经典几何的讲义
立体几何（简单几何体、三视图、球）
一、知识要点
1．多面体的结构特征
(1)棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
(2)棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形
(3)棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
2．多面体的表面积、侧面积
多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
3.空间几何体的三视图
(1)三视图的名称：几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
(2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的正投影图．4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
(1) 原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持
原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
（3）斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪
⎧
坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半
图形改变 “三不变”⎩⎪⎨⎪
⎧
平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变
相对位置不改变
知识拓展
1．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，
①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 题型分类
一. 三视图、直观图
1．(2016·全国Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π
3，则它的表面积是( )
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π
2.某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C ，如图（2），其中11116,2O A O C ==，则该几何体的侧面积为（ ） A.48
B.64
C.96
D.128
3.（2018·广东省五校协作体第一次诊断考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.
()102212π++
B.
136
π
C.
()11212
π++ D.()112212
π++
二、几何体的体积问题
4．(2018·广州调研)已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1—B 1EDF 的体积为________．
5．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )
A.23
B.33
C.43
D.3
2
三、与球相切的问题
6.(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )
A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π
3
7．(2017·广州市高中毕业班综合测试)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P —ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P —ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．12π C ．20π
D ．24π
8.(2018·深圳调研)如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.
3π2 B ．3π C.2π
3
D ．2π 四、轨迹问题
9.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若
1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
10.如图，定点,A B 都在平面α内，定点,P PB αα∉⊥，C 是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，则动点C 在平面α内的轨迹是（ ）
A.一条线段，但要去掉两个点
B.一个圆，但要去掉两个点
C.一个椭圆，但要去掉两个点
D.半圆，但要去掉两个点
11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A.抛物线
B.双曲线 C .椭圆 D.直线
14.如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条直线
五、最值问题
15. ．(2017·云南师范大学附属中学适应性考试)已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为( )
A.32
B.233
C.23
D.13
16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P —BCD 的体积的最大值是________．
17.（2017课标1，理16）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .,,D E F 为圆O 上的点，,,DBC ECA FAB ∆∆∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起,,DBC ECA FAB ∆∆∆，使得,,D E F 重合，得到三棱锥. 当ABC ∆的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为________
作业：
1．(2017·宝鸡质检)已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O —ABC 的体积为4
3，则球O 的表面积为( )
A.16π3 B ．16π C.32π
3
D ．32π
2．(2017·昆明质检)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A ．24π
B ．30π
C ．42π
D ．60π
3．(2018·九江一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( ) A ．6＋42＋2 3 B ．8＋42 C ．6＋6 2
D ．6＋22＋43。
中考经典几何题讲义系列：旋转、翻折问题
∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝ ＝22.5°。∴∠FAB＝67.5°。
2
设 AB＝x，则 AE＝EF＝ 2 x，
∴an67.5°＝tan∠FAB＝t FB 2x+x 2 1。故选 B。 AB x
4. （广东河 源 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别在边 AB、 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝【 】
∴BC=CM。
设 CF=x，D′F=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，
在 Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°= DF y 3 ，∴ x 3-1 y 。
FM 2x y 3
2
∴ CF x 3-1 。故选 A。 FD y 2
3. （江苏连云港 3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5° 角的正切值是【 】
A．150º
B．210º
C．105º
D．75º
【答案】A。
【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。
【分析】根据折叠对称的性质，∠A′＝∠A＝75º。
根据平角的定义和多边形内角和定理，得
∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－（∠ADA′＋∠AEA′）＝∠A′＋∠A＝1500。
（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则 CD=
四年级上册数学几何专题讲义(共6讲)-第1讲 格点与面积 全国通用(含答案)
知识要点第四讲格点与面积1、如图a 所示，在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位），这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。
