平移伸缩变换的技巧
平面内曲线平移伸缩变换的技巧
江苏省靖江高级中学 蔡正伟
在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因
为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套
用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简
单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x，y在变，且变
化的规律与习惯相反。
一、平移
规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x在变化，且向左变小，向
右变大；上下平移是y在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。
例1 将函数)(xfy的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。求平移后的
函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x变
成2x；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y
变成1y。
所以平移后的函数解析式是)2(1xfy。
例2 求)43sin(21xy向右平移3个单位，向下平移2个单位后的得到的函数
解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x变成3x，y变成1y，
所以平移后的函数解析式是4)3(3sin211xy，
化简后得1)433sin(21xy。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会
出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是
14)3(3sin211xy
。
二、伸缩
课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合
在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x变成x；
横坐标不变纵坐标变为原来的A倍就是将原来解析式中的y变成Ay。
例3 （2000年理科全国卷）xysin经过怎样的平移和伸缩得到
1cossin23cos212xxy
。
解：45)62sin(211cossin23cos212xxxxy。
（变化一）
45)62sin(2
1
)62sin(212sin21sin21sin)4()3()2()1(xyxyxyxyxy
（1）y变成了2y，故横坐标不变，纵坐标变为原来的21；
（2）x变成了2x，故纵坐标不变，横坐标变为原来的21；
（3）x变成了12x，故将图象右移12个单位，需要将)62sin(21xy写成
)12(2sin21xy
；
（4）y变成了45y，故将图象上移45个单位。
（变换二）
(1)(2)(3)
(4)
1
sin2sinsin()26151sin(2)sin(2)26426yxyxyxyxyx
（1）y变成了2y，故横坐标不变，纵坐标变为原来的21；
（2）x变成了6x，故将图象右移6；个单位纵坐标不变，横坐标变为原来的21；
（3）x变成了2x，故纵坐标不变，横坐标变为原来的21；
（4）y变成了45y，故将图象上移45个单位。
变换一和变换二的差别就先放缩后平移还是平移后放缩，变换一的第（3）步比较容
易错，如果理解“都是x、y在变，变化规律与习惯相反”的规律后，每一步只需抓住变
的实质，就可以轻松处理类似问题。另外，这个结论对于平面内的曲线平移都是适用的。
有兴趣的读者不妨一试。
《理科考试研究》2006年第3期，被《中学数学教与学》（中国人民大学资料书报中心）
2006.7收录
三角函数中的平移与伸缩变换
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
三角函数图象的平移和伸缩
3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
三角函数的伸缩平移变换
2014-05课堂内外在三角函数的平移变换中，我们经常会有这样的疑问：（1）函数y =sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数y =sin（x+π6）的图象，再把横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin ［2（x +π6）］还是函数y =sin （2x +π6）的图象？（2）函数y =sin x 的图象横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin2x 的图象，再把图象向左平移π6个单位，得到函数y =sin ［2（x +π6）］还是函数y =sin （2x +π6）的图象？之所以出现这样的疑问，是没有抓住三角函数y =A sin （ωx +φ）+b 伸缩平移的本质.我们可大致归纳为以下四种变化.一、左右平移四个字“左加右减”，这是大家熟知的，但要注意变化的位置是“x ”而不是“φ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向左平移m （m >0）个单位，得到的是函数y =A sin ［ω（x +m ）+φ］+b 的图象；把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向右平移m （m >0）个单位，得到的是函数y =A sin［ω（x -m ）+φ］+b 的图象.