人教版九年级上册数学第21章一元二次方程培优提高题
一元二次方程 培优提高题
第一节 求根公式
【例题求解】
【例1】满足1)1(22nnn的整数n有 个．
【例2】设1x、2x是二次方程032xx的两个根，那么1942231xx的值等于（ ）
A． 一4 B．8 C．6 D．0
【例3】 解关于x的方程02)1(2aaxxa．
【例4】 设方程04122xx，求满足该方程的所有根之和．
【练习题】
1.已知a、b是实数，且0262ba，那么关于x的方程1)2(22axbxa的根
为 ．
2.已知0232xx，那么代数式11)1(23xxx的值是 ．
3. 若两个方程02baxx和02abxx只有一个公共根，则( )
A．ba B．0ba C．1ba D．1ba
4.若0152xx，则1539222xxx＝ ．
5.已知m、n是有理数，方程02nmxx有一个根是25，则nm的值为 ．
6.已知a、b都是负实数，且0111baba，那么ab的值是( )
A．215 B．251 C．251 D．251
7.已知0222xx，求代数式)1)(3()3)(3()1(2xxxxx的值．
8.已知3819x，求1582318262234xxxxxx的值．
9.已知m、n是一元二次方程0720012xx的两个根，求
)82002)(62000(22nmmm
的值．
10.已知方程0132xx的两根、也是方程024qpxx的根，求p、q的值．
第二节 根的判别式
【例题求解】
【例1】已知关于x的一元二次方程0112)21(2xkxk有两个不相等的实数根，那么
k
的取值范围是 ．
【例2】已知关于x的方程02)2(2kxkx，
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长a＝1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△
ABC的周长．
【例3】设方程42axx，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．
【例4】已知关于x的方程063)2(22mxmx
(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为1x、2x，满足1x=32x，求实数m的值．
【练习题】
1.已知014ba，若方程02baxkx有两个相等的实数根，则k= ．
2.若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
3.已知关于x方程0422kxkx有两个不相等的实数解，化简4422kkk= ．
4.若关于x的一元二次方程01)12()2(22xmxm有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是( )
A．43m B．43m C．43m且2m D．43m且2m
5.已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B＝90°，那么关于x的方程
0)1(2)1(22xbcxxa
的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
6.如果关于x的方程0)1(2)2(2mxmxm只有一个实数根，那么方程
0)4()2(2mxmmx
的根的情况是( )
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
7.在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知3a，b和c是
关于x的方程02122mmxx的两个实数根，求△ABC的周长．
8. 已知一元二次方程02cbxx，且b、c可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中
有实数根的方程共有( )
A．12个 B．10个 C． 7个 D．5个
9.如果关于x的方程05)2(22mxmmx没有实数根，那么关于x的方程
0)2(2)5(2mxmxm
的实根的个数( )
A．2 B．1 C．0 D．不能确定
10.已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程0)(222222bxbacxa，则方
程根的情况是( )
A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定
11.a、b为实数，关于x的方程22baxx有三个不等的实数根．
(1)求证：0842ba；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角
是60°；
(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．
12.关于x的方程01)1(2xkkx有有理根，求整数是的值．
第三节 韦达定理
【例题求解】
【例1】已知、是方程012xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为 ．
【例2】如果a、b都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baab的值为( )
A．22123 B．22125或2 C．22125 D．22123或2
【例3】 已知关于x的方程：04)2(22mxmx
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．
(2)若这个方程的两个实根1x、2x满足212xx，求m的值及相应的1x、2x．
【例4】 设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实数根，当m为何值时，
222
1
xx
有最小值?并求出这个最小值．
【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程
047)21(222mmxx
的两个根．
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由．
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB
【练习题】
1.(1)已知1x和2x为一元二次方程013222mxx的两个实根，并1x和2x满足不等式
142121
xx
xx
，则实数m取值范围是 ．
(2)已知关于x的一元二次方程07)1(82mxmx有两个负数根，那么实数m的取值
范围是 ．
2.已知、是方程的两个实数根，则代数式2223的值为 ．
3. CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程0462xx的两根，则△ABC的面积
是 ．
4.设1x、2x是关于x的方程02qpxx的两根，1x+1、2x+1是关于x的方程
02pqxx
的两根，则p、q的值分别等于( )
A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x
的方程0772cxx的两根，那么AB边上的中线长是( )
A．23 B．25 C．5 D．2
6.方程019972pxx恰有两个正整数根1x、2x，则)1)(1(21xxp的值是( )
A．1 B．-l C．21 D．21
7.已知、是方程012xx的两个根，则34的值为 ．
8.△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程01222mxx的两根，则m的取值范围
是 ．
9.已知关于x的方程01)32(22kxkx．
(1) 当k是为何值时，此方程有实数根；
(2) 若此方程的两个实数根1x、2x满足：312xx，求k的值．
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的方
程的两个根．
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面
积的31，请说明理由．
11.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：
BC2＝2：1；又关于x的方程012)1(24122mxnx两实数根的差的平方小于192，求
整数m、n的值．
(人教版)北京九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典题(提高培优)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4 2．下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-= 3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20 4．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣74）2＝8116 D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23）2＝109 5．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-46．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．37．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2 8．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关 9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．15%B ．40%C ．25%D ．20% 10．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人 11．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x = B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x == 12．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝713．方程23x x =的解为（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．10x =，23x = D ．10x =，23x =-14．一元二次方程x 2=4x 的解是（ ） A ．x=4 B ．x=0 C ．x=0或-4D ．x=0或4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案15．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根二、填空题16．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）2 17．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______．18．一元二次方程22(1)210a x x a +++-=，有一个根为零，则a 的值为________． 19．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 20．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．21．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．22．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．23．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．24．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程260x x a -+=的两个实数根，且221212x x -=，则a =________．25．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________． 26．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______ 三、解答题27．如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD ．若花圃ABCD 面积为272m ，求AB 的长．28．已知关于x 的方程()220x mx m -+=-． （1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根．29．已知关于x 的方程()2222x kx x k +=--，当k 取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．30．某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2420万元（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2022年需投入教育经费2900万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2022年该地区投入的教育经费是否能达到2900万元?请说明理由．。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》提高卷(提高培优)(1)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM 2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++= 3．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-4．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-= 5．若关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m <B ．3mC ．3m <且2m ≠D ．3m 且2m ≠ 6．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．以上说法都不正确7．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．A ．6B ．3532-C ．532-D ．535- 8．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝7 9．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．212x x x -=B ．2(2)x x x -=C ．23(2)x x =+D ．20ax bx c ++= 10．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人．A ．40B ．10C ．9D ．8 11．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（ ） A ．