2013届高考数学一轮复习讲义：9[1].9 圆锥曲线的综合应用
高考一轮复习教案九(8)二次曲线综合问题(教师)文科用
努力的你，未来可期!
公众号：小升初数学压轴题天天练 模块： 九、二次曲线
课题： 8、二次曲线综合问题
教学目标： 掌握圆锥曲线的定义、标准方程和简单几何性质；
了解圆锥曲线的初步应用．
重难点： 圆锥曲线的初步应用．
一、 知识要点
解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识．反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的．
具体来说，有以下三方面：
（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法．有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口．
（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识．
（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题．在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号．
二、 例题精讲
例1、O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b0,0ab，且交抛物线220ypxp于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：11y+21y=b1；
（3）当2ap时，求∠MON的大小．
答案：（1）ax+by=1；（2）略；（3）90°．
努力的你，未来可期!
公众号：小升初数学压轴题天天练 例2、已知椭圆C的方程为22221xyab0ab，双曲线22221xyab的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．
第4讲+圆锥曲线之张直角弦及应用+讲义——2024届高三数学一轮复习
第4讲 圆锥曲线论之张直角弦及其应用
一、 知识点
1. 张直角弦
（1） 与中心的张角为直角的弦（倾斜角）；
（2） 与中心的张角为直角的弦（离心角）；
（3） 与顶点的张角为直角的弦（倾斜角）；
（4） 与顶点的张角的直角的弦（离心角）；
2. 其他：互相垂直的弦中点所在直线过定点
【题型1 与中心的张角为直角的弦（倾斜角）】
例1 设椭圆E：，过点,两点，O为坐标原点
（1） 求椭圆E的方程
（2） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且,若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由；
（3） 求的取值范围；
（4） 求的取值范围；
【题型2 与中心的张角为直角的弦（离心角）】
（1） 例2 已知椭圆,过原点的两条直线和分别与椭圆交于A,B和C,D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，设和的斜率之积为，求面积S的值。
（2） 已知椭圆C：的离心率为,短轴长为2，若A,B是椭圆上两个动点，O为坐标原点，OA,OB的斜率分别为,问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
（3） 已知椭圆C：的右顶点为N，长轴长为，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且重心的横坐标为，的面积为，直线与椭圆C交于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB，且，试判断是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由。
例3 已知椭圆C：,动圆P：(圆心P 为椭圆C上异于左右顶点的任意一点)，过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M,N两点，且切线长的最小值为
（1） 求椭圆C的方程
（2） 求证：的面积为定值
（3） 求证：为定值
例4 已知直线与椭圆C:交于两不同点，且的面积，其中O为坐标原点。
（1） 证明：和均为定值；
（2） 设线段PQ的中点为M，求的最大值
（3） 椭圆C上是否存在点D,E,G，使得，若存在，判断三角形DEG的形状，若不存在，请说明理由。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F2F1OyxBA解析几何
专题三：圆锥曲线面积问题
一、知识储备
1、三角形面积问题
直线AB方程：ykxm 0021kxymdPHk
00002211122'2'1ABPkxymkxymSABdkAAk
2、焦点三角形的面积
直线AB过焦点21,FABF的面积为
112121212'ABFcSFFyycyyA
2222222222222224()11||S=||d22AOBabaAbBCCABABaAbBAB
2222222222()CabaAbBCaAbB
注意：'A为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数
3、平行四边形的面积
直线AB为1ykxm，直线CD为2ykxm
1221mmdCHk
222222121212''11()41()41'''BCABkxxkxxxxkkAAA
1212221''1ABCDmmmmSABdkAAk
注意：'A为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.
4、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数 CDHOyxBA均值不等式 222(,)abababR
变式：22(,);()(,)2ababababRababR
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）2226464tSttt（注意分0,0,0ttt三种情况讨论）
（2）224222121212333196123696kABtkkk
当且仅当2219kk时，等号成立
（3）222220000222200002592593425934225964925925yxyxPQxyxy
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用
第二课时 圆锥曲线的综合应用
考点一 最值范围问题|
(2015·高考浙江卷)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
[解] (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.
由 x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.
因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2>0，①
设M为AB的中点，则M2mbm2＋2，m2bm2＋2，代入直线方程y＝mx＋12解得b＝－m2＋22m2.②
由①②得m<－63或m>63.
(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，
则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，
且O到直线AB的距离d＝t2＋12t2＋1.
