高考第一轮复习数学：12.2 总体期望值和方差的估计 2
总体的期望值和方差的估计 - E度教育网
⒉以多媒体辅助教学，增强教学直观性，增加教学容量和提高课堂效率。 按大纲要求，本小节分为2个课时，第一课时讲授样本期望值对总体的估计； 用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差是重点； ⑴培养学生搜集，分析，计算和整理数据的能力， 总体的期望值和方差的估计 用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差的合理性是难点。 ⒈本节在教材中的地位和作用 ⒉以多媒体辅助教学，增强教学直观性，增加教学容量和提高课堂效率。 第二课时讲授样本方差对总体估计。 ⒈本节在教材中的地位和作用 ⒈“自学辅导式” 和“启发诱导式”相结合，引导学生采用自主与合作的方式讨论交流，整个过程中把自己定位为一名组织者、引导 者、交流者、合作者。 本节教学对象是高三学生，已具备一定的数学基础知识和基本数学技能，分析解决问题的能力。 ⑵本节复习和提高初中内容，更强调应用性和实用性； ⑵本节复习和提高初中内容，更强调应用性和实用性； ⑵培养探索研究问题的能力和应用所学知识解决实际问题的能力。 ⑷课程标准，大纲和考纲要求学生 会用样本的平均数和方差估计总体。 领会统计知识在实际生活中应用。
二：教学对象分析
本节教学对象是高三学生，已具备一定 的数学基础知识和基本数学技能，分析 解决问题的能力。再加上本节是初中内 容的复习和提高，所以教学应以学生的 研究性学习为主，以我的辅导、点拨为 辅。
三、教学目标分析
⒈ 知识目标 ⑴ 使用计算器计算样本平均数和方差 ⑵ 掌握用样本特征数估计总体的思想方 法。 ⑶ 理解样本估计总体的合理性，总体期 望值对样本的代表性的要求。
四：教法和学法分析
⒈“自学辅导式” 和“启发诱导式”相结 合，引导学生采用自主与合作的方式讨 论交流，整个过程中把自己定位为一名 组织者、引导者、交流者、合作者。 ⒉以多媒体辅助教学，增强教学直观性， 增加教学容量和提高课堂效率。 ⒊指导学生学习，让学生“动脑想、动 口讲、动笔算”，让学生体验成功。
总体期望与方差PPT教学课件
1 统计的基本思想方法是什么？ 用样本去估计总体
2 如何对样本进行分析？ 用样本估计总体大体分为两类：
一类是用样本的平均数、方差等数字特征去估计总体 的相应数字特征； 一类是用样本的频率分布去估计总体分布
3 总体分布的估计的解题步题 (1).计算最大值与最小值的差(极差) (2).决定组距与组数 （组距=极差/组数） (3).决定分点 (4).列出频率分布表 (5).画频率分布直方图
第2节，写扬鞭出发
• 前两句是虚写，刻画老 马的悲愤而又无望的心 理。后两句写实，“一 道鞭影”，活现出主人 的凶狠、无情。在这样 严酷的压迫下，在“前 面”等待老马的又是什 么呢？诗人给读者留下 了无限的想象空间。
三个数的平均数是 ( )
A 2002 B 2003 C 2004
D 2005
7 P15 1
8 P15 2
课堂小结
总体期望值 总体期望值的估计 样本的算术平均值
五预习提纲
1 什么是总体方差、样本方差? 2 什么是总体标准差、样本标准差? 3 什么叫做对总体方差的估计?