所以函数y =sin x 的图象向左平移π6个单位得到的是函数y =sin （x +π6）的图象，函数y =sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到的是函数y =sin ［2（x +π6）］，即y =sin （2x +π6）的图象.二、上下平移四个字“上加下减”，注意变化的位置是“b ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向上平移n （n >0）个单位，得到的是函数y =A sin （ωx +φ）+（b+n ）的图象；把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向下平移n （n >0）个单位，得到的是函数y =A sin （ωx +φ）+（b-n ）的图象.三、横坐标伸缩两个字“反比”，注意变化的位置是“ω”.把y =A sin （ωx +φ）+b图象的横坐标变为原来的p 倍，得到的是函数y =A sin （ωp x +φ）+b的图象.四、纵坐标伸缩两个字“正比”，注意变化的位置是“A ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 图象的纵坐标变为原来的q 倍，得到的是函数y =qA sin （ωx +φ）+b 的图象.例1.把y =sin （x+π3）横坐标缩短为原来的12，得到的图象，再把图象向右平移π6个单位，得到的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到的图象.分析：变换如下：y =sin （x+π3→y =sin （2x+π3）→y =sin ［2（x -π6）+π3］，即y =sin2x →y =12sin2x .例2.把函数y =A sin （ωx +φ）（A >0，ω>0）的图象向左平移π3个单位，再使其图象上每个点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到的图象对应的函数为y =2sin （2x-π3，则原函数的解析式为（）A.y =2sin （23x-π9）B.y =2sin （23x-2π3）C.y =2sin （23x-5π9）D.y =2sin （6x-7π3）分析：从正面分析，因含有未知数，较为复杂，我们可从反面入手：由y =2sin （2x-π3）变换到原函数y =A sin （ωx +φ），把变换顺序逆过去：先把横坐标伸长为原来的3倍，再把图象向右平移π3个单位.变换如下：y =2sin （2x-π3）→y =2sin （23x-π3）→y =2sin ［23（x-π3）-π3］，即y =2sin （23x-5π9），故选C.（作者单位山东省淄博第四中学）•编辑韩晓三角函数的伸缩平移变换文/张强对陶渊明有了一些了解，知道他洁身自好、与众不同的特点。
三角函数的伸缩平移变换
三角函数的伸缩平移变换三角函数指的是根据角的大小和正弦、余弦和正切函数求出关于角的关系的数学函数，是数学计算中经常使用的一组精确的指令。
广义上来说，三角函数实际上是把数学中的反复指令简化成一个公式，以方便日常的计算。
通过伸缩平移变换，我们可以改变三角函数的形状，以实现特殊的计算需求。
一般来说，要改变三角函数的形状，首先要应用向量和矩阵的知识。
通过应用矩阵和向量可以实现平移、旋转等改变三角函数形状的变换，以实现特殊的计算需求。
伸缩变换是改变物理位置或大小的特殊数学变换，可以实现改变三角函数的形状。
通过应用一个坐标变换矩阵对点的坐标进行缩放或伸缩变换可以实现将两个图形缩放成完全一样的形状。
这种方法可以实现伸缩变换，以实现特殊计算需求。
平移变换是改变物体位置的特殊数学变换，可以实现改变三角函数的形状。
通过应用向量和矩阵的知识，同时直接移动每个点的位置可以实现将两个图形平移到完全一样的位置。
这种方法可以实现向左、向右或者水平垂直平移，以实现特殊计算需求。
综上所述，三角函数的伸缩平移变换通过应用矩阵和向量可以随意改变三角函数的形状，以实现特殊的计算需求。
其中伸缩变换可以实现将两个图像缩放成完全一致的形状，而平移变换可以使两个图形完全重合。
一、左右平移四个字“左加右减”，这是大家熟知的，但要注意变化的位置是“x”而不是“φ”.把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向左平移m（m＞0）个单位，得到的是函数y=Asin［ω（x+m）+φ］+b的图象；把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向右平移m （m＞0）个单位，得到的是函数y=Asin［ω（x-m）+φ］+b的图象.所以函数y=sinx的图象向左平移φ个单位得到的是函数y=sin（x+φ）的图象，函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位，得到的是函数y=sin［2（x+φ）］，即y=sin（2x+φ）的图象.二、上下平移四个字“上加下减”，注意变化的位置是“b”.把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向上平移n（n＞0）个单位，得到的是函数y=Asin（ωx+φ）+（b+n）的图象；把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向下平移n（n＞0）个单位，得到的是函数y=Asin （ωx+φ）+（b-n）的图象.三、横坐标伸缩两个字“反比”，注意变化的位置是“ω”.把y=Asin（ωx+φ）+b图象的横坐标变为原来的p倍，得到的是函数y=Asin（ωx+φ）+b的图象.四、纵坐标伸缩两个字“正比”，注意变化的位置是“A”.把y=Asin（ωx+φ）+b图象的纵坐标变为原来的q倍，得到的是函数y=qAsin（ωx+φ）+b的图象.。
