【数学】重庆八中2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)
重庆八中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．与2022°终边相同的角是（）A．﹣112°B．﹣72°C．222°D．142°3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|≤3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数的定义域为（）A．（﹣∞，3]B．[0，3]C．（0，2）∪（2，3）D．[0，2）∪（2，3]5．若，α是第二象限角，则＝（）A．B．3C．5D．6．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x ＜0时，f（x）的表达式是（）A．B．C．D．7．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．8．关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（，]∪（，]B．（，]∪[，）C．[，）∪（，]D．[，）∪[，）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．下列各项中，f（x）与g（x）是同一函数的是（）A．f（x）＝|x|，B．f（x）＝x+1，C．f（x）＝x，D．f（x）＝|2x﹣1|，10．已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．2xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为11．已知函数，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（，+∞）B．若函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），则实数m＝2C．若函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（0，+∞）D．若m＝0，则不等式f（x）＜1的解集为12．已知函数，下列结论正确的是（）A．若f（a）＝1，则a＝0B．C．若f（a）≥2，则a≤﹣1或a≥5D．若方程f（x）＝﹣x2+2x+m有两个不同实数根，则三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）x1﹣m是偶函数，则m＝．14．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是．15．已知tanα＝2，tanβ＝3，则的值为．16．已知x＞0，y＞0，x+y+2xy＝12，则的最大值为．四、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）（1）化简：；（2）求值：．18．（12分）已知．（1）若α在第二象限，求cos2α+sinα的值；（2）已知β∈（0，），且3tan2β+2tanβ﹣3＝0，求tan（α+2β）的值．19．（12分）新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机．已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备x万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入f（x）（单位：万元）与年产量x（单位：万台）的函数关系式近似满足：．（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式．（年利润＝年销售收入﹣总成本）；（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？20．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的值域；（2）解不等式：．21．（12分）函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的一段图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象．求直线与函数y＝f（x）+g（x）的图象在（0，）内所有交点的横坐标之和．22．（12分）已知函数．（1）若函数y＝f（ax）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（2）∃x1，x2∈（1，+∞），使f（2x）在区间[x1，x2]上的值域为[，]．求实数t的取值范围．【参考答案】一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）1．B【解析】∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．2．C【解析】∵2022°＝222°+5×360°，∴2022和222°的终边相同．故选：C．3．A【解析】∵|x﹣2|≤3，∴﹣1≤x≤5，∵{x|1＜x＜2}⫋{x|﹣1≤x≤5}∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|≤3”的充分而不必要条件．故选：A．4．D【解析】要使原函数有意义，则，解得0≤x≤3，且x≠2．∴函数的定义域为[0，2）∪（2，3]．故选：D．5．C【解析】因为，α是第二象限角，则tan，所以＝1+tan2α，则cosα＝﹣＝﹣，所以＝＝＝，故选：C．6．D【解析】当x＜0时，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2（1﹣）＝x2（1+），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即f（﹣x）＝x2（1+）＝﹣f（x），则f（x）＝﹣x2（1+），故选：D．7．A【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）的图象，令2x+＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，故平移后图象的对称轴方程得x＝+，k∈Z，故选：A．8．B【解析】由题（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，即（ax﹣1）2﹣x2＜0⇔（（a+1）x﹣1）（（a﹣1）x﹣1）＜0恰有两个解，∴（a+1）（a﹣1）＞0，即a＞1，或a＜﹣1．当a＞1时，不等式解为＜x＜，∵∈（0，），恰有两个整数解即：1，2，∴2＜≤3，2a﹣2＜1≤3a﹣3，解得：≤a＜；当a＜﹣1时，不等式解为＜x＜，∵∈（﹣，0），恰有两个整数解即：﹣1，﹣2，∴﹣3≤＜﹣2，﹣2（a+1）＜1≤﹣3（a+1），解得：﹣＜a≤﹣，综上所述：≤a＜，或﹣＜a≤﹣．故选：B．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．AD【解析】A．g（x）＝|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数，B．f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为（﹣1，+∞），两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C．f（x）的定义域为R，g（x）＝x（x≠0），两个函数的定义域不相同，不是同一函数，D．f（x）＝，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数，故选：AD．10．ABD【解析】因为x，y是正数，且2x+y＝1，所以2xy＝，当且仅当2x＝y＝时取等号，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝1﹣4xy，当且仅当2x＝y＝时取等号，此时4x2+y2取得最小值，B正确；x（x+y）＝，当且仅当x＝x+y，即y＝0时取等号，根据题意显然y＝0不成立，即等号不能取得，x（x+y）没有最大值，C错误；＝＝3+，当且仅当且2x+y＝1，即x＝1﹣，y＝时取等号，此时取得最小值3+2，D正确．故选：ABD．11．ABC【解析】A．因为f（x）的定义域为R，所以mx2+2x+m﹣1＞0恒成立⇔，解得：m＞，故正确；B．因为f（x）的值域为[﹣1，+∞），所以mx2+2x+m﹣1≥⇔，解得m＝2，故正确；C．因f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，由复合函数的单调性可知：，解得m＞0，故正确；D．当m＝0时，f（x）＝log2（2x﹣1）（x），由f（x）＜1，可得0＜2x﹣1＜2，解得＜x＜，故错误．故选：ABC．12．BC【解析】因为函数f（x）＝；故，故B对；故当a＞1 时，f（a）＝1＝log2（a﹣1）⇒a＝3，成立，当a≤1时，，所以a＝3或a＝0，故A错；当a＞1时，f（a）＝log2（a﹣1）≥2⇒a≥5；当a≤1时，；故a≤﹣1或a≥5，C对；作出函数f（x）的图象，如图所示，令g（x）＝﹣x2+2x+m＝﹣（x﹣1）2+1+m，g（x）的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x＝1，当x＝1时，f（1）＝，结合函数f（x）的图象可知，当1+m时，f（x）的图象与g（x）的图象有两个不同的交点，即m，此时方程f（x）＝﹣x2+2x+m有两个不同实数根，故D错误；故选：BC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．3【解析】由幂函数的定义可知m2﹣m﹣5＝1，解得m＝﹣2或3，当m＝﹣2时，f（x）＝x3，是奇函数，不符合题意，舍去，当m＝3时，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，符合题意，∴m＝3，故答案为：3．14．6【解析】∵如图，弧田的弧长为3π，弧所在的圆的半径为4，∴α＝∠AOB＝，可得∠AOD＝，OA＝4，∴AB＝2AD＝2OA sin＝8sin，OD＝4cos，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝×3π×4﹣8sin×4cos＝6π﹣8×sin＝6．故答案为：6．15．【解析】因为tanα＝2，tanβ＝3，则＝＝＝＝．故答案为：．16．【解析】因为x＞0，y＞0，x+y＝12﹣2xy，当且仅当x＝y时取等号，解得0＜xy≤4，令t＝xy+1，则1＜t≤5，则＝＝＝＝，当且仅当t＝，即t＝4，此时xy＝3且x＝y，即x＝y＝时取等号，所以的最大值为．故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分）17．解：（1）＝＝；（2）＝（）﹣1×1+2×2+4×27﹣+＝+2+108﹣＝110．18．解：（1）因为＝﹣2cosα，因为α在第二象限，sinα＞0，cosα＜0，所以cos2α+sin2α＝5cos2α＝1，所以cosα＝﹣，sinα＝，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣，所以cos2α+sinα＝﹣+＝；（2）因为β∈（0，），且3tan2β+2tanβ﹣3＝0，所以tanβ＝，tan2β＝＝＝3，由（1）知，tanα＝﹣2，所以tan（α+2β）＝＝＝．19．解：（1）当0＜x≤18时，W（x）＝（180﹣2x）x﹣60﹣100x＝﹣2x2+80x﹣60；当18＜x≤32时，W（x）＝（70+）x﹣60﹣100x＝2590﹣30x﹣；∴W（x）＝；（2）当0＜x≤18时，W（x）＝﹣2x2+80x﹣60＝﹣2（x﹣20）2+740，当x＝18时，利润最大为732；当18＜x≤32时，W（x）＝2590﹣30x﹣＝2590﹣30（x+）≤2590﹣30×＝790，当且仅当x＝，即x＝30时取等号；因790＞732，故年产量为30万台时，该公司获得的利润最大．20．解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝+1＝1﹣＝0，得1+a＝2，得a＝1．则f（x）＝+1＝+1＝1﹣+1＝2﹣，∵2x+1＞1，∴0＜＜1，则0＜＜4，﹣4＜﹣＜0，﹣2＜2﹣＜2，即﹣2＜f（x）＜2，即f（x）的值域为（﹣2，2）．（2）由得2﹣+≤5，即2﹣+≤5，即2﹣+≤5，即≤3+，则3（2x+1）≤6×2x+，即3（2x+1）2≤6×2x（2x+1）+8×2x，即设t＝2x，（t＞0），则不等式等价为3（t+1）2≤6t（t+1）+8t，整理得3t2+8t﹣3≥0，即（t+3）（3t﹣1）≥0，得t≥或t≤﹣3（舍），即2x≥，得x≥log2，即不等式的解集为[log2，+∞）．21．解：（1）根据函数的图象；所以A＝2，＝，解得T＝π，所以ω＝2；由于f（）＝2sin（φ）＝0，；故φ＝，故f（x）＝2sin（2x+）；（2）将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）＝﹣2cos（2x+）的图象，故函数y＝f（x）+g（x）＝＝；令，整理得，由于x∈（0，），所以或，解得；；故x1+x2+x3+x4＝＝．22．解：（1）f（ax）＝ln（）＝ln（+1），∵y＝f（ax）在（1，+∞）单调递增，∴y＝+1在（1，+∞）单调递增，且+1＞0，∴，解得a≤﹣1，故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]；（2）由f（2x）＝ln＝ln（）（x＞0），在（0，+∞）上是减函数，所以，在[x1，x2]上的值域为[f（x2），f（x1）]，故，整理得：，即2t•（2x）2+（t﹣2）•2x+（2﹣t）＝0在（0，+∞）内有两不等实根x1，x2，令2x＝u，当x＞0时u＞1，则关于u的2t•u2+（t﹣2）•u+（2﹣t）＝0在（1，+∞）内有两个不等实根，整理得：＝＝u﹣1++，即y＝与y＝x﹣1++有两个不同的交点，又y＝x﹣1++≥2+＝，当且仅当x＝2时等号成立，则y＝x﹣1++在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，且其值域为[，+∞）．∴函数图象如下：∴y＝＞，即t∈（0，）．。
重庆十八中两江实验中学2021-2022学年九年级下学期第一次作业检查数学试卷(含答案)
