高中数学竞赛讲义圆锥曲线

高中数学竞赛讲义（十一） ──圆锥曲线一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0

(0第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

(a>b>0)，参数方程为（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为

(a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆， a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦

点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为

； 2）斜率为k的切线方程为； 3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

。 6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

，参数方程为（为参数）。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

。 8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

(a, b>0), a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、

右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是。 10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F

坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1. 11．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=； 2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；

3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。 12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆

锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题 1．与定义有关的问题。例1 已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。

[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c==3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定

义知，则|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，

把y=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为例2 已知P，为双曲线C：右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为l，作PDl于D，于E，因为//PD，

则，又由定义，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠=∠KF1Q。 2．求轨迹问题。例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。 [解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线

为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：=1（a>b>0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a. 所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），

将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为

[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆上，

所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。 [解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 记O为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为，即

当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；当a

例5 在坐标平面内，∠AOB=，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。 [解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为

B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ-)),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为M。由外心性质知再由得

×tanθ=-1。结合上式有 tanθ= ① 又 tanθ+= ② 又所以tanθ-=两边平方，再将①，②代入得。即为所求。 3．定值问题。

例6 过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。 [证明] 设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0),

(c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以

① 所以

。由①得

代入上式得即（定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。

[证明] 设，则，焦点为，所以，，，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因为，所以。所以，即。所以，即直线AC经过原点。例8 椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。 [证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在椭圆上有即 ① ② ①+②得（定值）。 4．最值问题。例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。

[解] 由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。设m=|AB|2=, 因为，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。

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(word完整版)高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义,推荐文档

第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义： ,CFxy设曲线，方程=0，满足以下两个条件：

,,CxyFxy①曲线上一点的坐标满足=0；

,,.FxyxyC②方程=0解都在曲线上

,,.CFxyFxyC则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程

二、求曲线方程的两种类型： 1、已知曲线求方程；用待定系数法





2,;,xyxy、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程 1、画法 121222,2PPFPFaFFa、定义：

3、方程 222222221010xyyxabababab①或②

2222+10xyabab二、几何性质：

1,.xayb、范围： 2xyO、对称性：关于、、原点对称. 12123,0,,0,0,,0,.AaAaBbBb、顶点

2224,,abcabc、之间的关系：

225101cbeeaa、离心率：

0,1ee越圆越扁扩展： 22222

2222

xyxymbabambm①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1

222222221010xyyxkkkakbkakb②有相同离心率的椭圆为或

.acac③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是 12PPFPF④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大. 24.ABFABFaV⑤为过焦点的弦，则的周长为 1122,,,ykxbAxyBxyl⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:

