2017年北京高三模拟题分类汇编之数列
2017年北京高三模拟题分类汇编之数列精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2017北京市各城区一模二模真题。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共12小题，共0分）1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）已知数列是等差数列，前项和为，若139,21a S ．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若58,k a a S ，成等比数列，求的值．2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）已知n a 是各项均为正数的等比数列，118a ，设2log n n b a ，且417b ．（Ⅰ）求证：数列n b 是以-2为公差的等差数列；（Ⅱ）设数列n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知等比数列n a 的公比2q ，前3项和是7，等差数列n b 满足13b ，2242b a a . （Ⅰ）求数列n a ，n b 的通项公式；}{n a n n S }{n a k 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
2017高考十年高考数学(理科)分项版 专题06 数列(北京专版)(解析版) 含解析
1. 【2006高考北京理第7题】设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()f n 等于( ）（A ）2(81)7n-（B ）12(81)7n +-（C ）32(81)7n +-(D ）42(81)7n +-【答案】D【解析】依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和,根据等比数列的求和公式可得D2. 【2008高考北京理第6题】已知数列{}na 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ )A ．165-B ．33-C ．30-D ．21- 【答案】C考点：数列3. 【2010高考北京理第2题】在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，公比｜q ｜≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】C【解析】试题分析：a 1＝1,a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝53a ＝51a q 10＝a 1q 10＝a 11，∴m ＝11.考点：等比数列的通项公式.4。
【2014高考北京理第5题】设{}na 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}na 为递增数列"的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{na ,若1>q ，则当01<a时数列}{n a 是递减数列;若数列}{na 是递增数列，则}{na 满足01<a且10<<q ,故当“1>q "是"数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.考点:等比数列的性质,充分条件与必要条件的判定，容易题. 5. 【2007高考北京理第10题】若数列{}na 的前n 项和210(123)nSn n n =-=，，，,则此数列的通项公式为 ;数列{}nna 中数值最小的项是第 项．6. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点()kkkP x y ，处，其中11x=，11y =，当2k ≥时,111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =,(0.2)0T =．按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【答案】（1,2） （3， 402） 【解析】试题分析： T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251k T k 组成的数列为1,0，0,0，0，1, 0，0,0,0，1,0，0，0，0,1……（k=1,2，3，4……)。
2017年北京各城区一二模拟文科数列题(精品文档)_共3页
17年东城一模文（16）（本小题13分）已知数列}{n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若．139,21a S ==（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求k 的值．58,k a a S ，17年西城二模文17．（本小题满分13分）设是首项为,公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．记{}n a 12{}n b 1q ，．n n n c a b =+1,2,3,n =L （Ⅰ）若是等差数列，求的值；{}n c q （Ⅱ）求数列的前项和．{}n c n n S 17年海淀一模文15.（本小题满分13分）已知等差数列满足.{}n a 12236,10a a a a +=+=（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）求数列的前项和.1{}n n a a ++n 17年海淀二模文16. （本小题满分13分）已知是各项为正数的等差数列，为其前项和，且. {}n a n S n 24(1)n n S a =+（Ⅰ）求的值及{}n a 的通项公式；12,a a （Ⅱ）求数列的最小值. 7{}2n n S a -17年朝阳一模文（16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足112(1)1,,n n n a a a n ++==设，.nn a b n =n *∈N （Ⅰ）证明是等比数列；{}n b （Ⅱ）求数列的前项和． 2{log }n b n n T 17年朝阳二模（16）（本小题满分13分）已知数列是首项，公比的等比数列．设{}n a 113a =13q =132log 1n n b a =-．*()n ∈N （Ⅰ）求证：数列为等差数列；{}n b （Ⅱ）设，求数列的前项和． 2n n n c a b =+{}n c n n T 17年石景山15．（本小题共13分）数列中，（是常数，），{}n a 112,2n n n a a a c +==+⋅c 1,2,3n =……且，，成公比不为的等比数列．1a 2a 3a 1（Ⅰ）求的值；c （Ⅱ）求的通项公式．{}n a 17年顺义16.（本小题满分13分）已知数列满足:，数列满足:且为等{}n a 111,2n n a a a +=={}n b 143,11,b b =={}n n a b +差数列.(I) 求数列和的通项公式；{}n a {}n b (II) 求数列的前项和.{}n b n 17年昌平(15)(本小题满分13分)已知公差不为0的等差数列的前三项和为12，且成等比数列.{}n a 248,,a a a （I ）求数列的通项公式；{}n a （II ）设，求数列的前n 项和2n a n b ={}n b n S。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：数列04含答案