2021-2022学年重庆十八中两江实验中学九年级（下）第一次作业检查数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1．﹣的倒数是（）A．B．C．D．2．下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．“双十一”期间某市网民的人均消费情况B．黄河水的水质C．疫情期间高风险地区社区居民的体温D．某批次节能灯的最大使用寿命4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，且位似中心为O，OB：OF＝3：2，若线段AC＝9，则线段DE的长为（）A．2B．4C．6D．85．下列运算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．下列条件中，不一定能推得△ABD与△ACD 全等的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠DAC D．∠BAD＝∠CAD 7．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于A，C两点，BD与⊙O相切于点D，连接AD，OD．若∠A＝31°，则∠B的度数为（）A．28°B．31°C．52°D．62°8．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（）个．①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．A．1B．2C．3D．49．若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为（）A．B．C．D．11．若数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，且使关于y的分式方程+＝3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．2B．5C．7D．1012．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC 的面积的最小值为（）A．B．C．D．3二、填空题（本大题共4小题，共16分）13．计算：＝．14．在一个不透明口袋中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余全部相同，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率是．15．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作，再以A为圆心，AC的长为半径作，若A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（结果保留π）．16．随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的．则精品羊肉的单价最低为元．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（1）a（b﹣2a）+2（a+b）（a﹣b）；（2）．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．19．（10分）某学校喜迎建党100周年，组织了征文比赛，并从中各随机抽取20名女生和20名男生的成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，其过程如下：收集数据：女生：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75男生：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90整理数据：成绩x（分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100女生2585男生3755分析数据：统计量平均数中位数众数女生85.75a90男生83.582.5b 应用数据：（1）请直接写出上述表中a＝，b＝；（2）根据以上数据，你认为本次征文比赛中，该校男、女生中谁的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校男、女生共2000名学生参与征文比赛，估计成绩大于90分的学生人数共有多少人？20．（10分）如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E 处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）21．（10分）如图：直线AB与双曲线y＝点交于A、B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA＝2，tan∠AOC＝，B（3，m）（1）求一次函数与反比例函数解析式；（2）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．22．（10分）某公司主营铁路建设施工．（1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？（2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少7a千米，隧道施工里程里程会减少2a千米，桥梁施工里程里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．23．（10分）材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：412是“8阶4级数”，因为；412也是“12阶10级数”，因为．（1）若517是“5阶k级数”且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大3，十位数字为1，且M既是“7阶11级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．24．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点E，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，是否存在这样的点M与点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．（1）如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；（2）如图②，若∠CDH+∠BFD＝∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：（3）如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．2021-2022学年重庆十八中两江实验中学九年级（下）第一次作业检查数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共48分）1．﹣的倒数是（）A．B．C．D．【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此判断即可．【解答】解：的倒数是，故选：A．2．下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．“双十一”期间某市网民的人均消费情况B．黄河水的水质C．疫情期间高风险地区社区居民的体温D．某批次节能灯的最大使用寿命【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．【解答】解：A．“双十一”期间某市网民的人均消费情况，适合采取抽样调查，因此选项A不符合题意；B．黄河水的水质，适合采取抽样调查，因此选项B不符合题意；C．疫情期间高风险地区社区居民的体温，适合采取全面调查，因此选项C符合题意；D．某批次节能灯的最大使用寿命，适合采取抽样调查，因此选项D不符合题意．故选：C．4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，且位似中心为O，OB：OF＝3：2，若线段AC＝9，则线段DE的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，进而求出＝，计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DFE是位似图形，∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，∴＝＝，＝，∵AC＝9，∴＝，解得：DE＝6，故选：C．5．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的减法、除法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2，故A不符合题意．B、原式＝5，故B不符合题意．C、与不是同类二次根式，故C不符合题意．D、原式＝＝2，故D符合题意．故选：D．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．下列条件中，不一定能推得△ABD与△ACD 全等的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠DAC D．∠BAD＝∠CAD 【分析】由AD⊥BC，可得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用全等三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可得出答案．【解答】解：A、∵AB＝AC，AD＝AD，根据HL能判定△ABD≌△ACD；B、∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，根据SAS能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠B＝∠DAC，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，不能判定△ABD≌△ACD；D、∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，根据ASA能判定△ABD≌△ACD；故选：C．7．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于A，C两点，BD与⊙O相切于点D，连接AD，OD．若∠A＝31°，则∠B的度数为（）A．28°B．31°C．52°D．62°【分析】先根据圆周角定理求出∠DOC，再利用切线的性质求出∠ODC＝90°，从而求出∠B．【解答】解：∵∠A＝31°，∴∠DOC＝2∠A＝62°，∵BD与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠DOC＝90°﹣62°＝28°，故选：A．8．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（）个．①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确；乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②错误；乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③错误；乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误．故其中不正确的结论有3个．故选：C．9．若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形的外角和是它内角和的，结合多边形的内角和和外角和定理得到方程，从而求出边数．【解答】解：根据题意可得：（n−2）•180°＝360°，解得：n＝5．经检验n＝5符合题意，所以这个多边形是五边形．故选：C．10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵每人出8元，多3元，∴8x﹣3＝y；又∵每人出7元，少4元，∴7x+4＝y．∴根据题意，可列方程组为．故选：C．11．若数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，且使关于y的分式方程+＝3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．2B．5C．7D．10【分析】根据不等式的性质，由得x≥，x≤3．由于关于x 的不等式组恰有3个整数解，所以整数解可能是3、2、1，推断出0＜≤1，即1＜a≤5．由+＝3，得y＝．又因为关于y的分式方程+＝3的解为整数，得是整数且．，故a＝5．【解答】解：解3﹣2x≥a﹣2（3x﹣1）得3﹣2x≥a﹣6x+2．∴x≥．解2﹣x≥得4﹣2x≥1﹣x．∴x≤3．∵数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，∴0＜≤1．∴1＜a≤5．∵+＝3，∴2﹣a＝3（y﹣1）．∴y＝．∵关于y的分式方程+＝3的解为整数，∴是整数且．若a为整数，则a可能取值为5．故选：B．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC 的面积的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】先确定出EG⊥AC且E、G、H三点共线时，S△ACG中高GH最小，所以S△ACG 最小．再利用三角函数求出EH的长，最后GH＝EH﹣1得高．最后求得面积．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°．由勾股定理得：AC＝．∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC任意一点时，点G始终在AC下方，设点G到AC的距离为h．∵S△ACG＝AC•h＝．∴当h最小时，S△ACG最小.∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴当EG⊥AC时，GH＝h最小，此时E、G、H三点共线，如图所示．∵sin∠BAC＝＝＝．∴EH＝2×＝．∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝．∴S△ACG＝＝＝．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共16分）13．计算：＝﹣5．【分析】先根据负整数指数幂、二次根式的化简法则计算，再按照实数的加减运算法则计算即可．【解答】解：原式＝4﹣9＝﹣5，故答案为：﹣5．14．在一个不透明口袋中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余全部相同，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率是．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和为奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和为奇数的结果有8种，∴两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率为＝，故答案为：．15．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作，再以A为圆心，AC的长为半径作，若A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是π﹣2（结果保留π）．【分析】根据题意和正方形的性质，可以得到AB和BC的长，然后利用勾股定理可以得到AC的长，再根据图形，可知阴影部分的面积是扇形ACE的面积减△ACD的面积与以AB为半径，圆心角为45°的扇形的面积之和．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝2，∠EAC＝∠CAB＝45°，∴图中阴影部分的面积是：+[﹣]＝π﹣2，故答案为：π﹣2．16．随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的．则精品羊肉的单价最低为40元．【分析】设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，则第二批羊腿重量为y斤，根据题意，得3x+y＝（6x+y），求得y＝12x，从而求得第二批羊排重量为6x斤，精肉重量为4x斤，总成本为50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x），设羊排价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），根据题意，得[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），m≤（64+n），求n的最小值即可．【解答】解：设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，羊排重量为a斤，则第二批羊腿重量为y斤，根据题意，得3x+y＝（6x+y），解得y＝12x，∵羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5，∴（2x+a）：（x+12x﹣2x﹣a）＝8：5，解得a＝6x，∴精肉重量为4x斤，∴总成本为[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]元，设羊腿价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为[14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x）]元，根据题意，得：[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝64（2x+6x﹣x）﹣50×8x+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），解得m+n＝96，∵羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，∴m≤（64+n），解得n≥40，∴n的最小值为40．