222

121212114lkxxkxxxx



212121222

110114klyyyyyykk或当存在且不为时，

高中数学竞赛_直线圆锥曲线平面向量

专题五直线圆锥曲线平面向量一能力培养1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力二问题探讨问题1设坐标原点为O,抛物线22y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ⋅的值.问题2已知直线L 与椭圆22221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为OP k ,OQ k ,如果22OP OQb k k a⋅=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB夹角的大小;(II)设FB AF λ=,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为三习题探选择题1已知椭圆2215x y k+=的离心率e =,则实数k 的值为A,3 B,3或25332一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲线的准线方程是 A,925y =±B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)225已知点F 1(,0)4,直线l :14x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线填空题6椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为103,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足0HP PM ⋅= ,32PM MQ =- .(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x , 使得ABE ∆是等边三角形,求0x 的值.11已知双曲线C:22221x y a b-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA OB OF成等比数列,过点F 作双曲线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.(I)求证:PA OP ⋅= PA FP ⋅; (II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分支分别相交于点D,E,求DFDE的值.12已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.四参考答案问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令12x =,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113(,1)(,1)224OA OB ⋅=⋅-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2y k x =-由21(22y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则21212221,4k x x x x k ++=⋅=,得 OA OB ⋅= 1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11(2k x -21(2k x ⋅-=22212121(1)()24k k x x x x k +⋅-++=22222121(1)424k k k k k ++-⋅+=34-.综(1),(2)所述,有34OA OB ⋅=-. 问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y由条件知2211221x y a b += ①2222221x y a b += ②122x x x +=,122y y y += ③212212y y b x x a =- ④ ①+②得22221212222x x y y a b+++= 即22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b+=, 于是点M 的轨迹方程为2222122x y a b +=.问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-,把它代入24y x =,整理得2610x x -+= 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++1=3-. OA OB ===cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅<>==-, 所以OA 与OB夹角的大小为arccos41π-. (II)由题设FB AF λ= 得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--,即21211(1)x x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩.得22221y y λ=,又2211224,4y x y x ==,有221x x λ=,可解得2x λ=,由题意知0λ>, 得B (,λ或(,λ-,又F(1,0),得直线l 的方程为(1)1)y x λ-=-或(1)1)y x λ-=--,当[4,9]λ∈时,l 在y或,21λ=-,可知1λ-在[4,9]上是递减的,于是34413λ≤≤-,43314λ-≤-≤--, 所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34--]34[,]43. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点,曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠,由条件①,②得e =,化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii) (ii)代入(i)整理后得:22222(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii), 可知22e =不合题意,有220e -≠,设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,AB 的中点P 00(,)x y .则1x ,2x 是方程(iii)的两根.21222()2m e x x e ++=--,2121222()()()22m e y y x m x m m e ++=+++=-+-2120222x x m e x e ++==-,21202(1)22y y m e my e ++-==-,又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上, 有222m e e +-+22(1)2m e me +--=0,解得2m =-,即AB 的方程为2y x =-,方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=,它的28(2)0e ∆=->,得22e >.21222(2)22e x x e -++=-=-,212242e x x e-⋅=-由12AB x =-,得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+即222224(24)(11)2e e-=-⋅+-,得242e =>,将它代入(i)得223840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:224()314493x y --=.1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得253k =,选B.2设圆心O(0,0),1(4,0)O -,'O 为动圆的圆心,则''1(4)(1)3O O O O r r -=+-+=,选C.3知双曲线的中心为(2,2),由340x y -=变形得220916y x -=,于是所求双曲线方程为 22(2)(2)1916y x ---=,它的准线为925y -=±,即925y =±,选A. 4设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得222(1)0x m x m +-+=, 由224(1)40m m ∆=--=,得12m =,这时得切点(12,1),选B.5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线,选D.6可得28103a c a a c+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去c ,整理得237400a a --=,有5a =或83-(舍去),得3c =,4b =,所以所求的椭圆方程为2212516x y +=. 7设点P (,)x y 是所求曲线上任一点,它关于y x =-对称的点'(,)P y x --在3x y =上, 有3()y x -=-,即3y x =. 8设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.9由条件可得123PF PF =或213PF PF =,设P (,)x y 代入可知交点的轨迹是两个圆.10解:(I) 设点M (,)x y ,由32PM MQ =- ,得P (0,),(,0)23y xQ -由0HP PM ⋅= ,得3(3,)(,)0,22y y x -⋅=所以24y x =.又点Q 在x 轴的正半轴上,得0x >.所以,动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.(II)设直线l :(1)y k x =+,其中0k ≠,代入24y x =,整理得22222(2)0k x k x k +-+= ①设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,2121222(2),1k x x x x k -+=-=,1212(1)(1)y y k x k x +=+++=124()2k x x k k++=,有AB 的中点为2222(,)k k k -,AB 的垂直平分线方程为22212()k y x k k k --=--,令0y =,0221x k =+,有E 22(1,0)k + 由ABE ∆为正三角形,E 到直线AB,知2AB k =由2k k =,解得k =,所以0113x =. 11(I)证明:直线l 的方程为:()ay x c b=-- 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得P 2(,)a ab c c ,又,,OA OB OF 成等差数列,得A(2a c,0),有22(0,),(,),(,)ab a ab b ab PA OP FP c c c c c =-==- ,于是222a b PA OP c ⋅=- ,222a b PA FP c⋅=- ,因此PA OP ⋅= PA FP ⋅ .(II)由1,2a b ==,得c =,l:1(2y x =--由221(214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去x ,整理得215160y -+= ① 设D 11(,)x y ,E 22(,)x y ,由已知有12y y >,且1y ,2y 是方程①的两个根.12y y +=121615y y =,21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+==,解得213y y =或13. 又12y y >,得21y y =13,因此121211321DF y y y y DEy ===--. 12解:(I)1(1,0)F,12AF BF ==,设2(,)F x y 则121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹方程为1x =和22(1)(2)184x y --+=(0,4y y ≠≠)(II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:22(1)(2)184x y --+=①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点, 把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+= 由0∆=,得1m =±。

高中数学圆锥曲线专题-暑假讲义(难得的好讲义)

第一讲椭圆初步问题一椭圆的定义【例1】求平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹方程。

【直观感觉】【严格求解】求平面内与两个定点1F （-c ，0）、2F （c ，0）的距离之和等于定长2a （a ＞c ）的点的轨迹方程。

【反面验证】已知方程22221x y a b+= (0)a b >>，设P （x ，y ）是该方程代表的曲线上任意一点，求证：P 到点1(F 和点2F 的距离之和等于2a 。