(x ﹣2)2＝1B ．(x ﹣2)2＝5C ．(x ﹣4)2＝1D ．(x ﹣4)2＝5 12．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．4B ．1C ．﹣1D ．﹣4 13．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 14．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A 31B ．31C 31或31D ．无法确定 15．一元二次方程x （x ﹣2）＝x ﹣2的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝0B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝1，x 2＝2 二、填空题16．若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =，则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________．17．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）2 18．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．19．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则21a +3β的值为________．20．某农场的粮食产量在两年内从增加3000t 到3630,t 则平均每年增产的百分率是______________．21．若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)22．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A C 、重合，折痕为FG ，若4,8AB BC ==，则线段BF 的长为_________．23．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________． 24．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．25．函数()2835m y m x -=+-是一次函数，则m =______．26．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场三、解答题27．在国家的调控下．某市商品房成交价由今年8月份的50000元2/m 下降到10月份的40500元2/m ．（1）同8～9两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/2m ？请说明理由．28．（1()21332273-． （2）解一元二次方程：x 2﹣4x ﹣5＝0．29．解方程：212270x x -+=30．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．。
人教版初中数学培优系列九年级上册之第21章一元二次方程题目和详解(40题)
人教版初中数学培优系列九年级上册之第21章一元二次方程题目和详解（40题）重要说明：1、本资料系本人多年教学经验的总结，力求每一道题目代表一种题型或一种思维，力求穷尽本章所有相关知识的培优，内容主要立足于课程标准，少部分奥赛内容，掌握此培优系列内容则中考无忧，同时具备参加重点高中学校的自主招生考试的能力。
2、本资料仅供优生（百分制下得分80分以上学生）使用，其余学生不得使用，每道题目后面附有详细解答及点评，学生至少做两遍资料方能理解其中真谛和得到能力提升。
3、本资料主要根据人教版教材编写，其它版本的教材都是在国家同一个课程标准下编写的，只是编排顺序不同，因此该内容也适用于其它版本的教材的对应章节。
一．选择题（共5小题）1．已知关于x的方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，则二次三项式x2﹣px+q 可分解为（）A．（x+3）（x﹣4）B．（x﹣3）（x+4）C．（x+3）（x+4）D．（x﹣3）（x﹣4）2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C D．3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣54．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A．7 B．11 C．12 D．165．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4二．填空题（共13小题）6．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，那么a2+b2=．7．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}=1，若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=．8．设α、β是方程x2+2013x﹣2=0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）=．9．已知a是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则a3﹣2017a2﹣=．10．设m是方程x2﹣3x+1=0的一个实数根，则=．11．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．12．已知x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，且x12+x22+（x1+x2）2=3，，则m=n=．13．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则=．14．已知α、β是方程x2+x﹣1=0的两个实根，则α4﹣3β=．15．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，当k=时，△ABC是等腰三角形；当k=时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．16．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值范围是．17．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．18．若实数a、b、c满足，b+c﹣1=0，a﹣bc﹣1=0，则a的取值范围是．三．解答题（共22小题）19．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，求x+y+z的值．20．求证：对于任意实数x，代数式﹣12x2﹣3x﹣5的值恒为负值．21．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y 则原方程可化为y2﹣5y+4=0 解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．请利用这种方法解方程（3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0．22．阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）=63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2=a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）=63，整理得a2﹣1=63，a2=64，根据平方根意义可得a=±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2=8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）=27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1=．②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是．23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3=0的两实根，且（x1+1）（x2+1）=8，求k的值．24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．25．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．26．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．27．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．28．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=，x3=；（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．29．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=，=，=；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．30．阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0解：（1）当x﹣1≥0即x≥1时．|x﹣1|=x﹣1，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1=0，即x2﹣x=0，解得x1=0，x2=1．∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解（2）当x﹣1＜0即x＜1时．|x﹣1|=﹣（x﹣1），原方程化为x2+（x﹣1）﹣1=0，即x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2．∵x＜1，故x=1舍去，x=﹣2是原方程的解．综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣2．解方程：x2+2|x+2|﹣4=0．31．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？32．阅读下面材料：在计算1+4+7+10+13+16+19+22+25+28时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值，具有这种规律的一列数，求和时，除了直接相加外，我们还可以用公式来计算（公式中的S 表示它们的和，n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值）．那么S=1+4+7+10+13+16+19+22+25+28==145．用上面的知识解决下列问题：我市某乡镇具有“中国北方乔木之乡”的美称，到2000年底这个镇已有苗木2万亩，为增加农民收入，这个镇实施“苗木兴镇”战略，逐年有计划地扩种苗木．从2001年起，以后每年又比上一年多种植相同面积的苗木；从2001年起每年卖出成苗木，以后每年又比上一年多卖出相同面积的苗木．下表为2001年、2002年、2003年三年种植苗木与卖出成苗木的面积统计数据．假设所有苗木的成活率都是100%，问到哪一年年底，这个镇的苗木面积达到5万亩？33．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？34．如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？35．如图1，某小区的平面图是一个占地400×300平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形．如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，南北空地等宽，东西空地等宽．（1）求该小区四周的空地的宽度；（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为18000平方米，请算出小区道路的宽度．36．泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？37．某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润=销售额﹣费用）38．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．39．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？40．某水果商在今年1月份用2.2万元购进A种水果和B种水果共400箱．其中A、B两种水果的数量比为5：3．已知A种水果的售价是B种水果售价的2倍少10元，预计当月即可全部售完．（1）该水果商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱A水果至少卖多少元？（2）若A、B两种水果在（1）的条件下均以最低价格销售，但在实际销售中，受市场影响，A水果的销量还是下降了a%，售价下降了a%；B水果的销量下降了a%，但售价不变．结果A、B两种水果的销售总额相等．求a的值．人教版初中数学培优系列九年级上册之第21章一元二次方程题目和详解（40题）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【分析】由方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，将多项式x2+px+q=0分解因式，求出p与q的值，确定出所求多项式，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：∵方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，∴二次三项式x2+px+q=（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12，∴p=1，q=﹣12，则x2﹣x﹣12=（x+3）（x﹣4）．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．弄清题意是解本题的关键．2．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＜0，b＜0，即kb＞0，故B不正确；C．k＞0，b＜0，即kb＜0，故C正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成（a+b）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，∴p=﹣3．