高一数学预科班资料

前言

课时安排：

第一讲集合的含义与表示

第二讲集合间的基本关系

第三讲集合的基本运算（一）

第四讲集合的基本运算（二）

第五讲一次函数、一次不等式与二次函数

第六讲一元一次不等式、一元二次方程

第七讲函数的概念

第八讲函数的表示法

第九讲单调性与最大（小）值

第十讲奇偶性

第十一讲指数与指数幂的运算

第十二讲指数函数及其性质

第十三讲对数与对数运算

第十四讲对数性质的应用

第十五讲小结与测试

资料说明：

本资料适用于高一预科班，内容为必修1的前半部分内容，授课对象为初三升入高一的学生，他们在很大程度上还没适应高中的学习，所以本资料紧扣教材，有点象教师的教案，有点象教材，也可作为学生听课笔记。每一讲的每一道题如果都讲解，可能没有这么多的时间，再者学生层次不一，拓广探索的题可选上，思考题可不上（仅供有一定的数学基础和数学学习兴趣的同学参考），请上课教师斟酌考虑，自行安排。

由于本人水平有限，资料有不足之，敬请各位同仁多提宝贵意见，不胜感谢。

第一讲 集合的含义与表示

I 、引入

在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如： （1）自然数的集合； （2）有理数的集合；

（3）不等式37<-x 的解的集合；

（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）；

（5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ）

II 、新授

一、集合的概念：

新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）， 把一些元素组成的总体叫做集合（set ）

（简称为集 ）。

旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每一个对象叫做这个集

合的元素。

例1：判断下列哪些能组成集合。 （1）1~20以内的所有质数；

（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星； （3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形；

（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点； （7）方程0232

=-+x x 的所有实数根；

（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生； （9）身材较高的人； （10）{1，1}； （11）我国的大河流； 问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系？

（2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合？

点评：

1、 集合元素的性质： （1） （2） （3）

2、经常用大写拉丁字母A ，B ，C ， 表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示集合中的元素。 例如：A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}； B={a,b,c,d,e,f,g}; 特例：C={A,B}

就说a 不属于（not belong to ）集合A ，记作 。

例如：太平洋 A a B h B 4、数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 ； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 ； 全体整数组成的集合称为整数集，记作 ； 有理数组成的集合称为有理数集，记作 ； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 。

二、集合的表示方法

我们可以用自然语言描述一个集合，还可以用列举法、描述法等来表示集合。 1、 列举法

概念：把集合中的元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法 自然语言描述：“地球上的四大洋”组成的集合 列举法： 自然语言描述：“方程0)2)(1(=+-x x 的所有实数根”组成的集合 列举法：

例2、用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x x =2

的所有实数根组成的集合；

（3）由1~20以内的所有质数组成的集合。 问：（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8}吗？ （2）你能用列举法表示不等式37<-x 的解集吗？

2、描述法

我们不能用列举法表示不等式37<-x 的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。

例如，不等式37<-x 的解集中所含元素的共同特征是：10,37,<<-∈x x R x 即且 所以，我们可以把这个集合表示为 D=

又如，任何一个奇数都可以表示为)(12Z k k x ∈+=的形式。所以，我们可以把所有奇数的集合表示为 E=

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 点评：R x ∈，Z k ∈有时可以省略 例如：D= E=

例3、试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1） 方程022

=-x 的所有实数根组成的集合；

（2） 由大于10小于20的所有整数组成的集合。

三、例题解析

1 下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A 所有的正数

B 等于2的数

C 接近于0的数

D 不等于0的偶数 2 下面有四个命题：

（1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ；

（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212

=+的解可表示为{}1,1；

其中正确命题的个数为（ ）

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

3、若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形

4、下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；

（2）集合{}

1|2-=x y y 与集合(){}

1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）361

1,,,,0.5242

-

这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

5、方程组???=-=+9

1

2

2y x y x 的解集是（ ） A ()5,4

B ()4,5-

C

(){}4,5-

D

(){}4,5-

6、下列式子中，正确的是（ ）

A R R ∈+

B {}Z x x x Z ∈≤?-

,0|

C 空集是任何集合的真子集

D

{}φφ∈

四、拓广探索

1、已知由实数12

+-a a ，3，a ，1-为对象组成的集合为M ，且M 中仅含有3个元素，求实数a 的值。

2、已知集合A={R a x ax R x ∈=++∈,012|2}。 （1）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出该元素； （2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。

