2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题
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注意事项：考生必须在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求。） 1.设集合1,0,1,2A,|22Bxx,则AB ( ) A. 1,0,1 B. 1,0 C. |10xx D. {|10}xx 2.已知向量(1,2)am,(,3)bm,若ab,则实数 m等于( ) A. 2或3 B. 2或3 C. 3 D. 35 3.在ABC中,若2a,23b,30A,则B为( ) A. 60 B. 60或120 C. 30 D. 30或150
4.已知命题11:,23xxpxR；命题2000:,10qxRxx； 则下列命题为真命题的是( ) A. pq B. pq C. pq D. pq 5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值 为( ) A. 10 B. 6 C. 14 D. 18 - 2 - / 12
6.若4cos5, 是第二象限的角,则sin4 ( ) ) A. 7210 B. 7210 C. 210 D. 210 7.若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体的体积是 ( )
A．2cm3 B．32m3 C．1cm3 D．31cm3
8.抛物线214yx的准线方程是( ) A. 1y B. 2y C. 1x D. 2x
9.已知,xy满足不等式组04001yxyxx,则目标函数3zxy的最小值是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 10.已知数列na是递增的等比数列, 14239,8aaaa,则数列na的前10项和等于( ) A.1024 B.511 C.512 D.1023 11.函数3()35fxxx在闭区间[3,0]上的最大值与最小值的和是( ) A.6 B.8 C.-6 D.-8
（第5题图） （第7题图） - 3 - / 12 12.过椭圆222210xyabab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P,2F为右焦点,若1260FPF,则椭圆的离心率为( )
A. 22 B. 33 C. 12 D. 13
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.已知0x,0y,且1yx,求yx12的最小值是 . 14.若直线l经过直线032yx和023yx的交点，且垂直于直线12xy，则直线l的方程为 ． 15.(理科做)已知向量)0,1,1(a，)3,,0(kb，若a与b的夹角为60,则实数k .
（文科做）随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为 . 16.某单位共有老、中、青职工560人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.（10分）已知ABC的三个内角所对的边分别为cba,,,A是钝角,且32sinbaB. （1）.求角A； （2）.若7a,ABC的面积为10,求22bc的值. - 4 - / 12
18.（12分）已知na是等差数列, 24,aa是方程2560xx的根 （1）.求na的通项； （2）.求数列na的前n项和nS.
19.（12分）某市调研学校师生的环境保护意识,决定在本市所有学校中随机抽取600所进行环境综合考评,成绩达到80分以上(含80分)为达标,600所学校的考评结果频率分布直方图如图所示,其分组区间为50,60,60,70,70,80,80,90,90,100. （1）.试根据样本估计全市学校环境综合 考评的达标率和中位数； （2）.若考评成绩在90,100内为优秀, 且甲、乙两所学校考评结果均为优秀,从 考评结果为优秀的学校中随机地抽取两 所学校作为经验交流报告,求甲、乙两 所学校至少有一所被选中的概率.
20.（12分）(理科做)如图,在底面为正三角形的三棱柱111ABCABC中,2AB， - 5 - / 12
ABCAA平面1，FE、分别为ACBB、1的中点.
（1）.求证: ECABF1//平面 （2）.若12AA2,求二面角1CEAA的大小.
20.（12分）(文科做)如图,四棱锥PABCD中, 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， 90,21ABCBADADBCAB.
（1）.证明:直线PADBC平面// （2）.若APD的面积为3,求四棱锥PABCD的体积.
21.（12分）已知函数32392fxxxx,求: （1）.函数yfx的图象在点0,0f处的切线方程； （2）.求函数 fx的单调减区间. - 6 - / 12
22.（12分）已知椭圆222210xyabab的离心率为32,且过点22,2. （1）.求椭圆方程; （2）.设不过原点O的直线:0lykxmk,与该椭圆交于QP、两点,直线,OPOQ的斜率依次为12,kk,满足124kkk,试问:当k变化时, 2m是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论；若不是,请说明理由. - 7 - / 12
参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。） 1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D 11.C 12.B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13、答案：223
14、答案： x＋2y－11＝0 （或21121xy） 15、(理科做)答案： -3 (文科做)答案：110 16.答案：18
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.答案：
（1）. 解:∵32sinbaB, ∴由正弦定理知: 3sin2sinsinBAB, ∴B是三角形内角, ∴sin0B,
∴3sin?2A, ∴60A或120, ∴A是锐角, ∴60A.
（2）.∵ 7a,ABC的面积为103, - 8 - / 12
∴1103sin602bc, ∴40bc; 由余弦定理得22272cos60bcbc, ∴2289bc.
18. 答案： （1）.解:因为方程2560xx的两根为122,3xx
所以由题意242,3aa所以等差数列na的公差12d,首项132a 所以数列na的通项公式为1311111222naandnn （2）.由1有 21(1)3(1)115222244nnnnnSnadnnn
19.答案： （1）.由频率分布直方图得,考评分不低于80分的频率为10.050.20.40.35,所以估计全市学校的达标率为35%,中位数76.25 （2）.考评分在90,100的频率为0.1,所以参加考评且结果为优秀的学校有0.10606 (所)。又已知甲乙两所学校考评结果均为优秀,这6所学校分别记为:甲、乙、丙、丁、戊、己。故从中抽取2所共有15种结果。且甲乙两所学校至少有一所被选中的有9种结果。所以甲乙两所学校至少有一所被选中的概率为93155P
20.(理科做）答案： (1).证明:如图所示,取1AC的中点H,连接,,HEHF 则1//,HFAA且11,2HFAA 因为E为1BB的中点,所以//,EBHF 所以四边形EBFH为平行四边形,故//.BFEH - 9 - / 12
又EH平面1,AECBF平面|1,AEC 所以//BF平面1.AEC (2).设AB的中点为G,连接,,EGCG则,CGAB 因为1AA平面,ABCCG平面ABC. 所以,CG又1,ABAAA 所以CG平面11.BAAB 因为1EA平面11.BAAB所以1.CGEA 易知116,23,ECAEAC 所以22211,AEECAC 所以1.ECEA 因为,CGECC 所以1EA平面,EGC又EG平面EGC, 所以1,EGEA 所以GEC为二面角1CEAA的平面角. 又3,6,EGGCEC所以45,GEC 所以二面角1CEAA大小为45.
20.(文科做）答案： （1）.证:在平面ABCD内,因为90BADABC,
所以//BCAD.又BC平面,PADAD平面PAD 故//BC平面PAD （2）.取AD的中点M,连结PM.
北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题
临川学校2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学文科试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等差数列{}n a 中，若,84=a 42=a ，则6a ＝（ ）A ．0B ．6C ．12D ．16 2. 在等比数列{a n }中，a 1＝8，q ＝21，则a 2 ＝ （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D.4 3．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋234. 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )A. 3 B ．3 C. 5 D ．55．过点P(－1，m)和Q(m,8)的直线斜率等于2，那么m 的值等于( )A ．-17B ．2C ．5D ．10 6. 直线被圆截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．7. 已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝49和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．内含D ．相交8．已知以原点为中心的椭圆C 的左焦点为F ()01-，，离心率等于，则C 的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 9. 已知双曲线2221x y a -=（a>0）的离心率是25，则 a =（ ）22240x y x y +--=2114322=+y x 13422=+y x 12422=+y x 13422=+y xA． B ．4 C ．2 D ．1210. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线经过点()1,2-，则该抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．(0，1)D ．(0，-1)11. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）A. 2B. 1C.D. 12. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A ．C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．直线023=++y x 在y 轴上的截距为 ．14.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．16．斜率为13直线l 经过椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题10分，第18~21题每题12分.P 1222=+y x 1F 2F 9021=∠PF F 21PF F ∆232122221x y a b+=(0)a b >>1F x P 2F 1260F PF ∠=121317．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知18,831-=-=S a ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．18.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2bsin A.(1)求B 的大小．(2)若a ＝33，c ＝5，求b.19．已知等差数列的前项和满足，．（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和．{}n a n n S 30S =55S =-{}n a 21211{}n n a a -+n20. 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N. （1）求椭圆C 的方程；（2）当k =1时，求△AMN 得面积.21．已知过点)30(，A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2)3(222=-+-y x 交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若1124+=•OM ，其中O 为坐标原点，求l 的方程．22．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B. （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D 和点71(,)44Q -共线，求k.临川学校2020-2021学年度第一学期期末考试高二文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学上学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题()()","n N f n N f n n **∀∈∉≤且的否定形式是 A. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>且 B. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>或 C. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>且 D. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>或 2.若复数2a i i b i+=--（其中,a b 是实数），则复数a bi +在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设实数:p 实数1,1,:x y q >>实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的值是A. 1-B. 1±C. 1D.3±5.我们把平面内与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为()1,2n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++--=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为()1,2,1n =--的平面的方程为A.220x y z +--=B. 220x y z ---=C. 220x y z ++-=D.220x y z +++=6.将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种7.如图所示，已知四面体,,,,ABCD E F G H 分别为,,,AB BC CD AC 的中点，则化简()12AB BC CD ++的结果为 A. BF B. EH C. HG D. FG8.32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A. 20 B. -20 C. 15 D. -159.如图，在长方形OABC 内任取一点(),P x y ，则点P 落在阴影部分的概率为A. 