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤22，
当且仅当t2＝12时，等号成立． 故△AOB面积的最大值为22.
(1)最值问题的求解方法：
①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．
③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．
(2)求参数范围的常用方法：
①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点在y轴上，抛物线上的点(x0,1)到焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的标准方程；
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1
第九节 圆锥曲线的综合问题
第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题．
(2)理解数形结合的思想．
(3)了解圆锥曲线的简单应用．
2．定值(定点)与最值问题
理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．
3．存在性问题
能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即 Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点． [自测练习]
1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，故选C.
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (1)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何
9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
题型一 探索性问题
例1 已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与C2：y29－x23＝1有相同的渐近线，点F(2,0)为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点．
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵C2的渐近线方程为y＝±3x，
∴ba＝3，
∵c＝a2＋b2＝2，∴a＝1，b＝3，
∴双曲线C1的标准方程为x2－y23＝1.
(2)由已知，A(－1,0)，B(1,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
l过点F(2,0)与右支交于两点，则l斜率不为零，
设l：x＝my＋2，由 x2－y23＝1，x＝my＋2，消元得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
∵l与双曲线右支交于两点，
∴ 3m2－1≠0，y1y2＝93m2－1<0，解得m∈－33，33，
Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，
∴y1＋y2＝－12m3m2－1，y1y2＝93m2－1，
∵k1＝y1x1＋1，k2＝y2x2－1≠0，
∴k1k2＝y1x2－1y2x1＋1＝y1my2＋1y2my1＋3＝my1y2＋y1my1y2＋3y2，
∵y1＋y2y1y2＝－12m9＝－4m3，
∴my1y2＝－34(y1＋y2)，
∴k1k2＝－34y1＋y2＋y1－34y1＋y2＋3y2＝14y1－34y2－34y1＋94y2
＝－13，
∴存在λ＝－13使得k1＝λk2.
教师备选
(2022·洛阳模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为33，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为2.
高考数学一轮复习讲义 第58课时 圆锥曲线的综合问题 理
451 课题：直线和圆锥曲线的综合问题
考纲要求：1.理解数形结合的思想.2.了解圆锥曲线的简单应用.
教材复习
1.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理 .
2.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否
有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便.
3.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.
4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算：1连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；2易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；3一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：
2222121212()()(1)()dxxyykxx＝2212))(11(yyk.
5.涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设11,Axy、22,Bxy，00,Pxy是直线与圆锥曲线的两个交点，O为坐标原点，则OAOB12120xxyy，
APBP010201020xxxxyyyy
6.解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算.
基本知识方法
1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.
[精品]新高三高考数学一轮复习12.4圆锥曲线共同性质及应用优质课教案
12.4圆锥曲线的共同性质及应用
【知识网络】
1．用联系的观点看圆锥曲线的共同性质．
2．学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用．
3．进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想．
【典型例题】
[例1] （1）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
（2）曲线221(6)106xymmm与曲线221(59)59xymmm的 （ ）
A．焦距相等 B． 离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同
（3）双曲线12222byax的离心率为1e，双曲线12222axby的离心率为2e，则1e+2e的最小值为（ ）
A．24 B．2 C．22 D．4
（4）已知椭圆mx2+ny2=1与双曲线px2－qy2=1（m,n,p,q∈R+）有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|²|PF2|= ．
（5）若方程（1－k)x2＋(3－k2)y2=4表示椭圆，则k的取值范围是 ．
[例2] 双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线y=x3为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当12PQQAQB，且3821时，求Q点的坐标.
[例3] 已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C2的方程；
(2) 若直线l：2kxy与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围。
数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析
20211析新人教B版
- 1 - 第九节 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 考情分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．
2．了解圆锥曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想. 1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．
2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．
3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的20211析新人教B版
- 2 - 一元方程．
即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。
（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则
|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!
＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.
知识点二 圆锥曲线中的最值与取值范围问题
圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：
1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；
2．利用三角函数有界性求最值；
3．数形结合利用几何性质求最值． 20211析新人教B版
- 3 - 知识点三 圆锥曲线中的定值与定点问题
高三数学高考一轮复习系列教案第八章 圆锥曲线 大纲版
第八章 圆锥曲线
知识结构
高考能力要求
1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．
2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．
3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．
4．了解圆锥曲线的初步应用．
高考热点分析
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：
1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．
②圆锥曲线的几何性质的应用．
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．
3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．
4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．
高考复习建议
1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．