Littlewood-Paley 算子的交换子
小波变换发展史
小波变换发展史
传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。 小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析
1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short
Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。小波变换是以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷。小波变换不仅能够提供较精确的时域定位，还能提供较精确的频域定位。我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。
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小波分析简述
第一篇：小波分析发展历史简述
1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。 1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
课程名称(中文)调和分析
课程名称（中文）：调和分析
课程名称（英文）： Harmonic Analysis
一）课程目的和任务：调和分析是关于函数、算子、空间等数学对象的分解及表示的一门数学分支, 其核心是对Fourier变换及其各种推广的研究.例如抽象调和分析通过拓扑群上适当定义的Fourier变换来研究群的性质,在数论、群论等领域中有许多应用.本课程侧重于欧式空间上的Fourier分析的实变方法与复变方法，及其在偏微分方程中的应用, 是为方程、几何等方向的研究生开设的一门基础课,也可作为其它方向研究生的一门选修课,内容主要包括四部分:
(1)Fourier变换,广义函数,插值定理等基础知识;(2) Fourier乘子及奇异积分算子的实变方法(极大函数.函数及空间的覆盖-分解定理等);(3) Littlewood-Paley分解及函数空间理论;(4)拟微分算子与仿微分算子.本课程旨在通过一般理论与具体研究实例的有效结合,使学生能清晰地理解调和分析这一非常强有力的研究偏微分方程的工具的基本思想,熟练掌握若干重要结论及技巧,提高他们的研究创新能力.
二）预备知识：偏微分方程，泛函分析，实变函数
三）教材及参考书目：
教材：自备讲义
参考书目：1）Bahouri, Hajer; Chemin, Jean-Yves; Danchin, Raphaël：Fourier analysis and
nonlinear partial differential equations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
[Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 343. Springer, Heidelberg, 2011.
2）Grafakos, Loukas： Classical Fourier analysis. Second edition. Graduate Texts in
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二维趋化N-S方程解的唯一性准则
应用数学
MATHEMATICAAPPLICATA
2021,34(1):123-129
二维趋化N-S方程解的唯一性准则
郭猫驼,苑佳
(
北京航空航天大学数学科学学院,北京100191)
摘要：本文研究一类二维趋化N-S方程解的唯一性问题.利用Littlewood-Paley理
论和Besov空间理论以及做差法,获得这一类二维趋化N-S方程弱解唯一性的唯一
性准则.
关键词：趋化N-S方程;正则性;唯一性准则
中图分类号：O175.26AMS(2000)主题分类：35A05;35K10
文献标识码：A文章编号：1001-9847(2021)01-0123-07
1.引言
在本文中,我们研究的是不可压趋化Navier-Stokes方程（简称为趋化N-S方程）,其表达
式如下：
∂
tn+u·∇n−∆n=−∇·(χ(c)n∇c),
∂
tc+u·∇c−∆c=−f(c)n,
∂
tu+κ(u·∇u)−∆u+∇P=−n∇Φ,
∇·u=0,
(n,c,u)|
t=0=(n
0,c
0,u
0).(1.1)
系统(1.1)描述的是不可压流体中微生物的趋化现象,关于这类方程的解的适定性问题有