【经验小结】解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的几何问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上。

【要点总结】1、椭圆的定义和相关概念：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。

2、对椭圆定义的几点说明：⑴“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； ⑵作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。

若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。

⑶怎么看椭圆扁还是圆：椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆，⑷对椭圆和它的方程进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心。

⑸如果建坐标系的方法不同，会得到以下两种椭圆的方程：中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22221x y a b += (0)a b >>；22221y x a b+= (0)a b >>；问题二椭圆的基本几何性质归纳几点说明：⑴长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。

“高中数学课件-圆锥曲线”

抛物线
抛物线是另一种圆锥曲线形式，其特点是离焦点和准线的距离相等。它在物理学和工程学中常用于描述抛体的轨迹。
双曲线
双曲线是圆锥曲线的第三种形式，其特点是离焦点和准线的距离之差固定。它在物理、电子学和天文学中有广泛的应用。
圆锥曲线的性质
对称性
圆锥曲线通常具有对称性，可以通过某种轴或中心进行对称。
焦距与半径
焦距与半径是圆锥曲线的重要性质，它们决定了曲线的形状和特性。
离心率
离心率是描述曲线形状的重要参数，在椭圆、抛物线和双曲线中有不同的取值。
判定圆锥曲线的方法
1 焦点和准线
2 轨迹类型
根据给定的焦点和准线坐标，可以确定圆锥曲线的形状和方程。
圆锥曲线的轨迹类型（椭圆、抛物线、双曲线）可以通过经验判断或图形分析得出。

极坐标方程的抛物线
同样，抛物线也可以用极坐标方程来描述。通过极径和极角，我们可以方便地表示抛物线的形状和位置。
双曲线的性质
双曲线具有独特的性质，如焦点与准线的距离之差、离心率的关系、边缘的特点等。它在物理学和工程学中有广泛的应用。
双曲线的方程
双曲线的方程可以通过焦点和准线的坐标来表示。这是描述双曲线形状和位置的重要工具。
孤点椭圆
孤点椭圆是一种特殊的椭圆形状，它只有一个焦点，没有准线。它在天文学和轨道动力学中有重要的应用。
抛物线的性质
抛物线具有许多有趣的性质，如焦点与准线的距离相等、对称性、方程的特点等。
抛物线的方程
抛物线的方程可以通过焦点和准线的坐标，或者通过经验公式来表示。这是描述抛物线形状和位置的重要工具。
高中数学课件——圆锥曲线
让我们一起探索圆锥曲线吧！从基本形式到各种性质，以及判定方法和方程。让数学变得有趣和令人着迷！

高二数学讲义圆锥曲线专题(一)

1 y Q

P N

M F

O x

第一讲圆锥曲线专题（一）【知识要点】 1.面积问题 2.直线过定点问题 3.直线斜率为定值问题【典型例题】题型一：面积问题

1.设F是抛物线G:24xy的焦点，设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足·0FAFB,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

2. P、Q、M、N四点都在椭圆2212yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0PFMF．求四边形PMQN的面积的最值 2

题型二：直线过定点问题 3.A、B是抛物线24yx上的两点，且满足为原点OOBOA，求证：直线AB经过一个定点

4. 已知离心率为25的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点A使021AFAF且21AFF的面积为1 （1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线mkxyl:与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D,求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。 3 y

P O x A B

5.已知点1,0,1,0,BCP是平面上一动点，且满足||||PCBCPBCB （1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点(,2)Am在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，

判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

题型三：直线斜率为定值问题 6.如图，过抛物线24yx上一定点1,2P，作两条直线分别交抛物线于A（）， B（22,yx），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率为定值. 4

7.（辽宁卷文）已知椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（－1，0），（1，0）（1）求椭圆C的方程（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值

高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义学生版

高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)，参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为：12222=+by a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：12222=+by a x ，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0,±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为：12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。