3、已知集合M={ d a d a a 2,,++ }，N={ 2,,aq aq a }表示同一集合，其中0≠a ，求q 的值

五、思考（本题仅供参考）

4、设集合M = {z y x y x z z ∈-=,,|22}。 （1）试验证5和6是否属于集合M ；

（2）关于集合M ，还能得到什么结论吗？

第二讲 集合间的基本关系

I 、温故知新

1、 用描述法表示集合：{1，21，31，41，51，6

1}

2、用列举法表示集合：{x |0222

3

=+--x x x }

3、若R x ∈，则{3，x ，x x 22-}中的元素x 应满足什么条件？

II 、新授

一、几个概念

观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ （1）A={1，2，3}， B={1，2，3，4，5}；

（2）设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合； （3）设A={x |x 是两条边相等的三角形}， B={x |x 是等腰三角形}。

子集：一般地，对于两个集合A ，B ， 如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两

个集合有包含关系， 称集合A 为集合B 的子集（subset ）， 记作 （或 ） 读作“ ”（或“ ”） 如：{x |3>x } {x |063>-x }；

两集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A ?B ），且集合B 是集合A 的子集（B ?A ），此时，集合A

与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作 {x |012

=-x } {1-，1}

真子集：如果集合A ?B ，但存在元素∈x B ，且?x A ， 我们称集合A 是集合B 的 （proper subset ）， 记作 （或 ）。

读作“ ”（或“ ”） A={x |x 是正方形} B={x |x 是四边形}

空集：我们把不含任何元素的集合叫做 （empty set ），记作 ，

例如：{x |012

=+x }= 点评：

1、?和?分别可以用?和?表示；

2、在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为V enn 图（韦恩图）

例如：A ?B

3、任何一个集合是它本身的子集，即A ?A ；

4、规定：空集是任何集合的子集；A ?φ，

?φ{φ}， ∈φ{φ}

空集是任何非空集合的真子集；

5、子集的传递性

（1）对于集合A 、B 、C ，如果A B ， B C ， 那么A C （2）对于集合A 、B 、C ，如果A B ， B C ， 那么A C 6、注意区别：{a }?A 与 a ∈A

二、例题解析

1、集合φ与{0}的关系是（ ）

A 、{0} = φ

B 、φ ∈ {0}

C 、φ

{0}

D 、{0} φ

2、判断A={x |12+=m x ，Z m ∈}， B={x |12-=n x ，Z n ∈}是否相等。

3、下列四个集合中，是空集的是（ ） A }33|{=+x x

B },,|),{(22R y x x y y x ∈-=

C }0|{2

≤x x

D },01|{2

R x x x x ∈=+-

4、设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?，则实数k 的取值范围是

5、写出集合{a ，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

三、拓展探索

1、已知集合?

??

???∈-∈=N x N x A 68|

，试用列举法表示集合A

2、已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围

3、设A={x R ∈|01582

=+-x x }，B={x R ∈|01=-ax }，且B ?A ，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集。

4、设A={ 04|2=+x x x }，B={ 01)1(2|22=-+++a x a x x }。 （1）若B ?A ，求a 的值 （2）若A ?B ，求a 的值

5、已知A={ c b a ,, }，求：

（1）集合A 的子集的个数；

（2）若集合A 含有元素分别为1个、2个、3个、4个、5个，则子集的个数分别是多少？ （3）据上面的结果猜测集合A 含有n 个元素时，集合A 的子集的个数。

6、设集合1{|,}24n A x x n Z ==

+∈，1

{|,}42

n B x x n Z ==+∈，试确定集合A 与B 的关系.

四、思考（本题仅供参考）

7、设,,,a b c d Z ∈，集合{|128},{|208}A x x a b B x x c d ==+==+，试确定集合A 与B 的关系.

第三讲 1．1．3集合的基本运算（一）

引：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以 “相加”呢？

考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A ，B

之间的关系吗？

(1) A={1，3，5}， B={2，4，6}， C={1，2，3，4，5，6}； (2) A={x x |是有理数}， B={x x |是无理数}， C={x x |是实数}。

一、并集：

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ）

，记作 （读作“ ”），即 并集的Venn 图表示：

点评：

（1）“A x ∈或B x ∈”包括下列三种情况：

（2）A A= ； A φ =

（3）A B=B A （4）()()A B C A B C = （5）A B ?Ａ,A B ?B 例1、设A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，求A B

