浅谈反证法在初中数学中的应用

摘要：反证法作为一种重要的数学方法，在数学中有着许多方面的应用。反证法突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，是一种开拓思路的方法，即逆向思维。在我们初中数学教学中，通过应用到反证法增强学生的学习兴趣，提高思维转换及学生的分析和解题的能力。

关键词：反证法；逆向思维；数学教学

引言：反证法是一种重要的数学方法，中国古代数学家刘徽，他为《九章算术》作注解时，他多次应用归谬论证法，其中大多数的反驳是正确的，符合逻辑学，墨子也使用归谬法，曾子曰“学之益也，说在诽者。”这是一个非常有意思的反证法特例。反证法在初中数学中的应用非常广泛，通过笔者在初中数学耕耘的几年教学经验，浅谈一下反证法在初中数学中的应用。

一、概述

（一）反证法的定义

当直接证明一个命题较为复杂时，首先我们要假设命题不成立，而后应用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法。

（二）反证法的相关基础

反证法作为初中数学的重要方法，数学中的一些许多重要结论、性质等等都是利用反证法证明的，学会应用反证法对于中学生的数学思维有很大提升。现从以下几个点去论述反证法的相关基础。

1、反证法的出发点

第一步就要否定原命题的结论，这是应用反证法的第一步，构造与原命题相矛盾的反命题，而后从反命题出发，对其进行推理。

2、反证法的推理过程

反证法的推理过程必须是合乎逻辑的，使用反证法就必须首先否定原命题的结论，作为假设命题，并把假设命题结论作为推理的已知条件，之后经过相关的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，我们知道假设命题是不成立的，所以肯定了原命题的结论，从而使原命题获得了证明。

3、反证法的逻辑基础

“矛盾律”和“排中律”是反证法的逻辑基础，那什么是“矛盾律”呢？即在同一思维下，两个互相矛盾的判断是不可能都为真，一定有一个是假的，这就是我们所说的“矛盾律”。而两个互相对立的判断不能同时为假，这就是“排中律”。反证法在其证明过程中，就是先应用到“矛盾律”，推导出矛盾，而后再应用到“排中律”说明原结论是正确的。

4、反证法的分类

反证法中有归谬法和穷举法两种方法：原命题的结论的否定如果只有一种情况，那么只要把这种结论给否定，就可以肯定原命题结论是正确的，这种反证法叫做归谬法。如果原命题的结论的否定不止一种情形时，那么就必须把这些情况一一否定才能肯定原命题结论是成立的，这种反证法叫做穷举法。

二、反证法在中学数学中的应用及举例

反证法在初中数学的的应用非常广泛，现从基本定理或初始命题，否定性命题，关于唯一性、至多至少命题，存在性命题这几个方面去论述。

（一）基本定理或初始命题

此类命题由于已知条件及能够用到的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论较少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效，这在中学数学教材中是比较常见的。

例1：求证在一个三角形中，不能有两个角是钝角.

证明：已知A、B、C是三角形ABC的三个内角.

求证：A、B、C中不能有两个钝角.

证明：假设A、B、C中有两个钝角，不妨设A、B、是其中两个钝角

即A>90°，B>90° 则A+B+C>180°

这与三角形内角和定理相矛盾.故假设不成立，

因此，一个三角形不可能有两个钝角。

（二）否定性命题

此类命题的结论是以否定的形式出现的，其结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现，此类命题的特点是：结论的反面大多是单一性的，这就很容易用归谬法导致矛盾。而对于某些反结论是非单一性的命题，可以穷举的方法导致矛盾，这类命题一般可以用反证法。

例2：求证不是有理数。

证明：假设是有理数，则存在a、b都属于自然数，且a、b互质，使=，则，从而我们能知道，a必为偶数，我们可以把a表示为a=2c，则有，进而知道，推出b一定是偶数。由,a、b均为偶数与a、b互质相矛盾，故是无理数。

