高考文科数学(2卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（II 卷）答案详解一、选择题1.（集合）已知集合A ={}3,x x x Z <∈，B ={}1,x x x Z >∈，则A B =A.∅B.{}3,2,2,3-- C.{}2,0,2- D.{}2,2-【解析】∵{}2,1,0,1,2A x =--，∴{2,2}A B =- .【答案】D2.（复数）41i -=（）A.－4 B.4C.－4iD.4i【解析】[]224221(1)244i i i i ⎡⎤=-=-=-⎣⎦-=（）.【答案】A3.（概率统计）如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.15【解析】原位大三和弦：1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===；共5个.原位小三和弦：1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===；共5个.总计10个.【答案】C4.（概率统计）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B5.（平面向量）已知单位向量a ,b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2a b+ B.2a b+ C.2a b- D.2a b -【解析】解法一（待定系数法）：设()ma nb b +⊥，则有21()02ma nb b ma b nb m n +⋅=⋅+=+=，即2m n =-，故选D.解法二：2o(2)2211cos6010a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-= ，故选D.特殊法：如图A5所示，画单位圆，作出四个选项的向量，只有2a b -与b 垂直.图A5【答案】D6.（数列）记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a －3a =12,6a －4a =24，则nnS a =A ．21n -B ．122n-- C.122n --D ．121n --【解析】设{}n a 的公比为q ，∵6453()1224a a a a q q -=-==，∴2q =，∵22253311(1)(1)1212a a a q a q q a -=-=-==，∴11a =，∴111111(1)2111=22222n n n n n n n n a q S q a a q -------==-=-.【答案】B7.（算法框图）执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A.2B.3C.4D.5【解析】①输入00k a ==，，得211a a =+=，11k k =+=，10a >否，继续；②输入11k a ==，，得213a a =+=，12k k =+=，10a >否，继续；③输入23k a ==，，得217a a =+=，13k k =+=，10a >否，继续；④输入37k a ==，，得2115a a =+=，14k k =+=，10a >是，程序退出循环，此时4k =.【答案】C8.（解析几何）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A．5B.5C.5D.5【解析】如图A8所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵圆过点（2,1）且与两坐标轴都相切，∴222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=5或=5.图A8【答案】B9．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】如图A9所示，双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的渐近线为b y x a =±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴1282ODE S a b ab ∆=⋅==，∴焦距2248c ==≥⨯=，当且仅当a =等号成立.故C 的焦距的最小值为8.图A9【答案】B10.（函数）设函数331()f x x x =-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】∵333311()()()()f x x x f x x x-=--=-+=--，∴()f x 是奇函数，243()3f x x x'=+，当x >0，()0f x '>，∴()f x 在(0,+∞)单调递减.【答案】A11.（立体几何）已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．32【解析】由题意可知244ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A11所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故1232O A =⨯=，∴O 到平面ABC 的距离11OO ==.图A11【答案】C12.（函数）若2233x y x y ---<-，则A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【解析】2233xyxy---<-可化为2323xxyy---<-，设1()2323xxxxf x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（三角函数）若2sin 3x =-，则cos 2x =____.【解析】2221cos 212sin 1239x x ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.【答案】1914.（数列）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =____.【解析】26126462a a a d d +=+=-+=，∴1d =.∴1011091091010(2)12522S a d ⨯⨯=+=⨯-+=.【答案】2515.（线性规划）若x ，y 满足约束条件1,1,21,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____.【解析】由约束条件，作出可行域如图A15所示.化目标函数2z x y =+为1122y x z =-+，由图可知，当直线1122y x z =-+过点A (2,3)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值，所以z max=8.图A15【答案】816.（立体几何）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共60分。
