关于一道课本习题引起的思考
2012.03（下旬刊）
摘要本文将一道课本习题作为问题背景，深入思考，提出一个更深层次的问题。并且利用背景问题中的结论，探究解决了所提出的问题。从而反思在教学中，数学教师应该勤于思考，不断巩固加深自己的专业知识，始终保持一种旺盛的斗志和热衷于数学教学的热情。关键词圆周角圆外角数学教师教学热情ReflectionsArousedfromanExerciseintheTextbook//SunKaifengAbstractWithanexerciseinthetextbookasthebackground,thispaperproposesanissueoffurtherlevel.Byutilizingtheconclusionintheexercise,thewriterinquiresintoitfurther.Thewriterholdsthatmathematicsteachershouldconstantlyenhancetheirprofessionalknowledgeandkeepanenthusiasticattitudeinteaching.Keywordscircumferentialangle;angleoutofacircle;mathematicsteacher;teachingenthusiasmAuthor'saddressAffiliatedMiddleSchoolofNorthwesternPolytechnicalUniversity,710072,Xi’an,Shaanxi,China1背景问题北师大版（九年级下册）P114做一做：船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船就有可能触礁（如图1所示），我们把∠APB记为∠α。问题1：当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？问题2：当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？问题分析：这个问题，很显然考查圆周角定理的相关推论。很容易知道当∠α大于“危险角”时，船应该位于⊙O区域内，若∠α小于“危险角”时，则船应该位于⊙O区域外。问题解决:我们来应用分类假设的思想：对于问题1：船应该位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由是：假设船在⊙O上，则有∠α=∠C,这与∠α＞∠C矛盾，所以船不能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外，只能在⊙O内。那么，问题2的问题可以同理说明。当然，还可以通过外角定理说明这一问题。问题解决完以后，我们便有了以下的结论：在同圆中，同弧所对的圆外角、圆周角、圆内角之间存在着“圆外角＜圆周角＜圆内角”的关系。这个结论对我们理解圆周角定理起着非常重要的作用。2深入思考提出问题：鉴于背景问题中“圆外角＜圆周角＜圆内角”的结论，我抛给学生这样一个问题：已知平面上A、B两点及一条直线MN(如图2所示)，在已知直线MN上是否存在一点C，使得∠ACB达到最大？分析问题：首先，我们来分析点C的存在性，如果∠ACB我们把看成是我们想要的最大角，让我们设想：一边沿着直线MN走，一边看线段AB。从直线AB与MN的交点出发向右行进。在起点时面对AB的角度为0，而后角度增加，最后当离开AB很远很远时，角度必定再次减小。因为在无穷远处它可看∠ACB作为0。在角度为0的两个极端情况之间，必然在某处存在一点C,使得∠ACB达到最大值。