很多的研究工作.在2010年,DUAN和Lorz[3]
证明了系统(1.1)在二维以及三维的有界区域（不
含通量的边界条件）内弱解的局部存在性；随后,LIU和Lorz[4]
在关于χ(c),f(c)的假设
χ(c)>0,d
dc(χ(c))≥0,f(c)>0,d2
dc2(
f(c)
χ(c))
<0
以及c
0,Φ的初值很小的条件下,得到了系统(1.1)在二维空间中的整体存在性.在2013年,
系统(1.1)的古典解在二维和三维空间中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年,Chae,
KANG和Lee[6]
证明了在二维以及三维空间中,系统(1.1)光滑解的局部适定性并且在Hm
,m≤
3的框架中建立了解的某些爆破准则.之后,ZHANG[7]
把该结果拓展到了Besov空间.同样
双线性hardy算子交换子的加权估计
双线性hardy算子交换子的加权估计
双线性Hardy算子交换子是一种用于计算多元函数及其偏导数的有用工具，通常用于数值有限元分析和流体动力学分析。它由两个交换子组成，可将函数中的一元、双元和三元项异构地映射到相应的空间或时间空间中去。因此，由此可以在满足多重条件下为函数计算偏导数。
其优点在于，它可以有效地处理函数的任意维度，并且仅使用一个算子就能求出一组多元函数上的偏导数。此外，该算法还提供减小插值误差、保证精度以及提供有效性的功能，从而改善计算结果的准确性和稳定性。此外，该算法还可以有效地消除噪声干扰，从而可以更加准确和精确地对函数求偏导数。
该方法还可以采用加权估计，以此来改善计算精确性和准确性。这可以使用权重来加以控制，从而使得插值更加准确。通过使用权重和调整相应的参数，可以更快地收敛，达到更高的精度。
总而言之，双线性Hardy算子交换子是一种实用的数值工具，可以用于多元函数的计算和偏导数的求解。它比常规技术更具可靠性和准确性，还可以运用加权估计，改善其插值精度。因此，双线性Hardy算子在有限元分析和流体动力学分析中具有重要的应用价值。
《安徽师范大学学报(自然科学版)》2020年(第43卷)第1-6期(总第180-185期)总目次
安徽师范大学学报(自然科学版)第43卷摇第1-6期摇(总第180-185期)摇2020年
总摇目摇次
高温超导牵引变压器的结构设计分析方摇进,华俊威,吴摇爽(1.1)………………………………………………………………超短超强激光技术述要梁摇彦,谢兴龙(2.103)……………………………………………………………………………………流行性传染病传播系统的奇摄动解莫嘉琪,陈怀军(3.205)………………………………………………………………………智能全媒体内容生产系统的研究和应用邵德奇(3.212)……………………………………………………………………………金属中溶质相互作用的机器学习研究何康尼,孔祥山,刘长松(5.409)……………………………………………………………
独立二项分布序列变点的识别方法赵江南,庞摇冬,樊森德(1.6)…………………………………………………………………一类具有无穷时滞的抽象脉冲发展方程mild解的存在性刘摇洋,摇范虹霞(1.11)……………………………………………弱f鄄clean环吴摇丹,殷晓斌(1.19)……………………………………………………………………………………………………直接有限环的若干扩张马广琳,王摇尧,任艳丽(1.24)……………………………………………………………………………基于密码算法的压缩感知测量矩阵构造谢摇冬,郭东升,叶四军(1.28)…………………………………………………………分数阶微分方程初值问题mild解的存在性柴建红,周文学,孙摇芮,等(2.115)…………………………………………………次分数布朗运动环境下最值期权定价梁喜珠,薛摇红,王摇瑞(2.123)……………………………………………………………关于平衡非Wieferich素数的一个注记王摇怡,丁煜宸(2.129)……………………………………………………………………交换折叠超立方体的超连通度蔡学鹏,马摇丽(3.216)……………………………………………………………………………协同创新背景下产学研合作的演化博弈分析李摇丽(3.223)………………………………………………………………………一种基于能量合作的异构传感网密钥管理机制刘摇宣,张晓荣,许摇勇(3.230)…………………………………………………Kumaraswamy分布下负载共享并联系统的参数估计李丹青,熊文洁,张正成(4.307)……………………………………………一类带有自补充模板的Templator模型的稳定性分析苏媛媛,李艳玲(4.315)……………………………………………………一类三阶三