17.（12分）（三角函数）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2π5cos cos 24A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，（1）求A ；（2）若3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形.【解析】（1）由三角函数诱导公式可得22πcos sin 2A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此由已知得已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=，所以21(cos )02A -=，解得1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin sin 3B C A -=．由(1)知23B C π+=，所以2sin sin()sin 333B B ππ--=，即131sin 222B B -=，化为1sin(32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．18.（12分）（概率统计）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i iii i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。
高考全国卷2文科数学试卷及答案
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学考前须知：1. 本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答复第一卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第一卷一、选择题：本大题共12小题。
每题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的。
〔1〕集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，那么M∩N=〔A〕｛-2，-1，0,1｝〔B〕｛-3，-2，-1，0｝〔C〕{-2，-1，0} 〔D〕{-3，-2，-1 } 〔2〕||=〔A〕2〔B〕2 〔C〕〔D〕1〔3〕设x，y满足约束条件，那么z=2x-3y的最小值是〔A〕〔B〕-6 〔C〕〔D〕-〔4〕△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2，B=，C=，那么△ABC的面积为〔A〕2+2 〔B〕〔C〕2〔D〕-1〔5〕设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，那么C的离心率为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕sin2α=，那么cos2(α+)=〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔7〕执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=〔A〕1〔B〕1+〔C〕1++++〔D〕1++++〔8〕设a=log32,b=log52,c=log23,那么〔A〕a＞c＞b 〔B〕b＞c＞a 〔C〕c＞b＞a 〔D〕c＞a＞b〔9〕一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是〔1，0，1〕，〔1，1，0〕，〔0，1，1〕，〔0，0，0〕，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，那么得到的正视图可为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.假设|AF|=3|BF|，那么L的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 〔B〕y=〔X-1〕或y=-〔x-1〕〔C〕y=〔x-1〕或y=-〔x-1〕〔D〕y=〔x-1〕或y=-〔x-1〕〔11〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx+c ，以下结论中错误的选项是〔A〕〔B〕函数y=f〔x〕的图像是中心对称图形〔C〕假设x0是f〔x〕的极小值点，那么f〔x〕在区间〔-∞，x0〕单调递减〔D〕假设x0是f(x)的极值点，那么f’〔x0〕=0〔12〕假设存在正数x使2x〔x-a〕＜1成立，那么a 的取值范围是〔A〕〔-∞，+∞〕〔B〕(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)〔-1，+∞〕第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。
2020年高考全国II卷文科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （ ）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （ ）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （ ）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 （ ）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是 （ ）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （ ）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为 （ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ）A.5B.5C.5D.5【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==标为(5,5)时，其到直线230x y --==，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =． 10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x=-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ． 判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 （ ）B.32C.1【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xyx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos2x = ． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12． （2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MNMH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞； （2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=， 令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥； 因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即 ()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。
普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ文数高考试题(含答案)