故答案为：40．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（1）a（b﹣2a）+2（a+b）（a﹣b）；（2）．【分析】（1）原式利用单项式乘多项式法则，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝ab﹣2a2+2（a2﹣b2）＝ab﹣2a2+2a2﹣2b2＝ab﹣2b2；（2）原式＝[+]•＝•＝•＝．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．【分析】（1）理由基本作图作AC的垂直平分线即可；（2）先根据线段的垂直平分线的性质得到AG＝CG，再根据平行四边形的性质得到AD ∥BC，所以∠EAG＝∠FCG，则可判断△AGE≌△CGF，所以EG＝FG，然后利用AC 与EF互相垂直平分可判断四边形AFCE为菱形．【解答】解：（1）如图，EF为所作；（2）四边形AFCE为菱形．理由如下：∵EF垂直平分AC，∴AG＝CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAG＝∠FCG，在△AGE和△CGF中，，∴△AGE≌△CGF（ASA），∴EG＝FG，∴AC与EF互相垂直平分，∴四边形AFCE为菱形．19．（10分）某学校喜迎建党100周年，组织了征文比赛，并从中各随机抽取20名女生和20名男生的成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，其过程如下：收集数据：女生：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75男生：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90整理数据：成绩x（分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100女生2585男生3755分析数据：统计量平均数中位数众数女生85.75a90男生83.582.5b 应用数据：（1）请直接写出上述表中a＝87.5，b＝80；（2）根据以上数据，你认为本次征文比赛中，该校男、女生中谁的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校男、女生共2000名学生参与征文比赛，估计成绩大于90分的学生人数共有多少人？【分析】（1）将女生成绩重新排列，利用中位数的概念求解可得a的值，利用众数的概念可直接得出b的值；（2）从众数、中位数和平均数的角度分析可得答案；（3）用总人数乘以样本中成绩大于90分的学生人数所占比例即可．【解答】解：（1）将女生成绩重新排列为：65、70、75、75、80、80、80、85、85、85、90、90、90、90、90、95、95、95、100、100，女生成绩的中位数a＝＝87.5，男生众数b＝80，故答案为：87.5，80；（2）女生的成绩更好，因为女生成绩的平均数、众数和中位数均大于男生；（3）估计成绩大于90分的学生人数共有2000×＝500（人）．答：估计成绩大于90分的学生人数共有500人．20．（10分）如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E 处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）【分析】过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，得矩形CGHE，根据锐角三角函数即可求出居民楼EF的高度．【解答】解：如图，过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，得矩形CGHE，∴CE＝GH，CG＝EH，在Rt△BCG中，BC＝25米，CG：BG＝3：4，∴CG＝EH＝15米，BG＝20米，在Rt△AFH中，AH＝AB+BC+GH＝30+20+GH＝50+CE，∵∠F AG＝27°，∴FH＝AH•tan27°，∴EF+15≈（50+CE）×0.51，在Rt△FCE中，∵∠FCE＝54°，∴EF＝CE×tan54°≈1.38CE，∴1.38CE+15≈（50+CE）×0.51，解得CE＝，∴EF≈1.38CE≈16.7（米），∴居民楼EF的高度约为16.7米．21．（10分）如图：直线AB与双曲线y＝点交于A、B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA＝2，tan∠AOC＝，B（3，m）（1）求一次函数与反比例函数解析式；（2）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．【分析】（1）根据OA＝2，tan∠AOC＝，可求出点A的坐标，进而求出反比例函数的关系式，再求出点B的坐标，进而求出直线AB的关系式，（2）求出点D的坐标，再求出点F的坐标，可得到AF∥x轴，AF＝OM＝6，三角形的面积用AF为底，以A、B两点纵坐标的绝对值的和为高，进而求出面积．【解答】解：（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，∵OA＝2，tan∠AOC＝，设AM＝2x，OM＝3x，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（2）2，解得：x＝2（取正值），∴AM＝4，OM＝6，∴A（﹣6，4）代入反比例函数关系式得，k＝﹣6×4＝﹣24，∴反比例函数解析式为y＝﹣，当x＝3时，y＝﹣8＝m，∴点B（3，﹣8）设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A、B两点的坐标代入得，，解得，k＝﹣，b＝﹣4，∴一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4．答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点D（0，﹣4），∵点F是点D关于x轴的对称点，∴点F（0，4），∴点A（﹣6，4），∴AF∥x轴，∴S△AFB＝×6×（4+8）＝36，答：△ABF的面积为36．22．（10分）某公司主营铁路建设施工．（1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？（2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少7a千米，隧道施工里程里程会减少2a千米，桥梁施工里程里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．【分析】（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米，根据隧道施工至少是桥梁施工的9倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元，根据第一季度施工的总成本为254亿元，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m的值，再由第二季度总成本与第一季度相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米，依题意，得：146﹣106﹣x≥9x，解得：x≤4．答：原计划今年一季度，桥梁施工最多是4千米．（2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元，依题意，得：106m+（146﹣106﹣4）×3m+4×10m＝254，解得：m＝1．∴（106﹣7a）×1+（146﹣106﹣4﹣2a）×3+（4+a）（10+a）＝254，整理，得：a2﹣2a＝0，解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝2．答：a的值为2．23．（10分）材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：412是“8阶4级数”，因为；412也是“12阶10级数”，因为．（1）若517是“5阶k级数”且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大3，十位数字为1，且M既是“7阶11级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．【分析】（1）先根据新定义列出关于k的分式，然后由k＜300求得k的最大值；（2）先设M的个位和千位分别为x、y，则百位数字为x+3，进而根据“7阶11级数”和“6阶5级数”的定义列出整式，然后求得x＝1或x＝6，进而求得y的值，最后得到四位数M．【解答】解：（1）∵517是“5阶k级数”，∴＝是整数，∵512＝1×512＝2×256＝••，k＜300，∴k的最大值为256；（2）设M的个位和千位分别为x、y，则百位数字为x+3，∴M＝1000y+100（x+3）+10+x＝1000y+101x+310，∵M既是“7阶11级数”，又是“6阶5级数”，∴＝和＝200y+20x+60+是整数，∴和都是整数，∵0≤x≤9，1≤y≤9，∴x＝1，y＝8或x＝6，y＝7，∴M＝8411或M＝7916．24．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点E，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，是否存在这样的点M与点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），列方程组，解方程组即可得到结论；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．解方程得到x1＝4或x2＝﹣2，求得B （4，0）．可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），于是得到点F的坐标为（n，2n﹣8），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论；（3）根据二次函数的性质得到D（1，﹣9）．将x＝1代入直线BC的解析式y＝2x﹣8，得求得E（1，﹣6），待定系数法求得直线CD的解析式为y＝﹣x﹣8．设点M的坐标为（m，﹣m﹣8）．当EM＝BM时，根据两点间的距离公式得到点M的坐标为（，）．当EM＝EB时根据两点间的距离公式得到点M的坐标为（﹣5，﹣3）或（4，﹣12）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．在抛物线y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，则x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝4或x2＝﹣2，∴B（4，0）．由点B（4，0）和C（0，﹣8），可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），则点F的坐标为（n，2n﹣8），由题知0＜n＜4，∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）＝﹣n2+4n．∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB•PF＝×4×（﹣n2+4n）＝﹣2n2+8n＝﹣2（n﹣2）2+8．∵0＜2＜4，∴当n＝2时，S△PBC取得最大值，此时，点P的坐标为（2，﹣8）；（3）存在这样的点M，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴D（1，﹣9）．将x＝1代入直线BC的解析式y＝2x﹣8，得y＝﹣6，∴E（1，﹣6），由点C（0，﹣8）和D（1，﹣9），可得直线CD的解析式为y＝﹣x﹣8．设点M的坐标为（m，﹣m﹣8）．当EM＝BM时，如图2﹣1，（m﹣1）2+（m+2）2＝（m﹣4）2+（m+8）2，解得：m＝﹣，∴点M的坐标为（，）．当EM＝EB时，如图2﹣3，。
2.3.2理想气体的状态方程(原卷版+解析)
2.3.2理想气体的状态方程同步练习一、单选题1．（2022·河北·元氏县第一中学高二阶段练习）如图，p-T图上a、b两点，表示一定质量的理想气体的两个状态，则气体在两个状态的体积之比V a：Vb为（）A．3：1B．1：3C．9：2D．2：92．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）对于一定量的稀薄气体，下列说法正确的是（）A．保持压强不变时，分子热运动可能变得剧烈B．压强变大时，分子热运动必然变得剧烈C．压强变大时，分子间的平均距离必然变小D．压强变小时，分子间的平均距离不可能变小3．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）一定质量的理想气体从状态A开始，经历状态B、C、D回到状态A的p-T图象如图所示，其中BA的延长线经过原点O，BC、AD与横轴平行，CD与纵轴平行，下列说法正确的是（）A．A到B过程中，气体的体积变大B．B到C过程中，气体分子单位时间内撞击单位面积器壁的次数减少C．C到D过程中，气体分子热运动变得更加剧烈D．D到A过程中，气体内能减小、体积增大-图像如图所示，下列说法正确的是4．（2022·北京房山·一模）一定质量的理想气体经过一系列变化过程，p T（）→过程中，气体体积增大，温度降低A．a bB．b c→过程中，气体温度降低，体积减小C．c a→过程中，气体体积减小，压强增大D．c a→过程中，气体压强增大，体积增大5．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图所示，一定质量的理想气体从状态a开始，经历过程①、①、①到达状态d。
对此气体，下列说法错误的是（）A．过程①中，气体体积不断增大B．过程①中，气体从外界吸收热量C．过程①中，气体分子在单位时间内撞击容器壁上单位面积的平均次数增加D．状态a的体积大于状态d的体积6．（2021·江苏南通·高二期中）一定质量的理想气体状态变化的过程如图所示，则（）A．从状态c到状态a，压强先减小后增大B．整个过程中，气体在状态b时压强最大C．状态d时单位时间内与器壁单位面积碰撞的分子数比b状态多D．在气体分子的各速率区间的分子数占总分子数的百分比随气体分子速率的变化曲线的图像中，状态c时的图像的峰值比状态a时的图像峰值大7．（2022·山东·高三专题练习）在某一带有活塞的密闭容器内质量为10g的理想气体在27℃时的p V-图线为图中的曲线乙。
2020-2021学年重庆八中高一上学期第一次月考英语试题(解析版)
重庆八中高2023级高一（上）第一次月考英语试题第一部分听力第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What does the man think of Linda’s husband?A. Clever.B. Unfriendly.C. Quiet.2. What will the weather be like on Friday?A. Rainy.B. Windy.C. Sunny.3. What are the speakers talking about?A. A hotel.B. An airport.C. A hospital.4. What does the man suggest doing?A. Going fishing.B. Staying at home.C. Buying some books.5. What a re in the man’s bag?A. Some CDs.B. Some bottles.C. Some books.第二节听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. What does the woman usually do on Saturdays?A. She goes swimming.B. She plays basketball.C. She goes shopping.7. When does the woman usually go to the cinema with friends?A. On Friday nights.B. On Saturday nights.C. On Sunday nights.听第7段材料，回答第8、9题。
第六单元 提分小卷【单元测试】2021-2022学年高一语文尖子生选拔卷(统编版必修上册)(解析版)
