空间数据插值演示文稿
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20 空间数据的处理-空间插值
局部内插
局部内插 – 将地形区域按一定的方法进行分块，对每一块根据地形曲面特 征单独进行曲面拟合和高程内插，每一块都可用不同的曲面进 行表达。称为空间分块内插。 局部方法： – (1)泰森多边形 – (2)距离反比权值插值(反距离权重内插) – (3)样条函数内插技术 – 克里金内插方法 – 密度估算 – 线性内插、 – 双线性内插 – 多项式内插 – 多层曲面叠加法等。
XY
n
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地理信息系统基础
Geographical Information System
WWW . SDJTU .
空间插值
教学内容
§1 插值概论
§2 内插方法 §3 整体内插
§4 局部内插
§5 Kriging 方法
§1 插值概论
插值 – 用已知点来估算其他未知点的过程。
在GIS中，空间插值主要用于栅格数据，估算出栅格中 每个单元的值。空间插值是将点数据转换为面数据的一 种方法。 需要插值的原因: – 现有数据不能完全覆盖所要求的区域 – 现有离散曲面的分辨率、像元大小、方向与要求不 符； – 现有连续曲面的数据模型与要求不一致；
空间插值
习作4：用普通克里金作插值
习作5：用泛克里金作插值
挑战性任务
参考文献
2
空间插值
空间插值是用已知点的数值来估算其他点的数值的过程。 在GIS应用中，空间插值主要用于估算出栅格中每个像元的 值。因此，空间插值是将点数据转换成面数据的一种方法。
3
控制点
控制点是已知数值的点，它提供了为空间插值建立插值方 法（例如数学方程）的必要数据。 控制点的数目和分布对空间插值精度的影响极大。
假设不存在漂移，普通克里金法重点考虑空间相关的因 素，并用拟合的半变异直接进行插值。
37
图15.20 基于指数模型的普通克里 金插值法生成的等雨量线图。
38
图15.21 图15.20中的年降水 量曲面的标准误差。
39
泛克里金法（Universal Kriging）
泛克里金法假设除了样本点之间的空间相关性外，空间变 量的z值还受到漂移或倾向等影响。
4
图15.1 爱达荷州及其周边的 175个气象站地图。
5
空间插值的类型
1. 空间插值方法可分成全局和局部拟合法。 2. 空间插值方法可分成精确的和不精确的。 3. 空间插值方法可分成确定的和随机的。
6
表15.1 空间插值方法的分类
整体拟合法
局部拟合法
确定性 随机性
确定性
随机性
趋势面*
回归
泰森 密度估算 距离倒数权重 薄板样条
注释栏15.6 用普通克里金法估算的实例
15.4.4 泛克里金法（Universal Kriging）
注释栏15.7 泛克里金法估算的实例
15.4.5 其它克里金法
15.5 空间插值方法的比较
重要概念和术语
地理信息系统课程GIS空间插值共46页PPT
55、 为 中 华 之 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
地理信息系统课程GIS空间插值
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
地理信息系统课程GIS空间插值
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
空间插值分析课件
26
3.距离反比法
反距离加权法（IDW）的一个改进
？ ---按方位取点！
27
空间插值分析
概述 最近邻法 距离反比法 趋势面法 样条法 克里金法 精度评定及方法选择
28
4.趋势面法
趋势面法分析
把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，具体地 ，趋势面法将样本点的实测点Zi变换分解为两部分，表达 为：
5m-10m的间隔下的半方差图
41
6.克里金法
半变率图的组成
块金值(c0，Nuddget): 当h = 0时
的非零变率，由不可解释的原因
引起 ；
空间自相关部分：C/(c0+c)
基台值(c0+c；sill): 半变率曲线变 平缓时的变率值，表明在某个距 离上样本点不再存在相关性，通 常等于数据集的方差；
缺点
高次多项式在数据区外围产生异常高值或低值； 空间采样选择会影响结果。
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4.趋势面法
趋势面法的实际应用
1998年全国年平均降水数据
趋势面法插值结果
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空间插值分析
概述 最近邻法 距离反比法 趋势面法 样条法 克里金法 精度评定及方法选择
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5.样条法
样条法原理
样条插值的目标就是寻找一
近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测点。
当数据存在不确定性时，应该使用近似插值，由于估计值替代 了已知变量值，近似插值可以平滑采样误差。
