有界磁场专题
1 有界磁场专题复习 一、带电粒子在圆形磁场中的运动 例1、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图１所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间． 解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图２所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形Ｏ
Ｏ＇P中，O＇P=(L+r)tanθ，而)2(tan1)2tan(2tan2，
Rr)2tan(,所以求得R后就可以求出O＇P了，电子经
过磁场的时间可用t=VRVAB来求得。
由RVmBeV2得R=tan)(.rLOPeBmV mVeBrRr)2tan(，
222222
2)2(tan1)2tan(2tanrBeVmeBrmV
22222,)(2tan)(rBeVmeBrmVrLrLPO，
)2arctan(22222rBeVmeBrmV )2arctan(22222rBeVmeBrmVeBmVRt
M N O, L
A O
图1 P
M N O, L
A O
图2 R θ/2
θ
θ/2 B P
O// 2
例2、如图2，半径为cmr10的匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感强度TB332.0，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为smv/102.36的粒子．已知粒子质量kgm271064.6，电量Cq19102.3，试画出粒子通过磁场
空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空间的最大偏角．
解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R，由RvmBqv2 得 cmmmBqmvR2020.0102.3332.0102.31064.619627
虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心，半径cmR20的圆周上，如图２中虚线． 由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径R一定的条件下，为使粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即粒子应从磁场圆直径的A端射出．
如图２，作出磁偏转角及对应轨道圆心O，据几何关系得
212sinRr，得060，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060．
二、带电粒子在半无界磁场中的运动 例3、（1999年高考试题）如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用． (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔． 解析：(1) 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为Ｒ,则据牛顿第二定律可得：
OMNα
αα
PQ
1
Q2
O1
O2
. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .图3
图2 xo
ys
图2 xo
ys
o
A 3
RvmBqv2 ,解得BqmvR
(2)如图３所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆，分别表示在Ｐ点相遇的两个粒子的轨道，圆心分别为O1和O2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为，由几何关系知 ∠PO1Q1=∠PO2Q2=
从O点射入到相遇，粒子在１的路径为半个圆周加PQ1弧长等于R；粒子在２的
路径为半个圆周减PQ2弧长等于R． 粒子１的运动时间 t1=21T＋vR 粒子２的运动时间 t２=21T－vR 两个粒子射入的时间间隔△t＝t1－t２＝2vR 由几何关系得Rcos21=21op=21L，解得：=2arccosRL2
故△t＝Bqm4．arc cosmvLBq2 例4、如图4所示，在真空中坐标xoy平面的0x区域内，有磁感强度TB2100.1的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的)0,10(p点，有一放射源，在xoy平面内向各个方向发射速率smv/100.14的带正电的粒子，粒子的质量为kgm25106.1，电量为Cq18106.1，求带电粒子能打到y轴上的范围．
解析：带电粒子在磁场中运动时有RvmBqv2，则
cmmBqmvR101.0106.1100.1100.1106.1182425
．
如图１５所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到y轴上方的最高点．因
图4 ocmx/
cmy/p
图15 cmx/cmy/p
B
A
o
4
cmROp10，cmRAP202，则cmOPAPOA31022．
当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y轴下方
的最低点，易得cmROB10． 综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：cmycm31010．
三、带电粒子在长方形磁场中的运动 例5、如图5，长为L间距为d的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感强度为B，两板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v应满足什么条件．
解析：如图４，设粒子以速率1v运动时，粒子正好打在左极板边
缘（图４中轨迹１），则其圆轨迹半径为41dR，又由1211RvmBqv得mBqdv41，则粒子入射速率小于1v时可不打在板上． 设粒子以速率2v运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），
由图可得22222)2(dRLR，则其圆轨迹半径为ddLR44222，又由2222RvmBqv得mddLBqv4)4(222，则粒子入射速率大于2v时可不打在板上． 综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：mBqdv4或mddLBqv4)4(22．
图5 d
L
v
图４ d
L1v
2R
1o
2o
212v 5