当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意．+===﹣2=﹣2=﹣5．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．4．【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7是解题的关键．5．【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=34.6，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，故选：D．【点评】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x）2=b．二．填空题（共13小题）6．【分析】设a2+b2=t（t≥0），则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程得到t即a2+b2的值．【解答】解：设a2+b2=t（t≥0），则t（t﹣2）=8，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），则a2+b2=4．故答案是：4．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．7．【分析】首先理解题意，进而可得min{（x﹣1）2，x2}=1时分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}=1，当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2=1，x﹣1=±1，x﹣1=1，x﹣1=﹣1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．8．【分析】根据α、β是方程x2+2013x﹣2=0的两实数根，把x=α与x=β代入得到关系式，利用根与系数得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵α、β是方程x2+2013x﹣2=0的两实数根，∴α2+2013α﹣2=0，β2+2013β﹣2=0，α+β=﹣2013，αβ=﹣2，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）=（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）=（3α+1）（3β+1）=9αβ+3（α+β）+1=﹣18﹣6039+1=﹣6056．故答案为：﹣6056．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．9．【分析】由方程的根的定义得a2﹣2017a=﹣1、a2+1=2017a，代入原式=a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．【解答】解：∵a是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴a2﹣2017a+1=0，即a2﹣2017a=﹣1，a2+1=2017a，则原式=a（a2﹣2017a）﹣=﹣a﹣=﹣=﹣=﹣2017，故答案为：﹣2017．【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．10．【分析】利用一元二次方程的解的意义得到m2﹣3m+1=0，两边除以m得到m+=3，再把原式变形得到原式=m2+1+=（m+）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+1=0的一个实数根，∴m2﹣3m+1=0，两边同除以m得：m+=3，∴原式=m2+1+=（m+）2﹣2+1=9﹣2+1=8．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．【分析】利用韦达定理，把a消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，再求解这个对称的不定方程即可．【解答】解：设两个根为x1≥x2，由韦达定理得，从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2=6，∴（x1+1）（x2+1）=7，∴或，∴或，∴a=x1x2=0或16．故答案为：0或16．【点评】主要考查了求解为整数的二次方程的系数问题；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键．12．【分析】由x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，且得到根的判别式大于等于0，得到m大于4n，将已知的两等式变形后代入得到关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m 与n的值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=n，b2﹣4ac=m﹣4n≥0，即m≥4n，化简得：x12+x22+（x1+x2）2=2（x1+x2）2﹣2x1x2=2m﹣2n=3①，+===5②，由①得：2m=2n+3③，③代入②整理得：（5n﹣3）（n+1）=0，解得：n=或﹣1，当n=时，m=（不合题意，舍去）；当n=﹣1时，m=，则m=，n=﹣1．故答案为：；﹣1【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设两根分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．13．【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据完全平方公式得到α4+β4=47，于是得到结论．【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=7，α4+β4=（α2+β2）2﹣2α2•β2=47，∴==47，故答案为：47．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对进行变形．14．【分析】由方程的根的定义，可知α2+α﹣1=0，移项，得α2=1﹣α，两边平方，整理得α4=2﹣3α①；由一元二次方程根与系数的关系，可知α+β=﹣1②；将①②两式分别代入α4﹣3β，即可求出其值．【解答】解：∵α是方程x2+x﹣1=0的根，∴α2+α﹣1=0，∴α2=1﹣α，∴α4=1﹣2α+α2=1﹣2α+（1﹣α）=2﹣3α．又∵α、β是方程x2+x﹣1=0的两个实根，∴α+β=﹣1．∴α4﹣3β=2﹣3α﹣3β=2﹣3（α+β）=2﹣3×（﹣1）=5．故答案为5．【点评】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解．15．【分析】（1）此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC时，则△=0，列出关于k的方程，解出k的值即可；（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2=25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．【解答】解：（1）因为△=b2﹣4ac=[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）=1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．若AB=BC=5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的实数根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．∵无论k取何值，△＞0，∴AB≠AC，故k只能取3或4；（2）根据根与系数的关系：AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，则AB2+AC2=（AB+AC）2﹣2AB•AC=25，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）=25，解得k=2或k=﹣5．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积3k+2＞0，解得k＞﹣∴k=2．故答案为：3或4；2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件16．【分析】根据根与系数的关系得α+β=2，αβ=﹣m+1，由|α|+|β|=6，推得αβ＜0，由α+β=2得α2+β2=4﹣2αβ，由|α|+|β|=6得α2+β2=36﹣2|αβ|，于是4﹣2αβ=36﹣|αβ|=36+2αβ，从而得到αβ=﹣8，即﹣m+1=﹣8，解方程即可求得结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，∴α+β=2，αβ=﹣m+1，∵|α|+|β|=6，∴α，β为异号，即αβ＜0，由α+β=2得α2+β2=4﹣2αβ，由|α|+|β|=6得α2+β2=36﹣2|αβ|，∴4﹣2αβ=36﹣2|αβ|=36+2αβ，∴αβ=﹣8，∴﹣m+1=﹣8，∴m=9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，能根据根与系数的关系与与已知条件求得αβ＜0是解题的关键．17．【分析】由根与系数的关系得a n+b n=n+3，a n•b n=﹣3n2，所以（a n﹣3）（b n﹣3）=a n b n﹣3（a n+b n）+9=﹣3n2﹣3（n+3）+9=﹣3n（n+1），则==﹣（﹣），然后代入即可求解．【解答】解：由根与系数的关系得a n+b n=n+3，a n•b n=﹣3n2，所以（a n﹣3）（b n﹣3）=a n b n﹣3（a n+b n）+9=﹣3n2﹣3（n+3）+9=﹣3n（n+1），则==﹣（﹣），∴原式=﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=﹣×（1﹣）=﹣×=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．18．【分析】有已知条件得到b+c=1，bc=a﹣1，则利用根与系数的关系可把b、c为方程x2﹣x+（a﹣1）=0的两实数解，根据根的判别式的意义得到△=1﹣4（a﹣1）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵b+c=1，bc=a﹣1，∴把b、c为方程x2﹣x+（a﹣1）=0的两实数解，∴△=1﹣4（a﹣1）≥0，∴a≤．故答案为a≤．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．三．解答题（共22小题）19．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质分别求出x、y、z，代入计算即可．【解答】解：x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0，（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=0，则x﹣1=0，y+2=0，z﹣3=0，解得，x=1，y=﹣2，z=3，则x+y+z=2．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．20．【分析】原式前两项提取﹣3变形，配方后利用非负数的性质判断即可得证．【解答】证明：∵﹣12x2﹣3x﹣5=﹣12（x2+x）﹣5=﹣12（x+）2﹣≤﹣＜0．∴代数式﹣12x2﹣3x﹣5的值恒为负值【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．【分析】先设3x+5=t，则方程即可变形为t2﹣4t+3=0，解方程即可求得t即3x+5的值【解答】解：设t=3x+5，则原方程可化为：t2﹣4t+3=0，即（t﹣1）（t﹣3）=0∴t=1或t=3．当t=1时，3x+5=1，解得x=﹣；当t=3时，3x+5=3，解得x=﹣．综上所述，原方程的解是：x1=﹣，x2=﹣．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．22．【分析】（1）设2x+2y=a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）=27，解之求得a的值，继而可得x+y的值；（2）①令a=x2+4x+3，原式变形为a（a+2）+1=（a+1）2，将a代入进一步根据完全平方公式分解可得；②将原方程组变为，由题意得出，即可得出答案．【解答】解：（1）设2x+2y=a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）=27，整理，得：a2﹣9=27，即a2=36，解得：a=±6，则2x+2y=±6，∴x+y=±3；（2）①令a=x2+4x+3，则原式=a（a+2）+1=a2+2a+1=（a+1）2=（x2+4x+4）2=（x+2）4；②由方程组得，整理，得：，∵方程组的解是，∴x﹣1=±3，且y=5，解得：或，故答案为：（x+2）4，或．【点评】本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解，根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键．23．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2（k+1），x1x2=k2﹣3，代入（x1+1）（x2+1）=8，即x1x2+（x1+x2）+1=8代入即可得到关于k的方程，可求出k的值，再根据△与0的关系舍去不合理的k值．【解答】解：依题意可知，x1+x2=2（k+1）=2k+2，，由（x1+1）（x2+1）=8得x1x2+x1+x2+1=8，于是k2﹣3+2k+2+1=8，即k2+2k﹣8=0，解得k1=2，k2=﹣4﹒而△=[﹣2（k+1）]2﹣4（k2﹣3）≥0，所以k≥﹣2．所以k=2．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题时不要只根据（x1+1）（x2+1）=8，求出k的值，而忽略△与零的关系．24．【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让﹣=0即可求得k的值．（3）分b=c，b=a两种情况做．【解答】证明：（1）∵△=（2k+1）2﹣16（k﹣）=（2k﹣3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=﹣0.5；（3）①当b=c时，则△=0，即（2k﹣3）2=0，∴k=，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，∴k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C=10，△ABC综上所述，△ABC的周长为10．【点评】一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．