高二上学期数学12月联考试卷
湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题
湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．复数5i 2-的共轭复数是（）A ．2i-B ．2i--C ．2i-+D ．2i+2．已知直线l 经过()2,1A -，()1,2B -两点，则直线l 的倾斜角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π43．已知椭圆221:162x y C +=的两个焦点与椭圆()2222:108x y C m m +=>的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．“4a =”是“直线()1:2210l a x y -++=与直线2:410l x ay +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在正四面体P ABC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H 点，点M 满足13AM AH = ，则PM =（）A ．111444PA PB PC ++ B ．211399PA PB PC ++C ．522399PA PB PC -++D ．122399PA PB PC++ 6．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10x y E a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A 、B 两点，若1223F F AB >，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）A．13⎫⎪⎪⎭B．,13⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．1,13⎛ ⎝⎭D．(7．已知圆()()22:348C x y -+-=，直线:30l mx y m +--=，若直线l 被圆C 截得的弦长的最大值为a ，最小值为b ，则a b +=（）A．B．+C．D．8．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .P 是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2，12PF F 是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．221554x y -=B ．221554x y -=C ．22128x y -=D ．22182y x -=二、多选题9．已知圆()221:31C x y -+=，圆()222:16C x y a +-=，则下列结论正确的是（）A ．若1C 和2C外离，则a >或a <-B ．若1C 和2C 外切，则4a =±C ．当2a =时，1C 和2C 内含D ．当0a =时，有且仅有一条直线与1C 和2C 均相切10．已知曲线C 的方程为()22124x y m m m+=∈+-R ，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当7m =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y =±C ．当1m >时，曲线C 可能为焦点在x 轴上的椭圆D ．当2m =时，曲线C11．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++ ，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A ．当P 为底面1111D CB A 的中心时，2t λμ++=B ．当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C ．当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D ．当221t λμλμ++==时，1A P为定值三、填空题12．已知椭圆的两个焦点坐标分别是()0,2-，()0,2，并且经过点，则它的标准方程是.13．已知向量a ，b满足(a = ，2b = ，且a b b +=- .则a b - 在a 上的投影向量的坐标为.14，则该三角形面积的最大值为.四、解答题15．已知ABC V 顶点()4,0A 、()6,7B 、()0,3C .(1)求边BC 的垂直平分线1l 的方程；(2)若直线2l 过点B ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程.16．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为34，乙校获胜的概率为14；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为25，乙校获胜的概率为35.设各局比赛相互之间没有影响且无平局.(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率；(2)求甲校以3:1获胜的概率.17．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，12AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥且D 点是AC 边靠近C 点的三等分点，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1AC CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示：(1)求证：1A C ⊥平面BCDE ；(2)求CM 与平面1A CE 所成角的余弦值.18．在平面直角坐标系中，已知圆C 经过原点和点()1,1A -，并且圆心在x 轴上，圆C 与x 轴正半轴的交点为P .(1)求圆C 的标准方程；(2)设12PP 为圆C 的动弦，且12PP 不经过点P ，记1k 、2k 分别为弦1PP 、2P P 的斜率.（ⅰ）若121k k ×=-，求12PPP 面积的最大值；（ⅱ）若124k k ⋅=，请判断动弦12PP 是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.19．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点3⎛⎫- ⎪⎝⎭，且短轴的一个端点与焦点的连线与y (1)求椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆C 的蒙日圆相交于M ，N 两点，求OMN 的面积（O 为坐标原点）；(3)设P 为椭圆C 的蒙日圆上的任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.。