例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图４所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是： A．使粒子的速度VB．使粒子的速度V>5BqL/4m； C．使粒子的速度V>BqL/m； D．使粒子速度BqL/4m解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得： 粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有： r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4， 又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2
＝BqL/4m
∴V2综上可得正确答案是A、B。 四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动 例7、在边长为a2的ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一
带正电q，质量为m的粒子从距Ａ点a3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．
解析：如图６所示，设粒子速率为1v时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点． 由图知，在EAO1中，11REO，113RaAO，由
AOEO11030cos得11323RaR，解得aR)32(31，则
aRaAOAE)332(23211．
l l r1
O
V +q V
图6
图7 DAB
C
图6 DAB
CE1
v
1o1R
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
带电粒子在有界磁场磁场中的运动
d
αR O
过程模型：匀速圆周运动 规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式 条件：要求时间最短
t
s v
速度 v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s 有最 小值，则要求弦最短。
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
y B
如粒子带正电，则： 如粒子带负电，则：
60º v
60º
O 120º
x
A. 2mv qB
B. 2mvcosθ qB
C. 2mv(1-sinθ) qB
2mv(1-cosθ)
D. qB
M
D
C
θ θ θθ
P
N
θθ
练、 一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的
束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，
其中入射角 α =30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的
离子的速度v大小是 （
C）
αa
A．4×105 m/s B． 2×105 m/s
r
C． 4×106 m/s D． 2×106 m/s O′
O
解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 r
P
B v0
O
AQ
例、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为
d =1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B
板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范
围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度
B=9.1×10－3T，已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电
有界磁场问题分类点拨
有界磁场问题分类点拨（教师用）一、带电粒子在圆形磁场中的运动例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间．解析 ：电子所受重力不计。
它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。
圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图所示，连结OB ，∵△OAO ″≌△OBO ″，又OA ⊥O ″A ，故OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ＇OP =∠AO ″B =θ，在直角三角形ＯＯ＇P 中，O ＇P =(L +r )tan θ，而)2(tan 1)2tan(2tan 2θθθ-=，Rr=)2tan(θ,所以求得R 后就可以求出O ＇P 了，电子经过磁场的时间可用t =VR VAB θ=来求得。
由RV m BeV 2=得R=θtan )(.r L OP eBmV +=mV eBr R r ==)2tan(θ，2222222)2(tan 1)2tan(2tan r B e V m eBrmV -=-=θθθ 22222,)(2tan )(r B e V m eBrmV r L r L P O -+=+=θ )2arctan(22222r B e V m eBrmV -=θ )2arctan(22222r B e V m eBrmV eB m V R t -==θ 例2、如图2，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=，电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R ，由Rv m Bqv 2= 得cm m m Bq mv R 2020.0102.3332.0102.31064.619627==⨯⨯⨯⨯⨯==-- 虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此α粒子作圆周运动的圆心必落在以O 为圆心，半径cm R 20=的圆周上，如图２中虚线．由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径R 一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即α粒子应从磁场圆直径的A 端射出．如图２，作出磁偏转角ϕ及对应轨道圆心O '，据几何关系得212sin ==R r ϕ，得060=ϕ，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060．二、带电粒子在半无界磁场中的运动例3、如图3中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q 、质量为m 、速率为v 的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用．(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔．解析：(1) 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为Ｒ,则据牛顿第二定律可得：R v m Bqv 2= ,解得Bqmv R =(2)如图３所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆，分别表示在Ｐ点相遇的两个粒子的轨道，圆心分别为O 1和O 2，在O 处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为α，由几何关系知∠PO 1Q 1=∠PO 2Q 2=α从O 点射入到相遇，粒子在１的路径为半个圆周加P Q 1弧长等于αR ；粒子在２的路径为半个圆周减P Q 2弧长等于αR ．粒子１的运动时间 t 1=21T ＋vR α 粒子２的运动时间 t ２=21T －vR α两个粒子射入的时间间隔△t ＝t 1－t ２＝2vR α由几何关系得R cos 21α=21op =21L ，解得：α=2arccosRL 2 故△t ＝Bqm 4．arc cos mvLBq 2例4、如图4所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度T B 2100.1-⨯=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14⨯=的带正电的粒子，粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围．解析：带电粒子在磁场中运动时有Rv mBqv 2=，则cm m Bq mv R 101.0106.1100.1100.1106.1182425==⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---． 如图所示，当带电粒子打到y 轴上方的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点既为粒子能打到y 轴上方的最高点．因cm R Op 10==，cm R AP 202==，则cm OP AP OA 31022=-=．当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得cm R OB 10==．综上，带电粒子能打到y 轴上的范围为：cm y cm 31010≤≤-．三、带电粒子在长方形磁场中的运动例5、如图5，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．解析：如图，设粒子以速率1v 运动时，粒子正好打在左极板边缘（图中轨迹１），则其圆轨迹半径为41d R =，又由1211R vm Bqv =得m Bqd v 41=，则粒子入射速率小于1v 时可不打在板上．设粒子以速率2v 运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），由图可得22222)2(d R L R -+=，则其圆轨迹半径为d d L R 44222+=，又由2222R v m Bqv =得mdd L Bq v 4)4(222+=，则粒子入射速率大于2v 时可不打在板上．综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：mBqd v 4<或mdd L Bq v 4)4(22+>． 例6、长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图6所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是： A ．使粒子的速度V <BqL /4m ；B ．使粒子的速度V >5BqL /4m ；C ．使粒子的速度V >BqL /m ；D ．使粒子速度BqL /4m <V <5BqL /4m解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r 1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r 2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r 的最小值r 1以及粒子在左边穿出时r 的最大值r 2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有： r 12＝L 2+(r 1-L /2)2得r 1=5L /4， 又由于r 1=mV 1/Bq 得V 1=5BqL /4m ,∴V >5BqL /4m 时粒子能从右边穿出。
3种有界磁场的解题方略
G 3 0
，
向右运 动时
回路 中产 生 逆 时针 方
，
则 电子 的
向的感 应 电 流 (俯 视 图 ) 或 回 路 中
质量 是 多少 ?
多 长 ?
图 9
穿 出磁 场 的 时 间是
O
产生 F
—
E 9
d
—
r
—
F
的感应 电流
，
．
如图
所 示 的情 况
，
磁 场方 向
a
电 子 在 磁 场 中 只 受 洛
专题 突 破
速度
功
的方 向为北 偏西
15
。
．
2 ) 从 观
察者 角度 的表
述
在 水 平 桌 面 上 运 动 的
物体
，
从 观 察 者 角 度 向右 等等
，
可 以
、
把 速 度 方 向 说 成 向 前
后
、
向
7
。 。
向左
、
．
对 图
。 。
、
图
7
a
中所 示 的两 个 速 度
u ：
，
的 方 向 为 向 前偏 右
，
角
，
或 与 水 平 向 右 成 口角 斜 向 右 前 方
7J 2
．
的方 向为与水平
妒
向左 成 0 角 斜 向左 后 方 或 向后 偏 左
角
．
在平 面直角坐 标系 中 关于 矢量 方 向 可 以有
， ，
“
沿
与
z
”
’
z
轴正 向 沿
、
z
轴负 向 与
高中物理高频考点《边界磁场问题分析与强化训练》(附详细参考答案)
边界磁场问题分析与强化训练（附详细参考答案）一、边界磁场问题分析及例题讲解：1．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
（5）三边形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。
已知边长为2a，D点距A点3a，粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。
2．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。
3．几点注意（1）当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。
在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。
（2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化．可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。