老马
总得叫大车装个够， 它横竖不说一句话， 背上的压力往肉里扣， 它把头沉重地垂下！
臧 克 家
同文 时学 又鉴 是赏 一是 种一 艺种 术审 再美 创享 造受
，
写作背景
• 《老马》写于1932年，是臧克家诗集《烙印》 中流传广泛、脍炙人口的名篇之一。作者曾 说：“1927年大革命失败后，我对蒋介石政 权全盘否定，而对于革命的前途，觉得十分 渺茫。生活是苦痛的，心情是沉郁而悲愤 的。”作者亲眼看到了一匹命运悲惨令人同 情的老马，不写出来，心里就有一种压力。 通过赏析这首诗，我们能够更具体地感受到 臧克家30年代新诗创作的成就和特色
高考数学理一轮复习 X1-2离散型随机变量的期望与方差 精品课件
[规律总结] (1)定义法是求期望与方差最基本 的方法，基本步骤是，首先求出随机变量的 分布列，再根据定义求期望与方差，正确列 出分布列是求解的关键． (2)本题是研究对号入座学生个数为离散型随 机变量的概率分布列、期望、方差问题，关 键是分析对号入座学生个数的情况，以及每 种取值下事件所包含的结果数，基本事件的 总数．若问题推广为错位入座的学生个数， 其变量ξ的概率分布列、期望、方差也可用类 似方法解决.
2 1 [解] (1)P(ξ＝0)＝A3＝3； 3 C1 1 1 1 3 P(ξ＝1)＝A3＝2；P(ξ＝3)＝A3＝6； 3 3 ∴分布列为： ξ P 0 1 3 1 1 2 3 1 6
1 1 1 (2)Eξ＝0×3＋1×2＋3×6＝1. 1 1 1 2 2 2 Dξ＝(0－1) ×3＋(1－1) ×2＋(3－1) ×6 ＝1.
例2 某一大学毕业生参加某一公司的笔试， 共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问 题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影 响． (1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差； (2)设答对一个题目得10分，否则扣1分，求 该同学得分η的期望与方差． [分析] 解答该5个问题可以认为是5次独立重 复试验，答对问题的个数ξ服从二项分布，求 η的期望与方差可通过ξ与η的线性关系间接求 出．
第二节 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ差
离散型随机变量的期望与
知识自主· 梳理
1.了解离散型随机变量的 期望、方差的意义． 最新考 2 ．会根据离散型随机变量 纲 的分布列求出期望、方 差． 1.与分布列的考查相结合， 以解答题的形式出现． 高考热 2．有时也以选择或填空的 点 形式考查期望、方差的实 际意义或运算性质.
1.期望 (1)若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P
年高考第一轮复习数学离散型随机变量的期望值和方差
年高考第一轮复习数学离散型随机变量的期望值和方差Last revised by LE LE in 2021离散型随机变量的期望值和方差●知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.2.方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差. D 叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）. （2）若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）. ●点击双基1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则ξ=，D ξ=ξ=，D ξ=1235 ξ=，D ξ=ξ=，D ξ=1635 解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.P （ξ=1）=P （ξ=2）=P （ξ=3）=P （ξ=4）=P （ξ=5）=P （ξ=6）=61， ∴E ξ=1×61+2×61+3×61+4×61+5×61+6×61=，D ξ=［（1－）2+（2－）2+（3－）2+（4－）2+（5－）2+（6－）2］×61=65.17=1235. 答案：B2.设导弹发射的事故率为，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是ξ= ξ=（ξ=k ）=·－k（ξ=k ）=C k10··－k解析：ξ～B （n ，p ），E ξ=10×=.答案：A3.已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于 A.71 B.61C.51D.41解析：E ξ=np =7，D ξ=np （1－p ）=6，所以p =71.答案：A4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为.设发病的牛的头数为ξ，则D ξ等于解析：D ξ=10××=. 答案：C5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知E ξ1=E ξ2，D ξ1＞D ξ2，则自动包装机________的质量较好.解析：E ξ1=E ξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D ξ1>D ξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.答案：乙 ●典例剖析【例1】 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ.ξ －10 1P21 1－2qq 2剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E ξ、D ξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+,1,1210,1212122q p q q 解得q =1－22.于是，ξ的分布列为ξ －11P21 2－123－2 所以E ξ=（－1）×21+0×（2－1）+1×（23－2）=1－2，D ξ=［－1－（1－2）］2×21+（1－2）2×（2－1）+［1－（1－2）］2×（23－2）=2－1. 评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E ξ=（－1）×21+0×（1－2q ）+1×q 2=q 2－21.拓展提高既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列. 解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256.从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x解之得⎩⎨⎧==2,121x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.54,5921x x而x 1<x 2，∴x 1=1，x 2=2.ξ 12P53 52 需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数ξ的期望值大于0，故需求E ξ. ξ a a －30000a －10000P1－p 1－p 2p 1p 21212110000p 2.要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a ＞30000p 1+10000p 2. 评述：离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值. 思考讨论本题中D ξ有什么实际意义【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为A 44=4!