2014版高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念及解析式与定义域课件 理 新人教A版
一
函数的定义域
【例 1】 (1)函数 y＝ x2－2x－3＋log2(x＋2)的
定义域义域为 R，则实数 2x ＋kx＋1 k 的取值范围是__________． (3)已知函数 y＝f(x)的定义域是[0,4]，则 y＝f(x ＋1)＋f(x2－3x)的定义域是______________．
1 1 2 正解：已知f ( x＋ )=( x＋ ) -2， x x 1 但 | x＋ | 2，所以f x =x 2 -2( x 2)， x 故f ( x-1)=( x-1) 2 -2=x 2 -2 x-1， 其中 | x-1| 2，所以x 3或x -1， 所以x 3或x -1， 所以, 所求为f ( x-1)=x 2 -2 x-1( x -1或x 3)．
素材2
1 已知 f(x)满足 2f(x)＋f(x)＝3x，求 f(x)的解析式．
1 【解析】2f(x)＋f(x )＝3x，① 1 1 3 将①中 x 换成x 得 2f(x )＋f(x)＝ x.② 3 1 由①×2－②得 3f(x)＝6x－ x，所以 f(x)＝2x－x .
三
综合问题
【例 3】已知函数 f(x)对任意的实数 a、b，都有
3.设一个函数的解析式为 f(x)＝2x＋3，它的定义 域为{x∈Z|－1≤x<3}，则此函数的值域为 .
【解析】因为 f(x)的定义域为{x∈Z|－1≤x<3}＝ {－1,0,1,2}， 所以 f(－1)＝1，f(0)＝3，f(1)＝5，f(2)＝7， 故函数 f(x)的值域为{1,3,5,7}．
(3)直接列方程组求解． 由 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，用－x 代换上式中的 x， 得 2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2.
2 得 f(x)＝3x＋3.
【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系， 是函数与自变量之间建立的桥梁．求函数的解析式是高考中 的常见问题，其特点是类型活，方法多．求函数的解析式常 有以下几种方法：①如果已知函数 f[f(x)]的表达式，可用换元 法或配凑法求解；②如果已知函数的结构，可用待定系数法 1 求解；③如果所给式子含有 f(x)、f(x)或 f(x)、f(－x)等形式， 可构造另一方程，通过解方程组求解．
2.下列各组函数中表示同一个函数的是( x2－1 A．f(x)＝ 与 g(x)＝x＋1 x－1 1 2 B．f(x)＝lgx 与 g(x)＝2lgx Cf(x)＝ x2－1 与 g(x)＝x－1. x2－1 D．f(x)＝ 与 g(t)＝t＋1(t≠1) x－1
)
【解析】对于 A，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x) 的定义域为 R，不是同一函数．同理，对于 B，两函 数的定义域不同，而对于 C，f(x)＝|x|－1，g(x)＝x－ x2－1 1， 对应法则不同， 只有 D， 定义域相同， f(x)＝ 又 x－1 ＝x＋1(x≠1)，对应法则相同，因而值域也相同，故 为同一函数．
【点评】 抽象函数由于只给出函数的某些性质， 却不知道具体 函数的解析式， 因而成为函数问题中的一个难点， 但这类问题 能很好地考查学生的思维能力． 解决抽象函数问题， 要全面应 用其所具有的性质展开解题思路， 通常的方法是赋值法， 并善 于根据题目条件寻找该函数的一个原型， 帮助探求结论， 找到 解题的思路和方法．
【解析】 (1)令 m＝n＝1，得 f(1)＝f(1)＋f(1)， 所以 f(1)＝0. 1 1 1 f(1)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝－1＋f(2)＝0， 1 所以 f(2)＝1.
12 x x2 1 1 (2)由 f(x)＝ ＝ 2，知 f( )＝ 2， x 1 2 1＋x 1＋x 1＋x 1 所以 f(x)＋f(x)＝1， 1 7 故原式＝ ＋1＋1＋1＝2. 1＋1
素材3
(1)函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，对任意正实数 m，n 恒 有 f(mn)＝f(m)＋f(n)， f(2)＝－1， f(1)＝ 且 则 1 ， 2)＝ f( ；
x2 1 1 (2)已知函数 f(x)＝ ，则 f(1)＋f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3) 1＋x2 1 ＋f(4)＋f(4)＝ .