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考前须知：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合A={ x | x1} ， B { x | x2}，那么 A∩ B=A ． (– 1， +∞)B ． (–∞， 2)C．(–1， 2) D ．2．设 z=i(2+i) ，那么z =A ． 1+2iB ．–1+2iC．1–2i D ．–1–2i 3．向量a=(2，3)， b=(3，2)，那么|a–b|=A ．2B ． 2C．52 D ．504．生物实验室有 5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，假设从这 5 只兔子中随机取出3 只，那么恰有 2 只测量过该指标的概率为23A ．B ．3521C． D ．555．在“一带一路〞知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0时， f(x)= e x1，那么当x<0时，f(x)=A ．e x1C． e x17．设α，β为两个平面，那么α∥ β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面B．e x1 D． e x18．假设 x1=，x2=是函数f(x)=sin x (>0) 两个相邻的极值点，那么= 443A ． 2B．2C．1D．129．假设抛物线2x2y2y =2px〔 p>0〕的焦点是椭圆1的一个焦点，那么p=3 p pA ． 2B．3C．4D． 810．曲线 y=2sinx+cosx 在点 (π，– 1) 处的切线方程为A．x y1 0B．2x y 2 1 0C．2x y 2 1 0D．x y1011． a∈〔 0，π〕， 2sin2 α=cos2α+1，那么 sin α= 2A．1B．5 55C．3D．2 53512．设 F 为双曲线 C：x2y21〔a>0，b>0〕的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与a 2b2圆x2+y2=a2交于 P、Q 两点．假设 |PQ|=|OF|，那么 C 的离心率为A．2B．3C 2D． 5．二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．2 x3y6，013．假设变量 x， y 满足约束条件xy3，那么 z=3x–y 的最大值是___________.y2，14．我国高铁开展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为，有20 个车次的正点率为，有 10 个车次的正点率为，那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ___________.15．△ABC的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c. bsinA+acosB=0 ，那么 B=___________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体〞〔图 1〕.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体表达了数学的对称美．图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为1．那么该半正多面体共有________个面，其棱长为_ ________．〔此题第一空 2 分，第二空 3 分．〕三、解答题：共70 分。
全国新课标2卷高考文科数学试题及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第一卷选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x Y 则,30,21A.(-1， 3)B.(-1， 0 )C.(0， 2)D.(2， 3)(2)若a 实数， 且=+=++a i i ai则,312A.-4B. -3C. 3D. 4(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图， 以下结论中不正确的是2700260025002400210020001900)A.逐年比较， 2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
（4）已知向量=•+-=-=则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则A. 5B. 7C. 9D. 11(6)一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A. 81B.71C. 61D. 51(7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A. 35B. 321C. 352D. 34(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图， 若输入的a,b 分别为14,18， 则输出的a 为A. 0B. 2C. 4D.14(9)已知等比数列{}=-==24531),1(4,41a a a a a a n 则满足 CA. 2B. 1C. 21D. 81（10）已知A,B 是球O 的球面上两点， 为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠若三棱锥O-ABC体积的最大值为36， 则球O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144πD.256π(11)如图， 长方形的边AB=2， BC=1,O 是AB 的中点， 点P 沿着边BC,CD,与DA 运动， 记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠xPODCBADCBA424442424π424XOXOX X O（12）设函数的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11)1ln()(2->+-+=A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞YC. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞Y第二卷填空题：本大题共4个小题， 每小题5分（13）已知函数=-=a x ax x f ），则的图像过点（4,1-2)(3。
(全国卷II)(含答案)高考文科数学(2)(20200626150236)
f(x1))，
(x2，
22．已知抛物线 C：y＝(x＋1)2与圆 M：(x－1)2＋(y－ 1 )2＝r 2(r＞0)有一个公 2
共点 A， 且在 A处两曲线的切线为同一直线 l . (1)求 r； (2)设 m， n是异于 l且与 C及M都相切的两条直线， m， n的交点为 D，
求 D到l的距离．
所以 a2
1 ， S2
1 1
3.
2
22
显然只有 B 项符合．
7． C 由题意可采用分步乘法计数原理，
甲的排法种数为
A
1 4
，
剩余 5 人进行全排列：
A
5 5
，
故总的情况有：
A
1 4
·A
5 5
＝
480
种．故选
C
项．
8． D 连结 AC交BD于点 O， 连结 OE， ∵ AB=2， ∴ AC 2 2 .
5
∴ sin2
2sin cos
3 2
4
55
24 .故选 A项．
25
5． C ∵焦距为 4， 即 2c＝4， ∴c＝2. 又 ∵准线 x＝－ 4， ∴ a2 4 .
c
∴ a2＝ 8.∴b2＝a2－ c2＝ 8－ 4＝4. ∴ 椭圆的方程为 x2 y2 1 ， 故选 C 项．
84
5
6． B 当 n＝1 时， S1＝ 2a2， 又因 S1＝a1＝1，
又 2c 2 a2 b2 4 ，
∴ 由余弦定理可得
cos∠ F1PF2＝ | PF1 |2 | PF2 |2 4c2 3 .