，∴P （ξ=0）=44!4=646；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为C 14C 24A 33，∴P （ξ=1）=6436. 同样可分析P （ξ=2），P （ξ=3）. 解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P （ξ=0）=4444A =646，P （ξ=1）=43324144A C C =6436，P （ξ=2）=422242424244A C C C C +=6421，P （ξ=3）=4144C =641. ξ123P6466436 6421 641 ∴E ξ=6481，D ξ=2641695. 评述：本题的关键是正确理解ξ的意义，写出ξ的分布列. 特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.●闯关训练 夯实基础1.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是与，则二项分布的参数n 、p 的值为=4，p = =6，p = =8，p = =24，p = 解析：由E ξ==np ，D ξ==np （1－p ），可得1－p =4.244.1=，p =，n =4.04.2=6. 答案：B2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为解析：ξ=0，1，2，3，此时P （ξ=0）=，P （ξ=1）=×，P （ξ=2）=×，P （ξ=3）=，E ξ=.答案：C3.设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解析：D ξ=npq ≤n （2q p ）2=4n ，等号在p =q =21时成立，此时，D ξ=25，σξ=5.答案： 21 54.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为________.解析：设甲在途中遇红灯次数为ξ， 则ξ～B （3，52）， 所以E ξ=3×52=.答案：5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B （50，），η=2ξ，故成绩的期望为E η=E （2ξ）=2E ξ=2×50×=80（分）；成绩的标准差为ση=ηD =)2(ξD =ξD 4=22.08.050⨯⨯=42≈（分）. 6.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P （ξ=5）=473314C C C =354， P （ξ=6）=472324C C C =3518，P （ξ=7）=471334C C C =3512， P （ξ=8）=470344C C C =351，E ξ=5×354+6×3518+7×3512+8×351=35220=744. 培养能力7.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为，和.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望E ξ和方差D ξ.解：设A i ={部件i 需要调整}（i =1，2，3），则P （A 1）=，P （A 2）=，P （A 3）=.由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A 1，A 2，A 3相互独立，可见P （ξ=0）=P （1A 2A 3A ）=××=；P （ξ=1）=P （A 12A 3A ）+P （1A A 23A ）+P （1A 2A A 3）=××+××+××=； P （ξ=2）=P （A 1A 23A ）+P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=××+××+××=； P （ξ=3）=P （A 1A 2A 3）=××=. ∴E ξ=1×+2×+3×=，D ξ=E ξ2－（E ξ）2=1×+4×+9×－=－=.8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过41.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则P （ξ=0）=1－p ，P （ξ=1）=p ，E ξ=0×（1－p ）+1×p =p ，D ξ=（1－p ）·（0－p ）2+p （1－p ）2=p （1－p ）≤（21p p -+）2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41. 探究创新9.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.解：设ξ为巧合数，则P （ξ=0）=44A 9=249，P （ξ=1）=4414A 2C ⨯=31，P （ξ=2）=4424A C =41，P （ξ=3）=0，P （ξ=4）=4444A C =241，所以E ξ=0×249+1×31+2×41+3×0+4×241=1. 所以巧合数的期望为1.●思悟小结1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差.3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：E ξ=∑∞=1i x i p i ，D ξ=∑∞=1i （x i －E ξ）2p i ，E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，D （a ξ+b ）=a 2Dξ.4.二项分布的期望与方差：若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=np （1－p ）.5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.●教师下载中心 教学点睛1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.ξ表示ξ对E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力. 拓展题例【例1】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 剖析：要求D ξ、ξξE D 12-的最大值，需求D ξ、E ξ关于p 的函数式，故需先求ξ的分布列.解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1－p ，从而E ξ=0×（1－p ）+1×p =p ，D ξ=（0－p ）2×（1－p ）+（1－p ）2×p =p －p 2.（1）D ξ=p －p 2=－（p －21）2+41， ∵0<p <1，∴当p =21时，D ξ取得最大值为41.（2）ξξE D 12-=p p p 1)(22--=2－（2p +p1），∵0<p <1，∴2p +p1≥22. 当且仅当2p =p1，即p =22时，ξξE D 12-取得最大值2－22.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视.【例2】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.E ξ=1×)1(n n ++2×)1(n n ++3×)1(+n n +…+n ×)1(+n n =)1(2n n +（12+22+32+…+n 2）=312+n .。
高考数学理一轮复习 X12离散型随机变量的期望与方差 课件
知识自主·梳理
1.了解离散型随机变量的
期望、方差的意义．
最新考 纲
2．会根据离散型随机变量
的分布列求出期望、方
差．
1.与分布列的考查相结合，
以解答题的形式出现．
高考热 点
2．有时也以选择或填空的
形式考查期望、方差的实
际意义或运算性质.