河南省新乡市2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题
河南省新乡市2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题一、1．已知直线1:(1)210l a x y -++=，2:(2)40l ax a y +++=，设甲：12//l l ；乙：2a =，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．直线34100x y -+=与以点(1,2)C --为圆心的圆相交于A ，B 两点，且||8AB =，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)25x y +++=B ．22(1)(2)25x y -+-=C ．22(1)(2)5x y +++=D ．22(1)(2)5x y -+-=3．与椭圆22194x y +=有相同焦点，且长轴长为）A ．2212520x y +=B ．2212025x y +=C ．2212015x y +=D ．2211520x y +=4．下列说法中，正确的是（）A ．点(3,2,1)M 关于平面xOy 对称的点的坐标是(3,2,1)--B ．若直线l 的方向向量为(1,1,2)e =- ，平面α的法向量为(4,4,8)m =-，则l α⊥C ．已知O 为空间中任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且A ，B ，C ，P 中任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+，则1m =D ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为30︒，则直线l 与平面α所成的角为30︒5．已知平面α，β的法向量分别为1(2,1,3)n =-u r ，2(1,3,2)n =-u u r，则平面α，β的夹角的大小为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π66．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3516a a +=，10110S =，则15S =（）A ．240B ．225C ．120D ．307．已知抛物线26y x =，直线l 过抛物线的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，若弦AB 的长为8，则直线l 的方程为（）A ．1322y x =-或1322y x =-+B ．32y x ⎫=-⎪⎭或32y x ⎫=-⎪⎭C ．12y =-或12y =+D ．122y x =-或122y x =-+8．空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(,,)n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．已知平面α的方程为430x y z ++-=，直线l 是平面:230x y β+-=与平面:210y z γ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3二、多选题9．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，10a >，且1016S S =，则（）A ．公差0d <B ．160a >C ．260S =D ．当13n =时，n S 最大三、10．双曲线T ：2221x y a-=的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过1F 的直线1l 与双曲线的左支相交于,A B 两点，过2F 的直线2l 与双曲线的右支相交于C ，D 两点，若四边形ABCD 为平行四边形，则（）A ．a =B ．11AF CF -=C ．平行四边形ABCD 各边所在直线斜率均不为3±D ．ABCD S ≤四、多选题11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A ．三棱锥11D A D Q -的体积为定值B ．若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段C ．存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDD ．若直线1D Q 与平面11BCC B 所成角的正切值为2，那么点Q 的轨迹是以1C 为圆心，半棱长为半径的圆弧五、填空题12．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*n S n n n =+∈N ，则3a =．13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a = ，AB b = ，AD c =，点P 在1AC 上，且1:2:5A P PC =，用a ，b ，c表示AP ，则AP =．14．已知椭圆22:1(06x y C m m+=>，且6)m ≠，直线40x y +-=与椭圆C 相交于,A B 两点．若点(1,3)是线段AB 的中点，则椭圆C 的半焦距c =．