312e -B. 112e -C. 21e -D.11e- 10.函数()()22x f x x x e =-的大致图像是11.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A. 甲只能承担第四项工作B. 乙不能承担第二项工作C. 丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作12.如图，已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,1A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为()0,1，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点，如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3，则MBN ∠的大小等于A.6π B. 4π C. 3π D. 512π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由该五组数据解得y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.850.25yt =-，则实验数据中m 的值为 . 14.若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =2，则a b +的值为 .15.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 上的点均在圆()222:59C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值，则曲线1C 的方程为 .16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价为p 元，销量Q （单位：件）与零售价p （单位：元）有如下关系：28300170Q p p =-=，则该商品零售价定为 元时利润最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设函数()1111231f n n n n =++++++，其中n N *∈，若有()24a f n >都有成立. （1）求正整数a 的最大值0a ；（2）证明不等式()024a f n >（其中n N *∈）.18.（本题满分12分）设():1p f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立，q 函数()2ln a g x ax x x=-+在其定义域上存在极值.（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图：（1）已知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元代金券，潜在消费人群每人发放80元代金券.已经采用分层抽样的方法从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列.20.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11BCC B 都是菱形，11160, 2.ACC CC B AC ∠=∠==（1）求证：（2）若16AB =求二面角11C AB A --的余弦值.21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，椭圆E 和抛物线294y x =交于,M N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆E 的右焦点2F .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的左焦点为1F ，左、右顶点分别为,A B ，经过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.22.（本题满分12分）已知函数()()()2,a x f x xea R e -=∈为自然对数的底数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<（()0f x '为函数()f x 的导函数）.。
湖南省郴州市2020-2021学年高二上学期期末考试数学Word版含答案
绝密★启用前郴州市2021年下学期期末教学质量监测试卷高二数学(试题卷)考前须知：1、本试卷分试题卷和答题卡。
试题卷共4页，有四道大题，共22道小题，总分值150分。
考试时间120分钟。
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目。
3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中考前须知的要求答题。
4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题(此题共8小题，每题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
)1.设i 虚数单位，复数z ＝1＋2i ，那么|z|＝ 52.等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝18，那么a 5＝3.“0<x<2〞是“－2<x<3〞的4.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法〞得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a ，b ，那么椭圆的面积公式为S ＝πab 。
假设椭圆的离心率为12，面积为3，那么椭圆的标准方程为 A.2214x y +=或2214y x += B.22143x y +=或22143y x += C.22163x y +=或22163y x += D.221169x y +=或221169y x += △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝3π，a ＝3，b 3c ＝A.3－336.以下可能是函数f(x)＝x2(e x－e－x)的图象的是7.?九章算术?第三章“衰分〞介绍比例分配问题：“衰分〞是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比〞。
如：甲、乙、丙、丁“衰分〞得100，60，36，21.6个单位，衰分比为40%，今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分〞，衰分比为20%，乙衰分得100石，那么丁衰分得＝m与函数f(x)＝x2，g(x)＝2lnx的图像分别交于M，N，那么|MN|的最小值为A.12＋ln2 －ln2二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。
山东省日照市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
6．如图.在正方体 中，若 为 的中点，则直线 与 所成的角的余弦值是（）
A． B． C． D．
7．如图在四面体 中， ， 分别在棱 ， 上且满足 ， ，点 是线段 的中点，用向量 ， ， 表示向量 应为（）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为左顶点，过点 且斜率为 的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，若 ，则该双曲线的离心率是（）
15．设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小值为______.
16．在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数 存在，求 的值；若 不存在，请说明理由.
设 为等差数列 的前 项和， 是等比数列，______， ， ， .是否存在 ，使得 且 ？
四、双空题
17．数列 、 满足 ，且 、 是函数 的两个零点，则 ________，当 时， 的最大值为________．
五、解答题
18．已知动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，其轨迹为 .
（1）求 的方程
（2）过点 且不与坐标轴垂直的直线 与 交于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围.
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°．
3．A
【分析】
由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解.
【详解】
解：由 ，但 时 不一定成立，例如当 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题考查了不等式的性质，重点考查了充分必要条件，属基础题.
2020-2021学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题 word版
赣州市2020~2021学年度第一学期期未考试高二数学（理科）试题2021年1月（考试时间120分钟，试卷满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．1．已知命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-成立，则p ⌝为（ ）A ．存在01x ，使000ln 1x x x -成立B ．存在01x >，使000ln 1x x x -成立C ．对任意01x ，有000ln 1x x x ≤-成立D ．对任意01x >，有000ln 1x x x -成立2．已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．B ．C ．±D ．±3．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．6435．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <6．正方形ABCD 的边长为2，以A 为起点作射线交边BC 于点E ，则BE <的概率是（ ）A B ．23 C ．13D ．1 7．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b+=，双曲线2C 的方程为221221,x y C a b -=与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．12y x =± D ．2y x =± 8．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC -中，若,,PA PB PC 两两垂直，12APB3,,,,,BPCCPAPA a PB b PC c Ss Ss Ss ======，则ABCS=（ ）A BC D9．围屋始建于唐宋，兴盛于明清．围屋结合了中原古朴遗风以及南方文化的地域特色，是中国五大民居特色建筑之一在形式上主要有方形围屋、半圆形围屋、圆形围屋，如图所示是墙体厚度为1m 的圆形围屋（主要用泥土建筑而成，大部分是客家民居，又称客家土围楼），从地面测量内环直径是16m ，外环直径是30m ，墙体高10m ，则该围屋所有房间的室内总体积（斜屋顶不计入室内体积及忽略房间之间的墙体厚度与楼板厚度）大约是（ ）A ．31610m πB ．31440m πC ．31320m πD ．31150m π 10．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ）A ．8+B ．8C ．16D ．1611．如图，已知校长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,HE 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HEα平面α，11A C D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A B C D 12．设直线l 与圆22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且积有4条，则p 的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上．13．已知抛物线22y x =，则其准线方程为____________． 14．下面是两个变量的一组数据：这两个变量之间的线性回归方程为159y x =-+，变量y 中缺失的数据是___________．15ABCD 中，对角线AC =ABC 沿AC 折起，使得二面角B ACD --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________． 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M 是12PF F 内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a =（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知:p 方程22114x y m m +=--表示双曲线，q :方程22126x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆． （1）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）1971年，江西省赣州地区信丰县开辟脐橙种植实验基地，1975年11月，出自此基地的脐橙参加赣南农产品大比武大放异彩，1976年广交会上脐橙“一炮打响”，1977年脐橙销往香港市场，1980年中科院考察队认定赣南是得天独厚的柑橘生产地，时至今日赣南脐橙已享誉全球．据市场反馈“腰围”长是25cm ~27cm 的脐橙最受消费者青睐，某种植户在甲、乙两块地种植脐橙，从两种植地采摘的脐橙中分别随机抽取100颗脐橙（“腰围”长均在21cm ~31cm ），根据“腰围”长分类画出如下统计图表：（1）求乙种植地脐橙腰围长的中位数；（2）从甲种植地样本在23cm ~25cm,25cm 27cm -两段中用分层抽样的方法抽出6颗脐橙，某同学随机的从6颗中拿走2颗，问拿到的2颗都是受消费者青睐的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点． 证明：四边形EFGH 是矩形． 20．（本小题满分12分）已知动圆与直线1x =-相交于,A B 两点，且||AB =． （1）当动圆过定点(2,0)时，求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(1,0)-的直线l 交（1）中动圆圆心C 的轨迹于,M N 两点，点P 为,M N 的中点，过点P 垂直于直线l 的直线交x 轴于点Q ，求点Q 的横坐标的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，13B BA π∠=．（1）证明：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若平面11ABB A ⊥平面,ABC M 为11A C 的中点，求二面角1C AB M --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点P ，直线1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆内一点(,0)(0)M m m ≠，作一条不垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，点Q 和点B 关于x 轴对称，直线AQ 交x 轴于点(,0)N n ，证明：m n ⋅为定值．赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题参考答案一、选择题二、填空题13．18y =-； 14．4； 15．6； 16．1)．三、解答题17．解：（1）若p 是真命题，则(1)(4)0m m --< 1分解得14m << 2分而q 是真命题，所以260m m +>-> 3分 解得26m << 4分 因为“p 且q ”为真命题，所以24m << 6分（2）当p 真q 假时：有1420m m m <<⎧⎨≥⎩或，即12m < 8分若p 假q 真时：1426m m m ⎧⎨<<⎩或，解得46m < 10分所以12m <或46m < 12分18．（1）220.1240.2260.4280.15300.1526.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲 2分220.1240.2260.3280.3300.126.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙 4分设乙种植地的中位数为x ，则79(25)0.150.23x x -⨯=⇒=6分 （2）由频率分布直方图可知23cm ~25cm 的脐橙个数为0.210020⨯= 7分 抽出120210⨯=个，假设为12,Q Q 8分 25cm ~27cm 的脐橙个数0.410040⨯=， 9分抽出140410⨯=个，假设为1234,,,C C C C 10分 从这6颗中抽出2颗可能产生的结果为：121112131421222324121314232434,,,,,,,,,C ,,C ,C ,C ,C Q Q Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C C C C C C C C共15种．2颗都是受消费者青睐的包括：121314232434C ,,C ,C ,C ,C C C C C C C C 共6种 11分所以2颗都受消费者青睐的概率62155P == 12分 19．证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ， 因为,AE BC CF AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心 1分所以BM AC ⊥ 2分又因为P 在平面ABC 的射影为O ，所以PO ⊥平面ABC 3分 所以PO AC ⊥ 4分又因为PO BM O ⋂=，所以AC ⊥平面PBM 5分 所以AC PB ⊥ 6分 （2）分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形 所以,E F 分别为,BC BA 的中点 7分 所以//EF AC 8分又由（1）AC PB ⊥，所以EF PB ⊥ 9分 因为,E H 分别为,BC PC 的中点，所以EH 平行等于12PB ， 又因为,F G 分别为,AB PA 的中点，所以GF 平行等于12PB 10分 所以EH 平行等于GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形 11分 又//,EH PB EF PB ⊥，所以EHEF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形 12分20．解：（1）设(,)C x y ，则222(1)3(2)x x y ++=-+ 2分 即26y x =，所以圆心C 的轨迹方程为：26y x = 4分 （2）设过点(1,0)-直线:(1)MN y k x =+，联立26(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，消y 得：()2222260k x k x k +-+= 6分所以()2242640k k ∆=-->，即232k <7分 设()()1122,,,M x y N x y ，根据韦达定理得：1212262,1x x x x k +=-= 9分 所以MN 的中点2331,P kk ⎛⎫-⎪⎝⎭ 10分 过点P 的垂线为23131y x k k k ⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11分 令0y =，则2324x k =+>， 所以点Q 的横坐标的取值范围(4,)+∞ 12分 21．证明：（1）如图取AB 中点D ，连接1,B D CD ．因为四边形11BCC B 为菱形，所以11B C BC ⊥ 1分 又因为三棱柱的所有棱长均为2，13B BA π∠=，所以ABC 和1ABB 是等边三角形，所以1,B D AB CD AB ⊥⊥因为1,B D CD ⊂平面11,B CD B D CD D ⋂=，所以AB ⊥平面1B CD 3分 所以1B C AB ⊥，而1BC AB B ⋂=， 所以1B C ⊥平面1ABC 4分（2）因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由（Ⅰ）知1B D AB ⊥ 5分 所以1B D ⊥平面ABC ．则1,,DB DB DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空间直角坐标系．则1(0,0,0),(1,0,0),D A B C -，11(1(C A -- 6分因为M 为11A C的中点，所以32M ⎛- ⎝ 7分所以11(1,3,0),(1,0,3),2AC AB AM ⎛===- ⎝，设平面1AB M 的法向量为1(,,)nx y z =，则11130102AB n x z AM n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得1(3,3,1)n =-- 8分 同理设平面1AB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则1223030AB n x AC n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得2(3,1,1)n =- 9分11所以121212(cos ,n n n n n n ⋅-<>=== 11分所以所求二面角1C AB M --的余弦值为65 12分22．解：（1）由题可知：2a = 1分令1223(0,),44PA PA b P b k k ⋅==--，所以23b = 3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y += 4分（2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-， 联立223412()x y yk x m ⎧+=⎨=-⎩，消y 得：()222223484120k x mk x k m +-+-= 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，根据韦达定理得：2221212228412,3434mk k m x x x x k k -+==++ 8分 直线()121112:y y AQ y y x x x x +-=--，令0y =，则()1121112111211212y x x y x y x x y x y n x x y y y y ---+++==+=++ 9分()()()()()2222212211212121221212122412822343482234k m mk m k x m x k x m x x x m x x y x x y k k mky y k x m k x m x x m mk ---+--++++====+-+-+--+ ()222222241282448686m k m k mk m mk m m ---===--- 11分所以44m n m m ⋅=⋅=（定值） 12分。
福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期末数学(理科)试题
福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期末数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．双曲线22164x y -=的焦点坐标是（ ）． A．(B．(0,C．( D．(0,2．命题:p x ∀∈R ，1222xx ⎛⎫+ ⎪⎭≥⎝，则p ⌝为（ ）．A ．x ∃∈R ，1222xx +≥ B ．x ∃∈R ，1222xx +< C ．x ∀∈R ，1222xx +<D ．x ∃∈R ，1222xx +≤3．设x ，y 满足约束条件0220x y x y x -≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）．A ．1B ．6C ．7D ．84．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =，AD b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+D ．1122a b c --+5．已知a ,b ,c 分别为ABC ∆内角A ,B ,C的对边,若3c =,b =30B =︒,则a =（ ）．A ．3B．CD ．3或6．等比数列{}n a 的各项数列均为正数，且34258a a a a +=，则212226log log log a a a +++=…（ ）．A ．5B ．6C ．8D ．22log 3+7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，C 与直线:1l y x =-相交于A ，B 两点．若线段AB 中点的横坐标为3，则C 的标准方程为（ ）．A ．22x y =B ．22x y =C ．22y x =D ．24y x =8．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞9．下列说法正确的是（ ）．A ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}1n n a a ++为等差数列B ．若14m ≤-，则函数2()lg lg f x x x m =+-无零点C ．在ABC ∆中，若sin A <，则04A π<<D ．直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，则“//m n ”是“//m α”的充要条件10．过点(2,2)P 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 与x 轴正半轴交于点A ，2l 与y 轴正半轴交于点B ，若(,)M x y 为线段AB 的中点，则14x y+的最小值为（ ）．A ．72B ．4C ．92D ．511．我国古代《易经》中有关于远古时期“结绳计数”的记载，即通过在绳子上打结来记录数量．某部落采用“满五进一结绳计数”方法，即在从右到左依次排列的绳子上打结，当某条绳子的打结数量达到5个时，则松开该绳上的所有结，并往左边相邻的绳子上打个结．例如，若打猎记录如图1，则表示打猎数量累计为8．如果该部落某年的打猎记录如图2，那么可以表明该部落该年的打猎数量累计为（ ）．A ．3906B ．7812C ．19530D ．3906012．已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点，直线l 过椭圆的中心且与椭圆交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆过1F ，且1124F AB ππ≤∠≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）．A ．2⎣⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知向量(1,2,3)a =-，(3,,)b x y =，若a 与b 共线，则x y +=__________． 14．若“24x <”是“11m x m -≤≤+”的必要不充分条件，则m 的取值范围是__________．15．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作直线l 与C的左右支分别交于P ，Q 两点，若260QPF ∠=︒，且2||PQ PF =，则双曲线的渐近线的方程为__________．16．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，且2sin sin (sin sin )B A A C =+，则ABC 的周长的取值范围为__________．三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，32418S a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和． 18．已知抛物线22(0)y px p =>经过点(3,6)． （1）求此抛物线方程及焦点坐标；（2）过点(3,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若AB 中点M 到直线20x +=的距离为7，求||AB ．19．在平面四边形ABCD 中，4=AD ，2CD =，AB BC =，90B ∠=︒． （1）若3D π∠=，求DAC ∠；（2）求四边形ABCD 面积S 的最大值．20．如图，已知四边形ABDE 的正方形，AD 与BE 相交于点O ，BCD 为等边三角形．现将EAD 沿AD 折起到E AD '的位置，将CBD 沿BD 折起到C BD'的位置，使得折后E D '⊥平面C BO '．（1）求证：OB ⊥平面'AE D ； （2）求二面角A OC B -'-的大小．21．在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26,30]︒︒范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为20米，屏幕底部距离地面11.5米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面x 米处的某人，眼睛位置距离地面高度为1.5米，观察屏幕的视角为θ（情景示意图如图所示）．（1）为探究视觉效果，请从sin θ，cos θ，tan θ中选择一个作为y ，并求()y f x =的表达式；（2）根据（1）的选择探究θ是否有达到最佳视角效果的可能．22．点P 在椭圆22:142x y C +=上，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．（1）若点R 满足22RQ PQ =，试求点R 的轨迹2C 的方程； （2）直线l 与1C 相交于A ，B 两点，且与（1）中的2C 相切，线段AB 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)K n ，求n 的取值范围．参考答案1．A 【分析】求得双曲线的a ,b ,c ,可得所求焦点坐标． 【详解】解:双曲线22164x y -=的a =2b =,c =可得双曲线的焦点为(． 故选:A ． 【点睛】本题考查了双曲线的焦点坐标.在求解时,应确定两方面,一是焦点所在的轴,二是c 的值.对于双曲线221(0)x y AB A B+=<,2c A B =+.若0A >,则焦点在x 轴上; 若0B >,则焦点在x轴上. 2．B 【分析】全称命题:x A ∀∈，()P x 的否定,是特称命题:x A ∃∈，()P x ⌝，结合已知中原命题x ∀∈R ,1222x x+≥,易得到答案． 