B．k=1且与反向C．k=﹣1且与同向D．k=﹣1且与反向参考答案：D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】表示出向量，，根据向量平行的充要条件可求得k值，从而可判断其方向关系．【解答】解： =k（1，0）+（0，1）=（k，1），=（1，0）﹣（0，1）=（1，﹣1），因为∥，所以﹣k﹣1=0，解得k=﹣1．则=（﹣1，1），=（1，﹣1），，与反向，故选D．8. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由于函数y=sinx=cos（x﹣），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数y=sinx=cos（x﹣），故只需将函数的图象象右平移可得函数y=cos（x﹣）的图象，故选A．9. 下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是( )取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3参考答案：D略10. 直线x﹣y+4=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】利用圆心到直线的距离，半弦长，半径的关系，求解即可．【解答】解：圆的圆心到直线x﹣y+4=0的距离为： =0．直线被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于圆的直径：2．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ①y=tanx在定义域上单调递增；②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜；③f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，若，则f（sinθ）＞f（cosθ）；④函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；其中真命题的序号为．参考答案：②③④【考点】2K：命题的真假判断与应用；3F：函数单调性的性质；3J：偶函数；H6：正弦函数的对称性．【分析】由正切函数的单调性，可以判断①真假；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可以判断②的真假；根据函数奇偶性与单调性的综合应用，可以判断③的真假；根据正弦型函数的对称性，我们可以判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：由正切函数的单调性可得①“y=tanx在定义域上单调递增”为假命题；若锐角α、β满足cosα＞sinβ，即sin（﹣α）＞sinβ，即﹣α＞β，则，故②为真命题；若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，则函数在[0，1]上为减函数，若，则0＜sinθ＜cosθ＜1，则f（sinθ）＞f（cosθ），故③为真命题；由函数y=4sin（2x﹣）的对称性可得（，0）是函数的一个对称中心，故④为真命题；故答案为：②③④12. 如右图，长为，宽为的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成角，则点走过的路程是_______________．参考答案：13. 若x，y满足约束条件，则的取值范围为___________．参考答案：画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．表示可行域内的点与点连线的斜率．由，解得，故得；由，解得，故得.因此可得，结合图形可得的取值范围为．14. 不等式3x－3m≤－2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是。
2018～2019学年上海市控江中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市控江中学2018～2019学年高一年级下学期期末质量检测数学试题(解析版)2019年7月一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________．【答案】[]1,3.【解析】【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤,解出x 可得出所求函数的定义域.【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤,解得13x ≤≤,因此,函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3,故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域,解题的关键就是正弦值域的应用,考查运算求解能力,属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1.【解析】【分析】 根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期. 【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==, 因此,函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1,故答案为：1.【点睛】本题考查正切型函数周期的求解,解题的关键在于正切型函数周期公式的应用,考查计算能力,属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列,公比为q ,且2468a a a ⋅⋅=,754a =,则q =_________．【答案】3.【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值,然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==,得42a =,所以,37454272a q a ===,3q ∴=, 故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算,充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用,可简化计算,属于中等题.4.已知tan 3α=,则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α,将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得,原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=, 故答案为：13. 【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算,常利用弦化切的思想求解,一般而言,弦化切思想主要应用于以下两种题型：。
