Lipschitz函数与OU算子生成的交换子的性质
Lipschitz函数与O-U算子生成的交换子的性质
作者：谢宁平
学位授予单位：湖南大学
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1724941.aspx
授权使用：无锡市图书馆(wxstsg)，授权号：20ae9449-abd3-4e97-8b39-9e6100a8a148
下载时间：2011年1月4日
Dirichlet空间上拟齐次符号H-Toeplitz算子的交换性
Dirichlet空间上拟齐次符号H-Toeplitz算子的交换性
梁信聪;李杨;陈泳
【期刊名称】《杭州师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(23)3
【摘 要】文章刻画了拟齐次符号的H-Toeplitz算子在Dirichlet空间上的交换性.当不同次拟齐次符号H-Toeplitz算子满足交换性,则必有一符号函数在1点的取值为0;相同次拟齐次符号H-Toeplitz算子必满足交换性.这与Bergman空间上具有相同符号的H-Toeplitz算子的交换性不同.
【总页数】6页(P317-322)
【作 者】梁信聪;李杨;陈泳
【作者单位】杭州师范大学数学学院
【正文语种】中 文
【中图分类】O177.1
【相关文献】
1.调和Dirichlet空间上以径向函数为符号的Toeplitz算子的交换性2.调和Bergman空间上以拟奇次函数和径向函数为符号的Toeplitz算子的交换性3.Dirichlet空间上H-Toeplitz算子的交换性4.拟齐次符号Slant H-Toeplitz算子的交换性5.Bergman空间上以拟齐次函数与径向函数的和函数为符号的Toeplitz算子的双正规性
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买
薛定谔型算子的交换子的加权l~p有界性
薛定谔型算子的交换子的加权l~p有界性
含有交换子的薛定谔型算子有着良好的有界性，此有界性主要表现在
其l~p加权中。下面是l~p加权有界性的几种表现形式：
I.L1加权有界性:L1加权有界性表明，算子的组成元素是通过l1范式
进行加权，其吸收小值而抵抗大值，从而提升算子的安全性和稳定
性。
II.L2加权有界性:L2加权有界性表明，算子的组成元素是通过l2范式
进行加权，其能够抑制病态数据带来的紊乱，能够有效克服算子计算
过程中的噪声，从而提高算子的稳定性。
III.P加权有界性:P加权有界性表明，算子的组成元素是通过p范式进
行加权，其强调更多的元素的一致性，可以有效克服噪声带来的影
响，从而在高维空间中保持有界性。
以上就是薛定谔型算子的l~p加权有界性的几种表示形式。l1加权有界
性可以抵抗大值的负面影响，能够显著提升安全性和稳定性；l2加权
有界性可以抑制病态数据带来的紊乱，从而提高算子的稳定性；而p
加权有界性可以有效克服噪声影响，保持高维空间的有界性。总之，
薛定谔型算子的l~p加权有界性是一种有效的处理算子有界性的方法，
有助于提高算子的稳定性和安全性。
乘子算子与Lipschitz函数生成的交换子的有界性估计
第１９卷第１期 ２０ｏ７年３月 湖南文理学院学报（自然科学版）
．Ｊ．．．．．ｏ．．．．ｕ．．．．．．ｒ．．．．ｎ．．．．．ａ．．．．．１．．．．．ｏ．．．．ｆ．．．．．．Ｈ．．．．．．．ｕｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＡｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） 、７＿０１．１９ＮＯ．１ Ｍａｒ．２Ｏｏ７
文章编号：１６７２－－６１４６（２００７）０１－－００２５－－０２
乘子算子与Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的交换子的有界性估计
曹前，马柏林 （湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙４１００８２）