【详解】 解:原命题x ∀∈R ,1222xx+≥ ∴ 命题x ∀∈R ,1222xx +≥的否定是: x ∃∈R ,1222xx+<． 故选:B ． 【点睛】本题考查了命题的否定. x A ∀∈，()P x 的否定为x A ∃∈,()P x ⌝ ; x A ∃∈,()P x 的否定是x A ∀∈,()P x ⌝.求否定的易错点是和否命题进行混淆. 3．B 【分析】作出约束条件对应的平面区域,将目标函数变形成2y x z =-+,画出2y x =- 并在平面区域内进行平移,即可找到最优解,进而可求最大值. 【详解】解:作出可行域,如图所示的阴影部分由2z x y =+可得2y x z =-+,则z 为直线2y x z =-+的纵截距 结合图象可知,当直线2y x z =-+过(2,2)B 时,z 取得最大值6 故选:B ． 【点睛】本题考查了线性规划求最值.对于这种题目,作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求最值即可． 4．A 【详解】因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出11111()222B M B BM c c a B b B AD A =+=+-=-+，选A5．C 【分析】由已知利用余弦定理可得260a -+=,解方程可求a 的值． 【详解】解:3c =,b =30B =︒ ∴由余弦定理可得:2222cos b a c ac B =+-可得223323a a =+-⨯⨯,整理得260a -+=∴解得a =故选:C ． 【点睛】本题考查了余弦定理.在解三角形时,若已知两边及一边的对角,一般情况下用正弦定理解三角形,有时也可用余弦定理求另一边.若已知两边及其夹角,则利用余弦定理解三角形.易错点在于忽略大边对大角. 6．B 【分析】结合等比数列的性质可求出344a a =,结合对数的运算性质可知所求即为2126log (...)a a a ,再次利用等比数列的性质即可求出. 【详解】解: 因为{}n a 为等比数列,则由等比数列的性质可知5342a a a a = 又因为34258a a a a +=,所以34254a a a a ==则()32122262126234log log log log log ()a a a a a a a a +++== (3)2log 46==．故选:B ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了对数的运算性质.在等比数列中,若p q m n +=+,则p q m n a a a a =;等差数列有一个类似的性质,即若p q m n +=+,则p q m n a a a a +=+.对于该的应用,易错点是和等差数列性质混淆. 7．D 【分析】设出抛物线方程22y px =,与直线方程联立,利用韦达定理得1222x x p +=+,由中点横坐标为3,可求p ,进而可求解抛物线方程． 【详解】解:抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴上,抛物线方程设为22y px =联立221y px y x ⎧=⎨=-⎩,可得2(22)10x p x -++=C 与直线:1l y x =-相交于A ,B 两点．设()()1122,,,A x y B x y则1222x x p +=+,121=x x .由已知可得:1222322x x p ++==,解得2p =.所求抛物线方程为:24y x =． 故选:D ． 【点睛】本题考查了抛物线方程的求解,考查了直线与抛物线的位置关系.当涉及到直线与抛物线的问题时,常联立直线与抛物线的方程,消元后,根据韦达定理,得到两个交点坐标的关系.再根据具体地条件进行列方程求解. 8．B 【分析】结合已知不等式可转化为即22a x x >-+,结合二次函数的性质求22x x -+ 在[2,)+∞ 上的最大值,即可求解． 【详解】 解:[2,)x ∈+∞,22()0x x a f x x-+=> [2,)x ∴∈+∞,220x x a -+>即22a x x >-+在[2,)x ∈+∞上恒成立.结合二次函数的性质可知 当2x =时,22x x -+取得最大值为0.即0a >. 故选:B ． 【点睛】本题考查了由不等式恒成立问题求参数的范围.对于关于()f x 的不等式在x 的某段区间上恒成立问题,一般情况下进行参变分离,若()a h x > 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最大值,令max ()a h x > 即可; 若()a h x < 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最小值,令min ()a h x < 即可.9．A 【分析】A:利用等差数列的定义进行判断;B:令lg t x =,则2()f t t t m =+-,结合二次函数的零点存在问题,进行判断;C:结合正弦函数,可解不等式,进而可判断A 的取值范围;D:判断由“//m n ”是否能推出“//m α”,再判断由“//m α”是否能推出“//m n ”. 【详解】解:数列{}n a 为等差数列,不妨设数列{}n a 通项公式为n a pn q =+,则1(1)n a p n q pn p q +++=++=.122n n n b a a pn p q +∴=+=++则1232n b pn p q +=++.12n n b b p +∴-=与n 无关. 故数列{}1n n a a ++为等差数列,A 正确.令lg t x =,则2()f t t t m =+-,当14m =-时, 21()04f t t t =++=此时12t =-,即x =,函数函数2()lg lg f x x x m =+-有零点,B 错误.由正弦函数图像可知,若sin A <则04A π<<或34A ππ<<,C 错误. 当“//m α”时,直线n ⊂平面α,不一定有“//m n ”,所以D 项错误. 故选:A ． 【点睛】本题考查了等差数列的定义,考查了函数的零点与方程的根,考查了三角函数不等式,考查了充分必要条件的判断.判断一个数列是否为等差数列,可利用等差数列的定义,即判断后一项与前一项的差是否为一个常数;求解三角函数不等式时,常常结合三角函数的图像进行求解;判断两个命题的关系时,通常分为两步,判断由p 是否能推出q ,以及判断由q 是否能推出p . 10．C 【分析】设O 为坐标原点,由题意可得,ABOP 四点共圆,且圆心为M ,结合圆的性质及两点间的距离公式化简可得M 的方程，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】解:设O 为坐标原点,由题意可得,ABOP 四点共圆,且圆心为M所以||||MP MO =,=化简可得,2x y +=,且0x >,0y >,则141141419()5(54)2222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4y x x y =即23x =,43y =时取等号,此时取得最小值92． 故选:C ． 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,考查了基本不等式.对于求轨迹方程的问题,根据题意,找到等量关系,列出方程.有些特殊轨迹,如圆,椭圆,双曲线,抛物线,根据定义也能进行求解.利用基本不等式求最值时,常见的题型是”1”的代换. 11．B 【分析】由题意可得该部落一年的打猎数量为252252525+⨯+⨯++⨯…,由等比数列的求和公式计算可得所求和． 【详解】解:由图2可得该部落一年的打猎数量为：()625515225252521552781215-+⨯+⨯++⨯=⨯+++=⨯=-……．故选:B ． 【点睛】本题考查了等比数列求和,考查了进制数的转换.对于数()n abcdef 为n 进制的数,将其转换为十进制时,只需代入公式5432a nb nc nd ne nf ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 进行求解.本题的难点在于不能由图2写出正确的五进制数. 12．A 【分析】设1F AB θ∠=,由以AB 为直径的圆过1F ,可得1|||||AO BO OF c ===,即|2AB c =,运用直径所对的圆周角为直角,以及锐角三角函数的定义,以及辅助角公式,结合离心率公式可得所求范围． 【详解】解:设1F AB θ∠=,则124ππθ≤≤由以AB 为直径的圆过1F ,可得1|||||AO BO OF c ===,即||2AB c = 在直角三角形1F AB 中,12cos AF c θ=,12sin BF c θ=由椭圆的对称性可得1122cos 2sin 24AF BF a c c c πθθθ⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭即有14c e aπθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由124ππθ≤≤42πθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，则,23e ∈⎣⎦. 故选:A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义性质,考查了三角函数的值域.本题难点是不能由性质得到,a c 的方程,若采用设直线方程、交点坐标找关于,a c 的方程,计算量很大.对于12sin(),[,]y A x x x x ωϕ=+∈ 求值域时,常用换元法,令t x ωϕ=+ ,结合正弦函数图像即可求出函数值域. 13．3 【分析】若a 与b 共线,则存在唯一实数λ使得a b λ=,1323x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,解得λ,x ,y 进而得出答案．【详解】解:若a 与b 共线,则存在唯一实数λ,使得a b λ=所以(1,2,3)(3,,)x y λ-=,即1323x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,解得1369x y λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩所以693x y +=-+= 故答案为:3．【点睛】本题考查空间向量的共线.若向量()()111222,,,,,x y z x y z ==a b 共线,则存在唯一实数λ使得a b λ= 或得到111222222(0)x y z x y z x y z ==≠,进而进行求解. 14．(1,1)- 【分析】先解出不等式,根据题中给的充要性,判断集合的包含关系,解出参数． 【详解】解:由题意知:设24x <对应的集合为(2,2)A =- 设11m x m -≤≤+对应的集合为[1,1]B m m =-+，24x <是11m x m -≤≤+的必要不充分条件 B ∴ A 2112m m -<-⎧∴⎨+<⎩,解之得:11m -<<.故答案为:(1,1)-． 【点睛】本题考查了由充分必要条件求参数的取值范围,考查了二次不等式得解法.对于已知两命题的充分必要关系时,首先对两命题进行化简,一般解不等式,得到两命题对应的集合,A B 即可;再根据命题关系,得到参数的取值范围.若已知p 是q 的充分不必要条件,则A B ;若已知p 是q 的必要不充分条件,则B A .15．y = 【分析】由题意画出图形,由双曲线定义结合已知可得12PF a =,24PF a =.再由余弦定理可得a 与c 的关系,进而得到226ba=即求得双曲线的渐近线的方程．【详解】解:由双曲线的定义知,1212QF QF PF a -==,212PFPF a -=24PF a ∴=,260QPF ∠=︒,12120F PF ∴∠=︒在12F PF △中,由余弦定理:2221212122cos120F F PF PF PF PF =+-⋅︒得2221244328c a PF PF a =+⋅=,即227c a=226b a∴=,即双曲线的渐近线方程为y =．故答案为:y =.【点睛】本题考查了双曲线定义及性质,考查了余弦定理.一般地,在圆锥曲线的问题中,若已知过两焦点角的大小,常结合余弦定理进行求解.本题的难点在于,根据已知条件,能够结合双曲线的定义及性质,用,,a b c 将1212,,PF PF F F 表示出来.对于求椭圆和双曲线离心率的题目,关键在于列出,,a b c 的方程,结合定义进行化简.16．(4++ 【分析】由正弦定理、余弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin 2sin()A B A =-,进而可得2B A =.由正弦定理可得4cos b A =.根据已知可求范围64A ππ<<,利用余弦函数的性质可求范围b <<2a =,即242b c =+,可求ABC ∆的周长为212a b c b b ++=+,由二次函数性质即可求得ABC ∆的周长的取值范围．【详解】解:因为2sin sin (sin sin )B A A C =+,所以22b a ac =+由余弦定理可得2222cos 222c b a c ac c aA bc bc b+-++===同理可得:cos 2c aB b -=,即2cos 2cos c a b A c a a B+=⎧⎨-=⎩.消去c , 可得22cos 2cos a b A a B =-∴2sin 2sin cos 2sin cos A B A A B =- 即2sin 2sin()A B A =-,可得2B A = 由正弦定理sin sin a b A B=,可得2sin sin 2bA A =,即4cos b A = 因为ABC ∆为锐角三角形,且ABC π++=,所以022A π<<即64A ππ<<,所以cos 22A <<,即b << 又因为2a =,即242b c =+所以ABC ∆的周长为2241222b a bc b b b -++=++=+由二次函数性质可得, ABC ∆的周长的取值范围为:(4++． 故答案为:(4++． 【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了二次函数求最值.在解三角形的问题中,若已知的一个等式中,既有边又有角,则常常进行边角互化,即2sin 2sin 2sin a R Ab R Bc R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩或者222222222222cos cos cos b c a A a a c b B b b a c C c ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩统一形式,进而进行求解. 17．(1) 3n a n =;(2)23(1)n nT n =+.【分析】(1)设等差数列的公差为d ,运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式;(2)运用等差数列的求和公式,可得1212113(1)31n n b S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪++⎝⎭,再由数列的裂项相消求和,计算可得所求和． 【详解】解:(1)等差数列{}n a 的公差设为d ,由32418S a a =+=可得1133182418a d a d +=⎧⎨+=⎩ ,解得13a d ==.则33(1)3n a n n =+-=. (2)13(33)(1)22n S n n n n =+=+,设1212113(1)31n nb S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪++⎝⎭ 则数列{}n b 的前n 项和2111112121132231313(1)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭…． 【点睛】本题考查了等差数列通项公式,考查了等差数列的前n 项和.求等差数列的通项公式时,可用基本量表示出已知条件,列出方程组,求得基本量,即可求解通项公式.