高等数学向量代数与空间解析几何总结分解
高等数学之空间解析几何与向量代数PPT课件
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
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例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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高等数学第五章向量代数与空间解析几何
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
高等数学下空间解析几何与向量代数
一、向量的概念
向量：
既有大小又有方向的量.
向量表示：
模长为1的向量.
零向量：
模长为0的向量.
| |
向量的模：
向量的大小.
单位向量：
或
或
或
自由向量：
不考虑起点位置的向量.
相等向量：
大小相等且方向相同的向量.
负向量：
大小相等但方向相反的向量.
向径：
空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量.
二、向量的加减法
[1] 加法：
（平行四边形法则）
特殊地：若
‖
分为同向和反向
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
[2] 减法
三、向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
两个向量的平行关系
（2）分配律：
证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得
按照向量与数的乘积的规定，
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
例1 化简
解
结论得证.
证
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
与 平行且相等,
（注意与标量的区别）
向量的概念
（平行四边形法则）
向量的加减法
（注意数乘后的方向）
向量与数的乘法
四、小结
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
试用 表示平行四边形四边上对应的向量.思考题解答Fra bibliotek练 习 题
练习题答案
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
向量代数与空间解析几何
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R (0,0, z)
B(0, y, z)
C (x,0, z)
r
O
x P (x,0,0)
M y
Q (0, y,0)
A(x, y,0)
z
O x
坐标面 :
坐标轴 :
y
2. 向量的坐标表示
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法（数乘）
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之: λ a λ a
a 2a
1 a 2
例3 3 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
a
三角形法则:
abc ab b
ab b
a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．yxzOyxzAB C(,,)M x y z1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出以下各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求以下各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB 来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB ，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终ab Cabc =a +b点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1)a +b =b +a (交换律)．(2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-a b =OA BO BA =+=．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．abcda +b +c +daabb -a bBAC对于任意向量a ，b 以与任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法与数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与 a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记做a e ，即aa e a=.上式说明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA ,a AD =b AB =c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C图8-9解 ''AC AB BC CC =++'AB BC AA =++a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB 的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -． 2.3.2向量的坐标表示yxzOA B CM取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和． 事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 与NM 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-． 例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14 解 如图8-14，因为AM 与MB 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅，而122{,,}AM x x y y z z =---， 222{,,}MB x x y y z z =---222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当λ=1, 点M 的有向线段→AB x 2.3.3向量可以用它的模与方向来表示，设空间向量12a M M =分别为,,αβγ，规定： 0,0απ≤≤≤称,,αβγ为向量a 的方向角因为向量a 12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅{cos ,cos ,cos }a e αβγ=是与向量a 同方向的单位向量.而 a =M M =12,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a 的模为 x a a a =+2(8-2-3)从而向量a 的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角.解12(12,32,0(1,1,M M =--=-2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 22αβγ=-==； 23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e . 解 因为{74,10,35}{3,1,2},AB =---=-所以23AB == 于是 {}.e =2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知：(1)2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点与向量积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b 2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b ．在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =．(8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以与两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则=a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=，所以AB AC ⊥．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =M F ,F ．M 的方向与OA 与F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式与三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =i j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解211112121012120201----⨯--=-i j ka b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而302111⨯--i j kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯，由于{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，因此33453211AB AC ⨯=--=++--i j ki j k ，所以21AB AC ⨯=故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c 的混合积，记做()a b c ⨯⋅或abc ⎡⎤⎣⎦.说明：三个不共面向量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V .定理如果111a X i Y j Z k =++，222b X i Y j Z k =++，333c X i Y j Z k =++，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c 为单位向量,且满足0a b c ++=,求.a b b c c a ++6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模与d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4)cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算 （1）()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯.13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面与其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅n ,而0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12M M 与13M M ．因此可取12M M 与13M M 的向量积1213M M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}M M =--，13{2, 3, 1}M M =--，因此1213-631i j kn =M M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
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7.2.4 向量线性运算的坐标表示
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
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习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
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7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
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7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
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7.1 向量及其运算
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（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。