第二，既然存在这样的点C，那么它在何处呢？下面我们来确定它的位置。有一个相当容易的解释，如果一点不在最大位置上，那么必定存在另一点，在最大位置的另一侧，在该点所讨论的角度有相同的值。那么，在直线MN上是否存在一点C'，使得从该点观察线段AB与从C观察有相同的视觉？这里我们很容易回答：“在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等”（教材上给出的定理,原命题可见欧几里得《几何原本》命题Ⅲ.21）那么，点C与C'两点必在经过A、B两点的同一个圆上。我们可以过A、B关于一道课本习题引起的思考
孙开锋（西北工业大学附属中学陕西·西安７１００７２）中图分类号：G632.0文献标识码：A文章编号：1672-7894（2012）09-0111-02
图1CEP
BO
A图2BA
MCN
图3B
A
MCC''C'N理工
1112012.03（下旬刊）
（上接第100页）导作用，从学生的知识水平、能力水平的实际出发，风趣讲解，设疑引思，将学生现实的疑惑和原有的见闻、知识、体验、认识沟通起来，最后水到渠成地解决，使每一位学生在原有的知识上得到应有的进步和提高。3引导下的自学与讨论对概率论课程中的很多典型问题如抽签问题、生日问题等等，学生往往自己分析不清楚，会犯各种各样的错误，因此学生在掌握了各个章节的基本知识后还应结合有关参考书进行有的放矢的自学，这是学生依靠自己的思维来获得知识和更新知识的过程。自学采用集中形式进行，以提高学习效果和便于教师辅导。在此过程中教师还可以举例并通过对实例的讨论纠正学生的一些错误思想，形成正确的思想方法，同时了解学生的难点和疑点，作为以后进行该课程教学工作的参考。此外，在教学的过程中向学生提出问题，引导学生课后积极翻阅资料积极思考，比如，在讲解大数定理和中心极限定理时，向学生提出问题：三个大数定理之间有什么样的联系和区别？两个中心极限定理之间的区别和联系是什么？学生通过课后积极地思考，从外在形式的不同和内在的统一找到答案。通过这种方式可以有效地培养学生发现问题和解决问题的能力。4拓展性的课外作业概率问题很广泛，往往使学生如坠烟海，不得要领，无从下手，因此教师应在每堂课后选择那些能加深对基础知识的理解并促进其应用的习题，特别是一些典型的习题，例如在学习中心极限定理后可以让学生思考下：针对学校的实际情况，图书馆的自习室至少应设置多少座位才能以一定的概率保证上自习的人都有座位坐。在学了假设检验后可以让学生针对给定的数据比较两种药的疗效是否有差异，等等，要让学生掌握其分析方法和计算方法，以便于以后举一反三，并能将所学知识应用到实践中。同时用一题多解引导学生去求异、探索，这样既开阔了学生的思路，又有助于培养他们创造性的思维能力。以上是对概率论与数理统计课程教学的一点探索，通过以上的教学内容、教学方法的探索和改革增加了学生学习该课程的兴趣，使学生真正体会到该课程在各方面的应用价值，特别是日常生活中的应用价值，充分调动了学生学习的主动性，激发了学生的创造性思维，也锻炼了学生把学习的课程结合实际、观察生活、发现规律的能力，增加了学生动手的能力和应用概率统计理论和方法解决实际问题的能力。该课程的实践提高了教学质量，得到了学生的认可和赞同。当然工作中还有一些方法不够完善，需要我们进一步的实践和探索。参考文献[1]黄承绪,宋礼民.概率论与数理统计[M].武汉:华中师范大学出版社,2009.[2]董加礼.试论教学方法的改革[J].吉林学院学报,1996(17):1-4.[3]温溶雪.现代启发式教学探究[D].江西师范大学硕士论文,2003(12).[4]施庆生,陈晓龙,邓晓卫,宫宁生.《概率论与数理统计》课程的教学改革与实践[J].