2013届高考数学一轮复习讲义：11.3-变量间的相关关系
代入公式，得 b＝－3.2，所以，a＝ y －b x ＝40，
故线性回归方程为y^＝－3.2x＋40.
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利用线性回归方程对总体 进行估计
例 3 某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位：万元)之间有 如下对应数据： x2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)试预测宣传费支出为 10 万元时，销售额多大？
(2)若(1)具有线性相关关系，求出 y 关于 x 的线性回归方程．
画出散点图，判断其线性相关性，求出线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ回归方程． 主页
解 (1)由题意知，年收入 x 为解释变量，年饮食支出 y 为预报 变量，作散点图如图所示．
从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出 具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间 的关系．
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求线性回归方程
例 2 某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下：
年收入 x(万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食支
1.
出 y(万元) 0.9 4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
(1)根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出是否
具有相关关系；
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（参考公式，数据如下）
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要点梳理
忆一忆知识要点
(2)回归方程 方程y^ ＝bx＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据
(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中 a，b 是待定
参数．
b
n
n
(xi x)( yi y)
(xi yi nx y)
i 1
n
(xi x)2
=
i 1 n
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(1)用 x 轴表示施化肥量，y 轴表示棉花产量，逐一画点． (2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系． 解 (1)散点图如图所示
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(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所 以施化肥量 x 与产量 y 具有线性相关关系．
探究提高
散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的 两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点 图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度．
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变式训练 1 在某地区的 12～30 岁居民中随机抽取了 10 个人的身高和体重的 统计资料如下表：
身高(cm) 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160
体重(kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54 根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有 相关关系． 解 以 x 轴表示身高，y 轴表示体重，可得到相应 的散点图如图所示： 由散点图可知，两者之间具、 有相关关系，且为正相关．
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答题模板
求线性回归方程问题 (14 分)一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转 速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点 零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速 x(转/秒)
16 14 12 8
每小时生产有 缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5
2
y
＝1
318405－－55××55×2 50＝6.5，
a＝ y －b x ＝50－6.5×5＝17.5，
因此，所求线性回归方程是y^ ＝6.5x＋17.5.
(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为 10 万元 时，y^ ＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，
即这种产品的销售额大约为 82.5 万元．
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画散点图，对变量的相关关系作出评估；求线性回归方程， 由线性回归方程进行回归分析预测． 解 (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：
(2)计算得： x ＝255＝5， y ＝2550＝50，
5
5
∑i＝1xi2＝145，∑i＝1xiyi＝1 380.
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5
于是可得
b＝∑i＝1x5 iyi－5 x ∑i＝1x2i －5 x
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规范解答 解 (1)散点图如图所示
根据散点图可直观判断 y 与 x 有线性相关关系．
4
x ＝12.5， y ＝8.25，∑i＝1xiyi＝438，
4
4
4 x y ＝412.5，∑i＝1xi2＝660，∑i＝1yi2＝291，
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[6 分] [4 分]
4
b＝i∑＝1x4 iyi－4 x
y ≈0.728 6，
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(1)画出散点图判断 y 与 x 是否具有线性相关关系，如果有，求 线性回归方程； (2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？(结果保 留整数)
审题视角
(1)在具有线性相关性的前提下，求线性回归方程；(2)利用 线性回归方程进行相关分析．
例 1 山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7 块并排、形状大小相 同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影 响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)． 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 33 34 36 40 44 45 45 0555505 (1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系．
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探究提高
利用线性回归方程可以对总体进行预测估计，线性回归方程将 部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系 的两个变量进行分析和控制的依据，依据自变量的取值估计和 预报因变量的值，在现实生活中有广泛的应用．
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变式训练 3
下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的
产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据．
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95
化学分数z 67 72 76 80 84 87 90 92
①用变量y与x, z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学 的相关程度； ②求y与x, z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关 指数比较所求回归模型的效果.
x
3
45
6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回 归方程y^ ＝bx＋a； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤．试根 据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比 技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
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10
10
(2)∵ x ＝6， y ＝1.83，∑i＝1x2i ＝406，∑i＝1xiyi＝117.7，
10
∴b＝∑i＝11x0iyi－10 x
y ≈0.172，
∑i＝1xi2－10 x 2
a＝ y －b x ＝1.83－0.172×6＝0.798.
从而得到线性回归方程为y^ ＝0.172x＋0.798.
