圆锥曲线第二定义
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
2
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2 d2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
M2 x F1
d2
F1
.
.Hale Waihona Puke 的距离为14，求P点到右准线的距离.
2a 2 分析 : 两准线间距离为 c 法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a 8, b 6, c 10, e d a 4 4 56 2a 2 2 64 64 d 14 又 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 P到右准线的距离为 d 24 c 5 5
7
例4 若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛 2 物线 y 2 x 的焦点，点M 在抛物线上 移动时，求|MA|+|MF |的最小值，并求 y 这时M 的坐标.
l
d
N
M o F x
A
1 2
8
例5.已知A（-1,1),B（1,0),点P在椭圆
x y 1 上运动，求|PA|+2|PB|的 4 3
(6) x 2 16 y
(5) y 16 x
2
注:焦点与准线的求解:判断曲线的类别→确定焦点 的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方程.
5
x2 y2 1 例2：已知双曲线 64 36
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线
的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离
为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，
所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得
| PF2 | e d
1 所以d= |PF2|=24 e
例3已知双曲线
x2 y2 上一点 1 P到左焦点 64 36
高中数学选修2-1第二章《圆锥 曲线与方程》
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线统一定义(第二定义)
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
2 2
最小值。
P
A
·
O
C ·
· B
9
例6. 已知P为双曲线 右支上 的一个动点，F为双曲线的右焦点，若点 A的坐标为 (3,1) ，则 2 | PA | 3 | PF | 的 最小值是__
y
x2 y2 1 3
D
P A
O F
x
x2 y2 2 2 设椭圆 a （a>b>0） 的右焦点 b =1
F2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
| PF1 | | PF2 | e 定义式: d1 d2
3
例1.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x2 y2 (1) 1 25 9 x2 y2 (3) 1 25 9
(2)4 x y 16
2 2
(4)4 y 2 x 2 16
为F ， 右准线为 l1， 若过 F1 且垂直于 x
1
轴的弦的长度等于 F1 到准线 l1 的距离， 求椭圆的离心率。
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线简介
则点P的轨迹是一个圆
定比内,外分点M,N的连线段是阿氏圆的一条直径
椭圆的第一定义 d点点 d点点 常数(2a)
(1)取一条细绳， (2)把细绳的两端固定在两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在板上慢慢移动……
椭圆的第二(统一)定义：
d点点 常数(e) 1 d点线
到定点与定直线的距离之比是一个小于1的常数的点之轨迹
过焦点的弦称为焦点弦; 焦点弦与对称轴垂直时称通径 ⑦极点与极线……参§63
③三种方程：
普通方程 f (x, y) 0
特殊式(标准式) 一般式 线系
参数方程
x f (t)
y
h(t)
极坐标方程 f (, ) 0
向量方程，复数方程…
④曲线间的位置关系：
点点
两点：点点距离公式 线段中点坐标公式
公式方程形变数 两zhi两巧数论形 两种定义三方程 曲直关系是重点
①两大任务： 形变数；数论形
公式法
a. 形
数
方程法
b. 数
性质、位置
形
技巧1：设而不求
技巧2：定义要当性质用
公式方程形变数 两zhi两巧数论形 两种定义三方程 曲直关系是重点
②两种定义： ——核心词：距离如何如何……
第一定义
圆
d点点 常数(r)
§174 圆锥曲线简介
一、解析几何概述
1. 何谓解析几何 2. 解析几何概述
①解几研究的对象 ②解几的两大任务 ③解几的基础
二、圆锥曲线概述
1.释名 ①圆锥曲线
②二次曲线 2.内容 3.定义
①第一定义 ②第二(统一)定义
高中数学研究的主要内容
确定关系
关系
专题六 第2讲 圆锥曲线的方程与性质
易错提醒
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参 数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线 中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意 焦点位置.
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± 22x，实轴长为 4，则该双曲 线的方程为
cos∠AF1B＝|AF1|22＋|AF|B1F|·|1B|2F－1||AB|2 ＝4m22＋·29mm·23－m9m2＝13，
在△AF1F2中， cos∠F1AB＝|AF1|22＋·|A|AFF1|2·||2A－F|2F| 1F2|2 ＝4m22＋·2mm2·－m 4c2＝cos∠AF1B＝13，
即 cos∠NMM′＝|M|MMN′| |＝ 55，
所以 cos∠OFA＝cos∠NMM′＝ 55， p
而 cos∠OFA＝||OAFF||＝
2＝ 2p2＋22
55，解得
p＝2.