南京工业大学学报:社会科学版,2004(3).[5]方世祖.概率论与数理统计教学探索[J].广西大学学报:自然科学版,2008,33(z1).[6]刘蓉.“概率论与数理统计”教学改革之探索[J].长春理工大学学报,2010(7).[7]孙华娟,贺爱娟.浅谈独立学院“概率论与数理统计”教学改革[J].中国电力教育,2010(30).[8]杨圣举,李文玲.关于概率论与数理统计的教学体会[J].科技信息,2011(7).[9]梁鹏,吴群英,唐国强.概率论与数理统计教学与考试改革探讨[J].教育教学论坛,2011(15).编辑胡俊龙两点作无数个圆。那么从C与C'两点观察线段AB就有相同的角度（如图3，即∠ACB=∠AC'B），很显然，这个角度不可能是最大的，既然点C在直线MN上，则与MN相离的圆我们不予考虑，这样，在C与C'之间与直线MN相交的圆中将产生更大的角度（由背景问题可知）。那么，这一点必为经过A、B两点的圆与直线MN的切点（如图3中的点C''位置）。应用举例：如图4所示，在一幢高11.6米的楼（BC）顶竖立一块高为4米的宣传西安世园会的广告牌AB。小明从楼前笔直地走向楼底，在此过程中（小明的眼睛到地面的距离DE为1.6米），小明看广告牌的视角∠ADB是否存在最大值？若存在，请说明理由，并求出此时小明到楼底C的距离；若不存在，请说明理由。解：存在；理由：如图5所示，过D作DF‖EC,交AC于F，作AB的中垂线MN，交AB于G，以B为圆心，GF长为半径画弧，交射线GM于O，以O为圆心，OB长为半径画圆，则⊙O与DF相切，切点记为H，在DF上除点H外任取点K，则恒有∠AKB<∠AHB,所以，当D与H重合时，∠ADB最大。此时，易计算得HF=235姨解毕。3问题反思问题得到了解决，决定性的步骤开阔了我们的眼界。平时教学过程中，我们会遇到很多类似的问题，只要我们多加思索，就可能有新的发现。这样，我们才能一直保持着一种对数学专业的热情。只要我们还有这种热情，还能勤于思考，不断巩固和加深我们的专业知识，才能在特殊的数学领域带领学生进行深入浅出、触类旁通的学习；才能带领学生创造性地开展探究性学习；才能培养出具有创新精神和实践能力的合格人才。我想，作为一名教师，只要热情在，便足矣！编辑
胡俊龙A
B
DEC图4
图5DEKHCFBGANOM
姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨理工
112
一道数学练习题引发的思考.doc
=88 （平方米） 28X21=588 （平方米）
c、28X21-19X12
=588-228=360 （平方米） 一道数学练习题引发的思考
海底岭学校：韩晋国
今天上数学练习课时，我岀示了一道这样的数学题：李大爷家有块菜
9米
地（如右图），这块菜地的面积有多少平方米？
学生用了 20分钟的时间来解答此题，竟然正确 来 19米
率为0%,学生的解答方法为： '
（1） 21+9+19+28+12 （2）、9+19=28 （米）
分析学生错误的原因有二：一是将面积与周长计算的方法混淆，求出
菜地的周长而不是面积；二是没有理解图形的含义，计算错误。
针对学生错误的原因，我采取了以下措施帮助学生理解题意，得出止
确的计算方法：
师：同学们，本题耍我们帮助李大爷解决什么问题?
生：菜地的面积是多少平方米？
师：我们学过哪些图形的而积计算方法？它们又是怎样计算？
生1：长方形的面积二长X宽。
生2：正方形的面积二边长X边长。
师：那我们看：李大爷的菜地形状是怎样的？我们能利用已有的知识
解答吗?
学生独立思考后，解答此题方法如下:
8、21X9+19X9 b、28X9+12X9