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解 (1)散点图如下图：
(2) x ＝3＋4＋4 5＋6＝4.5， y ＝2.5＋3＋4 4＋4.5＝3.5，
4
∑i＝1xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
4
∑i＝1xi2＝32＋42＋52＋62＝86， 主页
4
∴b＝∑i＝14xiyi－4 ∑i＝1x2i －4
x x
价格 x 9 9.5 10 10.5 11
销售量 y 11 10 8 6 5
通过分析，发现销售量 y 与商品的价格 x 具有线性相关关系，
则销售量 y 关于商品的价格 x 的线性回归方程为y_^＝__－__3_._2_x_＋__40_．
5
5
i∑＝1xiyi＝392， x ＝10， y ＝8，i∑＝1x2i ＝502.5，
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方法与技巧
1．求线性回归方程，关键在于正确求出系数 a，b，由于 a， b 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计 算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为 b，常 数项为 a，这与一次函数的习惯表示不同．)
2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决： (1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之 间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取 值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．
[10 分] [14 分]
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答题模板
第一步：判断两个变量的线性相关性； 第二步：求线性回归方程的斜率和截距； 第三步：确定线性回归方程； 第四步：根据线性回归方程对随机变量作出预测； 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范．
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批阅笔记 (1)本题易错点有两个，一是散点图描点不准确，线性相关关系判 断不准；二是计算易出错． (2)如果不先判断线性相关性，我们虽然也可以求出 x 与 y 的线性 回归方程，但这时的线性回归方程也许没有任何实际价值，它也 就不能确定地反映变量 x 与 y 之间的变化规律，只有在 x 与 y 之 间具有相关关系时，求得的线性回归方程才具有实际意义．
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失误与防范
1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方 法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才 有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
2．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发 生的值．
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例1.为了对2008年某市中考成绩进行分析，所有成绩均按百分制 进行了折算. 在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数 学分数从小到大排列是60，65，70，75, 80, 85, 90, 95，物理分 数从小到大排列是72, 77, 80, 84, 88, 90, 93, 95. (1)若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3 位同学的数学和物理分数均为优秀的概率； (2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
高三数学高考一轮复习资料： 变量间的相关关系、统计案例
变量间的相关关系、统计案例[最新考纲]1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.知 识 梳 理1．两个变量的线性相关 (1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a^，b ^是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a^＝y －b ^x .3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d构造一个随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．辨析感悟1．对变量间的相关关系的认识(1)(·武汉调研改编)①A项：正方体的棱长与体积是相关关系．(×)②B项：日照时间与水稻的亩产量是相关关系．(√)(2)(教材思考问题改编)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×)(3)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示．(√)2．对回归直线方程的理解(4)通过回归方程y^＝b^x＋a^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．(√)(5)任何一组数据都对应着一个回归直线方程．(×)(6)(·湖南卷改编)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方^＝0.85x－85.71，判断下列命题的正误：程为y①y与x具有正的线性相关关系．(√)②回归直线过样本点的中心(x，y)．(√)③若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg.(√)④若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg. (×)3．对独立性检验的认识(7)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．(√)(8)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(×)[感悟·提升]1．“相关关系与函数关系”的区别函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．如(2)．2．三点提醒 一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．如(5)．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．如(6)中的④.三是独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．如(8).考点一 两个变量间的相关关系【例1】 (·湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^ ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^ ＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析 ①中，回归方程中x 的系数为正，不是负相关；④方程中的x 的系数为负，不是正相关， ∴①④一定不正确． 答案 D规律方法 在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^代表x 每增加一个单位，y 平均增加的单位数，一般来说，当回归系数b^＞0时，说明两个变量呈正相关关系；当回归系数b ^＜0时，说明两个变量呈负相关关系．【训练1】 对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )．A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析 由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x 与y 负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u 与v 正相关． 答案 C考点二 线性回归方程及其应用【例2】 (·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．审题路线 先确定x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1n y i ⇒计算∑i ＝1n x 2i －n x 2⇒计算b ^⇒计算a ^⇒得到线性回归方程⇒由b ^的符号判断相关⇒把x ＝7代入线性回归方程求y ^. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80. ∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24.由此得b ^＝∑i ＝110x i y i －10 x y∑i ＝110x 2i －10 x 2＝2480＝0.3， a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). 规律方法 (1)正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2)回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．【训练2】 (·南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x的数据.房屋面积x /m 2 115 110 80 135 105 销售价格y /万元 24.821.618.429.222(1)求线性回归方程；(2)据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解 (1)x ＝15×(115＋110＋80＋135＋105)＝109， y ＝15×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. 设所求回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^，则b^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝3081 570≈0.196 2，∴a^＝y －b ^ x ＝23.2－109×3081 570≈1.816 6. ∴所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6.(2)由第(1)问可知，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．考点三 独立性检验【例3】 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是()．A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析由7.8＞6.635知，有1－0.010即99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案 A规律方法利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是根据公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，计算随机变量的观测值k，k值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．【训练3】(·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．解(1)2×2列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(2)因为K 2＝30×(8－128)212×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.1．求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求线性回归方程．3．根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．方法优化8——求回归直线方程的方法技巧【典例】 (·安徽卷)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地年的粮食需求量．[优美解法] (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257－21－111929对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －b ^ x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝6.5(x －2 006)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测年的粮食需求量为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．[反思感悟] 求回归直线方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般法去解，计算更繁琐(如年份、需求量不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的要考虑有没有更简便的方法解决． 【自主体验】为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为________． 解析 数据处理如下：x ′＝父亲身高－176 －2 0 0 0 2 y ′＝儿子身高－176－1－111计算得：x ＝0，y ＝0.∴b^＝48＝12，∴a ^＝y －b ^x ＝0， ∴所求回归直线方程为：y ^－176＝12(x －176)， 即y ^＝12x ＋88. 答案 y ^＝12x ＋88基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()．A．速度一定时，位移与时间B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C．身高与体重D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于身高一样的人，体重仍可以不同，故选C.答案 C2.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()．A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同解析由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．答案 A3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()．A．－1 B．0 C.12D．1解析所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D.答案 D4．(·兰州调研)对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x 24568y 2040607080^＝10.5x＋a^，据此模型来根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y预测当x＝20时，y的估计值为()．