第六单元提分小卷（考试时间：45分钟试卷满分：50分）一、基础知识题（14分）1．（2021·全国·高一课时练习）对下列标点符号使用分析错误的一项是（）（3分）A．革命一起，她的故乡就到了一个都督，——等于现在之所谓督军，——也是她的同志：王金发。
（文中的两个破折号是表示夹注，相当于括号的作用）B．生命诚可贵，爱情价更高；若为自由故，二者皆可抛。
（文中的分号表示上下文之间是递进关系）C．这人现在也已“寿终正寝”了，但在那里继续跋扈出没着的也还是这一流人，所以秋瑾的故乡也还是那样的故乡，年复一年，丝毫没有长进。
（文中引号的作用是反语讽刺）D．党八股的第六条罪状是：不负责任，到处害人。
（文中冒号的作用是提示下文）【答案】B【解析】本题考查正确使用标点符号的能力。
标点符号是辅助文字记录语言的符号，是书面语的有机组成部分，用来表示停顿、语气以及词语的性质和作用。
要分析句子中分句之间的关系，根据标点符号各自的作用，判断标点符号的正误，尤其注意易错易混的标点符号。
B项，“文中的分号表示上下文之间是递进关系”对分号用法分析错误，此处分号是用于句内的较大停顿，没有递进关系。
故选B。
2．（2021·上海交大附中高一期末）小明请小鱼看看自己的文章问题所在，小鱼发现他的文章罗列了不少概念，但却疏于推敲概念之间的逻辑关联，于是她说：“你学过毛泽东的《反对党八股》吗？你文章的主要问题就是这篇课文中提到的“_________”这一条（）（3分）A．空话连篇，言之无物B．装腔作势，借以吓人C．语言无味，像个瘪三D．甲乙丙丁，开中药铺【答案】D【解析】本题考查学生理解课文重要概念的能力。
D.“甲乙丙丁，开中药铺”的意思是指单单按照事物的外部标志，使用一大堆互相没有内部联系的概念，排列成一篇文章、一篇演说或一个报告，使人不用脑筋想问题，不去思考事物的本质，而满足于甲乙丙丁的现象罗列。
与题干中的“罗列了不少概念”“疏于推敲概念之间的逻辑关联”是一致的。
2021-2022学年重庆市七校(重庆八中等校)高二下学期期末地理试题(Word版)
重庆市七校（重庆八中等校）2021-2022学年高二下学期期末地理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间75分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题共45分）本卷共15个小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、选择题（每小题3分，共45分）资源配置效率指生产资源实现产出效益的有效程度，区域经济一体化是改善资源配置效率的重要方式（如下左图）。
作为国家区域一体化发展示范区，上海发挥着中心城市的功能。
下右图为上海对长三角各省资源配置效率改善作用示意图。
读图完成1-2题。
1.长三角区域经济一体化的发展基础是（）A.人口素质较高B.城镇体系完备C.农业历史悠久D.工业部门齐全2.（原创）关于上海在区域经济一体化中发挥的作用叙述错误的是（）A.统筹解决集聚与疏解的关系问题B.统筹解决国土均衡优化布局问题C.统筹解决城镇体系的合理配置问题D.统筹解决公共服务用同一个标准资源配置效率改善区域经济一体化“一江两河”中部流域是西藏人造生态林的重中之重。
下左图1为人工造林分布示意，右图为拉萨气候资料。
完成3-4题。
3.（原创）对图中雅鲁藏布江人工造林河段的河流特征叙述正确的是（）A.以高山冰川融水补给为主B.流量大C.水位季节变化小D.流速快4.推测该地生态林的建设主要是为防治（）A.冬春季风沙灾害B.夏季水土流失C.秋季泥石流灾害D.夏季洪涝灾害“杜邦先锋”是世界知名种子公司、第一大玉米种子生产商，前身为1926年在美国成立的“先锋良种”公司，目前建有110多个研发基地和78个种子生产工厂，遍布全球。
下图示意“杜邦先锋”种子公司发展历程。
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型(解析版)
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【题型1 直接法求最值】【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49 【答案】C【解析】因为0,0x y >>，122x y xy +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（ ）A 2B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则22218333323x y x y x y+=+≥⨯+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故选：B ．【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（ ）A ．13B C D ．19【答案】C【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13≤,当且仅当a b ==2ab :C ．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（ ） A ．2 B ．12 C ． 14D ．4 【答案】D【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4 【答案】D【解析】因为()()()()252522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦，所以29(2)364a b +≥. 又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,3382a b ==时，等号成立.故选：D【题型2 配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =________． 【答案】92-【解析】因为30x -<<，所以()229922x x f x -+=≥-=-，当且仅当229x x -=，即x = 所以()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______. 【答案】[)7,+∞【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9()11171f x x x =-++≥=-， 当且仅当911x x -=-，即4x =时取等号， 所以函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（ ） A ．36 B ．25 C ．16 D ．9 【答案】B【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()21212252x y x y ⎡⎤+++++≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（ ） A ．15 B ．110 C ．115D ．120【答案】A【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>， 故113223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭123321122203223205a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥⨯+= ⎪ ++⎝⎭⎝， 当且仅当23323223a b a ba b a b++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.【题型3 消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（ ）A．1 B C D【答案】C【解析】因为2212y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，故222322x x +-===≤，当且仅当22232x x =-，即x故.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4ab -的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．【答案】B【解析】,0a b >,2240a ab -+=，则有22a b a=+，222242444a a a a a b a a a∴-=+-=+⋅=当且仅当24a a =，即a =b =B.【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．94D ．1 【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432xy xy x y zx xy y x y y x===-++-⋅， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2b c a+=， 所以2211818282222a a a a b c a b ca a a a a+++=++=++++++，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++， 当且仅当222822a a a a +=+，即2a =.故选：ABC【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【答案】2 【解析】()()()()222222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭，由212y x -=，所以211222y x x -==≤，所以112x ≤≤， 所以()222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭⋅，当且仅当1||x =等号成立，所以21xy ⋅2≤，当且仅当21x y =21x y ==所以21x y ⋅的最大值为2．【题型4 代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____． 【答案】25【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以()1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭+≥， 当且仅当36x y y x =，即13,105x y ==时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以4422222bba bbaa b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时取等号 故4ba b +的最小值为2【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______． 【答案】9【解析】由2x y xy +=得211y x+=，又因为0x >，0y >，所以()212222559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当3x y ==时等号成立，故2x y +的最小值为9．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】B【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>， 所以()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++()2222226y x yx ⋅+≥+=+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立， 即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．4 【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC =+又2AG GM =，所以32AM AG =，又(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>） 所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ =+ 因为,,G P Q 三点共线，则133xy +=，化得()14x y ++=由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B【题型5 双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________. 【答案】167【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b --+=+=+-++-++14724()a b =--++1141()()7a b a b =+++141(14)7b a a b =++++1161(577≥+⨯+=当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号， 则,x y 分别等于48,33时，2212x y x y +++的最小值是167.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（ ）A ．54 B ．83 C ．43 D ．52【答案】D【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m ny -=，38367752322222x y n m xy x y x y m n =+=+-≥=++，当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =成立，所以52xy ≥，故xy 有最小值52.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．16 C． D．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+>所以()()2222114121a b x y y x b a +++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y+++的最小值是___________. 【答案】85【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩ ，得1319k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以()()1113213939x y x y y ++=+++ 整理得()()31132131010x y y =+++即()()()11961310x y y =+++所以()()()3113196133213103213x y y x y y x y y ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()313196811032135y x y x y y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭. 经验证当12x y == 时，等号可取到.【题型6 齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________ . 【答案】2【解析】222222232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1123a b b a=-++，因为,a b都是负实数，所以20,0a bb a>>， 所以2abb a +≥=2a b b a =时等号成立）.所以233a b b a++≥，所以123a b b a≤++所以1323a b b a-≥=++，所以1113223a b b a-≥+=++. 即2a ba b a b+++的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y+-+≤，即2222x y a x xy y +-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y+≤-+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____． 