(三）关于唯一性、至多至少命题

唯一性命题是关于证明结论是“唯一”或“必然”的命题，而结论以“至多”、“至少”、“最多”、“最少”等形式出现的命题，我们把此类命题称为至多至少命题，其中的数量概念不容易把握，但其反面容易掌握，所以应用反证法很适合。

三、应用反证法应注意的问题

在应用反证法去证明一些命题时，必须从命题的特点出发，选取恰当的推理

方法，这样在证明过程中就会简易很多，因此，我们在运用反证法去证题时，应

注意以下几点:

（一）必须正确否定结论

必须正确的“否定结论”，因为这是运用反证法的前提。先假设命题结论的

反面是成立的。这一步就必须要正确的否定“结论”，否则如果错误的话，即便

推理论证再好也会做无用功。一般当命题的结论只有一种情形时，否定结论比较

简单。但是当命题的结论有多种情形时，做出否定就不太容易，这时必须得细心

分析，仔细推敲怎么去假设。

（二）必须明确推理特点

“否定结论，导出矛盾，肯定结论”是反证法的任务，但何时出现矛盾，出

现什么样的矛盾是不可提前知道的，没有一个固定的标准，但是一般情况下，我

们只要在命题的相关知识领域里考虑就行了，例如中学数学中的平面几何问题，

可以联系到相关的公理、定义、定理等，这也正是反证法推理的一般思路，因此，我们只需正确的否定结论，然后严格遵守推理规则，一步一步进行有据的推理，

当矛盾一经出现，证明就结束了。

（三）善于灵活运用

数学证明题一般都可以采用反证法，但需要说明的是，并不是所有数学证明

题都应使用反证法去证明，对于大多数数学题目而言，用直接证明的方法就可以

证出来，所以不能什么证明题都往去应用反证法，为此，我们要灵活的运用反证法，合理恰当的应用反证法，因为我们平时练习的题目大多运用方法的是直接证法。一般地，应用反证法证题必须知道什么情况下用：首先应用直接证法，若觉

得很复杂，我们可以使用反证法。

四、反证法的教学意义

（一）培养逆向思维

反证法的教学能让学生摆脱思维定势，将运算过程简化，解题思路更加明了，培养创新思维。

（二）加强思维严密性

反证法是典型的间接证明方法,就是通过证明原命题的反面命题是不成立的，从而证明原命题为真。在其证明过程中的每一个环节都要考虑到，做到不遗漏。

对于否定原命题结论后如果有几种情况，就必须分类讨论,一一予以否定。

（三）形成初步的数学思维

数学思维是人脑运用数学符号和数学语言对数学对象间接、概括的反映过程，数学思维是以数学概念为细胞，通过数学判断和数学推理的形式揭示数学对象的

本质和内在关系的认识过程。目前在新课程的教学理念下，我们强调创造性数学

思维，加强数学思想方法教学是数学的本质要求，也是提高数学质量根本，是社

会发展的需要。通过反证法的教学，可以培养学生数学思想。反证法是数学家最

有力的一件武器。

四、结语

通过本文我们可以看出反证法是数学中一种重要的证明方法，它能够使某些

证明题做起来更加简单，达到让我们满意的结果，但是我们要灵活地运用反证法，这要求我们学生有较高的数学思维能力，这对学生的要求较高，因此，在教师教

学过程中，利用反证法的逆向思维对学生进行思维的训练，促进他们逆向思维能

力的提高；同时在教导学生的过程中，教师自己也要努力刻苦钻研教材，做到精

益求精。

参考文献

[1]肖承法.反证法在中学数学中的应用.新课堂，2010.

[2]段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革.武警学院学报,河北廊坊，2003(8).

[3]李宗俊.反证法的逻辑根据.宜宾市专学报,1992.

浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法. 1.2 反证法的来源 1.2.1 古希腊的反证法反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法. 西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何. 1.2.2 中国古代数学的反证法在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例). 1.2.3 反证法的其他来源 ① 墨子的“归谬法” 例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在这里是证明一个命题为真. ② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪. 1.3 反证法的一般步骤学习反证法应把握它的一般步骤: 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立. 具体方法：命题r=在C下，若A则B 反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾

浅谈反证法在中学数学解题中的应用

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/f119253473.html, 浅谈反证法在中学数学解题中的应用作者：霍玉红来源：《数理化学习·初中版》2013年第08期数学问题千变万化，如果拘泥于某几种习惯，是不会游刃有余的.解题时，学生们思考的习惯大多是正面的，顺向的，这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，肯定命题有困难时就转而举反例加以否定.这种逆反转换式思维实际上是一种逆向思维，体现了思维的灵活性，也反映着数学问题因果关系的辨证统一. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明. 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的. 反证法的证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立.实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立. 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.

反证法在初中数学中的应用

反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。引言反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一

般用反证法来证比较方便。 3.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则 ∠A+∠B+∠C ＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。故 ∠A ， ∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。 3.2限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。例已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数值，求实数a 的取值范围。分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可。证明：假设三个方程都无实根，则有： 222(4)(43)(1)48a a a a a ⎧--+⎪--⎨⎪+⎩ 2＜0＜04a ＜0 解得 32-＜a ＜-1 ∴所求a 的范围为a ≤-3/2或a ≥-1. 3.3无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题。例求证：2是无理数。[1] 分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2 表示为一个分数。

浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。一、反证法的来源对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。那他到底是怎样觉察到的呢？实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。二、反证法的定义及理解一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。三、反证法的解题思路及步骤设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤： 1.反设：作出与要证结论相反的假设； 2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾； 3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。四、反证法的适用范围

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析 1. 引言 1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。 1.2 反证法的基本原理

反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。 2. 正文 2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。通过假设所给方程的解不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而推出所给方程的解。下面我们通过一个具体例子来说明反证法在代数方程解题中的运用。假设我们要解如下代数方程：

反证法在初中数学解题中的应用探讨

反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是一种常见的证明方法，它的核心思想是通过假设反面来得出正面结论。在初中数学中，反证法也是常用的解题方法。在本文中，我们将探讨反证法在初中数学解题中的应用。一、什么是反证法反证法是一种常见的证明方法。它的核心思想是：在证明某个命题时，我们先假设它的反面成立，再通过逻辑推理得到矛盾结论，从而说明这个假设是错误的，因此原命题成立。例如，在证明“对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数”时，可以采用反证法。我们假设n是奇数，即n=2m+1，其中m是整数。那么，n²就是(2m+1)²=4m²+4m+1，显然是奇数，而不是偶数。这与原假设矛盾，所以我们得到结论：对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数。在初中数学中，反证法广泛应用于各个领域，例如代数、几何、概率等。下面我们将以一些例子来说明。在代数中，反证法通常用于证明一个方程没有实数根。例如，我们考虑如何证明方程 x² + 1 = 0 没有实数解。我们可以采用反证法，假设有一个实数x满足x²+1=0，那么x²=-1，这个方程没有实数解，因此假设成立的前提是错误的，所以原方程没有实数根。 2. 反证法在几何中的应用在几何中，反证法通常用于证明某个结论是错的或者某条性质是不成立的。例如，在平面几何中，我们想要证明“一个正方形的对角线互相垂直”。我们可以采用反证法，假设正方形的对角线不互相垂直。在图中，我们可以找到一个三角形ABC,因此∠ABD + ∠AED + ∠BDE + ∠DEC = 360°。然而，由于正方形的每个内角是90°, 因此∠ABD + ∠BDE = 90°, ∠AED + ∠DEC = 90°。将它们代回原方程中，我们得到90° +90°+90°+90° = 360°, 说明原假设错了，证明了对角线互相垂直的结论。在概率中，反证法通常用于排除某些不存在或不可能的情况。例如，我们想证明某事件不可能发生，但直接证明困难，可以通过反证法来求得该事件是不可能的。例如，我们考虑从一副标准扑克牌中随机抽出5张牌，如果想要证明抽到的5张牌中最多只有两张黑桃皇后，我们可以采用反证法。我们假设抽到的5张牌有至少3张黑桃皇后，我们可以将这3张黑桃皇后取出来，然后从其余的49张牌中再随机抽取2张牌。由于第4张牌和第5张牌都不是黑桃皇后，因此它们不能与前三张牌中的2张黑桃皇后重复，因此第4张牌和第5张牌中不能同时出现红桃7，否则就会出现同花顺的情况。然而，从剩下的牌中取2