在方格网中，以格点为顶点画出的直线型多边形叫做格点多边形。
用N 表示多边形内部格点数，L 表示多边形周界上的格点数，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12LS N =+-，这个规律就是毕克定理（Pick's Theorem ）。
图a2、如图b 所示，在一张纸上，先画出一些水平直线和一些与水平直线夹角为60的直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等，这样在纸上就形成了一个正三角形网（通常规定每个小正三角形的面积为1），其中的每个交点就叫做一个格点。
在正三角形网中，以格点为顶点画出的直线型多边形叫做格点多边形。
用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，与比克定理类似的有：22S N L =+-。
图b方格网【例 1】 下列5个图中，哪些是格点多边形？图1 图2 图3 图4 图5 【分析】根据格点多边形的定义，格点多边形必须符合2个条件：（1）图形必须是多边形，即图形的边必须是直线；（2）图形的顶点必须在格点上。
图3、图4的顶点不在格点上，图5有条线不是直线；所以图1、图2是格点多边形。
【例 2】 计算下图中各个格点多边形的面积，并填写表格。
（小正方形的面积为1单位面积）图1 图2 图3 图4 图5 图6图 图形内的格点数（N ）边界上的格点数（L ）12LN +- 面积（S ）图1 图2 图3 图4 图5 图6【分析】本题的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
图1是正方形，边长是5，所以面积S 正方形2525==面积单位；图2是长方形，长是7、宽是4，所以面积S 长方形7428=⨯=面积单位；图3是三角形，底是5，高是4，所以面积S 三角形54102⨯==面积单位； 图4是平行四边形，底是5，高是5，所以面积S 平行四边形5525=⨯=面积单位； 图5是直角梯形，上底是3，下底是7，高是5，所以面积S 梯形(37)5252+⨯==面积单位； 图6是梯形，上底是2，下底是5，高是5，所以面积S 梯形(25)517.52+⨯==面积单位。
微分几何引论讲义.pdf
绪 论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry ”就是“土地测量”.Pythagoras 定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements )为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan 的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用. 内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()()(),(),()r r t x t y t z t ==.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§ 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB ，r ，r. 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0 . 反向量：a - . 向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘.内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠外积的定义.二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ⨯⨯=⋅-⋅ ；()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架{};,,O OA OB OC. 定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：{};,,O i j k. 笛卡尔直角坐标系. 坐标.内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3.三、正交标架流形取定一个正交标架{};,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ea i a j a k ⎧=++⎪=++⎪⎨=++⎪⎪=++⎩(1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足31ikjk ij k aa δ==∑， (1.7)即过渡矩阵()ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e是右手系，det 1A =，即矩阵111213212223313233(3)a a a A a a a SO a a a ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：{正交标架}←→3(3)E SO ⨯，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点Q 在两个正交标架{};,,O i j k 和{}123;,,P e e e中的坐标分别为(,,)x y z 和(,,)xy z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： 111213*********132333,,.x a xaya za y a xaya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.QOPki1e j2e 3e QO()P O σ=ki1e j2e 3e ()QQ σ=在刚体运动33:E E σ→下，若σ将正交标架{};,,O i j k 变为{}123;,,P e e e，则空间任意一点(,,)Q x y z 和它的像点 (,,)Q xy z (均为在{};,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为 111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za za xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E 中的任意两个正交标架，必有3E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:E E σ→称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§ 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3中的映射3::()r p r p →D .设有定义在区间[,]a b 上的向量函数()((),(),()),r t x t y t z t a t b =≤≤. 如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t是连续可微的. 向量函数()r t的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即0000()()lim t t t r t t r t drdt t∆→=+∆-=∆0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ∆→+∆-+∆-+∆-⎛⎫= ⎪∆∆∆⎝⎭()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)()1()lim ()(),(),()nbbbbi i aaaai r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=∆=∑⎰⎰⎰⎰， (2.7)其中01n a t t t b =<<<= 是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且{}max |1,2,,i t i n λ=∆= . (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()()()(),()()()()()()a t b t a t b t t at t a t t a t λλλ''''''+=+=+. 定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⋅=⋅+⋅；(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⨯=⨯+⨯；(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t ''''=++.定理2.2 设()a t是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '⋅≡. (2) 向量函数()a t的方向不变当且仅当()()0a t a t '⨯≡.