【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设xy ＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +﹣﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ， 故2223x y xy y ++的最小值为2.【题型7 构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________. 【答案】9【解析】由212ab a b=++得，212ab ≥，化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【解析】∵2241x y xy ++=，∴2222325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭ ， 当且仅当2x y =时，等号成立，此时28(2)5x y +≤，所以2x y +≤2x y +.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________. 【答案】8【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>由1425y x x y +++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2229x y x y xy +++=，因为()2222224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()2229999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+， 故()()()2292228x y x y x y +++≤+，整理得()()22820x y x y +-+≥，即()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去）， 故2x y +的最小值为8.【题型8 多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba b a ++的最小值为（ ） A． B． C．1 D．1 【答案】B【解析】因为0,0a b >>，所以244222b a a a ba a ++≥=+≥= 当且仅当24b ba =且42a a=，即a b == 即242ba ba ++的最小值为故选：B.【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B．(0 C ．(]0,2 D ．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 02,20x a a x <<∴->，又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in 1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 212a ∴≥，解得a ≤≤且0a ≠，又0a >， 实数a的取值范围是(0.故选：B.【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++⎪-⎝⎭的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．6 D ．212【答案】D【解析】()()121121221925542222ba ab a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以()12292911212c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝⎭92122=， 当且仅当()91221c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,,,,22a b c ππθ+⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，所以()222max2cos 4b a c a b c θ⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦， 因为,,a b c+∈R，所以)))2222222ab a a a b ⎤=≤+=+⎥⎦，当且仅当2a b =时等号成立；()()()222211122222222bc c b c b c b ⎡⎤=⨯≤+=+⎢⎥⎣⎦， 当且仅当2c b =时等号成立.所以()()()222222222222211222222222444b a c ab bc a b c b a b c a b c a b c ++=≤++++++++=+， 当且仅当2a b c ==时等号成立， 所以()22224b a c a b c +++的最大值为22，所以2cos 2θ≥，又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．22 D ．32【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a ca c abc a c a c b bb b ++++=≤=++++++⨯ ()222222*********22222222a ac c ac ac a c a c a c ++==+≤+=++⨯，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12．故选：A ．（建议用时：60分钟）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当22y xx y =时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】C【解析】因为2x >，所以120,02x x ->>-，由基本不等式得11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立，则y 的最小值为4.故选：C 3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ）A ．9lg 2B ．212 C ．252D ．12 【答案】C 【解析】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >， ()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立． 所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．12 【答案】A【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤，当且仅当49a b =，即12,29a b ==时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a 与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（ ）A．9+ B C ．7 D【答案】B【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14544⎛≥++== ⎝（当且仅当6b aa b =，即8a =，(433b =时取等号），即22231a b a b +++.故选：B. 6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（ ） A ．43 B ．103C ．3D ．2 【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+1()3AB AC =+，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >） 所以1AB AM x=，1AC AN y =，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅.因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y +=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+（当且仅当433yxx y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C ．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x R ，则22a b a+的最小值是（ ） A．4 B ．6 C ． D ．2 【答案】A【解析】∵()f x =R ，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤ ∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b += 又∵0,0a b >> ∴2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥= 当且仅当22a b b a =，即21,33a b ==时取等号.故选：A. 8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫≤-+ ⎪--⎝⎭恒成立.因为()()x z x y y z -=-+-≥，11x y y z +≥--，所以11()4x z x y y z ⎛⎫-⋅+≥ ⎪--⎝⎭（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使11()n x z x y y z ⎛⎫≤-⋅+ ⎪--⎝⎭恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C9．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（ ）A ．a ≤B ．1a b +<C ．2244453a b ≤+≤D ．2a b -≤【答案】ACD【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，所以()()224410a a ∆=---≥，所以2415a ≤，即a ≤A 正确； 取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；由2241a ab b -+=，可得22141122a b ab ab +=+=+⋅，又222244222a b a b ab ++-≤≤，令224t a b =+，则()2122t t t -≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244453a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2231a b ab -+=，所以()()23213122a b ab a b -=-=+⋅⋅-，令2u a b =-，由()2222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭，可得22318u u ≤+，所以285u ≤，即2a b -≤D 正确.故选：ACD.10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（ ）A ．2168a a +>B ．219a b +≥ C D ．35422a b a +-<<- 【答案】ACD【解析】对于A 选项，()2216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-=，12ba ∴+=.又0,0ab >>212115922222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当b aa b =，即23a b ==时等号成立；故B 选项不正确； 对于C 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()2222224422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，2245a b ∴+≥，当且仅当45a =时等号成立，C 选项正确；对于D 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()()2552253510122222a ab a a a a a a a a a ---+-+----∴====--<<-----， 当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<<--，得351422a <--<-，即35422a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+----()()414171b a b a b b --=++--17≥+25= 当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥． 当且仅当()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤， 故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD . 12．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y xx =+ B ．0)y x > C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144xx y -=+ 【答案】BD【解析】对于A ，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，44[()]4y x x xx=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞，A 错误；对于B ，y ===，因为0x >1>，4≥=3x =时取等号，所以0)y x =>的最小值为4，B 正确； 对于C ，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D ，40x >，1444444x x x x y -=++=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取等号， 所以144xx y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【答案】94【解析】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， 所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦， 因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y yyx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+， 当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立， 所以2132x y x y +++的最小值为94.14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.【解析】由题知，,a b ∈R ，且221b a -=，即221b a =+，所以221a b a a b b+-+=， 当0a =时，21b =，即1b =±，此时11a b+=±，所以22a b a b +-的最大值为1，当0a ≠时，22221212211212a a a a ab b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭，当且仅当1=a 时取等号，此时1a b+≤22a a b b +-.综上，22a a bb+-.15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++， 即322223221)(6914384384y x xy x x y xy y x xy y y x ++=+++=+所以222222221691416914383844y y y x xy x x y y y x xyx xxy ++=+=+++++； 又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++= 所以， 22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+ 令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()92718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+ 所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====x y ==. 16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______. 【答案】916【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()()2222231224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即4a b c +≤， 当且仅当a b =时，等号成立， 所以当a b c+取得最大值时，a b =，42a b ac +==，所以2223392416a b c a a a ⎛⎫-+=-=--+ ⎪⎝⎭，故当333,,448a b c ===时，2a b c -+取最大值916.。