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析作者：刘柱红来源：《新教育时代·教师版》2019年第39期摘; 要：一直以来，在数学当中，反证法都拥有防范运用，这是初中生常用的一种解题技巧，特别是针对无法着手的一些数学证明问题。数学教师通过对中学数学解题当中反证法的应用加以研究，对相应的解题技巧加以掌握，对反证法具体分类加以讨论，总结数学解题期间反证法的应用范围。本文旨在对初中时期数学解题当中反证法的具体应用加以探究，以期给实际教学提供相应参考。关键词：初中数学; 解题; 反证法反证法这种思维方式和正向思维是相反的，其遵循着由果索因这一思维模式。解题期间，数学教师需着重对初中生逆向思维加以培养，进而促使其数学能力得以提高。在反证法当中，巧妙及独特的思维方式能够对困难问题加以解决，进而提升初中生的解题效率及准确率。一、初中数学当中反证法的作用教学期间，数学教师应当着重对初中生的思维能力加以培养，通过解题对解题技巧加以思考以及总结，增加初中生的数学学习热情。当遇到困难问题之时，不能轻易放弃，而是要迎接挑战。同时，现实生活当中，反证法同样起到重要作用。数学解题期间，怎样通过解题教学对初中生的数学思维加以培养是值得思考的一个问题。在对初中生思维加以培养期间，数学教师应当做到以生为本，把实际生活当作出发点。在这一理念基础之上，在生活之中融入反证法，进而对问题进行趣味化。教学期间，数学教师不能照本宣科，应当激发学生的探究兴趣，对其自主学习的热情以及积极性加以调动，在教学期间对数学思维加以渗透，进而让初中生将数学学习作为一件快乐的、有趣的事情去做，主动对数学知识加以学习。二、反证法具有的理论依据反證法具有的基本理念就是在对原命题加以否定以后，找出其中的必要矛盾，这样便可对原命题加以证明。矛盾律与排中律乃是反证法当中重要理论依据，而两个概念也有所不同。其中，矛盾律是指在同一证明过程之中，如果存在两个互相对立结论，那么至少存在一个错误结论。排中律是指针对一个命题，其只能为真或为假，并无其他可能。同时，排中律对于思维有两个要求，即清晰性与明确性。排中律与矛盾律具有的相同点就是二者都不能产生逻辑矛盾，如果违背排中律，则一定违背矛盾律。二者具有的不同点就是矛盾律指出，如果两个结论是互相对立的，则必然有一个结论不成立。而排中律指出，在两个互相否定结论之中，必然存在一个正确结论。

“正难则反”——怎样运用初中数学反证法

“正难则反”——怎样运用初中数学反证法对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例如：反证法的证题步骤： ① 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化 ② 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。 ③ 否定假设，肯定结论。解析：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也

浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用

浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用王业双摘要：反证法是一种重要的证明方法，是中学生必须掌握和灵活运用的一种重要的证明方法。文章介绍了反证法的原理及一般步骤，探索反证法在中学数学中的运用。关键词：反证法；证明；矛盾；应用：G633.6？摇文献标志码：A ：1674-9324（2014）02-0077-02 在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。一、反证法原理及解题步骤 1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。 2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。二、反证法在中学数学中的应用反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。 1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。