=（21+19） X9 = （28+12） X9
=40X9 = 40X9
=360 （平方米）二360 （平方米） 让学生描述自己的解题思路，集体交流，达成共识。
通过解答此题，可以看出学生的思维的潜力是巨大的，有时是由于学 生知识的局限，有时是由于教师的影响，如果教师在“引”上多做一点文 章的话，是能唤起学生思维的火花的。
一道课本习题的思考与拓展
ｌ８ 福建中学数学 ２０１２年第２期
Ｃ（ｐ，０），如图２所示．自点 引曲线ｆ（ｘ）的切线，
切点为Ｊ亡＇，则曲线ｆ（ｘ）在Ｂ处的切线过Ｄ点的充要
条件是 ＝－２ｋ 。．
证明 ：丛 ：一 １ （ｎ－ｍ） ， ＸＤ—ｒｒ｜
：丛 ： １口（ 一 ）（ｎ＋ｐ－２ ）． ＸＤ—Ｐ 斗 ｋｃｏ＝一２ Ｄ ＋Ｐ一２ｍ＝２（ｐ—ｎ）
Ｐ＋２ｍ一３ｎ＝０． 由文【１］知，曲线厂（ 在 处的切线过Ｄ点
§Ｐ＋２ｍ一３ｎ＝０．故曲线厂（ ）在Ｂ处的切线过Ｄ点
的充要条件是 ∞＝一２ 。．
厂＼ Ｌ Ｉ
＾『 ¨ ＼／
Ａ， Ｂ’ 。 图３ 定理３若三次曲线ｆ（ｘ）＝ ＋ ＋ ＋ｄ（ａ≠０）
与Ｘ轴有三个不同交点，依次为 （ ，０），Ｂ（ｎ，０），
Ｃ（ｐ，０），如图３所示．自点Ｃ引曲线ｆ（ｘ）的切线，
切点为Ｅ，则曲线ｆ（ｘ）在 处的切线过 点的充要
条件是ｋ ＝一２ ．
证明ｋＡ ： ：｛口（ｎ－ｍ）（２ｐ－ｍ－ｎ）， ＾Ｅ—ｒｎ ｑ
： ：一 口（ｎ－ｍ） ． ｘＥ—ｐ ｋＡＥ＝一２ｋ ２ｐ—ｍ一 ＝２（ｎ一 ）
§ｍ＋２ｐ一３ｎ＝０． 由文［１】知，曲线ｆ（ｘ）在 处的切线过Ｅ点
铮ｍ＋２ｐ一３ｎ＝０．故曲线ｆ（ｘ）在 处的切线过Ｅ点
的充要条件是ｋ ＝－２ｋｃＥ．
｛．｝考文献 ［１】苏立志．三次曲线的两个性质．数学通讯，２０１１（６）：２２
一道课本习题的思考与拓展
巫国珍 江苏省句容高级中学（２１２４００）
苏教版必修ｌ第ｌ７页复习题第ｌＯ题为：期中考
试，某班数学优秀率为７０％，语文优秀率为７５％．问： 上述两门学科都优秀的百分率至少为多少？ 思考１设两门学科都优秀的百分率为 ％，则只 有数学优秀的百分率为（７０一 ）％，只有语文优秀的
百分率为（７５一 ％，所以 ％＋（７５一 ％＋（７０－ ％≤１， 等号成立时，有 ％） ｊ ＝４５％．
我们可以想象，这个问题好比是一个窗户，宽
度为单位１，两块玻璃的宽度分别为７０％与７５％，要 求两块玻璃重叠部分最少，那么两块玻璃就要分别 向两端推到头，这就是上述不等式取等号时 ％最小 的原因． 思考２运用以上动态的想象可以轻松解决这样 １ 一个问题：设数集Ｍ＝ ≤ ＋｛｝，Ｎ＝ Ｉ 一妄 珥 ｊ
一道课本习题的多种解法及反思
题目 (人教A版《数学》选择性必修一课本P38第2题)PA，PB，PC是从点P
出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）A.12 B. 22 C. 33 D. 36几何问题通性通法通性通法是具有普遍意义的方法和相关知识，因为问题中
PA，PB，
PC的长度没有给出，需要用一般的量来表示解决问题，体现对数学本质的思考．解法1 在PC上任取一点D并作DOAPB⊥平面,则
DPO即为直线PC与平面PAB所成的角．
过点O作OEPA,OFPB,垂足分别为EF,．
因为DOAPB平面，所以DEPA,DFPB,所以△△DEPDFPＱ．所以EPFP=,所以△△OEPOFPＱ．
因为APB=60,所以OPEOPF==30．
设OEb=，所以OPbPFbPDb=2,=3,=23,
所以cos===DPOOPbPD2323b3．一道课本习题的多种解法及反思
王希红
分析1：几何法是从事于“几何物体”和图形的研究，研究它们的量的关系和相互位置.