2023年新高考数学大一轮复习专题18 三角恒等变换 (解析版)
专题18 三角恒等变换【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin22sin cos ααα=；②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-； 知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα== sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±； 1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；； 2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3. 拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-； ④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意 特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+； ②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】在单位圆里面证明()C αβ-，然后根据诱导公式即可证明()C αβ+和()S αβ+，利用正弦余弦和正切的关系即可证明()T αβ+；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令2,k k απβ≠+∈Z . 如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作角,,αβαβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点()1cos ,sin P αα，()1cos ,sin A ββ，()()()cos ,sin P αβαβ--.连接11,A P AP .若把扇形OAP 绕着点O 旋转β角，则点,A P 分別与点11,A P 重合.根据圆的旋转对称性可知，AP 与11A P 重合，从而，AP ＝11A P ，∴11AP A P =. 根据两点间的距离公式，得：()()2222[cos 1]sin (cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ--+-=-+-，化简得：()cos cos cos sin sin .αβαβαβ-=+ 当()2k k απβ=+∈Z 时，上式仍然成立.∴，对于任意角,αβ有：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. (2)①公式()C αβ+的推导： ()()cos cos αβαβ⎡⎤+=--⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-.公式()S αβ+的推导：()sin cos 2παβαβ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭cos 2παβ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos αβαβ=+正切公式()T αβ+的推导：()()()sin tan cos αβαβαβ++=+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-②公式()2S α的推导：由①知，()sin2sin cos sin sin cos 2sin cos ααααααααα=+=+=. 公式()2C α的推导：由①知，()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.公式()2T α的推导：由①知，()2tan tan 2tan tan2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数 22sin 26cos 343sin 26cos34+-； 22sin 39cos 213sin 39cos 21+-；()()22sin 52cos 1123sin 52cos112-+--；22sin 30cos 303sin 30cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 303sin 30cos304444+-=+-= （2）证明：()()22sin cos 603sin cos 60αααα+---2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值【答案】（1）证明见解析；（2）6365． 【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案． 【详解】（1）由题意知：||||1OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为αβ-， 所以·11cos()cos()OA OB αβαβ=⨯⨯-=-， 又(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=， 所以·cos cos sin sin OA OB αβαβ=+， 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且5tan 12α=-，则512sin ,cos 1313αα==-；π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴-∈，4cos(),sin()553αβαβ-=--=，()()()1245363cos cos cos cos sin sin 13513565βααβααβααβ⎛⎫=--=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【答案】（1）推导见解析；（2【解析】 【分析】（1）根据图象可知2212AP PP =，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令ββ=-，求()cos αβ-，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为11sin 37.5cos37.5sin 75cos1522⋅==，再根据两角差的余弦公式化简. 【详解】（1）因为12(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin())P P P ααββαβαβ-++， 根据图象，可得2212AP PP =，即2212||AP PP =， 即2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαββαβα+-++=-++. 即cos()cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得cos()cos cos sin sin αββαβα+=-， ① cos()cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：2cos cos cos()cos()βααβαβ=++- 所以1cos cos [cos()cos()]2βααβαβ=++-，所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒︒︒︒︒===-.()1cos 45cos30sin 45sin 302=+1122⎫==⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】2sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=不合题意，舍去；当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒- ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦ ()1cos 303α=︒-=， 故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（ ）.A ．14B ．78 C ．14±D ．78±【答案】C 【解析】 【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】∵27cos(2)cos[2()]2cos ()13668x x x πππ-=-=--=-， ∴1cos()64x π-=±，∵1sin()cos[()]cos()32364x x x ππππ+=-+=-=±，故选：C. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（ ）AB ．12C ．12-D． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】依题意sin()sin 6πββ++=sin()sin 3233ππππββ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭1cos()sin )3233πππβββ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1sin )233ππββ⎛⎫--= ⎪⎝⎭)sin 2cos()133ππββ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，)1sin cos()3πβπβ⎛⎫-- ⎪-=22sin cos 133ππββ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)221sin 1sin 3πβπβ⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-- ⎪⎦⎣，化简得(()(28sin 2sin 3033ππββ⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2，(24sin 2sin 033ππββ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 12sin 033ππββ⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣， 解得1sin 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或sin 3πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：AC例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.【解析】 【分析】 由,0,2，()4cos 5αβ+=，即可求得()sin αβ+，用二倍角公式即可求得sin β 和cos β ，用拼凑角思想可表示出()ααββ=+-，用三角恒等变换公式求解即可. 【详解】因为()4cos 5αβ+=，且,0,2，所以()3sin 5αβ+=.又因为23cos 212sin 5ββ=-=，解得sin β=则cos β==故()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦4355==. 例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为_____________．【答案】12##0.5 【解析】 【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可． 【详解】231cos 212sin 124442ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2sin 242ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 22α∴=故答案为：12例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】()()111sin 21cos2sin 2cos2222f θθθθθ=-+=--()112222θθθϕ⎫---⎪⎝⎭（其中cos ϕsin ϕ=， 当()f θ取最大值时，022πθϕ-=，∴022πθϕ=+0sin 2sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0cos2cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴0sin 24πθ⎛⎛⎫+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos tan 1222ααααααααα===++，可解得tan 2α，即可求解 【详解】3sin 2sincos225ααα==-，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==-++， 可解得1tan23α=-或tan 32α=-，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=-，故1tan 221tan2αα-=-+， 故选：D例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C．D【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B．C ．12D【答案】D【解析】 【分析】由已知α的取值范围，求出4πα-的取值范围，再结合1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可解得α的值，cos2α即可求解 【详解】 因为22ππα-<<，所以3444πππα-<-< 又1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以43ππα-=-，所以12πα=-所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=-==⎪⎝⎭故选：D例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325-C D ． 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得. 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出()cos 45α︒+，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==-，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。
【高中数学】2023年新高一初升高衔接-函数的概念课件
: → 为从集合到集合的一个函数.