2 | PF1 || PF2 |
4
11． D ∵ x＝ln π＞ 1， y＝log52＞ log 5 5 1 ，
高考数学试卷二卷文科答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 答案：A解析：本题考查集合的运算。
集合A和B的并集是A和B中所有元素的集合，即{1, 2, 3, 4}。
2. 答案：B解析：本题考查函数的奇偶性。
函数f(x) = x^2 - 1在x=0处对称，因此是偶函数。
3. 答案：C解析：本题考查指数函数的性质。
指数函数y = 2^x在定义域内单调递增。
4. 答案：D解析：本题考查对数函数的性质。
对数函数y = log2(x)在定义域内单调递增。
5. 答案：B解析：本题考查三角函数的性质。
正弦函数在第一象限和第二象限内为正。
6. 答案：A解析：本题考查数列的通项公式。
数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2。
7. 答案：C解析：本题考查平面向量的数量积。
向量a = (2, 3)和向量b = (1, -2)的数量积为21 + 3(-2) = -4。
8. 答案：D解析：本题考查直线方程。
直线l的方程为x + 2y - 3 = 0。
9. 答案：B解析：本题考查二次函数的图像。
抛物线y = -x^2 + 4x + 3的开口向下，顶点坐标为(2, 7)。
10. 答案：C解析：本题考查复数的运算。
复数z = 2 + 3i的模为√(2^2 + 3^2) = √13。
11. 答案：A解析：本题考查概率的计算。
事件A和B相互独立，因此P(A∩B) = P(A) P(B) = 1/3 1/3 = 1/9。
12. 答案：D解析：本题考查二项式定理的应用。
根据二项式定理，(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5。
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 答案：-3解析：本题考查一元二次方程的解。
将x=3代入方程x^2 - 4x + 3 = 0，得到3^2 - 43 + 3 = 0，解得x=3。
14. 答案：π/4解析：本题考查三角函数的值。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅱ卷)数学试题(文科)解析版
新课标II 卷数学试卷（文科）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设集合A ={-2,0,2}，20{|2=}B x x x =--，则A B ⋂=( )A ． ∅B ． {2}C ． {0}D ． {-2}【答案解析】B.解析：把-2，0，2代人202x x --=验证，只有2满足不等式，故选B.考点：考查集合的知识，简单题.2. 113i i+-= （ ）A ． 1+2iB ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-i【答案解析】B. 解析：13(13)(1)121(124)2(1)i i i i i i i i+++===-++-+--故选B.考点：考查复数的基本知识，简单题.3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若00:()0,:p f x q x x ==是()f x 的极值点，则（）A ． p 是q 的充分必要条件B ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案解析】 C.解析：极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即,q p p q ⇒⇒/ 从而p 是q 的必要但不充分的条件故选C.考点：考查充要条件与极值的基础知识，简单题. 4. 设向量,a b 满足10a b +=，6a b-=，则a b •=（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．5【答案解析】A ．解析：||10,6|4=41=+=-=∴+⋅+⋅+∴⋅∴⋅=-=2222a b a b a 2a b b a 2a b b a b a b故选A ．考点：考查平面向量的数量积，中等题.5.等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （ ）A ． (n 1)n + )B ． (n 1)n -C ． (n )21n +D ．(n 1)2n - 【答案解析】A ．解析：∵数列{}n a 是等差数列，公差等于2∴2141812,6,14a a a a a a =+=+=+∵248,,a a a 成等比数列∴22428111()6)214()(a a a a a a ⋅⇒=++=+ 解得122(221)n a a n n ==+-⇒⋅=∴(1)(222)=n n n S n n ⋅=++ 故选A ．考点：考查等差数列的通项公式与求和公式，中等题.6.如图，网格纸上正方形小格子的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（ ）A ．1727 B ． 59C ． 1027D ．13 【答案解析】C.解析：毛胚的体积23654V ππ⋅⋅==制成品的体积 221322434V πππ⋅⋅+⋅⋅==∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：134********V V ππ-=-= ，故选C. 考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3 ，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )A ．3B ．32C ．1D ．3【答案解析】C.解析： ∵正三棱柱的底面边长为2，D 为BC 中点 ∴22213AD +==∵1112,3BC CC ==∴111111123322B DC B C S C C ⋅=⋅⋅⋅==∴11111133133AB C B DC V S AD ⋅⋅=⋅⋅== .故选C. 考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式，中等题.8.执行右图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案解析】D.解析：第1次循环M=2,S=5,k=1第2次循环，M=2,S=7,k=2第3次循环k=3>2,故输出S=7，故选D.考点：考查算法的基本知识，简单题.9.