(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡. 反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '⨯≠，那么向量函数()a t必定与某个固定的方向垂直.证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''== ，所以|()|a t 是常数2|()|a t ⇔是常数()()0a t a t '⇔⋅≡.(2) 因为()a t 处处非零，取()a t方向的单位向量1()|()|()b t a t a t -= . 则()()()a t f t b t = ，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是()()2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''⨯=⨯+=⨯∀“⇒”由条件知()b t c = 是常向量，()0b t c ''== . 从而()()0a t a t '⨯≡.“⇐”由条件得()()0b t b t '⨯≡，所以()b t ，()b t ' 处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'= . 用()b t 作内积，得()12()()()()()0t b t bt b t b t λ''=⋅=⋅≡ . 于是()0b t '≡ ，()b t c =是常向量.(3) 设向量函数()a t与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ⋅≡ . 求导得到1()0a t e '⋅≡ ，1()0a t e ''⋅≡ . 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡ .反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡ . 令()()()b t a t a t '=⨯. 由条件，()b t 处处非零. 且()b t '= ()()a t a t ''⨯连续. 根据二重外积公式，()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''⨯=⨯⨯⨯''''''=-'''=≡根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e = . 用()a t作内积，得()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '⋅=⋅=⋅⨯≡.由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ⋅≡ ，即()a t与固定方向1e 垂直. □课外作业： 1. 证明定理2.1.2. 设33:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{};,,O i j k . 令3 为3E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33::()()AB A B σσ→ . 如果()O O σ=，证明 是线性映射.3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设()(1)()()k k r t r t +⨯处处非零. 试求()()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明§ 2.1 参数曲线三维欧氏空间3E 中的一条曲线C 是一个连续映射3:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，参数曲线C 是映射p 的象.取定正交标架{};,,O i j k，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3)其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.由定义可知()()01()lim (),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t∆→''''==+∆-∆，(,)t a b ∈. (1.4)如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t是连续可微的. 此概念与标架的取法无关.(为什么？)导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.如果()0r t '≠ ，则()r t '是该曲线在()r t 处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为()()()X u r t ur t '=+， (1.5) 其中t 是固定的，u 是切线上点的参数，()X u是切线上参数为u 的点的位置向量.定义. 如果()r t是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，()0r t '≠ ，则称曲线()r t是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1)()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d d du dt t t u r t u r t t u ='=⋅ .这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)例1.1 圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r ta t a t bt t =∈ ，其中,ab 是常数，0a >.()()sin ,cos ,r t a t a t b '=- ，|()|0()0r t r t ''=>⇒≠所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2 半三次曲线32()(,),()r t t t t =∈.2()(3,2)r t t t '= ，(0)0r '= .这条曲线不是正则曲线.连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程(),()y f x z g x == (1.6)和隐式方程(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5§ 2.2 曲线的弧长设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则|()|b as r t dt '=⎰(2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为1max||01|()|lim|()()|i nbi i at i s r t dt r t r t +∆→='==-∑⎰.其中01n a t t t b =<<<= 是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，max λ={|1,i t i ∆=2,,n . (为什么？)令()|()|t as t r d ττ'=⎰. (2.4)则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.定理 2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.证明. “⇐”由(2.4)可知，s t a =-. “⇒”如果t 是弧长参数，则s t =，从而|()|1ds r t dt '==. □以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,rr 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3.§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令()()s r s α=. (3.1) 对于给定的s ，令θ∆是()s α 与()s s α+∆之间的夹角，其中0s ∆≠是s 的增量.定理3.1 设()s α 是曲线()r r s = 的单位切向量场，s 是弧长参数. 用θ∆表示向量()s s α+∆与()s α之间的夹角，则lim|()|ss s θα∆∆∆→= . (3.2) 证明. ()001||lim lim ()()s s d s s s ds s s ααααα∆→∆→∆===+∆-∆∆()()2200022sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθθθ∆∆∆∆→∆→∆→∆∆===∆∆∆， ()r s 0s =图2-5O()s αs L=()s s α+∆()r s s +∆()s s α+∆()s α()()s s s αα+∆-θ∆因为θ∆=定义 )为该曲线的曲率向量.把曲线C . 