4．求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。
），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。
（1）两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
2019-2020学年人教版高二物理(选修3-1)期末备考专题07 带电粒子在有界匀强磁场中的运动(解析版)
2019-2020学年人教版高二物理（选修3-1）期末备考：重点、难点、热点突破专题07 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 主题一 带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1．有单平面边界的磁场问题从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2．有双平行平面边界的磁场问题带电粒子由边界上P 点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r ≤d 时(如图中的r 1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q 1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r >d 时(如图中的r 2)，粒子将从另一边界上的Q 2点飞出磁场。
【例1】 如图所示，直线MN 上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，质量为m 、电荷量为－q (q ＞0)的粒子1在纸面内以速度v 1＝v 0从O 点射入磁场，其方向与MN 的夹角α＝30°；质量为m 、电荷量为＋q 的粒子2在纸面内以速度v 2＝3v 0也从O 点射入磁场，其方向与MN 的夹角β＝60°。
已知粒子1、2同时到达磁场边界的A 、B 两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A 、B 之间的距离d ；(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt 。
【答案】 (1)4mv 0qB (2)πm 3qB【解析】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qvB ＝m v 2r ，则r ＝mv qB故d ＝OA ＋OB ＝2r 1sin 30°＋2r 2sin 60°＝4mv 0qB。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝5π3粒子2圆周运动的圆心角θ2＝4π3粒子做圆周运动的周期T ＝2πr v ＝2πm qB粒子1在匀强磁场中运动的时间t 1＝θ12πT 粒子2在匀强磁场中运动的时间t 2＝θ22πT 所以Δt ＝t 1－t 2＝πm 3qB。
有界磁场区域偏转问题汇总
直线线边界平行边界圆形边界磁场径向射入，径向射出结论：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆心角都越小，运动时间越短磁聚焦和磁发散磁发散磁聚焦当磁场圆半径R 与轨迹圆半径r 相等时，平行于切线，聚焦于切点最小面积当粒子圆半径R＞磁场圆半径r时，粒子在磁场中运动最长时间为弦长对应时间当粒子圆半径R＜磁场圆半径r时，粒子在磁场中运动时磁场圆与轨迹圆的交线为粒子圆的直径时，粒子离开磁场时位置距出发点最远动态圆的半径不变，绕圆上一点旋转，此时动态圆的原心为一半径为R的圆。
对应问题类型为：一群粒子以同一速率沿各个方向入射动态圆的半径发生变化，从圆上一点向外扩张。
这类问题抓住两个要点：①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切②不管速率变化还是一定，圆周角越大，对应时间越长粒子与边界的范围问题三角形边界多解性问题正方形边界一、带电粒子在圆形磁场中的运动结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆心角都越小，运动时间越短。
结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对应时间越长。
结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,“磁会聚”与“磁扩散”题型一、对准圆心射入例1 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。
磁场方向垂直于圆面。
磁场区的中心为O，半径为r。
当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？要点提示如图所示例2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域，如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速率范围是多大？要点提示变1．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从磁场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子，对这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是：A.运动时间越长的，在磁场中通过的距离越长B.运动时间越短的，其速率越大C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短D.所有质子在磁场中的运动时间都相等参考答案 BC题型二、偏离圆心射入（定圆旋转法）定圆旋转带电粒子从坐标原点以大小不变而方向变化的速度射入匀强磁场中，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的定圆，根据速度方向的变化以入射点为轴在旋转例1 如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
带电粒子在有界磁场中的临界问题
【方法技巧】
【方法技巧】
1.最值相切
2.最值相交
3.对称性
带电粒子与磁场 从同一边界成θ角 射入，与磁场同一 边界成θ角射出。
【经典试题】
【经典试题】
一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的 匀强磁场,矩形区域的左边界ad宽为L,现从ad中点O垂直于磁场射入一 带电粒子,速度大小为vo,方向与ad边夹角为300.如图所示.已知粒子的电 荷量为q,质量为m(重力不计).
带电粒子从ab边射出磁场，当速度为vmax时， 运动时间最短
当速度为vmin时，运动时间最长 粒子运动时间t的范围为
(1)若粒子带负电,且恰能从d点射出磁场,求vo的大小;
(2)若粒子带正电,使粒子能从ab边射出磁 场,求vo的取值范围以及在此范围内粒子在 磁场中运动时间t的范围.
