浅谈反证法在初中数学中的应用
浅谈反证法在初中数学中的应用
摘要：反证法作为一种重要的数学方法，在数学中有着许多方面的应用。
反证法突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，是一种开拓思路的方法，即逆向思维。
在我们初中数学教学中，通过应用到反证法增强学生的学习兴趣，提高思维转换及学生的分析和解题的能力。
关键词：反证法；逆向思维；数学教学
引言：反证法是一种重要的数学方法，中国古代数学家刘徽，他为《九章算术》作注解时，他多次应用归谬论证法，其中大多数的反驳是正确的，符合逻辑学，墨子也使用归谬法，曾子曰“学之益也，说在诽者。
”这是一个非常有意思的反证法特例。
反证法在初中数学中的应用非常广泛，通过笔者在初中数学耕耘的几年教学经验，浅谈一下反证法在初中数学中的应用。
一、概述
（一）反证法的定义
当直接证明一个命题较为复杂时，首先我们要假设命题不成立，而后应用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法。
（二）反证法的相关基础
反证法作为初中数学的重要方法，数学中的一些许多重要结论、性质等等都是利用反证法证明的，学会应用反证法对于中学生的数学思维有很大提升。
现从以下几个点去论述反证法的相关基础。
1、反证法的出发点
第一步就要否定原命题的结论，这是应用反证法的第一步，构造与原命题相矛盾的反命题，而后从反命题出发，对其进行推理。
2、反证法的推理过程
反证法的推理过程必须是合乎逻辑的，使用反证法就必须首先否定原命题的结论，作为假设命题，并把假设命题结论作为推理的已知条件，之后经过相关的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，我们知道假设命题是不成立的，所以肯定了原命题的结论，从而使原命题获得了证明。
3、反证法的逻辑基础
“矛盾律”和“排中律”是反证法的逻辑基础，那什么是“矛盾律”呢？即在同一思维下，两个互相矛盾的判断是不可能都为真，一定有一个是假的，这就是我们所说的“矛盾律”。
而两个互相对立的判断不能同时为假，这就是“排中律”。
反证法在其证明过程中，就是先应用到“矛盾律”，推导出矛盾，而后再应用到“排中律”说明原结论是正确的。
4、反证法的分类
反证法中有归谬法和穷举法两种方法：原命题的结论的否定如果只有一种情况，那么只要把这种结论给否定，就可以肯定原命题结论是正确的，这种反证法叫做归谬法。
如果原命题的结论的否定不止一种情形时，那么就必须把这些情况一一否定才能肯定原命题结论是成立的，这种反证法叫做穷举法。
二、反证法在中学数学中的应用及举例
反证法在初中数学的的应用非常广泛，现从基本定理或初始命题，否定性命题，关于唯一性、至多至少命题，存在性命题这几个方面去论述。
（一）基本定理或初始命题
此类命题由于已知条件及能够用到的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论较少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效，这在中学数学教材中是比较常见的。
例1：求证在一个三角形中，不能有两个角是钝角.
证明：已知A、B、C是三角形ABC的三个内角.
求证：A、B、C中不能有两个钝角.
证明：假设A、B、C中有两个钝角，不妨设A、B、是其中两个钝角
即A>90°，B>90° 则A+B+C>180°
这与三角形内角和定理相矛盾.故假设不成立，
因此，一个三角形不可能有两个钝角。
（二）否定性命题
此类命题的结论是以否定的形式出现的，其结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现，此类命题的特点是：结论的反面大多是单一性的，这就很容易用归谬法导致矛盾。