例2、设集合A={}21|<<-x x ，集合B={31|<

点评：

我们还可以在数轴上表示例2中的并集A B ，即：

引：考察下面的的问题，集合A ，B 与集合C 之间有什么关系？ （1） A={2，4，6，8，10}， B={3，5，8，12}， C={8}； （2） A={x x |是新华中学2004年9月在校的女同学}，

B={x x |是新华中学2004年9月在校的高一年级同学}， C={x x |是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学}，

二、交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集（tion er sec int set ），记作 （读作“ ”），即

交集的Venn 图表示：

点评：（1）A A= ； A φ = 。

（2）A B=B A

（3）()()A B C A B C = （4）A B ?A, A B ?B ．

（5）联系并集与交集的性质有结论：??A B ?A ?A B ．

例3、新华中学开运动会，设 A={x x |是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x x |是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}， 求A B 。

例4、设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试用集合的运算表示1l ，2l 的位置关系。

三、拓展探索

1、已知集合{}{}

22

,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =- ，求实数a 的值

2、已知集合A={012|2=+-ax x x }，B={}0|

3、设A={}112|>-<<-x x x 或，B={b x a x ≤≤|}，若A B={2|->x x }，A B={31|≤

4、已知集合A={74|<≤x x }，B={121|-≤<+a x a x }，且A B φ≠，求实数a 的取值范围

5、设集合2

{1,2,1}A x x =--+，{4,2,4}B y x =-+，已知{1,7}A B =- ，求x y 、的值.

四、思考

6、已知集合{}2|(23)30A x x a x a =+--=，{}

22

|(3)30B x x a x a a =+-+-=，若A B ≠，且

A B ≠? ，求A B .

第四讲 集合的基本运算（二）

在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。

例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数。在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。

在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如方程（0)3)(22=--x x 的解集，在有理数范围内只有一个解2，即{|Q x ∈（0)3)(22=--x x }={ }；

在实数范围内有三个解： ，即{|R x ∈（0)3)(22=--x x }={ }； 答：{2}；2

，

；{}

2

一、 全集

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set ）

，通常记作 。 二、补集

对于一个集合A ，由全集合U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补

集（ary complement set ），简称为集合A 的补集，记作 ，即

答案：U ；u C A , C U A={x | x ∈U 且x ?A} 补集的Venn 图表示

点评：

补集的性质：

(1)()(2)()(3)()(4)()()()(5)()

()

()

C u A A U C u C u A A

C u A A C u A B C u A C u B C u A B C u A C u B ?==?=?

?=??=?

例1、若 S = { 2， 3， 4 }， A = { 4，3 }， 则A C S = 。

例2、若U = { 1，3，122

++a a }，A = { 1，3 }，A C U = { 5 }，则a = 。 例3、设全集U = { 2，3，322

-+m m }，A = { |1+m |，2 }，A C U = { 5 }，求m 。

例4、设U = {x x |是小于9的正整数}，A = {1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A C U ，B C U 。

例5、设全集U = {x x |是三角形}，A = {x x |是锐角三角形}，B= {x x |是钝角三角形}， 求A C U ， A B ， )(B A C U ?。

三、奇数集和偶数集

形如2)(Z n n ∈的整数叫做偶数，形如)(12Z n n ∈+的整数叫做奇数， 全体奇数的集合简称奇数集，全体偶数的集合简称偶数集。

例6、已知A 为奇数集，B 为偶数集，Z 为整数集，求A B ，Z A ，Z B ，A B ，Z A ，Z B 。

四、拓展探索

1、下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ()()A C B C

B ()()A B A

C C ()()A B B

C

D ()A B C

2、若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）

A 3个

B 5

C 7个

D 8个

3、若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ ）

A 1

B 1-

C 1或1-

D 1或1-或0

4、若集合{}

{

}

22

(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（ ） A M N M = B M N N = C M N M =

D M N =?

5、下列表述中错误的是（ ）

A 若A

B A B A =? 则,

B 若B A B B A ?=，则

C )

(B A A )(B A

D ()()()B C A C B A C U U U =

6、若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B = ，则C 的非空子集的个数为 。

7、若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B = _____________

8、设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}

2

|0N n x x n =-+=方程有实数根，

().U C M N 求

9、设全集U = { 1，2，3，4 }，A = { U x m x x x ∈=+-,05|2

}，求A C U ，m 。

10、（1）已知全集U = {2，5，422

--a a }，M={2，|6-a |}，且}5{-=M C U ，求a 的值； （2）若A={0，2，4}，A C U ={-1，1}，B C U ={-1，0，2}，求B 。

五、思考

1、设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = { 3，4，5 }， B = { 4，7，8 } 求：（1）、A C U ，B C U ，（A C U ）?（B C U ），（A C U ）?（B C U ）。

（2）、A B ，A B ，)(B A C U ?，)(B A C U ?。

2、已知U=R ，集合{|37}A x x =≤<，{|210}B x x =<<，求)(B A C U ， B A C U )(

3、设集合2{4,2,1,}A a a =--，{9,5,1}B a a =--，已知{9}A B = ，求A B .