A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5^＝1.5，所以y^＝10.5x 解析由数据中可知x＝5，y＝54，代入回归直线方程得a^＝10.5×20＋1.5＝211.5.＋1.5，当x＝20时，y答案 C5．(·临沂一模)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A.0.1% B．1% C．99% D．99.9%解析因为K2＝7.069＞6.635，所以P(K2＞6.635)＝0.010，所以说有99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．答案 C二、填空题6．已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是________相关(填“正”或“负”).施化肥量x 15202530354045水稻产量y 330345365405445450455解析因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图如图所示：通过观察图象可知变量x与变量y是正相关．答案 正7．(·济南模拟)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年教育支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.15x ＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．解析 回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元． 答案 0.158．(·嘉兴联考)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 男 13 10 女720已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．解析 ∵K 2≈4.844，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%. 答案 5% 三、解答题9．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：认为作业多 认为作业不多 合计喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏8 15 合计(1)请完善上表中所缺的有关数据；(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：P (K 2≥k 0)0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解 (1)认为作业多 认为作业不多 合计喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏8 15 23 合计262450(2)将表中的数据代入公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得到K 2的观测值k ＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14x 2i ＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5(吨)， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b^＝∑i ＝14x i y i －4x ·y∑i ＝14x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．以下四个命题，其中正确的是( )．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；^＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y^③在线性回归方程y平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．A．①④B．②④C．①③D．②③解析①是系统抽样；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．答案 D2．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()．A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r1解析对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0，所以选C.答案 C二、填空题3．(·江西重点中学联考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回^＝0.67x＋54.9.归方程y零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．解析由已知可计算求出x＝30，而回归直线方程必过点(x，y)，则y＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则a＋62＋75＋81＋895＝75，计算得a＝68.答案68三、解答题4．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，P(K2≥k0)0.100.050.01k0 2.706 3.841 6.635解(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，“非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表的数据代入公式计算：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100(30×10－45×15)245×55×75×25＝10033≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关． (2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，从而X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164E (X )＝np ＝3×14＝34，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.基础回扣练——统计与统计案例(建议用时：60分钟)一、选择题1．(·石家庄调研)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )．A ．简单随机抽样法B ．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法解析总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样，为分层抽样．答案 D2．(·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为()．A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90解析一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.答案 A3．(·湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70) 频数23454 2则样本数据落在区间[10,40)的频率为()．A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65解析数据落在区间[10,40)内的频数为9，样本容量为20，所求频率为920＝0.45.答案 B4．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程y^＝b^x＋a^，则“(x0，y0)满足线性回归方程y^＝b^x＋a^”是“x0＝x1＋x2＋…＋x1010，y0＝y1＋y2＋…＋y1010”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析x0，y0为这10组数据的平均值，根据公式计算线性回归方程y^＝b^x＋a^的b^以后，再根据a^＝y－b^x(x，y为样本平均值)求得a^.因此(x，y)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x，y)外，可能还有其他样本点．答案 B5．已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x ，方差为s 2，则( )． A.x ＝5，s 2<2 B.x ＝5，s 2>2 C.x >5，s 2<2 D.x >5，s 2>2解析 x ＝8×5＋59＝5，s 2＝8×2＋(5－5)29＝169<2. 答案 A6．小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )．A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定解析 由题图(2)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(1)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%. 答案 C7.(·陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )． A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,53 解析 样本共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A. 答案 A8．(·江西八校联考)已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 分别是某省普通职工n (n ≥3，n ∈N *)个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，则这n ＋1个数据中，下列说法正确的是( )． A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析 由于世界首富的年收入x n ＋1较大，故平均数一定会增大，差距会拉大，因此方差也会变大，选B. 答案 B9．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )．A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′解析 b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ^＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2求得．b ^＝57，a ^ ＝y －b ^ x ＝136－57×72＝－13，∴b ^ <b ′，a ^ >a ′.答案 C10．(·潍坊适应性训练)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：优秀 非优秀 总计 A 班 14 6 20 B 班 7 13 20 总计211940附：参考公式及数据 (1)卡方统计量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)；(2)独立性检验的临界值表：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 k 03.8416.635则下列说法正确的是( )．A ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关解析 K 2＝40×(14×13－6×7)220×20×21×19≈4.912 3，根据临界值表可知有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关． 答案 C11．(·杭州二检)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )．A.25B.710C.45D.12解析 显然甲的平均成绩是90分，乙的平均成绩要低于90分，则乙的未记录的成绩不超过97分，90～97共有8个成绩，故满足要求的概率为810＝45. 答案 C12．某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是()．A．②，③都不能为系统抽样B．②，④都不能为分层抽样C．①，④都可能为系统抽样D．①，③都可能为分层抽样解析①在1～108之间有4个，109～189之间有3个，190～270之间有3个，符合分层抽样的规律，可能是分层抽样．同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的；同理③符合分层抽样的规律，可能是分层抽样时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的，故选D.答案 D二、填空题13．(·成都一模)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析设样本中男生人数为n，则有n560＝280560＋420，解得n＝160.答案16014．(·金丽衢十二校联考)统计某校1 000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是________名．解析[1－(0.005＋0.015)×10]×1 000＝800.答案80015．(·临沂模拟)假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)有如下的统计资料：使用年限x 2345 6维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.57.0^＝b^x＋a^中的由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程yb^＝1.23，据此估计，使用年限为10年时的维修费用是________万元．^＝解析由题意知x＝4，y＝5，即回归直线过点(4,5)，代入回归直线方程得a0.08，即回归直线方程为y^＝1.23x＋0.08，所以当x＝10时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．答案12.3816．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________．①p∧綈q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．解析由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案变量间的相关关系、统计案例1
