梁的应力及强度设计
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
第36节 梁的应力计算与强度校核(一)
梁的应力计算及强度校核
纯弯梁截面上的应力分布规律： 梁横截面上的正应力沿截面高度成线性分布，在中性轴处 正应力等于零，在截面的上、下边缘应力值最大。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
梁横截面上任意点正应力的计算公式为
公式表明：纯弯曲梁横截面上任意点的正应力与截面上的 弯矩和该点到中性轴的距离成正比，与截面对中性轴的惯 性矩成反比。
王晓平
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
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王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
能力目标：
1．纯弯曲与横力弯曲的区别，中性轴的确定。 2．应力分布图的绘制，横截面上任意点弯曲正应力的 计算。 3．应用强度条件解决梁的强度计算问题。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一般情况下在梁的横截面上会同时存在由剪力FQ引起的剪 应力τ及由弯矩M引起的正应力σ。
在发生平面弯曲的梁中，将只有弯矩没有剪力的弯曲称为 纯弯曲，将既有剪力又弯矩的弯曲称为横力弯曲。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一、纯弯曲梁横截面上的正应力 纯弯曲梁的变形现象：
当梁体下弯时 (1)原来相互平行的纵向直线均成 为仍相互平行的曲线，且梁轴线 以上部分曲线缩短，梁轴线以下 部分曲线伸长。
(2)所有原来与纵向直线垂直的 横向线仍保持与纵向线垂直的直 线，即横截面不变形。
梁的应力计算
( // Fs )
§6-4 矩形截面梁的切应力
一、矩形截面梁
切应力计算公式： FSSZ IZb
（6-11）
式中，FS-横截面上的剪力；IZ-截面对中性轴的惯性矩； b-截面的宽度；SZ-为面积A*对中性轴的静矩。
A*是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。
FS、SZ均代绝对 值，切应力方向
依剪力方向确定。
b´
b´
m´ n´
平面假设：
横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－ －中性层
中性层与横截面的交线－ －中性轴
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
MCy2 2.7 103 N m 0.038 m 103 N m2
MBy1 1.8103 N m 0.072 m 129 N m2
因MCy2<MBy1，所以最大拉应力发生在B截面上，即
t,max
MB IZ
y1
129N m2 0.573105 m4
22.5106 Pa
2.5MPa
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面
空心圆截面
空心矩形截面
bh3 IZ 12
第五章梁的应力
y
ρ
σmin M
σmax
σmax
材料力学
3.静力关系 3.静力关系
M O dA y
z
第五章 梁的应力
FN = σdA = 0 ∫A M y = ∫AzσdA = 0 M z = ∫ yσdA = M A E ∫ σ dA = ∫ ydA = 0
A
z(中性轴 中性轴) 中性轴
x
[σc ] = 60MPa ,试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
材料力学
52
第五章 梁的应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
A
a
C
B
l
1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 × 103 σ max = = = 126 × 106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141×10 −6
材料力学
第五章 梁的应力
例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,[σt ] = 30MPa 型截面铸铁梁，截面尺寸如图,
材料力学
第五章 梁的应力
所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 例5-3-5：图a所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁，该 ： 所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁， 截面对于中性轴z 的惯性矩I 已知图a中 截面对于中性轴 的惯性矩 z=5493×104 mm4。已知图 中， × b=2 m。铸铁的许用拉应力 σt]=30 MPa，许用压应力 σ c]=90 。铸铁的许用拉应力[σ ，许用压应力[ MPa 。试求梁的许可荷载 。 试求梁的许可荷载[F]。
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
第9章 梁的应力
本章主要讨论梁在外力作用下横截面上的应力和强
度条件及其应用。
工程中的弯曲杆件
9.1 梁内正应力、正应力强度条件
9.1.1 纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲（横截面上只有 正应力而无切应力的弯曲），这 种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既 有正应力又有切应力的弯曲）， 这种弯曲称为横力弯曲。
3 3
压应力
3
3. C截面上最大正应力
C max
MC MC 60 10 6 92.6MPa 2 2 9 Wz bh 6 120 180 10
上压下拉
4.全梁上最大正应力
ql 2 60 32 M max 8 8 67.5kN m M max M max max 2 Wz bh 6
矩形截面：
bh 3 Iz 12
bh 2 Wz 6
圆形截面：
I y Iz
I y Iz
d
4
64
4
Wy Wz W
d
3
32
圆环截面：
D
64
(1 )
4
4
Wy Wz W
D3
32
(1 )
d D