数列的求和问题,常见的思路有分组求和,错位相减,裂项相消等.18．(1)方程为:212y x =,焦点坐标为(3,0);(2)16. 【分析】(1)利用已知条件求出p ,然后求解抛物线方程以及焦点坐标．(2)求出抛物线的准线方程,结合已知条件利用抛物线的定义以及梯形的中位线的性质求解即可． 【详解】解:(1)由题意可得266p =,所以6p,所以抛物线方程为212y x =所以抛物线的焦点坐标为(3,0)．(2)抛物线的焦点坐标为(3,0),准线方程为3x =-因为AB 中点M 到直线20x +=的距离为7,即M 到直线30x +=的距离为8d =由抛物线的定义以及梯形中位线性质可得：||22816AB d ==⨯=． 【点睛】本题考查了抛物线方程,考查了抛物线的焦点弦问题.求抛物线的方程时,一般首先设出抛物线的方程,由已知条件列出关于p 的方程,进行求解即可.关于抛物的焦点弦,一般并不采用设直线与抛物线方程联立,由韦达定理进行求解的方法,而是结合抛物线的焦点弦公式求解12AB x x p =++.19．(1)6DAC;(2)5+【分析】(1)由已知利用余弦定理可求AC 的值，由正弦定理可得1sin 2DAC ∠=,进而可求DAC ∠的值．(2)设D θ∠=,由余弦定理可得AC =利用三角形的面积公式可求54cos ABC S θ=-△,4sin ADC S θ=△,可求54ABCD S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,结合范围(0,)θπ∈,利用正弦函数的性质可求其最大值．【详解】解:(1)由余弦定理可得:2222cos AC AD CD AC CD D =+-⋅⋅即AC ==由正弦定理可得:sin sin AC CD DACθ=∠,即sin 213sin 2CD DAC AC π⋅∠=== 又因为CD AC <,所以6DAC(2)设D θ∠=,由余弦定理可得AC ==所以21122ABC S AC =⨯△1(2016cos )4θ=-54cos θ=- 又因为124sin 4sin 2ADC S θθ=⨯⨯⨯=△所以4sin 54cos 54ABCD S πθθθ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭因为(0,)θπ∈,所以42ππθ-=,即当34πθ=时, ABCD S最大值为5+ 【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角函数求最值.已知三角形中两边及其一边的对角时,常采用正弦定理求解,有时也采用余弦定理;当已知三角形的两边及其夹角时,或已知三角形的三边时,采用余弦定理解三角形.在解三角形时,注意运用大边对大角进行排除答案.20．(1)见解析;(2)3π. 【分析】(1)推导出E D OB '⊥,OB AD ⊥,由此能证明OB ⊥平面AE D '．(2)以O 为原点,OA ,OB ,OE '为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A OC B -'-的大小． 【详解】 (1)证明:E D '⊥平面C BO ',OB ⊂平面C BO ',∴E D OB '⊥，∵在正方形ABDE 中,O 为AD 与BE 的交点,OB AD ∴⊥E D AD D '⋂=,OB ∴⊥平面AE D '.(2)解:AE E D '=',O 为AD 中点,E O AD ∴'⊥以O 为原点,OA ,OB ,OE '为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系A,B,(D,E ',E D '⊥平面C BO ',∴平面C BO '的一个法向量为(3,0,n E D ='= E D '⊥平面C BO ',∴E D OC '⊥'设(,,)C xy z ',则(,)DC x yz '=+,(,)BC x y z '=-1E D OC '⊥,||||6DC BC'='=,066+=∴==，解得x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或33x y z ⎧=-⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩(舍).(C ∴'设平面AOC '的法向量(,,)n x y z =则OA 3x 0OC 3x 0n n '⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取1y =,得(0,1,1)n =-设二面角A OC B -'-为θ,则|||31cos ||||22n m n m θ⋅-===⋅⋅由图知3πθ=,∴ 二面角A OC B -'-的大小为3π. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定,考查了二面角的求法.在证明线面垂直时,关键是在平面内找到两条直线与已知直线垂直,常运用勾股定理、矩形的临边、正方形的对角线、等腰三角形三线合一、线面垂直的性质等来证明线线垂直.求二面角的大小时,建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,进而可求. 21．(1)sin θ=;(2)视角30达到最佳．【分析】(1)过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==,10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=,sin sin()sin cos cos sin θαβαβαβ=-=-,化简即可得出答案．(2)由基本不等式可得1sin 2θ=≤=,即可得出答案． 【详解】解:过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=(1)sin sin()θαβ=-sin cos cos sin αβαβ=-=-=(2)1sin 2θ=≤=,当且仅当2290000x x =,即x =,sin θ取到最大值12 因为sin θ在(0,90)︒上单调递增,所以观察屏幕视角最大值为[]3026,30︒∈︒︒ 即此时视角达到最佳．【点睛】本题考查了解三角形的应用,考查了基本不等式,考查了三角恒等变换.求最值时,我们常用的思路有:根据函数图像求最值,根据函数单调性求最值,结合导数求最值,运用基本不等式求最值,换元法求最值等.在运用基本不等式求最值时,易错点在于忽略一正二定三相等.22．(1)2214x y +=;(2)(1,0)(0,1)-.【分析】(1)设R ,P ,Q 的坐标由向量间的关系,求出R 与P 的坐标之间的关系,再由相关点法求出R 的轨迹方程.(2)设直线l ,联立与两个切线的方程,由题意得n 与直线参数的关系,由参数的范围求出n 的取值范围． 【详解】解:(1)设()00,P x y ,则()0,0Q x ,(,)R x y ,()0,RQ x x y =--,0(0,)PQ y =-由22RQ PQ =,所以0002x x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得:0x x=,0y =由P 在椭圆上,所以动点R 的轨迹2C 的方程:2214x y +=.(2)当直线l 的斜率不存在时:2l x =,不符合题意,舍去; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为:y kx m =+ 联立与椭圆2C 的方程,整理得:()222148440k xkmx m +++-=则()()222264414440k m km∆=-+-=,化简得:2241k m =-①因为直线l 与椭圆1C 交于A ,B ,设(,)A x y ,(),B x y '',AB 的中点M 联立直线l 与椭圆1C 的方程整理得:()222124240kxkmx m +++-=∴ 2412km x x k -+'=+,222412m xx k-'=+,()22212m y y k x x m k +'=+'+=+ 则222,1212kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭,所以AB 的中垂线方程:22121212m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭ 令0x =,得212m y k -=+,所以212m n k -=+②,由①②得2||12n k=+ 令2121t k =+>,则|||(1,0)(0,1)n ==-⋃．所以n 的取值范围:(1,0)(0,1)-．【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了函数值域.涉及到直线与椭圆问题,一般情况下,将直线方程与椭圆方程进行联立,若直线方程未知,则可先设出直线方程.联立整理后,根据韦达定理得到交点的坐标关系,再接下来则根据题意进行求解.此类题计算量往往比较大,应注意计算的准确性.。
湖北省十堰市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学试题 含答案
十堰市2020~2021学年度上学期期末调研考试高二数学（2021年1月）本试题共4页，22题，满分150分，考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答題卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区堿内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p n ∀∈N ，313n n +>，则p 的否定是（ ） A ．n ∃∈N ，313n n +> B ．n ∃∈N ，313n n +>C ．n ∀∈N ，313n n +≤D ．n ∀∈N ，313n n +<2．若直线1:3(2)20l x b y -++=与2:(44)9180l b x y b ++-=垂直，则2l 的方程的截距式为（ ）A ．124x y += B ．143x y +=C ．134x y +=D ．132x y +=3．若圆22(1)(1)5x y -+-=关于直线2y kx =+对称，则k =（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．已知a ，b 都是实数，则“33log log a b >”是“2233a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下表为随机数表的一部分：08015 17727 45318 22374 21115 7825377214 77402 43236 00210 45521 64237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，要求利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（ ）A ．11B ．15C ．25D ．376．直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（ ）A ．710B ．57C ．75D ．1457．如图，在四面体OABC 中，G 是ABC △的重心，D 是OG 的中点，则（ ）A ．111366OD OA OB OC =++ B ．111666OD OA OB OC =++C ．111233OD OA OB OC =++D ．111333OD OA OB OC =++8．已知曲线C 上任意一点P 到定点()1,0F 的距离比点P 到直线2x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若||||6MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列说法中正确的有（ ） A ．直线:440l mx y ++=恒过点()0,1-B ．若平面α，β的法向量分别为1(0,1,3)n =，2(1,3,1)n =-，，则αβ∥C ．已知1F ，2F 分别是椭圆22321x y +=的两个焦点，过点1F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为D ．已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 110．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法错误的是（ ）A ．总体中对平台一满意的消费人数约为36B ．样本中对平台二满意的消费人数为300C ．若样本中对平台三满意的消费人数为120，则50%m =D ．样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为5411．已知圆22:(5)(12)36C x y +++=和点()2,0A -，()2,0B ．若点P 在圆C 上，22||||PA PB λ+=，则λ的取值不可能为（ ）A ．105B ．110C ．725D ．73512．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，2122b F F a=，点P 为双曲线右支上一点，I 为12PF F △的内心，若1212(1)IPF IPF IF F S S S λ=+-△△△成立，则下列说法正确的有（ ）A ．12PF F △可能为等腰三角形B ．双曲线的离心率12e +=C ．当2PF x ⊥轴时，1245PF F ∠=︒D ．λ=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知直线30x my m ++-=与直线10mx y +-=平行，则m =__________．14．若某单位拟从五位应届大学毕业生A ，B ，C ，D ，E 中录用两人，这五人被录用的机会均等，则A 或E被录用的概率__________．15．若命题“0x ∃>，290x ax ++≤”是真命题，则a 的取值范围是__________．16．已知三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且2PB PA PC ==，若球O 的表面积为36π，则球心O 到平面ABC 的距离为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①被x 轴，y轴所截得的弦长均为C 的圆心位于第四象限，②与直线43180x y -+=相切于点()3,2B -，③过点()2,5B --，且圆心在直线0x y +=上这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：已知圆C 过点()2,3A -，_________，求圆C 的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）已知集合{}22320A x x ax a =-+≤∣，集合{}220B x x x =--≤∣，:p x A ∈，:q x B ∈． （1）当1a =时，p 是q 的什么条件？（2）若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 19．（12分）某蛋糕店推出新品蛋糕，为了解价格对新品蛋糕销售的影响，该蛋糕店对这种新品蛋糕进行了5天的试销，每种售价试销1天，得到如下数据：（1）求销量y 关于售价x 的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与售价服从（1）中的回归直线方程，已知该新品蛋糕的成本是每个11元，求该新品蛋糕一天的利润的最大值及对应的售价．参考公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（12分）某购物网站为优化营销策略，从某天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的网购者中随机抽取100人进行调查，根据调查数据，按消费金额分成[)0,200，[)200,400，[)400,600，[)600,800，[]800,1000五组，得到的频率分布直方图如图所示．