记作 = , ∈
1.函数的概念
是怎样的对应关系？
1.非空性：数集不为空集
1.函数的概念
是怎样的对应关系？
2.任意性 ：所有x均有对应的y
子女1
子女2
子女3
亲生母亲1
亲生母亲2
哪个孩子没有亲生母亲？
————所有都有
你和兄弟姐妹有几个亲生母亲？
第二章 函数
பைடு நூலகம்
函数
函数的概念
函数的概念
函数的三要素
函数
函数的性质
我们在这里
We are here
1
函数的概念
目录
函数的概念
函数的概念
函数的判断
分段函数
没有人比我更懂函数了
1.函数的概念
函数的近代定义
设 A，B是两个非空数集，如果按某一确定的对应关系 f ，使得 A 中的任意
一个数 x，在 B 中都有唯一确定的数 f ( x )与之对应，则称 f : A B 为从 A
2.函数的判断
练2-1.下列四个图形中，不是函数图象的是 (
y
y
O
x
A
)
y
O
x
B
y
O
x
C
O
x
D
2.函数的判断
练习2-2.（2022重庆八中期末4）设集合 = {|( + 1)( − 3) ⩽ 0}，
= {|( − 3) ⩽ 0}，函数()的定义域为，值域为，则函数
()的图象可以是(
为从 A
什么是真正的函数?
到 B 的函数 (function) ，记作y f ( x) ，x A．
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)3-3 诱导公式及恒等变化(精练)(解析版)
3.3 诱导公式及恒等变化（精练）（基础版）1．（2022·北京·高一阶段练习）化简sin()απ+为（ ） A ．sin α- B ．sin αC ．cos αD ．cos α-【答案】A【解析】sin()απ+sin α=-.故选：A2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）若()1sin 32πα+=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan 2022πα-等于（ ）A ．12-B ．32-C ．3-D ．33-【答案】D【解析】因为()1sin 32πα+=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 2α-=，解得1sin 2α=-，所以23cos 1sin 2αα=--=-，3tan 3α=，所以()()3tan 2022tan tan 3πααα-=-=-=-,故选:D 3．（2022·云南保山）已知角θ的终边过点(4,)A a ，且3sin()5θπ-=，则tan θ=（ ）A ．45-B ．45C ．34-D ．34【答案】C【解析】因为33sin()sin sin 55θπθθ-=-=⇒=-，由已知角θ的终边过点()4,A a 可得 2223954a a a =-⇒=+∵2230,054a a a =-<∴<+，解得3a =-所以4an 34t a θ==-故选：C ． 4．（2022·北京·人大附中）已知角α的终边经过点()5,12P --，则3πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．513-B ．1213- C ．513 D ．1213【答案】C【解析】依题意2222121255sin ,cos 1313512512αα--==-==-++，所以3π5sin cos 213αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 故选：C5．（2022·山东·烟台二中）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,2P -，则()()3sin 2cos 22sin 3cos ππααπαπα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-++等于（ ）A ．53B ．32C ．13D ．53-题组一 诱导公式基础运用【答案】B【解析】3sin()2cos()cos 2sin 12tan 22sin(3)cos()sin cos tan 1ππαααααπαπαααα++--+-+==-++--, 又(2,2)P -,故tan 1α=-.故()12112tan 3tan 1112αα-+⨯--+==---故选：B6．（2022·山东·淄博中学）（多选）下列式子中正确的是（ ） A ．2sin15cos152+=B ．62cos 754-=C ．223tan15tan 1051+=D ．tan12tan33tan12tan331++=【答案】BCD【解析】对于A 选项：()36sin15cos152sin 15452sin 60222︒+=+==⨯=，故A 错误； 对于B 选项：()cos75cos 3045cos30cos45sin30sin 45︒︒︒︒︒︒=+=-32126222224-=⨯-⨯=，故B 正确； 对于C 选项： 因为()31tan 45tan 303tan15tan 4530231tan 45tan 30313︒︒︒︒︒︒--=-===-++， 所以2223tan15tan 105=23tan15tan 75++()()2=23tan 4530tan 4530︒︒-+-()()tan 453023tan 4530︒︒⎡⎤=-+-⎣⎦()()()()23232323231⎡⎤=-+-=-+=⎣⎦，故C 正确；对于D 选项：()tan12tan 33tan 45tan 12+3311tan12tan 33︒︒︒+===-，即tan12tan33tan12tan331++=，故D 正确. 故选：BCD.1．（2022·山西太原·一模）sin20sin40︒+︒=（ ）A ．sin50︒ B ．sin 60︒ C ．sin 70︒ D ．sin80︒【答案】D【解析】()sin 20sin 40sin 6040sin 40sin 60cos 40cos60sin 40︒︒︒︒︒︒︒︒︒+=-+=-sin 40︒+()sin 60cos 40cos60sin 40sin 6040sin100︒︒︒︒︒︒︒=+=+= ()sin 18080sin80︒︒︒=-= ；故选：D. 题组二 两角和差与二倍角的基础运用2．（2022·四川雅安·二模）已知sin cosαα+=3πsin4α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．13±B．13C．13-D．【答案】C【解析】sin cos4πααα⎛⎫++=⎪⎝⎭，1sin43πα⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，31sin sin sin4443πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.3．（2022·全国·模拟预测（理））2sin801sin51︒+=︒-（）A．BC．2-D．2【答案】C【解析】由题得2sin801cos101cos101221cos10sin51cos10112︒+++==⨯=--︒----.故选：C4．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知sin6xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin sin3xxπ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（）A．1B．1-C D【答案】A【解析】因为sin6xπ⎛⎫-⎪⎝⎭1sin sin sin sin32x x x x xπ⎛⎫+-=+⎪⎝⎭16xπ⎛⎫=-=⎪⎝⎭故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）sin40sin80cos40cos60︒⋅︒=+（）A．B．12-C D．12【答案】D【解析】222120sin20sin40sin80sin6020sin60202213cos40cos60cos402sin2022︒-︒︒⋅︒︒-︒⋅︒+︒==︒+︒︒+-︒）（）（）（）22222313cos20sin20sin2014443322sin202sin2044︒-︒-︒===-︒-︒（）（），故选：D6．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若tan 2tan 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2x =（ ）A ．35B ．35C ．13- D ．13【答案】C【解析】因为tan 2tan 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1tan 1tan 21tan 1tan x x x x -+=⨯+-，解得tan 322x =-±，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1x x xx x x x ==++，当tan 322x =--时，()223232tan 1tan 1318123x x -+==-++， 当tan 322x =-+时，()223232tan 1tan 1318123x x --==-+-， 综上所述，1sin 23x =-.故选：C.7．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知23,,2sin 3sin 2124ππααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．1- B ．32-C ．12-D ．1【答案】A【解析】由22sin 3sin 21αα+=，得1cos23sin 21αα-+=，3tan 23α=，3π2(π,)2α∈，所以3cos 22α=-，1sin 22α=-，πππcos(2)cos2cos sin 2sin 1666ααα-=+=-，故选：A .8．（2022·重庆一中高三阶段练习）式子2cos15sin10cos 20cos10cos702cos 45sin15sin10sin 70︒︒︒+︒︒-︒︒︒︒的值为___________【答案】12【解析】原式2cos 20sin10(cos15sin15)cos10cos 70=︒︒︒-︒+︒︒()2cos20sin102cos 4515cos10cos70=︒︒⨯︒+︒+︒︒1cos 20sin10cos10sin 20sin 302=︒︒+︒︒=︒=，故答案：12 1．（2022·宁夏吴忠）已知()3sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（ ） A ．2110 B ．32C ．32D ．2【答案】D题组三 公式的基础综合运用【解析】由诱导公式可得()3sin sin cos 2cos 2πααπαα⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，所以，tan 2α.因此，2222222sin sin cos 2tan tan 102sin sin cos 2sin cos tan 15ααααααααααα---====++.故选：D.2．（2022·山东潍坊·一模）已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos2sin 1αα+=，则（ ）.A ．()2sin π3α-=B ．()2cos π3α-=-C．πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭D．πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】∵3cos2sin 1αα+=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵()2312sin sin 1αα-+=，即26sin sin 20αα--=，∵2sin 3α=或1sin 2α=-（舍去），∵5cos α3，()2sin πsin 3αα-==，()cos πcos αα-=-=，πsin cos 2αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭π2cos sin 23αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故选：A.3．（2022·河南省杞县高中）已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247B ．