点边值问题正解的全局结构张亚莉(4.321)……………………………………………………………………………基于均值回归价格过程重构隐含波动率赵小银,杨摇柳(4.329)…………………………………………………………………附有不可靠服务台和无等待能力的M/G/1/1排队模型的进一步研究阿力木·米吉提,奥古丽江·艾尼(5.415)……………季节变化和温度对上海市猩红热传播的影响探究张玉洁,潘丽虹,朱城志,等(5.424)…………………………………………生态系统害虫防治的一种脉冲控制数学模型的全局稳定性左冰冰,金浩城,郭俊荣(5.430)……………………………………一种低分辨率细胞显微图像的分割与统计陈书文,曹摇愚,赵小燕,等(6.511)…………………………………………………Littlewood鄄Paley算子的变指数交换子在变指数空间上的有界性房成龙,张摇婧(6.517)…………………………………………一类随机反应扩散方程的快速扩散极限雷摇婷,陈光淦(6.522)…………………………………………………………………基于Stackelberg博弈的车载边缘计算任务卸载策略张摇俊,王摇杨,张聪聪,等(6.527)………………………………………
多线性分数次Hardy算子交换子的有界性
多线性分数次Hardy算子交换子的有界性
武江龙; 王婧敏
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】2010(025)001
【总页数】7页(P115-121)
【关键词】Hardy算子; Morrey-Herz空间; 交换子; CBMO函数
【作 者】武江龙; 王婧敏
【作者单位】牡丹江师范学院数学系 黑龙江牡丹江157012; 黑龙江大学数学系 黑龙江哈尔滨150080
【正文语种】中 文
【中图分类】O174.2
设f是R+上的非负可积函数,经典的Hardy算子被定义为
Hardy算子H和H∗互为伴随算子,即
其中
在文献[1]中,Hardy在证明Hilbert双重级数定理的过程中得到了如下著名的Hardy积分不等式
其中此后,Hardy积分不等式得到了广泛的关注(见文[2-5]等). 2002年,龙顺潮和王健[6]在Lp(R+)上分别建立了由上述Hardy算子和单边CBMO函数生成的交换子的有界性.
1995年,Christ和Grafakos[7] 给出了n维Hardy算子
在Lp(Rn)上的有界性.2007年,傅尊伟等[8]首次建立维分数次Hardy算子
张和傅[9]又讨论了Hardy算子交换子的Lipschitz估计.2002年,P´erez和Trujillo-Gonz´alez[10]定义了一类包含高阶交换子的多线性交换子,并得到了有界性结果.
受上述工作的启发,本文将讨论多线性分数次Hardy算子交换子在Lebesgue空间,Herz空间及Morrey-Herz空间中的有界性问题.在叙述主要结果之前,我们先给出一些相关概念.
首先给出中心BMO空间的概念,该空间是由陆和杨于1995年在文献[11]中介绍的.
为证明主要定理,需要下面的引理.
从而完成对(i)的证明.
(ii)类似(i)的证明,我们可得(ii)的证明,在此略去细节.
在定理2.1中,若令α=λ=0,p1=q1,p2=q2,则可直接得下边的结论.
【国家自然科学基金】_bmo(rn)_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
序号科研热词推荐指数序号科研热词1交换子21交换子2bmo(rn)22bmo(rn)3齐次morrey-herz空间13多线性算子4齐型空间14变量核5高阶交换子15bmo6粗糙核16齐次morrey-herz空间7多线性marcinkiewicz算子17面积积分8变量核18紧性9仿积19极大算子10morrey-herz空间110弱herz空间11marcinkiewicz积分算子111幂权12marcinkiewicz积分112奇异积分13littlewood-paley算子113多线性奇异积分14herz-morrey空间114各向异性弱hardy空间15hardy空间115各向异性hardy空间16hardy-block空间116加权herz-morrey空间17carleson测度117分数次积分18bmo118分数次极大算子19blo119sharp极大函数20a1权120morrey空间21marcinkiewicz积分22littlewood-paley算子23littlewood-paley24lebesgue空间25herz型hardy空间26g函数27g*λ函数28cmo29calderón-zygmund奇异积分30bochner-riesz算子2008年2009年