同角三角函数的基本关系与诱导公式高三数学第一轮复习教案 人教版
同角三角函数的基本关系与诱导公式高三数学第一轮复习教案
【复习目标】
1. 掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；
2. 能运用这些公式进行求值、化简与证明．
【双基诊断】
1、已知3sin5mm，42cos5mm（2），则tan （ ）
()A423mm ()B342mm ()C512 ()D34或512
2、化简sintantan(cossin)cotscc
3、化简8sin1=_________.
4、若sinsin1=cossin1，则的取值范围是_______.
5、已知2sinsin1，求243coscos2sin1的值．
6、设cos=t，则tan（π－）等于
A.tt21 B.－tt21 C.±tt21 D.±21tt
7、已知cos=31，且－2π＜＜0， 求tancosπ2sinπcot）（）（）（的值.
8、若tan2，求值①cos,sin； ②cossincossin；
③ 222sinsincoscos； ④cossin。
9、已知是三角形的内角，且137cossin ，则tan ．
10、已知sin+cos=51，那么角是第______象限的角.
11、已知x是锐角，求函数)cos34)(sin34(xxy的最小值。
12、若cos130a，则tan50 （ ）
()A21aa ()B21aa ()C21aa ()D21aa
13、设)cos()sin()(xbxaxf，如果0)2007(f，则)2008(f 。
14、已知1cos(75)3，是第三象限角，求cos(15)sin(15)的值．
15、已知32,cos(9)5，求11cot()2的值．
16、若(cos)cos2fxx，(sin15)f （ ）
()A12 ()B12 ()C32 ()D32
17、已知sinβ=31，sin（+β）=1，求sin（2+β）的值.
【深化拓展】
1．znnn414cos414sin化简
2．已知23cos23sin和cos2cos3，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值。
3．已知函数xxbxaxfcossincos22且23213,20ff
（１） 求使2xf的x的集合；
（２） 若k， Zk，且ff，求tan的值．
【回顾思悟】
【答案提示】
1、略解：由22342()()155mmmm得8m或0m（舍），∴5sin13，
∴5tan12．
2、分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式sinsinsin(cossin)cossincos1cossinsin．
3、解析：8sin1=24cos4sin）（=|sin4－cos4|=sin4－cos4. 答案：sin4－cos4
4、解析：∵sinsin1=|cos|sin1=cossin1，
∴cosα＞0.∴α∈（2kπ－2π，2kπ+2π）（k∈Z）.
答案：α∈（2kπ－2π，2kπ+2π）（k∈Z）
5、解：由题意，22sin1sincos，
∴原式223sinsin2sin1sin1cos1sinsin22．
6、解析：tan（π－α）=－tanα=－cossin.
∵cosα=t，又∵sinα=±21t，∴tan（π－α）=±tt21. 答案：C
7、剖析：从cosα=31中可推知sinα、cotα的值，再用诱导公式即可求之.
解：∵cosα=31，且－2π＜α＜0，∴sinα=－322，cotα=－42.
∴原式=tancossincot）（）（=sinsincot=－cotα=42.
评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一.
8、解：（1）①原式sin112cos322sin121cos．
②∵2211cos1tan3，∴原式2221cos(2tantan1)3．
9、已知1sincos(0)5，则tan34． 11、解析：两边平方得1+2sinαcosα=251，∴sinαcosα=－2512＜0.
∴α是第二或第四象限角.答案：第二或第四
11、解：y=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx，令sinx+cosx=m则m∈（1，]2，并且有sinxcosx=212m,从而有y=27)34(292m，易得ymin=27。
12、若cos130a，则tan50 （ D ）
13、设)cos()sin()(xbxaxf，如果1)2006(f，则)2007(f 1 。
14、解：∵是第三象限角，∴36025575360345kk（kZ），
∵1cos(75)3，∴75是第四象限角，∴2122sin(75)1()33，
∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3．
15、3cos()cos(9)5，∴3cos5，
∵2，∴4sin5，sin4tancos3，
∴1134cot()cot()tan223．
16、若(cos)cos2fxx，(sin15)f （ D ）
17、剖析：由已知sin（α+β）=1，则α+β=2kπ+2π，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之.解：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+2π.
∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=31.
评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系.