其方程就是(3.3)当然，s (3.4) 所以(3.5) 即曲率κ由|()s α 如果在一点s 处()0s κ≠. 于是在该点有(3.6) 在()s κ (3.7)}),()s s γ ，称为曲线在该点的Frenet 标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.注意. 如果在一点0s 处0()0s κ=，则一般来说无法定义在该点的Frenet 标架. 1. 若()0s κ≡，则C 是直线，可以定义它的Frenet 标架.2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+ ；次法线：()()()u r s u s ργ=+法平面：[()]()0X r s s α-= ；从切平面：[()]()0X r s s β-= ；密切平面：[()]()0X r s s γ-=在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''⨯==' ，()|()|r t r t α'=' ，()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯，βγα=⨯ . (3.13) 证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，()|()|ds s t r t dt''==. 故(())()()()|()|(())()(),():(())|()|dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''====='. (3.12) 由曲率κ的定义，||0κα=≥ ，可知主法向量||αβα= 满足ακβ= . 上式再对t 求导，得 2d d ds r s s s s s s dt ds dtααααακβ'''''''''''=+=+=+.于是2333()()||r r s s s s s r r s αακβκαβκγκ'''''''''''''⨯=⨯+=⨯=⇒⨯= .所以33|()()||()()||()|r t r t r t r t s r t κ''''''⨯⨯==''. 代入上式得()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯. □ 例3.1 求圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈的曲率和Frenet 标架，其中0a >.解. ()r t 'r ' 所以例3.2 .解法1. 22t k ππ=+于是当/t π=r 所以在1)-，γ=解法2. 对应的参数为0s =. 则有 (0)((0),(0),(0))(0,0,1)r x y z ==， (1)以及22222222()()()1,(,).()()()0,()()()1,x s y s z s s x s y s x s xs y s z s εε⎧++=⎪∀∈-+-=⎨⎪++=⎩ (3.14) 求导得到()()()()()()0,2()()2()()()0,()()()()()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩(3.15) 令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0xz == ，(0)1y =± . 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y= ，于是 (0)((0),(0),(0))(0,1,0)xy z α==. (3.16) 对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得22()()()()()()1,2()()2()2()()2()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-⎧⎨+++-=⎩(3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y= ；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =- ；再由(3.17)第2式得(0)2x = . 所以(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y zα===-. 由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|κα== ，Frenet 标架为：(0)(0,0,1)r = ；(0)(0,1,0)α=，1(0)(0)(0)1)κβα==-，(0)(0)(0)1,0,2)γαβ=⨯=-- . □课外作业：习题1(2,4)，4，7§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数τγβ=-⋅ ，即()()()s s s τγβ=-⋅ 称为曲线的挠率.注. 由0γγ⋅= ，()0γαγαγκβ⋅=-⋅=-⋅= 可知//γβ . 因此可设γτβ=- ， (4.1)从而||||τγ= ，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{};,,r αβγ.“⇒” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-= 上，其中a是平面上一个定点的位置向量，n 是平面的法向量，a 和n均为常向量. 则有(())0,[0,]r s a n s L -=∀∈.求导得()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==⇒=∀.于是()//s n γ , 由于|()|||1s n γ== ，所以()s n γ=± 是常向量，从而0γ≡ ，||||0τγ=≡ . 即有0τ≡.“⇐”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-= . 所以()0s c γ=≠ 是常向量. 由(())()()()0d r s c r s c s s ds αγ=== 可知()r s c是一个常数，即0()()r s c r s c = ，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -= ，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c是平面的法向量. □设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩(4.8) 上式中的后三式可以写成矩阵的形式00000ακαβκτβγτγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (4.9) 作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (4.10) 其中a 为常数.证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r，即有()220()rs r a -= . (4.11)求导得到()0()()0rs r s α-=. 这说明0()r s r - 垂直于()s α，可设 0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)再求导，利用Frenet 公式得()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-. 比较两边,,αβγ的系数，得1λκ=-，λμτ= ，μλτ=- ， (4.13) 其中略去了自变量s . 所以1λκ=-，111d d ds ds λλμτττκ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. (4.14)将(4.12)两边平方可得()22220r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.2(,,)||r r r r r τ''''''='''⨯ . (4.18)证明. 