江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题【含答案】

江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

试题满分：150分 考试时间：120分钟）

一、 选择题

（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：（ ）

A ．

B ．

C ．30

D ．40

2．下列导数运算正确的是（ ）

A ．2

11'x x ??=

???

B ．(sin )cos x 'x =-

C ．(3)'3x x

= D ．1(ln )x '=x 3．的展开式中

的系数为（ ）

A ．20

B ．

C ．5

D ．1

4．已知()310

P AB =

，()3

5P A =，则()|P B A 等于（ ）

A ．

9

50 B ．

12

C ．

910

D ．

14

5．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()2

1,0N σ

σ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=

（ ） A ．0.4

B ．0.8

C ．0.6

D ．0.2

6．设a N ∈,且0≤a ＜13,若能被13整除,则a =（ ）

A ．0

B ．1

C ．11

D ．12

7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A ．2280

B ．2120

C ．1440

D ．720

8．若关于x 的不等式1127

k x

x ??≤ ?

??

有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.

9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A ．-3是()f x 的一个极小值点； B ．-2和-1都是()f x 的极大值点； C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞； D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．

10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．1111

3213C C C C

B ．23

43C A

C ．122

342C C A

D ．18

11．已知()n

a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

12．关于函数()sin x

f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题

卡相应位置．

13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.

14．已知函数当时，,则= __________.

15．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 __________.

16. 若对任意0x >，恒有(

)

112ln ax

a x x x e ??

+≥+

???

，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）

（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？

18．（本小题满分12分）

已知函数()3

2

3f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.

（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]

4,4-内的最值.

19．（本小题满分12分）

某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为2

3

，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；

（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.

20.（本小题满分12分）

已知*

()(2),n f x x n N =+∈．

（1）设2

012()n n f x a a x a x a x =++++，

①求012n a a a a ++++；②若在012,,,

,n a a a a 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；

（2）设2

012()(1)(1)(1)n

n f x b b x b x b x =+++++

++，求11

1

n

r r b r =+∑

．

21．（本小题满分12分）

已知函数()2

ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.

（1）求实数a 的值； （2）若直线与函数

图象交于两点,,

,且12x x <，

两点的中点的横

坐标为证明：

.

22.（本小题满分12分）

已知函数2

()ln ,()x

f x x x ax

g x e e =-+=-，其中0a >. （1）若

，证明：

；

（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.

命题人：徐小美、张茂城

审核人：蒋红慧

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试

高二数学（参考答案）

1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A

【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127

k x

x ??≤ ?

??

转化为

ln 3ln 3k x

x

≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以

ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k

≥．令()ln x

f x x =，

则()2

1ln x

f x x

-'=

，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}

max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 3

3k

≥，解得9k ≥．故选A ．

9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD

【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f '

'，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜

式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''

><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个

数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0x

f x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e

-=，设sin (),(,)x x

g x x e

π=

∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14． 15．

16．2a e

≥

【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ??+≥+ ??

?变形为()()22

1ln 1ln ax ax e e x x +≥+.

设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()1

1ln 1ln ln 1f t t t t t t t

'''=+++=++

()()221111ln 1t t t f t t t t '-??''=++=-= ?'??

'.

当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.

则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201

f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.

若使得对任意0x >，恒有()

112ln ax

a x x x e ??

+≥+

???

成立. 则需对任意0x >，恒有()()

2

ax f e f x ≥成立.

即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln x

a x

≥

在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,x

g x x x =

∈+∞则()()()22

2ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减

则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.

所以()()max 2g x g e e

==

，即2

a e ≥.

17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有3

9504A =种排法；

（2）可用插空法求解，先排5名男生有5

5A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有4

6A 种方法，故共有5

4

5643200A A =种方法. 18．【解析】

（1）()2

'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，

∴

2133113b a a ?

-+=-????-?=-??

，解得131a b ?=???=-?.检验单调性符合.

（2）由（1）得()32

133

f x x x x =

--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表)

又∵()7643f -=-

，()513f -=，()39f =-，()2043

f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-

；()()max 5

13

f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率

.

答：甲答对1题乙答对2题的概率为

（2）m 的所有取值有1，2，3，

，，，

1 2 3

故或.

由题意可知，

，，，

1 2 3

故或.

答：甲、乙两位同学答对题目数的数学期望均为2.

20．【解析】（1）因为2

012

()(2)n n

n

f x x a a x a x a x

=+++++

=，

①令1

x=，则

012

3

n

n

a a a a

+++=

+；

②因为二项式(2)n

x

+展开式的通项为：

1

2r n r r

r n

T C x

-

+

=，

又在012

,,,,

n

a a a a中，唯一的最大的数是

4

a，

所以

4455

4433

22

22

n n

n n

n n

n n

C C

C C

--

--

?>

?

>

?

，即

45

45

45

43

43

43

2

2

n n

n n

A A

A A

A A

A A

?

?>

?

?

?

?>?

??

，解得

14

11

n

n

<

?

?

>

?

，即1114

n

<<，

又*

n N

∈，所以12

n =或13；

（2）因为[]2

012

()(2)1(1)(1)(1)(1)

n

n n

n

f x x x b b x b x b x

=+++=++++++

=+，

根据二项展开式的通项公式，可得，r

r n

b C

=，

所以11

11!1(1)!1

=

11!()!1(1)!()!1 1

1n

r

r r

n

n n

C C

r r r n r n r n r n

b

r

+

+

+

?=?=?=?

++-++-+

+

，

则()

11

231

1

1

11

12(1)12

1

1

2

111

n n

n

n n n

n

r

r

n n

b

r

C C C

n n n

++

+

=

+++

-+---

=?++???+=

++

+

=

+

∑. 21．【解析】（1）()

2

2

21

a x x a

f x x

x x

-+

'=-+=（0

x>）.

因为0a <，所以180a ->，

令

得11184a x --=

，21184

a

x +-=， 且10x <，20x >，在118,4a ??

+-+∞ ? ???

上；在1180,4a ??

+- ? ???

上；

所以函数()f x 在1184a x +-=

时，取最小值0，又()10f =，所以11814

a +-=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2

ln f x x x x =--， 设

（

），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤），

则()()()()()2

2ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，

()()2

1122

22202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-??

?

??

， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，

即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即

22．【解析】（1）,

增；减；.

（2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.

由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2

121

()2x ax f x x a x x

-++'=-+=.

令()00f x '=

可得04

a x +=（负值舍去）.

在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.

①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.

因为在区间(0,1)上，()0

②当01a <<

时，014a x +=<.因为()000

120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()2

2

200000000

1ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-

=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.

③当1a >

时，014

a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增.

又因为(1)10f a =->，2

22

1111111111

ln 102242242224

f a a a a a a ????=-+<--+=---< ? ?????， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =. 结合函数()

g x 的性质，可知1x x =是()

h x 唯一的零点.

综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.