而对于某些反结论是非单一性的命题，可以穷举的方法导致矛盾，这类命题一般可以用反证法。
例2：求证不是有理数。
证明：假设是有理数，则存在a、b都属于自然数，且a、b互质，使=，则，从而我们能知道，a必为偶数，我们可以把a表示为a=2c，则有，进而知道，推出b一定是偶数。
由,a、b均为偶数与a、b互质相矛盾，故是无理数。
(三）关于唯一性、至多至少命题
唯一性命题是关于证明结论是“唯一”或“必然”的命题，而结论以“至多”、“至少”、“最多”、“最少”等形式出现的命题，我们把此类命题称为至多至少命题，其中的数量概念不容易把握，但其反面容易掌握，所以应用反证法很适合。
三、应用反证法应注意的问题
在应用反证法去证明一些命题时，必须从命题的特点出发，选取恰当的推理
方法，这样在证明过程中就会简易很多，因此，我们在运用反证法去证题时，应
注意以下几点:
（一）必须正确否定结论
必须正确的“否定结论”，因为这是运用反证法的前提。
先假设命题结论的
反面是成立的。
这一步就必须要正确的否定“结论”，否则如果错误的话，即便
推理论证再好也会做无用功。
一般当命题的结论只有一种情形时，否定结论比较
简单。
但是当命题的结论有多种情形时，做出否定就不太容易，这时必须得细心
分析，仔细推敲怎么去假设。
（二）必须明确推理特点
“否定结论，导出矛盾，肯定结论”是反证法的任务，但何时出现矛盾，出
现什么样的矛盾是不可提前知道的，没有一个固定的标准，但是一般情况下，我
们只要在命题的相关知识领域里考虑就行了，例如中学数学中的平面几何问题，
可以联系到相关的公理、定义、定理等，这也正是反证法推理的一般思路，因此，我们只需正确的否定结论，然后严格遵守推理规则，一步一步进行有据的推理，
当矛盾一经出现，证明就结束了。
（三）善于灵活运用
数学证明题一般都可以采用反证法，但需要说明的是，并不是所有数学证明
题都应使用反证法去证明，对于大多数数学题目而言，用直接证明的方法就可以
证出来，所以不能什么证明题都往去应用反证法，为此，我们要灵活的运用反证法，合理恰当的应用反证法，因为我们平时练习的题目大多运用方法的是直接证法。
一般地，应用反证法证题必须知道什么情况下用：首先应用直接证法，若觉
得很复杂，我们可以使用反证法。
四、反证法的教学意义
（一）培养逆向思维
反证法的教学能让学生摆脱思维定势，将运算过程简化，解题思路更加明了，培养创新思维。
（二）加强思维严密性
反证法是典型的间接证明方法,就是通过证明原命题的反面命题是不成立的，从而证明原命题为真。
在其证明过程中的每一个环节都要考虑到，做到不遗漏。
对于否定原命题结论后如果有几种情况，就必须分类讨论,一一予以否定。
（三）形成初步的数学思维
数学思维是人脑运用数学符号和数学语言对数学对象间接、概括的反映过程，数学思维是以数学概念为细胞，通过数学判断和数学推理的形式揭示数学对象的
本质和内在关系的认识过程。
目前在新课程的教学理念下，我们强调创造性数学
思维，加强数学思想方法教学是数学的本质要求，也是提高数学质量根本，是社
会发展的需要。
通过反证法的教学，可以培养学生数学思想。
反证法是数学家最
有力的一件武器。
四、结语
通过本文我们可以看出反证法是数学中一种重要的证明方法，它能够使某些
证明题做起来更加简单，达到让我们满意的结果，但是我们要灵活地运用反证法，这要求我们学生有较高的数学思维能力，这对学生的要求较高，因此，在教师教
学过程中，利用反证法的逆向思维对学生进行思维的训练，促进他们逆向思维能
力的提高；同时在教导学生的过程中，教师自己也要努力刻苦钻研教材，做到精
益求精。
参考文献
[1]肖承法.反证法在中学数学中的应用.新课堂，2010.
[2]段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革.武警学院学报,河北廊坊，2003(8).