｜Ｉｌ要：引入了一类由卷积算子与Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的交 换子Ｔｂｆ（Ｘ）＝ｂ（ｘ）Ｔｆ（ ）一 （ｂｙ）（ ），这里Ｔ表示一类乘子 算子，ｂ是ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数．利用Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，证明了此类交 换子是由 （ ）（１／ｑ＝ｌ／２＋ｆｌｌｎ）．￣］ （ ）的有界算子．
关冀词：交换子；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数；Ｆｏｕｒｉｅｒ变换；乘子算子 中圈分类号：Ｏ １７４．２ 文蚨标示码：Ａ 其中 ：一Ｉ＋ ． ｑ ２ ｎ
２定理的证明
不失一般性，不妨假定ｌｌｂｌｌ １．取径向
（尺 ）函数妒，ｓｕｐｐ￣ｃ｛１／４ ４｝且对任何
１引言及结果 ＞ｏ，∑妒（２一， ）：１．记 （ ）： 妒（２一， ）－对于自
文献【１】介绍了一类卷积算子与ＢＭＯ函数生成
的交换子的 有界性，文献【２】中介绍了一类卷积
算子与ＢＭＯ函数生成的交换子的极大算子的 有界性，一个自然的推广就是来考虑卷积算子与 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的交换子的有界性． 用 表示算子丁与函数ｂ生成的交换子，定
义为 引：Ｔｂｆ（ｘ）＝６（ ）厂（ ）一丁（ｂｙ）（ ）．用Ａ 代表
ｋ次差分算子，即：
Ａ￣ｎｆ（ｘ）＝Ａ＾ｆ（ｘ）＝厂（ ＋ｈ）一厂（ ），
¨厂（ ）＝Ａｋｎｆ（ｘ＋ｈ）－－Ａｋｎｆ（ｘ＋ ），ｋ １．
liptschitz函数 -回复
liptschitz函数 -回复
什么是Lipschitz函数？
Lipschitz函数是一种数学函数，以19世纪初德国数学家Rudolf
Lipschitz的名字命名。它是一类特殊的函数，具有一种特殊的连续性属性，即被称为Lipschitz连续性。
Lipschitz连续性是指存在一个正常数K，对于定义在实数集上的函数f(x)，使得对于任意的x1和x2，都满足以下关系式：
f(x1) - f(x2) ≤ K x1 - x2
这意味着在定义域上的任何两个点之间，函数值之差的绝对值都不会超过它们的自变量差的绝对值与常数K的乘积。换句话说，Lipschitz函数的斜率总是有一个上限。Lipschitz函数是一类非常有用和有限制条件的函数，它们在分析、优化、概率、微分方程等诸多领域发挥着重要作用。
Lipschitz函数的性质：
Lipschitz函数的定义和性质使它们在数学中具有许多有用的特性。下面是一些Lipschitz函数的一些重要性质：
1. 函数的局部有界性：Lipschitz连续的函数在其定义域的任何有界子集上都是有界的。这使得它们在分析中的应用非常有用。
2. 函数的一致连续性：Lipschitz函数在其定义域上是一致连续的。这意味着对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当 x1 - x2 < δ时， f(x1) - f(x2) < ε。这种连续性性质在数学分析中经常使用。
3. 函数的存在唯一性：对于某些类型的微分方程，满足Lipschitz条件的函数可以保证存在唯一的解。这使得Lipschitz函数在微分方程的研究中具有重要意义。
4. 函数的收敛性：对于Lipschitz函数列，在紧致集上，它们存在一个在该集合上一致收敛的子列。这也是Lipschitz函数在概率和优化问题中的一个重要应用。
5. 函数的导数有界性：如果Lipschitz函数在定义域上都可导，那么它们导数的绝对值有一个上限。这对于解决一些优化和微分方程问题非常重要。
具有H(m)-型核的奇异积分算子交换子的双权Lipschitz估计
第３５卷第６期 ２０１１年１１月 江西师范大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＩＡＮＧＸＩ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ｆＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥ） 、，＿０Ｉ．３５ＮＯ．６ ＮＯＶ．２０１ｌ 文章编号：１０００—５８６２（２０１ １）０６—０６０１—０４ 具有 ）．型核的奇异积分算子交换子的双权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ估计