A
BCD
E
FPO数 学微专题突破
18直线PC与平面PAB
所成角的余弦值为33．
评注:本题结合条件画出图形，再根据线面角的定义，做出面的垂线，从而找到线在面内的射影得到线面角,然后结合初中的全等三角形知识，设出一个承上启下的量，找到边的关系，从而问题得以解决．解法2 设PAPBPC=,=,=abc，则{abc,,}为空间的一
个基底．若n为平面PAB的法向量，由空间向量基本定理可设为na=+xyzbc+,设||=,||=,||=PAaPBbPCc，APCAPB==
BPC=60,所以abacbcbc⋅=⋅=⋅=111222abac,,．
由nnPAPB,,则
nabca⋅=++⋅PAxyz()=+⋅+⋅xyzabaca2=+axaby212+=012acz,
由一道几何题引起的思考
学法指导
由一道几何题引起的思考
■应位峰
摘要：数学的课堂难免会出现意外。这样的意外是学生
积极参与，探索思考的结果。我们善于利用，对自己、对学生、
对课堂都大有裨益。本文从九年级课堂教学中的一道习题出
发，通过学生给出的解法，谈谈一些自己在教学时的思考。
关键词：教师；解题
数学教学尤其是几何教学总能引发学生们思维的火花碰
撞，有的会让我们老师得到意外的收获。因此，教师的主导不
能代替学生的主体，引导学生，积极思维，敢于表达和质疑往往
使学生对于知识的掌握更到位。下面谈谈九年级数学圆周角
一课讲到的一个习题时，遇到的意外收获。
一、题目呈现
如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且
CD=AC，DB的延长线交⊙O于点E。问CD与CE相等吗？为
什么？
AEB
DCO
二、师生解法对比
该题教师给出的解法：连接BC。由于AB是圆O的直径，
可得∠ACB=90°，即BC⊥AD。根据已知条件CD=AC，由“三线
合一”得到BA=BD，再由“等边对等角”得到∠A=∠D。由于∠A
与∠E是同弧所对的圆周角，所以∠A=∠E。再等量代换即得到∠E=∠D，再通过“等角对等边”得到CE=CD。
AEB
DCO
AEB
DCO
学生给出的优解：连接AE，由于AB⊙圆O的直径，因此∠AEB=90°。因为CD=AC，所以C是斜边AD的中点。根据直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=12AD，即
CE=CD。
相对而言，两者选择的角度不同，对于教师来说，一般比较
喜欢用分析法，从结论出发，要证边相等，就要证角相等，于是
要证∠E=∠D。因为∠A=∠E，所以只要证∠A=∠D，那么就要证BA=BD，就会向证中垂线的方向去证，因此过程相对就多了一
点，但是像这样，从结论出发，往前推逐步跟已知条件联系，对
于解任何一道几何题都能行得通，因为思维上比较容易。而学
生方法的最大的优点就是简便，巧妙地运用直径构造另外一个
直角，加上中点，使得直角三角形的性质发挥作用。但是不容
易想到，因为既不能倒推还要作辅助线。而做几何题简便的方
课本习题引发的思考
课本习题引发的思考
【摘要】高考是源于课本而高于课本，本文主要通过课本习题引发的思考，来总结高中数学中几个常见的构造法模型的应用。
【关键字】：构造法 函数 几何图形
高考命题组的总结”相当数量的试题都源于课本的例题、习题或稍加改造，或做拼合，或稍做提高，是常规题型、常见思路、常用的方法在试卷占了主题地位。突出了基础知识、基本技能和基本方法的考查。 “正因为很多高考源于课本而高于课本，而在教学的过程中对于课本上的题会好，很多练模拟卷上的题都和课本上的题有很大的相似之处，可以说有很多题都是课本的习题的变式，尤其是在书后探究拓展、思考运用部分出现的频率更高，所以本人通过课本习题归纳总结一些常见问题的构造法。
在苏教版必修2第一章立体几何部分（第62页）章末复习题第18题
【原题】设p、a、b、c是球o 表面上的四点；pa、pb、pc两两互相垂直，且pa=pb=pc=1，求球的表面积及体积。
对于此题本身由于大部分同学对于空间立体的想象比较欠缺，解决起来有一定的困难，由于求本身就是空间的图形不好在平面上画出，还要在还要里面还几条互相垂直的线，不容易找到球心与一已知量之间的关系。因而很多同对于此只能望而却步，但如果我们能从题目本身的特点和条件入手构造常见的图行从而很容易解决此问题。上面的问题就用到了常见的数学方法构造法。下面从以下