1.期望 (1)若离散型随机变量ξ的概率分布为
1 3
Eξ1＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.
由题设得 ξ～B(2，p)，即 ξ 的分布列为
ξ0
12
P (1－p)2 2p(1－ p2 p)
故 ξ2 的分布列为 ξ2 1.3 1.25 0.2
P
(1－ p)2
2p(1－ p)
p2
所以ξ2的数学期望是 Eξ2＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋ 0.2×p2
∴分布列为：
ξ0 1 3
P
1 3
1 2
1 6
(2)Eξ＝0×13＋1×12＋3×16＝1. Dξ＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16 ＝1.
[规律总结] (1)定义法是求期望与方差最基本 的方法，基本步骤是，首先求出随机变量的 分布列，再根据定义求期望与方差，正确列 出分布列是求解的关键．
•
题型 一
思维 提示
利用定义求离散型随机变量的期 望与方差
①定义法是求期望与方差的基本 方法；
②Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xkpk ＋…，
Dξ＝(x1－Eξ)2p1＋(x2－Eξ)2p2＋ (x －Eξ)2p ＋…＋(x －Eξ)2p
例1 编号为1、2、3的三位学生随意入座编 号为1、2、3的三个座位，每位学生坐一个座 位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ.
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 12.2离散型随机变量的期望与方差配套课件 理 新人教A版
(3)当b=0时，E(aξ )=aEξ .
【提醒】对于任意的实数a,b，ξ是随机变量，η也是随机变
量，则一定有E(aξ+bη)=aEξ+bEη.
【例1】(1)已知随机变量ξ 的分布列为:
ξ
P
-2
1 4
-1
1 3
0
1 5
1
m
2
1 20
则Eξ 的值为________.
(2)若ξ 的分布列为： ξ P 0 p 1 q
_________ n n σξ 变量ξ 的标准差，记作____ 作用 反映了离散型随机 变量取值的
平均水平 ____________ 稳定与波动、 反映了随机变量取值的_________ 集中与离散 的程度 ____________
性质 ①Ec=c(c为常数) E(aξ +b)= aEξ +b _______(a,b 为常 数)
np(1-p) np ξ =________. 若ξ ～B(n,p)，则Eξ =___,D
(2)几何分布 若ξ 服从几何分布，则P(ξ =k)=g(k,p)，
1 1 p p Eξ =___,D ξ =_____. p2
【即时应用】 某运动员投篮命中率为p=0.6 (1)一次投篮时，命中次数ξ 的期望为______； (2)重复5次投篮时命中次数ξ 的期望为______;
利用定义(公式)求离散型随机变量的期望与方差
【方法点睛】
利用定义求离散型随机变量的期望和方差的基本步骤
(1)理解随机变量ξ 的意义，写出ξ 可能取得的全部值；
(2)求ξ 对应的每个值的概率；
(3)写出ξ 的分布列； (4)根据定义求出期望Eξ ，再求出方差Dξ . 【提醒】Eξ、Dξ都是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第12章 概率 第5节 离散型随机变量的均值与方差
第五节 离散型随机变量的均值与方差
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.理解离散型随机变量分布列
的数字特征(均值、方差).
