高中数学选修2-1-全部课件解析
合集下载
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-1空间向量及其线性运算
4．理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间 向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或 垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式， 并会用这些公式解决有关问题．
5．理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、 面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量 方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题．
向量那样，从某点
O
出
发
，
逐
一
引
向
量
→ OA1
＝
a1
，
→ A1A2
＝
a2，……An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2……的起点 O 为
起点，终点 An 为终点的向量O→An，就是 a1，a2，……，an 的和，
即
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b.
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C，只有平行四边形才能成立．故 A、C、D 均不正确．
[解析] B→C1＝B→C＋B→B1＝A→A1＋A→D＝b＋c， A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋C→C1＝a＋b＋c， B→D1＝A→D1－A→B＝A→D＋A→A1－A→B＝b＋c－a， C→O＝C→C1＋C→1O＝A→A1＋12C→1A1 ＝A→A1＋12(C→1D1＋C→1B1) ＝A→A1＋12(－A→B－A→D)＝c－12a－12b.
人教版高中数学选修(2-1)-3.2《立体几何中的向量方法(第4课时)》教学课件
解 如图，分别以AB、AD、AP所在直线 为x、y、z轴建系，则P(0，0，1)，B(3， 0，0)，D(0，4，0)，
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法 利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的 垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点 可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也 可以任意取．
【变式2】 如图，P为矩形ABCD所在平面外 一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法 利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的 垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点 可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也 可以任意取．
【变式2】 如图，P为矩形ABCD所在平面外 一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）
高中数学选修2-1课件：3.2 第3课时 空间向量与空间角
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中
点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分
别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；
证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
－1)，C→E＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
解析答案
题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为 2a ，M为 A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
D.90°
解析 ∵cos〈m，n〉＝ 12＝ 22，
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答案
12345
3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝ 2BB1，则AB1与C1B所成角的大 小为( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
解析答案
12345
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
232Fra bibliotekA. 3
B. 3
C.3
6 D. 3
解析答案
12345
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直 9
线A1B与B1C所成角的余弦值为_2_5__. 解析 如图，建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3). ∴A→1B＝(0,4,3)，B→1C＝(－4,0,3)， ∴cos〈A—1→B，B—1→C〉＝295.
3.2.2抛物线的简单几何性质-北师大版高中数学选修2-1课件
原点，则这个三角形的面积为 48 3 。
6、 焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
焦半径公式：
p/2 x0 P
|PF|=x0+p/2
OF
x
焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上,
PF
PF
x0
p
2
p
2
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大. 6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就
的直线,则被抛物线截得的弦长为______1__6_
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,
且|AB|=4 3 ,求直线AB的方程.
X=3
例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点 在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解：由题可设一个顶点为（ 3a, a)
则由a2 2 p 3a a 2 3 p
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p
2,
p 2
1,
准线l
:
x
1.
A’
A
设A(x1, y1), B(x2, y2 ), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
6、 焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
焦半径公式：
p/2 x0 P
|PF|=x0+p/2
OF
x
焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上,
PF
PF
x0
p
2
p
2
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大. 6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就
的直线,则被抛物线截得的弦长为______1__6_
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,
且|AB|=4 3 ,求直线AB的方程.
X=3
例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点 在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解：由题可设一个顶点为（ 3a, a)
则由a2 2 p 3a a 2 3 p
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p
2,
p 2
1,
准线l
:
x
1.
A’
A
设A(x1, y1), B(x2, y2 ), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程(1)》课件
③
③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点 三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用 椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这 就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用 椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的 联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把 |PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
a、b、c 的关系
c2＝_a_2－___b_2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
试一试：椭圆的标准方程中a＝5，b＝4，那么椭圆的标准 方程是什么？
提示 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为2x52 ＋1y62 ＝1，当焦点 在 y 轴上时，其标准方程为2y52 ＋1x62＝1.