几个方面谈一下构造法如何在高中数学中很好的运用。
2.1构造图形法
构造图形法主要是在原来已知图形、函数，等式的基础上进一步探讨分析，主要也就是数形结合，通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体。它包含”以形助数”和”以数辅形”两个方面。华罗庚教授对此有精辟的概述：”数无形，少直观；形无数，难入微。” 本人就以开始课本上的习题为例具体说明
一道课本＂链接题＂的思考与探究
教材新探
■季长征
在我们的自主学习与合作交流中，要认真观察、
实验、归纳，大胆猜想。为了证实或推翻提出的猜想，
我们要通过分析，概括出数学概念，通过探究、推理， 建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决
问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断 提高，创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我
们将快乐成长。 下面，就以普通高中课程标准实验教科书（苏教
版）数学（选修４—１）§１．２．１圆周角定理课题下的一个 链接：托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｖ）定理为例，谈点学习体会。
托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｖ）定理若四边形四个顶点都在
同一圆上，则其对角线之积等于两组对边乘积之和。 托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）定理的历史可追溯到公元２世 纪。古希腊数学家和天文学家Ｐｔｏｌｅｍｖ对三角学有很
多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。
一、Ｐｔｏｌｅｍ 已知：如 ｖ定理的证明思想 图１，四边形
ＡＢＣＤ的４个顶点都在Ｏ０ 上。求证：ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋
ＡＤ’ＢＣ Ａ 分析：这个等式若成立，
那么在线段ＡＣ上必有一点 Ｅ，使得ＡＤ・ＢＣ＝ＢＤ・ＡＥ且
ＡＢ・ＣＤ＝ＢＤ・ＥＣ．凡属两个乘
积等式，通常要变成比例式 而后看有无相似形可以利
用。 图１ 过，说明了它的历史地位重要，影响很大。下面我们
来探究Ｐｔｏｌｅｍｙ定理的逆命题是否是真命题。
Ｐｔｏｌｅｍｙ定理的逆命题若凸四边形每双对边乘
积的和等于两对角线的乘积，则这四边形必有外接 圆。
已知：如图２，在四
边形ＡＢＣＤ中，若ＡＢ・ ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ求
证：四边形ＡＢＣＤ是圆
内接四边形。
分析：因为有了 Ｐｔｏｌｅｍｙ定理的证明思
想，取点卜构造两Ａ
次相似——得比例 Ｄ
图２
式——变形相加。那么我们就顺着这条思路来探索
研究，如果缺少相似的条件，我们就大胆的创造条 件，寻找三角形相似，看一看能否实现目标。
证明：在四边形ＡＢＣＤ内取一点Ｅ，连接ＡＥ、ＣＥ、
一道课本习题的探究与思考
理科教学探索
一道课本 习题的探究与思考 田卫东 （昌黎第一中学，河北秦皇岛０６６６００） 摘要：高中数学教学不能忽视对教材中优秀题目的研究，通过对这些习题的探究，既可以培养 学生的发散思维和善于发现问题、解决问题的能力，又能培养学生勤于思考的习惯以及坚忍不拔的意 志品质和勇于创新、契而不舍的精神，真正落实以生为本的新课程理念，提高高中数学学习的有效性。 关键词：定义；研究；发散；ｌｇ．￣ｓ；思考 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ００９—０１ ０Ｘ（２０１ ６）３６—００６５—０２ 题目：与两圆 十 ＝１及 ＋ 一８ ＋１２＝０都外切 的圆的圆心在（） Ａ．