素材1
(1)若 f(x＋1)的定义域为[－2,3)， f(2x－1)的定 则 义域为 ；
1 (2)若函数 f(x)＝ x 的定义域为 R，则实数 e －x＋m m 的取值范围是 .
【解析】 (1)因为－2≤x<3，所以－1≤x＋1<4. 5 由－1≤2x－1<4，得 0≤x<2， 5 故 f(2x－1)的定义域为[0，2)．
偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于
零同时底数大于零不等于1，等等． 2．求函数的解析式的主要方法有：待定系数 法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法 等．当已知函数为某类基本初等函数时用待定 系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配 凑法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方
程法．
3．分段函数是指自变量在取值情况不同时， 对应法则不同．分段函数的定义域为自变 量的所有取值的集合．
所以函数 y＝f(x＋1)＋f(x2－3x)的定义域 是{x|－1≤x≤0 或 x＝3}．
【点评】函数的定义域就是指使这个式子有 意义的所有实数 x 的集合．在一些具体函数综合 问题中，函数的定义域往往具有隐蔽性，所以在 研究这些问题时，必须树立“定义域优先”的原 则．而逆向问题应注意命题的等价转化．
二
函数的解析式
【例 2】(1)已知 f(x)是一次函数，并且满足 3f(x
＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求函数 f(x)的解析式； (2)已知函数 f(x)满足 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5， 求函 数 f(x)的解析式； (3)已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求 f(x)．
【解析】 (1)设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3k(x＋1)＋3b－2k(x－1)－ 2b＝kx＋5k＋b＝2x＋17， 所以 k＝2,5k＋b＝17，所以 b＝7，故 f(x)＝2x＋7.
1 (2)证明：当 x≠0 时，因为 x·＝1， x 1 1 于是 f(1)＝f(x·)＝f(x)＋f(x )＝0， x 1 所以 f(x )＋f(x)＝0. (3)因为 f(2)＝m，f(3)＝n， 所以 f(36)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)＝2f(2) ＋2f(3)＝2(m＋n)．
x＋2 4.函数 y＝ ＋lg(4－x)的定义域是 x－1
.
【解析】
故该函数的定义域为[－2,1)∪(1,4)．
1 2 【解析】若 a≥0，则 1－2a＝a，所以 a＝3； 1 若 a<0，则a＝a，所以 a2＝1， 所以 a＝－1(a＝1 舍去)． 2 综上得 a＝－1 或3.
易错点： 分段函数在定义域的不同子集上 有不同的对应函数关系式， 忽视 a 在不同 子集上的变化，多取或少取 a 值．
(2)方法 1：配凑法 因为 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5 ＝(3x＋1)2－6x－1－6x＋5 ＝(3x＋1)2－4(3x＋1)＋8. 所以 f(x)＝x2－4x＋8.
方法 2：换元法 t－1 令 3x＋1＝t，则 x＝ 3 ， t－1 2 t－1 所以 f(t)＝9· 3 ) －6· 3 ＋5 ( ＝t2－2t＋1－2t＋2＋5 ＝t2－4t＋8. 所以 f(x)＝x2－4x＋8.
3．函数的表示法 ⑧ 4．映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应 关系f ，使对于集合A中的⑨ ______________ ，在集 合B中都有⑩ __________ 的元素y与之对应，那么就 称对应f ：A B为从集合A到集合B的一个映射． ．
【要点指南】 ①任意一个数x；②唯一确定；③定义域； ④{ f x | x A}；⑤集合B； ⑥定义域、对应法则、值域； ⑦定义域和对应法则完全相同； ⑧解析法、图象法、列表法； ⑨任意一个元素x；⑩唯一确定
1 2 1 已知f ( x＋ )=x ＋ 2 ，求f ( x-1)． x x
1 1 2 错解：由已知f ( x＋ )=( x＋ ) 2， x x 所以f x =x 2 - 2， 所以f ( x-1)=( x-1) 2 - 2=x 2 - 2 x -1.