六、解答题15．已知直线l 过点()3,4,A O 为坐标原点．(1)若直线l 与直线OA 垂直，求直线l 的方程；(2)若点O 到直线l 的距离为3，求直线l 的方程．16．如图．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，1160A AD A AB ∠=∠=︒，122AA AB ==，点G 为1CB 的中点．(1)用向量AB，AD ，1AA 表示AG ；(2)求线段AG 的长及直线AG 与1BD 所成角的余弦值．17．数列{}n b 满足135b =，112n n b b +=-，*n ∈N ，数列{}n a 满足21n n a b =-，*n ∈N ．(1)证明数列{}n a 是等差数列并求其通项公式．(2)数列{}n a 的前n 项和为n S ，问n S 是否存在最小值？若存在，求n S 的最小值及取得最小值时n 的值；若不存在，请说明理由．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，112AB CD AD ===，M 为棱PC 的中点．(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)若1PC PD ==，①求二面角P BM D --的余弦值；②在棱PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM ？若存在，求出PQ 的长；若不存在，说明理由．19．设12,F F 分别为椭圆G22+22=1>0､右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，12PF F ，椭圆C 的离心率为3.(1)求椭圆C 的方程.(2)如图，,,M N G 是椭圆C 上不重合的三点，原点O 是MNG 的重心.（i ）当直线NG 垂直于x 轴时，求点M 到直线NG 的距离；（ii ）求点M 到直线NG 的距离的最大值.。
2024-2025学年江苏省南京市、镇江市、徐州市高二上学期12月联考数学检测试题(含解析)
2024-2025学年江苏省南京市、镇江市、徐州市高二上学期12月联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线过点，，则的倾斜角为（ ）l (A -()1,0B -l A ．B ．C ．D ．30o60o1201502．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）{}n a 124,,a a a 2a =A ．B ．C ．4D ．10-6-4-3．直线与直线平行，则（ ）260ax y +-=()3530x a y +++==a A ．B ．C ．或D ．6-16-134．已知圆C 的圆心在x 轴上且经过，两点，则圆C 的标准方程是（()1,1A ()2,2B -）A ．B ．()2235x y -+=()22317x y -+=C ．D ．()22317x y ++=()2215x y ++=5．已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为22221x y a b -=0,0a b >>2A ．B ．C ．D ．0x y ±=0x =0y ±=20x y ±=6．已知，，若圆上存在点P 满足，()2,0A -()2,0B 22(1)(32)4x a y a --+-+=5PA PB ⋅= 则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[]1,2-[]2,1-[]2,3-[]3,2-7．设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F ,M N C M 第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心,M N O 1222MF MF MF NF ⋅== C 率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，{}n a 21n n a =-k a 1k a +2k ()*3k ∈N 得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（{}n b {}n b n n S 100n S ≥n ）A ．28B ．29C ．30D ．31二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线，下列说法正确的是（ ）22:1C mx ny +=A ．若，则是圆，其半径为0m n =>CB ．若，则是两条直线0,0m n >=C C ．若时，则是椭圆，其焦点在轴上0n m >>C y D ．若时，则是双曲线0mn <C 10．记等差数列的前项和为，数列的前项和为.已知当且仅当{}n a n n S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭k k T 时，取得最大值，则（ ）7n =n S A ．若，则当且仅当时，取得最大值68S S <14k =k T B ．若，则当且仅当时，取得最大值68S S >15k =k TC ．若，则当或14时，取得最大值68S S =13k =k TD ．若，则当或14时，取得最大值*,0m m S ∃∈=N 13k =k T 11．已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于222:12x y C m +=()()120,2,0,2F F -l C 两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）M N ､11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭MNA ．椭圆的离心率为CB ．椭圆上存在点使得Q 1290FQF ∠=C ．直线的方程为l 320x y +-=D ．的周长为1F MN △三、填空题（本大题共3小题）12．记为等比数列的前项和，若，则.n S {}n a n 21461,2a a a ==5S =13．