[3]李宗俊.反证法的逻辑根据.宜宾市专学报,1992.。
反证法论文：浅谈反证法及其应用
反证法论文：浅谈反证法及其应用摘要:本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合,本文把反证法的常用场合分为八点,分别是:①命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③命题结论是“至多”“至少”形式;④命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤某些起始命题。
⑥难证的逆命题;⑦命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时;⑧直接论证不习惯,不适应。
关键词:反证法反设归谬结论矛盾一、什么是反证法1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。
但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。
设物体a比物体b重得多,则a应比b先落地,现在把a 和b捆在一起成为物体a+b。
一方面由于a+b比a重,它应比a先落地;另一方面,由于a比b落得快,a、b一起时,b应“拉了a的后腿”,使a下落的速度减慢,所以,a+b应比a先落地,有应比a后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。
因此,亚里士多德的断言是错误的。
伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用的方法,就是我们现在要介绍的反证法。
反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。
然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。
二、反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
初中数学初三数学下册《反证法》优秀教学案例
在讲授新知环节，我首先详细解释反证法的定义，并通过具体实例演示反证法的步骤。在讲解过程中，注重让学生理解反证法的核心思想——通过假设命题不成立，从而推导出矛盾，进而证明原命题成立。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将设计几个具有挑战性的问题，让学生分组进行讨论。这些问题涵盖反证法在不同类型的数学题目中的应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
2.使学生认识到反证法在数学学习中的重要性，体会数学的严谨性和美妙，增强学生的数学素养。
3.通过反证法的学习，培养学生面对困难时，勇尝试、坚持不懈的品质。
4.引导学生学会尊重他人意见，善于合作交流，培养良好的团队精神和沟通能力。
在本章节的教学过程中，教师将始终关注学生的全面发展，注重知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的数学素养和综合素质。通过本章节的学习，学生将更加深入地理解反证法的内涵，为今后的数学学习和人生发展奠定坚实基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握反证法，我将创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以通过讲述一个侦探故事，让学生扮演侦探，寻找线索，解决问题。在这个过程中，引导学生体会反证法在推理过程中的作用，使他们在情景体验中自然地接纳反证法。
3.小组合作，促进交流
案例中注重小组合作，让学生在互动交流中共同解决问题。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力，以及尊重他人意见的良好品质。
4.反思与评价，提高自我认知
在教学过程中，引导学生进行反思与评价，使他们在总结经验教训的基础上，不断提高自我认知。此外，实施多元化的评价方式，关注学生的全面发展，激发他们的学习信心。
漫谈初中数学解题中的“反证法”
61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。
2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。
3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。
反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。
反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。
二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。
案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。
初中数学中的反证法例谈
初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。
以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。
假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。