因为()|()|ds s t r t dt''==，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt dsα''==，2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，23(())()()(())3()()(())(())()(())()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dts t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+于是3()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''⨯= ，从而()362()()()()(())(())()(),(),()()(())(()).r t r t r t s t s t s t r t rt r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=⨯⋅=⋅'=由(3.13)可知622()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=⨯ ，代入上式即得(4.18). □定理4.3 曲线()r r t = 是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=- ，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，|()|r t '=2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，||r r '''⨯=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=-所以2(,,)r r r a b ''''''= ，22b a b τ=+. □课外作业：习题1(2, 4)，4，10§ 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理 5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 选取3E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变为1C 在0s =处的Frenet 标架{}1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动σ将2C 变为正则曲线3C .设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====令{}1111();(),(),()r s s s s αβγ 和{}3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩(5.6) 1111(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩(5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα= ， ()123()(),(),()s s s s ββββ= ，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.初始条件为：()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零.如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|t a s t r d ξξ'=⎰ ，2C 的弧长为 ()23322()()|()||()|(())()t t t a a a dr s t r d d d s t r duλλξξλξξηλη'''====⎰⎰⎰.由条件，可取132()()()s s t s t s t λ=== 作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----==== ，12s λμ-= . 于是 1111112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡ .同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □定理5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3E 中的正则曲线:()C r r s =，[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：,,,.dr ds d ds d ds d dsαακββκατγγτβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-⎩(5.6) 0000(0),(0),(0),(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]a b 上[,]a b 11[,]a b [0,]l λ1s 2s1κ2κμ的解. 取(5.6)的满足初始条件(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ====(5.7)’的解，其中{};,,O i j k是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s = 是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得311,,1,2,3i ij j j de dr e a e i dsds ====∑(5.6)’ 首先来证明(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)由(5.6)得333111()()iji j j i j i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g ds ds ds ds =====+=+=+∑∑∑， 由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题31()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s = 是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s构成右手系.现在，由(5.6)’可知11dr e ds==. 所以()r r s = 是正则曲线，并且s 是:()C r r s = 的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ= 是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-= . □例 求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.解 我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为22aa b +和22b a b +. 根据定理 5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由022a a b κ=+和022ba bτ=+解出02200a κκτ=+，02200b τκτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为()00022001()cos ,sin ,r t t t t κκτκτ=+ .因为C的弧长参数s ==t就可得到C 的弧长参数方程：))()00022001()cos ,sin,r s κκτκτ=+ . □课外作业：习题1，4，6§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：2()11000000002!!()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x fx x x o x x '''=+-+-++-+- . 同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为 233112!3!()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++++ ， (6.1) 其中3()o s是一个向量函数，满足330()lim 0s o s s→=. (6.2) 由Frenet 公式可得 2(0)(0),(0)(0)(0),(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)代入(6.1)得23233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，其中000(0),(0),(0)κκκκττ=== . 以0s =处的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ 建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为2330123300233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ⎧=-+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩(6.4) 上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.