25．【分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得x1+x2=﹣，x1x2=，代入到+x1+x2=2中，可求得k的值．【解答】解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，解得：k=1（舍）或k=2，∴S的值能为2，此时k=2．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．26．【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和与两根之积用m表示的形式，也可以根据两根之积得到x1x2≤0，从而可以去掉已知等式的绝对值符号，然后结合根与系数的关系即可求出m的值．【解答】解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．27．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》提高卷(提高培优)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM 2．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12 3．277423x -±+⨯⨯= ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+= 4．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-= 5．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根 6．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()2001500x +=B ．()2002001500x ++=C ．()22001500+=xD ．()20012500+=x7．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．A ．6B ．3532C ．532D ．535 8．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12- 9．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．1或0 10．方程23x x =的解为（ ） A ．3x = B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =- 11．关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m≤14 B ．m≥14-且m≠2 C ．m≤14-且m≠﹣2 D ．m≥14- 12．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 13．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1 14．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ） A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 15．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020 二、填空题16．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______． 17．一元二次方程（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4化为一般形式可得_________．18．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k =______．19．若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．22．关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围______________． 23．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．24．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人． 25．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____． 26．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x ，可列方程．为____________．三、解答题27．解方程．（1）2560x x -+=．（2）23(21)(21)x x -=-．（3）23139x x x -=--． 28．解方程：（1）x 2+10x +9＝0； （2）x 2＝14． 29．（1）()2120x --=；（2）21212t t += （3）()22x x x -=-（4）23520.x x --=30．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0．（1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根，求m 的值．。
人教版 九年级上册数学 第21章 一元二次方程 之韦达定理培优练习(含答案)
人教版 九年级上册数学 第21章 一元二次方程之韦达定理培优练习（含答案）1. 已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是2，那么m n+= ．2. 已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ．3. 当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4. 对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则：223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5. 设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．6. 已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 7. 已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．8. 已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x a x a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．9. 如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4 CD10. 已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．2511. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 12. 设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．1113. 设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 14. 设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩15. 设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数16. 如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ） A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或17. 已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．18. 已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．19. 如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．20. 已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．21. 已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．DBAC22. 若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．23. 设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．24. 设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．25. 已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．参考答案1．3 2．23．-2 m ＞2 0＜m ≤1834．100134016-5．0 6．857．58．638-． 9．D 10．C 11．B 12．B 13．C 14．C 15．A 16．A17．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0．18．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =419．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 20．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ ∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩21．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）．22.4447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 23．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．24．（1）m ． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 25．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
人教版九年级数学上：第21章一元二次方程综合培优试题(含答案)
人教版九年级数学上：第21章一元二次方程综合培优试题（含答案）一．选择题1．若一元二次方程x 2﹣5x+4=0的两个实数根分别是a 、b ，则一次函数y=abx+a+b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.用配方法解一元二次方程x 2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）A ．（x+2）2=1B ．（x ﹣2）2=1C ．（x+2）2=9D ．（x ﹣2）2=93.用配方法解一元二次方程4x 2-4x=1,变形正确的是( ) (A)（x-）2=0(B)（x-）2=(C)(x-1)2=(D)(2x-1)2=04．一个等腰三角形的三边长分别为m ，n ，3，且m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣8x+t ﹣1=0的两根，则t 的值为（ ） A ．16 B ．18 C ．16或17 D ．18或195.长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A ． ()254112100=+xB ． ()2100125412=-xC. ()2541121002=+xD ． ()2100125412=-x6.关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)47．下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3（x ﹣9）2﹣（x+1）2=1③x 2++5=0；④x 2﹣2+5x 3﹣6=0；⑤3x 2=3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10=0是一元二次方程的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48.关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则a 满足（ ）A ． a ≥1B ． a ＞1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠5 二．填空题9.方程x(x+4)=8x+12的一般形式是 ,一次项为 .10．某年一月我国南方发生禽流感的养鸡场100家，后来经过二、三月份的传染共有264家被感染，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出方程是 ．11.关于x 的一元二次方程012=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 12.请给出c 的一个值,当c= 时,方程x 2-3x+c=0无实数根.13．（x ﹣4）2=18，则x= ． 三．解答题14.用适当方法解方程.（1）1222+=-x x x（2）()()()83211=++-+x x x（3）522=-x x（4）()()3332-=-x x x15．“万州古红桔”原名“万县红桔”，古称丹桔（以下简称为红桔），种植距今至少已有一千多年的历史，“玫瑰香橙”（源自意大利西西里岛塔罗科血橙，以下简称香橙）现已是万州柑橘发展的主推品种之一．某水果店老板在2017年11月份用15200元购进了400千克红桔和600千克香橙，已知香橙的每千克进价比红桔的每千克进价2倍还多4元． （1）求11月份这两种水果的进价分别为每千克多少元？（2）时下正值柑橘销售旺季，水果店老板决定在12月份继续购进这两种水果，但进入12月份，由于柑橘的大量上市，红桔和香橙的进价都有大幅下滑，红桔每千克的进价在11月份的基础上下降了m%，香橙每千克的进价在11月份的基础上下降了m%，由于红桔和“玫瑰香橙”都深受库区人民欢迎，实际水果店老板在12月份购进的红桔数量比11月份增加了m%，香橙购进的数量比11月份增加了2m%，结果12月份所购进的这两种柑橘的总价与11月份所购进的这两种柑橘的总价相同，求m 的值．16.已知关于x 的方程()()01222=-++-m x m x .求证：（1）方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.17. 