2.了解超几何分布的均值,并能
解决简单的实际问题.
3.掌握二项分布的数字特征,并
能解决简单的实际问题.
衍生考点
核心素养
1.离散型随机变量的均值与方
每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题
回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机
抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个
问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,
否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为
对点训练1某班50名学生在一次百米测试中,成
绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如
下方式分成五组:第一组[13,14),第二组
[14,15),……,第五组[17,18],如图是按上述分组
方法得到的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米
测试成绩的中位数和平均值(同一组中的数据
4
4
+ =
7
.
3
1
4,
3
,乙命中战机数为 Y2,
反思感悟1.求二项分布的均值与方差的一般思路:首先分析X是否服从二
项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.
2.有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量
高考数学一轮复习第十二章概率12
2
3
4
5
5.(全国Ⅱ,理13)一批产品二等品率为0.02,从这批产品中每次随
机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到二等品件数,则
D(X)=
.
关闭
由题意可知抽到二等品件数X服从二项分布,即X~B(100,0.02),其中
p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
考点自测
1
2
3
4
5
1.判断以下结论是否正确,正确画“√”,错误画“×”.
(1)期望是算术平均数概念推广,与概率无关.(
)
(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量情况,所以它们
是一回事.(
)
(3)随机变量均值是常数,样本平均值是随机变量,它不确定.(
)
(4)随机变量方差和标准差都反应了随机变量取值偏离均值平均
np
(2)若X~B(n,p),则E(X)=
,D(X)= np(1-p) .
.
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-4知识梳理
考点自测
1.假如X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=EX1·EX2.
2.均值与方差关系:DX=EX2-E2X.
3.超几何分布均值:若X服从参数为N,M,n超几何分布,则EX=
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.
-5知识梳理
12.5 离散型随机变量均值与方差
1/34
-2知识梳理
考点自测
1.离散型随机变量均值与方差
若离散型随机变量X分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.
(1)均值:称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
高考数学第一轮名校复习课件 第二节 总体分布的估计与总体特征估计
三基能力强化
2．某射手在一次训练中五 次射击的成绩分别为 9.4,9.4,9.4，9.6，9.7，则该 射手成绩的方解差析：是由已知可得 x ＝9.5，故 s2＝15 _______[_(9．.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋
(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016. 答案：0.016
答案：32
三基能力强化
4．(2009年高考浙江卷)某 个容量为100的样本的频率分 布直方图如下，则在区间[4,5) 上的数据的频数为 ________．
三基能力强化
解析：∵(0.05＋0.10＋0.15＋ 0.40)×1＝0.70，故样本落在[4,5) 上的数据的频率为1－0.70＝0.30.
成绩在80.5～85.5 分的学生占80.5～90.5 分的学生的 ，因为成绩在80.5～90.5分的学 生的频率为0.32，所以成绩在80.5～85.5分的 学生的频率为0.16.
所以成绩在75.5～85.5分的学生的频率为 0.26，
由于有900名学生参加了这次竞赛， 所以该校获得二等奖的学生约为
A，B例两2 名同 学在5次数学考 试中的成绩统计 如下面的茎叶图 所示，若A，B两 人的平均成绩分 别是XA，XB， 则下列的结论正 确的是 ________．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
①XA<XB，B比A成绩稳定 ②XA>XB，B比A成绩稳定 ③XA<XB，A比B成绩稳定 ④XA>XB，A比B成绩稳定 【思路点拨】 利用茎叶 图的概念，求平均数比较．
基础知识梳理
2．频率分布折线图，总体 密度曲线
中点
(1)频率分布折线图：连接 频率分布直方图中各小长方形 上端的 ，就得到频率分布 折线图．
高三数学总体期望与方差PPT优秀课件
2 关于“总体期望值的估计”
总体期望值的计算，在其个体较少时，易 算；但在其个体较多或无限时，难以计算. 这时常通过抽取样本，用样本的算术平均数 来推断总体期望值(总体的算术平均数)，这 种方法称为对“总体期望值的估计”.