在标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ⎛⎫=≡+++ ⎪⎝⎭. (6.5)近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，1(0)(1,0,0)(0)r α'== ，100(0)(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)rκτκτγ'''== ， 从而1(0)1r '= ，111(0)(0)(0)(0)r r αα'==' ，()1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''⨯=⨯=，110(0)(0)r r κ'''⨯=，111031(0)(0)(0)(0)r r r κκ'''⨯==' ，11111(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r γγ'''⨯=='''⨯ ， 111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=⨯=⨯=，2111001022011(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r r κτττκ''''''⨯⋅==='''⨯ . 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.在密切平面上的投影是抛物线：20,,02x s y s z κ===，在从切平面上的投影是三次曲线：300,0,6x s y z s κτ===，在法平面上的投影是半三次曲线：230000,,26x y s z s κκτ===.定义 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r == . 取1122,p C p C ∈∈，使得 0102p p p p s ==∆. 若有正整数n 使得121200|||()()|lim lim 0n n s s p p r s r s s s ∆→∆→∆-∆==∆∆ ，1210|()()|lim 0n s r s r s s +∆→∆-∆≠∆， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.定理6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在0s =处有n 阶切触的充分必要条件是()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k n = ，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠ . (6.10)证明 在0s =处，有0s s s ∆=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据Taylor 公式，12()()12121()()()(0)(0)!kn n k k k s r s r s o s r r k ++=-=+⎡⎤-⎣⎦∑ . 充分性. 由(6.10)，12(1)(1)1212()()()(0)(0)(1)!n n n n s r s r s o s r r n ++++-=+⎡⎤-⎣⎦+ ，所以 2(1)(1)12121210001()||()()lim lim lim ||0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s s r r n s s s++++∆→→→-===+⎡⎤-⎣⎦+∆， 2(1)(1)1212121110001()||()()lim lim lim 0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s r r n s s s++++++∆→→→-==≠+⎡⎤-⎣⎦+∆. 即12,C C 在0s =处有n 阶切触.必要性. 由条件，12,C C 在0s =处有n 阶切触，则1n ≥. 如果12(0)(0)r r ''≠ ，则12121200||()()lim lim 0(0)(0)s s p p r s r s r r s s∆→→-''==>-∆， 从而120||lim0ns p p s ∆→≠∆，矛盾. 设1m ≥是满足()()12(0)(0)k k r r = ，1,2,,k m = ，(1)(1)12(0)(0)m m r r ++≠的正整数. 由充分性，12,C C 在0s =处有m 阶切触. 由条件得m n =，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor 展开式中的前1n +项之和(即略去()ns ∆的高阶无穷小)至少有n 阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触. (2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线:()C r r s = 上一点()r s处的密切平面上，以曲率中心1()()()r s s s βκ+ 为圆心，以曲率半径1()R s κ=为半径的圆. 它的方程是：()11()()()cos ()sin ()()()X t r s s t s t s s s βαβκκ=+++ . 曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略) 课外作业：习题2，3§2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线111222:(),:()C r r t C r r u ==之间存在一个一一对应关系()t u t ↔=，()0u t '≠. 对曲线2C 作参数变换，可设222:()C r r t =，从而12,C C 之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1 如果两条互不重合的曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand 曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.事实上，因为，所以，. 另一方面由可知. 因此//n α . 设rn κα=. 于是C 的曲率 ()()|()||||()|||(),()rs s n s x s y s κακ=====. 当常数λ充分小时，1()[1()]()0r r s s s λκα'=+≠ ，所以1C 是正则参数曲线. 因为0λ≠，所以曲线C 和1C 不重合.现在来证明在对应点C 和1C 有相同的主法线. 在相同的参数s 点处，C 的主法线l 是过()r s(的终)点且垂直于()s α 的直线，所以l 的方程为()()()X u r s un s =+，u ∈ .同理，在相同的参数s 点处，1C 的主法线1l 是过1()r s 点且垂直于1()//()r s s α' 的直线. 所以1//l l (因为它们都垂直于()s α ). 由定义可知1()r s在直线l 上，所以l 与1l 重合. □下面考虑空间挠曲线，即挠率0τ≠的曲线.定理7.1 设1C 和2C 是Bertrand 曲线偶. 则1C 和2C 在对应点的距离是常数，并且1C 和2C 在对应点的切线成定角.证明 设曲线1C 的弧长参数方程为11()r r s = ，Frenet 标架为{}1111();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为1()s κ和1()s τ. 因为1C 和2C 之间存在一一对应，设2C 上与1()r s 对应的点是22()r r s = ，s 是2C 的一般参数，2C 的Frenet 标架为{}2222();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为2()s κ和2()s τ. 再设2C 的弧长参数为()ss s = . 由条件，2()r s 在曲线1C 上的点1()r s 处的主法线11()()()X u r s u s β=+上，所以()121//()()()s r s r s β-，并且12()()s s ββ=± . 因此可设211()()()()r s r s s s λβ=+，21()()s s βεβ= ， (7.3)其中1ε=±是常数，()121()()()()s s r s r s λβ=-是可微函数.将(7.3)两边对s 求导，利用Frenet 公式，得21111()()()()()()[()()()()]ss s s s s s s s s s ααλβλκατγ''=++-+111[1()()]()()()()()()s s s s s s s s λκαλβλτγ'=-++. (7.4)以21βεβ=分别与上式两边作内积，可得()0s λ'=，()s c λ=是常数. 再由(7.3)得211|()()||()()|||r s r s s s c λβ-==，即1C 和2C 在对应点的距离是常数||(0c >，因为1C 和2C 不重合).设12()((),())s s s θαα=∠ ，则()12()()cos ()s s s ααθ=. 因为()112212122211120d ss dsκβακαβεκβαεκαβαα''=+=+=， 所以()cos ()s θ是常数，从而()s θ是常数. □定理7.2 设正则曲线C 的曲率κ和挠率τ都不为零. 则C 是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数,λμ，且0λ≠，使得1λκμτ+=.证明 必要性. 