②截面关于中性轴不对称Байду номын сангаас最大拉应力：
y1 yC 96.4mm
y2 200 50 96.4 153.6mm
4、计算弯矩最大截面 上的最大拉应力和最大压应力
拉 max
M max y2 Iz
16 103 153.6 103 1.02 108 1012 24.09 106 Pa 24.09 MPa
混凝土梁的预应力及计算方法
混凝土梁的预应力及计算方法一、前言混凝土结构中，梁是起承重作用的重要构件之一。
在设计混凝土梁时，为了提高其承载能力和抗震性能，通常会采用预应力技术，使其在荷载作用下能够具有足够的抗弯和抗剪能力。
本文将介绍混凝土梁的预应力及计算方法，以帮助读者深入了解和学习相关知识。
二、混凝土梁的预应力技术1.预应力的概念预应力是指在混凝土梁内部施加一定的拉应力，使其在负荷作用下能够更好地发挥其承载能力和抗震性能。
2.预应力的类型预应力分为内预应力和外预应力两种类型。
内预应力是通过在混凝土梁内部张拉预应力钢筋或钢束，使其产生预应力的作用。
内预应力的优点是可以提高混凝土梁的抗裂性能和承载能力，但需要在混凝土梁内部进行张拉工作，施工难度较大。
外预应力是通过在混凝土梁外部张拉预应力钢束或钢绞线，将预应力传递到混凝土梁内部，使其产生预应力的作用。
外预应力的优点是施工方便，但其抗裂性能和承载能力略低于内预应力。
3.预应力的作用原理预应力的作用原理是通过预应力钢筋或钢束产生的拉应力，使混凝土梁内部的压应力增大，从而提高混凝土梁的承载能力和抗震性能。
预应力钢筋或钢束的张拉应力与混凝土梁的荷载作用方向相反，可以抵消部分荷载的压应力，使混凝土梁的抗弯和抗剪能力大大提高。
4.预应力的设计原则预应力的设计原则是根据混凝土梁的受力特点和工程要求，确定预应力的大小和位置。
预应力大小的设计应满足混凝土梁的受力平衡条件和变形限制条件，预应力位置的设计应满足混凝土梁的受力合理分布和变形控制要求。
三、混凝土梁预应力计算方法1.混凝土梁的受力特点混凝土梁的受力特点是在荷载作用下，其上部产生拉应力，下部产生压应力。
混凝土梁的抗弯能力主要由混凝土的抗压强度和预应力钢筋或钢束的拉应力共同发挥。
2.混凝土梁预应力计算步骤混凝土梁预应力计算的步骤包括混凝土梁的截面分析、混凝土梁的受力平衡和混凝土梁的变形分析。
（1）混凝土梁的截面分析混凝土梁的截面分析是指根据混凝土梁的几何形状和材料参数，计算混凝土梁的截面面积、惯性矩和抗压强度等参数。
梁的切应力及强度条件
在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强
度解.：加强后的梁是阶梯状
变截面梁. 所以要校核
（1）F位于跨中时跨中截面
2.2m
z
上的弯曲正应力；
（2）F靠近支座时支座截面上的切应力；
h/2 y
y1bdA1
b (h2 24
y2)
FS Sz
FS
h2 (
y2)
Izb 2Iz 4
z
y1 y
O A1 B1
dy 1 m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.
y
y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
max
FS h2 8I z
FS h2 8 bh3 12
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
y
FS
S
z
Izd
d — 腹板的厚度
z
O
y
S
* z
—
距中性轴为y的横线以外部分的横截
面面积A对中性轴的静矩.
max
FS BH 2 Izb 8
(B
b)
h2 8
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二
次抛物线规律变化；
A*
y
max
τmax
（b）最大切应力也在中性轴上.这也是
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进
行试算
查表得
Iz
S
* z max
18.9cm,
材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算
（1）矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用，工字形截
z
面更合理。
（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择：
为了比较各种截面的合理性，以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z， A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。
（一）矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法（截面法）：ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开，
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7．1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件1
梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
1、梁横截面上的切应力
（1）、矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式
b
I S F τz z *S = （10−11） 式（10−8）即为。
式中：F S 为横截面上的剪力；S z *为面积A 1对中性轴的静矩；I z 横截面对中性轴的惯性矩；b 为截面的宽度。
矩形截面梁横截面上的最大切应力 A
F bh F I h F τz 23238S S 2S max === (10-12) （2）工字形截面梁横截面上的最大切应力为
d I S F τz z *max
,S max = （10−13）
其中d 为腹板的宽度，S z *,max 为半截面对中性轴的静矩。
(3)薄壁环形截面梁衡截面上的最大切应力
A
F τ23S max = （10-14） （1） 圆截面梁横截面上的最大切应力
A
F τ34S max =
（10-15） 1、 梁的切应力强度条件 []τb I S F τz z ≤=*max
,max S,max （10−16）
其中，F S,max 为全梁的最大剪力；S z *,max 为横截面上中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。