因此，所有正整数都是奇数或偶数。
2. 证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。
将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。
因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。
带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。
这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。
因此，根号2是无理数。
3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。
因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。
假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。
同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。
因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。
反证法在初中数学解题中的应用
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是解题时可有可无的部分。解题者只需要全面掌握假设 4.3 反证法在无穷性命题中的应用
内容，将解题步骤更好地推理出来，自然而然地就能找出
将反证法运用在无穷性命题的解题中，能快速高效
将反证法引入命题解题，主要由反设、归谬以及结论 三部分组成，它们在解题过程中是一个整体，且互相联 系、缺一不可。首先，反设。采用反证法进行解题时，反设
是最基础的内容，也是最关键的一个环节。反设的正确 性直接影响解题过程和结果。在此过程中，解题者一定 要充分了解题目给出的已知条件，借用所有条件对问题进 行假设，最后再设出与求证内容相反的假设，以此进行下 一步的求证。其次，归谬。归谬是运用反证法解题最关键 的内容及重点所在。归谬主要指引入反设中的问题，使反 设内容有一个明确的推理方向。最后，结论。结论主要是 将反证法引入，通过这种方式得到最终结果。将反谬推 理出的结果与反设假设的内容对比，若其产生矛盾，那么 假设内容就会被推翻，这样来证明原来命题的结论，此 时在得出结论后，整个命题已完成求证[2]。
反证法即在将原命题否定后，找出题目中问题的立 足点，再反过来证实原命题。具体求证一个命题时，可以 先假设两个相对的命题，如果已经有条件证明两个命题 是有矛盾的，或者得出的结果矛盾，那么就可以证实假设做反证法。 1.2 反证法的理论依据
反证法的理论依据主要由排中律和矛盾律这两大内 容组成，两者在定义上有所差异。矛盾律主要指的是:证 明命题时，如果有两个完全对立的结论，那么其中有一个 结论是不成立的。排中律指的是：针对一个命题，其要么 是真命题，要么是假命题，不会有第三种可能出现。排中 律要求解题者在思维上必须是清晰和明确的，解题者要 能最大限度地将排中律和矛盾律贯彻到数学应用中。此 外，排中律还有一个独特的特征，解题者在命题的证明 过程中，不仅要有独立的思维，还要确定自己的立场，以 此更好地证实命题。
浅谈数学反证法
浅谈反证法在数学中的应用刘胜摘要：在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。
各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性、敏捷性、灵活性的基础。
反正法主要运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题结论相反的假设。
然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题的一种方法。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
本文从反证法的概念、关于学生在学习中理解反证法的困难、学生运用反证法能力的培养、反证法证题的步骤、分类等方面给以浅述。
关键词：反证法概念理解培养步骤分类证明矛盾反证法是中学数学教学中所涉及的基本论证方法。
初中学生学习平面几何不久，便接触了反证法的思想，在此基础上于第二册建立了反证法的概念, 并运用反证法证明了平面几何中一些重要定理。
在以后数学各个分科教学的推理论证中，也都经常使用这一论证方法。
可见反证法的教学和应用贯穿于整个中学数学教学过程中，学生对反证法的学习、理解和运用反证法能力的提高，也是在中学学习数学过程中逐步加深和完成的。
因此在中学数学教学的全过程中，教师都应该注意对学生运用反证法能力的培养。
一、关于反证法的概念关于反证法这一要领讲法并不一致，有人把反证法归结为证明逆否命题的方法。
他们认为“用反证法进行论证，就是证明原命题的逆否命题”。
有的书中将反证法概念叙述为：为了证明A=>B，而去证明与它们等价的命题，且在等价命题的条件部分中含有要证明的结论的否定，称这样证明方法为反证法。
也有的书上将反证法的概念解释为：当我们要论证一个论题成立（真）时，先假定论题的矛盾论题是真的，然后用演绎推理，从引进的矛盾论题和给定的论据推出逻辑矛盾来，进而确认原论题是真的，这样的证明方法称为反证法。
