2020数学中考复习课件 二次根式
2020年中考数学必考专题04 二次根式的运算(解析版)
专题04 二次根式的运算
1．二次根式：形如式子a（a≥0）叫做二次根式。（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0
3．二次根式的性质：
（1）是非负数；
（2）（a）2=a （a≥0）；
（3）aa2
（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，
即 = · （a≥0,b≥0）。
（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即
= （a≥0,b>0）。反之，
4．最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。
8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。 )0,0(0,0babababaabba 专题知识回顾
（＞0）
（＜0） 0 （=0）；
9．找有理化因式的方法：
（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如：① 的有理化因式为 ，②
的有理化因式为 。
（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即的有理化因式为
， 的有理化因式为 ，的有理化因式为
10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：
（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式
（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组
2020年中考数学专题5《二次根式》学案
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
1 / 4 专题五 二次根式
一：二次根式
1．二次根式：一般地，我们把形如a （a＞0）
的式子叫做二次根式，“a ”称为二次根号。
名师提醒：
（1）
二次根式a必须注意a≥0这一条件，其结果也是一个非负数即：a≥0 ，
如：2x有意义，则20x，即x≥2；
（2）二次根式a（a≥0）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式。
2．最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
二：二次根式的性质
（1）(0)aa ； （2）2()(0)aa；
（3）20)0)，(，(aaa； （4）(00)，abab；
（5）=(00)，aabb。
三：二次根式的运算
1．二次根式的加减：
先将二次根式化成 最简二次根式
，再将 被开方数相同 的二次根式进行合并，合并的方法与合并同类项法则相同。
2．二次根式的乘除：
（1）乘除法则：(00)，abab，即：两个二次根式相乘，把被开方数 相乘 ，根指数不变；
（2）除法法则：=(00)，aabb，即：两个二次根式相乘，把被开方数 ，根指数不变。 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2 / 4 3．二次根式的混合运算顺序：
先算 ，再算 ，最后算 。
例1.（2018•日照）若式子221()mm有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞-2 B．m＞-2且m≠1 C．m≥-2 D．m≥-2且m≠1
练习1. （2018•赤峰）代数式1 31xx中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2022-2023年数学中考第一轮复习-专题二二次根式
第1页（共45页） 专题二：二次根式
1：考向解读
1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．
2．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算．能掌握形如：123,2323的化简与运算（分母有理化）．
2：导图导学
3：考点
数的乘方 负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
数的开方 （1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若3ba，则b叫做a的立方根．
二次根式的相关概念 （1）二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， 第2页（共45页） 这样的二次根式叫做最简二次根式． （3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 二次根式的运算 二次根式的性质：
0(0)aa，2()(0)aaa．
2(0),||(0)aaaaaa．
(0,0)ababab．
(0,0)aaabbb．
4：解题技巧
化简二次根式的步骤（易错点）
（1）把被开方数分解因式(或因数) ；
（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
初中九年级数学(初三)总复习 第六课 数的开方与二次根式
第1页 共4页 第6课 数的开方与二次根式
〖知识点〗
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、
同类二次根式、二次根式运算、分母有理化
〖大纲要求〗
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式
式子)0(aa叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22bababababaabaaaaaaaaa
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
(2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
).0,0(baabba
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分
2023年中考数学总复习第一章《数与式》第二节 二次根式
2023年中考数学总复习第一章《数与式》第二节二次根式
一、选择题
1.［2020·邯郸丛台区二模］下列二次根式中，是最
简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2.［2020·上海］下列二次根式中，与是同类二
次根式的是（）
A．B．C．D．
3.［2020·衡水模拟］下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
4.［2020·宜昌］对于无理数，添加关联的数或
者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数
的是（）
A．B．
C．D．
5.［2020·石家庄模拟］如图，表示的点在数轴
上表示时，所在哪两个字母之间（）
A．C与DB．A与B
C．A与CD．B与C
（第5题图）
6.［2020·原创］下列运算正确的是（）
A.B.
C.D.
7.［2020·聊城］计算的结果正确
的是（）
A．1B．C．5D．9
8.［人八下课本P11，T12高仿］如图，从一个大正
方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方
形，则余下部分的面积为（）
A．78cm2
B．cm2
C．cm2
D．cm2
（第8题图）
9.［易错］［2020·秦皇岛模拟］按如图所示的运算
程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（）
A．7
B．
C．1
D．（第9题图）
二、填空题
10.［2020·扬州］代数式在实数范围内有意
义，则实数x的取值范围是_______．
11.［2020·保定模拟］若2□＝6，则“□”
内的运算符号为_______．
12.［2020·河北模拟］计算×-的
结果是_______．
13.［2020·保定定兴县一模］=
＝_______．
14.［2020·哈尔滨］计算的结果是
______．
15.［2020·常德］计算：＝_______．
16.［2020·山西］计算：＝_______．
三、解答题
17.［2019·石家庄新华区模拟］计算：
.