曾志强，陈冬香 （江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３３００２２） 摘要：利用核函数估计方法研究了具有 ）．型核函数的奇异积分算子和加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的交换子 的性质．通过建立该交换子的ｓｈａｒｐ极大函数的点态估计，证明了上述交换子是ＬＰ（／Ｏ￣Ｉ Ｌｐ（／２－ｑ）上的有界算 子，推广了一些已有的结果． 关键词：交换子；加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数；Ｈｉｍ）－型核 中图分类号：０ １７４．２ 文献标识码：Ａ
０ 引言 设ｂ是Ｒ 上的局部可积函数， 是Ｃａｌｄｅｒｏｎ— Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子，对光滑函数，，交换子 【６，Ｔ］被定义为［６，ｒ］ｆ＝ｂＴ（ｆ）－Ｔ（ｂｆ）． １９７８年，ｓ．Ｊａｎｓｏｎ证明了交换子『６，Ｔ１在 ｆ１＜Ｐ＜ｏＯ）上是有界的当且仅当ｂ∈ＢＭＯ Ｄ－２１． １９９５年，Ｍ．Ｐａｌｕｓｚｙｎｓｋｉ证明了若ｂ∈Ｌｉｐ＃当且仅当 交换子【６，Ｔ］是从 到 有界的［引，其中１＜Ｐ＜ｑ＜ ００，０＜ ＜１和１／ｑ＝１／ｐ—ｆｌｌｎ．有关其它交换子的 结果，参见文献［４—５】． 定义１若核 满足下列２个条件： （ｉ）当 ≠０时，Ｉ七（ ）Ｉ≤ ～； （ｉｉ）当２１ｙｌ≤ 时，ｌｋ（ｘ－ｙ）－ｋ（ｘ）ｌ≤ｙ／Ｉｘｌ肿 ， 则称这样的核函数ｒ（ｘ， ）为经典核函数． 定义２ 若一个局部可积函数 （】ｆ）属于加权 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数空间，即ｆ（ｘ）∈ ｆｐ 。 ：对于１≤Ｐ≤ ｏｏ，１＜ ＜∞， ∈ （Ｒ ），有 ｓｕｐ （ ｐ ｐ ） ≤ｃ＜ｏｏ， 其中上确界取遍Ｒ 所有的球Ｂ．由这些函数生成 的Ｂａｎａｃｈ空间用三 ， 表示，把｛Ｃ）的下确界记为 Ｉｌｆｌｌ￡ 令三 ， ＝三 ， ，显然，当∥＝１时， Ｐ，ａ空间就是经典的Ｌｉｐｚ空间． ２００７年Ｈｕ Ｂｅｉ，Ｇｕ Ｊｉａ－ｊｕｎ在文献［６］中研究了 一些加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数的交换子有界性，得到如 下结论． 定理１ 设 是Ｃａｌｄｅｒｏｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算 子， ∈ （Ｒ ），１／ｑ＝１／ｐ－ｆｌ／ｎ，对０＜ ＜ｌ和 １＜ｐ＜ｑ＜ｏｏ，其中核函数满足定义１，若ｂ∈Ｌｉｐａ， 则 交换子［６，刀是 （ 到 （ 卜 ）上的有界算子． 定义３设ｍ≥１，１／ｍ ＝１－１／ｍ，Ｋ∈ （Ｒ ＼｛ｏ））， 若存在常数Ｃ＞０，使得Ｖｒ＞ｏ，ｘ，Ｘ０∈Ｒ”且Ｉ —ｘｏＩ≤ｒ， 有不等式 ∞ ｎ／ｍ ∑（２ ，） ・ ，， 、Ⅳ Ｉ Ｊ ｌ （五 ）一 （ ，ｙ）ｌ ｄｙ Ｉ ≤Ｃ，（１） ２￣ｒ＜ｌｙ一￣ｏ１＜２“ ｒ Ｊ 而且习 ＞０使得 ∞ ｎ／ｍ ∑ （２ ｒ） ・ ，， 、“ｍ ｌ ｆ ｌＫ（ ，ｙ）－Ｋ（ｘｏ， ）ｌ巩ｄｙ Ｉ≤Ｃ（２） ２￣ｒ＜ｌｙ一￣ｏ１＜２“‘ｒ 成立，称核函数 （ ，ｙ）满足疗（ ）条件． 易得雷（ ）条件包含了文献［７］的 （ ）条件． 当核函数ｇ（ｘ，Ｊ，）满足定义１的２个条件时，则
带有加权Lipschitz函数的交换子的有界性
数学物理学报
ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ
带有加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数的交换子的有界性