已知样本中网购者的平均消费金额是568元（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）． （1）求频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）若从消费金额少于400元的网购者中采用分层抽样法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的消费金额都在[)200,400内的概率．21．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥A BCDE -中，AE AD ⊥，:: 1:2:2AE EB BC =，AED CDE ∠=∠，AC DC =，点O 为DE 的中点．（1）证明：CO ⊥平面ADE ．（2）求平面ABE 与平面AOC 所成锐二面角的余弦值． 22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()A 在椭圆C 上，且12AF AF ⊥．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）点H 在圆222x y b +=上，且H 在第一象限，过点H 作圆的切线交椭圆C 于P ，Q 两点，PQ 不经过2F ，证明：2F PQ △的周长为定值．十堰市2020~2021学年度上学期期末调研考试高二数学参考答案1．B p 的否定是“n ∃∈N ，313n n +≤”．2．C因为1l 与2l 垂直，所以3(44)9(2)0b b +-+=，解得2b =，则2l 的方程为129360x y +-=，即134x y+=． 3．D圆22(1)(1)5x y -+-=关于直线2y kx =+对称， 所以圆心()1,1在直线2y kx =+上，得121k =-=-．4．A 因为33log log 0a b a b >⇔>>，2233||||a b a b >⇔>，所以前者是后者的充分不必要条件． 5．A从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，读取的有效编号为15，17，53，18，22，37，42，11．6．C圆220x y x y +-+=的圆心坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径2r =，圆心到直线的距离110d ==，所以所求弦长为75=． 7．B如图，记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ， 所以1()2OE OB OC =+， 又G 是ABC △的重心，则23AG AE =， 所以22()33AG AE OE OA ==-． 因为12OD OG =，所以1111()()2223OD OG OA AG OA OE OA ==+=+-1111()6366OA OE OA OB OC =+=++111666OA OB OC =++． 8．D因为任意一点P 到定点()1,0F 的距离比点P 到直线2x =-的距离小1，所以任意一点P 到定点()1,0F 的距离等于点P 到直线1x =-的距离可知曲线C 为抛物线． 设它的方程为()220y px p =>，由12p=，得2p =，曲线C 的方程为24y x =． 过M 作准线1x =-的垂线，垂足为1M ，过N 作准线的垂线，垂足为1N （图略）． 因为||||6MF NF +=，所以116MM NN +=，四边形11MM N N 为梯形， 由梯形的中位线定理可知，线段MN 的中点Q 到C 的准线1x =-的距离为632=， 故点Q 到y 轴的距离为312-=．9．ACD直线:440l mx y ++=，当0x =时，1y =-， 故直线l 恒过点()0,1-，选项A 正确；法向量1n 与2n 不平行，所以αβ∥不成立，B 错误；椭圆的标准方程为2211132x y +=，该椭圆的焦点在y轴，其长半轴长为a =， 所以，2ABF △的周长为4a =，C 正确； 设正方形ABCD 的边长为2c，则|||BD AB ==，设椭圆的长轴长为2a ，则2||||22(1a AD BD c =+=+=+，所以该椭圆的离心率1c e a ===，D 正确． 故选ACD ．10．ABC样本中对平台一满意的人数为20006%30%36⨯⨯=，故A 错误； 总体中对平台二满意的人数约为150020%300⨯=，故B 错误； 对平台三的满意率为12080%25006%=⨯，所以80%m =，故C 错误；样本中对平台一和平台二满意的总人数为20006%30%15006%20%361854⨯⨯+⨯⨯=+=， 故D 正确．11．AD设(),P x y ，由22||||PA PB λ+=，可得2282x y λ-+=，即此时点P 在圆228:2M x y λ-+=上．又因为点P 在圆C 上，故圆C 与圆M 有公共点，66≤≤，解得719≤≤，即106730λ≤≤．12．ABD易知A 正确；因为2122b F F a=，所以2222222b c a c a a -==，整理得210e e --=，因为1e >，所以e =，所以B 正确； 当2PF x ⊥轴时，221212b PFc F F a ===， 此时121tan 2PF F ∠=，所以C 错误； 设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112IPF S PF r =⋅△，2212IPF S PF r =⋅△，12122IF F S cr cr =⋅=△， 因为1212(1)IPF IPF IF F S S S λ=+-△△△， 所以121122PF r PF r ⋅=⋅(1)cr λ+-，解得121112PF PF a c c λ-+=+===，所以D 正确； 设内切圆与1PF ，2PF ，12F F 的切点分别为M ，N ，T ，可得|||PM PN =，11||||F M FT =，22|||F N F T=∣， 由121212|||||||||||2PF PF F M F N FT F T a -=-=-=，1212|||||2F F FT F Tc =+=∣， 可得2F T c a =-，可得T 的坐标为(),0a ，即I 的横坐标为a ，则D 错误．13．1或1-∵两直线平行，∴1113m m m -=≠-，可得1m =-或1m =． 14．710从A ，B ，C ，D ，E 中任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情形， A 或E 被录用的有AB ，AC ，AD ，AE ，BE ，CE ，DE ，共7种，所以710m =． 15．(,6]-∞-由290x ax ++≤，得29x a x+≤-．因为0x >，所以2996x x x x +⎛⎫-=-+≤- ⎪⎝⎭（当且仅当3x =时，等号成立），故6a ≤-． 16．3因为在三棱锥中P A ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可把该三棱锥看作一个长方体的一部分，此长方体内接于球O ，长方体的体对角线为球的直径，球心O 为长方体对角线的中点．设球O 的半径为R ，2436S R ππ==球，3R =．设PB x =3=，解得2x =．建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则(2,2,1)O ，(4,0,0)A ，(0,4,0)C ，(4,4,0)P ，(4,4,2)B ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则420440n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得()1,1,2n =-．设球心O 到平面ABC 的距离为d ，则||6||OA n d n ⋅==． 17．解：选①设圆222:()()(0,0)C x a y b r a b -+-=><，由题意可知22222(2)(3)||||24a b r a b a r ⎧--+-=⎪=⎨⎪+=⎩，解得115a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．因此，圆C 的方程为22(1)(1)25x y -++=． 选②由题意知圆心必在过切点()3,2B -且垂直切线43180x y -+=的直线上， 可求得此直线方程为3410x y ++=．直线AB 的斜率32123AB k -==-+，线段AB 中点的坐标为55,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段AB 的垂直平分线方程为5522x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-，即y x =-． 可知圆心必在线段AB 的垂直平分线y x =-上，联立3410y x x y =-⎧⎨++=⎩，可求得圆心()1,1C -，则||5r BC ===，因此，圆C 的方程为22(1)(1)25x y -++=． 选③由题意知圆心必在AB 的垂直平分线上，所以AB 的垂直平分线方程为1y =-． 将直线10y +=与直线0x y +=联立，可得圆心坐标()1,1C -．||5r BC ===，因此，圆C 的方程为22(1)(1)25x y -++=．18．解：（1）当1a =时，{}2320{12}A x x x x x =-+≤=≤≤∣∣，{}220{12}B x x x x x =--<=-≤≤∣∣，所以A B ⊆，但B A ⊄． 所以p 是q 的充分不必要条件． （2）因为q 是p 的必要条件，所以A B ⊆，而{}22320{()(2)0}A x x ax a x x a x a =-+≤=--≤∣∣．当0a >时，{2}A xa x a =≤≤∣， 所以122a a ≥-⎧⎨≤⎩，所以11a -≤≤，故01a <≤； 当0a =时，{0}A =，成立；当0a <时，{2}A xa x a =≤≤∣，所以212a a ≥-⎧⎨≤⎩，所以122a -≤≤，故102a -≤<．综上所述，112a -≤≤，即实数a 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 19．解：（1）由题意可得1819202122205x ++++==，6156504845525y ++++==，则2222221861195620502148224552052ˆ41819202122520b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==-++++-⨯， ˆˆ52(4)20132ay bx =-=--⨯=． 故销量y 关于售价x 的回归直线方程为ˆ4132yx =-+． （2）设该新品蛋糕一天的利润为z 元，则2(11)(4132)41761452z x x x x =--+=-+-． 故当176222(4)x =-=⨯-时，z 取得最大值，且2max 422176221452484z =-⨯+⨯-=．即当该新品蛋糕的售价为22元时，一天的利润取得最大值484元．20．解：（1）由题意可得(0.00030.00210.0004)2001(1000.00033005007000.00219000.0004)200568x y x y ++++⨯=⎧⎨⨯+++⨯+⨯⨯=⎩，解得0.0006x =，0.0016y =．（2）由（1）可知消费金额在[)0,200内的网购者有1000.00032006⨯⨯=人．消费金额在[)200,400内的网购者有1000.000620012⨯⨯=人，则从消费金额少于400元的网购者抽取的6人中，消费金额在[)0,200内的有2人，记为A ，B ，消费金额在[)200,400内的有4人，记为a ，b ，c ，d ．从这6人中随机抽取2人的情况有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共15种，其中符合条件的情况有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种． 故所求概率62155P ==．21．（1）证明：由题意可得四边形BCDE 为菱形，连接CE ，在Rt ADE △中，12AE DE =， ∴60AED ∠=︒，则60CDE ∠=︒，CDE △为正三角形． 由点O 为DE 的中点，得CO ED ⊥． ∵点O 为DE 的中点， ∴12AO ED EO ==，又AC DC =，∴AC EC =， ∴AOC EOC △≌△，则CO AO ⊥ ∵AODE O =，∴CO ⊥平面ADE ．（2）解：如图，不妨设2DE =，以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -则(0,1,0)D ，(0,1,0)E -，C，2,0)B -，10,2A ⎛- ⎝⎭， (3,1,0)BE =，10,,22EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =则1111301022m BE y m EA yz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11z =，得(1,m =-．设平面AOC 的法向量为()222,,n x y z =，则22230102n OC x n OA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令2y =(0,3,1)n =． ∵|||cos ,|||||5m n m n m n ⋅〈〉===， ∴平面ABE 与平面AOC 22．（1）解：因为点A 在椭圆C 上所以22811a b +=①． 设1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >， 因为12AF AF ⊥1=-，解得3c =，所以229a b -=②．由①②解得212a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为221123x y +=． （2）证明：设点()11,P x y ，()22,Q x y，则2211412x y +=．因为)214PFx ===-，1||2PH x ====，所以2||PF PH += 同理可得2||QF QH +=，所以()()2222||||||||PF QF PQ PF PH QF HQ ++=+++=∣， 所以2PQF △的周长为。
山西省运城市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理+文)+语文试题 含答案
高二数学（理）参考答案 第1页（共5页）
19.解：(1)取 AB 中点 H ,连接 EH, HD ,在直三棱柱
ABC
−
A1B1C1
中,
EC1∥
1 2
AC
.
…………2
∵ D 为 BC 中点, H 为 AB 中点,
∴ HD∥ 1 AC, 2
HD∥EC1 ,
…………4
∴四边形 DHEC1 为平行四边形,∴ DC1 ∥ HE .…………5
6(1 + 2k 2 ) = 6 2 ………9 分
3 + 4k 2
7
解得 k 2 = 1 或 k 2 = − 11 （舍去） ∴ k = ±1 24
∴直线 l 的方程为 y = x +1或y = −x +1
…………………………12 分
20. (1)证明：如图所示，取 PB 中点 M，连接 MF，AM.
且 BC = 2 AD = 2CD = 2 2 ∴ AB = AC = 2,∴ AB ⊥ AC …………2 又 AB ⊥ PC , AC ∩ PC = C, AC ⊂ 平面 PAC , PC ⊂ 平面 PAC ∴ AB ⊥ 平面 PAC …………3 ∴PA = AC = 2, PC = 2 2,∴ PA ⊥ AC …………4 又Q PA ⊥ AB, AB ∩ AC = A, AB ⊂ 平面 ABCD , AC ⊂ 平面 ABCD ,…………5 ∴ PA ⊥ 平面 ABCD …………6 (2)解:在线段 AD 上取点 N,连接见 MN ,使 MN / / PA ，取 BC 的中点 E，则 AE, AD, AP