一个椭圆上 Ｂ．双曲线的一支上 ｃ．一条抛物线上 Ｄ．一个圆上 这是人民教育出版社、课程教材研究所编著的 普通高中课程标准实验教科书《数学》选修２—１第８０ 页的复习参考题Ａ组第３题中的第（２）题。该题目的 解法如下：设圆 ＋ ＝１的圆心为Ｆｌ（０，０），圆 ＋ 一 ８ｘ＋１２＝０的圆心为Ｆ２（４，０），动圆的圆心为 （ ，ｖ）， 由题中条件可知１慨１—１帆１＝１，结合双曲线的定 义：平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的差的绝对值等于 常数（小于Ｊ １）的点的轨迹叫作双曲线，即得所求 动圆圆心的轨迹是双曲线的左支，故正确答案为Ｂ． 做完此题后，很多学生都有一种意犹未尽的感觉，双 曲线的右支哪儿去了？其实答案并不难，同学们经过 讨论可知，只要把条件中的与两圆外切改为内切，就 会得到双曲线的右支。但问题的研究并不应该到此 结束，我们可以继续探求，若动圆圆心与两定圆中一 个内切一个外切时，动圆圆心的轨迹又会是什么？根 据双曲线的定义很快得出，其轨迹仍然是双曲线，而 且两组双曲线焦点相同，只是实轴长不同。结合该教 材中第５０页Ｂ组题的第２题，即一个动圆与圆ｘ２＋ ＋８ 十５＝０外切，同时与圆 ｚ＋ 一６ｘ一９１＝０内切，求动 圆的圆心轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（答 案为等＋—鲁＝１，它是以（一３，０）和（３，０）为焦点的椭 ｊｏ ， 圆，详细解答过程可参考教参）。 根据以上两题的解答，我们不难发现，和两个定 圆相切的动圆圆心轨迹有时为椭圆，有时为双曲线。 那么，这里面有无规律可循？经过师生之间的研究讨 论，我们得到了如下结论： 题目：设ＧＡ的半径为ｒ，ＯＢ的半径为Ｒ，且Ｒ＞ ｒ，圆心分别为Ａ、Ｂ，设动圆的圆心为Ｐ，ＱＰ与ＱＡ及 ＯＢ相切，求点Ｐ的轨迹方程。 解：按照两个定圆的位置关系，分以下情况讨论。 １．Ｇ）Ａ与Ｏ８外离。 （１）ＯＰ与两圆皆外切或内切时，则有 ｌｌ 『一ｌ朋ｌ ｌ：Ｒ—ｒ，由双曲线的定义可知：所求点Ｐ 的轨迹是以 、Ｂ为焦点，实轴长为尺一ｒ的双曲线； （２）ＱＰ与其中一圆内切，与另一圆外切时，则有 ｝ｌ ｌ—Ｉ船｝ｌ＝ＪＲ＋ｒ，由双曲线的定义可知：所求点Ｐ 的轨迹是以Ａ、Ｂ为焦点，实轴长为 ＋ｒ的双曲线。 ２．Ｏ／ｌ与Ｏ曰外切。 （１）ＯＰ与两圆皆外切或内切时，则有
一道题引出的思考
一道题引出的思考
当我们在解答问题出现错误时不能仅仅认为是审题不够深刻、思路不够清析、方法不够灵活造成的，有时应从深层次去考虑出现错误的原因.
大家都知道这个答案是错误的，为什么在一阶导数的基础上求出的二阶导数是错误的呢？原因是这样的，引例所给的函数不是显函数形式，而是参数方程形式，在求一阶导数时是对x求导的，在求二阶导数时也应该对x求导，而上述解答中是对t求导的，因此才造成这样的错误.正确的解答是：其实，不能把这种错误简单归结为学生对这类题型的解题方法不熟练或者认为学生对求导方法掌握得不够全面、灵活.笔者认为产生上述错误的真正原因却来源于教师和教材这两个因素.
一、 教师的指导不当
上面提到的例1，绝大部分教师给学生的答案乃至各种类型考试试题的参考答案都是：
二、教材的编排不妥
上述例题所涉及的题型属于参数方程形式的函数的导数问题，参数方程形式的函数的导数求解最关键的是把导数理解成微商（形式是dydx）.然而绝大部分高等数学教材中，从导数的概念、导数的基本公式、导数的四则运算规则以及复合函数的求导规则的学习中，导数的形式都习惯记为y′或者f ′（x），
dydx只是作为一种记号在导数概念学习时简单提了一下，由于写法繁琐一般不常用.更为重要的是绝大部分高等数学教材的编写都是把参数方程形式的函数的导数问题讨论放在微分概念之前，试想在没有学习微分概念之前，怎么可能把导数理解为微商形式呢？因此笔者认为高等数学教材《导数与微分》章节中应该在导数的概念和基本求导公式之后就安排微分概念的学习，然后再讨论各种类型的导数问题更为科学合理.
因此当我们在解答问题出现错误时不能仅仅认为是审题不够深刻、思路不够清析、方法不够灵活造成的，有时应从深层次去考虑出现错误的原因.这样还有可能得到解题之外许多收获.