1．解：原式=4cos4sinnn
（1）当n为奇数时，设zkkn12，
则原式=42cos42sinkk
=04cos4cos4cos4sin。
（2）当n为偶数时，设zkkn2，同理可得原式=0。
2．解：已知条件可化为)2(cos2cos3)1(sin2sin，两式平方相加可得 sin2α+3cos2α=2，即sin2α=21，sinα=±22，∵0＜α＜π，∴sinα=22，
∴α=4或43，分别代入（2）可求得cosβ=23或cosβ=－23，
又0＜β＜π，∴β=6或β=65；因此α=4，β=6或α=43，β=65。
点评：已知三角函数值求角一定要考虑角的范围。
3．解：（１）由232143213,220bafaf解得2,1ba，从而
12cos2sinxxxf,142sin2x由2xf，
得2242sinx4324242kxk
所以Zkkxkx,4|
（２）142sin2,142sin2ff
由ff，得,42sin242sin2
42242k 或 )42(242kZk
即kZk（不合题意，舍去），或,4kZk1tan
【同步训练】
1、化简sin()cos()44= 。
1、解：（1）原式sin()cos[()]424sin()sin()044．
2、已知tan110°=a，则tan50°=_________.
解析：tan50°=tan（110°－60°）=60tan110tan160tan110tan=aa313. 答案：aa313
3、若sintancot()22，则 （ B ）
()A(,)24 ()B(,0)4 ()C(0,)4 ()D(,)42
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：sin αcos α＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α
cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限
概念方法微思考
1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？
提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．
2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示 所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.( × )
题组二 教材改编
2．若sin α＝55，π2
答案 －12
解析 ∵π2
∴cos α＝－1－sin2α＝－255，
∴tan α＝sin αcos α＝－12.
3．已知tan α＝2，则sin α＋cos
αsin α－cos α的值为 ．
答案 3
解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.
4．化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三章 三角函数、解三角形
同角三角函数的基本关系与诱导公式
教材回顾▼夯实基础
Ml谋梳理严
1. 同角三角函数的基本关系式
(1) 平方关系：sin2 a +cos2 a =1(«GR)；
(2) 商数关系：tan a =订—A：eZ 课本温故追根求源
2.六组诱导公式
函IK 2眛+
a(k G Z) 7t+a —a it—a 兀
2 2 +a
正弦 sin a —sin a —sin a sin a cos a cos a
余弦 cos a —cos a cos a —cos a sin a —sin a
正切 tan a tan a —tan a —tan a X X
k兀
“亍土 a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不
变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,
正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符 号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。为锐角时 原函数值的符号”.对于角
匿0【做二微〕
,贝0 sin x = 2 .
、 JI
解得sin x= -1±^5
2
因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^|
解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿
所以 sinx=cos2x,所以 sinL+sin x—1=0,
2. tan 690° 的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30'
=tan(—30° )=—tan 30°3 •
3 +2X360° )
3.已知cos
12
=T
解析：因为cos 13’ 角a是第二象限角、则tan(2 —a)
角a是第二象限角，故sin a =
12 0
所以tan 12 故 tan（2 兀—a）=—tan 12
要會厂
1.必明辨的2个易错点
(1) 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意
高考数学一轮复习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 (2)
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
最新考纲
考向预测
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.
核心素养 数学运算
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．
(2)商数关系：tan x＝sin xcos x其中x≠kπ＋π2，k∈Z.
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 α＋2kπ
(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 2．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z.
(3)sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；
cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.