第四节 变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例 1．变量间的相关关系(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系． (2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 2．统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． (2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用． 知识点一 回归分析 1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x . (3)通过求Q ＝∑ni ＝1(y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．(4)相关系数：当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．易误提醒1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上 .3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．[自测练习]1．已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝( )x 0 1 3 4 y2.24.3 4.86.7A.3.25 B ．2.6 C ．2.2D ．0解析：∵回归直线必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，代入回归方程，得a ^＝2.6.答案：B2．(2016·镇江模拟)如图所示，有A ，B ，C ，D ，E 5组(x ，y )数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．解析：由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D . 答案：D知识点二 独立性检验 独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋dK2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．易误提醒(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．[自测练习]3．下面是2×2列联表：y1y2总计x1 a 2173x2222547总计 b 46120则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74 D．74,52解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案：C考点一相关关系的判断|1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3解析：易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2<r4<0<r3<r1.答案：A2．(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关解析：因为y＝－0.1x＋1，x的系数为负，故x与y负相关；而y与z正相关，故x与z 负相关．答案：C相关关系的判断的两种方法(1)散点图法．(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．考点二回归分析|(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw∑8i ＝1(x i －x)2∑8i ＝1(w i －w)2∑8i ＝1(x i －x )(y i－y )∑8i ＝1(w i －w )(y i －y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469108.8表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^ u . [解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于 d ^＝∑8i ＝1(w i －w )(y i －y )∑8i ＝1 (w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值 z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．回归直线方程的求法(1)利用公式，求出回归系数b ^，a ^.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．1．(2016·银川一中模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^. (2)已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由对照数据，计算得∑4i ＝1x 1y 1＝66.5，∑4i ＝1x 21＝32＋42＋52＋62＝86，x ＝4.5，y ＝3.5，b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(2)x ＝100，y ^＝100×0.7＋0.35＝70.35，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．考点三 独立性检验|(2016·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500 mL 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥胖.常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整．(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：K 2≥k 0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，x ＋230＝415，解得x ＝6.常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不肥胖 4 18 22 合计102030(2)由已知数据可求得K 2＝30×(6×18－2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，任取两人的取法有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中一男一女的取法有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，共8种．故抽出一男一女的概率是P ＝815.解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确： ①明确两类主体； ②明确研究的两个问题． (2)两个关键：①准确画出2×2列联表； ②准确理解K 2.提醒：准确计算K 2的值是正确判断的前提．2．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男 女 总计 走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计6050110K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .附表：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 解析：K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.P (K 2≥6.635)＝0.01＝1－99%，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”，故选A.答案：A12.独立性检验与概率交汇综合问题的答题模板【典例】(12分)(2016·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：(1)判断是否有(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：(参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[规范解答](1)由公式K2＝55×(20×20－10×5)230×25×25×30≈11.978>7.879，(3分) 所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(6分)(2)设所抽样本中有m个男生，则630＝m20，得m＝4，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2.从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个，(9分)其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个．(11分)所以恰有1个男生和1个女生的概率为815.(12分)[模板形成]分析2×2列联表数据↓利用K 2公式计算K 2值↓对分类变量的相关性作出判断↓求相应事件的概率↓反思解题过程，注意规范化[跟踪练习] 某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据见下表所示：(1)加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )；其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是2250＝1125；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是2050＝25.(2)因为K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50×(17×20－5×8)225×25×22×28≈11.688>10.828，所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．A 组 考点能力演练1．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0 B.a >0，b <0 C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0解析：把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图(图略)，由图可知b ^<0，a ^>0.故选B.答案：B2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y^＝－0.3x ＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C ，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A ，B 得A 正确．答案：A3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附表及公式K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .则下面的正确结论是( )A ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析：由2×2列联表得到a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，则a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100，计算得K 2的观测值k 0＝100×(675－300)255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选A.答案：A4．根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝b x ＋a .若样本点的中心为(5，0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：依题意得，a ＋b －25＝0.9，故a ^＋b ^＝6.5①；又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ^＋a ^②，联立①②，解得b ^＝－1.4，a ^＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9，可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位，故选B.答案：B5．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x ·y ∑6i ＝1x 2i －6x2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′.答案：C6．(2016·忻州联考)已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a ^的值为________． 解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归方程必过样本的中心点(x ，y )．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得a ^＝－0.61.答案：－0.617．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：(请用百分数表示).解析：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333>7.879.答案：0.5%8．已知下表所示数据的回归直线方程为y ^＝4x ＋242，则实数a ＝________.解析：回归直线y ^＝4x ＋242必过样本点的中心点(x ，y )，而x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝251＋254＋257＋a ＋2665＝1 028＋a 5，∴1 028＋a 5＝4×4＋242，解得a ＝262.答案：2629．(2015·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 50岁以上 合计(2)能否有99% 解：(1)2×2列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(2)因为K 2＝30×(8－128)212×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．10．(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t12345(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款． 附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中， b ^＝∑ni ＝1t i y i －n t y ∑ni ＝1t 2i －n t2，a ^＝y －b ^t .解：(1)列表计算如下这里n ＝5，t ＝1n ∑n i ＝1t i ＝155＝3，y ＝1n ∑n i ＝1y i ＝365＝7.2. 又l tt ＝∑ni ＝1t 2i －n t2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑ni ＝1t i y i－n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝l ty l tt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元^＝0.76，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y^＝0.76x 解析：∵x＝10.0，y＝8.0，b＋0.4，把x＝15代入上式得，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.答案：B2．(2015·高考北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．解析：(1)由题图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前，但总成绩名次靠后，所以甲、乙两人中语文成绩名次比总成绩靠前的是乙；(2)丙同学的数学成绩名次位于中间稍微靠后，而总成绩名次相对靠后，所以丙同学的语文成绩名次比较靠后，所以丙同学的成绩名次靠前的科目是数学．答案：乙数学。
【精品课件】新教材一轮复习北师大版第10章第3讲变量间的相关关系、统计案例课件
求得回归方程^y＝0.67x＋54.9.