数列045、设3x x f =)(，等差数列{}n a 中73=a ，12321=++a a a ，记n S =()31+n a f ，令n n n S a b =，数列}1{nb 的前n 项和为n T . （1）求{}n a 的通项公式和n S ；（2）求证：31<n T ；（3）是否存在正整数n m ,，且n m <<1，使得n m T T T ,,1成等比数列？若存在，求出n m ,的值，若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由7213=+=d a a , 12331321=+=++d a a a a .解得11=a ，d =3 ， ……………2分 ∴23-=n a n ……………4分∵3x x f =)(， ∴S n =()31+n a f =131+=+n a n . ……………6分（2）)13)(23(+-==n n S a b n n n∴)131231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n ……………8分 ∴31)1311(31<+-=n T n ……………10分（3）由(2)知，13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ，13+=n n n T ，∵n m T T T ,,1成等比数列. ∴ 1341)13(2+=+n n m m ……………12分 即n n m m 4312+=+6当1=m 时，7n n 43+=，n =1，不合题意；当2=m 时，413n n 43+=，n =16，符合题意； 当3=m 时，919n n 43+=，n 无正整数解；当4=m 时，1625n n 43+=，n 无正整数解； 当5=m 时，2531n n 43+=，n 无正整数解；当6=m 时，3637n n 43+=，n 无正整数解； ……………15分当7≥m 时，010)3(1622>--=--m m m ，则1162<+m m ，而34343>+=+n n n ，所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………17分综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………18分另解：（3）由(2)知，13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ，13+=n n n T ∵n m T T T ,,1成等比数列. ∴ 21()31431m n m n =⋅++， ……………12分 取倒数再化简得n n mm 4312+=+6 当2=m 时，413n n 43+=，n =16，符合题意； ……………14分 2221161611193,0,39339m m m m m m m +⎛⎫≥<≤=+=+-≤< ⎪⎝⎭时， 而34343>+=+nn n ， 所以，此时不存在正整数m 、n , 且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………17分 综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………18分6、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n n n +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有⎩⎨⎧=+=+9333416211d a d a ，……（2分）解得11=a ，2=d ，…………（3分）所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）．…………（4分）（2）当1=n 时，1111b T b -==，所以211=b ．……（1分） 由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ， 故n n b b 211=+，……（2分） 所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以n n b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21．……（3分） )4(2182191+=+=+m m a m ，…………（4分） 要使91+m a 是}{n b 中的项，只要n m 24=+即可，可取4=m ．…………（6分） （只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n m ，*N ∈n ，3≥n 也给分）（3）由（1）知，tn n c n +--=1212，…………（1分） 要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122，即tk k t t +--++=+12121136，…………（2分） 化简得143-+=t k ．…………（3分） 因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．…………（4分）当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ．…………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为： )7,2(，)5,3(，)4,5(．…………（6分）7、等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2=（1）求{}n a 的通项公式；（5分）（2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分）（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．（6分）【答案】解：（1）解：40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q 2分 10411=+c c 计算出21=c 3分 121242--=⋅=n n n c 4分 12-=∴n a n 5分（2）11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭6分 于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 8分 n n T ∞→lim =21 10分（3）假设否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列，则2121321m n m n ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 12分 可得2232410m m n m -++=>，由分子为正，解得1122m -<<+由,1m N m *∈>，得2m =，此时12n =， 当且仅当2m =，12n =时，1,,m n T T T 成等比数列。
北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：数列 含答案
北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2013年北京高考）若等比数列｛a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________;前n 项和S n ＝________．2、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ 。