高二数学（理）参考答案 第4页（共5页）
则
x1
+
2020-2021学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b23.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥04.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.109.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.2410.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项【正确答案】：C【解析】：求出a n=2n，即可求出n的值．【解答】：解：由题意可得公差为2，首项为2，则a n=2+2（n-1）=2n，∴2n=2020，即n=1010，故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b2【正确答案】：B【解析】：根据不等式的性质对每一选项进行判断即可．【解答】：解：已知a＜0＜b，对于a2＜b2和ab＞b2，若a=2，b=-1，AD选项错误，等于C，b正数，a负数， $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ =-[（- $\frac{b}{a}$ ）+（-$\frac{a}{b}$ ）]＜-2 $\sqrt{(-\frac{b}{a})\bullet (-\frac{a}{b})}$ =-2，则C选项错误，而 $\frac{a}{b}$ 是负数，故B选项正确，故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质及不等式大小的判断，属于基础题．3.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥0【正确答案】：A【解析】：根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】：解：命题是特称命题，则其否定是全称命题，即∀x∈（0，+∞），xlnx≥0，故选：A．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．4.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$【正确答案】：A【解析】：先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】：解：椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1得∴c1= $\sqrt{2}$ ，∴焦点坐标为（ $\sqrt{2}$ ，0）（- $\sqrt{2}$ ，0），双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1的焦点必在x轴上，则半焦距c2= $\sqrt{m+1}$ ，∴ $\sqrt{m+1}$ = $\sqrt{2}$解得实数m=1．故选：A．【点评】：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：解关于q的不等式，再结合集合的包含关系判断即可．【解答】：解：由命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，即- $\frac{1}{2}$ ＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：对f（x）求导，根据f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，得到关于a的方程，再求出a的值．【解答】：解：由f（x）=ax+lnx，得 $f'(x)=a+\frac{1}{x}$ ，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，∴f'（1）=3，∴a+1=3，∴a=2．故选：B．【点评】：本题考查了利用导函数研究曲线上某点的切线，考查了方程思想，属基础题．7.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$【正确答案】：A【解析】：利用余弦定理|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC可求得|AB|，利用正弦定理即可求解．【解答】：解：∵△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，∴由余弦定理得：|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC，可得：7=|AB|2+4-2|AB|，即|AB|2-2|AB|-3=0，∴|AB|=3．∴sinA：sinC=BC：AB=2：3．故选：A．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关定理是基础，属于基础题．8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.10【正确答案】：B【解析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，数形结合进行求解即可求得最小值．【解答】：解：画出约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ 表示的平面区域，如阴影部分所示：目标函数z=x+3y可化为y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z，平移目标函数知，当直线y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z经过点A时，直线y=-$\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z的截距最小，此时z最小．由 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$ ，解得A（3，1），代入目标函数得z=3+3×1=6．即z=x+3y的最小值为6．故选：B．【点评】：本题主要考查了线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义与数形结合法，是解决此类问题的基本方法，是中档题．9.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.24【正确答案】：C【解析】：由等比数列的性质即可求得a9，再由等差数列的性质即可求解．【解答】：解：因为在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，所以 ${{a}_{9}}^{2}$ =8a9，解得a9=8或a9=0（舍），所以b9=a9=8，因为数列{b n}是等差数列，所以b7+b11=2b9=16．故选：C．【点评】：本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的性质，属于基础题．10.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$【正确答案】：A【解析】：由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|的值推出三角形PF1F2为直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求解．【解答】：解：由题意可得：a= $\sqrt{5}$ ，b=1，c=2，所以|F1F2|=2c=4，又|OP|=2，所以|OP|= $\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$ ，所以三角形PF1F2是以点P为直角的直角三角形，所以|PF1|⊥|PF2|，则|PF ${}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=16$ ，又|PF ${}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a=2\sqrt{5}$ ，所以|PF1||PF2|=2，则三角形PF1F2的面积为S= $\frac{1}{2}×|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{1}{2}×2=1$ ，故选：A．【点评】：本题考查了椭圆的定义以及直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）【正确答案】：D【解析】：分别根据导数图象，判断函数的单调性，即可．【解答】：解：对于A，由f′（x）图象知，当x＜-1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，故A错误，对于B，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，函数为减函数，则x=3是函数的一个极大值点，故B错误，对于C，f′（3）=f′（5），故C错误，对于D，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，则f（-1）＜f（3）成立，故D正确，故选：D．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键，是基础题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]【正确答案】：B【解析】：由已知得到方程m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，构造函数h（x）=x2-lnx-x，求出h（x）的最值和端点值，即可得到m的范围．【解答】：解：由已知得到方程f（x）=-g（x）在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，即m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有解．设h（x）=x2-lnx-x，则h′（x）=2x- $\frac{1}{x}$ -1= $\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$ ，令h′（x）=0得x=1．∴当 $\frac{1}{2}$ ＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，∴h（x）在（ $\frac{1}{2}$ ，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．∴当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=0，∵h（ $\frac{1}{2}$ ）=ln2- $\frac{1}{4}$ ，h（2）=-ln2+2，且h（2）＞h（ $\frac{1}{2}$ ），0＜m≤ln2- $\frac{1}{4}$ ．从而m的取值范围为（0，ln2- $\frac{1}{4}$ ]故选：B．【点评】：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，解题关键是将已知转化为方程在某区间上有解，属于中档题．13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．【正确答案】：[1]31【解析】：由x2-3x+2=0，解得x，然后求出公比q，再求出S5的值．【解答】：解：由x2-3x+2=0，解得x=1，2，∵数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，∴a1=1，a2=2，∴公比q=2．∴其前5项和S5= $\frac{{2}^{5}-1}{2-1}$ =31．故答案为：31．【点评】：本题考查了一元二次方程的解法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：将4x+y=8转换为y=8-4x，代入xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，解一元二次函数在x＞0的区间的最值即可．【解答】：解：已知正实数x，y满足4x+y=8，则y=8-4x，即xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，x＞0，且仅当x=1时，xy的最大值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{3\sqrt{3}}{2}$【解析】：在△ABC中，由b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，结合余弦定理b2=a2+c2-2accosB可求得ac=6，从而可求得△ABC的面积．【解答】：解：在△ABC中，∵B= $\frac{2π}{3}$，b2=（a+c）2-6=a2+c2+2ac-6，又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac×（- $\frac{1}{2}$ ）=a2+c2+ac，∴ac=6，∴S△ABC= $\frac{1}{2}$ acsinB= $\frac{1}{2}$ ×6× $\frac{\sqrt{3}}{2}$ =$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ，故答案为： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ．【点评】：本题考查余弦定理与三角形面积公式的应用，考查运算能力，属于中档题．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．【正确答案】：[1]【解析】：由已知可得AF=BF=AB，分析出点A，B关于x轴对称，设出点A的坐标代入抛物线方程，再由抛物线定义可得AF的关系式，联立方程即可求解．【解答】：解：因为三角形ABF为等边三角形，则AF=BF，又点F在抛物线的对称轴x轴上，所以点A，B两点的横坐标相等，纵坐标相反，则设点A（m，n）（n＞0），所以B（m，-n），满足n2=2m，且AB=2n，又由抛物线的定义可得AF=AB=m+ $\frac{p}{2}=m+\frac{1}{2}$ =2n，联立方程 $\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}=2m}\\{m+\frac{1}{2}=2n}\end{array}\right.$ ，解得n=2 $±\sqrt{3}$ ，所以三角形ABF的边长为2n=4 $±2\sqrt{3}$ ，故答案为：4 $±2\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查了抛物线的定义以及等边三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别解出p、q命题为真命题时a的取值范围，再结合复合命题的真假可得答案．【解答】：解：命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；若P真命题，则a≤（x+ $\frac{1}{x}$ ）min．