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。
上海市闵行区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
上海市闵行区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数___________.()f x =【答案】[1,1]-【解析】【详解】解析过程略2.函数的反函数是_______.())0f x x =≤【答案】()20y x x =-≥【解析】【分析】根据反函数的定义，从原函数式中解出，再进行，互换，即可得反函数的解析式.x x y【详解】∵，则，)0y x =≤0y ≥∴，即，()20x y y -=≥()20x y y =-≥∴将，互换，得.x y ()20y x x =-≥故答案为：.()20y x x =-≥【点睛】本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系，属于基础题.3.已知全集，集合，，如图中阴影部分{|,||3}U x x Z x =∈…{2,0,1,2}=-A {2,1,3}B =-所表示的集合为________.【答案】{0,2,3}【分析】求出全集，，{}{}|,||33,2,1,0,1,2,3U x x Z x =∈=---…{}3,1,3U A =--ð，图中阴影部分所表示的集合为.{}3,1,0,2U B =--ð()()UUA B B A ⋂⋃⋂ðð【详解】由题意得全集，{}{}|,||33,2,1,0,1,2,3U x x Z x =∈=---…又集合，，{}2,0,1,2A =-{}2,1,3B =-所以，，，{}3,1,3U A =--ð{}3,1,0,2U B =--ð故，，{}0,2U A B = ð{}3U B A = ð所以，图中阴影部分所表示的集合为.()(){}0,2,3UUA B B A = ðð故答案为：.{}0,2,3【点睛】本题考查集合的求法，考查交集、补集、Venn 图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知奇函数的定义域为，，那么________.()f x R (1)3f -=(0)(1)f f +=【答案】3-【解析】【分析】根据奇函数的性质可知，，代入即可求解.()00f =()()11f f =--【详解】由题意，为上的奇函数，则，，()f x R ()00f =()()11f f =--又，故，()13f -=()()113f f =--=-所以.()()01033f f +=-=-故答案为：.3-【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数值，属于基础题.5.已知函数是增函数，则实数的取值范围是_________.25()log a f x x-=a 【答案】(2,2)-【分析】结合对数函数的单调性可知，，解不等式即可.251a ->【详解】由题意可得，，251a ->解得：.22a -<<故答案为：.()2,2-【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题.6.已知原命题的逆命题是：“若，则”，试判断原命题的否命题的真假0xy =220x y +=________.（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论.【详解】原命题的逆命题是：“若，则”与原命题的否命题互为逆否命题，0xy =220x y +=它们的真假性相同，所以，只需要判断原命题的逆命题的真假即可，若，则可能，，此时，即原命题的逆命题是假命题，0xy =0x =0y ≠220x y +≠所以，原命题的否命题是假命题.故答案为：假.【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题.7.令，则用表示的结果为_________.lg 2a =a 81lg 3lg52+【答案】1a -【解析】【分析】利用对数的运算性质化简即可.【详解】.()81lg 3lg lg8lg 53lg 23lg 21lg 23lg 2lg 21152a +=--=---=-=-故答案为：.1a -【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.8.已知函数是偶函数，当时，，则当时，________.()f x 0x >2()3f x x x =-0x <()f x =【答案】23x x +【解析】【分析】设，则，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解.0x <0x ->【详解】由题意，当时，，0x >()23f x x x =-设，则，此时，0x <0x ->()()()2233f x x x x x-=---=+又函数是偶函数，可得，()f x ()()f x f x =-所以，.()23f x x x=+故答案为：.23x x +【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式，属于基础题.9.2019年度，国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元，国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元，从2020年开始，若企业甲的科研经费每年增加，计划用3年时间超过企%x 业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变）.请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系：__________.（所列的不等式无需化简）【答案】3115(1%)156x +>【解析】【分析】由题意可得：.()31151%156x +>【详解】由题意，企业甲的科研经费每年增加，用3年时间超过企业乙的年投入量，%x 所以，不等式表达题目的数量关系为：.()31151%156x +>故答案为：.()31151%156x +>【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.10.