错解分析：在使用配凑法或换元法求函 数解析式时，没有考虑替换元的等价性， 忽视其定义域的变化导致错误．
1.设 A＝{x|0≤x≤6}， B＝{y|0≤y≤2}， f： 则 A→B 不是函数的是( ) 1 B．x→y＝3x 1 D．x→y＝6x
1 A．f：x→y＝2x 1 C．x→y＝4x
1 【解析】 因为 x∈A，y＝2x∈[0,3]
B.
由函数定义可知，对于 6∈A，在集合 B 中找不 到对应元素， 1 故 f：x→y＝2x 不是函数．
f(ab)＝f(a)＋f(b)成立． (1)求 f(0)，f(1)的值； 1 (2)求证：f( x)＋f(x)＝0(x≠0)； (3)若 f(2)＝m，f(3)＝n(m、n 均为常数)，求 f(36) 的值．
【分析】 本题是一个抽象函数问题，直接求函数的 解析式是不可能的，需通过取特殊值来解决．
【解析】 (1)不妨设 a＝b＝0. 由 f(ab)＝f(a)＋f(b)，得 f(0)＝0. 设 a＝b＝1，得 f(1)＝0.
(2)由已知 ex－x＋m≠0 对 x∈R 恒成立， 即 m≠x－ex 对 x∈R 恒成立． 令 g(x)＝x－ex，则 g′(x)＝1－ex. 由 g′(x)＝0，得 x＝0， 故函数 g(x)在 x＝0 处取得最大值， g(x)≤g(0)＝－1， 即 所以要使 m≠x－ex 对 x∈R 恒成立，则应有 m>－1.
备选例题
【解析】 (1)依题意，0＜c＜1，所以 c2＜c. 9 9 1 3 由 f(c )＝8，得 c ＋1＝8，所以 c＝2.
高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念、解析式及定义
考点集训(四) 第4讲 函数的概念、解析式及定义域1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)2．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是 A ．[0，1] B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)3．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0，2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a·2x，x ≥0，2－x，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝A.14B.12 C ．1 D ．25．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝ A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1 D ．3x ＋36．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．7．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.8．函数f (x )对一切函数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，（0<x <c ），2－x c 2＋1，（c ≤x <1）满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )＞28＋1.第4讲 函数的概念、解析式及定义域【考点集训】1．C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.(－∞，8]7．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵f(0)＝1，∴c ＝1.把f(x)的表达式代入f(x ＋1)－f(x)＝2x ，有a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x. ∴2ax ＋a ＋b ＝2x.∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x|x ＞4或x ＜－1}． 8．【解析】(1)令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.9．【解析】(1)因为0＜c ＜1，所以c 2＜c ，由f(c 2)＝98，即c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，2－4x＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f(x)＞28＋1得，当0＜x ＜12时， 解得24＜x ＜12， 当12≤x ＜1时，解得12≤x ＜58， 所以f(x)＞28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|24＜x ＜58.。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第4讲 函数的概念及其表示
第4讲 函数的概念及其表示
返回目录
教学要求
返回目录
第4讲
双 向 固 基 础
函数的概念及其表示
非空数集 任意 唯一 任意
非空集合
唯一确定
定义域 值域
对应关系
返回目录
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ讲
双 向 固 基 础
函数的概念及其表示
交集 意义
返回目录
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点 面 讲 考 向
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点 面 讲 考 向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
教 师 备 用 题
返回目录
第4讲
【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(四)函数及其表示 理 新人教A版
限时集训(四) 函数及其表示(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2B ．y ＝ln e x与y ＝e ln xC ．y ＝x －x ＋x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－144．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±15．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋36．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.8．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则ff ＋f f＋…＋f f＝________.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围．答 案限时集训(四) 函数及其表示1．D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.B 7．11 8.2 011 9.(－1，2－1)10．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ， 故f (g (x ))＝(2－x )2－1 ＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由x 2－x ＋1>2x ＋5， 即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}． 12．解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12.。
2014届高考数学(文)一轮复习课件：第2章 第4讲幂函数与二次函数
第二章 第4讲
第23页
金版教程 · 高三数学（文）
课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
[变式探究] 23 [1 0·
杭模 州拟
1 ]若(a＋1)－ 2 < －2a)－ 3 (
1 2，则a的取值范围是________． 2 3 答案：(3，2)
第二章 第4讲
第24页
金版教程 · 高三数学（文）
第二章 第4讲
第25页
金版教程 · 高三数学（文）
课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
例2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函 数； (3)a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
第二章 第4讲
第14页
金版教程 · 高三数学（文）
课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