已知关于x 的方程x 2-5x-m 2-2m-7=0. (1)若此方程的一个根为-1,求m 的值;(2)求证:无论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.答案一．选择题 1． D ． 2. D 3. B. 4． C ． 5. C6. D. 7． A ． 8. A二．填空题9. x 2-4x-12=0 -4x10． 100（1+x ）+100（1+x ）2=264． 11. k ＜41且0≠k ； 12. 3(答案不唯一) 13． 10或﹣2． 三．解答题14.（1）52,5221-=+=x x（2）1,321=-=x x （3）61,6121-=+=x x（4）32,321==x x 15． 解：（1）设11月份红桔的进价为每千克x 元，香橙的进价为每千克y 元，依题意有，解得．答：11月份红桔的进价为每千克8元，香橙的进价为每千克20元； （2）依题意有8（1﹣m%）×400（1+m%）+20（1﹣m%）×600（1+2m%）=15200， 解得m 1=0（舍去），m 2=49.6． 故m 的值为49.6．16. （1）证明：∵△=（m+2） 2 -4（2m-1）=（m-2） 2+4，∴在实数范围内，m 无论取何值，（m-2） 2+4＞0，即△＞0，∴关于x 的方程x 2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得 1 2-1×（m+2）+（2m-1）=0， 解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为 ；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．17.(1)解:把x=-1代入x 2-5x-m 2-2m-7=0,得1+5-m2-2m-7=0,解得m1=m2=-1,所以m的值为-1.(2)证明:Δ=b2-4ac=(-5)2-4(-m2-2m-7)=4(m+1)2+49. 因为4(m+1)2≥0,所以4(m+1)2+49>0,即Δ>0,所以无论m取何实数,方程都有两个不相等的实数根.人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试卷（含答案）一、选择题 （每题3分，共30分）1.若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m =2C ．m= -2D ．2m ≠±2．一元二次方程()224260m x mx m --+-=有两个相等的实数根，则m 等于（ ）A. -6B. 1C. 2D. -6或1 3．对于任意实数x ,多项式x 2-5x+8的值是一个（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定 4．已知代数式3x -与23x x -+的值互为相反数，则x 的值是（ ）A ．-1或3B ．1或-3C ．1或3D ．-1和-3 5．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–14B ．a ≥–14C ．a ≥–14且a ≠0 D ．a ＞–14且a ≠0 6．方程x 2+ax +1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7.已知m 方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.28.从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ） A.9cm 2B.68cm 2C.8cm 2D.64cm 29.县化肥厂第一季度增产a 吨化肥,以后每季度比上一季度增产x %,则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A 、 2(1)a x +B 、2(1)a x +%C 、2(1%)x +D 、2(%)a a x +10. 一个多边形有9条对角线,则这个多边形有多少条边（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9二、填空题 （每题3分，共30分）11.若方程mx 2+3x -4=3x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .12．一元二次方程（x +1）(3x －2)=10的一般形式是 . 13.方程23x x =的解是＿＿＿＿14．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是＿＿＿＿＿＿ 15．已知4)2)(1(2222=-+-+y x y x ，则22x y +的值等于 .16．已知2320x x --=，那么代数式32(1)11x x x --+-的值为 .17.若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为 . 18．k ＝ 时，二次三项式x ２－2（k ＋1）x ＋k ＋7是一个x 的完全平方式．19．当k ＜1时，方程2（k +1）x 2＋4kx +2k -1=0的根的情况为： ．20．已知方程x 2－b x + 22 = 0的一根为b ＝ ，另一根为＝ ．三、解答题21．解方程（每小题5分，共20分）① 2430x x --= ② 2(3)2(3)0x x x -+-=(3) 2(1)4x -= (4) 3x 2+5(2x+1)=022.（本题10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米.求鸡场的长和宽.23．（本题10分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（本题10分）一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．25．（本题10分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，比2002年底增加了 公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿地面积最多的是 年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求这两年（2003~2005）绿地面积的年平均增长率．答案：一、选择题1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B ；10．A ；11．m ≠3 12．23120x x +-= 13．3,021==x x 14．3和5或—3和—5 15．416．2 17.10 18．-3或2； 19．有两个不相等的实数根；20．10，21．①1222x x ==-；②121,3x x ==； (3)．解：开平方，得12x -=±， 即1212x x -=-=-或， 所以123,1x x ==-.(4)．解：移项，得 23(5)2(5)0x x -+-=，(5)[3(5)2]0,x x --+=即(5)(313)0,x x --= 503130,x x -=-=或12135,3x x ==. 22．解：设鸡场的一边长为x 米，则另一边长为（35—2x ），列方程，得 (352)150,x x -=解得1210,7.5x x ==，当x =10时，35—2x =15<18，符合题意； 当x =7.5时，35—2x =20>18，不符合题意，舍去. 答：鸡场的长为15米，宽为10米.23．解：设每件童装应降价x 元，则(40)20812004x x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭，解得1220,10x x ==.因为要尽快减少库存，所以x =20. 答：每件童装应降价20元. 24．台布的长为8cm ，宽为6cm ；25．60，4，2003，2005～2006年的年平均增长率为10%．人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(9)一、选择题1.一元二次方程x2+2x+1=0的解是 ()A.x1=1,x2=-1B. x1=x2=1C.x1=x2=-1D. x1=-1,x2=22.一元二次方程2x2+3x-5=0的根的情况为 ()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是 ()A.m≥1B.m≤1C.m>1D.m<14.国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得 ()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=15.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是 ()A. B.2 C. D.46.若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为 ()A.-5B.5C.-4D.47.关于x的一元二次方程x2-2 x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 ()A.m<3B.m>3C.m≤3D.m≥38.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根9.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是 ()A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根10.下列一元二次方程中,没有实数根的是()A.x2-x+2=0B.x2-3x+1=0C.2x2-x-1=0D.4x2-4x+1=011.若方程x2-ax+4=0有两个相等的实数根,则a的值为 ()A.2B.±2C.±4D.412.一元二次方程x(x-2)=0根的情况是 ()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根13.已知x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<014.三角形两边长分别为4和6,第三边的长是方程x2-13x+36=0的根,则三角形的周长为 ()A.14B.18C.19D.14或19二、填空题1. 已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为 .2.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多步.3.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为 .4.设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2= .5.当x=时,代数式x2+2x与-6x-1的值互为相反数.6.菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+1=0的两根,则菱形的面积是 .三、解答题1. 解方程(1) x2-3x-2=0.(2) (x-1)2=4.(3) (x+1)2=3(x+1).2.关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.3.近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次.4.一所学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过60棵,每棵售价为120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8 800元,请问该校共购买了多少棵树苗?5.在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.(1)原计划今年1至5月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是多少千米?(2)到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2018年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2,且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经测算:从今年6月起至年底,如果政府投入经费在2018年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2018年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.参考答案一、选择题1、C2、B3、D4、B5、B6、A7、A8、A9、B 10、A11、C 12、A 13. A 14.D二、填空题1. 22. 123. (12-x)(8-x)=77(或x2-20x+19=0)4. 05. 26.三、解答题1. (1)∵a=1,b=-3,c=-2,∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=9+8=17,∴x==,∴x1=,x2=.(2) (x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1. 所以原方程的解为x1=3,x2=-1.(3) (x+1)2=3(x+1),(x+1)2-3(x+1)=0,(x+1)(x-2)=0,∴x+1=0或x-2=0,解得x1=-1,x2=2.2.解析(1)由关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得Δ=9-4k≥0,解得k≤.(2)由(1)得k的最大整数值为2,所以方程x2-3x+k=0,即为x2-3x+2=0,此方程的根为x1=1,x2=2.由方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根, 得(m-1)×12+1+m-3=0或(m-1)×22+2+m-3=0,即m=或m=1.当m=1时,m-1=0,不合题意,故m=.3.解析(1)设第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率均为x,根据题意得2(1+x)2=2.42,解此方程得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率均为10%.(2)2.42×(1+10%)=2.662.答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.4.解析∵60棵树苗的售价为120×60=7 200元<8 800元,∴该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗,由题意得x[120-0.5(x-60)]=8 800,解得x1=220,x2=80.当x=220时,120-0.5×(220-60)=40<100,∴x=220不合题意,舍去.当x=80时,120-0.5×(80-60)=110>100,∴x=80.答:该校共购买了80棵树苗.5.(1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米,根据题意,得x≥4(50-x),解得x≥40.答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米.(2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为2∶1,所以,道路硬化的里程数为30千米,道路拓宽的里程数为15千米.设2018年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元.由题意,得30y+15×2y=780,解得y=13.所以,2018年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元.根据题意,得13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%).令a%=t,原方程可化为:520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t). 整理得10t2-t=0,解得t1=0,t2=0.1.∴a%=0(舍去)或a%=0.1,∴a=10.答:a的值是10.。