零件数 x(个) 10 20 30 40 50
加工时间 y(min) 62
75 81 89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__6_8__.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
[解析] 由－x ＝30，得－y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为 a， 则 62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名 男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评 价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20
第十章 统计、统计案例
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考点一
相关关系的判断——自主练透
(1)(2021·四 川 资 阳 模
拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关
系的研究中，研究人员获得了一组样
本数据，并制作成如图所示的人体脂
肪含量与年龄关系的散点图．根据该
图，下列结论中正确的是 ( )
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第十章 统计、统计案例
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积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表 示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计
20
20
20
算得xi＝60，yi＝1 200，
高三数学一轮 11.3 变量间的相关关系导学案 理 北师大版
学案58 变量间的相关关系导学目标： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．自主梳理1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从__________到________的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关 在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程 (1)最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到它的________________________的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数．自我检测1．下列有关线性回归的说法，不正确的是( ) A ．相关关系的两个变量不一定是因果关系 B ．散点图能直观地反映数据的相关程度C ．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D ．任一组数据都有回归直线方程2．(2009·海南，宁夏)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关3．(2011·银川模拟)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.254．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：， 家庭年平均收入与年平均支出有______线性相关关系．5．(2011·金陵中学模拟)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，则其回归方程是________________.探究点一 利用散点图判断两个变量的相关性例1 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：(1)(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？变式迁移1 某班5个学生的数学和物理成绩如表：探究点二求回归直线方程例2 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有以下统计资料：若由资料知y对x呈线性相关关系．试求回归方程y＝b x＋a .变式迁移2 已知变量x与变量y有下列对应数据：且y对x探究点三利用回归方程对总体进行估计例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)变式迁移3 (2011·盐城期末)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y 对x 的回归函数的类型为直线型：其中(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线y ^＝b ^x ＋a ^及回归系数b ^，可以估计和预测变量的取值和变化趋势． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．设有一个回归直线方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x ，y )4．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元5．(2011·青岛模拟)为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s 、t ，那么下列说法中正确的是( )A ．直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t)B ．直线l 1和l 2相交，但交点不一定是(s ，t)C ．必有l 1∥l 2D ．l 1与l 2必定重合二、填空题(每小题4分，共12分)6．下列关系中，是相关关系的为________．(填序号) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．7．已知回归直线的斜率的估计值是0.73，样本点的中心为(12.5,8.25)，则回归直线的回归方程是______________．8．(2011·茂名月考)在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下表：三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·威海模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x2，a ^ ＝y －b ^x )10．(12分)(2010·许昌模拟)某种产品的宣传费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求回归直线方程；(3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？11．(14分)(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？学案58 变量间的相关关系自主梳理1．(1)左下角 右上角 (2)左上角 右下角 2.(1)距离的平方和最小(2)∑ni ＝1i －xi－y∑n i ＝1 i－x 2∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x2y －b ^x 自我检测1．D 2.C 3.D4．13 正 5.y ^＝74x ＋234课堂活动区例 1 解题导引 判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图．散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度．解 (1)以x 轴表示温度，以y 轴表示热饮杯数，可作散点图，如图所示．(2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近．变式迁移1 解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图所示：由散点图可见，两者之间具有相关关系．例2 解题导引 根据题目给出的数据，利用公式求回归系数，然后获得回归方程． 解 制表如下：于是有b ^＝90－5×42＝10＝1.23； a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.∴回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.变式迁移2 解 x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝12＋32＋2＋34＝74，∑ni＝1x 2i ＝12＋22＋32＋42＝30， ∑n i ＝1x i y i ＝1×12＋2×32＋3×2＋4×3＝432， ∴b ^ ＝∑n i ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2＝432－4×52×7430－4×254＝0.8， a ^ ＝y －b ^x ＝74－0.8×52＝－0.25，∴y ^＝0.8x －0.25.例3 解题导引 利用描点法得到散点图，按求回归方程的步骤和公式，写出回归方程，最后对总体进行估计．利用回归方程可以进行预测，回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用．解 (1)散点图：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i－4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (3)现在生产100吨甲产品用煤y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)． 变式迁移3 68解析 x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )，∴40＝－2×10＋a ^.∴a ^＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 课后练习区1．D [根据线性回归的含义、方法、作用分析这三个命题都是正确的．] 2．C [设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线上，若x 2＝x 1＋1，则y 2－y 1＝(2－1.5x 2)－(2－1.5x 1)＝1.5(x 1－x 2)＝－1.5，y 平均减少1.5个单位．]3．D [因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据线性回归方程一定经过样本中心点可知D 正确．所以选D .]4．B [∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过(x ，y )，∴42＝72×9.4＋a ^ ，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．]5．A [回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.而a ^＝y －b ^x ，即a ^＝t －b ^s ，t ＝b ^s ＋a ^.∴(s，t)在回归直线上． ∴直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t)．] 6．①②解析 ①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系．②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系．③④都不具备相关关系．7.y ^＝0.73x －0.875解析 a ^＝y －b ^x ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875. 8．0.880 9解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035， ∴回归直线的斜率为 b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.9．解(1)散点图如图所示．(4分)(2)由表中数据得∑4i ＝1x i y i ＝52.5， x ＝3.5，y ＝3.5，∑4i ＝1x 2i ＝54， ∴b ^＝0.7.∴a ^＝y －b ^x ＝1.05.∴y ^＝0.7x ＋1.05.回归直线如图中所示．(10分) (3)将x ＝10代入回归直线方程， 得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，∴预测加工10个零件需要8.05小时．(12分)10．解 (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：(4分)(2)计算得：x ＝255＝5，y ＝2505＝50， ∑5i ＝1x 2i＝145，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 于是可得b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.(10分)(3)由上面求得的回归直线方程可知，当宣传费支出为10万元时，y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，即这种产品的销售大约为82.5万元．(12分)11．解 (1)n ＝6，∑6i ＝1x i ＝21，∑6i ＝1y i ＝426，x ＝3.5，y ＝71， ∑6i ＝1x 2i＝79，∑6i ＝1x i y i ＝1 481， b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x y∑6i ＝1x 2i －6x 2＝1 481－6×3.5×7179－6×3.52≈－1.82. (3分)a ^＝y －b ^x ＝71＋1.82×3.5＝77.37.(5分)∴回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ＝77.37－1.82x.(6分)(2)因为单位成本平均变动b ^＝－1.82<0，且产量x 的计量单位是千件，所以根据回归系数b 的意义有：产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元．(10分)(3)当产量为6 000件时，即x ＝6，代入回归方程：y ^＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．∴当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．(14分)。