设x ，y 满足约束条件0103310x y x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥-⎩+，则z =2x +y 的最大值为( )A ． 8B ． 7C ．2D ．1【答案解析】A ．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10.设F 为抛物线23C y x =：的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB | =（ ）A ． 30B ．6C ．12D ．73【答案解析】C.解析：∵23y x =∴抛物线C 的焦点的坐标为：()3,04F所以直线AB 的方程为：330an )t (4y x ︒-= 故233()43x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒ ∴弦长12||=3122x x AB ++= 故选C.考点：考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为中等题.11.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(],2-∞-B ． (],1-∞-C ． [2)∞，+D ． [1)∞，+ 【答案解析】D.解析：()ln f x kx x =-1()(0)f x k x x∴'=-> ()f x 在区间(1,)+∞上递增()f x ∴在区间(1,)+∞上恒大于等于0，11()0((1,))x k k x x f x∴'=-≥⇒≥∀∈+∞ 1k ∴≥故选D.考点：考查导数与函数单调性的关系.中等题.12.设点0(,1)M x ，若在园22:1O x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45°，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]11,22-C ． []2,2-D ． []22,22- 【答案解析】A ． 解析：设N 点的坐标为,s (cos )in θθ（1）当00,1x ≠± 时∵0(,1)M x 点的坐标为∴OM ,MN 的斜率分别为：001s n c s ,i o 1OM MN k x k x θθ-==- ∵45OMN ∠=︒∴1tan 45()1MN OM MN OM MN OM MN OMk k k k k k k k -︒=±⇒=-++± 即000011sin 1()11sin cos cos ()x x x x θθθθ--±-=--+⋅* 取正号时，化简（*）式得：2000(1)sin 11()cos x x x θθ+-=++取负号化简（*）式得：2000(1)sin 1(1)cos x x x θθ++=+-∴2220000(1)(1)sin()1x x x θϕ++-+=+∴222400000(1)(1)11||1x x x x x +-≥+⇒≤⇒≤+故0||<1x 且00x ≠（2）当00x =时，取(1,0)N ,此时满足题设.（3）当01x =±时，取(0,1)N ，此时也满足题设.综上所述，011x -≤≤ ，故选A ．从上面解法可以看到选择N 的几个特殊位置观察，即可以猜出答案，这样就可以简化解法. 考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题. 第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.甲乙两名运动员各自从红，白，蓝3种颜色的运动服从选择1种，则他们选择相同颜色的运动服的概率为 .【答案解析】1.3解析：1.3333P =⋅= 考点：考查古典概型的概念.简单题.14.函数()sin(2si c s )n o f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .【答案解析】1解析：因为cos sin 2sin c ()sin s o co s x x f x x ϕϕϕ-=+si s n in cos s n c (o i )s x x x ϕϕϕ==--所以最大值为1.考点：考查和差角公式，简单题.15.偶函数y =f (x )的图像关于直线x =2对称，f (3)=3，则f (-1)= .【答案解析】3解析：因()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= ，因()f x 关于2x =，所以(1)(2)(332)1f f f ⋅-=== .考点：考查偶函数的概念，轴对称的概念.简单题.16.数列{}n a 满足111n na a +=-，22a =，则1a = . 【答案解析】12解析：∵111n n a a +=- ，22a = ∴12111112112a a a a =⇒-==⇒- 考点：考查递推数列的概念，简单题.三、解答题（本大题共8小题）17.（12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.(I) 求C 和BD ；(II)求四边形ABCD 的面积.【答案解析】解析：（I ）1,3,2,180AB BC CD DA A C ====+=︒2222cos BD BC CD B C C CD ∴⋅=+-222cos(180-)2AD AB BD AB AD C +-=⋅︒22222332cos 112co 222s C C ∴+⋅⋅=⋅⋅-++1cos 602C C ∴=⇒=︒ 22222332cos 6077BD BD ∴+⋅⋅︒=⇒-==(II)由（I ） 得，四边形ABCD 的面积S =11sin sin 22AB AD A BC DC C ⋅+⋅⋅ 1112sin(18060)23sin 602223⋅⋅︒-︒+⋅⋅︒== 考点：考查余弦定理的应用，中等题.18.（12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，D A BC P A ⊥平面，E 为PD 中点. (I)证明:PB ||平面AEC ;(II)设AP =1，3AD =，三棱锥P-ABD 的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离. 【答案解析】解析：(I)连接EF ,因为四边形ABCD 是矩形，故F 为AC 中点，又因为E 为PD 中点，故EF 是△PBD 的中位线，从而||EF PB ,故||.PB AEC 面(II)设AB=a ，因3,1AD PA ==则11113()(3)13232P ABD V AB AD PA a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==所以32a = 过A 作AG 垂直PB 于G.