4、设全集{|7,}U x x x N =≤∈，已知B A C U )(={1，6}，)(B C A U ={2，3}，)(B A C U ={0，5}，求集合A 、B.

第五讲 一次函数、一次不等式与二次函数

【知识要点】

1.一次函数：形如 的函数称为一次函数.

2.函数()f x kx b =+的图象：

3.一元一次不等式：形如 的不等式称为一元一次不等式.

4.【问题思考】

1.一次函数与正比例函数有何联系和区别？

2.一次函数x 、y 的范围分别是什么？ 【理论迁移】

例1 、已知()f x 为一次函数，且当[1,2]x ∈时，()f x 的最大值为3，最小值为-1，求()f x 的解析式.

例2、 设a 为实常数，解不等式23(1)ax x +>-.

【知识要点】

1.二次函数：形如 的函数称为二次函数.

2.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象：

3.二次函数的基本性质： （1）x 的范围： .

（2）y 的范围：0a >时， ；0a <时， . （3）对称性：图象关于直线 对称.

【问题思考】

1.二次函数的解析式有哪几种形式？

2.若二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠的图象与x 轴相交，则两交点间的距离是什么？

【理论迁移】

例3、 已知二次函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，截x 轴所得的线段长为且(0)1f =，求()

f x 的解析式.

例4、（1）当]1,2[-∈x 时，求函数2()42f x x x =-+的最小值.

（2）当]3,3[-∈x 时，求函数2()42f x x x =-+的最小值. （3）当]5,3[∈x 时，求函数2()42f x x x =-+的最小值.

【拓展探索】

1、设集合{|20},{|3241}A x x a B x x x =->=+<-，若A B B = ，求a 的取值范围.

2、 已知函数()(12)(1)f x m x m =-+-的图象不经过第一象限，求实数m 的取值范围.

【思考】

3. 设a 为实常数，当[,2]x a a ∈+时，求函数2()42f x x x =-+的最小值.

第六讲 一元二次不等式、一元二次方程

【知识要点】

1.一元二次方程形式： .

2.根的判定：记△2

4b ac =-，则 时有两个不等实根； 时有两个相等实根； 时没有实根.

3.根与系数的关系：

设12,x x 为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，则 12x x += ；12x x ?= . 4.求根公式：1,2x = . 【问题思考】

1.解一元二次方程有哪些基本方法？

【理论迁移】

例1 设m 为常数，解关于x 的方程2(1)(2)20m x m x m -+--=.

例2 若关于x 的方程2244(1)0x m x m +-+=有两个不相等的正数解，求m 的取值范围.

【知识要点】

1.一元二次不等式的基本形式： .

2. 一元二次不等式的解法：设函数2()(0)f x ax bx c a =++>，则

3.简单分式不等式的解法：设a b <为常数，则

（1）0x a

x b ->?- ? . （2）

0x a

x b

-

【问题思考】

1.当0a <时，不等式2

0ax bx c ++>的解集如何？ 2.解一元二次不等式的基本步骤如何？

【理论迁移】

例1 解下列不等式：

（1）2

223x x -<； （2）5

24

x x -≥+.

例2 设a 为实常数，解下列不等式：

（1）22(21)0x a x a a -+++<； （2）2(1)x a a x +>+.

【拓展探索】

1、 已知关于x 的不等式2(2)410a x x a +++->的解集为R ，求实数a 的取值范围.

2、设集合22

{|190}A x x ax a =-+-=，B={2，3}，C={-4，2}，若,A B A C ≠?=?

，求实数a 的值.

3.如果关于x 的方程2

0x x a -+=至少有一个正数解，求实数a 的取值范围.

4、设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====

求

【思考】

1、 设222

{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B = ， 求实数a 的取值范围

2、设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}

2

|(1)0B x x m x m =+++=；

若φ=B A C U )(，求m 的值

3、设集合2

{|60}A x x x =--<，2

{|280}B x x x =+->，2

2

{|430}C x x ax a =-+<（其中a 为正常数），若A B C ? ，求实数a 的取值范围.