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3．回归分析 (1)定义：对具有 相关关系的两个变量进行统计分析的一种常 用方法． (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)中( x ， y )称为样本点的中心． (3)相关系数 当 r>0 时，表明两个变量正相关 ； 当 r<0 时，表明两个变量负相关 ．
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1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角 到 右上角 的区域，对 于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角 到 右下角的区域，两 个变量的这种相关关系称为负相关．
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4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别 ， 像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的 频数表 ，称为列联表．假设 有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1， y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
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(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就 称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直 线．
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高三数学一轮 11.3 变量间的相关关系、统计案例课时检测 理 (含解析)北师大版
11.3 变量间的相关关系、统计案例一、选择题1．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和身体健康情况； ④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量． 其中两个变量成正相关的是( )A ．①③B ．②④C ．②⑤D ．④⑤解析 由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系， 故选C. 答案 C2.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析 由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A. 答案 A3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )．A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析 统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案 D4．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )．A ．直线l 过点(x ，y )B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同解析 由样本的中心(x ，y )落在回归直线上可知A 正确；x 和y 的相关系数表示为x 与y 之间的线性相关程度，不表示直线l 的斜率，故B 错；x 和y 的相关系数应在－1到1之间，故C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D 错． 答案 A5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )．A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 解析 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5(万元)，y ＝49＋26＋39＋544＝42(万元)，∴a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6(万元)时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B6．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝bx ＋a 必过样本中心(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点． 答案 B7．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )．A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率解析 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力． 答案 C 二、填空题8. 在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为________.解析 根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数 为1. 答案 189．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析 K 2≈3.918>3.841，而P (K 2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；但检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆，正确序号为①. 答案 ①10．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析 由题意，知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元． 答案 0.25411．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 杯数24343864由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯(已知回归系数解析 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40(杯)．∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60， ∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时， y ^＝－2×(－5)＋60＝70(杯)．答案 7012．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析因为K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案①三、解答题13．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：身高(cm) 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重(kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54解析以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．14.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万吨）236 246 257 276 286=+;（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
高考数学一轮复习 第11章 统计与统计案例 3 第3讲 变量间的相关关系、统计案例教案 理-人教版高
第3讲 变量间的相关关系、统计案例1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． 2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．(3)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝，a ^＝y －－b ^x －．(4)相关系数当r >0时，说明两个变量正相关； 当r <0时，说明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，说明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，说明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |大于时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d(2)K 2统计量K 2＝n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( ) (4)事件X ，Y 的关系越密切，由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( ) (5)通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，那么其回归直线方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：选A.因为商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，所以b ^<0，排除B ，D. 又因为x ＝0时，y >0，所以应选A.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2，那么所得到的统计学结论是：有多少的把握认为“学生性别与支持该活动有关系〞．( ) 附：P (K 2≥k 0)k 04A.0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%解析：选C.，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系〞． 下面是一个2×2列联表y 1 y 2总计 x 1 a21 73 x 2225 27 总计b46那么表中a 、b 处的值分别为解析：因为a ＋21＝73，所以a ＝52.又因为a ＋2＝b ，所以b ＝54. 答案：52、54x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^x ＋a ^，那么a ^＝________．x 0 1 3 4 y解析：由得x －＝2，y －，因为回归方程经过点(x －，y －)，所以a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.相关关系的判断[典例引领]变量x 和y 满足关系yx ＋1，变量y 与z 正相关．以下结论中正确的是( ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【解析】 因为yx ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，那么z ＝b ^y ＋a ^b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．【答案】 C判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关． (3)线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．[通关练习]1．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图如图①，对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C.由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，那么由散点图可判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关． 2．某公司在2017年上半年的收入x (单位：万元)与月支出y (单位：万元)的统计资料如表所示：月份 1月份2月份3月份4月份5月份6月份 收入x 支出y根据统计资料，那么( )A ．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系B ．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系C ．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系D ．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系解析：选C.月收入的中位数是15＋172＝16，收入增加，支出增加，故x 与y 有正线性相关关系．线性回归方程及其应用(高频考点)线性回归问题是高考中的热点问题，考查形式可以是小题，也可以是解答题．高考中对线性回归问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)由回归直线方程求参数值； (2)求回归直线方程； (3)利用回归方程进行预测．[典例引领]角度一 由回归直线方程求参数值(2017·高考某某卷)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.∑i ＝110 x i ＝225∑i ＝110y i ＝1 600，b ^，据此估计其身高为( ) A ．