设曲线C 有侣线1C ，它们的参数方程分别是()r s 和1()r s，其中s 是C 的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设{}();(),(),()r s s s s αβγ和{}1111();(),(),()r s s s s αβγ分别是C和1C 的Frenet 标架，11,κτ分别是1C 的曲率和挠率，s是1C 的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为 1()()()r s r s s λβ=+，1()()s s βεβ= ， (7.3) 1()()[1()]()()()ss s s s s s αλκαλτγ'=-+. (7.5) 其中0λ≠是常数. 因此由0τ≠得|()|0ss '=≠，()s s ε'= 其中11ε=±也是一个常数.由定理7.1，1()()s s c αα= 是常数. 用()s α与(7.5)两边作内积，得22221()(1)[1()][()]c s c s c s ελκλκλτ=-⇒--=.由()0s λτ≠可知2(1)0c -≠，从而1()()s s λκμτ-==是常数. 这就是说，存在常数0,λμ≠，使得.充分性. 设正则弧长参数曲线:()C r r s =的曲率κ和挠率τ满足1λκμτ+=，其中,λμ是常数，且0λ≠. 令1()()()r s r s s λβ=+，则1()[1()]()()()()[()()]0r s s s s s s s s λκαλτγτμαλγ'=-+=+≠. 所以由参数方程11()r r s =定义的曲线1C 是正则曲线，并且与曲线C 不重合(因为0λ≠).由于1|r τ'= 1C 的单位切向量场1()[sin ()cos ()]s s s αθαθγ=±+，其中arctan(/)θμλ=是常数，满足sin θ=，cos θ=.设s是1C 的弧长参数，利用Frenet 公式，有111(sin cos )d ds ds ds ακβθκθτβ==±- .如果sin cos 0θκθτ-≠，则有1ββ=±，从而曲线1C 是C 的侣线，1C 和C 是Bertrand 曲线偶(在参数s 相同的点，1C 和C 得主法线有相同方向，并且1()r s 在()r s处的主法线上). 如果sin cos 0θκθτ-=，则μκλτ=. 结合1λκμτ+=可知κ和τ都是非零常数，C 是圆柱螺线，从而是Bertrand 曲线. □定义7.2 如果两条曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得曲线1C 在任意一点的切线正好是2C 在对应点的法线(即垂直于2C 在该点的切线)，则称曲线2C 是1C 的渐伸线. 同时称曲线1C 是2C 的渐缩线.定理7.3 设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐伸线的参数方程为1()()()()r s r s c s s α=+-. (7.7) 证明 设渐伸线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 则1()r s 在曲线C 上()r s点处的切线上，故有函数()s λλ=使得1()()()()r s r s s s λα=+. (7.8) 由渐伸线的定义，1()()r s s α'⊥，所以10()()[()()()()()()]()1()r s s s s s s s s s s ααλαλκβαλ'''==++=+. 由此得()1s λ'=-，()s c s λ=-. 代入(7.8)即得(7.7). □曲线C 的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C 的切线曲面∑上. 定理7.4设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐缩线的参数方程为()111()()()tan ()()()()r s r s s s ds s s s βτγκκ=+-⎰. (7.10) 证明 设渐缩线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 由定义，1[()()]()()rs r s r s s α-⊥=，可设 1()()()()()()r s r s s s s s λβμγ=++. (7.11) 求导得1()()()()()[()()()()]()()()()()r s s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ'''=++-++-[1()()]()[()()()]()[()()()]()s s s s s s s s s s s λκαλμτβμλτγ''=-+-++.因为11()//[()()]()()()()r s r s r s s s s s λβμγ'-=+，所以1()[()()()()]0r s s s s s λβμγ'⨯+=，即有()()1s s λκ=，()[()()()]()[()()()]s s s s s s s s μλμτλμλτ''-=+. (7.12)所以()1/()s s λκ=，且由(7.12)第2式得22()μλλμμλτ''-=+，arctan μτλ'⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，()()()tan ()s s s ds μλτ⇒=-⎰.所以有(7.10). □课外作业：习题4，8§2.8 平面曲线本节研究平面曲线的特殊性质.一、平面曲线的Frenet 标架在平面2E 上取定一个正交标架(右手直角标架){};,O i j. 则平面曲线C 的弧长参数方程为()((),())r s x s y s =， [,]s a b ∈. (8.1)它的单位切向量为()()()(),()cos(()),sin(())s xs y s s s αθθ==， (8.2) 其中()(,())s i s θα=是由i到()s α的有向角(允许相差2π的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间[,]a b 是闭区间时，函数()s θ可以成为定义在整个[,]a b 上的连续可微函数.将()s α 右旋/2π，得到与()s α正交的单位向量()s β ，()()()22()cos(()),sin(())sin(()),cos(())(),()s s s s s y s x s ππβθθθθ=++=-=- . (8.3)这样，得到沿曲线C 的(平面)Frenet 标架{}();(),()r s s s αβ.二、平面曲线的Frenet 公式由于()s α 是单位切向量场，有0αα⋅= ，故//αβ ，可设 ()()()rs s s ακβ= ， (7.4) 其中()()()()()()()(),()(),()()()r x s y s s s s x s y s y s x s x s y s καβ=⋅=⋅-= (7.5)称为曲线C 的相对曲率. 曲线C 的曲率为()|()|r s s κκ=. ()r s κ的符号的几何意义见图2-8.利用(7.4)得到平面曲线的Frenet 公式Cyxs =s l=O()s α ()s β(),()x f x i。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：几何最值问题
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（4） 两点两线的最值问题: （两个动点+两个定点）
问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。 核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最 短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。 变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。 1. 如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之 和最小。
A．
B．
C．
D．1
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 菁优网版权所有
分析： 根据题意得出作 EF∥AC 且 EF= ，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN=
，此时四边形 BMNE
解答： 的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案． 解：作 EF∥AC 且 EF= ，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN= ，延长 DF 交 BC 于 P，作
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。 变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、 正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。 1.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