孔祥波 。江寅生 。张霖
（ 新疆大学附属中学 乌鲁木齐８３００４６；。新疆大学数学与系统科学学院 乌鲁木齐８３００４６ 。新疆财经大学应用数学学院 乌鲁木齐８３００１２）
摘要：研究了由加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数ｂ和Ｃａｌｄｅｒｄｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子 生成的交换子 死在一些加权空间上的有界性，涉及到加权Ｈａｒｄｙ空间，加权Ｈｅｒｚ空间及和加权Ｈｅｒｚ型 Ｈａｒｄｙ空间．同时也得到了其相应的端点估计．
关键词：奇异积分；交换子；加权Ｈａｒｄｙ空间；加权Ｈｅｒｚ空间；加权Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间．
ＭＲ（２０００）主题分类：４２Ｂ２０；４２Ｂ２５；４２Ｂ３０ 中图分类号：Ｏ１７４．２ 文献标识码：Ａ
文章编号：１００３—３９９８（２０１３）０１—１５２—１３
１ 引言
设 一 表示 ”上的单位球面， 【２∈Ｌｉｐ１（Ｓ一 ）是 上的零次齐次函数且在 一
上的积分值为零．我们定义Ｃａｌｄｅｒｄｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分 如下
ｆ（ｘ ．Ｖ． ． √Ⅱ ｎ ｌ 一 ｌ
设ｂ是 ｎ上的局部可积函数，对于合适的函数ｆ，由函数ｂ及算子 生成的交换子定义为
Ｔｂｆ（ｘ）＝ｂ（ｘ）Ｔｆ（ｘ）一 （６，）（ ）．
Ｊａｎｓｏｎ Ｓ［ ］证明ｂ∈Ｌｉｐ （齐次Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数）当且仅当交换子死是从 ｐ到 有界
的，其中ｌ＜Ｐ＜ｑ＜∞，０＜ ＜１及１／ｑ＝１／ｐ一 ／ｎ．Ｐａｌｕｓｚｙｆｉｓｋｉ Ｍ＿２＿得到了ｂ∈Ｌｉｐｆｌ当 且仅当交换子死是从 到 ， 有界的，其中１＜Ｐ＜（２０，０＜ ＜１．陆等［３］证明了带有
Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数的交换子在Ｈａｒｄｙ型空间的有界性．
最近，胡和顾［ ］证明了一个交换子定理．
定理Ａ设 是Ｃａｌｄｅｒｄｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子， ∈ＡＩ（Ｒ ），０＜ ＜１，１／ｑ＝ １／ｐ一９／ｎ及１＜Ｐ＜ｑ＜∞．则ｂ∈Ｌｉｐ ， 当且仅当交换子死是从Ｌ （ ）到Ｌ （ 卜。）有界
关于多线性分数次积分与加权Lipschitz函数的交换子
数学物理学报
ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ
关于多线性分数次积分与加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数的交换子
连佳丽 。马柏林 。伍火熊 （ 厦门大学嘉庚学院信息与计算科ｑ－系 福建漳州３６３１０５； 。嘉兴学院数理与信息工程学院 浙江嘉兴３１４００１；。厦门大学数学科学学院 福建厦门３６１００５）
摘要：研究由多线性分数次积分算子与加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的两类交换子在加权Ｌｅｂｅｓｇｕｅ 空间中的有界性，建立了这些交换子的强型加权估计，推广了先前的一些结果．
关键词：多线性分数次积分；交换子；权；加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数；极大函数．
ＭＲ（２０１０）主题分类：４２Ｂ２０；４２Ｂ２５ 中图分类号：Ｏ１７４．２ 文献标识码：Ａ
文章编号：１００３—３９９８（２０１３）０３—４９４—１６
１ 引言
设仇，礼∈Ｎ，０＜ＯＬ＜ｍｎ．给定Ｒ 上的向量值函数ｆ＝（ｆｌ，…，，ｍ），我们定义多线性
分数次积分为
（ｆ）㈤＝ … ． （１． ）
作为经典Ｒｉｅｓｚ位势的多线性推广， （１．１）式定义的算子已被广泛地研究，可参看文献［１，
３ ６，１０，１３—１５，１７］及所引文献．特别地，许多关于加权估计的结果在文献［１，３ ４，１４ １５，ｌ７］