已知函数，定义，则函数2()log f x x =()(1)()f x f x f x ∆=+-的值域为___________.()()(1)F x f x f x =∆++【答案】[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出，进而可由基本不等式可得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而可得出函数的值域.124x x ++≥()F x 【详解】由题意，，()()()()22212log 1log F x f x f x x x=+-=+-即，()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭由题意知，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），0x>12x x +≥=1x =所以（当且仅当时取等号），即，124x x ++≥1x =221log 2log 42x x ⎛⎫++≥=⎪⎝⎭所以的值域为.()F x [)2,+∞故答案为：.[)2,+∞【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.11.已知，，对于任意的，总存在，使得()|1||1|f x x x =+--()ag x x x =+m R ∈0x R ∈或，则实数的取值范围是____________.()0f x m=()0g x m=a 【答案】(,1]-∞【解析】【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解的值域，()ag x x x =+结合已知条件推出的范围即可.a 【详解】由题意，对于任意的，总存在，使得或，则m R ∈0x R ∈()0f x m =()0g x m =与的值域的并集为，又，()f x ()g x R ()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩结合分段函数的性质可得，的值域为，()f x []22-,当时，可知的值域为，0a ≥()ag xx x =+(),⎡-∞-+∞⎣所以，此时有，解得，2≤01a ≤≤当时，的值域为，满足题意，0a <()ag x x x =+R 综上所述，实数的范围为.a (],1-∞故答案为：.(],1-∞【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.12.设函数（）的值域依次是2()21k f x x x =-+120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦ ，则__________.1232019,,,,A A A A 1232019A A A A ⋂⋂⋂⋂= 【答案】2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可.【详解】函数的对称轴为，开口向上，所以函数的最小值为()221k f x x x =-+1x =，()10f =函数（）的值域依次是2()21k f x x x =-+120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦ ，它们的最小值都是，1232019,,,,A A A A 0函数值域中的最大值为：当，即时，此时，12019111k k k +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭1010k =111010x =-所以，值域中的最大值中的最小值为，22112019111101010101010f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，.212320192010220190,1010A A A A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 故答案为：.2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算，属于基础题．二、选择题13.已知a ，b 都是实数，那么“”是“” 的（ ）33a b >33a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】对于“”，考查函数y=在R 上单调递增，所以“”与“a>b”等价；33ab>3x33ab>同样对于“”，考查函数y=在R 上单调递增，所以“”与“a>b”也等价；33a b >3x 33a b >所以“”是“” 的充要条件，故选C.33a b >33a b >【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决本题的关键．14.如果，那么（ ）12log 0.5log 0.50x x <<A.B. C.D.2101x x <<<1201x x <<<121x x <<211x x <<【答案】C 【解析】【分析】直接利用对数解得即可.【详解】由，得.12log 0.5log 0.50x x <<211x x >>故选：C.【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题.15.已知集合，则下列集合中与相等的是（ ）2121|,3232x x P x x R x x --⎧⎫==∈⎨⎬--⎩⎭P A.B. 21|0,32x x x R x -⎧⎫>∈⎨⎬-⎩⎭{|(21)(32)0,}x x x x R --≥∈C.D.21|lg 32x x y x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭{}|(32)x y x =+-【答案】D【解析】【分析】利用集合相等的定义即可判断.【详解】集合，212121|,|0323232x x x P x x R x x x x ⎧--⎫-⎧⎫==∈=≥⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭所以且，故A 、B 选项不正确；()(){|21320P x x x =--≥}320x -≠选项C ：，故C 不正确；2121|lg |03232x x x y x x x --⎧⎫⎧⎫==>⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭选项D ：且，{}()(){0|(32)|21320x y x x x x =+-=--≥}320x -≠故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题.16.