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆22:(1)(2)4C x y -+-=x C 的标准方程： .14．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)12,F F A C 点在轴上，，，则双曲线的离心率为 .B y 11F A F B ⊥ 2223F A F B =- C 四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项.{}n a 4a 26a 3a (1)求的通项公式；{}n a (2)若数列满足，求的前2024项和.{}n b 2211log log n n n b a a +=⋅{}n b 2024T 16．已知，点在直线上.()()1,1,0,1A B --C :20+-=l x y (1)若点的横坐标为，求的面积；C 13ABC V (2)若的周长最小，求点的坐标及的周长.ABC V C ABC V 17．已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆221:(1)1F x y ++=222:(1)9F x y -+=P 1F 内切，记动圆圆心的轨迹为.2F P C (1)求的方程；C (2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程.2F l C ,A B 222AF F B =l 18．已知圆，直线，点在直线上.22:(2)1M x y +-=:10l x y --=P l (1)求的取值范围；22PO PM+(2)过点引圆的两条切线，切点为.P M PA PB ､A B ､（i ）求四边形面积的最小值：MAPB （ii ）设中点为，是否存在定点使得为定值，若存在，求出点坐标，若AB N Q NQQ 不存在，请说明理由.19．如果一条双曲线的实轴以及虚轴分别是另一条双曲线的虚轴及实轴，则称两条双曲线共轭.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，设双曲xOy ()222:104x y C bb -=>线的共轭双曲线为.C C '(1)求双曲线的标准方程；C '(2)若双曲线的切线与以及两条渐近线自上而下依次交于点，求证：C l C ',,,A E F B （i ）为定值；AOB S（ii ）.AE BF答案1．【正确答案】D【详解】由于的斜率为满足l =αtan α=又，从而.[)0,180α∈︒︒150α=︒故选：D.2．【正确答案】C 【详解】数列是公差为2的等差数列，{}n a ，，122a a ∴=-424a a =+成等比数列，124,,a a a ，即，解得，2214a a a ∴=()()222224a a a =-+24a =故选：C.3．【正确答案】B【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.a 【详解】因为直线与直线平行，260ax y +-=()3530x a y +++=则，解得.()()523336a a a ⎧+=⨯⎪⎨≠⨯-⎪⎩1a =故选：B.4．【正确答案】A【详解】因为圆C 的圆心在x 轴上，故设圆的标准方程,()()2220x a y r r -+=>又经过，两点，()1,1A ()2,2B -所以，解得()()()2222221122a r a r ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩3a r=⎧⎪⎨=⎪⎩所以圆的标准方程.()2235x y -+=故选：A.5．【正确答案】C【详解】，渐近线方程是，故b a ====0y y =⇔±=选C,6．【正确答案】A【分析】设点，由，得P 的轨迹方程为，再由两圆相交求(,)P x y 5PA PB ⋅= 229x y +=解．【详解】设点，则，，(,)P x y (2,)PA x y =--- (2,)PB x y =-+-所以，2(2)(2)5PA PB x x y ⋅=---++= 所以P 的轨迹方程为，圆心为，半径为3．229x y +=(0,0)由此可知圆与有公共点，22(1)(32)4x a y a --+-+=229x y +=又因为圆的圆心为，半径为2，22(1)(32)4x a y a --+-+=(1,32)a a +-所以，解得，15≤≤12a -≤≤即的取值范围是．a []1,2-故选A ．7．【正确答案】C【详解】点关于原点对称，所以线段互相平分，故四边形为平,M N 12,MN F F 12MF NF 行四边形，又，故，所以四边形是矩形，故，其中120MF MF ⋅= 12π2F MF ∠=12MF NF 12MN F F =，12NF MF =设，则，由，得，整理得2MF x =12MF a x=-2221212MF MF F F +=222(2)4a x x c -+=，22220x ax b -+=由于点在第一象限，所以，M x a =由，得，即，22MF NF =24MN MF =(24c a =整理得，即，解得227480c ac a +-=27480e e +-=e =故选：C8．【正确答案】B 【详解】由题意，数列元素依次为，，{}n b 1231234222,3,3,,3,,3,,3,,3,a a a aL在到之间3的个数为，故到处共有35个元素，1a 5a 1234222230+++=5a {}n b 所以前30项中含，，及26个3，1a ⋯4a 故，23429124253222275248164751014T a a a =++++⨯=++++=+++--+= 而，28283980T T ==-<故成立的最小的为29.100n S ≥n 故选：B9．【正确答案】BD【详解】对选项A ，，曲线，半径为0m n =>22221:1C nx ny x y n +=⇒+=故A 错误.对选项B ，若，曲线是两条直线，0,0m n >=2:1C mx x =⇒=C 故B 正确.对选项C ，若时，.0n m >>110n m <<曲线为焦点在轴的椭圆，故C 错误.22:111x y C m n +=x 对选项D ，时，不妨设，曲线即表示双曲线，0mn <0,0m n ><22:1C mx ny +=22111x y m n -=-故D 正确.故选：BD10．