b 想一想：提示：当－ 在定义区间上时是函数的最 2a 值，否则就不是． 填一填：( 1 0 ) ≤a<4 2 ( )
第二章 第4讲
第15页
金版教程 · 高三数学（文）
课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
形如：f(x)＝____________的函数叫做二次函数．
2. 二次函数的图象与性质
函数 图象 定义域 值域 单调性 最值 顶点 对称轴 R R __________ __________ 在__________上递减，在_________上递 在______上递增，在______上递减． 增. b b 当x＝－ 时，函数有最小值________ 当x＝－ 时，函数有最大值________ 2a 2a 2 b 4ac－b (－ ， ) 2a 4a b 函数的图象关于x＝－ 成轴对称 2a y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
2014高考数学一轮汇总训练《函数及其表示 》理 新人教A版
第一节函数及其表示[备考方向要明了]年新课标全国[归纳²知识整合]1．函数与映射的概念按某一个确定的对应关系[探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有( ) ①函数是定义域到值域的对应关系； ②函数f (x )＝x －4＋1－x ；③f (x )＝5，因这个函数的值不随x 的变化而变化，所以f (t 2＋1)也等于5； ④y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ⑤f (x )＝1与g (x )＝x 0表示同一个函数． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 由函数的定义知①正确；②错误；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，1－x ≥0，得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f (x )＝5为常数函数，所以f (t 2＋1)＝5，故③正确；因为x ∈N ，所以函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f (x )＝1的定义域为R ，函数g (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A 到B 的映射的有( )①集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A 到集合B 的映射．3．(2012²江西高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. 4．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (4))＝________；若f (a )＝2，则a ＝________.解析：∵f (x )＝x ＋2x －6，∴f (4)＝4＋24－6＝－3. ∴f (f (4))＝f (－3)＝－3＋2－3－6＝19.∵f (a )＝2，即a ＋2a －6＝2， 解得a ＝14. 答案：19145．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________．解析：∵cos 60°＝12，∴与A 中元素60°相对应的B 中的元素是12.又∵cos 30°＝ 32，∴与B 中元素32相对应的A 中的元素是30°. 答案：1230°[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0－1，x <0表示同一个函数．(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个． (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ≥0，－1x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3) ———————————————————1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ ①f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.②f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：③f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：①不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .②同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.(2)已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1解析：选A 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． 所以Δ＝4(1－k )<0，解得k >1时满足题意.[例2] (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9.求f (x )． [自主解答] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.法二：(配凑法)∵f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1＝(x ＋1)2＋ 2(x ＋1)－2，∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9.由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，解得a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.若将本例(1)中“f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1”改为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ”，如何求解？解：令2x＋1＝t ，∵x >0，∴t >1且x ＝2t －1. ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．2．给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2. 试分别求出f (x )的解析式． 解：(1)令t ＝ x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又∵f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋3.[例3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16 D.13[解析] ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18³⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18³13＝124.[答案] A ——————————————————— 解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2D ．9解析：选C ∵x <1，f (x )＝2x＋1，∴f (0)＝2.由f (f (0))＝4a ，得f (2)＝4a ，∵x ≥1，f (x )＝x 2＋ax ， ∴4a ＝4＋2a ，解得a ＝2.4种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法²规律]．2两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点(1)判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”．但要注意：①A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B 中元素可无原象，即B 中元素可有剩余．(2)求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2011²江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] ①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34.[答案] －34[题后悟道]1．在解决本题时，由于a 的取值不同限制了1－a 及1＋a 的取值，从而应对a 进行分类讨论．2．