人教版九年级上册21章：一元二次方程单元培优测试(有解析)
人教版九年级上册21章：一元二次方程单元培优测试一、单选题（40分）1．已知x=-1是方程2x +mx+1=0的一个实数根，则m 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-2 2．在下列方程中．不属于一元二次方程的是（ ）A ．15x 2﹣22＝xB ．7x 2＝0C ．0.3x 2+0.2x ＝4D ．x （1﹣2x 2）＝2x 23．用配方法解方程2250x x --=，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)9x -=B ．2(2)5x -=C ．2(1)4x -=-D ．2(1)6x -= 4．一元二次方程(x +3)(x +6)=x +1的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．下列实数中，方程20x x -=的根是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．26．关于x 的一元二次方程2x 3x p 0+-=的两个不相等的实数根α、β满足αβ5βα+=-，则p 的值是（ ） A ．-3 B ．3 C ．94- D ．97- 7．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32﹣2x ）（20﹣x ）=570B ．32x+2×20x=32×20﹣570C ．（32﹣x ）（20﹣x ）=32×20﹣570D ．32x+2×20x﹣2x 2=5708．如图，在Rt ABC △中，AC 50m =，CB 40m =，90C ∠=︒，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2m /s 的速度移动，同时另一个点Q 从点C 开始沿CB 以3m /s 的速度移动，当PCQ △的面积等于2450m 时，经过的时间是（ ）A ．10s 或15sB ．10sC ．15sD ．20s9．若a≠b，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14 B ．1 C ．.4D ．3 10．若关于x 的方程kx 2-（k +1）x +1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（24分）11．将方程x (x ﹣2)=x +3化成一般形式后，二次项系数为____．12．受非洲猪瘟及供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克，若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是_____．13．已知方程ax 2+bx +c ＝0的一个根是﹣1，则a ﹣b +c ＝_____．14．已知关于x 的一元二次方程（a-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______________．15．设12,x x 是方程220150x x --=的两实数根，则31220162015x x +-=_________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，AC 和BD 交于点O ，点E 是边BC 上的动点（不与点B ，C 重合），连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为_____．三、解答题（86分）（8分）17．用适当的方法解方程：（1）x2﹣4x﹣7＝0；（2）3x（2x+1）＝4x+2．（8分）18．选用适当的方法，解下列方程：(1)2++= (2)(2x+3) 2=4 (2x+3) ．x x2520（8分）19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20米的篱笆，怎样围成一个面积为50平方米的矩形场地？-++=，（8分）20．已知：关于x的方程2x(k2)x2k0（4分）（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（4分）（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．（8分）21．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（4分）(1) 设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利_________元(用含x的代数式表示)；（4分）(2) 每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？（10分）22．阅读理解：已知22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵ 22m 2mn 2n 8n 160-+-+=∴()()22228160m mn nn n -++-+= ∴22()(4)0m n n +--=∴22(m n)0,(n 4)0-=-=∴4,4n m ==．方法应用：（1）已知22104290a b a b +-++=，求a 、b 的值；（3分）（2）已知 44x y +=．①用含 y 的式子表示 x ： ；（3分）②若2610xy z z --=，求 x z y +的值．（4分）（10分）23．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2017年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2019年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（4分）（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2019年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2018年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2018年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．（6分）（12分）24．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的关系式；（3分）（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？（3分）（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ；②DQ=PQ．（6分）（14分）25．关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．（1）求k的取值范围；（4分）（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；（4分）（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．（6分）参考答案1．C【解析】试题分析：将x=-1代入方程可得：1-m+1=0，解得：m=2.考点：一元二次方程的解2．D【解析】【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【详解】解：A 、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、由已知方程得到：﹣2x 3﹣2x 2+x ＝0，属于一元三次方程，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，即未知数的最高次数是2，二次项系数不为0；明确此知识点是解题的关键．3．D【解析】【分析】把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方．【详解】解：2250x x --=，移项，得x 2−2x ＝5，配方，得x 2−2x ＋1＝5＋1，（x −1）2＝6．故选：D ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方（当二次项系数为1时）．4．D【解析】【分析】先把()()361x x x ++=+化为一般形式，再计算的值，根据的值判断即可．【详解】解：()()361x x x ++=+，29181,x x x ∴++=+28170,x x ∴++=1,8,17a b c===2248411764684b ac∴=-=-⨯⨯=-=-＜0，∴原方程没有实数解．故选D．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的知识是解题的关键．5．C【解析】【分析】利用因式分解法求解可得答案．【详解】解：∵x2-x=0，∴x（x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得x1=0，x2=1，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．B【解析】【分析】先根据判别式的意义可判断p＞-94，再根据根与系数的关系得到α+β=-3，αβ=-p，接着由αβ5βα+=-变形得到（α+β）2=-3αβ，则32=3p，解得p=3．【详解】解：根据题意得△=32+4p＞0，解得p＞-94，∵α、β是一元二次方程2x3x p0+-=的两个不相等的实数根，∴α+β=-3，αβ=-p，∵αβ5βα+=-，∴α2+β2=-5αβ，∴（α+β）2=-3αβ，∴32=3p，解得p=3，故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．7．A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 2，即可列出方程:(32−2x )(20−x )=570， 故选A.8．B【解析】【分析】本题已知了 P 、 Q 的速度，设x 秒后，PCQ △的面积等于2450m ，根据路程 =速度⨯时间，可用时间 x 表示出 CP 和CQ 的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．【详解】解：设x 秒后，PCQ △的面积等于2450m ， 依题意得：()150234502x x -=， ∴2251500x x -+=，∴115x =，210x =，当115x =时，33154540CQ x BC ==⨯=>=，即115x =不合题意，舍去．所以10秒后，PCQ △的面积等于2450m ．故选B ．【点睛】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP 、PC 、BQ 、CQ 关于时间x 的代数式，再根据等量关系列出方程来求解．9．B【解析】【详解】解：由22410,410a a b b -+=-+=得：2214,14a a b b ++== ∴22111111444a b a b a b ab++=+=++ 又由22410,410a a b b -+=-+=可以将a ，b 看做是方程 2410x x -+=的两个根∴a+b=4，ab=1 ∴4=144a b ab +=⨯1故答案为B.【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典测试题(提高培优)(1)
一、选择题 1．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到
81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）
A．10% B．29% C．81% D．
14.5%
2．27742322x是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．22730xx B．
22730xx
C．22730xx D．
2
2730xx
3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700xx的根，则此三角形
的周长是（ ） A．10 B．17 C．20 D．17或20 4．方程2240xx经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．215x B．217x C．214x D．
215x
5．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C．2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣74）2＝
81
16
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣23）2＝
10
9
6．已知一元二次方程2210xx＝的两个根分别是1x，2x，则2112xxx的值为
（ ）． A．-1 B．0 C．2 D．3 7．一元二次方程2610xx配方后可变形为（ ）
A．2310x B．238x C．2310x D．
238x
8．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程
220abxcxab
根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
9．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150xx的一个根，则该等腰三角形的周
长为（ ） A．12 B．16 C．l2或16 D．15 10．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典题(提高培优)(3)