因为x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]，所以x+ $\frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x\bullet \frac{1}{x}}$ =2，当且仅当x= $\frac{1}{x}$ 时，即x=1时等号成立，所以a≤2；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若q真命题，则，Δ=a2-4a＜0，即0＜a＜4．若命题p∧q是真命题，则p．q都是真命题，即 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$ ，所以0＜a≤2．故答案为：实数a的取值范围为{a|0＜a≤2}．【点评】：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d 的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前n项和T n．【解答】：解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{4{a}_{1}+6d=22}\end{array}\right.$ ，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$ ，∴a n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得：b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ = $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ =$\frac{1}{3}$ （ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ），∴T n=b1+b2+…+b n= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ ）+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ ）+…+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ +…+ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{n}{3n+1}$ ．【点评】：本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，是中档题．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值，由此求得∠B，∠C的值，代入求值即可．【解答】：解：（Ⅰ）已知等式（2b-c）cosA=a•cosC，由正弦定理化简得（2sinB-sinC）cosA=sinA•cosC，整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA= $\frac{1}{2}$ ，∴A= $\frac{π}{3}$；（Ⅱ）∵b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bcosA，即12=b2+c2-bc，∴12=（b+c）2-3bc，∵b+c=6，∴bc=8，∴ $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$ ．当b=2，c=4时，C= $\frac{π}{2}$，B= $\frac{π}{6}$，∴sin（B-A）=sin（- $\frac{π}{6}$）=- $\frac{1}{2}$ ．当b=4，c=2时，B= $\frac{π}{2}$，∴sin（B-A）=sin $\frac{π}{6}$ = $\frac{1}{2}$ ．综上所述，sin（B-A）的值为- $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ ．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？【正确答案】：【解析】：（1）当x=0时，y=28，代入y的解析式中，可求得k的值；由题意可得，每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，然后根据利润=销售价格×年销售量-成本，写出L的解析式即可；（2）结合（1）中L的解析式，利用基本不等式，即可得解；【解答】：解：（1）∵不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，∴当x=0时，y=28，∴28=30- $\frac{k}{10}$ ，解得k=20，∴y=30- $\frac{20}{x+10}$ ，∵每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，∴每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，∴L=y•（1.5× $\frac{80+160y}{y}$ ）-（80+160y+x）=40+80y-x=40+80•（30- $\frac{20}{x+10}$ ）-x=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x（x≥0）．（2）由（1）知，L=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x=2450- $\frac{1600}{x+10}$ -（x+10）≤2450-2 $\sqrt{\frac{1600}{x+10}\bullet (x+10)}$ =2370，当且仅当 $\frac{1600}{x+10}$ =x+10，即x=30时，等号成立，此时L取得最大值，为2370万元，故该工厂计划投入促销费用30万元，才能获得最大利润．【点评】：本题考查函数的实际应用，以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a ＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意可得e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，b2=a2-c2，$\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，解得c，a，b，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，在化简计算k OA k OB=k2，即可解得k的值．【解答】：解：（Ⅰ）因为e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以a= $\sqrt{2}$ c，又b2=a2-c2，所以b=c，所以左顶点与上顶点的直线方程为 $\frac{x}{-\sqrt{2}c}$ + $\frac{y}{c}$ =1，即x- $\sqrt{2}$ y+ $\sqrt{2}$ c=0，所以 $\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，c= $\sqrt{2}$ ，a=2，b=$\sqrt{2}$ ，所以椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$ + $\frac{{y}^{2}}{2}$ =1．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，理由如下：由题知- $\sqrt{2}$ ＜m＜ $\sqrt{2}$ 且m≠0，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\righ t.$ ，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，所以x1+x2= $\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$ ，x1x2= $\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$ ，Δ=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-4）=8（4k2-m2+2）＞0恒成立，因为k OA k OB= $\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{(k{x}_{1}+m)(k{x}_{2}+m)}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km({x}_{1}+{x}_{2})+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$= $\frac{{k}^{2}(2{m}^{2}-4)-4{k}^{2}{m}^{2}+{m}^{2}(1+2{k}^{2})}{2{m}^{2}-4}$ =$\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ ，所以 $\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ =k2，所以（2k2-1）m2=0，解得k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以存在实数k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，使得k OA k OB=k2成立．【点评】：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将a=-1代入f（x）中，求出f'（x），根据导函数f'（x）在不同区间上的符号，确定f（x）的单调区间；（Ⅱ）对f（x）求导，将f′（x）＞xlnx+2恒成立转化为 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立，然后令g（x）= $\frac{lnx}{x}$ - $\frac{2}{x}$ - $\frac{1}{x^{2}}$ ，判断g（x）的单调性，进一步求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）定义域为R，由a=-1，得 $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）=-x2+2x+3=-（x+1）（x-3），令f′（x）＞0，得-1＜x＜3，令f′（x）＜0，得x＜-1或x＞3∴函数f（x）的单调增区间为（-1，3），单调减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵ $f(x)=\frac{a}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）＞xlnx+2，即ax2+2x+3＞xlnx+2，∵x∈（1，e3），∴原问题等价于 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立．令 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}，(1＜x＜e^{3})$ ，则$g′(x)=\frac{1-lnx}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}=\frac{3x-xlnx+2}{x^{3}}$ ，令h（x）=3x-xlnx+2（1＜x＜e3），则h′（x）=2-lnx，∴当x∈（1，e2）时，h′（x）＞0，当x∈（e2，e3）时，h′（x）＜0，∴h（x）在区间（1，e2）上是增函数，在区间（e2，e3）上是减函数，又h（1）=5＞0，h（e3）=2＞0，∴当x∈（1，e3）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴函数 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 在区间（1，e3）上是增函数，∴ $g(x)＜g(e^{3})=\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，∴ $a≥\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，即实数a的取值范围为 $[\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}，+∞)$．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想，属中档题．。
2020-2021学年江苏省南通市如东县高二上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝t2+2t，则物体在t＝2时的瞬时速度为（）A．4B．6C．8D．102．命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．抛物线y＝ax2的焦点是直线x+4y﹣1＝0与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（）A．B．x＝﹣1C．D．y＝﹣14．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（）A．7B．8C．9D．105．若函数在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2] 6．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（）A．B．[1，+∞）C．（0，1]D．7．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a2，，，成公比为4的等比数列，则k3＝（）A．84B．86C．88D．968．已知函数f（x）＝lnx，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有[f（x1）﹣f（x2）]（x12﹣x22）＞k（x1x2+x22）恒成立，则实数k的最大值是（）A．﹣1B．0C．1D．2二、选择题（共4小题）.9．如图是函数y＝f（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A．f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数B．当x＝3时，f（x）取得最小值C．当x＝﹣1时，f（x）取得极小值D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4上是减函数10．等差数列{a n}中，a5＝11，a12＝﹣10，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．a1+a16＝1B．S8是{S n}中的最大项C．S9是{S n}中的最小项D．|a8|＜|a9|11．下列命题中是真命题的是（）A．的最小值为2B．当a＞0，b＞0时，C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为12．已知F1，F2是椭圆（a1＞b1＞0）和双曲线（a2＞b2＞0）的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（）A．a12﹣b12＝a22﹣b22B．b12＝3b22C．＝1D．e12+e22的最小值为1+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。