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空间插值分析
概述 最近邻法 距离反比法 趋势面法 样条法 克里金法 精度评定及方法选择
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2.最近邻法
基本原理
最近邻点法由A. H. Thiessen提出，又叫泰森多边形方法。 它采用一种极端的边界内插方法，即只用最近的单个点进
空间数据插值
最近邻点插值法同样只适用
于样点分布均匀、紧密完整， 且只有少数缺失值时，对缺 失值进行填补
现在学习的是第13页，共28页
常用的空间数据插值方法之六：自然邻 近插值法（Natural Neighbor)
自然邻近插值法是对泰森多边形插值法的改进。它对研究区域内各点 都赋予一个权重系数，插值时使用邻点的权重平均值决定待估点的权重。
插值认为从一个统计模型不可能完全精确地得出预测值，所以在进行预测时，应该 给出预测值的误差，即预测值在一定概率内合理。
通常所说的地统计插值是指克里格插值法（Kriging)
Z（s）=μ（s）+ε（s） S 表示不同的位置点，可以是用经纬度表示的空间坐标。 Z（s）是该位置点的属性值。 μ（s）为确定趋势值，ε（s） 为自相关随机误差。
的话，将还需要设置一个方向值以及长短两个半径值，此时 的邻近区域将呈椭圆。（如当属性值受风向影响较大时， 应当将风向角度设置为搜索方向，即长半径所在的方向）
现在学习的是第8页，共28页
空间数据插值之邻近区域：
通过半径和方向可以定义出一个以待估点为中心的 区域（圆或者椭圆）。
此外，还可以通过限制参与某待估点值进行预测的
移动平均插值的优势在于计算简便快速，但适用 范围较窄。
现在学习的是第11页，共28页
常用的空间数据插值方法之四：线性三 角网法（Triangulaion with Linear Interpolation）
线性三角网法是最佳的Delaunay三角形， 连续样点数据间的连线形成三角形，覆 盖整个研究区域，所有三角形的边都不 相交。（即与构建TIN文件的原理一致）
径向基函数是对最小曲率插值的改进， 即属于精确的最小曲率插值法。
现在学习的是第18页，共28页
于样点分布均匀、紧密完整， 且只有少数缺失值时，对缺 失值进行填补
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常用的空间数据插值方法之六：自然邻 近插值法（Natural Neighbor)
自然邻近插值法是对泰森多边形插值法的改进。它对研究区域内各点 都赋予一个权重系数，插值时使用邻点的权重平均值决定待估点的权重。
插值认为从一个统计模型不可能完全精确地得出预测值，所以在进行预测时，应该 给出预测值的误差，即预测值在一定概率内合理。
通常所说的地统计插值是指克里格插值法（Kriging)
Z（s）=μ（s）+ε（s） S 表示不同的位置点，可以是用经纬度表示的空间坐标。 Z（s）是该位置点的属性值。 μ（s）为确定趋势值，ε（s） 为自相关随机误差。
的话，将还需要设置一个方向值以及长短两个半径值，此时 的邻近区域将呈椭圆。（如当属性值受风向影响较大时， 应当将风向角度设置为搜索方向，即长半径所在的方向）
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空间数据插值之邻近区域：
通过半径和方向可以定义出一个以待估点为中心的 区域（圆或者椭圆）。
此外，还可以通过限制参与某待估点值进行预测的
移动平均插值的优势在于计算简便快速，但适用 范围较窄。
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常用的空间数据插值方法之四：线性三 角网法（Triangulaion with Linear Interpolation）
线性三角网法是最佳的Delaunay三角形， 连续样点数据间的连线形成三角形，覆 盖整个研究区域，所有三角形的边都不 相交。（即与构建TIN文件的原理一致）
径向基函数是对最小曲率插值的改进， 即属于精确的最小曲率插值法。
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克里金插值法.pptx
其中 Z(xi)之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变 化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”
针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i (i=1，2，……，
n)满足关系式：
n
i 1
i 1
以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i 的方程组：
（5）根据求出的权重值，代入公式（1），即可求得评估领域内 n 个采样值的线性组合[2]。
克里金插值法的方法路线图如下：
3
导入数据
数据分析
是否服从 正态分布
是
是否存在 趋势
否
否 数据变换
是 泛克里金方法
根据数据选择 合适的方法
进行预测
计算克里金系数
拟合理论半 变异函数图
绘制经验半 变异函数图
绘制方差 变异云图
c 1
i
ni
dw 1
i1 c d w
（2）根据搜索策略选择合适的参估点，如图 2：