高考数学讲义圆锥曲线综合.知识框架

圆锥曲线与方程要求层次重难点曲线与方程的对应关系 B轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法直线与圆锥曲线的位置关系C1．坐标法：在直角坐标系中确定曲线的方程，并用方程研究曲线的性质，这种研究几何的方法称为坐标法．2．轨迹方程：一条曲线可以看成动点的运动轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．3．在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程()0F x y =，之间具有如下关系：⑴曲线C 上点的坐标都是方程()0F x y =，的解； ⑵以方程()0F x y =，的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程()0F x y =，的曲线，方程()0F x y =，叫做曲线C 的方程．即：()()0M x y C F x y ∈⇔=，，．曲线C 用集合的特征描述为{}()|()0C M x y F x y ==，，． 4．曲线的交点：已知两条曲线1C 和2C 的方程分别为：()0F x y =，，()0G x y =，，则交点坐标对应方程组()0()0F x y G x y =⎧⎨=⎩，，的实数解．5．由曲线求它的方程：①建立直角坐标系；②设动点M 的坐标为()x y ，；③把几何条件转化为坐标表示． ④证明所求的就是曲线的方程．（一般省去证明，只通过验证除去或补上相关的点）6．利用方程研究曲线的性质：知识内容高考要求模块框架椭圆.知识框架①曲线的组成；②曲线与坐标轴的交点； ③曲线的对称性质； ④曲线的变化情况； ⑤画出方程的曲线． 7．求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立x y ，之间的关系()0F x y ，； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； ④代入转移法：动点()P x y ，依赖于另一动点00()Q x y ，的变化而变化，并且00()Q x y ，又在某已知曲线上，则可先用x y ，的代数式表示00x y ，，再将00x y ，代入已知曲线得要求的轨迹方程； ⑤参数法：当动点()P x y ，坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x y ，均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．8．直线与圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线的方程公共解问题，体现了方程的思想；数形结合也是解决直线与圆锥曲线位置关系的常见方法， 9．圆锥曲线中的思想方法 ⑴方程的思想：大部分题目是以方程形式给出的曲线，因此利用两个方程联立，特别是直线与二次曲线（包括圆与圆锥曲线）的联立后的一元二次方程，可以判断交点个数，可以利用韦达定理求得中点与弦长等，避免直接求交点的复杂计算；⑵函数的思想：对于曲线上的动点，在变化过程中引入一些相互关联、相互制约的量，得到一些函数关系，可以有效地处理一些解析几何问题； ⑶坐标思想：坐标法是解析几何的基本方法，灵活运用坐标法可以解决很多问题，注意对向量的坐标的利用； ⑷对称思想：圆锥曲线与圆都具有一定的对称性，利用对称有时可以达到减少变量，简化计算的效果； ⑸转化思想：利用圆锥曲线的定义、利用平面几何知识将条件进行适当转化，可以达到明了题意，方便解题的目的．⑹其它思想：参数思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、运动的观点，在恰当的时候运用可以达到意想不到的效果．总体来说，解析几何的思想方法很多，对综合性与灵活性要求较高，没有一些很固定的公式化的套路．需要在解题中不断积累经验，多动手多尝试，同时注意思考总结不同题型的典型解题思路，并举一反三，最终达到顺利解决解析几何综合题的目的．1．给出直线的方向向量()1u k =r ，或()u m n =r，． 2．A B C ，，三点共线：①//AB AC u u u r u u u r ；②存在实数λ，使AB AC λ=u u u r u u u r；③若存在实数αβ，，且1αβ+=，使OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r．3．给出0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，等于已知MA MB ⊥，即AMB ∠是直角；给出0MA MB ⋅<u u u r u u u r，等于已知AMB ∠是钝角，给出0MA MB ⋅>u u u r u u u r，等于已知AMB ∠是锐角．4．给出MA MB MP MA MB λ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，等于已知MP 是AMB ∠的平分线． 5．在ABC △中，给出OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，等于已知O 是ABC △的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）．6．如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．。

高中数学复习讲义——(17)圆锥曲线与方程

高考《考试大纲》的要求： (1) 圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用（2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.第01讲椭圆（一）基础知识：1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1b y a x 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；椭圆)0b a (1bx a y 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________.3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。

椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。

椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是______.（二）典型例题：例1.已知1F 、2F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点A 、B ，若5||=AB ，则=+||||11BF AF （）（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）16例2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（）(A)31 (B)33 (C)21 (D)23 例3．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．2 D 1 例4.过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________（三）基础训练：1.已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60º，则椭圆的离心率为（） A .12 B .22 C .33 D .32 2.设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+22为椭圆”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（A ）1- （B ）1 （C ）5 （D ）5-4．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）（A ）59 （B ）3 （C ）779 （D ）495. F 1,F 2是椭圆C ：14y 822=+x 的焦点,在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为_______. 6.已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点。

高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。

以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。

2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。

-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。

-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。

3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。

-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。

4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。

-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。

5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。

6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。

-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。

-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。

-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。

7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。

同时，准线也是曲线的对称轴。

高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义

高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为若焦点在y3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0,椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。