(2)( 多 选 )(2022·新 高 考 全 国 Ⅱ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 过 抛 物 线 C ： y2 ＝
对于 B，由选项 A 的分析，知直线 AB 的方程为 y＝2 6x－p2， 代入 y2＝2px，得 12x2－13px＋3p2＝0，解得 x＝34p 或 x＝13p， 所以 xB＝13p，所以 yB＝－ 36p，所以|OB|＝ x2B＋y2B＝ 37p≠|OF|，故 B 不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析， 得|AB|＝xA＋xB＋p＝1123p＋p＝2152p>2p，即|AB|>4|OF|，故 C 正确； 对于 D，易知|OA|＝ 433p，|AM|＝54p，
在抛物线 C 上，射线 FM 与 y 轴交于点 A(0,2)，与抛物线 C 的准线交于
高中数学选修2-1第二章圆锥曲线
2
2
y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
x2 y2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
抛物线的标准方程： 抛物线的标准方程：
y2 x2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
y2 = ±2px ( p > 0)
动 M 一 定 F的 离 它 一 定 线的 离 比 点 与 个 点 距 和 到 条 直 l 距 的 是 数e， 常 l d .M
l
d
.M .
F
l
d.M
.
.
e >1
F
F
0 <e <1
e =1
定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .
椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程：
x y + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
3．双曲线的几何性质：以 ．双曲线的几何性质： x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几 表示的双曲线为例， ＞ 表示的双曲线为例 何性质如下： 何性质如下： (1)范围：x≤-a，或x≥a 范围： 范围 ， (2)关于 轴、y轴、原点对称， 关于x轴 轴 原点对称， 关于 (3)两顶点是 ±a,0)(4)离心率 两顶点是(± 两顶点是 离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为 ∈ 渐近线方程为 y=±bx/a，准线方程是 ±a2/c ± ，准线方程是x=±
椭圆 圆 锥 曲 线
定义 标准方程
双曲线
几何性质
抛物线
直线与圆锥曲线 的位置关系
初中数学教案二：圆锥曲线的定义与性质
初中数学教案二：圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是数学中比较重要的一个分支，它广泛应用于科学研究和工程实践中。
圆锥曲线的研究从古希腊时期开始，经过了数学家们几百年的演化和发展，逐渐形成了现代的概念和应用。
在初中数学课程中，圆锥曲线属于高阶知识，需要认真学习和掌握。
本篇教案将介绍圆锥曲线的定义和性质，让学生们对其有更深刻的认识。
第一部分：圆锥的定义及分类圆锥是一个以一个点（顶点）和一个平面（底面）为基础构成的几何体。
具体来说，如果一个平面旋转围绕着一个点，且平面的边缘恰好接触一个相同形状的固定平面，那么就可以形成一个圆锥体。
圆锥根据底的形状分为三种类别：圆锥、椭圆锥和双曲线锥。
圆锥是指底面为圆形的圆锥体。
当顶点在底面圆中心上方时，所得的圆锥称为正圆锥；当顶点在底面圆中心下方时，所得的圆锥称为斜圆锥。
椭圆锥是指底面为椭圆形的圆锥体。
椭圆锥的顶点和底面椭圆的中心在一条垂线上。
双曲线锥是指底面为双曲线形状的圆锥体。
双曲线锥的顶点和底面双曲线的中心也在一条垂线上。
第二部分：圆锥曲线的定义在圆锥体上作一切截面，所得的所有曲线统称为圆锥曲线。
圆锥锥轴上与圆锥面交点称为圆锥顶点，圆锥锥轴在底面上的投影称为圆锥的底圆。
下面分别介绍三种不同的圆锥曲线。
1.椭圆曲线：从圆锥的顶点通过圆锥的底面所得的曲线。
椭圆曲线是可交曲线，可以分为两支曲线，中心称为椭圆中心，两焦点分别在椭圆中心两侧。
2.双曲线曲线：从圆锥的顶点通过圆锥的底面所得的另一曲线。
双曲线是非交曲线，可以分为两支曲线，中心称为双曲线中心，两焦点分别在双曲线中心两侧。
3.抛物线曲线：从圆锥的顶点沿着一条水平线或者与底面平行的平面所得的曲线。
抛物线是单支曲线，不包含中心和焦点。
第三部分：圆锥曲线的性质熟练掌握圆锥曲线的性质，对于学习后续的数学知识和应用非常有帮助。
下面介绍圆锥曲线的几个重要属性。
1.对称性：圆锥锥轴是圆锥曲线的对称轴。
可以利用圆锥曲线的对称性简化问题和计算。
人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结
2 G 圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。
(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2= 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.（1）求m2+k2的最小值；（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；②试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x，y），Q（x，112y△2）两个不同点，且OPQ的面积△SOPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+ 和 + 均为定值；（2）设线段 PQ 的中点为 M ，求∣OM ∣·∣PQ∣的最大值；（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G ，使得 △S OD E= △S OD G= S △OEG= ？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009 年山东卷)设 m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a =(mx,y+1),向量 b =(x,y-1),a⊥b ,动点 M(x,y)的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于 A ,且 l 与轨迹 E 只有1一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.11 1一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
人教A版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线定义(复习课)课件
例2 :已知动点P(x,y) 满足 5 (x 1)2 (y 2)2 3x 4y 12
则P的轨迹是＿抛＿＿物线
分析：
（x -1)2 ( y 2)2 1
3x 4y 12
5
变1: 已知动点P(x,y) 满足 5 (x 1)2 (y 2)2 3x 4y-11
则P的轨迹是＿直＿＿线
变2: 已知动点P(x,y) 满足 m (x 1)2 (y 2)2 3x 4y 12
变式1：若动点M（x,y）到定点F1（-4，0）和F2（4，0） 的距离 的和为8，则动点M的轨迹是＿线＿段＿F＿1F＿2 ＿。
变式2：若动点M（x,y）到定点F1（-4，0）和F2（4，0） 不存在的
的距离 的和为6，则动点M的轨迹是＿＿＿＿＿＿。
变式3：方程 x 2 (y 4 )2x 2 (y 4 )2 10 表示的