若,当时, ,若在区间内,()()111f x f x +=+[0,1]x ∈()f x x =(]1,1-有两个零点,则实数的取值范围是( )()()g x f x m =-m A. B. C. D.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]0,1【答案】D 【解析】【分析】先求函数的解析式,把在区间内,函数有两个零点，转化为函数(]1,1-()()g x f x m =-与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可求解．()y f x =y m =【详解】由题意知，当，则，()1,0x ∈-()10,1x +∈又因为当时,,所以，[]0,1x ∈()f x x=()11f x x +=+所以，所以,()()111111f x f x x =-=-++(),0111,101x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩要使得在区间内,函数有两个零点，(]1,1-()()g x f x m =-即函数与的图象由两个不同的交点，()y f x =y m =在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，要使得两函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是，m 01m <≤故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及利用函数的零点问题求解参数的取值范围，其中解答中正确求解函数的解析式，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．三、解答题17.已知函数.判断在上的单调性，并给予证明.1()f x x x =-()f x (,0)-∞【答案】单调递减，证明见解析.【解析】【分析】直接利用单调性的定义，作差比较即可判断.【详解】在上单调递减.()f x (),0-∞证明如下：设，则120x x <<，()()()121212122112121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=---=--+=-⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，则，，，120x x <<210x x ->120x x ⋅>1210x x +⋅>所以，即，()12211210x x x x x x +-⋅>()()120f x f x ->故在上单调递减.()f x (),0-∞【点睛】本题主要考查了单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础题.18.已知集合，.1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤（1）求集合和；A B （2）若，求实数的取值范围.A B B ⋃=a 【答案】（1），；（2）.()0,1A =()(),32,B a a =-∞++∞ (]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合和；A B （2）由，得，解不等式组，进而得出实数的取值范围.A B B ⋃=A B ⊆a 【详解】（1）集合，{}1|1|0|0111x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭因，则，1a ≤32a a ≤+所以集合或.()(){}{320,1|3B x x a x a a x x a=---≤=<}2x a >+即集合，.()0,1A =()(),32,B a a =-∞++∞ （2）由（1）知，集合，，()0,1A =()(),32,B a a =-∞++∞ 由，得，A B B ⋃=A B ⊆所以或，解得或，131a a ≤⎧⎨≥⎩120a a ≤⎧⎨+≤⎩113a ≤≤2a ≤-故实数的取值范围为.a (]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.19.自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养百头猪，所需固定成本为20万元，其它为变动x (515)x ≤≤成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入（万元）与（百()F x x头）满足如下的函数关系：（注：一个养猪周期内23040,(510)()4040,(1015)x x F x x x x -≤≤⎧=⎨-+-<≤⎩的总利润（万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.()R x （1）试把总利润（万元）表示成变量（百头）的函数；()R x x （2）当（百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.x 【答案】（1）；（2），最大利润为109万元.21660,(510)()2660,(1015)x x R x x x x -⎧=⎨-+-<⎩………13x =【解析】【分析】（1）根据题意即可求出函数的解析式；()R x （2）分段求出最大值，再比较即可求出当时，该企业所获得的利润最大，从而求出最13x =大利润.【详解】（1）由题意可得：()()23040,510()4040,1015x x F x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+-<≤⎪⎩所以，总利润.()()()()()21660,51014202660,1015x x R x F x x x x x ⎧-≤≤⎪=-+=⎨-+-<≤⎪⎩（2）当时，，当时，的值最大，最大值为，510x ≤≤()1660R x x =-10x =()R x 100当时，，当时，的值最大，最1015x <≤()22660R x x x =-+-()261321x =-=⨯-()R x 大值为，109综上所述，当时，该企业所获得的利润最大，最大利润为万元.13x =109【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.20.设是由满足以下性质的函数构成的集合：对于的定义域内的任意两个不相等A ()f x ()f x 的实数、，不等式都成立.1x 2x ()()1212122x x f x f x f +⎛⎫+>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭（1）已知函数，求的反函数，并指出的定义域；()21xg x =+()g x 1()g x -1()g x -（2）试判断（1）中的函数与是否属于集合，并说明理由；()g x 1()g x -A （3）设，且的定义域为，值域为，试写出一个满足()h x A ∈()h x (0,)+∞7(2,5),(1)2h <条件的函数的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由）.