运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1)确定讨论对象和确定研究的区域；(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； (4)归纳总结，整合得出结论． [变式训练]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C ①当a >0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 2a >log 12a ＝log 2 1a.∴a >1a，得a >1.②当a <0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 12(－a )>log 2(－a )＝log 121－a. ∴－a <1－a得－1<a <0，故C 项为正确选项．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋∞，若f (x )>4，则x 的取值范围是________________．解析：当x <1时，由f (x )>4得2－x>4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，但由于x ≥1，所以x >2. 综上，x 的取值范围是x <－2或x >2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2B ．y ＝ln e x与y ＝eln xC ．y ＝x －1x ＋3x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg －x ，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－14解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1，f (1)＝21－2＝12.4．(2013²杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1，∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝ －a ＝1，∴a ＝－1.5．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6.6．(2013²泰安模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：选B ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1x－x ＝－f (x )满足．②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )， x >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＝－f (x )满足．二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．若f (a ＋b )＝f (a )²f (b )且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 3f 2＋…＋f 2 012f 2 011＝________.解析：令b ＝1，∵f a ＋1f a ＝f (1)＝1，∴f 2f 1＋f 3f 2＋…＋f 2 012f 2 011＝2 011. 答案：2 0119．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12.1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )解析：选B 根据故事的描述，乌龟是先于兔子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知B 图象与事实相吻合．2．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； (2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应． 解析：对于(1)，集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合P 不是数集，故(3)不是函数；(2)正确．答案：(2)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)y ＝x －2²x ＋2，y ＝x 2－4； (2)y ＝x ，y ＝3t 3； (3)y ＝|x |，y ＝(x )2.解：∵y ＝x －2²x ＋2的定义域为{x |x ≥2}，y ＝x 2－4的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}，∴它们不是同一函数．(2)∵它们的定义域相同，且y ＝3t 3＝t ， ∴y ＝x 与y ＝3t 3是同一函数．(3)∵y ＝|x |的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}， ∴它们不是同一函数．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1<a <2时，f (a )＝2a ， 由2a ＝3，得a ＝32，满足－1<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6， 又a ≥2，故a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.。
2014届高考数学一轮复习课件：第四章第4课时数系的扩充与复数的引入(新人教A版)
例1
( )
3 A．－ i 5 C．－i
1＋ai (2)(2013· 哈尔滨六中模拟)设 i 是虚数单位，复数 为纯 2－i 虚数，则实数 a 为( ) 1 A．－ B．－2 2 1 C. D．2 2
【解析】 ＝i， 2＋i ∴ 的共轭复数为－i. 1－2i 2＋i 2＋i1＋2i 2＋i＋4i－2 (1)法一：∵ ＝ ＝ 5 1－2i 1－2i1＋2i
为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此
求此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等
的条件进行求解．
跟踪训练 a 4．关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，则 2 实数 a 的值为__________．
2
解析：设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为 a 2 3m － m－1＝(10－m－2m2)i， 2 3m2－ am－1＝0 2 ∴ ，
2
故所求复数为
x＝1＋i x＝1－i x＝－1＋i x＝－1－i 或 或 或 . y＝1－i y＝1＋i y＝－1－i y＝－1＋i
【防范措施】
(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，
注意a，b，c，d∈R的前提条件．(2)对于复系数(系数不全
给条件，直接将(x＋y)2理解成实部，3xy理解成虚部处理，
②想不到利用待定系数法，③不能将复数问题转化为实数
方程求解．
【解】 设 x＝a＋bi(a，b∈R)， 则 y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
4a ＝4 根据复数相等得 ， 2 2 －3a ＋b ＝－6 a＝1 a＝1 a＝－1 a＝－1 解得 或 或 或 . b＝1 b＝－1 b＝1 b＝－1
2014高考数学一轮课时专练(理科浙江省专用)(四)A[第4讲函数的概念及其表示]