还有的书中将中学数学中反证法解释为：有一些中学数学题，运用直接证明不易作出它的证明，但却能较易于证明它们结论的反面不成立，直接证明的这种变形称为反证法。
浅谈反证法的原理及应用（最新整理）
浅谈反证法的原理及应⽤（最新整理）摘要反证法是⼀种重要的证明⽅法,它不仅对数学科学体系⾃⾝的完善有促进作⽤,⽽且对⼈的思维能⼒的培养和提⾼也有极其重要的作⽤.如果能恰当的使⽤反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的⽬的.反证法的逻辑思维强,数学语⾔准确性⾼,对培养学⽣严谨的逻辑思维能⼒,阅读能⼒,树⽴正确的数学观具有重要的意义.本论⽂主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作⽤;反证法具有⼴泛应⽤的科学根据;并且着重介绍了反证法的应⽤,包括反证法在初等数学和⾼等数学的应⽤,并提出应⽤反证法应注意的问题;针对各种问题提出⼀些具体的教学建议,从⽽为改进反证法教学提供参考.关键词:反证法,否定,⽭盾,应⽤Principle and application of the reduction to absurdityABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics.The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application⽬录⼀、引⾔ (1)⼆、反证法的由来 (1)三、反证法的概念及分类 (1)（⼀）反证法的定义 (1)（⼆）反证法的分类 (2)1．归谬法 (2)2．穷举法 (2)（三）反证法的作⽤ (2)四、反证法的科学依据 (3)（⼀）反证法的理论依据 (3)（⼆）反证法的步骤 (3)（三）反证法的可信性 (4)五、反证法的应⽤ (4)（⼀）反证法在初等数学中的应⽤ (4)（⼆）反证法在⾼等数学中的应⽤ (6)1．在数学分析中的应⽤ (6)2．在⾼等代数中的应⽤ (8)（三）应⽤反证法应注意的问题 (9)1．反设要正确 (9)2．明确推理特点 (9)3．善于灵活运⽤ (10)4．了解⽭盾种类 (10)六、反证法的教学价值及建议 (10)（⼀）反证法的教学价值 (10)1．训练逆向思维 (10)2．促进数学思维的形成 (10)3．培养思维严密性 (11)4．渗透数学史 (11)（⼆）反证法的教学建议 (11)1．多次反复,螺旋上升 (11)2．精⼼研究,训练反设 (12)3．渗透数学思想⽅法,训练严密 (12)七、结束语 (12)⼋、参考⽂献 (13)必为假.再根据“排中律”,“原结论”与“否定的原结论”这⼀对⽴的互相否定的判断不能同时为假,必有⼀个是真,⽽“否定的原结论”为假,于是我们得到“原结论”必为真.综上,我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据,通过逻辑推理,得出令⼈信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应⽤.五、反证法的应⽤本部分主要总结反证法在初等数学和⾼等数学的应⽤.（⼀）反证法在初等数学中的应⽤之前我们主要介绍了⼀些反证法的概念,对于反证法的定义、历史及逻辑基础有了⼀定的了解,反证法这种间接证明⽅法理论上可以⽤于证明任何题⽬,但是它像直接证明⼀样总有局限性,这部分我们主要介绍常⽤反证法的⼏类命题.否定性命题:结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题,直接证法不容易⼊⼿,反证法可以发挥它的作⽤.例1.求证:在⼀个三⾓形中,不能有两个⾓是钝⾓.证明:已知、、是三⾓形的三个内⾓.A ∠B ∠C ∠ABC 求证:中不能有两个钝⾓.C B A ∠∠∠、、证明:假如中有两个钝⾓,C B A ∠∠∠、、则有,这与“三⾓形和为”产⽣⽭盾,所以,⼀>∠+∠+∠180C B A ?180个三⾓形不可能有两个钝⾓.关于唯⼀性、存在性、⾄多⾄少命题:例2.已知,求证关于的⽅程有且只有⼀个根.0≠a x b ax =证明:假设⽅程（）⾄少存在两个根,0=+b ax 0≠a 不妨设其中的两根分别为,且,则,21x x 、21x x ≠b ax b ax ==21， ,21ax ax =∴,021=-∴ax ax ,()021=-∴x x a ,0,2121≠-≠x x x x 与已知⽭盾,0=∴a 0≠a 故假设不成⽴,结论成⽴.⽭盾,证明也就结束了.3．善于灵活运⽤虽然数学证明题⼀般都可采⽤反证法,但并不是说,所有证明题都应该使⽤反证法来证明,就多数题⽬来说,⽤直接证法就可以证出,不能⼀味往反证法上⾯靠,要灵活运⽤反证法,毕竟我们平时训练的题⽬多是运⽤的直接证法.对待⽤反证法证题的策略思想是:⾸先试⽤直接证法,若⼀时不能成功,即可使⽤反证法.4．了解⽭盾种类反证法推理过程中出现的⽭盾种类是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设⽭盾,可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相⽭盾,可能与临时假设⽭盾或推出⼀对相互⽭盾的结果等.六、反证法的教学价值及建议关于反证法的教学,从早期就要向学⽣渗透这种思想,凡事不⼀定⾮常谨慎,只要学⽣能够明⽩、认可其中的原理即可.（⼀）反证法的教学价值1．训练逆向思维为了解决⼀个⾯临的数学问题,通常总是先从正⾯⼊⼿进⾏思考,即根据问题中的已知条件,搜索运⽤已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导出未知.