()h x 【答案】（1）（2）；详见解析（3）12()log (1),1g x x x -=->1()g x A -∉.（答案不唯一）62,032y x x =+>+【解析】【分析】（1）利用反函数的定义直接求出即可；（2）根据题意，利用作差比较法判断即可；（3）根据题意，答案不唯一，满足条件即可．【详解】（1）由题意，，即，得，()21x g x =+21xy =+1y >所以，，故，其定义域为；()2log 1x y =-1y >()()12log 1g x x -=-()1,+∞（2）对于：任取且，则，()g x 12,x x R ∈12x x ≠122222x x ≠()()()()12121221211212121222x x x x x x g x g x g +⎛⎫+⎛⎫⎡⎤+-=+++-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，12122122222x x x x +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭1222212202x x⎛⎫=-> ⎪⎝⎭即；()()12121,()22x x g x g x g g x A +⎛⎫+>∈⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭对于：任取且，则，1()g x -12,(1,)x x ∈+∞12x x ≠121210,10,102x x x x +->->->()()()()1111212122122211log 1log 1log 12222x x x x g x g x g x x ---++⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=-+--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭()()()()()121212222212121211111log log 221124x x x x x x x x x x x x ---++==++⎛⎫--++ ⎪⎝⎭∵，()()()()22121212121211044x x x x x x x x x x +--++--++=>⎡⎤⎣⎦且，()()()21212121210,104x x x x x x x x +-++>-++>∴，∴，()()()12122121210114x x x x x x x x -++<<+-++()()11112121022x x g x g x g ---+⎛⎫⎡⎤+-< ⎪⎣⎦⎝⎭即；()()111112121,()22x x g x g x g g x A ----+⎛⎫⎡⎤+<∉ ⎪⎣⎦⎝⎭（3）①；②.（答案不唯一）112,03x y x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭62,032y x x =+>+【点睛】本题考查函数与反函数的关系，判断不等式的大小关系，属于中档题.21.已知函数（是常数）.2()12x f x a =-+a （1）若，求函数的值域；1a =()f x （2）若为奇函数，求实数.并证明的图像始终在的图像的下方；()f x a ()f x 1()21x g x +=-（3）设函数，若对任意，以为边21()()1h x f x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦123,,[0,1]x x x∈()()()123,,h x h x h x 长总可以构成三角形，求的取值范围.a 【答案】（1）（2）；证明见解析（3）(1,1)-1a =(,3)a ∈-∞--⋃+∞【解析】【分析】（1）把代入后反解可得，解分式不等式即可；1a =1201x y y --=>-（2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；（3）由题意可得，结合，利用换元法转minmax 2()()h x h x >()221()()124x f a h x x ⎡⎤=⎢⎥-⎣+=⎦化为，，再结合二次函数的性质即可.()24t a y +=[]1,2t ∈【详解】（1）由题意，（是常数），2()12x f x a =-+a 当时，此时，即，整理可得，1a =21()21x x f x -=+2121x xy -=+121xy y --=-因，则，即，20x >101y y -->-()()110y y +-<解得，11y -<<故函数的值域为.()f x ()1,1-（2）由题意，为奇函数，则，即，()f x ()()0f x f x +-=2211022x xa a --+-=++化简得，()2(1)22(1)0x x a a --++-=∵恒不为零，22xx-+∴且，解得，此时，10a -=2(1)0a -=1a =21()21x x f x -=+∴，()211212()()2102121x x x x x f x g x ++--=--=-<++即的图像始终在的图像的下方.()f x 1()21x g x +=-（3）由题意，得，，minmax 2()()h x h x >()2211()2()14xh x a f x ⎡⎤==+⎢-⎣⎦令，则，其对称轴为，2,[1,2]xt t =∈21(),[1,2]4y t a t =+∈t a =-①当，即时，此时单调递减，2-≥a 2a ≤-21(),[1,2]4y t a t =+∈∴，即，minmax 2()()h x h x >22112(2)(1)44a a ⋅+>+解得或，3a <-3a >-+∴；3a <-②当，即时，此时先减后增左端点高，322a ≤-<322a -<≤-21(),[1,2]4y t a t =+∈∴即，无解；minmax 2()()h x h x >2120(1)4a ⋅>+③当，即时，此时先减后增右端点高，312a <-<312a -<<-21(),[1,2]4y t a t =+∈∴即，无解；minmax 2()()h x h x >2120(2)4a ⋅>+④当，即时，此时单调递增，1a -≤1a ≥-21(),[1,2]4y t a t =+∈∴即，minmax 2()()h x h x >22112(1)(2)44a a⋅+>+解得或a <a >∴a >综上，.(),3a ∈-∞-+∞【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题.。