3 平均数公式 (1)x=(x1+x2+…+xn) ／n
(2)x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
二 基础探究：
1 总体期望值
总体中所有观察值的总和除以个体总数 所得的商称为总体期望值. 即“总体期望值”为“总体的算术平均值”
总体期望值能反映总体分布中大量数 据向某一方向集中的情况，利用总体期望值 可以对两个总体的差异进行比较.
如：平行班级某一学科的测试分数的 总体期望值的比较，能较好地反映平行 班级这一学科之间的差异.
一 复习回顾
1 统计的基本思想方法是什么？ 用样本去估计总体
2 如何对样本进行分析？ 用样本估计总体大体分为两类：
一类是用样本的平均数、方差等数字特征去估计总体 的相应数字特征； 一类是用样本的频率分布去估计总体分布
3 总体分布的估计的解题步题 (1).计算最大值与最小值的差(极差) (2).决定组距与组数 （组距=极差/组数） (3).决定分点 (4).列出频率分布表 (5).画频率分布直方图
4 平均数： 总体平均数：总体中所有个体的平均数. 它表示总体取值的平均水平 样本平均数：样本中所有个体的平均数 加权平均数：
公式： x=(x1+x2+…+xn) ／n x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
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12.2 总体期望值和方差的估计 ●知识梳理 1.平均数的计算方法
（1）如果有n个数据x1，x2，„，xn，那么x=n1（x1+x2+„+xn）叫做这n个数据的平
均数，x读作“x拔”. （2）当一组数据x1，x2，„，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，„，xn′=xn－a，那么，x=x +a. （3）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，„，xk出现fk次（f1+f2+„+fk=n），那么
x=nfxfxfxkk2211. 2.方差的计算方法 （1）对于一组数据x1，x2，„，xn，s2=n1［（x1－x）2+（x2－x）2+„+（xn－x）2］叫做这组数据的方差，而s叫做标准差. （2）公式s2=n1［（x12+x22+„+xn2）－nx2］. （3）当一组数据x1，x2，„，xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，„，xn′=xn－a.
则s2=n1［（x1′2+x2′2+„+xn′2）－n2x］. 3.总体平均值和方差的估计 人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. ●点击双基 1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是
A.样本均值x B.样本方差 C.样本最大值 D.样本最小值 解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B. 答案：B 2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下： 甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5； 乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7. 根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是 A.甲优于乙 B.乙优于甲 C.两人没区别 D.两人区别不大 解析：x甲=101（8+6+„+5）=7.1，x乙=101（7+6+„+7）=6.9. s甲2=101［（8－7.1）2+„+（5－7.1）2］=3.69， s乙2=101［（7－6.9）2+„+（7－6.9）2］=1.29. ∴乙优于甲. 答案：B
3.样本a1，a2，a3，„，a10的平均数为a，样本b1，b2，b3，„，b10的平均数为b，那么样本a1，b1，a2，b2，„，a10，b10的平均数为 A.a+b B.21（a+b）
C.2（a+b） D.101（a+b） 解析：样本a1，a2，a3，„，a10中ai的概率为Pi，样本b1，b2，b3，„，b10中bi的概率为Pi′，样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，„，a10，b10中ai的概率为qi，bi的概率为qi′，则Pi=2qi，故样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，„，a10，b10的平均数为a1q1+b1q1′+a2q2+b2q2′+„
+a10q10+b10q10′=21（a1P1+„+a10P10）+21（b1P1′+21b2P2′+„+21b10P10′）=21（a+b）. 答案：B 4.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下（单位：h）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.则该电池的平均寿命估计为___________，方差估计为___________.