【解析】
(1)由对称性可知，从d点射出与磁场边界的夹角也是300
由图可知，
又由
可得
(2)当 vo最大时，
则
当 vo最小时， 则
解得
带电粒子在有界磁场中的临界问题
【强力总结】
【强力总结】
单直线边界
有
界 双直线边界
磁
场
矩形边界
圆形边界
最大、最小面积 最长、最短时间【困难】 1.不会根据洛伦兹力的方向或轨迹弦的中垂线确定轨迹圆心,从而画错草图； 2.不能根据题意确定临界情况，轨迹与边界相切或经过特定点等;
3.动态圆问题--对于从同一点射出的速度大小相同、方向不同的粒子问 题,不会抓特征粒子解决问题。
高三物理粒子在有界磁场中运动试题答案及解析
高三物理粒子在有界磁场中运动试题答案及解析1.一个重力不计的带电粒子垂直进入匀强磁场，在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．则下列能表示运动周期 T 与半径R之间的图像是（）【答案】D【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据，，联立可求粒子做圆周运动的周期为，周期与轨道半径r无关，所以A、B、C错误；D正确。
【考点】本题考查带电粒子在磁场中的运动2.如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外．P(－ L,0)、Q(0，－L)为坐标轴上的两个点．现有一电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则.A．若电子从P点出发恰好经原点O第一次射出磁场分界线，则电子运动的路程一定为B．若电子从P点出发经原点O到达Q点，则电子运动的路程一定为πLC．若电子从P点出发经原点O到达Q点，则电子运动的路程可能为2πLD．若电子从P点出发经原点O到达Q点，则nπL（n为任意正整数）都有可能是电子运动的路程【答案】AC【解析】若电子从P点出发恰好经原点O第一次射出磁场分界线，则有运动轨迹如图所示，由几何关系知：半径R＝L，则微粒运动的路程为圆周的，即为，A正确；若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动轨迹可能如图所示，因此则微粒运动的路程可能为πL，也可能为2πL，BD错误C正确；【考点】本题考查带电粒子在磁场中的运动。
3.如图是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径为R 的绝缘圆柱形筒内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向平行于轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔M、N，现有一束速率不同、比荷均为k的正、负离子，从M孔以α角入射，一些具有特定速度的离子未与筒壁碰撞而直接从N孔射出(不考虑离子间的作用力和重力)．则从N孔射出的离子()A．是正离子，速率为kBR/cos αB．是正离子，速率为kBR/sin αC．是负离子，速率为kBR/sin αD．是负离子，速率为kBR/cos α【答案】B【解析】因为离子向下偏，根据左手定则，离子带正电，运动轨迹如图，由几何关系可知r＝，由qvB＝m可得v＝，故B正确．4.（8分）在真空中，半径的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B="0.2" T，一个带正电的粒子以初速度从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷，不计粒子重力．（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时与ab的夹角及粒子的最大偏转角．【答案】（1）（2）最大偏转角【解析】（1）粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力提供圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有．（2）粒子在圆形磁场区域运动轨迹为一段半径R=5cm的圆弧，半径一定要使偏转角最大，就要求这段圆弧对应的弦最长，即为图形区域的直径，粒子运动轨迹的圆心在ab弦的中垂线上，如图所示．由几何关系可知最大偏转角【考点】带电粒子在圆形匀强磁场区域的运动5.如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴平行于x轴正方向射入磁场，上的点a(0，L)。
闭合线框(圈)穿过有界磁场问题分类析
闭合线框(圈)穿过有界磁场是一个涉及物理学中电动力学和电磁学的综合问题，它涉及到穿过一个有界磁场的闭合线框(圈)的受力状况。
这个问题可以从电磁学的角度分类析，由于闭合线框(圈)的结构，外加上有界磁场的存在，会产生电磁力对该闭合线框(圈)的受力，因此这个问题可以由电磁力综合分析。
首先，我们来看一下有界磁场是如何影响闭合线框(圈)的受力状况的。
有界磁场是一种由特定的电流或磁通量产生的磁场，穿过这个有界磁场的闭合线框(圈)会受到电磁力的影响，这种电磁力是由电磁场和闭合线框(圈)的磁力综合而成的，也就是说，该问题可以由电磁力和闭合线框(圈)的磁力的综合分析。
关于闭合线框(圈)穿过有界磁场问题的分类析，可以分为以下几个方面：
一、穿过有界磁场的闭合线框(圈)分类
1、圆环：圆环是一种闭合线框(圈)，其中有一个内圆和一个外圆，它们的面积分别是内圆的面积和外圆的面积，并具有一定的结构，它们可以穿过有界磁场。
圆环的有界磁场对局部磁场的影响非常大，这是由于它们具有结构，因此可以改变有界磁场的方向。
2、矩形：矩形是一种闭合线框(圈)，它具有四条边，其中有两条对称的边，它们的面积是矩形的面积，具有一定的结构，它们也可以穿过有界磁场。
矩形的有界磁场对局部磁场的影响也很大，因为它们具有结构，可以改变有界磁场的方向。
3、正多边形：正多边形是一种闭合线框(圈)，它具有许多边，其中有许多对称的边，它们的面积是正多边形的面积，具有一定的结构，它们也可以穿过有界磁场。
正多边形的有界磁场对局部磁场的影响也很大，因为它们具有结构，可以改变有界磁场的方向。