18.［创新］［2020·遵化二模］利用平方差公式可以
进行简便计算：
例1：99×101＝（100-1）（100+1）＝1002-12＝10000-1
＝9999；
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
1 第02讲 《二次根式》章节分类总复习
考点一 二次根式有意义的条件
知识点睛：
1. 二次根式的定义：非负数a的算术平方根a叫做二次根式
☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可，
易错类型：因为24，误认为4不是二次根式
2. 二次根式有意义的条件
a中a叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a≥0；
☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0
☆2：a的双重非负性
0.0.本身②被开方数①aa；故有：a前无“-”，a本身值不可能是负的
类题训练
1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x＞0），，，﹣，，（x≥0，y≥0）．
【分析】一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断．
【解答】解：符合二次根式的定义；
是三次根式；
是分式，不是二次根式；
（x＞0）符合二次根式的定义；
是二次根式；
是四次根式；
﹣符合二次根式的定义；
是分式，不是二次根式；
（x≥0，y≥0）符合二次根式的定义．
2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4 2 【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．
【解答】解：当x＝1时，原式＝，
故选：A．
3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是
【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【解答】解：∵＝2，且是整数，
∴2是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为：6．
4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 ．
【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．
【解答】解：∵是二次根式，
∴10﹣5x≥0，
∴x≤2．
故答案为：x≤2．
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版 二次根式)
九年级（上）数学复习1
第二十一章 二次根式
知识网络图表
习题练习
1.化简：2(2)(2)xx 2.已知3260xyxy，求x、y的值。
3..已知0b，化简3ab的结果是多少？
4.若5,17ab，则0.85的值用a、b表示为多少？
5. 化简：221aa 6.式子11xxxx中的x的取值范围是多少？
7.当x=_____时,913x的值最小,最小值是:_______.
8.在实数范围内分解因式:425x 运算 概念
性质 定义：形如：(0)aa
最简二次根式：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开尽方的因数或因式。
22()(0)((0,0)(0,0)aaaaaaabababaaabbb为实数）
加减法：先将二次根式化成最简的二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘法：(0,0)ababab
除法：(0,0)aaabbb 混合运算 二次根式
2 9.计算(1).23312(31)433
(2).212832(322)12
10.等式:2()(______)xyxy中的括号内应填入:________
11.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A.9x B. 21x C.23x D.32x
12.下列各式中,与3是同类二次根式的是 ( )
A.18 B.24 C.12 D.9
13.若(2)(3)23xxxx成立,则x的取值范围为( )
A.2x B.3x C.23x D.23x
14.计算:341843,结果是:( )
A.32 B. 42 C.52 D.62
15.数53的整数部分是x, 小数部分是y, 则x-2y的值是( )
苏科版初三数学 复习资料(2次根式,方程)
初 三 数 学（第一章 复习（2））
时间： 月 日
教学目标：1．进一步掌握等腰梯形的性质和判定；
2．进一步掌握中位线定理．
教学重点：等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用．
教学难点：等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用．
作业布置：P37∽38 5、6、9
教学过程：
一、自主探究
1．回忆等腰梯形的性质和判定填空：
（1）等腰梯形同一底上的 ；
（2）等腰梯形的两条 ；
（3）在同一底上的
是等腰梯形．
2．回忆中位线的性质填空：
（1）三角形的中位线
；
（2）梯形的中位线
．
二、自主合作
例1等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AD＝AB＝12 BC，梯形的周长是30．
（1）求AD的长；
（2）证明：△ABE是等边三角形．
例2如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3㎝，BC＝7㎝，E是CD的中点，四边形ABED的周长比△BCE的周长大2㎝，试求AB的长．
例3如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E•为BC中点．求DE的长．
三、自主展示
1. 三角形的三条中位线长分别为2cm、3cm、4cm，则原三角形的周长为 ．
2. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2㎝，∠B＝600，则下底BC＝ ㎝． EDCBAEDCBAEDCBA3. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝450，AE⊥BC于点E，AE＝AD＝2㎝，则这个梯形的下底长为 ㎝．
广东省中考复习专题实数与二次根式
第 1 页 第二讲 实数与二次根式
明确目的﹒定位考点
实数是初中数学的根底内容，客观题以考察实数的根本概念为主，主观题以实数的运算为主，广州中考将重点围绕相反数、绝对值、倒数、平方根、科学记数法以及实数的运算进展考察。实数的运算以及探究规律是广州中考的常考内容，难度为中低难度。考察形式多以选择题、填空题为主，常考点为幂的运算、乘法公式、整式的混合运算、因式分解等。
实数概念的理解；实数的分类；二次根式概念的理解；最简二次根式、同类二次根式的概念，及二次根式的性质及运算；二次根式的运算与化简求值的综合问题；
归纳总结﹒思维升华
一、有理数的意义
1、数轴的三要素为原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数构成一一对应。
2、实数a的相反数为-a.假设a，b互为相反数，那么ba=0。
3、非零实数a的倒数为a1。假设a，b互为倒数，那么ab=1。
4、绝对值
在数轴上表示一个数的点分开原点的间隔 叫做这个数的绝对值。即一个正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。
a ( a>0 )
即│a│= 0 ( a=0 )
-a ( a<0 )
5、科学记数法：把一个数表示成na10的形式，其中1≤a＜10的数，n是整数。
二、实数的分类
三、 实数的运算与大小比拟
1、实数的运算
实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方六种，其中减法转化为加法运算，除法、乘方都转化为乘法运算。
2、 数的乘方
na个naaaaaa ，其中a叫做幂底数，n叫做幂指数。
3、 0a1〔其中a 0 且a是实数〕papa1〔其中a0〕
4、实数运算
先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减；假如有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左第 2 页 到右的顺序依次进展。
考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点03 二次根式
数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范
围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合
出题，属于中考必考题；
考向一、二次根式的相关概念；
考向二、二次根式的性质与化简
考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用
考向一：二次根式的相关概念
1.平方根与二次根式a(a
＞
0)
a(a=0)a(a＜0)等于其本身的数
平方根0/0算术平方根0/0、1
立方根0、1、-1
【易错警示】
正数和0有平方根、算数平方根、立方根；负数只有立方根
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．
【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；
C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；
D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；
故选：C．
2．12的平方根为 ± ．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【解答】解：∵＝5，
∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则a+b的值是（ ）
A．B．+1C．﹣1D．1﹣
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，
∴（a+）2+|b﹣1|＝0，
∴a+＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣，b＝1，
∴a+b＝+1．故选：B．
5．已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（ ）A．6B．36C．3D．2
【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．