因为,,ABCD BC ABCD PA A C P B ⊥⊂⇒⊥面面又因为AB BC ⊥所以BC PAB ⊥面 ,又BC PBC ⊂面故 PAB A PBC G PBC ⊥⇒⊥面面面所以AG 为点A 到面PBC 的距离.因22223131()22PB PA AB ++=== 所以113221313PA AB PB AG PA AB AG PB ⋅⋅=⋅⇒== 故点A 到面PBC 的距离为313. 考点：考查空间点线面的位置关系与空间距离.中等题.19.（12分）某市为了考核甲乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50为市民对这两部门的平分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(I)分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；(II)分别估计该市的市民对对甲，乙两部门的评分高于90的概率；(III)根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价.【答案解析】解析：(I)甲部门的得分共50个，50个数字从小到大排列起来位于中间位置的数为第25，第26个数，它们分别是：75，75，故甲部门得分的中位数是75.乙部门的得分也是50个数，它们从小到大排列起来的第25，26个数字分别是：66，68，故乙部门的中为数为6668627+=. (II)市民对甲，乙两部门的评分各有n =50个，对甲部门评分高于90分的分数有m =5个，对乙部门的评分高于90分的s =8个，故对甲部门评分高于90分的概率为5500.1m n ==，对乙部门的评分高于90的概率为8500.16n s ==. （III ）观察茎叶图的形状，甲的分数在茎6，7处形成单峰，出现在这里面的数据频率为3450，其中位数为75，乙的分数在茎5，6，7处形成单峰，出现在这个单峰里面的数据频率为2950，中位数为67.因为3450>2950,75>67,这说明市民对甲部门的评价基本在75分附近，对乙部门的评价基本在67分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.考点：考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力，中等题.20. （12分）设12,F F 分别是椭圆22221(0):x y C a a b b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点是N .(I)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率; (II)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1|MN |5||F N =，求a ，b .【答案解析】解析：解析：（I ）∵2MF x ⊥轴（不妨设M 在x 轴的上方）∴M 的坐标满足方程组222221(,)x b M c a a y b x c ⎧⎪⇒⎨⎪⎩=+= ∵MN 的斜率为34∴2234322b a ac cb =⇒= ∵222222()3a c a a c c b =-⇒-= 又∵222(1)32320c e e e e e a⇒+-⇒-=== ∴椭圆离心率为12e = . (II)∵MN 在y 轴上的截距为2，O 为12,F F 的中点∴M 的坐标为(c ,4)(不妨设M 在x 轴的上方)由（I ）得24b a= (*) ∵1||5||MN NF =∴11||4||MF NF =作1NF x ⊥轴于T ,由于△1NTF ∽ △12MF F ,故有24,4M N N y c y c x =--=- ∴321,14N M N y y c x =-=-=- ，即,3()12c N -- 把N 点的坐标代人椭圆方程得：2221419c a b+= ∴2222222)111(9(9544**)4a b b a b a b +=⇒-=- 把（*）与（**）联立得：772a b ==⎧⎪⎨⎪⎩ 考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21. （12分）已知函数32()32f x x x ax =-++.曲线y =f(x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.(I) a ;(II)证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【答案解析】解析：（I ）32232))36((f x x f x ax x a x x =⇒'=-++-+ ∵切点为(0,2),切线过点（-2，0） ∴切线的斜率为22100---= ∴(0)1a f '==(II)由（I ）知，1a =，故32()32f x x x x =-++记32()()(2)3(1)4g x f x kx x x k x =--=-+-+ ，∴2()36(1)x g x x k -+-'=∴3612(1)2412k k ∆=+-=+（1）当210k ∆≥≤-<即时 由16()3+30k g x x =-'=⇒，26+33k x =+ 21k -≤<∴1201,12x x ≤≤<<∴1()0x x g x '≥⇔< 或2x x >12()0x x g x x '≤⇔<<∴()g x 在区间12(),,,()x x -+∞∞ 上递增，在区间12(,)x x 上递减∴()g x 的极小值为322222()3(1)4g x x x k x =-+-+∵222222261()31230g x k k x x x x -+--⇒==-'= ∴22222222()(2)(1)4g x x x x x k x =--+-+ 222222221(1)42(1)34(123)x k x x k x k x x -=+-+=-+-≤-<⋅- 记222(1)4(12)()2((1)33)k x x x h x h k x x -+≤=---<⇒'=--由2210(1)23k k -≤<⇒<--≤，由41222x x ≤⇒-<-≤-< ∴2(1)0()0342k x x h -≤⇒'-<-≤- ∴()h x 在区间[1,2)递减2()(2)(1)03h x h k ⇒≥=--> ∴2212()g()()(00)g x h x x x g ⇒≥>>= （∵12(,)x x 是减区间）∴当21k -≤<时，方程()0g x =只有一根.(2) 当20k ∆<<-即时，有26(0))3(1g x k x x -+-=>'，从而()g x 在R 上递增∴当2k <-时，方程()0g x =只有一根.综上所述，方程()0g x =在R 上只有一根，即曲线()f x 直线2y kx =-只有唯一交点. 