.2014高考数学一轮课时专练（理科浙江省专用）：(四)A [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2（x ≥10），f （f （x ＋6））（x <10），则f (5)的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13图K4－13．如图K4－1，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为( )图K4－24．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎡⎦⎤x 10B ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510能力提升5．函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为( ) A ．(0，8] B ．(－2，8] C ．(2，8] D ．[8，＋∞)6．下列函数中与函数y ＝x 相同的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x 3 7．[2012·泉州质检] 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线y 2＝x 的图象绕原点沿逆时针方向旋转90°就得到函数y ＝x 2的图象．若把双曲线x 23－y 2＝1绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．[2012·义乌模拟] 对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[－2.1]＝－3.定义在R 上的函数f (x )＝[2x ]＋[4x ]＋[8x ]，若A ＝{y |y ＝f (x )，0≤x ≤1}，则A 中所有元素的和为( )A ．65B ．63C ．58D ．559．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是________．f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝________．10．已知映射f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设点A (1，3)，B (3，1)，点M 是线段AB 上一动点，f ：M →M ′.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为________．11．[2012·浙江名校联考] 设行列式D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n M M …Ma n 1a n 2…ann，引进M ij 表示D 中元素a ij 所在的行与列都抹掉后的剩余部分，同时记A ij ＝(－1)i ＋j M ij ，则有行列式的求值公式，D ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 11（n ＝1），a i 1A i 1＋a i 2A i 2＋…＋a ij A ij ＋…＋a in A in （n >1，1≤i ≤n ），当n ＝3，即D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ef g hi 时，上述的求值公式又可改写为D ＝(aei ＋bfg ＋cdh )－(ceg ＋bdi ＋afh )，则行列式A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234234134124123＝________． 12．(13分)设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图K4－3)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面的面积y 与腰长x 的关系式，并求它的定义域和值域．图K4－3难点突破13．(12分)已知函数f (x )，g (x )同时满足：g (x －y )＝g (x )·g (y )＋f (x )f (y )，且f (－1)＝－1，f (0)＝0，f (1)＝1，求g (0)，g (1)，g (2)的值．。
【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(四)函数及其表示 理 新人教A版
限时集训(四) 函数及其表示(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2B ．y ＝ln e x与y ＝e ln xC ．y ＝x －1x ＋3x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg －x ，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12B.14 C ．1D ．－144．(2013·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±15．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋36．(2013·某某模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.8．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 3f 2＋…＋f 2 012f 2 011＝________.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值X 围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值X 围．答 案限时集训(四) 函数及其表示1．D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.B 7．11 8.2 011 9.(－1，2－1)10．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ， 故f (g (x ))＝(2－x )2－1 ＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由x 2－x ＋1>2x ＋5， 即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}． 12．解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12.。
通用版高考数学大一轮复习第4讲函数的概念及其表示学案理新人教A版
第4讲函数的概念及其表示1.函数与映射的概念2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=log a x(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tan x的定义域为x x≠kπ+,k∈Z.2.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为-,+∞;当a<0时,值域为-∞ -.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=-+-;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=则f(-2)= ,f[f(-2)]= .3.[教材改编]函数f(x)=-的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=- · 的定义域是.则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.6.设函数f(x)=--7.已知f()=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1]B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪[1,+∞)(2)函数f(x)=-+的定义域为 ()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)= .(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)= .[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t=()A.B.C.D.(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)= .探究点三以分段函数为背景的问题微点1分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研]设函数f(x)=则f[f(-1)]=()A.B.+1C.1D.3则f(log27)= .(2)已知函数f(x)=-[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.微点2分段函数与方程例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a=()A.2B.-2C.-3D.3(2)函数f(x)=-若f(0)+f(a)=2,则a的值为.[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.微点3分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模]设函数f(x)=--若f(x0)>1,则x0的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=-则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.应用演练1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=()A.0B.2C.-2D.12.【微点2】设函数f(x)=--若f(a)=4,则实数a的值为()A.B.C.