[江苏省泰州学院数理信息学院 （225300）]
人教版初中物理教材一道习题发散的教学思考研究
- 1 - 人教版初中物理教材一道习题发散的教学思考研究
虽然从语文到数学，初中学生在接受学科教育时，学习内容十分丰富，但以物理为例，它以概念的学习为主，而习题的作用则是把握概念，巩固理论知识。有效地解决一道习题，可以激发学生的思考，以及形成教学认知，这也是物理教学中发散思维的关键。因此，在探讨一道习题发散的教学思考研究上，有必要探讨初中物理教材中一道习题如何被有效发挥出发散思维及其在教学中的作用。
初中物理中，一道习题同时具有实践性和概念性双重属性，它把各种生活中的实践应用结合到各种概念当中，是物理学习的精神和内涵的体现，因此，发挥一道习题发散思维的教学思考，对初中物理的学习具有十分重要的意义。首先，在解决习题时，有必要强调客观实际，特别是用真实的实物解释问题，以充分利用学生的观察和实践能力，让学生从实践中感受知识，提高学生的学习兴趣。
此外，有必要培养学生的发散思维能力，在讨论完课本中的概念之后，可以引导学生把课本中的概念付诸实践，让学生在实践中完成习题，培养学生的联系实际的能力，在适当的条件下也可以引导学生用发散思维去解决习题，并从相关的书籍及材料中搜集素材，以及小组合作，完成习题，激发学生发散思维的能力，完成习题把握概念的内涵，形成对概念的认知。
同时，课上小组合作探究的活动，也可以适当的引导学生运用团队合作的能力，调动他们的发散思维，从而有效地把握物理知识点，有效地完成习题。在这样的学习过程中，学生更加容易学习到学科中 - 2 - 的概念和知识，利用发散思维激发学生的思考能力和形成教学认知，也可以提高学生的课堂积极性，更加有效地完成教学任务。
总之，在探讨一道习题发散的教学思考研究，有必要探讨初中物理教材中一道习题如何被有效发挥出发散思维及其在教学中的作用。一道习题既可以帮助学生把握客观实际，又能培养学生发散思维能力，从而让学生更有效地掌握概念，巩固理论知识。
道法考试反思(通用6篇)
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道法考试反思(通用6篇)
反思指对过去的事情进行深入的再思考，总结经验教训。以下是小编为大家收集的道法考试反思(通用6篇)，仅供参考，欢迎大家阅读。
【篇一】道法考试反思 时间如流水般淌过，转眼间期中段考也已结束，成绩也已经公布了。望着试卷上的分数，我惊讶了。因为这并不是我真正想要的分数。为什么我不能考得再高一些呢!于是，我开始自我检查。
我每到考试的时候总因紧张而很着急，为此，我想出了几个办法。
1、解答题时，不要急于下笔，要先在草稿纸上列出这道题的主要步骤，然后按照步骤一步步做下来，不忽略每一个细节，尽量把每一道题都答得完整;
2、平时多做一些不同类型的题，这样就会对大多数题型熟悉，拿到试卷心中就有把握;
3、.适当做一些练习。我想如果我能做到我以上提到的这几点，我一定能把考试中的失误降到最低。因此，我一定会尽力做到以上几点的。
但我想单单只靠以上几点还是不够的，我还就该拥有几点科学应试技巧。于是，我根据我自己的实际情况想出了几点。
第一点：拿到考卷后，应把考卷整体审视一遍，看一看哪些题目比较容易，哪些题目比较难。
第二点：先从简单的题做起，把那些好拿的分数全部拿过来。
第三点：遇到难题，实在不能马上写出来的话，不要死死地盯着那道题，而
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忽略了别的题，应把所有会做的题做完才努力解答那道题。第四点：考完后，认真地检查，看看自己有没有把题目看错或抄错。
在下一次考试中,我一定会尽自己最大的.努力做到最好!
【篇二】道法考试反思 本学期我仍然担任七年级的政治教学工作，本学期经历了三个月网课及近两个月的正常在校学习，进行了网上测试及线下复学诊断和模拟考试，根据学生的得分情况，我对学生这学期存在的问题进行了逐项分析，我对我所教的1、2、3班，6班学生的政治成绩做了分析，总结如下：