变式2：若动点M（x,y)与定点F(2,3)和定直线l: x+y-2=0的 距离相等，则M点的轨迹是＿＿以＿F＿（＿2，＿3＿）＿为＿焦点， ＿＿直＿线＿x+＿y＿-2=＿0＿为＿准＿线＿的＿抛＿物＿线。
4
y
P
O1
O2
PO1 2 R
PO2 10 R
PO1 PO2 12 O1O2 6
MF1 MF1 2a 0 2a F1F2
3、抛物线的定义
l
平面内到定点F的距离和到定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨 迹叫做抛物线
MF d F为焦点，d为动点M到准线l的距离
M
F2
M
F2
d .M .
F
二、定义辨析
例题1：已知A（－2，0）， B（2，0），动点M（x，y）满足
则
x
方程为x2 y2 1
备战2025年高考二轮复习数学课件：解析几何 培优拓展-椭圆的第二、第三定义
3≤x0≤ 3),所以02 ∈[0,3],所以|PF1|·|PF2|
角度二
第三定义
例2已知A,B是椭圆
2 2
+ 2
2
=1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x
轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值
为1,则椭圆的离心率为
1
,
2
[对点训练 2](2022 全国甲,理 10)椭圆
x2
C:a 2
+
y2
=1(a>b>0)的左顶点为
b2
P,Q 均在 C 上,且关于 y 轴对称,若直线 AP,AQ
1
的斜率之积为4,则
为( A )
A.
3
2
B.
2
2
1
C.2
1
D.3
A,点
C 的离心率
解析 如图,设右端点为 B,连接 PB,由椭圆的对称性知 kPB=-kAQ,故
1
1
1
∠P2F2P3=∠P3F2P1,F2 为右焦点,则| | + | | + | |=
1 2
2 2
3 2
3
2
.
解析 如图,设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),x 轴正半轴到 P1F2 的角为 θ,则由题意
得 x 轴正半轴到 P2F2 的角为
2π
θ+ 3 ,x
轨迹为椭圆(不含两定点).
椭圆第二定义在处理焦半径与椭圆外线段(距离)和最值问题时有很大优
势,第三定义则适用于快速解决椭圆的中点弦、中心弦问题.如能合理利用
题高考数学第题圆锥曲线知识点大全
高考数学第20题：圆锥曲线考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简洁几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简洁几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简洁几何性质． 考试要求：（1）驾驭椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）驾驭双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质． （3）驾驭抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质． （4）理解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线方程 学问要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第肯定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a b y a x =+.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.留意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆.⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程. 1. 双曲线的第肯定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±bya x 或02222=-b y a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：ca y 2±=. 渐近线方程：0=±b xa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的间隔 ）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by ax （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aex MF a ex MF -=+=0201 构成满意a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）asin α,)α)N 的轨迹是椭圆aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线22a y x ±=-离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-y a x 假如双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的间隔 为m = n ，则P 到两准线的间隔 比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121= =n m. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的间隔 等于b.三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的全部弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统肯定义..4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线l 的间隔 之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆双曲线抛物线 定义1．到两定点F 1,F 2的间隔 之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 1．到两定点F 1,F 2的间隔 之差的肯定值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的间隔 之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的间隔 之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的间隔 相等的点的轨迹. 图形方 程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) y 2=2px参数方程 为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) ,(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2(p F 焦距 2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e a ce )1(>=e a ce e=1准线x=ca 2±x=ca 2±2p x -= 渐近线y=±ab x焦半径ex a r ±=)(a ex r ±±= 2p x r +=附加常用结论：一、圆锥曲线的统肯定义(第二定义)：若平面内一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的间隔 之比等于一个常数)0(>e e ,则动点的轨迹为圆锥曲线。