反证法在初中数学解题中的应用

反证法在初中数学解题中的应用雍玉华【摘要】在教育不断发展的背景下，以往的教学方式已难以满足现阶段中学教学的需求。中学教师需要不断提高自身的专业技能，在解题教学中引入反证法，开拓学生的思维，使学生养成良好的解题习惯，形成正确的解题思路，本文主要围绕反证法在初中数学解题中的应用展开讨论。【【关键词】：^p 】反证法;初中数学;解题应用数学是初中学科的重要组成部分，对学生思维能力的培养起着关键作用。在此背景下，中学教师需要转变传统的教学理念，在解题教学中引入反证法，以此创新学生的思维模式，使学生形成良好的解题思路。 1 反证法的定义及理论依据 1.1 反证法的定义反证法即在将原命题否定后，找出题目中问题的立足点，再反过来证实原命题。具体求证一个命题时，可以先假设两个相对的命题，如果已经有条件证明两个命题是有矛盾的，或者得出的结果矛盾，那么就可以证实假设不成立，也就是说原命题成立[1]。这种证明命题的方式就叫做反证法。 1.2 反证法的理论依据反证法的理论依据主要由排中律和矛盾律这两大内容组成，两者在定义上有所差异。矛盾律主要指的是：证明命题时，如果有两个完全对立的结论，那么其中有一个结论是不成立的。排中律指的是：针对一个命题，其要么是真命题，要么是假命题，不会有第三种可能出现。排中律要求解题者在思维上必须是清晰和明确的，解题者要能最大限度地将排中律和矛盾律贯彻到数学应用中。此外，排中律还有一个独特的特征，解题者在命题的证明过程中，不仅要有独立的思维，还要确定自己的立场，以此更好地证实命题。

矛盾律和排中律既有联系又存在一定差异。联系：解题者在证明命题时，一定不能出现逻辑上的矛盾，如果与排中律背道而驰的话，那么矛盾律也无法应用在解题中。差异：矛盾律表示，若两个结论处于对立状态，那么其中一个不成立;排中律表示，若两个结论处于对立状态，那么其中有一个结论是成立的。 2 反证法的解题步骤将反证法引入命题解题，主要由反设、归谬以及结论三部分组成，它们在解题过程中是一个整体，且互相联系、缺一不可。首先，反设。采用反证法进行解题时，反设是最基础的内容，也是最关键的一个环节。反设的正确性直接影响解题过程和结果。在此过程中，解题者一定要充分了解题目给出的已知条件，借用所有条件对问题进行假设，最后再设出与求证内容相反的假设，以此进行下一步的求证。其次，归谬。归谬是运用反证法解题最关键的内容及重点所在。归谬主要指引入反设中的问题，使反设内容有一个明确的推理方向。最后，结论。结论主要是将反证法引入，通过这种方式得到最终结果。将反谬推理出的结果与反设假设的内容对比，若其产生矛盾，那么假设内容就会被推翻，这样来证明原来命题的结论，此时在得出结论后，整个命题已完成求证[2]。在命题证实的过程中，矛盾是推动整个试题发展的重要因素之一。通常情况下，矛盾可以分为自相矛盾、公理矛盾等。在解答试题的过程中，利用反证法能够跳过多种障碍，将正确答案证实出来，这是反证法的优势所在。 3 利用反证法解题时需要注意的问题 3.1 正确否定结论正确否定结论主要以反证法为根本出发点。如“一个三角形的3个内角中，最多有1个钝角。”“最多有1个”表示“可能1个都没有”或者“只有1个”。在此背景下，反设可以设成“2个内角为钝角”“3个内角都为钝角”。基于以上提出的例子，解题者在证题时需要抓住题型结构，巧妙地将反证法引入，通过否定假设内容来证实原有命题成立，有了对立命题也就能更好地得出结论，高效解题。反证法可以锻炼学生的思维能力，丰富其数学知识，提高教师的教学质量。 3.2 明确推理特点