160 B ．163 C ．166D ．170【解析】 由题意可知y ^＝4x ＋a ^，又x －，y －＝160，因此160＝22.5×4＋a ^，所以a ^＝70，因此y ^＝4xx ＝24时，y ^＝4×24＋70＝96＋70＝166. 【答案】 C角度二、三 求回归直线方程并进行预测(2016·高考全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17〔y i －y －〕2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【解】 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得，r ＝错误!≈0.99.因为y 与t ，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y －＝9.327≈及(1)得b ^＝＝2.8928≈，a ^＝y －－b ^t ≈－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．求回归直线方程的步骤[提醒] 利用回归直线方程进行预测是对总体的估计，此估计值不是准确值．(2018·某某市教学质量检测(二))为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和年利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：x 1 2 3 4 5 y(1)求y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)假设每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑n i ＝1〔x i －x －〕〔y i －y －〕∑ni ＝1 〔x i －x －〕2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2， a ^＝y －－b ^x －.解：(1)x －＝3，y －＝5，∑5i ＝1x i y i ，∑5i ＝1x 2i ＝55， 解得b ^，a ^， 所以y ^x .(2)年利润z ＝xx )－2xx 2x ，所以当x ，年利润z 最大．独立性检验[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新养殖法的箱产量不低于50 kg 〞，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3)(精确到0.01)． 附：P (K 2≥k )kK 2＝n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕.【解】 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg 〞，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg 〞．由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 ，故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 ，故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466K 2＝200×〔62×66－34×38〕2100×100×96×104≈15.705.，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg ， 箱产量低于55 kg 的直方图面积为 ，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋错误!≈(kg)．(1)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式K 2＝n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕计算K 2的值；③查表比较K 2与临界值的大小关系，作出统计判断．(2)解独立性检验的应用问题的关注点①两个明确：(ⅰ)明确两类主体；(ⅱ)明确研究的两个问题．②两个准确：(ⅰ)准确画出2×2列联表；(ⅱ)准确理解K2.(2018·某某市第三次调研考试)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如下图．(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关〞？文科生理科生总计获奖 5不获奖总计200附表及公式：K2＝2〔a＋b〕〔c＋d〕〔a＋c〕〔b＋d〕P(K2≥k0)k0x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×＋95×0.05＝69.(2)2×2列联表如下：文科生理科生总计获奖53540 不获奖45115160总计50150 200因为K 2＝200×〔5×115－35×45〕240×160×50×150＝256≈，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关〞．求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式； (2)根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势； (3)求出线性回归方程． 易错防X(1)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．(2)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)．(3)独立性检验中统计量K 2的观测值k 的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．1．(2018·某某市第一次模拟测试)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^x ，那么y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值为( )解析：选 C.由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，得x －＝30，代入回归直线方程y ^x ，得y －＝75，那么y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝375.2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计由K 2＝n 〔ad －〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕，算得K 2＝110×〔40×30－20×20〕260×50×60×50≈7.8.附表：A ．%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关〞B ．%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞解析：选C.根据独立性检验的定义，由K 2≈，，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞，应选C.3．(2018·某某摸底考试)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，假设所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－13附近波动．经计算∑6i ＝1x i ＝11，∑6i ＝1y i ＝13，∑6i ＝1x 2i ＝21，那么实数b 的值为________． 解析：令t ＝x 2，那么曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －13，此时t ＝∑6i ＝1x 2i6＝72，y ＝∑6i ＝1y i 6＝136，代入y ＝bt －13，得136＝b ×72－13，解得b ＝57. 答案：574．有甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表：) 解析：成绩与班级有无关系，就是看随机变量的值与临界值2.706的大小关系． 由公式得K 2的观测值k ＝90×〔10×38－7×35〕217×73×45×45≈，所以成绩与班级无关．答案：无关5．(2018·某某省六校联考)某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.(1)(2)根据列联表中的数据，%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系〞．参考公式与临界值表：K 2＝n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕.解：(1)(2)K 2＝110×〔10×30－20×50〕260×50×30×80≈7.486<10.828.%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系〞．6．(2018·某某市第二次诊断性检测)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：次数特征量第1次第2次 第3次 第4次 第5次 x 555 559 551 563 552 y601605597599598(1)从特征量y 的5次试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率； (2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当特征量x 为570时特征量y 的值． (附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝解：(1)记“至少有一个大于600〞为事件A ， 那么P (A )＝1－C 23C 25＝710.(2)由题中表格可知，x －＝555＋559＋551＋563＋5525＝556，y －＝601＋605＋597＋599＋5985b ^＝－1×1＋3×5＋〔－5〕×〔－3〕＋7×〔－1〕＋〔－4〕×〔－2〕〔－1〕2＋32＋〔－5〕2＋72＋〔－4〕2＝30100，a ^＝y －－b ^x －， 所以线性回归方程为y ^x ＋433.2. 当x ＝570时，y ^故特征量x 为570时，特征量y 的估计值为604.2.1．(2018·某某市第一次诊断考试)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策〞．为了了解人们对“延迟退休年龄政策〞的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休〞的人数与年龄的统计结果如下：年龄 [15，25) [25，35)[35，45) [45，55) [55，65] 支持“延迟155152817退休〞的人数(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策〞的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计 支持 不支持 总计(2)假设以458人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．(ⅰ)抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率． (ⅱ)记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据：P (K 2≥k 0)k 0K 2＝2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕解：(1)列联表如下：45岁以下45岁以上总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计5050100因为K 2＝10050×50×80×20＝4，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策〞的支持度有差异．(2)(ⅰ)抽到1人是45岁以下的概率为68＝34，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为C 16C 12C 28＝37.故所求概率为3734＝47.(ⅱ)从不支持“延迟退休〞的人中抽取8人，那么45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．那么X ＝0，1，2.P (X ＝0)＝C 26C 28＝1528，P (X ＝1)＝C 16C 12C 28＝1228＝37，P (X ＝2)＝C 22C 28＝128.可得随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P152837128故E (X )＝1×37＋2×128＝12.2．(2018·某某某某模拟)二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x 2 3 4 567 售价y201283 z ＝ln y下面是z 关于x 的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明； (2)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少；(b ^、a ^小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年． 参考公式：b ^＝∑ni ＝1〔x i －x －〕〔y i －y －〕∑ni ＝1〔x i －x －〕2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，r ＝∑ni ＝1〔x i －x －〕〔y i －y －〕∑ni ＝1〔x i －x －〕2∑ni ＝1〔y i －y －〕2参考数据：∑6i ＝1x i y i ，∑6i ＝1x i z i ，∑6i ＝1x 2i ＝139， ∑6i ＝1〔x i －x －〕2≈4.18, ∑6i ＝1〔y i －y －〕2≈13.96， ∑6i ＝1〔z i －z －〕2≈≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34. 解：(1)由题意，知x －＝16×，z －＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又∑6i ＝1x i z i ，∑6i ＝1〔x i －x －〕2≈， ∑6i ＝1〔z i －z －〕2≈， 所以r ＝错误!＝－错误!≈，所以z 与x ，说明z 与x 的线性相关程度很高． (2)b ^＝错误!＝－错误!≈， 所以a ^＝z －－b ^x －，所以z 与x 的线性回归方程是z ^x ，又z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e x.令x ＝9，得y ^＝e ＝e ，因为≈，所以y ^，即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元．(3)当y ^≥0.711 8，即e x ≥0.711 8＝e ln 0.711 8＝e 时，x ，解得x ≤11，因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．。