中也已经得到．另一方面，由分数次积分算子与ＢＭＯ函数或Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的交换子
的研究也引起了广大学者的关注．当ｍ∈Ｎ，设ｂ＝（ｂｌ，…，ｂ ）为一族局部可积函数，我们
如下定义由多线性分数次积分（１．１）与ｂ生成的两类交换子
和 ６ （玑）） （ ）
＿＿＿ ＿二 ： ｄ ‘・・ｄ ” （ ・２）
竹 Ｅ，ｂ …ｆ Ｘ）＝∑ Ｉｃｂｉ ，ｉ｛ ｇ＇…， ）（ ）， （１．３）
ｔ＝１
收稿日期：２０１１—０９—１６；修订日期：２０１３—０１—２５ Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｉａｌｉｌｉａｎ￣ｘｕｊｃ．ｃｏｒｎ；ｂｌｍａ＠ｍａｉｌ．ｚｊｘｕ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｈｕｏｘｗｕ￣ｘｍｕ．ｅｄｕ．ｃａ ｛基金项目：国家自然科学基金（Ｇｌ１０７１２００）、福建省自然科学基金（２０１０Ｊ０１０１３）、湖南省自然科学基金 （０９ＪＪ５００２）和浙江省自然科学基金（Ｙ６１００８１
Lipschitz型Marcinkiewicz交换子的弱Herz估计
型 墟 数学物理学报 ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ交换子的弱Ｈｅｒｚ估计 陈金阳 。李亮 。马柏林 （ 湖北师范学院数学与统计学院 湖北黄石４３５００２ 伊犁师范学院数学系 新疆伊宁８３５０００； 。嘉兴学院数学与信息工程学院 浙江嘉兴３１４２００） 摘要：该文证明了一类粗糙核Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分与Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ Ｈａｒｄｙ空间到弱Ｈｅｒｚ空间中的有界性． 关键词：Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数；弱Ｈｅｒｚ空间． ＭＲ（２０００）主题分类：４２Ｂ２５；４２Ｂ３０ 中图分类号：Ｏ１７４．２ 文章编号：１００３—３９９８（２０１１）０４—１１１５—０７ １ 引言 函数生成的交换子在Ｈｅｒｚ一 文献标识码：Ａ
假设ｓ一 表示 ｎ ２）中具有Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度的单位球面，Ｑ是舻上的零次齐次 函数且Ｑ∈Ｌ （Ｓ一 ），满足 Ｑ（ ）ｄ （ ）＝０ 其中 ＝南， ≠０． 我们称函数属于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ空间Ｌｉｐ。（Ｒ ），若满足 ＩＩｆｌ［Ｌｉｐ，（Ｒ￣）＝ｓ响ｕｐ ＜∞ Ｅ．Ｓｔｅｉｎ［ １定义的ｎ维Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分 如下 （，）（ｚ）＝ （ ｌ 一 ｉ １一 ，（ ）ｄ ｌ。 ） 对ｂ∈ ｌ。 （Ｒ ），由其生成的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｅｚ交换子为 Ａ ，６（，）（ｚ）： （ （１）
（２）
（３）
＜ ； ，（ ）ｄ ｌ ｔ） ．（４） ｝ 一 ｝ Ｊ 一 八 Ｉ。／／’ 收稿日期：２００９－１１—２３；修订日期：２０１０—１０一Ｏ８ Ｅ—ｍａｉｌ：ｃｊｙｐｐＴ０１４＠１２６．ｃｏｍ ｝基金项目：国家自然科学基金（１０７７１０５４）、湖北省教育厅青年项目（Ｑ２ＯＬＯ２５Ｏ８）、湖北师范学院人才引进项目 （２００８Ｆ０８）、湖北师范学院创新团队项目和新疆高校科研计划项目（