若从正⾯⼊⼿繁琐或难度较⼤,不妨考虑问题的相反⽅⾯,往往会绝处逢⽣,开拓解题思路.这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反证法解题,反证法的教学能摆脱学⽣的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提⾼解题速度,促进创新思维.2．促进数学思维的形成数学思想⽅法是科学思维的⽅法和技术,是数学的精髓,它为揭⽰数学本质,提供了有⼒的思想武器.数学思想⽅法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性⼈才.新⼀轮课程教学改⾰强调创造性、⽣成性,得以形成数学⽂化、数学思维,如何去做是我们关注的.中国初等数学教育明显的好于西⽅,但到⼤学阶段的学⽣却缺少创造性,很难有所成就 ,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思.我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术,⽽启发性思维、理解、悟得思想⽅法的不多.因⽽形成学⽣成绩的两极分化,讨厌数学,甚⾄数学尖⼦⽣也远离数学,回想起数学来就⼼⽣畏惧.加强思想⽅法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提⾼全民族整体素质的重要举措,是社会发展的需要,更是提⾼数学质量的基本保证.⽽通过反证法的训练是培养数学思想⽅法的很好途径.欧⼏⾥得很喜欢运⽤的归谬法,它是数学家最有⼒的⼀件武器,⽐起象棋开局时牺牲⼀⼦以取得全局的让⼦法,它还要⾼明.象棋奕者不外牺牲⼀卒或顶多⼀⼦,数学家索性把全局拱⼿让给对⽅,这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的⼀种⽅法.3．培养思维严密性训练逻辑思维能⼒,反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从⽽证明原命题.在证明过程中的每⼀环节都要全⾯、不遗漏.⽐如否定原题结论反设后有⼏种情况,必须进⾏分类讨论⼀⼀加以否定.反证法与直接证法是密切联系的,⼆者相结合往往相辅相成,相得益彰.就全局⽽⾔是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程⽤的是直接证法.有时在基本直接证法的推理中,⼜会穿插⼀段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反⾯,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏.4．渗透数学史提⾼辩证思维的能⼒,反证法是⼀种重要的证明⽅法,⽆论在初等数学还是⾼等数学中,都有⼴泛的应⽤,数学中⼀些基本性质,重要定理甚⾄某些著名的数学难题,往往⽤反证法证得.举世闻名的费尔马⼤定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧⼏⾥得曾⽤它证明素数有⽆穷多个.因此反证法对训练学⽣辨证思维,提⾼哲学修养很有价值.（⼆）反证法的教学建议由于反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,⽐较复杂,所以书上没有给出其概念,从⼩学、初中、到⾼中都会⽤到,代数、⼏何都有使⽤,为此教学⼯作如下设想.1．多次反复,螺旋上升反证法的知识本⾝很难,学⽣多次学习都感到似懂⾮懂,下次见到⼜是⽣⾯孔,因此,不能期待⼀次完成,⼀蹴⽽就,要通过看书、⽰范例题、探索解题、回顾推敲、揭⽰内涵、思悟提⾼等慢慢地掌握 .2．精⼼研究,训练反设在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是⼗分重要的.3．渗透数学思想⽅法,训练严密先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师⽣共同概括提炼,加以量化.然后由学⽣探索分析问题思想,以达到提⾼、升华.最后,⼒求使学⽣学会运⽤反证法思想武器指导思维活动,在⾼层次感受其威⼒.七、结束语反证法的应⽤是相当⼴泛的,在数学各个分⽀中都有体现,对于数学的创造发展也是极重要的⼯具之⼀.尽管其应⽤不如直接证法普遍,但它在数学命题的证明中能起到直接证法所起不到的作⽤,不少数学命题的证明当使⽤直接证法⽐较⿇烦或⽐较困难甚⾄不可能时,如能恰当地使⽤反证法,就可以化繁为简,化难为易,化不能为可能.当然,反证法不是万能的,⼀般地是在否定论题结论,得到⽭盾论题后,显得⽐原论题更具体、更简明时适⽤反证法.反证法作为⼀种重要的间接论证⽅法,与直接证法的着眼点和理论依据等⽅⾯都不尽相同,构成反证法的智⼒动作与辩证思维密切相关,尤其是按照相反论点的结论进⾏推理的分析思维形式和综合法的逻辑过程,对于训练学⽣的思维能⼒是⾮常重要的.⼋、参考⽂献[1] 中国⼈民⼤学哲学系逻辑教研室.逻辑学[M].北京:中国⼈民⼤学出版社,1996,317.[2] Thompson,D.R.1996.Leanring and teaehing indireet Proof. MathematicsTeacher,89:474⼀482[3] 邹⼤海.刘徽的⽆限思想及其解释[J].⾃然科学史研究,1995,14(1):12-21[4]张⽲瑞《⾼等代数》（第五版）[M].⾼等教育出版社[5]刘⽟琏《数学分析》（第五版）[M].⾼等教育出版社[6] 伊夫斯H.数学史概论[M].欧阳绛译.太原:⼭西经济出版社,1986,285.[7] 周春荔.数学观与⽅法论[M].北京:⾸都师范⼤学出版社,1996.。