3、(朝阳区2016届高三二模）为了响应政府推进“菜篮子"工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地。
第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元。
每年销售蔬菜的收入为26万元。
设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额),则()f n = (用n 表示）；从第 年开始盈利。
4、(东城区2016届高三二模）已知数列{}na 满足11a=，22a =-，且+12n n n a =a a ++,n *∈N ，则5a = ；数列{}na 的前2016项的和为________．5、(海淀区2016届高三二模)数列{}na 的首项12a=，且1(1)nn n ana ++=，则3a 的值为A.5 B 。
6 C 。
7 D.86、（海淀区2016届高三上学期期末）已知数列{}na 是公比为2的等比数列,且满足432aa a-=，则4a 的值为A 。
2 B.4 C 。
8 D 。
167、（海淀区2016届高三上学期期中）数列｛}的前项和，若－2－1（≥2）,且3，则1的值为A ．0B ．1C ．3D ．58、（朝阳区2016届高三上学期期中）设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若3612aa +=，48S =，则9a 的值是．9、(东城区2016届高三上学期期中)在数列{}na 中,－10、（丰台区2016届高三上学期期末）设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若9=72S ，则249++a a a =______ 。
专题03 数列-2017年高考数学理母题题源系列北京专版
【母题原题1】【2017北京，理10】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d q -+=-= ，求得2,3q d =-= ，那么221312a b -+== . 【考点】等差数列和等比数列【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.【母题原题2】【2016北京，理12】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.【母题原题3】【2015北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2aD ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.【命题意图】考查等差，等比数列的基本量的计算，以及数列的基本性质，同时能够根据数列的特点求和，并且考查转化与化归的能力，能根据一些数列的递推公式转化为等差等比数列求解.【命题规律】由递推关系求数列通项公式或特定项问题，有时以小题形式来考，主要以考查,n na S 基本量的计算，以及,n n a S 的关系为主，和一些与下标有关的性质，或是通过转化为特殊数列求解；以解答题形式考查，会多步设问，第一问是求数列的通项，通过提示或其他方式构造特殊数列求解，第二问求和．【答题模板】以2017年高考题为例，解答本类题目，一般考虑如下两步：第一步：设基本量 因为已经给出数列是等差和等比数列，所以设基本量d 和，代入方程求解； 第二步：计算结果 代入基本量，得到结果； 【方法总结】 （一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．（1）等差数列证明方法：1n n a a d --=或112n n n a a a -+=+；（2）等比数列的证明方法：1(0,0)nnn a q q a a -=构或211n n n a a a -+=?（0n a ¹）2． 等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=,d m n a a m n )(-+= )1(11≠--=n n a a d n 或 mn a a d mn--=。
北京市通州区2017年高三年级模拟考试理科数学试卷(含答案)
通州区2017年高三年级模拟考试数学（理）试卷2017年4月 本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =-->，那么集合ðU A 等于A ．{}|23x x -≤≤B ．{}|23x x x <->或C ．{}|32x x -≤≤D ． {}|23x x -<<2．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是A ．124B ．126C ．128D ．1303．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=4，那么(2a －b )·a 等于 A ．4- B ．0 C ．4 D ．124．某几何体三视图如图所示，它的体积是A ．14B ．16C ．18D ．205．将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是A ．6B ．24C ．60D ．1206．如果函数π()2sin()(3)4f x x ωω=+<的图象关于点(π4，0)成中心对称，那么函数()f x 的最小正周期是A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π 7．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“ab ac >”成立的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．从A 地到B 地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线．张某想自驾从A 地到B 地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车．”司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车．”司机丙说：“2号路线堵车，3号路线不堵车．”如果每位司机的两个判断至少有一个是正确的，那么张某最应该选择的路线是A ．1号路线B ．2号路线C ．3号路线D ．1号路线或者2号路线第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．已知复数1i z a =+()a ∈R ，23i z =-，如果12z z ⋅为实数，那么a = .10．在直角坐标系xOy 中，如果抛物线2=4y x 的焦点与双曲线22212x y a -=（a ＞0）的右顶点重合，那么双曲线的离心率e = .11．已知等差数列{}n a 中，如果12a =，261036a a a ++=，那么数列{}n a 的前6项和等于 .12．直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)交于A ，B 两点，则AB = . 13．在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (3，0)，C (2，1)，点P (x ，y )为△ABC 内的点(包括边界)，则点P 坐标满足的线性约束条件为 （用不等式组表示）；若该区域内有且仅有一点到直线(2)1y k x =--的距离最小，则k 的取值范围是 . （规定：若点在直线上，点到直线的距离为零.）14．