（4）
2
图 2 参估点图示
（3）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程 组的系数，公式为：
C(1,1) C(2,1)
C(3,1)
C(1,2) C(2,2) C(3,2)
C(1,3)1 C(0,1) C(2,3)2 C(0,2)
不取决于 s 点的位置，而取决于位移量 h。为了确保自相关方程有解，必须允许某两点间自 相关可以相等。
然后，可以对方程式左边 Z(s) 进行变换。例如，可以将其转换成指示变量，即如果Z(s)
低于一定的阈值，则将其值转换为 0，将高于阈值的部分转换为 1，然后对高于阈值部分作 出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。如果将指示值转变成含有变量的
针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i (i=1，2，……，
n)满足关系式：
n
i 1
i 1
以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i 的方程组：
（5）根据求出的权重值，代入公式（1），即可求得评估领域内 n 个采样值的线性组合[2]。
克里金插值法的方法路线图如下：
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导入数据
数据分析
是否服从 正态分布
是
是否存在 趋势
否
否 数据变换
是 泛克里金方法
根据数据选择 合适的方法
进行预测
计算克里金系数
拟合理论半 变异函数图
绘制经验半 变异函数图
绘制方差 变异云图
c 1
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i1 c d w
（2）根据搜索策略选择合适的参估点，如图 2：
（4）
2
图 2 参估点图示
（3）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程 组的系数，公式为：
C(1,1) C(2,1)
C(3,1)
C(1,2) C(2,2) C(3,2)
C(1,3)1 C(0,1) C(2,3)2 C(0,2)
不取决于 s 点的位置，而取决于位移量 h。为了确保自相关方程有解，必须允许某两点间自 相关可以相等。
然后，可以对方程式左边 Z(s) 进行变换。例如，可以将其转换成指示变量，即如果Z(s)
低于一定的阈值，则将其值转换为 0，将高于阈值的部分转换为 1，然后对高于阈值部分作 出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。如果将指示值转变成含有变量的
第六讲 空间插值
每个采样点对插值结果的影响随距离增加而减弱，因 此距目标点近的样点赋予的权重较大。
n
a ttr0 a ttri * w i i1
wi
1 pow er (D isti )n
n
1 pow er(D isti )n
i1
二、空间插值方法
4. 距离反比加权法—参数对插值结果的影响
权重的影响
权重过高，较近点的影响较大，拟合表面更细致（不光 滑）；
趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应 该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精确度才能 达到足够的准确性；
在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面 类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。
二、空间插值方法
5.1 趋势面模型的建立
设地理要素的实际观测数据为Zi(xi,yi)(i=1,2,…,n)，
基本内容
空间插值：定义及应用 空间插值方法及特征
泰森多边形（ Voronoi ）及不规则三角网（TIN） 距离反比加权法（IDW） 地质统计学（Geostatistics)
利用样条曲线优化插值结果 插值精度评估 三参数插值方法（体数据或者动态演化特征）
为何进行插值？
1. 2D离散点转化为连续面，如地表、地层界面 如基于空间离散点，剖面数据和等高线等来构建连续
不足——对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的 影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的 “鸭蛋”分布模式；
全局最大和最小变量值都散布于数据之中。 距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样
点数据取值范围内。
二、空间插值方法
5. 趋势面分析
实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反应 地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果； 而后者则对应于微观区域，被认为是随机因素影响的结果。
空间分析——空间插值
六、思考与动手
根据我们刚才的操作，结合已经学过的内 容，完成以下内容：