63.怎样用反证法证初中代数问题 ---刘培杰 代数
63 怎样用反证法证初中代数问题反证法是数学中一种很重要的证题方法，它是“数学家的最精良的武器之一”．反证法不仅可以用来证明几何命题，还可以用来证明代数命题．有些代数命题用直接证法无从下手，但是用反证法就会得心应手、轻松愉快．反证法分以下三个步骤．(1)反设：就是否定结论，即把结论的全部相反情况假设出来，做到既不遗漏，也不重复．(2)推导出矛盾的结论：把假设当成新的已知条件进行推导，推出与已知条件、定义、公理、定理、假设相矛盾或两个自相矛盾的结论来，从而指出假设的不成立．(3)结论：给所证命题下结论，不是中间结论，而是全题结论．下面举出反证法在初中代数中的应用例子．一、证明整数问题例1 已知2m 是偶数，求证：m 必为偶数．证明 假设m 不为偶数，则必为奇数2n+1(n 是整数)，表示为m=2n+1，平方后整理为,1)1(42++=n n m 显然右端是奇数，左端2m 也应为奇数，这与已知条件矛盾，所以m 是偶数．例2 n 是自然数，求证：22++n n 不能被l5整除．证明 假设能被l5整除，则有k n n 1522=++(k 为自然数)，即 0)152(2=-++k n n276012)152(411-±-=--±-=k k n 60k 一7末尾的一位数是3，故根号内不是一个整数的平方，与已知条件n 是自然数矛盾，所以22++n n 不能被15整除．例3 求证：4n 一1(n 是自然数)不是两个自然数的平方和．证明 假设4n 一1是两个自然数的平方和．b a b a n ,(1422+=-都是自然数)，因4n 一1是奇数，故2a 和2b 为一奇一偶．设a2为奇数，b2为偶数，于是a 为奇数，b 为偶数(例1已证)，设a=2k+1，b=2m ，则.1)(2,)2()12(142222=---++=-m k k n x m k n上式左端为偶数，右端为奇数，互相矛盾，所以原命题得证．二、证明整式问题例4 已知),1,0(=/>=a a a a n m 求证：m=n ．证明 假设m≠n，用n=m+r 表示(r≠0)．若,.r m r m n a a a a ==+因为,n m a a =所以.1=r a因为a≠1，r≠0，与a r =1是矛盾的，m≠n,不成立，所以m=n ．例5 已知二次三项式,22221121c x b x a c x b x a ++≡++求证：,21a a =⋅==2121,c c b b证明 由已知得.0)()()(2121221≡-+-+-c c x b b x a a假设,21a a =/则.021=/-a a这时即为一个一元二次方程，最多只有两个x 的值能满足，这与恒等式意义矛盾，所以⋅===212121,,c c b b a a三、证明无理数问题例6 已知自然数m 不是一个平方数，求证：m 是无理数．证明 假设m 是有理数，且用既约分数qp 表示成,q p m =即有m=,22q p 即 ①22p mq =可知P 是m 的倍数，令P=km 代入①得,222m k mq =即 ②22mk q =可知q 是m 的倍数．P ，q 同为m 的倍数，这与假设q p 是既约分数相矛盾，所以m 是无理数．例7 已知m 与n 都是正有理数，n m 与都是无理数，且m ≠n ．求证：n m +是无理数．证明 因为m≠n,，故 ①n m n m n m +-=- 假设n m +为有理数，由①可知n m -也为有理数． 这样（n m +）-（n m -）=2m 两个有理数的和仍为有理数，因而m 应为有理数，这与已知矛盾，所以n m +为无理数． 四、证明不等式问题例8 已知：a>b>0，求证：1(>>n b a n 的整数)．证明 因为a>0，b>0，所以.0,0>>n n b a 假设.0>>/n n b a 下分两种情况：(1)当n n b a =时，则.)()(n n n n b a =所以a=b ，与已知矛盾，n n b a =不成立． (2)当n n b a <时，则.)()(n n n n b a <所以a<b ，与已知矛盾，r n b a <不成立． 由(1)，(2)可知，n n b a >成立． 例9 已知：,233=+q p 求证：P+q ≤2．证明 假设P+q>2，则q<2一p ，两端立方后，整理为+>+233q p ,)1(62-p 这与已知矛盾，即P+q>2不成立，所以P+q≤2．五、证明方程问题例10 不解方程，求证：方程0589119853=+-x x 没有整数根．证明 假设方程有两个整数根α和β ，则有α+β=1985，α·β=5891．由此知两个整数的和为奇数，且其积也为奇数，这样的整数不存在，所以方程没有整数根．例11 已知两个二次方程(a>2，b<2) ①0)(2=++-b a abx x②0)(2=++-ab x b a x求证：这两个方程没有公共根．证明 假设这两个方程有公共根x 1，则有③0)(121=++-b a abx x④0)(121=++-ab x b a x③一④得0)1)((1=+--x b a ab因为a>2，b>2，所以ab —a —b>0．所以.1,0111-==+x x 代入③得01=+++b a ab ⑤但a>2，b>2，故⑤不成立，即有公共根的假设不成立，所以这两个方程没有公共根．六、证明函数问题例12 对于任意的x 值，函数与22m x x y ++=的值至少有一个永远大于零．