已知函数2()2xf x e x =-，给出下列命题： ①函数()f x 为偶函数； ②函数()f x 有四个零点； ③函数()f x 有极小值无极大值. 其中所有正确命题的序号是 .三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD 中，43AB =14BD =，13cos 14CBD ∠=，π2ABC ∠=， 2π3C ∠=． （Ⅰ）求△ABD 的面积；（Ⅱ）求边BC 的长.16．（本小题满分13分）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了节约用水，制定节水措施，对该市100户居民某月的月生活用水量(单位：立方米)进行调查，所得数据如下表： 分组[01]， (12]， (23]， (34]， (45]， (56]， (67]， (78]， (89]， 频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 a 0.02 （Ⅰ）样本中月生活用水量在(78]，的有多少户？（Ⅱ）从样本中月生活用水量在(78]，和(89]，的所有户中选出3户做进一步调查，求这3户至少有一户来自(89]，的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的户均生活用水量.17．（本小题满分14分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为AD 中点，把△ABE 沿BE 翻折到A BE '的位置，使得A'C =32，如图2.（Ⅰ）若P 为A'C 的中点，求证：DP ∥平面A'BE ；（Ⅱ）求证：平面A'BE ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求二面角C-A'B- E 的余弦值. 图1图218．（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a =+，直线1y x =+是曲线()y f x =的切线. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）对于任意的1x >，关于x 的不等式()ln 1k x a x+>-恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题满分13分） 已知点A (-2，0)为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点，C 的右焦点为F (1，0). （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点F 互相垂直的直线1l 和2l 分别交直线4x =于点P 和Q ，直线AP 和AQ 分别交椭圆C 于M 和N ，求证：点M ，F ，N 共线.20．（本小题满分14分）设集合{}1,2,3,,I n =L (n =1，2，3，L )，若非空集合A 满足： ① A I ⊆；②()min()Card A A ≤(其中()Card A 表示集合A 中元素的个数，min()A 表示集合A 中的最小元素)，则称A 为I 的一个好子集. 记n a 为I 的所有好子集的个数. 例如，5a 表示集合{}1,2,3,4,5I =的所有好子集的个数.（Ⅰ）写出集合{}1,2,3,4的所有好子集；（Ⅱ）若A 是I 的一个好子集，且A 中至少有3个元素，求证：2A ∉； （Ⅲ）请猜想21,,n n n a a a ++之间的关系，并证明你的猜想.。
2017年高考数学试题分类汇编之数列(精校版)
2017年高考试题分类汇编之数列一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）1.A2.B 4.C 8.D2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） 24.-A 3.-B 3.C 8.D4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家 学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列⋯,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是02，接下来的两项是102,2，再接下来的三项是2102,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）440.A 330.B 220.C 110.D二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 22a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则=_______________．{}n a n n S 3676344S S ==,8a8.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =， 则11nk k S ==∑ ． 9.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足3,13121-=--=+a a a a ，则=4a __．三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10.( 2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列}{n a 前n 项和为n S ，等比数列}{n b 前n 项和为.2,1,1,2211=+=-=b a b a T n（1）若533=+b a ，求}{n b 的通项公式； （2）若213=T ，求3S .11.(2017年新课标Ⅰ文) 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知.6,232-==S S（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并判断21,,++n n n S S S 是否成等差数列。
2017年北京市各区高三理科数学分类汇编----数列(学生版
时间（天）时间（A ）2017年北京市各区高三理科数学分类汇编----数列(学生版)选择题部分：（2017东城期末）（8）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N )．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率n r会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是时间数量时间数量图1图2（C ）时间(天)5．在等比数列{a ( ) （2017丰台期末）（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-72（2017丰台期末）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．应为( ) （A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸(2017年西城一模)7．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ．则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(2017年东城二模)（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，nS 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S ( )（A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632(2017年海淀二模)5. 已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是( )A. 32a a >B. 12+0a a >C.2{}n a 是递增数列D. n S 存在最小值 填空题部分：（2017朝阳期末）10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，32a S =，则2a = ，10S = ．（2017西城期末）10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．（2017年朝阳一模）（11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若651S =，1926a a +=，则数列{}n a 的公差d = ，通项公式n a = ．(2017年东城一模)（11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若312S =，244a a +=，则6S =_______． (2017年海淀一模)9. 若等比数列{}n a 满足245a a a =，48a =，则公比=q ；前n 项和n S =__ _． (2017年西城一模)10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13a =，29S =，则n a =____；n S =____． (2017年丰台一模)10. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和. 若22=a ，99=S ，则8=a ．(2017年石景山一模)10．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n =，，，，那么8a 等于 ．(2017年平谷一模)11.已知数列是递增的等比数列， 1042=+a a ，16.51=a a ，则数列的前6项和等于 .（2017年朝阳二模）11．等比数列{a n }的前n 项和为nS ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a =，9S =．(2017年西城二模)10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等比数列，则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．(2017年顺义二模)11. 已知为等差数列，为其前项和，若24a =，88S =-，则10a =_______. 解答题部分： （2017年朝阳一模） (20)（本小题满分13分）对于正整数集合12{,,,}n A a a a =（n *∈N ，3n ³），如果去掉其中任意一个元素i a （1,2,,i n =）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；{}n a {}n a {}n a n S n（Ⅱ）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数； （Ⅲ）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值. (2017年东城一模) （20）（本小题共13分）已知集合12{,,,},1,2,,n i A a a a a ,i n R =∈=L L ，并且2n ≥． 定义1()||j i i j nT A a a ≤<≤=-∑（例如：21313213||||||||j i i j a a a a a a a a ??-=-+-+-å）．（Ⅰ）若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，集合A 的子集N 满足：N M ¹，且()()T M T N =，求出一个符合条件的N ；（Ⅱ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合12{,,,}n A a a a =L ，求证：存在集合12{,,,}n B b b b =L ，使得()()T B T A =，且1ni i b C ==∑.（Ⅲ）已知集合122{,,,}m A a a a =L 满足：1i i a a +<，1,2,,21i m =-L ，2m ³， 12,m a a a b ==，其中,a b ÎR 为给定的常数，求()T A 的取值范围．(2017年海淀一模) 20.（本小题满分13分）已知含有n 个元素的正整数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(,3)n a a a n <<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意不大于()S A (其中12()n S A a a a =++⋅⋅⋅+)的正整数,k 存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k .（Ⅰ）写出12,a a 的值； （Ⅱ）证明：“12,,,n a a a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时，n a 的最大值. (2017年西城一模) 20．（本小题满分13分）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n ≥全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为12,,,n a a a ，第二行填入的数字依次为12,,,n b b b ．记11221||||||||nn i i n n i S a b a b a b a b ==-=-+-++-∑．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数n ．试给出12,,,n a a a 的一组取值，使得无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同． (2017年丰台一模) 20.（本小题共13分）对于*N ∀∈n ，若数列{}n x 满足11+->n n x x ，则称这个数列为“K 数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m +1，m 2是“K 数列”，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 满足2*1(N )2<-∈n S n n n ？若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列{}n b 是否为“K 数列”，并说明理由．(2017年石景山一模)20．（本小题共13分）已知集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i R X X x x x x i n n ==∈=≥．对于12(,,,),n n A a a a R =∈ 12(,,,),n n B b b b R =∈定义A 与B 之间的距离为11221(,)nn n i i i d A B a b a b a b a b ==-+-+-=-∑．