ＸＪＥＤＵ２００８Ｓ５８）资助 １１１６ 数学物理学报 Ｖｏ１．３１Ａ 国内外有许多的学者研究了算子 及 Ｑ ｂ的有界性，见文献ｆ２～４１．Ｅ．Ｓｔｅｉｎ在文献 （１】中得到了Ｑ∈Ｌｉｐ（Ｒ ）时 的（ ｐ， ）有界性． １９９０年Ｔｏｒｃｈｉｎｓｋｙ和王在文献［５］中 考虑了ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ ）时交换子 ，ｂ的加权有界性．另一方面，当ｂ∈Ｌｉｐ；￣（Ｒ ）时，交换 子Ｍａ，ｂ的有界性被王在文献［７］中得到，并且默和陆在文献［９］中进一步研究了多线性的 情形．最近张和兰在文献（６】中研究了ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ ）时交换子 在Ｈｅｒｚ空间中的弱估 计，Ｈｅｒｚ型空间为ＬＰ（Ｒ ）空间的推广，受到诸多学者的关注．受上述文献的启发，本文主 要讨论ｂ∈Ｌｉｐｆｌ（Ｒ ）情形下交换子在弱Ｈｅｒｚ空间中的性质． 首先，介绍一些定义和记号． 令 ＝ｘ∈Ｒ”： ＜２ｋ｝，Ｃｋ＝Ｂｋ／Ｂｋ一１且对 ∈ｚ，Ｘｋ＝ＸＣ 表示 的特征函 数． 定义１【６ｊ 设 ∈Ｒ，０＜Ｐ＜（３０，０＜ｑ＜。。，定义齐次Ｈｅｒｚ空间如下 ｒ ／＋ｏａ 、 、 ￣ ｏｚ （Ｒ ）：｛ ∑２ｋａＰｌｌｆｘｋｌｌｐ） ＜。。｝； （５） 定义非齐次Ｈｅｒｚ空间如下 ｃ ＝ ＋ＩｌｆｘＢｏｌ｛ ） １＜。。）＿ ㈣ 当Ｐ＝（）（）时，定义亦成立．Ｈｅｒｚ空间是比ＬＰ（Ｒ ）更广泛的空间． 定义２【。】 设 ∈Ｒ，０＜Ｐ＜。。，０＜ｑ＜。。，定义齐次弱Ｈｅｒｚ空间Ｗ ｐ（Ｒ ）为 （Ｒ ）＝ 一ｓｕｐ Ａ（ ２ ） １＜。。）；（７） 定义非齐次弱Ｈｅｒｚ空间 ’ （Ｒ ）如下 ｛川｝，Ｉ［ｗＫ； ＝￣ ｕｐ Ａ（Ｉ｛ｚ∈ Ｉｆ（ ＞ ∑２ｋ￣Ｐｌ｛ｘ∈Ｃｋ：Ｌｆ（ ）ｌ＞入 ） ＜。。｝． （８） ：一ｏ。 显然，当０＜Ｐ＜。。，ｎ∈Ｒ时，有 ‘ （Ｒ ）＝ （Ｒ ）＝ＷＬ （Ｒ ），且 ’ （舻）＝ｗＧ． （ ）． 定义３【 】 设Ｑ∈Ｒ，０＜Ｐ＜。。，ｌ＜ｑ＜ｏ。，定义齐次Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间如下 Ｈ ’ （Ｒ ）＝｛ｌ厂：ｆ∈ｓ （Ｒ ），Ｇ（，）∈ ’ （Ｒ ）｝； （９） 非齐次Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间如下 日 ’ （兄 ）：｛ｌ厂：ｆ∈Ｓ （Ｒ ），ａ（ｆ）∈ （Ｒ ））． （１０） 其中ｓ （Ｒ ）表示Ｒ 上缓增广义函数空间，Ｇ（ｆ）是，的Ｇｒａｎｄ极大函数，见文献［８］． 明显地，日 ，ｐ（Ｒ ）＝日 ，ｐ（Ｒ ）＝ＨＰ（Ｒ ），日 （Ｒ“）＝日 Ｉ （Ｒ”）．即Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空 间是古典Ｈａｒｄｙ空间的推广，因此研究上述算子在该类空间中的性质是具有意义的．
Bochner-Riesz算子的极大交换子的加权Lipschitz估计
高校应用数学学报 ２０１２，２７（１）：９６—１０３
Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｒｉｅｓｚ算子的 极大交换子的加
权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ估计
李亚楠，陈冬香
（江西师范大学数学与信息科学学院，南昌３３００２２）
摘要： 首先建立了Ｂｏｃｈｎｅｒ．Ｒｉｅｓｚ算子Ｂ｝与加权Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数ｂ生成的极大交换 子ｓｈａｒｐ极大函数的点态估计．应用该点态估计证明了Ｂｏｃｈｎｅｒ．Ｒｉｅｓｚ算子的极大交 换子是ＬＰ（ｔｔ）到ＬＰ（Ｉ￣１－－ ）上的有界算子，其中 ∈Ａ１，１＜Ｐ＜∞． 关键词：Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｒｉｅｓｚ算子；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数；极大函数；交换子 中图分类号：Ｏ１７４．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—４４２４（２０１２）０１．００９６．００８ §１ 引 言