∵LN=AS=
=40．
正方形的性质及判定(经典讲义)
正方形的性质及判定(经典讲义)正方形的性质及判定（经典讲义）
正方形是几何学中的一种特殊四边形，具有一些独特的性质和
判定方法。
本文档将介绍正方形的性质和判定方法。
正方形的性质
正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：
1. 边长相等：正方形的四条边长度相等。
2. 角度相等：正方形的四个内角均为直角（90度）。
3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等且相交于垂直的交点。
4. 对称性：正方形具有4个对称轴，通过中心点垂直的两条对
称轴将正方形分成4个完全相等的部分。
正方形的判定
判定一个四边形是否为正方形可以根据以下方法：
1. 边长判定：如果一个四边形的四条边长度相等，则它是一个正方形。
2. 角度判定：如果一个四边形的四个内角均为直角（90度），则它是一个正方形。
3. 对角线判定：如果一个四边形的对角线长度相等且相交于垂直的交点，则它是一个正方形。
这些方法可以单独或者组合使用来判定一个四边形是否为正方形。
结论
根据正方形的性质和判定方法，我们可以得出以下结论：
- 如果一个四边形满足正方形的性质，即边长相等、角度为直角、对角线相等，那么该四边形是一个正方形。
- 如果一个四边形不满足正方形的任何一个性质，那么该四边形不是一个正方形。
通过理解正方形的性质和判定方法，我们可以准确地识别和判断一个四边形是否为正方形。
平面几何的26个定理
高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级 姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
AB AE AC ADBC ED AC AD==⇒又4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。
若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。
5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。
证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，，OY ，OM ，SM ，MT 。
∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S ，X ，M同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF 过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB-=-。
几何画板200个经典课件(一)
几何画板200个经典课件(一)几何画板200个经典 - 课件教学内容•几何画板200个经典中的几何概念和图形•几何画板200个经典中的几何性质和定理教学准备•教材《几何画板200个经典》•讲义、笔记和练习册•黑板、白板或投影仪•几何工具箱，包括尺子、直尺、量角器等•计算器教学目标•理解几何画板200个经典中的几何概念和图形•掌握几何画板200个经典中的几何性质和定理的证明方法•能够运用所学的几何知识解决相关问题•培养学生的几何想象力和空间思维能力•本课程以《几何画板200个经典》为教材，通过理论与实践相结合的方式进行教学，以激发学生对几何的兴趣和学习的动力。
•通过展示几何画板200个经典中的图形和性质，引发学生对几何的思考和探索，帮助他们建立几何的概念框架。
•通过示范、讲解和实践练习等多种教学方法，让学生逐步掌握几何画板200个经典中的定理和证明方法，培养他们的逻辑思维和推理能力。
教学过程1.引入几何画板200个经典主题，并激发学生的兴趣。
2.展示几何画板200个经典中的一些图形和性质，让学生观察，并提出自己的观点和猜测。
3.教师讲解相关的几何概念和定理，并进行示范和证明。
4.学生进行个人或小组的实践练习，运用所学的几何知识解决问题。
5.教师进行讲解和指导，并鼓励学生分享答案和解题思路。
6.学生进行课堂作业，巩固所学的知识和技能。
7.教师进行课堂总结，并提出问题和展望下一步的学习内容。
8.学生进行课后复习和思考，准备下一节课的学习。
•本节课通过结合几何画板200个经典中的实例和理论进行教学，激发了学生的兴趣和思考能力。
•学生参与度较高，能够积极思考和运用几何知识解决问题。
•部分学生在证明几何性质和定理时存在一定困难，需要加强相关练习和示范。
•下次课应适当增加互动环节，提高学生的参与度和合作能力。
专题 几何综合问题经典精讲-讲义
几何综合问题经典精讲主讲教师：黄炜 北京四中数学教师重难点突破题面：在ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)在图1中证明CE=CF ；(2)若∠ABC =90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数；(3)若∠ABC =120°，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连结DB 、DG (如图3)，求∠BDG 的度数．熟练掌握几何基本图形、基本方法特殊到一般通过测量或特殊情况的提示↓猜想↓联想↓几何变换构造全等解决问题金题精讲 题面：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，32==AC AB ，D ，E 两点分别在AC ，BC 上，且DE ∥AB ，22=CD ，将△CDE 绕点C 顺时针旋转，得到△CD ′E ′(如图2，点D ′，E ′分别与点D ，E 对应)，点E ′在AB 上，D ′E ′与AC 交于点M ．(1)求∠ACE ′的度数；(2)求证：四边形ABCD ′是梯形；(3)求△AD ′M 的面积．几何综合问题经典精讲讲义参考答案重难点突破题一：(1)∵ AF 平分∠BAD ，∴ ∠BAF=∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠F ，∴∠CEF=∠F ， ∴CE=CF ；(2)45°；(3)60°．金题精讲题一：(1)30°；(2)∵∠D ′CE ′=∠ACB = 45°，∠ACE ′=30°，∴∠D ′CA =∠E ′CB =15°，又∵E C BC D C AC'='BCE ′∽△ACD ′， ∴∠D ′AC =∠B = 45°，∴∠ACB =∠D ′AC ，∴AD ′∥BC ，∵∠B = 45°，∠D ′CB =60°，∴∠ABC 与∠D ′CB 不互补， ∴AB 与D ′C 不平行，∴四边形ABCD ′是梯形；(3)5．。
2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)
专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。
其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。
方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
中考数学复习《几何最值---胡不归》例题复习讲义PPT课件
，记 k
V1 V2
，
即求 BC+kAC 的最小值． 构造射线 AD 使得 sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B 点作 BH⊥AD 交 MN 于点 C，交 AD 于 H 点，此时 BC+CH 取到最小值，即 BC+kAC 最小．
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型 问题转化为“PA+PC”型．
中考数学复习《几何最值---胡不归》例 题复习讲义PPT课件
胡不归模型问题解题步骤如下；
1、将所求线段和改写为“PA+ b PB”的形式（ b <1），若 b >1，提取系数，转化为小于 1
a
a
a
的形式解决。
2、在 PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得 sinα= b a
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
1.如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则
CD 5 BD 的最小值是(
)
5
【答案】B
【详解】 如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥A
∵tanA= BE =2，设 AE=a，BE=2a， AE
∴DH= 5 BD， 5
∴CD+ 5 BD=CD+DH， 5
∴CD+DH≥CM，
∴CD+ 5 BD≥4 5 ，
5
∴CD+ 5 BD 的最小值为 4 5 ．
5 故选 B．
• 本课结束
【模型展示】 如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1<V2，A、 B 为定点，点 C 在直线 MN 上，确定点 C 的位置使 AC BC 的值最小．