比较IDW内插方法在Power分别等于2和5时， 插值的结果差异，说明幂指数Power是如何影 响插值结果的。 比较Spline内插方法在weight分别等于0和0.01 时插值的结果差异。 比较IDW和spline两种插值方法的差异。
在Spatial Analyst下拉菜单中选择Interpolate to Raster，在弹出的下一级菜单中单击 Spline。
在弹出的对话框中进行参数设置，各参数 的值见下图：
插值结果
改Weight值为0.01，输出文件名为spr01，重复 上述步骤，得到插值结果：
修改Spline type为Tension，并分别取weight值 为0和5，输出文件名分别为spt0和spt5，其它 参数不变，进行插值。
三、实践数据
GDP数据：为某地区的统计GDP数据，数据范 围：4601万元～132630万元； Bound数据：为某地区的边界数据。
四、实践目标
经济的发展具有一定的连带效应和辐射作用。 以该地区各区域年GDP数据为依据，采用IDW 和Spline内插方法创建该地区GDP空间分异栅 格图。
分析每种插值方法中主要参数的变化对插值结 果的影响。 分析两种内插方法生成的GDP空间分布图的差 异性。
五、方法和步骤
1、IDW插值法
插值步骤
运行ArcMap，加载Spatial Analyst模块，并添 加数据：GDP和Bound； 设置工作环境：在Spatial Analyst|Options中的 General页面中设置默认工作路径，并设置 Analys Analyst下拉菜单中选择Interpolate to Raster，在弹出的下一级菜单中单击Inverse Distance Weighted。
空间数据插值
当数据是按正方形格网点布置:
2023/3/15
10
3、双三次多项式（样条函数）内插
是一种分段函数,每次只用少量的数据点，故内插速度很 快；样条函数通过所有的数据点，故可用于精确的内插；可 用于平滑处理。
双三次多项式内插的多项式函数为：
将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。
16个点
B、趋势面分析 是一种多项式回归分析技术。多项式回归的基本思
想是用多项式表示线或面，按最小二乘法原理对数据点 进行拟合，拟合时假定数据点的空间坐标X、Y为独立变 量，而表示特征值的Z坐标为因变量。
1、当数据为一维时，1）ຫໍສະໝຸດ 性回归:2023/3/15
6
2）二次或高次多项式：
2、数据是二维的 二元二次或高次多项式
通常使用的采样点数为6—8点。对于不规则分布的 采样点需要不断地改变窗口的大小、形状和方向，以获 取一定数量的采样点。
2023/3/15
13
地理信息系统原理及应用
14
2
一、空间数据内插概念
设已知一组空间数据，它们可以是离散点的形式，也可以是分 区数据的形式，空间数据的内插就是从这些数据中找到一个函数关 系式，使该关系最好地逼近这些已知的空间数据，并能根据该函数 关系式推求出区域范围内其他任意点或任意分区的值。
2023/3/15
3
• 二、内插方法分类
• 内插:在已观测点的区域内估算未观测点的 数据的过程；
2023/3/15
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C、局部内插
利用局部范围内的 已知采样点的数据内插 出未知点的数据。
2023/3/15
8
1、线性内插
将内插点周围的3个数据点的数据值带入多项式，即可 解算出系数a0、a1、a2 。
空间插值
一、空间插值的要素
进行空间插值要有两个基本条件：已知点和插值方 法 1 控制点 控制点是已知数值的点，也称为已知点、样本点 或观测点。 控制点提供了为空间插值建立插值方法的必要数 据。 空间插值的一个基本假设是估算点的数值受到邻 近控制点的影响比较远控制点的影响更大。
二、空间插值的类型
空间插值有多种分类方法 第一，它可以分为全局和局部拟合法。 全局插值法利用现有的每个已知点来估算未 知点的值。 而局部插值法则是用已知点的样本来估算位 置点的值。 这两种方法的区别就是用于估算的控制点数 目不一样
• 但是平整的纸张无法精确贴合带有山谷地 形的地表。不过，如果可以将纸张弯曲一 下，就会更贴合。为数学公式添加一个项 也可以达到类似的效果，即平面的弯曲。 平面（纸张无弯曲）是一个一阶多项式 （线性）。二阶多项式（二次）允许一次 弯曲，三阶多项式（三次）允许两次弯曲， 依此类推；在 Geostatistical A展示出一 个与山谷拟合的二阶多项式。
• 橙色点是使用经测量 的绿色采样点根据拟 合的多项式（绿色线） 预测而来的， • 而褐色点是根据浅紫 色多项式预测而来的。
在以下两幅图中，为预测另外两个位置（蓝 绿色点和绿色点）对另外两个多项式（黄色 线和灰色线）进行了拟合。
将针对各位置重复执行上述过程。您可以看 到如何为以下采样点创建表面（紫色表面 线）。
何时使用全局多项式插值法
• 使用全局多项式插值法获得的是一个可表示感兴 趣区域表面渐进趋势的平滑表面。 • 全局多项式插值法用于下列情况： • 在全局多项式插值法中，将利用可描述某种物理 过程（例如，污染情况和风向）的低阶多项式创 建渐变表面。不过，应注意的是，使用的多项式 越复杂，为其赋予物理意义就越困难。此外，计 算得出的表面对异常值（极高值和极低值）非常 敏感，尤其是在表面的边缘处。