关于反证法在初中数学解题中的应用

关于反证法在初中数学解题中的应用摘要：初中的教材大纲，对学生提出了很高的要求。教师在初中数学的教学过程中，应该通过多方面多维度的教学方式，帮助学生建立更完善的数学知识体系。教师在课堂中，应该多注重培养学生逻辑思维能力，运用更清晰的解题思路来解答数学问题。反证法在初中数学的广泛运用，有效地帮助学生在解答过程中，确保方向的正确性和步骤的严谨性。关键词：初中数学；反证法；人教版引言：由于中考数学考试标准的要求，学生在参加考试的过程中，会遇到不同类型的数学题目。掌握各种形式的解题技巧，是教师在课堂中非常重要的教学内容。本文将简单分析反证法在考试题型中的运用，以及通过在解题过程中反证法在初中数学教学中的重要性。一、把握基础知识，强化基础训练教师在初中数学的教学过程中，要牢牢把握三个基本方面。首先要清晰明确地解释数学知识点的基本概念，数学术语不同于日常交流，具有很强的针对性和学术性。如果学生在课堂前期阶段不能完全理解所学习的数学理论，会严重拖慢后续的课堂速度。其次，数学不同于其他初中科目，教师在课堂中应该注重讲解不同题目类型的不同解答规律，通过多次反复的基础练习和强化训练，进一步提高学生运用数学规律去解答题目的技巧能力。[1]最终，培养学生的思维逻辑能力是教师在教学过程中的重点。掌握多种类型的解题方法，对于学生在考试中具有至关重要的作用。教师应确保学生能够熟练地运用数学方法，来自主独立地解答多种多样的数学题目。在课堂中，牢牢抓住这三个基本因素后，可以通过灵活巧妙地运用反证法的教学方式，提高课堂效率与增强学生在数学解题中的应用能力。二、分析题目类型，准确定位方法教师在讲解数学答题技巧的课堂中，应该帮助学生去仔细分析不同题目的类型，以便展开进一步对解题技巧方法的定位。初中数学教材大纲要求学生培养较强的思维逻辑能力，要求学生能够运用基础的数学知识来解决具体的问题。为了适应教学大纲中的要求，中考数学的试题会呈现出题目类型多样，知识点覆盖面广泛，技巧性较强的特点。课本中各个章节的内容相互联系，教师在教学中，只有保证学生能够将不同时期所学习的知识融会贯通，才能够帮助学生更深刻系统地理解数学知识体系。教师在课堂中应该明确表达，不是所有的题型都适合用反证法来分析解答。例如，在讲解证明素数是否无限的时候，可以假设命题不真，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N>。无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个素数。在教学中教师应注意知识的迁移，不仅要关注解题方法，更要培养学生清晰分析的能力。在哪些题型中可以运用反证法，在哪些题型中更适合运用其他方法，这些都是教师需要提前说明的问题。 [2] 三、提高思维逻辑能力，建立完善数学知识体系反证法在解答数学应用题时的范围非常广泛，但这种特点并不代表这种解题方式适合运用在每一个题型中。由于反证法的解题过程比较特殊，需要学生通过从结果推向条件的方式来解答最初的数学问题，这就对学生的逻辑能力提出了非常高的要求。学生在运用反证法来解答应用题时，很可能会出现由于初步结论判断错误，而导致整个解答过程方向错误的情况。例如在《阅读与思考为什么√2