常见误区
1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．
同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案
同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案
教学目标：
1.掌握同角三角函数的基本定义及其性质；
2.理解同角三角函数之间的基本关系；
3.利用同角三角函数的基本关系和诱导公式解决实际问题。
教学重点：
1.同角三角函数的基本定义的理解与应用；
2.同角三角函数之间的基本关系的掌握与应用。
教学难点：
1.同角三角函数的基本关系的推导过程；
2.同角三角函数的应用问题的解决。
教学过程：
一、复习
1.让学生回顾三角函数的基本定义及其性质。
二、引入
1.提问：在之前的学习中，我们已经学习了不同角度上的三角函数，那么，如果两个角度相等，它们的三角函数是否相等呢？
2.引导学生思考：同角三角函数指的是角度相同的两个三角函数。根据角度相等，我们可以猜测同角三角函数之间可能存在一些关系。 三、同角三角函数的基本关系
1.讲解：让我们回忆一下，三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、余切这七个函数，它们分别由一个角所决定，对应在单位圆上的点的坐标值。
2.补充：这七个函数之间存在一些基本关系。让我们来总结一下：
- 正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)；
- 余切函数：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)；
- 正割函数：sec(θ) = 1 / cos(θ)；
- 余割函数：csc(θ) = 1 / sin(θ)；
- 隐含关系：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1；
- 隐含关系：1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)；
- 隐含关系：1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)。
四、同角三角函数的诱导公式
1.引导学生思考：从上述的基本关系中，我们是否可以得到其他同角三角函数之间的关系呢？
2.讲解：根据角度和三角函数的性质，我们可以推导出同角三角函数的诱导公式。
- sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
高三数学第一轮复习 —同角三角函数的基本关系与诱导公式教案
城东蜊市阳光实验学校一．课题：同角三角函数的根本关系与诱导公式
二．教学目的：1．掌握同角三角函数的根本关系式及诱导公式；并能运用这些公式进展求值、化简与证明．
三．教学重点：公式的恰中选用及利用公式时符号的正确选取．
四．教学过程：
〔一〕主要知识：
1．同角三角函数的根本关系式：
〔1〕倒数关系：tancot1；
〔2〕商数关系：sincostan,cotcossin；
〔3〕平方关系：22sincos1．
2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．
〔二〕主要方法：
1．利用同角三角函数的根本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；
2．学会利用方程的思想解三角题，对于sincos,sincos,sincos三个式子中，其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．
〔三〕例题分析：
例1．化简sintantan(cossin)cotscc
分析：切割化弦是解此题的出发点． 解：原式sinsinsin(cossin)cossincos1cossinsin．
例2．化简〔1〕sin()cos()44；
〔2〕32,cos(9)5，求11cot()2的值．
解：〔1〕原式sin()cos[()]424sin()sin()044．
〔2〕3cos()cos(9)5，∴3cos5，
∵2，∴4sin5，sin4tancos3，
∴1134cot()cot()tan223．
例3．〔1〕假设tan2，求值①cossincossin；②222sinsincoscos．
〔2〕求值66441sincos1sincosxxxx．
第16节 同角三角函数关系与诱导公式(讲案)——2022届高三数学一轮复习
1 / 22
诱导公式与同角三角函数关系式（讲案）
【教学目标】
本节内容 目标层级 是否掌握
应用平方关系求解两类知一求二问题 ★★★☆☆☆
应用商数关系处理正切相关问题 ★★★★☆☆
应用平方、商数关系式处理化简及证明问题 ★★★★☆☆
诱导公式的识别与应用 ★★★★☆☆
一、应用平方关系知一求二、应用商数关系求正切相关问题
【知识点】
同角三角函数的基本关系
1.
平方关系：1cossin22.
2. 商数关系：),2(cossintanZkk．
3.利用平方关系求三角函数值,对于一般形如sincosabc方程的求解，一般联立22sincos1求解
4.根据商数关系解决分式一次齐次和二次齐次型问题.
对于形如：sincossincosaxbxcxdx(一次齐次型)，可通过分子分母同除cosx，转化为正切式
对于形如：2222sincossincossincossincosaxbxcxxdxexfxx（二次齐次型），可通过分子分母同除2cosx，转化为正切式.
【例题讲解】
sincostanxxx、、的知一求二
★☆☆例题1．已知817cos＝－，求sintan，的值． 2 / 22
【答案】：1517；158
【解析】：1087cos＝－＜，
是第二或第三象限的角．
如果是第二象限角，那么=sin21=cos＝281171517，
tan＝sincos1517817158
如果是第三象限角，同理可得=sin21=cos1517,158tan.
★☆☆练习1．已知角的终边经过点(3,)Py，且0y，3cos5，则tan（ ）
A．34 B．34 C．43 D．43
【答案】：C
【解析】：由题意，角的终边经过点(3,)Py，且0y，则233cos59y，
2014届高三数学总复习 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式教案 新人教A版
1 2014届高三数学总复习 3.3三角函数的图象和性质教案 新人教A版
考情分析 考点新知
① 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
② 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
① 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝ tanα.
② 理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，π2±α].
1. (必修4P16例1改编)α是第二象限角，tanα＝－815，则sinα＝________．
答案：817
解析：由sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝－815，解得sinα＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sinα>0，∴ sinα＝817.