一、选择题1．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-4B 解析：B【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出k 的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．【详解】解：当k=0时，原方程为-4x+1=0，解得：x=14， ∴k=0符合题意；当k≠0时，∵方程kx 2-4x-1=0有实数根，∴△=（-4）2+4k≥0，解得：k≥-4且k≠0．综上可知：k 的取值范围是k≥-4．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4D解析：D【分析】根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．【详解】解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，得：()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=，化简得：2+340a a -=，解得：a=1或a=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式．3．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A 解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．4．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．5．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．16C ．l2或16D ．15B解析：B【分析】利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．【详解】解：∵x 2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，则x-3=0或x-5=0，解得x 1=3，x 2=5，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．(2)(2)0x x -+=B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++=D解析：D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得．【详解】A 、由因式分解法得：122,2x x ==-，此项不符题意；B 、由直接开平方法得：120x x ==，此项不符题意；C 、由直接开平方法得：121x x ==，此项不符题意；D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=，此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<，则此方程没有实数根，此项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各解法是解题关键．7．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e 是（ ）日 一 二 三 四 五 六图1 图2A ．17B ．18C ．19D ．20C解析：C【分析】根据日历的特点得到8i e =+，8a e =-，列出一元二次方程解出e 的值．【详解】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，则7h e =+，18i h e =+=+，7b e =-，18a b e =-=-，∵最大的数与最小的数乘积是297，∴()()88297ai e e =-+=，解得19e =±，取正数，19e =．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．8．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0B解析：B【分析】把0x =代入，求出a 的值即可．【详解】解：把0x =代入可得210a -=，解得1a =±，∵一元二次方程二次项系数不为0，∴1a ≠，∴1a =-，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．9．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．1或0A解析：A【分析】由关于x 的方程x 2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x 2+mx=0求出m 即可．【详解】解：∵-1是方程x 2+mx=0的根，∴1-m=0，∴m=1，故答案为：A.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键． 10．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0A 解析：A【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m ﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 二、填空题11．对于实数m ，n ，定义一种运算“*”为：*m n mn n =+．如果关于x 的方程()**1x a x 4=-有两个相等的实数根，则a =_______．0【分析】由于定义一种运算*为：m*n=mn+n 所以关于x 的方程x*（a*x ）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关解析：0【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n ，所以关于x 的方程x*（a*x ）=14-变为（a+1）x 2+（a+1）x+14=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a 的关系式，即可解决问题．【详解】解：由x*（a*x ）=14-得（a+1）x 2+（a+1）x+14=0， 依题意有a+1≠0，△=（a+1）2-（a+1）=0，解得，a=0，或a=-1（舍去）．故答案为：0．【点睛】此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x 的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．14．已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1，则方程的另一个根为________．3【分析】先将x=1代入求得m 的值然后解一元二次方程即可求出另一根【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1∴1+m+3=0即m=-4∴（x-1）（x-3）=0x-1=0x-3=0∴x=1或x=3即该方解析：3【分析】先将x=1代入求得m 的值，然后解一元二次方程即可求出另一根．【详解】解：∵一元二次方程230x mx +=+的一个根为1∴1+m+3=0，即m=-4∴2430x x -+=（x-1）（x-3）=0x-1=0，x-3=0∴x=1或x=3，即该方程的另一根为3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1求得m 的值成为解答本题的关键．15．一元二次方程x 2-10x+25＝2（x ﹣5）的解为____________．x1＝5x2＝7【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可；【详解】解：∵（x ﹣5）2﹣2（x ﹣5）＝0∴（x ﹣5）（x ﹣7）＝0则x ﹣5＝0或x ﹣7＝0解得x1＝5x2＝7故答解析：x 1＝5，x 2＝7【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；【详解】解：∵（x ﹣5）2﹣2（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（x ﹣7）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣7＝0，解得x 1＝5，x 2＝7，故答案为：x 1＝5，x 2＝7．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 16．已知函数2y mx m m =++为正比例函数，则常数m 的值为______．-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解【详解】解：∵函数为正比例函数∴且解得：；故答案为-1【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程解析：-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解．【详解】解：∵函数2y mx m m =++为正比例函数，∴20m m +=，且0m ≠，解得：1m =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法，熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程的解法是解题的关键．17．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析：2021【分析】把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得a 2+a+1=0，解得a 2+a=-1，所以2020-a 2-a=2020+1=2021．故答案是：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．18．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ． ∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 19．已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根，则24a a b ++的值为________．2016【分析】将x=a 代入可得然后由根与系数之间的关系得到整理即可得到答案【详解】解：由题意可知【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系熟练掌握基础知识是解题的关键解析：2016【分析】将x=a 代入2320190x x +-=，可得2320190a a +-=，然后由根与系数之间的关系得到3a b +=-，整理即可得到答案．【详解】解：由题意可知，2320190a a +-=，3a b +=-，232019a a ∴+=，24a a b ∴++23()a a a b =+++20193=-2016=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键．20．若方程()22110a x ax -+-=的一个根为1x =，则a =_______．或【分析】分类讨论方程为一元一次和一元二次把x=1代入方程计算即可求出a 的值【详解】解：若方程为一元一次方程此时此时解得当时方程的解是满足条件当时方程的解是不满足题意；若方程为一元二次方程此时此时此解析：1或2-【分析】分类讨论方程为一元一次和一元二次，把x =1代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：若方程为一元一次方程，此时210a -=，此时解得±1a =，当1a =时，方程的解是1x =满足条件，当1a =-时，方程的解是1x =-不满足题意；若方程为一元二次方程，此时210a -≠，此时±a ≠1，此时将1x =代入方程可得2110a a -+-=解得122,1()a a =-=舍综上所述，a =1或-2故答案为：1或2-【点睛】本题主要考查方程的相关定义，分类讨论是解题的关键．三、解答题21．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．22．某商场销售一批衬衫，每件进价是120元，当每件衬衫售价为160元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，尽快清库，增加盈利，商场经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：（1）当每件衬衫降价5元时，每天可销售多少件衬衫？商场获得的日盈利是多少？ （2）若商场平均每天想盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？解析：（1）当每件衬衫降价5元时，每天可销售30件衬衫，商场获得的日盈利是1050元；（2）每件衬衫应降价20元【分析】（1）利用日销售量202=+⨯每件衬衫降低的价格，即可求出每天可销售衬衫的数量，利用日盈利额＝销售每件衬衫的利润×日销售量，即可求出日盈利额；（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天可销售()202x +件衬衫，根据日盈利额＝销售每件衬衫的利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【详解】（1）根据题意得，降价后，可售出：205230+⨯=（件）∴()1605120301050--⨯=（元）∴当每件衬衫降价5元时，每天可销售30件衬衫，商场获得的日盈利是1050元； （2）设每件衬衫应降价x 元，则每天可销售()202x +件衬衫依题意，得：()()1601202021200x x --+=，∴2302000x x -+=解得：110x =，220x =∵要尽快清库∴20x∴每件衬衫应降价20元．【点睛】本题考查了一元二次方程、有理数混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．23．定义：若关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由．解析：（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =【分析】（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．【详解】解：（1）①()22210x m x m m --+-=，∵()()2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，()22210x m x m m --+-=，解得：11x m =-，2x m =，方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．②由①得，()1,M m m -，令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，当x=0时，y=1，∴()0,1A ，∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩， ∴()1,2B ，∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上∴12m ≤≤；（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．