数字的平移与伸缩认识形的平移和伸缩变换
数字的平移与伸缩认识形的平移和伸缩变换数字的平移与伸缩：认识形的平移和伸缩变换数字是我们生活中不可或缺的一部分，我们每天都接触到各种各样的数字。
而数字的平移和伸缩变换是数字领域中非常重要的概念。
本文将深入探讨数字的平移和伸缩，并对其与认识形的平移和伸缩变换进行对比与分析。
一、数字的平移数字的平移是指将数字在数轴上沿着某个方向进行移动，使其保持原样，只是位置发生了改变。
平移可以向左或向右进行，平移的距离可以是整数也可以是小数。
平移通常用加法或减法来表示，若将数字a 向右平移b个单位，则表示为a + b，将数字a向左平移b个单位，则表示为a - b。
例如，将数字3向右平移2个单位，则得到3 + 2 = 5。
将数字7向左平移3个单位，则得到7 - 3 = 4。
通过这些例子可以看出，数字的平移只改变了数字的位置，但并没有改变数字本身的值。
二、数字的伸缩数字的伸缩是指通过乘法或除法等操作，改变数字的大小而不改变其位置。
伸缩可以使数字变大或变小，伸缩的因子可以是整数、分数或小数。
若将数字a进行伸缩，伸缩的因子为b，则表示为a × b或a ÷b。
例如，将数字4进行伸缩，伸缩因子为3，则得到4 × 3 = 12。
将数字9进行伸缩，伸缩因子为0.5，则得到9 ÷ 0.5 = 18。
通过这些例子可以看出，数字的伸缩改变了数字的大小，但并没有改变其位置。
三、数字的平移和伸缩与认识形的平移和伸缩变换的对比数字的平移和伸缩与认识形的平移和伸缩变换有着一些相似之处，但又有一些不同之处。
1. 相似之处数字的平移和伸缩以及认识形的平移和伸缩变换都是通过位置的改变来实现的。
数字的平移和伸缩改变了数字在数轴上的位置，而认识形的平移和伸缩变换改变了物体在平面或空间中的位置。
它们都保持了原始对象的形状和结构，只是进行了一定的变换操作。
2. 不同之处数字的平移和伸缩是在数轴上进行的，是一种一维变换。
高考数学函数图像变换与技巧全解析
高考数学函数图像变换与技巧全解析在高考数学中，函数图像的变换与相关技巧是一个重要且具有一定难度的知识点。
掌握这部分内容，对于理解函数的性质、解决函数相关的问题以及提高数学综合解题能力都具有至关重要的意义。
一、函数图像的平移变换函数图像的平移是指将函数的图像在平面直角坐标系中沿着坐标轴进行移动。
对于形如 y ＝ f(x) 的函数，向左平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x ＋ a)；向右平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x a)。
向上平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) ＋ b；向下平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) b。
例如，对于函数 y ＝ x²，将其向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x ＋2)²的图像；将其向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 的图像。
在进行平移变换时，需要注意“左加右减，上加下减”的规律。
这个规律简单易记，但在实际应用中，同学们要理解其本质，即函数自变量 x 的变化和函数值 y 的变化。
二、函数图像的伸缩变换函数图像的伸缩变换包括沿 x 轴和 y 轴的伸缩。
沿 x 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其横坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ f(1/k x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 x 轴缩短；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 x 轴伸长）。
例如，函数 y ＝ sin x 的图像，将其横坐标缩短为原来的 1/2，得到y ＝ sin 2x 的图像。
沿 y 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其纵坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ kf(x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 y 轴伸长；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 y 轴缩短）。
比如，函数 y ＝ x 的图像，将其纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝ 2x 的图像。
三角函数的基本变换平移伸缩和反射
三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。
它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。
在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。
本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。
在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。