（Ⅰ）写出2R 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：3M R ⊆，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合n P R ⊆，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明()2(1)mnd P m ≤-．(2017年平谷一模)20.(本小题满分13分)对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.若存在一个正整数(21)k k n ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，例如数列:A 0,1,1,0,1,1,0. 因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列:1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1.A 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； （Ⅱ）若项数为m 的数列A 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由；（III ）假设数列A 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a =，求数列{}n a 的最后一项m a 的值.（2017年朝阳二模）20．各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1()N m ∈*；②1n a n ≤-(2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．(2017年海淀二模)20.对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-< ，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（*,m k ∈N 且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t .（Ⅰ）若数列{}n a 满足2,2,25,3,n n n a n n ≤⎧=⎨-≥⎩判断数列{}n a 是否具有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质(0)P ”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质(2)P ，又具有性质(5)P ，求证：存在整数N ，使得12,,,,,N N N N k a a a a +++是等差数列.(2017年西城二模)20．设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于2n A 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥； （Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．(2017年丰台二模)20.若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由； （Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.(2017年顺义二模) 20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对n N *∀∈，总k N *∃∈，使得n k S a =，则称数列{}n a 是“G 数列”．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列,其首项,公差1d =-．证明: 数列是“G 数列”； （Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和3()nn S n N *=∈，判断数列是否为“G 数列”，并说明理由；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“G 数列”和，使得().n n n a b c n N *=+∈成立． (2017年东城二模) （20）（本小题共13分）对于n 维向量12(,,,)n A a a a =，若对任意{1,2,,}i n Î均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量.对于两个n 维T 向量,A B ，定义1(,)||niii d A B a b ==-å.（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值.（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：，若1(1,1,1,1,1)A = 且满足：1(,)2i i d A A +=，*i ÎN .求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0).11=a }{n a }{n a }{n b }{n c 123,,,A A A L（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：，若112(1,1,,1)A 个= 且满足：1(,)i i d A A m +=，*m ÎN ，1,2,3,i =，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A 个=，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .123,,,A A A L。
2017北京市高三一模理科数学数列压轴汇编答案
i 1
i 1
n
n
n
n
则 Sn | ai bi | (ai bi ) ai bi A B ．
i 1
i 1
i 1
i 1
[ 9 分]
3
因为 A B 2n i 2n(2n 1) n(2n 1) ，
i 1
2
所以 A B 与 n 具有相同的奇偶性．
又因为 A B 与 A B 具有相同的奇偶性，
n
记 Sn | ai bi | | a1 b1 | | a2 b2 | | an bn | ． i 1
（Ⅰ）当 n 3 时，若 a1 1 ， a2 3 ， a3 5 ，写出 S3 的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数 n ．试给出 a1, a2 , , an 的一组取值，使得无论 b1,b2, ,bn 填写的顺 序如何， Sn 都只有一个取值，并求出此时 Sn 的值；
设 ai bi ，ai bi ，其中 i 1,2, ,n ．
[ 9 分]
a1
a2
an
a1
a2
an
b1
b2
bn
b1
b2
bn
n
n
n
n
n
n
Sn Sn (bi ai ) (bi ai) ( bi bi) ( ai ai) ．
（Ⅲ）求证：对于给定的 n 以及满足条件的所有填法， Sn 的所有取值的奇偶性相同．
解：（Ⅰ） S3 的所有可能的取值为 3，5，7，9．
[ 3 分]
（Ⅱ） 令 ai i (i 1, 2, , n) ，则无论 b1,b2, ,bn 填写的顺序如何，都有 Sn n2 ．
[ 5 分]
因为 ai i ，
n