或D.3.【微点3】已知函数f(x)=--则不等式f(x)≤5的解集为 ()A.[-1,1]B.[-2,4]C.(-∞,-2]∪(0,4)D.(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考]已知函数f(x)=-则不等式f(x)≤x的解集为()A.[-1,3]B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f(x)=-若f=4,则b= .第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析] ①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.45[解析] 因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析] 要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析] 只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.5.{x|x≥2}[解析] 要使函数有意义,需-解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4-- ≥1,即- ≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析] 设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C(2)A[解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).(2)由题意,自变量x应满足-解得故函数的定义域为(-3,0].-例2[思路点拨] (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.(1)D(2)C[解析] (1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0<x<1,故选D.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].故选C.变式题(1)A(2)[-1,2][解析] (1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A.(2)因为函数y=f(x2-1)的定义域为[-所以-x≤,所以-1≤x2-1≤2,所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].例3[思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.(1)A(2)-x2+2x+15(3)-x [解析] (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.变式题(1)A(2)A(3)2x+或-2x-1[解析] (1)设t=2x-1,则x=,故f(t)=4×+3=2t+5,令2t+5=6,则t=,故选A.(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.例4[思路点拨] (1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.=2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.(1)D(2)[解析] (1)由题意可得f(-1)=-(2)因为2<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)=-=÷2=.例5[思路点拨] (1)先求得f(1)=0,再据f(0)=3求分段函数中的参数;(2)分a≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D(2)0或1[解析] (1)根据题意可知f(1)=log a1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,即a=3,故选D.∴f(0)=20=1.(2)∵f(x)=-当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6[思路点拨] (1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D(2)D[解析] (1)当x0≤0时,由f(x0)=--1>1,即 ->2,解得x0<-1;当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)<f(2x),则满足x+1>2x,即x<1,此时x≤-1;当即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x<0.故选D.应用演练1.A[解析] 由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=+-+1=0.2.B[解析] 因为f(a)=4,所以-或-所以或所以a=,故选B.3.B[解析] 由于f(x)=--所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0<x≤4;当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x≤0.所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].4.A[解析] 当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].5.[解析] 由f=4,可得f-=4.若-b≥1,即b≤,可得 -=4,解得b=.若-b<1,即b>,可得3×--b=4,解得b=<(舍去).故答案为.【备选理由】例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1[配合例2使用] [2018·邵阳期末]设函数f(x)=log2(x-1)+-,则函数f的定义域为()A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)[解析] B要使函数f(x)有意义,则需--⇒1<x≤2,故1<≤2,即2<x≤4,所以选B.例2[配合例4使用] [2018·柳州高级中学三模]已知函数f(x)=-则f(-2018)=()A.-2B.2C.4+D.-4-[解析] A当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2, ∴f(-2018)=-f(1)=-2.例3[配合例5使用] 已知f(x)=-若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为.[答案] 1[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.例4[补充使用] [2018·武邑中学模拟]若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是.[答案] a≥-[解析] ∵f(x)=log4x在x>2时的值域为∞,∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,即满足2+a≥,解得a≥-.故答案为a≥-.。
(江西专用)2014年高考数学一轮复习 2.8 函数与方程课件 文 新人教A版
3.(视角拓展)设函数f(x)=
x2
bx
c(x
0),
若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则
2(x 0),
关于x的方程f(x)=x的解的个数是 ( )
(A)1.
(B)2.
(C)3.
(D)4.
【解析】(法一)由条件得
16 4b c c, 4 2b c 2,
解得
b 4, c 2,
1 2
,
m
5 6
,
∴- 5 <m<- 1 .
6
2
∴实数m的取值范围为(- 5 ,- 1 ).
62
(2)方程的两根均在(0,1)内,函数f(x)的对称轴为x=-m,
f (0) 0,
∴
f (1) 即0,
Δ 0,
0 m 1,
2m 1 0,
4m 2 0,
Δ
4(m2
2m
1)
0,
1 m 0,
【解析】(1)令f(x)=x2+2mx+2m+1,函数f(x)开口向上, ∵方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2) 内,
∴
f f f f
(0) 2m 1 0,
(1) 2 0, ∴
(1) 4m 2 0, (2) 6m 5 0,
m m
1 2
R,
,
m
(2)能用二分法求函数的零点,必须满足函数在[a,b](a<b)上连 续且f(a)·f(b)<0.
【解析】(1)f(1)=ln 3 -2<0,f(2)=ln 3-1>0,
2
∴f(x)在区间(1,2)上存在零点,故选A. (2)根据图像可知只有B才可能使f(a)·f(b)<0.