2013年高考数学一轮复习课时训练 变量间的相关关系与统计案例 北师大版
2013年高考数学一轮复习课时训练变量间的相关关系与统计案例北师大版A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )．A．正方体的棱长与体积B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C.答案 C2．(2012·某某调研)下列结论正确的是( )．①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④解析由回归分析的方法及概念判断．答案 C3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )．A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生．答案 D4．(2011·某某)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )．A ．直线l 过点(x ，y )B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同解析 由样本的中心(x ，y )落在回归直线上可知A 正确；x 和y 的相关系数表示为x 与y 之间的线性相关程度，不表示直线l 的斜率，故B 错；x 和y 的相关系数应在－1到1之间，故C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D 错． 答案 A5．(2011·某某)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)492639546万元时销售额为( )．A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5(万元)，y ＝49＋26＋39＋544＝42(万元)，∴a ＝y －b x ＝42－9.4×3.5＝9.1， ∴回归方程为y ＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6(万元)时，y ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分) 6．已知x 、y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y 与________.解析 因为回归方程必过样本点的中心(x ，y )，解得x ＝2，y ＝4.5，将(2,4.5)代入y ＝0.95x＋a可得a＝2.6.答案 2.67．某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业非统计专业统计专业性别男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝50×13×20－10×72≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关23×27×20×30系，那么这种判断出错的可能性为________．答案5%8．(2011·某某)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析由题意，知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．答案0.254三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·某某模拟)在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：身高(cm)143156159172165171177161164160 体重(kg)41496179686974696854 解以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．10．(12分)(2012·某某区三校联考)某种产品的广告费支出x与消费额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)预测当广告费支出为700万元时的销售额．解 (1)散点图如图所示．(2)列表，利用科学计算器求得：x ＝5(百万元)，y ＝50(百万元)，∑5i ＝1x 2i＝145，∑5i ＝1y 2i＝13 500，∑5i ＝1x i y i ＝1 380， 设回归方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5，故所求方程为y ＝6.5x ＋17.5.(3)当x ＝7(百万元)时，y ＝6.5×7＋17.5＝63(百万元)． ∴当广告费支出7百万元时，销售额约为63百万元．B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·某某二检)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ＝bx ＋a 必过样本中心(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点． 答案 B2．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )．A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率解析 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力． 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·东北四校联考(二))某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：℃时，热茶销售量为________杯(已知回归系数b ＝∑n i ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x2，a ＝y －b x )．解析 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40(杯)．∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60， ∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70(杯)．答案 704．(2012·某某模拟)某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P (χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析 因为χ2≈3.918≥3.841，而P (χ2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆． 答案 ①三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·某某模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀 非优秀 总计 甲班 10乙班30 合计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率． 附 χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋dP (χ2≥k ) 0.050.01 k3.8416.635解 (1)优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计3075105(2)根据列联表中的数据，得到 k ＝105×10×30－20×45255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝836＝29.6．(12分)(2010·某某)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果(疱疹面积单位：mm2)．表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80) 频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85) 频数1025203015 (1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝合计n＝解注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数． (2)表3：疱疹面积小于70mm 2疱疹面积不小于70mm 2合计 注射药物A a ＝70 b ＝30 100 注射药物B c ＝35d ＝65100合计10595n ＝200χ2＝200×70×65－35×302100×100×105×95≈24.56.由于χ2＞6.635，所以有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．。
11.5 变量间的相关关系、统计案例(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件
例1 (2019广东深圳第二次调研,18)某网店经销某商品,为了解该商品的 月销量y(单位:千件)与当月售价x(单位:元/件)之间的关系,收集了5组数据 进行了初步处理,得到下表:
x
5
6
7
8
9
y
8
6
4.5
3.5
3
(1)统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱,若|r|∈ [0.75,1],则认为相关性很强;若|r|∈(0.25,0.75),则认为相关性一般;若|r|∈[0, 0.25],则认为相关性较弱.请计算相关系数r,并说明y与x之间的线性相关关系 的强弱(精确到0.01); (2)求y关于x的线性回归方程; (3)根据(2)中的线性回归方程,估计当售价x定为多少时,月销售额最大?(月 销售额=月销售量×当月售价)
2.利用公式K2=
(a
n(ad -bc)2 b)(c dK2的观测值k.
3.如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α;否
则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或
者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.
a+c
b+d
a+b+c+d
可构造一个随机变量K2=
n(ad -bc)2
,其中n=a+b+c+d为样本容量.
(a b)(c d)(a c)(b d)
3.独立性检验 利用独立性假设、随机变量K2来确定是否有一定把握认为“两个分类变 量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准: 统计学研究表明:当K2≤3.841时,认为X与Y无关; 当K2>3.841时,有95%的把握说X与Y有关; 当K2>6.635时,有99%的把握说X与Y有关; 当K2>10.828时,有99.9%的把握说X与Y有关.
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：10-3 变量间的相关关系、统计案例
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第 3 课时
变量间的相关关系、统计案例
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1.以实际生活问题为背景，利用统计表格中的数据与 已知的回归系数求解线性回归直线方程，并根据线性 考纲 回归直线方程进行估计、预算等. 点击 2.以实际生活问题为背景，获取 2×2 列联表，代入 K2 计算公式求值， 并根据其所在区间对两组数据的相 互独立性进行判断.
根据上表可得回归直线方程 y^＝b^x＋a^， 其中 b^＝0.76， a^ ＝y－b^ 出为( x．据此估计，该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支 ) B．11.8 万元 D．12.2 万元
A．11.4 万元 C．12.0 万元
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8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9 解析：选 B.由题意知，x＝ ＝10， 5 6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8 y＝ ＝8， 5 ∴∧ a ＝8－0.76×10＝0.4， ∴当 x＝15 时，∧ y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
3 757 160 ，
2 2 2 则 K2 ＞ K ＞ K ＞ K 4 2 3 1 ， 所以阅读量与性别有关联的可能性最
大．
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4． (2014· 高考课标全国卷Ⅱ)某地区 2007 年至 2013 年农村居 民家庭人均纯收入 y(单位：千元)的数据如下表： 年份 年份代 号t 人均纯 收入 y 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 1 2 3 4 5 6 7