反证法在初中数学解题的运用

反证法在初中数学解题的运用摘要：在初中数学的教学和学习过程中，反证法是一种非常常见的解题方法，它可以有效简化数学问题，提高解题速度与解题正确率，锻炼学生的逻辑思维能力。在初中数学解题过程中，反证法的应用十分广泛。尤其是针对一些无处着手的数学问题，反证法的解题技巧可以关心学生迅速获得解题答案。基于此，本文概述了反证法的理论和分类等，重点针对反证法在初中数学解题中的应用进行了详细的分析，以供参考。关键词：反证法；初中数学；解题；应用反证法的应用思路是先将结论否认，然后依次为根底展开论证，并依据已知命题和推理原则得出与已知题设相矛盾的结论，进而确定论题的真实性。由此可见，反证法的应用并不需要直接证明结论，而是通过否认与结论相反的一面来证明事物的真实性。这是一种间接的、让步的证明方法。巧妙地应用反证法可以让人有一种茅塞顿开的感觉，并且解题过程简洁、明快，被誉为“数学家最精良的武器之一”。而且在初中数学解题中，巧妙应用反证法可以有效培养学生的逆向思维，提高学生的数学问题解决能力。一、反证法的概述反证法在初中数学解题中属于较为特别的解题方法，尤其对于一些无从下手的难题往往有较好的解题效果，但要想正确有效地运用需要准确细致地了解反证法的相关理念，下面进行具体论述。(一)反证法的根本理念。先对原命题进行否认，然后再找出必要的矛盾，就可以对原命题进行论证。也就是说，在证明一个命题的时候，可以先假如命题结论的对立面是正确的，再由已知条件得出两个相互矛盾的结论，或者与数学定理、公理、已知条件等相矛盾的结果，就可以说假如不成立。而在说明假如不成立的同时，也就代表着原命题的成立。这就是反证法。(二)反证法的理论依据。反证法的理论依据为矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一个证明过程中，假如两个相结论相互对立，那么其中一个必定是错误的。而排中律的意思是，同一个命题只有两种可能，要么为真，要么为假。排中律的特点是，解题者必须要有清楚、明确的思维，不仅要确定自己的思维逻辑，还要明确自己的立场。要想有效地运用矛盾律和

谈“反证思想”在培养初中生数学思辨能力中的应用

谈“反证思想”在培养初中生数学思辨能力中的应用对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，“反证法”就是一种间接证法。在初中数学教学中，可以借用“反证法”培养学生的发散思维，拓宽学生思维的广度。还可将“反证法”拓展开去，用“反证思想”分析和解决问题，使之与正向思维共同作用，以提高学生的数学思辨能力。一、“反证法”在初中教材中的解读 “反证法”在初中数学教材中，虽然并不是作为基本技能要求学生掌握，但处处有所渗透，并逐步提高要求。如苏科版七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”中，课本编写“读一读” ――怎样证实“两直线平行，同位角相等”，运用了反证法。这里已经逐步揭示反证法的基本思路：“反设→归谬→存真”。八年级下册第九章中，提出了一个用“反证法”解决的简单问题，并对反证法给出了明确的定义：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。让学生了解了反证法的基本步骤、体会反证法在解决问题中的作用。

由此看来，考虑到学生的年龄特征，对于“反证法”，在初中教材中的安排是谨慎而又循序渐进的，它是对提高学生逻辑推理能力、数学思辨能力的一个补充，在思维方式上给学生以新的思路和启发。二、“反证思想”渗透教学，培养学生数学思辨能力数学思辨能力，即数学思考辨析问题的能力，包括分析、推理、判断、解决问题。良好的思辨能力体现在对问题的分析和结论进行层次分明、条理清晰的解释和论证，具有较强的逻辑性。而“反证思想”是“反证法”中蕴含的逆向思维方式在问题解决中的应用。借用“反证思想”还能帮助学生能够在千变万化的数学问题，突破传统单一的解题思路，创新解决新方法，进一步深化对知识本质的理解。（一）从简单问题入手，使学生了解“反证法”的基本思路和一般步骤初中数学知识中包含很多定理、定义等，一些定理或者初始命题难以发现直接证明的论据。从简单问题入手，使“反证法”为学生提供新的解题思路。让学生了解它的基本思路和一般步骤，从而能触类旁通、灵活地解决问题。例1：求证：在一个三角形中最多有一个钝角。第一步，反设――假设问题的反面成立。假设一个三角形中有两个（或三个）钝角。第二步，归谬――从假设出发得出与已知条件、定义、