考点：考查利用导数综合研究函数性质的能力，难度压轴题.22.（10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC =2PA ，D 为PC 中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：(I) BE =EC(II) 22DE B AD P ⋅=【答案解析】解析：(I)连接OA ,OD 交BC 于F ,设PAD α∠=，因PA 是O 的切线，则90-EAO OEA α∠=∠=︒∵2,2PC PA PC PD ==∴P A D P PD A ⇒=是等腰三角形∴ PDA EDF α∠=∠=∵(90)90EDF OEA αα∠+∠=+︒-=︒∴OE BC ⊥故OE 平分弧BC ,从而BE = EC.(II)∵2,2PC PC PA D PB P ⋅==∴22PA PB PD ⋅=由（I ）知PD PA =∴222PA PA PB PB PA ⋅⇒==∴()()DE BD DC BD PA PD PB PA A PA D PA PB ⋅=⋅=⋅=-⋅=-⋅2()PA PB PC PA PB PC PA PA PB PB ⋅=⋅-⋅=⋅-=-()PC PD PB DC PB PA PB ⋅-=⋅=⋅=把2PA PB =代人上式，得222PA PB B P PB P B ⋅=⋅=∴22DE B AD P ⋅=考点：考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.23. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ,[0,]2πρθθ=∈. (I)求C 的参数方程(II)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线2:3l y x =+垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案解析】解析：（I ）∵极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈∴22cos ρρθ= ∴对应的普通方程为：220()02x y x y =≥+- ，即22(01)1()x y y -+=≥∴对应的参数方程为[0,]sin 1cos ,x y ϕϕπϕ⎧∈=+⎨=⎩(II)设半圆的圆心为A ，则A (1,0),又由（I ）知，可以设D 点坐标为(1cos n ),si ϕϕ+ ∴直线DA 的斜率tan k ϕ=∵切线与直线32y x =+垂直∴tan 3=3([0,])πϕϕϕπ⇒=∈∴3,sin 231cos ϕϕ==+ 即D 点坐标为3(3,2) 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.24. （10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||||()10af x x x a a =++->. (I)证明：()2;f x ≥(II)若(3)5f <，求a 的取值范围.【答案解析】解析：（I ）∵()||||()10a f x x x a a =++-> ∴1111,2x ,(12),a aa a x f xa a a x a x x aa ⎧⎪⎪⎪+-≤≤⎨-+-<-=⎪⎪-+>⎪⎩∴()f x 在递增(,)a +∞，在递减(-1)a ∞，-，在[]1,a a -上为常数∴()f x的最小值为()(11)2f a f a a a ≥-=+==∴()2f x ≥（II ）（1）当3a ≥时，1(3)5f a a +<=∴25522510a a a ⇒<<-+<∴3a ≤<（2）当03a <<时，2(3)61510f a a a a <⇒-+-->=∴a <或a >故132a +<<综上所述15(22a +∈考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系，中等题.。
2020年高考文科数学(2卷)：答案详细解析(最新版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（II 卷）答案详解一、选择题1.（集合）已知集合A ={}3,x x x Z <∈，B ={}1,x x x Z >∈，则A B = A. ∅B. {}3,2,2,3--C. {}2,0,2-D. {}2,2-【解析】∵{}2,1,0,1,2A x =--，∴{2,2}A B =-. 【答案】D2. （复数）41i -=（） A.－4 B.4C.－4iD.4i【解析】[]224221(1)244i i i i ⎡⎤=-=-=-⎣⎦-=（）. 【答案】A3.（概率统计）如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.15【解析】原位大三和弦：1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===；共5个. 原位小三和弦：1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===；共5个. 总计10个.【答案】C4. （概率统计）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B5.（平面向量）已知单位向量a ,b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【解析】解法一（待定系数法）：设()ma nb b +⊥，则有21()02ma nb b ma b nb m n +⋅=⋅+=+=，即2m n =-，故选D.解法二：2o(2)2211cos6010a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D.特殊法：如图A5所示，画单位圆，作出四个选项的向量，只有2a b -与b 垂直.图A5【答案】D6.（数列）记n S 为等比数列{n a }的前n 项和. 若5a －3a =12, 6a －4a =24，则nnS a =A ．21n -B ．122n --C. 122n --D ．121n --【解析】设{}n a 的公比为q ，∵6453()1224a a a a q q -=-==，∴ 2q =，∵22253311(1)(1)1212a a a q a q q a -=-=-==，∴ 11a =，∴111111(1)2111=22222n n n n n n n n a q S q a a q -------==-=- . 