2. cos－523π＝________．
答案：－12
解析：cos－52π3＝cos52π3＝cos(17π＋π3)＝－cosπ3＝－12.
3. sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．
答案：2
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
4. (必修4P21例题4改编)已知cos5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cosπ12－α＝________．
答案：－223
解析：cosπ12－α＝cos[π2－5π12＋α]
＝sin5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜
－π12.所以sin512π＋α＝－223，所以cosπ12－α＝－223.
2 5. (必修4P22习题9(1)改编)已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cos()π－θsinπ2＋θ－sin（π－θ）＝__________．
2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理含解析北
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- 1 - / 11 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
命题分析预测 学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主． 本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用．
授课提示：对应学生用书第63页
知识点一 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
（2）商数关系：tan α＝sin αcos α．
•温馨提醒•
同角三角函数关系式的常用变形
（sin
α±cos α）2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan α·cos α．
1．已知α为第二象限角，化简：cos α1－sin α1＋sin α＋sin
α1－cos α1＋cos α＝（ ）
A．sin α＋cos α B．sin α－cos
α
C．1＋sin α D．1－sin α
解析：原式＝cos α（1－sin α）2cos2α＋sin α（1－cos α）2sin2α
＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|
＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α
＝sin α－cos α．
答案：B
2．若sin α＝55，π2
- 2 - / 11 解析：因为π2
所以tan α＝sin
αcos α＝－12．
答案：－12
3．已知tan
α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos
α的值为_________．
解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3．
答案：3
知识点二 诱导公式
组数 一
二 三 四 五 六
角 2kπ＋α
（k∈Z） π＋α －α π－α π2－α π2＋α
高中数学第12讲 同角三角函数关系及诱导公式(教案)新人教版必修1
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1 / 6 第十二讲同角三角函数关系及诱导公式
知识要点：
1.同角三角函数基本关系：
〔1〕基本关系：
①平方关系:sin2＋cos2＝12211tancos
②商数关系:tan＝sincos〔≠k＋2，k∈Z〕；cot＝cossin〔≠k，k∈Z〕．
③倒数关系: 1tancot〔12k〕
〔2〕常用变换形式:
〔1〕根据这三大关系，假设一个角的位置，及其一个三角函数值，那么一定能求出其余的三角函数值．
〔2〕几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式：
〔1〕基本关系
〔一〕2k 〔二〕 〔三〕
〔四〕 〔五〕2 〔六〕2
正弦 sin sin sin sin
cos cos
余弦 cos cos
cos cos sin sin
正切 tan tan tan tan /
/
〔2〕记忆及运用方法：
①六组诱导公式统一为“()2kkZ〞，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正大化小小化锐，表达了化归思想。
(1)利用诱导公式〔三〕将负角的三角函数变为正角的三角函数.
(2)利用诱导公式〔一〕化为0°到360°间的角的三角函数.
(3)进一步转化成锐角三角函数.
二.基础练习
1.化简1－sin24 的结果为－cos4
2.化简sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ= 1
3.tanθ＝2aa2－1 (其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，那么cosθ的值是a2－1a2＋1
4.化简：2－sin221°－cos221°＋sin417°＋sin217°·cos217°＋cos217°
解：原式＝2－〔sin221°＋cos221°〕＋sin217°〔sin217°＋cos217°〕＋cos217°
2015届高三数学一轮复习教案：2同角三角函数关系 诱导公式 必修四
必修Ⅳ－02 同角三角函数关系 诱导公式
知识填空：
1、同角三角函数的平方关系： .
2、同角三角函数的商数关系：tan ,2kkZ；
变形式：sin ；cos .
3、设角为任意角，角的终边与单位圆相交与,Pxy.则角终边与单位圆的交点1P的坐标是 ，角的终边与单位圆的交点2P的坐标是 .
4、诱导公式：
公式二：
sin cosa tan
公式三：
sin cosa tan
公式四：
sin cosa tan
公式五：
sin2 cos2a tan2
公式六：
sin2 cos2a tan2
识记方法：把看成锐角，奇变偶不变，符号看限象.
例题分析：
1、已知1tan,sin,cos.3求
222tan2,sincos1 2sincossinsincoscos、已知求:1
13sincos,5 1sincos 2tanABCAAAAA、在中：求：