【正确答案】ACD 【详解】等差数列中，当且仅当时，取得最大值可得数列为递减数列；{}n a 7n =n S {}n a 且当时，，当时，；7n ≤0n a >8n ≥0n a <对于A ，若，即可得，所以；68S S <780a a +>780,0a a ><则，即有，114780a a a a +=+>()1411470S a a =+>，，()113137131302a a S a +==>()115158151502a a S a +==<以此类推可知，，14,0n S n n ≤>15,0n Sn n ≥<则当时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即A 正确；14k =k T n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭对于B ，若，即可得，则，68S S >780a a +<114780a a a a +=+<即有，()1411470S a a =+<，；()113137131302a a S a +==>()115158151502a a S a +==<以此类推可知，，13,0n S n n ≤>14,0n S n n ≥<则当时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即B 错误；13k =k T n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭对于C ，若，即可得，所以；68S S =780+=a a 780,0a a ><则，即有，114780a a a a +=+=()1411470S a a =+=，，()113137131302a a S a +==>()115158151502a a S a +==<以此类推可知，，13,0n S n n ≤>140,14S =15,0n S n n ≥<则当或14时，把数列中所有的非负数全部加完，，取得最大值，即13k =k T n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭k T C 正确；对于D ，若，可得，*,0m m S ∃∈=N 10m a a +=由于，可得，780,0a a ><1780m a a a a +=+=即，()()1411478770S a a a a =+=+=，，()113137131302a a S a +==>()115158151502a a S a +==<以此类推可知，，13,0n S n n ≤>140,14S =15,0n S n n ≥<则当或14时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即D 13k =k T n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭k T 正确；故选：ACD11．【正确答案】BCD【详解】A.由条件可知，，解得：，所以椭圆，224m -=26m =22:126x y C +=所以的离心率A 错误；26a a =⇒=C c e a ===B.由椭圆方程可知，，，以为直径的圆与椭圆由4个交点，所以椭圆b =2c =12F F上存在点使得，故B 正确；Q 1290FQF ∠=C.设，，代入椭圆方程，，M (x 1,y 1)N (x 2,y 2)22112222126126x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，由题意可知，()()()()12121212026x x x x y y y y +-+-+=，，121x x =+121y y +=所以，，所以，所以直线的斜率为，121226x x y y --+=12x x ≠12123y y x x -=--l 3-所以直线的方程为，整理为，故C 正确；l 11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭320x y +-=D.因为直线过椭圆的焦点，所以的周长为l 2(0,2)F 1F MN △，故D 正确.1122114MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++==故选：BCD12．【正确答案】/31215.5【详解】设公比为，因为，所以由得，即，解得，q 112a =246a a =26511a q a q =11a q =2q =所以.()()551511213121122a q S q--===--故答案为.31213．【正确答案】（答案不唯一）()()22111x y -+-=【详解】因为圆的圆心为，半径，22:(1)(2)4C x y -+-=()1,2C 12r =设所求圆的圆心为，则，(),M a b 1=b 且或，1MC =3MC ==若，，解得，1b =1MC ==1a =可得圆心为，所求圆的方程为；()1,1()()22111x y -+-=若，，无解，不合题意；1b =-1MC ==若，，解得，1b =3MC ==1a =+1a=-可得圆心为或，()1+()1-所求圆的方程为或；(()22111x y --+-=(()22111x y -++-=若，，解得，1b =-3MC ==1a =可得圆心为，所求圆的方程为；()1,1-()()22111x y -++=故（答案不唯一）.()()22111x y -+-=14．【正确答案/【详解】据题意有，，设，则.()1,0F c -()2,0F c ()0,B t 22222,333F A F B c t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 所以，而，故，故.112282,33F A F F F A c t ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ ()1,F B c t = 2211820·33F A F B c t ==- 224t c =再由可知，所以，故.182,33F A c t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 52,33A c t ⎛⎫- ⎪⎝⎭2222254199c t a b -=22222516199c c a b -=从而，故，()()()22222222222222225162541251619999c b ac c a c c a b a b a c a --=-==-()()22222292541a c a c c a -=-从而.