【答案】B7. （算法框图）执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为 A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】① 输入00k a ==，，得211a a =+=，11k k =+=，10a >否，继续；② 输入11k a ==，，得213a a =+=，12k k =+=，10a >否，继续； ③ 输入23k a ==，，得217a a =+=，13k k =+=，10a >否，继续； ④ 输入37k a ==，，得2115a a =+=，14k k =+=，10a>是，程序退出循环，此时4k =.【答案】C8. （解析几何）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A8所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∵ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)， 圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A8【答案】B9．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】如图A9所示，双曲线C ：22221x y a b -=（a >0,b >0）的渐近线为by x a=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -， ∵ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∵ 焦距22226422248c a b a a=+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A9【答案】B10.（函数）设函数331()f x x x=-，则()f x A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【解析】∵333311()()()()f x x x f x x x -=--=-+=--，∴()f x 是奇函数， 243()3f x x x'=+，当x >0，()0f x '>，∵()f x 在(0,+∞)单调递减. 【答案】A11.（立体几何）已知∵ABC 93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32C ．1D 3【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A11所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∵2R =， 设O 在∵ABC 上的射影为O 1，则O 1是∵ABC 的外接圆的圆心，故1233332O A =⨯=∵ O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A11【答案】C12. （函数）若2233x y x y ---<-，则 A. ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+< C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323xx xx f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-， ∵ x y <，∵0y x ->，∵11y x -+>，∵In(1)0y x -+>.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考全国2卷文科数学试题(含解析)(20200623193110)
试题分析：若 x x0 是函数 f ( x) 的极值点， 则 f ' ( x0 ) 0 ；若 f '( x0 ) 0 ， 则 x x0 不
一定是极值点， 例如 f ( x) x3 ， 当 x 0 时， f ' (0) 0 ， 但 x 0 不是极值点， 故 p
是 q 的必要条件， 但不是 q 的充分条件， 选 C ．
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◎
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21．已知函数 f ( x) x3 3x 2 ax 2 ， 曲线 y f ( x) 在点 (0,2) 处的切线与 x轴交点的横坐标 为 2． （1）求 a ； （2）证明：当 k 1时， 曲线 y f ( x) 与直线 y kx 2 只有一个交点． 22．如图， P 是 e O 外一点， PA 是切线， A 为切点， 割线 PBC 与 e O 相交于 B, C ， PC 2PA， D 为 PC 的中点， AD 的延长线交 e O 于点 E ．证明： （1） BE EC ； （2） AD DE 2PB2
（ 2）若 f (3) 5 ， 求 a 的取值范围．
A
P
O
B
D
E
C
23．在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 半圆 C 的极坐
标方程为
2cos , [0, ] 2．
（1）求 C 得参数方程；
（ 2）设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l : y 3x 2 垂直， 根据（ 1）中你得到的参数方
试题分析：如下图所示， 连接 AD ， 因为 ABC 是正三角形， 且 D 为 BC 中点， 则
2020年高考文科数学试题(全国2卷试卷版+解析版)
2020全国2卷高考文科数学试题（试卷版+解析版）
1．已知集合{|||3A x x =<，}x Z ∈，{|||1B x x =>，}x Z ∈，则(A B ⋂=)
A．∅B．{3-，2-，2，3}C．{2-，0，2}D．{2-，2}
2．4(1)(i -=)
A．4-B．4C．4i -D．4i
3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ，2a ，⋯，12a ．设112i j k <<．若3k j -=且4j i -=，则i a ，j a ，k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ，j a ，k a 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()
A．5B．8C．10D．15
4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过。