解析：x=101（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21）
=101（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9）+30 =28， s2=101［（30－28）2+（35－28）2+（25－28）2+（25－28）2+（30－28）2+（34－28）2+（26－28）2+（25－28）2+（29－28）2+（21－28）2］ =101（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49） =17.4. 答案：28 17.4 ●典例剖析
【例1】 x是x1，x2，„，x100的平均数，a是x1，x2，„，x40的平均数，b是x41，x42，„，x100的平均数，则下列各式正确的是 A.x=1006040ba B.x=1004060ba
C.x=a+b D.x=2ba 剖析：这100个数的平均数是a+b还是21（a+b），这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来思考. 设Pi是x1，x2，„，x100中xi被抽到的概率，qi是x1，x2，„，x40中xi被抽到的概率，
ri是x41，x42，„，x100中xi被抽到的概率，则Pi=10040qi，Pi=10060ri.故x1，x2，„，x100的平
均数x=10040（x1q1+x2q2+„+x40q40）+10060（x41r41+„+x100r100）=10040a+10060b. 答案：A 评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？ 特别提示 除了上述方法外，我们还可以先分别求出x1+x2+„+x40=40a，x41+x42+„+x100=60b，再
求x. 【例2】 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环） 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是___________. 剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定.因此分别求其方差.
甲的平均数为x1=51（10+8+9+9+9）=9，
乙的平均数为x2=51（10+10+7+9+9）=9， 甲的方差为s甲=（10－9）2×51+（8－9）2×51=52， 乙的方差为s乙=（10－9）2×51×2+（7－9）2×51=56. s乙＞s甲，说明乙的波动性大，故甲入选. 答案：甲 评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低. 【例3】 某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表： 分 组 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班的平均成绩和标准差.
剖析：代入方差公式s2=n1［（x12+x22+„+xn2）－nx2］即可求得.
解：设全班的平均成绩为x，全班成绩的方差为s2， 则s12=181［（x12+x22+„+x182）－18×902］=36， s22=221［（x192+x202+„+x402）－22×802］=16. ∴x=401（90×18+80×22）=2169=84.5， s2=401［（x12+x22+„+x182）+（x192+x202+„+x402）－40·x2］ =401［18×（36+8100）+22×（16+6400）－40×41692］ =401（146448+141152－10×1692） =401×1990=49.75. ∴s=2199≈7.05. 评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 【例4】 已知c为常数，s2=n1［（x1－x）2+（x2－x）2+„+（xn－x）2］，sc2=n1［（x1
－c）2+（x2－c）2+„+（xn－c）2］.证明：s2≤sc2，当且仅当c=x时，取“=”. 剖析：证明sc2≥s2，可证明sc2－s2≥0.因此应用方差公式进行变形即可. 证明：∵s2=n1［（x1－x）2+„+（xn－x）2］
=n1［（x12+x22+„+xn2）－nx2］， sc2=n1［（x1－c）2+（x2－c）2+„+（xn－c）2］ =n1［（x12+x22+„+xn2）－2c（x1+x2+„+xn）+nc2］， ∴sc2－s2=x2－nc2（x1+x2+„+xn）+c2 =x2－2c·x+c2=（x－c）2≥0. ∴sc2≥s2，当且仅当x=c时取“=”. 评述：作差是比较大小的常用手段. ●闯关训练 夯实基础 1.一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差是
A.21s2 B.2s2 C.4s2 D.s2 解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s2. 答案：C 2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2 名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是 A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25
解析：易得x没有改变，x=70， 而s2=481［（x12+x22+„+502+1002+„+x482）－48x2］=75， s′2=481［（x12+x22+„+802+702+„+x482）－48x2］ =481［（75×48+48x2－12500+11300）－48x2］ =75－481200=75－25=50. 答案：B 3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中产品比较稳定的小麦品种是_______.
解析：x甲=51（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，
x乙=51（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10，
s甲2=51［（9.8－10）2+（9.9－10）2+（10.1－10）2+（10－10）2+（10.2－10）2］=0.02， s乙2=51［（9.4－10）2+（10.3－10）2+（10.8－10）2+（9.7－10）2+（9.8－10）2］=0.244. 所以，甲比乙稳定. 答案：甲 4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化
关系式为Z=sxx（其中x是某位学生的考试分数，x是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是T=40Z+60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T分数为___________.
解析：由已知Z=257085=53，∴T=40×53+60=24+60=84.故考生成绩的T分数为84. 答案：84 5.已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）： 季 度 一 二 三 四 甲 厂 70 50 80 40 乙 厂 55 65 55 65