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程
【例1】 求适合以下条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点( 36， 3)和点(232，1)．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[思路探索] 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求
解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆
焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了防止讨
【优化设计】高中数学人教选修2-1精品课件：整合3
知识网络构建
专题一 专题二 专题三
专题归纳整合
2.证明面面平行 若 u,v 分别是平面 α,β 的法向量,且 u∥v,则 α∥β. 例 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H,M,N 分别是正 方体六个表面的中心,证明:平面 EFG∥平面 HMN.
证明:如图,建立空间直角坐标系 Dxyz, 设正方体的棱长为 2,则 E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1).
专题一 专题二 专题三
专题归纳整合
法二:设平面 PMN、平面 A1BD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2). n ·������������ = 0, n2 ·������������1 = 0, 则 1 n1 ·������������ = 0, n2 ·������������ = 0. ∴
则 A(1,0,0),P 0, ,1 ,M 0,1, ∴ AP =
1 -1, ,1 2
1 2
1 2
,N
1 , 1, 1 2
.
, MN =
1 2
1 1 , 0, 2 2 1 1 , 0, 2 2
. =0.
∴ AP·MN = -1, ,1 · ∴ AP⊥MN.
知识网络构建
专题一 专题二 专题三
专题归纳整合
知识网络构建
专题归纳整合
知识网络构建
专题一 专题二 专题三
专题归纳整合
专题一 空间向量与线面位置关系
利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系 ,如线 面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等 . 1.证明线面平行 若直线 a⊄ 平面 α,其方向向量为 a,平面 α 的法向量是 n,且 a⊥n, 则 a∥α. 例 1 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 DB,D1C 上,且 DE=D1F= a,其中 a 为正方体的棱长,求证:EF∥平面 BB1C1C. 分析:由于是正方体,故可建立空间直角坐标系求解.
高中数学__选修2-1简单的逻辑联结词课件
思考：命题 p∨q的真假如何确定？ 观察下列三组命题，命题p∨q的真假与p、q 的真假有什么联系？ P:27是7的倍数; q:27是9的倍数; p∨q :27是7的倍数或是9的倍数. P:等腰梯形对角线垂直； q:等腰梯形对角线平分； p∨q:等腰梯形对角线垂直或平分. P:三边对应成比例的两个三角形相似; q:三角对应相等的两个三角形相似; p∨q:三边对应成比例或三角对应相等的两 个三角形相似.
P:等腰三角形两腰相等； q:等腰三角形三条中线相等； p∧q:等腰三角形两边相等且三条中线相等. P:6是奇数; q:6是素数; p∧q:6是奇数且是素数.
命题p∧q的真假判断方法：
填空：一般地，我们规定:当p，q都是真命 题时，p∧q是 真命题 ；当p，q 两个命题 中有一个命题是假命题时，p∧q是 假命题 . 一句话概括： 全真为真,有假即假. p q p∧q
真
真 真 假 假
真 假 真 假
假 假
假
活动探究 探究：逻辑联结词“且”的含义与集合 中学过的哪个概念的意义相同呢？
对“且”的理解，可联想到集合中 “交集”的概念．
A∩B=｛x︱x∈A且x∈B｝中的“且”， 是指“x∈A”、“x∈B”这两个条件都 要满足的意思
例题分析
例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判 断他们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数， q：35是7的倍数.
命题p∨q的真假判断方法：
一般地，我们规定:当p，q两个命题中 有 一 个命题是真命题时,p∨q是 真 命题； 当p，q两个命题都是假命题时，p∨q 是 假 命题.
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质(一)
解析：(1)设双曲线的标准方程为
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.5)ppt课件
2019/8/29
最新中小学教学课件
30
规律方法 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的 方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； ②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题； ③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转 化为数量积为零.
3.1.5 空间向量的数量积
15
跟踪演练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱
④|a·b|≤|a|·|b|
3.1.5 空间向量的数量积
8
预习导学
挑战自我，点点落实
要点一 空间向量的数量积运算
例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，
E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算： (1)B→C·E→D1；(2)B→F·A→B1；(3)E→F·F→C1. 解 如图，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
3.1.5 空间向量的数量积
1234
27
课堂小结
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量 积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向 量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两 个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.
3.1.5 空间向量的数量积
28
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.