对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。
当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。
在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。
对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。
当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
伸缩变换还可以改变函数的周期。
对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。
通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。
三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。
在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。
对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。
函数的平移伸缩变换口诀之再优化
函数的平移伸缩变换口诀之再优化关键词：靠近原则，逆向原则。
在教授三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象这部分内容的时候碰到的平移、伸缩变换问题，学生频繁出现失误，加减乘除总是放到了本不应该出现的位置。
于是我思考着：是否有一个更好地方法，更标准的规则，让学生易记不易错呢？我们知道，对于函数的平移，有口诀：“左加右减，上加下减。
”如：例1.将函数sin y x =图象先向上移1个单位长度，再右移3π个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 答案：sin()13y x π=-+其实以上平移口诀的前提是：左右是针对x 的平移，加或减都在x 的附近进行；而上下是针对y 的平移，在原函数式的最后进行加减，其实这个数也可以移到y 的一侧，直接在y 附近加减。
也就是说上面的式子我们也可以写成：1sin()3y x π-=-。
通过这个式子，我发现了两个平移的规律：一、靠近原则。
确定变化的位置，针对哪个变量变换，就在那个变量最近的位置上变换。
这里我再次强调“最近”两个字。
其实就是运算先后的问题。
如：例2.将函数sin 2y x =的图象左移3π个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 错解：sin(2)3y x π=+。
错在3π并不是离x 最近的，因为2离x 更近，那么要让2远离，可采用加括号的办法。
正解：sin 2()3y x π=+。
二、逆向原则。
我们看如果把例1的答案写成：1sin()3y x π-=-的形式，发现在靠近原则的前提下针对x 平移仍然是左加右减；针对y 的平移变成了上减下加，与原口诀相反，这都是移项造成的。
其实平面直角坐标系中，图象不管是往y 轴正方向还是往x 轴正方向平移，相应的y 、x 就要减去相应的数，反之则加上相应的数。
我把这一特点称为：“逆向原则”。
下面我来证明它的正确性：将函数()y f x =的图象先向向上移b 个单位长度，再左平移a 个单位长度。
设P 00(,)x y 为函数()y f x =图象上任意一点，它经向上移b 个单位长度，再向左平移a 个单位长度后变为Q (,)x y 点，则有：00x a x y b y -=⎧⎨+=⎩ 解得：00x x a y y b =+⎧⎨=-⎩ 又因为P 00(,)x y 在函数()y f x =图象上，则有00()y f x =代入得：()y b f x a -=+所以将函数()y f x =的图象先向上移b 个单位长度，再向左平移a 个单位长度所得的函数为()y b f x a -=+。
三角函数的平移伸缩变换
三角函数的平移伸缩变换
三角函数可以通过平移、伸缩来进行变换。
平移指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。
伸缩指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向拉伸或缩小。
以正弦函数为例，设其图像为y=sin(x)，则有以下几种变换：
1. 平移
平移指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。
这种变换可以用一个参数来表示，记为h和k。
其中h表示横向平移的距离，k表示纵向平移的距离。
平移后的函数为y=sin(x-h)+k。
2. 垂直伸缩
垂直伸缩指的是将函数图像沿着纵轴方向拉伸或缩小。
这种变换可以用一个参数来表示，记为a。
垂直伸缩后的函数为y=a*sin(x)。
当a>1时，函数图像沿着纵轴方向被拉伸，函数的振幅增大；当0<a<1时，函
数图像沿着纵轴方向被缩小，函数的振幅减小。
3. 水平伸缩
水平伸缩指的是将函数图像沿着横轴方向拉伸或缩小。
这种变换可以用一个参数来表示，记为b。
水平伸缩后的函数为y=sin(b*x)。
当b>1时，函数图像沿着横轴方向被缩短，函数的周期变小；当0<b<1时，函数图像沿着横轴方向被拉长，函数的周期变大。
4. 综合变换
完整的三角函数平移伸缩变换包含了垂直伸缩、水平伸缩、横向平移、纵向平移四种变换。
对于正弦函数而言，其综合变换的表达式为：
y=a*sin(b*(x-h))+k
其中，a表示垂直伸缩的参数，b表示水平伸缩的参数，h和k表示横向和纵向平移的参数。