()()222912541e e e -=-故，得，故，42255090e e -+=()222514e -=295e =e =故答案为15．【正确答案】(1)2nn a =(2)20242025【详解】（1）设数列的公比为，则.{}n a 0q >12n n a q -=因为是和的等差中项，所以，4a 26a 3a 42326a a a =+即，3222622q q q ⨯=⨯+解得或（舍去）或（舍去）2q =32q =-0q =所以.1222n nn a -=⨯=（2）由（1）知2,nn a =，()1221111log 2log 211n n n b n n n n +∴===-⋅++.111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，202420242025T ∴=故的前2024项和.{}n b 202420242025T =16．【正确答案】(1)53(2)，37,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭+【详解】（1），代入，解得，即，13C x =20x y +-=53C y =15,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭解法一：，()421,2,0,9033AB AC BAC ⎛⎫⋅=-⋅=∴∠= ⎪⎝⎭.1523ABC AB S AB AC ∴=∴=⋅= 解法二：根据得出，()()1,1,0,1A B --()11210AB k --==---到的距离为:210,AB x y C ++=AB d .1523ABC AB S AB d =∴=⋅=（2）设点关于直线的对称点为，A l ()00,A x y '由题意得，解得，即，()00001111112022y x x y -⎧⨯-=-⎪+⎪⎨-+⎪+-=⎪⎩0013x y =⎧⎨=⎩()1,3A '因为，BC CA BC CA BA +=+≥''所以三点共线距离和最小，即的周长最小，,,B A C 'ABC V ，交于点，解得5334,:41113BA k BA y x '-∴===--'BA '20x y +-=C ，37,55C ⎛⎫⎪⎝⎭此时AB BC CA AB BA++=+='17．【正确答案】(1)22143x y +=(2))1y x =-【详解】（1）设动圆的半径为，由题意R 121,3PF R PF R=+=-12134PF PF R R ∴+=++-=又，故的轨迹为椭圆.1224F F =<P222242,221,3a a c c b a c ∴=⇒=∴=⇒==-=故的轨迹方程为C 22143x y +=（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为l 1x my =+联立，得22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩()2234690m y my ++-=设，则A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)12122269,3434m y y y y m m --+==++由，得，222AF F B =122y y =-所以，消去得，2222269,23434m y y m m ==++2y ()22227293434m m m =++解得的方程为.m =l )1y x =-18．【正确答案】(1)[)6,+∞(2)（i ）；（ii ）存在，111,66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为点在直线上，直线的方程为，P l l 10x y --=故可设点的坐标为，P ()00,1x x -圆的圆心的坐标为，半径为，22:(2)1M x y +-=M (0,2)1所以()()222222000013PO PM x x x x +=+-++-2004810x x =-+()204166x =-+≥所以的取值范围为22PO PM +[)6,∞+（2）（i ）因为为圆的两条切线，所以，,PA PB ,PA AM PB BM ⊥⊥又，1MA MB ==所以1222MAPB MAP S S MA AP ==⨯⨯=圆心到直线的距离为M l d所以当时，四边形的面积取最小值，最小值为，PM =MAPB（ii ）由（i ）得四点共圆，且以为直径，,,,M A P B MP 因为，，()0,2M ()00,1P x x -所以该圆方程为，()()()()000120x x x y x y --+-+-=在圆上,A B ()()()()000120x x x y x y --+-+-=又在圆上,A B 22(2)1x y +-=两式作差可得直线为，AB ()0003520x x x y x +-+-=即，()02530x x y y +-+-=所以直线过定点，AB 15,33D ⎛⎫⎪⎝⎭因为，所以点在以为直径的圆上，MN ND ⊥N MD 取的中点为，MD 111,66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭恒有为定值NQ 12NQ MD ===19．