多重Ｆｏｕｒｉｅｒ积分和Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｒｉｅｓｚ平均，是多元Ｆｏｕｒｉｅｒ分析的一个重要分支．这个领域的开 创性工作是Ｓ．Ｒｏｃｈｎｅｒ于二十世纪三十年代提出的．近年来国内外很多学者相继在这一领域作出 了许多有价值的结果，但至今仍有一些基本的问题还有待进一步研究．有关Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｒｉｅｓｚ算子 相关性质的进一步研究必将推动这一领域的发展． １９９５年陆善镇在ｆ１—２１中定义ＴＢｏｃｈｎｅｒ—Ｒｉｅｓｚ极大算子及其极大交换子，其定义如下： 定义１．１ 设Ｂ （，）（∈）＝（１一ｔ２ ） ，（∈）和 （ｚ）＝ ～ （季），当 ＞０时，记
Ｂ２， （，）（ ）＝／［６（ ）一６（ ）］ （ 一ｙ）ｆ（ｙ）ｄｙ． ｔ，Ｒｎ Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｒｉｅｓｚ平均极大算子及其极大交换子分别定义如下： Ｂ （．厂）（ ）＝ｓｕｐ Ｉ （，）（ ）ｊ， ｔ＞０ 和 Ｂ２． （ｔ厂）（ ）＝ｓｕｐ Ｉ（Ｂｂ，ｔ，）（ ）【．
收稿日期：２０１１—１０—２０ 修回日期：２０１２—０１—１７ 基金项目：国家自然科学基金（１０８７１１７３；１０９６１０１５）；江西省自然基金（２００８ＧｚｓＯ０５１）；江西省教育厅基 金（ＧＪＪ１０３９７１
一类粗糙核奇异积分算子与Lipschitz函数生成的交换子的有界性估计
第２３卷第４期
２０１１年ｌ２月 湖南文理学院学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＡｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｌ０１．２３ＮＯ．４
Ｄｅｃ．２０１１
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－６１４６．２０１１．０４．００６
一类粗糙核奇异积分算子与Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的
交换子的有界性估计
曹前 ，马柏林
（１．湖南文理学院数学与计算科学学院，湖南常德，４１５０００；
２．嘉兴学院数理与信息工程学院，浙江嘉兴，３１４０００）
摘要：引入了一类粗糙核奇异积分算子与Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数生成的交换子 ＝ｂ（ｘ）Ｔｆ（ｘ）一 （ ）（ ）， 表示具有
ｎ １ 粗糙核 ∈ 一。（Ｌｏｇ（Ｓ ））的奇异积分算子，ｂ是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数，并研究了此交换子的 （Ｒ ）到 ）， ＝
一 有界性．
Ｐ
关健词：奇异积分算子；交换子；乘子算子；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ空间
中图分类号：Ｏ １７７．６ 文章编号：１６７２—６１４６（２０１１）０４—００１９—０５
Ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｎｏｎｓｍｏｏｔｈ ｋｅｒｎｅｌ Ｓｉｎｇｕｌａｒ
ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＣＡＯ Ｑｉａｎ ，ＭＡ Ｂｏ．１ｉ２
（１．Ｍａｔｈｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＡｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｄｅ ４１５０００，Ｃｈｉｎａ；２
Ｍａｔｈｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｍ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉａｘｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ ３ １４０００，Ｃｈｉｎａ）