24．请回答下列各题：（1）先化简，再求值：2319369x x x xx x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x = （2）已知关于x 的方程2320x x m +-=没有实数根，求实数m 的取值范围．解析：（1）1-2）13m <-． 【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可，求值时注意分母有理化.（2）根据方程没有实数根，可知∆<0，进而求得m 得取值范围.【详解】 （1）由题意得：原式23193(3)x x x xx x +--⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭ 2(3)(3)(1)(3)(3)9x x x x x x x x ⎡⎤+----=⨯⎢⎥--⎣⎦ 2229(3)(3)9x x x x x x x --+-=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯--3x x-=．3x =，∴原式313-===． （2）该方程没有实数根，2242430b ac m ∴∆=-=+⨯⨯<，故4120m +<，解得13m <-． 【点睛】本题考查分式的混合运算以及一元二次方程根的判别，熟练掌握分式运算法则以及根的判别公式是解题关键.25．解方程：(2)4x x x +=- 解析：1241x x =-=，【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．【详解】解：(2)4x x x +=-，方程整理得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，则40x +=或10x -=，∴1241x x =-=，．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．26．（12． （2）解一元二次方程：x 2﹣4x ﹣5＝0．解析：（1）2；（2）125, 1.x x ==-【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）根据因式分解的方法解方程即可．【详解】解：（1|2|3+23＝2 （2）x 2﹣4x ﹣5＝0，（x ﹣5）（x +1）＝0，∴x ﹣5＝0或x +1＝0，∴x 1＝5，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的方法，属于基础题 。
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》培优练习题 含答案
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》培优练习题一．选择题1．已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0B．1C．﹣1D．±12．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．且k≠1C．D．且k≠1 3．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（）A．6.5B．7C．6.5或7D．84．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0B．k＞0C．k≥D．k＞5．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m 的值的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（﹣x﹣2）÷的值是（）A．﹣1B．+1C．﹣1或﹣﹣1D．﹣1或+17．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（）cm．A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（）A．7B．﹣1C．7或﹣1D．﹣5或39．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（）A．B．1C．D．10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题11．若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为12．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是．13．关于x的方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，则a的取值范围是．14．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2+＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为秒．三．解答题16.解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．（3）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（4）3x2﹣5x﹣1＝0．17．求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．18．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．19．如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC 向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．21．在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝（说明：定理成立的条件△≥0）．比如方程2x2﹣3x﹣1＝0中，△＝17，所以该方程有两个不等的实数解．记方程的两根为x1，x2，那么x1+x2＝，x1•x2＝﹣，请根据阅读材料解答下列各题：（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：①x12+x22；②；（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．①是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：把y＝0代入（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0得：4m2﹣4＝0，即m2﹣1＝0解得：m1＝1，m2＝﹣1当m＝1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，所以m＝﹣1．故选：C．2．解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，解得：k＞且k≠1．故选：B．3．解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，解得k＝3，∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，∴两腰之和为＝4，∴△ABC的周长为4+3＝7，故选：B．4．解：∵关于x的方程有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2+4＝9k+4≥0，解得：k≥，又∵方程中含有∴k≥0，故选：A．5．解：m2x2﹣8mx+12＝0，解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，∴x1＝，x2＝，∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，∴＞0，＞0，∴m＝1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B．6．解：x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2．解得x＝±﹣1∴（﹣x﹣2）÷＝×＝×＝﹣（x2+3x）＝﹣（x2+2x+x）＝﹣（2+x）当x＝﹣1时，原式＝﹣（2±﹣1）故选：C．7．解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，解得：x1＝5，x2＝19，∵20﹣2x＞0，∴x＜10．∴x2＝19，不符合题意，应舍去．∴x＝5．∴截去的小正方形的边长是5cm．故选：C．8．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7故选：A．9．解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，所以+＝＝＝1．故选：B．10．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：设t＝a2+b2，则原方程为t2﹣3t﹣4＝0，解得t1＝4，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴t＝4，∴a2+b2＝4，故答案为：4．12．解：∵关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣16＞0，即k2＞16，解得k＜﹣4或k＞4，而k＜﹣4时，x2﹣k|x|+4的值不可能等于0，所以k＞4．故填空答案：k＞4．13．解：∵方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0，即a≠3，又∵二次根式有意义，∴a+3≥0，即a≥﹣3，∴a≥﹣3且a≠3．故答案为：a≥﹣3且a≠3．14．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴+2x1x2+＝2x1x2+＝2×（﹣8）+＝﹣16+＝﹣，故答案为：﹣．15．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t，1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5，如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G，∴QG＝×2t＝∵S△ABC＝6×8÷2＝24若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC＝24×＝8∴（8﹣t）×÷2＝8化简得3t2﹣24t+40＝0解得t1＝4﹣，t2＝4+（舍）2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8，如图所示，S△APQ＝AP•AQ＝t（10+6﹣2t）＝8化简得：t2﹣8t+8＝0解得t3＝4﹣2（舍），t4＝4+2．故答案为：4﹣或4+2．三．解答题（共5小题）16.解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．（3）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（3x﹣2）＝0，x﹣4＝0，3x﹣2＝0，x1＝4，x2＝；（4）3x2﹣5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝37，x＝，x1＝，x2＝．17．证明：△＝（k﹣2）2﹣4（k﹣4）＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4，∵（k﹣4）2≥0，∴（k﹣4）2+4＞0，∴不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．18．解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，由题意得：≥10%，x≥8.8，答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，m2﹣5m﹣6＝0，m1＝6，m2＝﹣1（舍）．19．解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4．∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4；（2）如图，在Rt△ABP中，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝＝1．∴t＝＝4．答：t的值是4秒．20．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴Rt△ABC中，AC＝6cm，又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，∴AP＝2t，∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；故答案为：（6﹣2t）；（2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24，①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），∴t（6﹣2t）＝4，即t2﹣3t+4＝0，∵△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴该一元二次方程无实数根，∴该范围下不存在；②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），∴t（2t﹣6）＝4，即t2﹣3t﹣4＝0，解得t＝4或﹣1（舍去），综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的．21．解：（1）∵x2﹣3x﹣2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×（﹣2）＝17＞0∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2①x+x＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝32﹣2×（﹣2）＝9+4＝13②＝（2）∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣4k）2﹣4•4k（k+1）＞0∴k＜0，x1+x2＝1，x1•x2＝①∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣5x1x2+2x22＝2（x12+2x1x2+x22）﹣9x1x2＝2（x1+x2）2﹣9x1x2∴2﹣9＝解得：k＝，与k＜0矛盾∴不存在k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立．②+﹣2＝＝＝∵+﹣2＝的值为整数∴k+1＝±1或±2或±4又∵k＜0∴k＝﹣2或﹣3或﹣5。