【正确答案】(1)221164y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【详解】（1）由，得c e a ===4b =所以双曲线的方程为C 221416x y -=双曲线的方程为C '221164y x -=（2）（i ）当切线斜率不存在时，切线方程不妨设为2x =与联立解得221164y x -=((2,,2,A B-122AOB S ∴=⨯⨯=当切线斜率存在时，设其方程为()2y kx b k =+≠±由切线与双曲线联立得()2y kx b k =+≠±C ：221416x y -=，消去得221416x y y kx b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩y ()22242160k x kbx b -+++=由得， 得切点，0∆=22416k b =+224,44bkb M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭联立切线方程与双曲线的方程C '，消去得221164y x y kx b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩y ()22242160k x kbx b -++-=设，则()(),,,A A B B A x y B x y 222216,44A B A B kb b x x x x k k -+=⋅=--B AB x ∴=-===到的距离为,O AB d =12AOBS AB d ∴=⨯====（ii ）由（i ）当切线斜率不存在时，易证AE BF=当切线斜率存在时， 得，0∆=22416k b =+224,44bkb M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭联立切线与双曲线的渐近线方程 ，解得，.2y x y kx b =±⎧⎨=+⎩11222b x kb y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩22222b x k b y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴22,,,2222bb b b E F k k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭线段的中点坐标为，即为的中点，即.EF 224,44bk b k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭M EF EM FM =又由（i ）知，.12224kb x x k +=-()12122824b y y k x x bk +=++=-于是线段的中点为，即.AB 224,44bk b M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭AM BM =所以AE BF=。
云南省2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题
云南省2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}290A x x =-<，{}0B x x =>，则()U A B ⋂=ð（）A ．0,3B ．()3,0-C ．[)3,0-D ．(]3,0-2．若()2i 55i z +=+，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin cos αα-=sin 2α的值为（）A ．13B ．23-C ．23D ．13-4．将一个上底为2，下底为5，高为2的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（）A ．52πB ．78πC ．26πD ．14π5．“3a =-”是“直线40ax y +-=与直线9120x ay +-=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()3,2,1P ，则三棱锥P ABC -的体积是（）A ．52B ．56C ．6D 7．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段1F 2F 为边作等边三角形12HF F ，12HF F 的两边1HF ，2HF 分别交该椭圆于,A B 两点.若2258BF HF =，则该椭圆的离心率为（）A ．35B ．13C D ．238．已知函数()f x 的定义域为R ，()4f x -为奇函数，()4f x +为偶函数，则()()()()123160f f f f ++++= （）A ．480B ．320C ．640D ．1280二、多选题9．已知向量a ，b满足3a = ，2b = ，则下列结论正确的有（）A ．()()2323a b a b +⊥- B ．若6a b ⋅=，则//a br r C ．a 在b 方向上的投影向量为()12a b b⋅D ．若2a b += a 在b 的夹角为2π310．若函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值可能为（）A ．3B ．9C ．12D ．1511．已知双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点(),H m n （4m >，0n >）是双曲线C 上的点，直线1HA ，2HA 的倾斜角分别为1θ，2θ，则（）A ．双曲线C 的实轴长为16B ．当19tan 16θ=时，2π4θ=C ．124tan tan θθ+的最小值为3D ．当124tan tan θθ+取最小值时，12HA A △的面积为16三、填空题12．抛物线21016x y -=的焦点坐标为，准线方程为.13．小洪从某公司购进6袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）为495，500，500，495，510，500，则这6袋白糖的平均质量为g ，这6袋白糖质量的标准差为g.14．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，122AB AD AA ===，1AE AB λ= ，11A F A D μ=，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.若EF 与底面ABCD 所成角的正弦值为λμ的最大值是.四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+.(1)求ba的值；(2)若2,a ABC =△的面积为4，求c 的值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AB AC AB AC D ===⊥为线段BC 的中点.(1)证明：1C D ⊥平面1AB D ；(2)求平面1AB D 与平面11AB C 夹角的大小.17．