247-C ．3117D ．3117-【答案】D 【解析】因为4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==-，sin tan s 43co ααα==-，则22422tan 243tan 21tan 7413ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，24π1tan 2tan π3174tan 2π244171tan 2tan 1147ααα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯． 故选：D4．（2022·广西南宁·一模（理））已知3sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2α=（ ）A ．2425B ．725C ．2325-D ．2425-【答案】C【解析】因为3sin cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos sin αα+=2222(cos sin )cos 2sin cos sin 1sin 225ααααααα+=++=+=，23sin 225α=-．故选：C ．5．（2022·河北邯郸·一模）已知tan 3α=-，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．34- B ．34 C ．310D ．310-【答案】C【解析】因为tan 3α=-，则33sin sin sin sin cos sin 2ααααπαα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222sin 1sin sin cos tan 3cos cos sin 1tan 10ααααααααα---====++. 故选：C.6．（2022·河北·模拟预测）（多选）已知tan 2θ=，则下列结论正确的是（ ） A ．tan()2πθ-=- B ．tan()2πθ+=-C ．sin 3cos 12sin 3cos 7θθθθ-=-+D ．4sin 25θ=【答案】ACD【解析】对于A 选项，tan()tan 2πθθ-=-=-，故A 选项正确； 对于B 选项，tan()tan 2πθθ+==，故B 选项错误； 对于C 选项，sin 3cos tan 32312sin 3cos 2tan 3437θθθθθθ---===-+++，故C 选项正确；对于D 选项，2222sin cos 2tan 44sin 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθθ=====+++，故D 选项正确.故选：ACD 7．（2022·全国·模拟预测）已知20215sin 413πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．1213B ．25169C ．513-D ．119169-【答案】D【解析】因为20215sin 413πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以5sin 413πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以sin 2cos 22παα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，=cos 24πα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，251191213169⎡⎤⎛⎫=--⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故选：D ．8．（2022·江西·高三阶段练习（理））若cos 3sin 06παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ）A ．1114B ．914 C．D【答案】A1sin 3sin 02ααα-+=，故tan α=故22222231cos sin 1tan 221125cos 23cos sin 1tan 2814125ααααααα---=====+++，故选：A 9．（2022·北京·人大附中）若()sin cos 12232sin sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 3cos αααα--=（ ）A ．110B ．310C ．910 D ．32【答案】C【解析】()sin cos cos sin 1tan 1223sin cos tan 12sin sin 2ππαααααπαααπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=-,则222222sin sin cos 3cos sin sin cos 3cos sin cos αααααααααα----=+22tan tan 39339tan 19110ααα--+-===++.故选：C.10（2022·陕西·西安中学）已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______．【答案】3116【解析】1sin()cos(2)sin cos 4πθπθθθ-+-=+=，则()2115sin cos 12sin cos sin cos 3216θθθθθθ+=+=⇒=-，所以()231cos sin 12sin cos 16θθθθ-=-=，因为(0,)θπ∈，所以cos 0,sin 0θθ<>，31cos sin 4θθ-=-，则()()()22331131sin 2cos 2cos sin cos sin cos sin 24416πθθθθθθθθ⎛⎫+=-=--=--+=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3116 1．（2022·福建漳州·二模）已知π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．223- B ．13- C ．13 D ．223【答案】C【解析】ππππ1cos sin sin 33263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C2．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学）已知1sin 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则7cos 12πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．223- B ．13- C ．13 D ．223题组四 角的拼凑【答案】C【解析】由诱导公式得71cos sin 12123ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C3．（2022·重庆八中模拟预测）已知sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．79B ．79-C D ． 【答案】A【解析】2sin 2sin 2cos 22sin 163233πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦872199=⨯-=.故选：A.4．（2022·全国·高三阶段练习）若()()sin101sin 10α︒=︒⋅︒-，则()sin 270α+︒=（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-【答案】C【解析】因为()()()2sin 20sin 10sin 104sin10sin 10sin10cos10ααα︒︒-=︒-⋅=︒⋅︒-=︒︒所以()1sin 104α︒-=.所以()()()217sin 270cos 20212sin 10188ααα+︒=︒-=-︒-=-=.故选：C.5．（2022·全国·模拟预测）已知31cos 84πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】78 【解析】因为31cos 84πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以1cos 284ππα⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以1sin 84πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以cos 2cos 248ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21712sin 128168πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：78.6．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知1sin 124πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 【答案】78-【解析】∵1sin 124πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵cos π2c 5cos 2612os 212πππααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=--⎦⎭⎣⎪⎝⎣⎦2217sin 12114822πα⎛⎫⎛⎫--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 故答案为：78-.7．（2022·辽宁·沈阳市）若π12cos 1213x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5πcos 12x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】513【解析】由π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭得ππ0,122x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π5sin 1213x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故35πcos cos ()sin()122121521x x x πππ⎛⎫⎡⎤-=-+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：513.8．（2022·山东·临沂第四中学）已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】12-【解析】因为2362πππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2326πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以21cos cos sin 32662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：12-.。
高考数学重难点第2讲 一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第二讲一元二次不等式恒成立与能成立问题——每天30分钟7天掌握恒成立与能成立问题5大题型【命题趋势】不等式是高考数学的重要内容。
其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。
一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x恒成立⇔==⎧⎨>⎩a bc或Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c<＋＋对任意实数x恒成立⇔==⎧⎨<⎩a bc或Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a . 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。