证明 “至少有一个”就是“有一个”“有两个”，它的反面是“一个都没有”．假设这两个二次函数的值都不永远大于零，由于a>0，只须△≥0，因此有,044)1(4122≥-+=-+=∆m m m m 解得222--≤m 或①221+-≥m,04122≥-=∆m 解得②2121≤≤-m 因①和②无公共部分，故不存在实数m ，使两个二次函数的值都为永远大于零，于是原命题得证．例13 a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：++=++=cx bx y c bx ax y 2,222b ax y a ++=2,2α 这三条抛物线中至少有一条和x 轴的交点不是只有一个．证明 “至少有一条不是”包含“一条不是”“两条不是”等，其反面情况是“全部都是”．假设这三条抛物线全部都是和x 轴只有一个交点，即△=0，有 0442=-ac b0442=-ab c0442=-bc a三式相加除以2得022*******=---++ac bc ab c b a0)()()(222=-+-+-a c c b b a由此可推出a=b=c ．这与已知条件矛盾，假设不成立，所以原命题得证．。
关于反证法在初中数学解题中的应用
关于反证法在初中数学解题中的应用摘要：初中的教材大纲，对学生提出了很高的要求。
教师在初中数学的教学过程中，应该通过多方面多维度的教学方式，帮助学生建立更完善的数学知识体系。
教师在课堂中，应该多注重培养学生逻辑思维能力，运用更清晰的解题思路来解答数学问题。
反证法在初中数学的广泛运用，有效地帮助学生在解答过程中，确保方向的正确性和步骤的严谨性。
关键词：初中数学；反证法；人教版引言：由于中考数学考试标准的要求，学生在参加考试的过程中，会遇到不同类型的数学题目。
掌握各种形式的解题技巧，是教师在课堂中非常重要的教学内容。
本文将简单分析反证法在考试题型中的运用，以及通过在解题过程中反证法在初中数学教学中的重要性。
一、把握基础知识，强化基础训练教师在初中数学的教学过程中，要牢牢把握三个基本方面。
首先要清晰明确地解释数学知识点的基本概念，数学术语不同于日常交流，具有很强的针对性和学术性。
如果学生在课堂前期阶段不能完全理解所学习的数学理论，会严重拖慢后续的课堂速度。
其次，数学不同于其他初中科目，教师在课堂中应该注重讲解不同题目类型的不同解答规律，通过多次反复的基础练习和强化训练，进一步提高学生运用数学规律去解答题目的技巧能力。
[1]最终，培养学生的思维逻辑能力是教师在教学过程中的重点。
掌握多种类型的解题方法，对于学生在考试中具有至关重要的作用。
教师应确保学生能够熟练地运用数学方法，来自主独立地解答多种多样的数学题目。
在课堂中，牢牢抓住这三个基本因素后，可以通过灵活巧妙地运用反证法的教学方式，提高课堂效率与增强学生在数学解题中的应用能力。
二、分析题目类型，准确定位方法教师在讲解数学答题技巧的课堂中，应该帮助学生去仔细分析不同题目的类型，以便展开进一步对解题技巧方法的定位。
初中数学教材大纲要求学生培养较强的思维逻辑能力，要求学生能够运用基础的数学知识来解决具体的问题。
为了适应教学大纲中的要求，中考数学的试题会呈现出题目类型多样，知识点覆盖面广泛，技巧性较强的特点。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨【摘要】本文探讨了反证法在初中数学解题中的应用。
首先介绍了利用反证法证明等式的独特性，通过假设等式错误来推导出矛盾，从而证明等式成立。
其次讨论了利用反证法证明几何命题的正确性，通过假设命题错误来推导出矛盾，从而证明命题正确。
然后探讨了利用反证法解决逻辑推理题和方程组的解存在性问题，通过假设反面来得出结论。
最后讨论了利用反证法证明不等式的性质，通过假设不成立来推导出矛盾，从而证明不等式成立。
结论指出反证法在初中数学解题中的重要性，是培养学生逻辑思维能力的重要方式。
初中学生应该熟练掌握反证法的运用，以提升数学解题的能力和思维水平。
【关键词】反证法、初中数学、应用探讨、等式、几何命题、逻辑推理题、方程组、解存在性、不等式、重要性、逻辑思维能力1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的应用探讨引言：反证法是数学证明中常用的一种方法，通过反证法可以证明一个命题的否定是不成立的，从而进而证明这个命题是成立的。
在初中数学中，反证法也有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种复杂的数学问题。
本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用，包括利用反证法证明等式的独特性、利用反证法证明几何命题的正确性、利用反证法解决逻辑推理题、利用反证法解决方程组的解存在性问题以及利用反证法证明不等式的性质。
通过这些例子，我们可以更好地理解反证法在数学解题中的重要性，同时也可以培养学生的逻辑思维能力，帮助他们更好地理解和运用数学知识。
反证法不仅是一种证明方法，更是一种思维方式，能够帮助学生提高解题能力，培养批判性思维，从而更好地应对数学学习中遇到的各种问题。
2. 正文2.1 利用反证法证明等式的独特性利用反证法证明等式的独特性是初中数学中常见的解题方法之一。
在数学中，我们经常要证明一些等式的成立性，而有时候直接利用已知条件来进行证明并不是很方便，这时候反证法就派上了用场。
反证法的基本思想是假设要证明的结论为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原结论的真实性。