某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为102p p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，答对第二道题的概率为1p -；乙答对第一道题的概率为23，答对第二道题的概率为12.甲、乙每次作答正确与否相互独立.(1)设34p =.①求甲答对一道题的概率；②求甲、乙一共答对三道题的概率.(2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.18．在平面直角坐标系xOy 中，将点(),P x y 绕原点O 按逆时针旋转α角，利用公式cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-⎧⎨'=+⎩，可得到点(),P x y '''.现将双曲线2xy =绕原点O 按逆时针旋转3π4得到双曲线C .(1)求双曲线C 的标准方程；(2)以双曲线C 的右顶点为圆心作半径为1的圆M ，直线:3430l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，求AB ；(3)在（2）的条件下，H 是圆()22:44N x y ++=上的动点，求HAB 面积的取值范围.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，点()2,3E 在C 上，直线():0l y kx m k =+≠与C 交于M ，N 两点.(1)求C 的方程.(2)若12k =，求MN 的最大值.(3)若点M 与E 重合，过M 作斜率与l 互为相反数的直线l '，l '与C 的另一个交点为H ，试问直线NH 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.。
辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月联合考试数学试卷
辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月联合考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题15．已知23212(12)(12)(12)9n n n x x x a x a x a x ++++++=++++L L .(1)求n 的值；(2)求()()135246a a a a a a +++-+++L L 的值；(3)求2a 的值（结果用数字表示）.16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们请求出定值，若不是，请说明理由.故选：C.8．A【分析】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案.【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取24,25,35音阶，排成的音序有122322C A A 12=种；②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取13,14,15,35音阶，排成的音序有12223222C A A A 14+=种；③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，排成的音序有1221222222C A A C A 12+=种；④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，排成的音序有1221222222C A A C A 12+=种.由分类加法计数原理可知，一共有1214121250+++=种排法.故选：A.9．BCD【分析】根据第3项和第4项的二项式系数最大得出n 即可判断A;应用赋值法求各项系数和243判断B;应用二项式系数和为2n 及奇数项和偶数项的二项式系数和相等判断C ；应用13．1【分析】根据直线平行列方程底面ABC是边长为2的等边三角形，AB=。
2024-2025学年安徽省江南十校高二上学期12月联考数学试题(含答案)
2024-2025学年安徽省江南十校高二上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={a |a =(−1,2,1)+λ(1,2,3)，λ∈R}，N ={b |b =μ(1,−2,−1)+(1,2,3)，μ∈R}，则M ∩N =( )A. {(−2,0,−2)}B. {0,4,4}C. {(0,4,4)}D. ⌀2.条件p:m >0，n >0，条件q:方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若点P(3,−4)是直线a 1x +b 1y +2=0和a 2x +b 2y +2=0的公共点，则相异两点A(a 1,b 1)和B(a 2,b 2)所确定的直线AB 方程是( )A. 3x−4y +2=0B. 4x−3y +2=0C. 3x−4y−2=0D. 4x−3y−2=04.六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体).如图所示，在正八面体P−ABCD−Q 中，G 是△BCQ 的重心，记PA =a ，PB =b ，PC =c ，，则PG 等于( )A. −13a +13b +23c B. 13a−13b +23c C. 13a−13b−23cD. 13a +13b +23c5.已知m =(2,1,1)是直线l 的方向向量，直线l 经过点P(−1,0,1)，则点Q(2,4,6)到直线l 的距离为( )A. 52B.5 22C.5 62D.3 626.已知圆C 的方程为x 2+y 2−2y−1=0，P(a,b)为圆C 上任意一点，则2a +b−5a−2的取值范围为( )A. [−1,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)C. [1,3]D. (−∞,1]∪[3,+∞)7.焦点为F(1,0)的抛物线y 2=2px(p >0)上有一点P(不与原点重合)，它在准线l 上的投影为Q 。