Logistic混沌映射
Logistic混沌映射
引言
如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。
在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。而这些特性正符合序列密码的要求。1989年Robert Matthews在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。
Logistic映射分析
一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：
Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]
其中 μ∈[0,4]被称为Logistic参数。研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。如下图所示：
可以看出，在μ的取值符合3.5699456<μ<=4的条件，特别是比较靠近4时，迭代生成的值是出于一种伪随机分布的状态，而在其他取值时，在经过一定次数的迭代之后，生成的值将收敛到一个特定的数值，这对于我们来说是不可接受的。
下图中描述了X0值一定时，对于不同的μ的取值，迭代可能得到的值：
图中的点即表明了所有可能的X取值范围。从图中我们可以看出，在μ越接近4的地方，X取值范围越是接近平均分布在整个0到1的区域，因此我们需要选取的Logistic控制参数应该越接近4越好。
在μ的值确定之后，我们再来看看初始值X0对整个系统的影响。刚才也说过了，混沌系统在初始值发生很小变化时，得到的结构就会大相径庭，在Logistic混沌映射中也是如此。
上图显示的是X0= 0.663489000和X0= 0.663489001，μ=3.99时两个Logistic序列之差的图像，很明显，在最开始20多次迭代，两者的差很小，近似等于0，但随着迭代次数的增加，两个序列的值显示出一种无规律的情形，两者相差也比较大了。因此可以看出该系统具有很好的雪崩效应。
我们在使用Logistic混沌系统时，可以先让系统先迭代一定次数之后，再使用生成的值，这样可以更好地掩盖原始的情况，使雪崩效应扩大，这样可以具有更好的安全性。
最后我们再来看看Logistic的随机分布特性，一个好的伪随机序列应该有比较平均的分布，也就是说，每个数出现的概率应该是相等的。我们对X0=0.2，μ=3.9999的Logistic混沌映射进行30000次迭代后对其值进行统计，分布情况如下表所示：
从上表中我们可以看出，Logistic映射的迭代序列的分布并不是均匀的，对于其他的X0取值也有类似的结构。而且从表中我们还可以看出，其分布是一种两头大中间小的情形。虽然分布情况并不是很平均，但是对于一般情形来说，Logistic映射序列是可以满足我们的需求的。而且我们可以对其想办法加以改进，使之可以获得更好的平均性。
改进的基于Logistic映射混沌扩频序列的产生方法
第２８卷第２期 ２００７年２月 通信学报 Ｊｏｕｍａｌ ｏｎ Ｃｏｍｍｕｎｉ￣ａｔｉｏｎｓ Ｖ０１．２８ Ｎｏ．２ Ｆｅｂｒｕａｒｙ２００７
改进的基于Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射混沌扩频序列的产生方法
柳平，闰川，黄显高
（汕头大学电子工程系，广东汕头５１５０６３）
摘要：以Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射为基础，提出了一种改进的混沌扩频序列产生方法，该方法由给定初值代入混沌映
射，然后对每个迭代点进行Ｌ比特量化，通过截短得到新的混沌扩频序列。得到的序列与传统混沌扩频码和Ｇｏｌｄ
码作了比较，并在ＤＳ．ＣＤＭＡ系统中作了仿真验证。结果表明，该方法减少了迭代次数，加快了运算速度，并且
可以产生任意长度的扩频序列，地址数远远大于现有的Ｇｏｌｄ码。通过实验还得到了最优的二进制量化阶数。
关键词：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射；混沌扩频序列；量化阶数；Ｇｏｌｄ序列；相关：同步：异步；误码率
中图分类号：ＴＮ９１４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００（Ｏ３６Ｘ（２００７）０２－０１３４－０７
Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｐｒｅａｄ－ｓｐｅｃｔｒｕｍ
ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ—ｍａｐ
ＬＩＵＰｉｎｇ，ＹＡＮＣｈｕａｎ，ＨＵＡＮＧＸｉａｎ—ｇａｏ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｌ￣ｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｔ￣ｕ５１５０６３。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ－ｍａｐ，ａｎ ０ｌ 血ｚｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｐｒｅａｄ－ｓｐｅｃｍｕｎ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ Ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．
ＡｎｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｗａｓｇｉｖｅｎａｎｄｉｔｅｒａｔｅｄｉｎｔｈｅＬｏｇｉｓｔｉｃｍａｐ，ｔｈｅｎＬｂｉｔｑｕａｌｉｆｉｃａｔｉｏｎＷａｓｄｏｎｅｔｏ ｅｖｅｒｙｐｏｉｎｔ，ｉｎｔｈｉｓｗａｙ，
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌
4-1 逻辑斯谛（Logistic）映射
我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。该模型称
为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我
们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有： iN
oiiiNNN11++==λλ (4-1)
iN,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，
以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的
最大虫口为，并令2iN
oNoiiNNx=，则该模型由一个迭代方程表示：
21iiiNNNλλ−=+
即为：
)1(1iiixxx−=+λ （4-2）
其中：]4,0[],1,0[∈∈λix。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌
借助于对这一非线性迭代方程进行迭
代计算，我们可以清楚地看到非线性系统
通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程
迭代过程可以用图解来表示。图4-1
中的水平轴表示，竖直轴表示，抛
物线表示（4-2）式右端的迭代函数。45º
线表示nx1+nx
nnxx=+1的关系。由水平轴上的初
始点作竖直线，找到与抛物线的
交点，A的纵坐标就是。由点)0,(0xR
),(10xxA1x),(10xxA作水平直线，求它与45º线的交点，经B点再作竖直线，求得与抛物
线的交点，这样就得到了。仿此做法可得到所迭代点。 ),(11xxB
),(21xx2x
从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。但我们关心的不是暂态过程，而是这
所趋向的终态集。终态集的情况与控制参数λ有很大关系。增加λ值就意味着增加系统的
非线性的程度。改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。它所影响的
不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
（二）终态性质
①当31<
线的交点，这相当于系统处于一个稳定态，如图4-2(a)所示。此值与λ有关，且与λ值有
混沌算法 python
混沌算法 python
混沌算法是一种基于混沌理论的算法，其基本思想是利用混沌系统的特性来解决一些复杂的问题。在Python中实现混沌算法需要使用到一些数学库，如NumPy和Matplotlib等。
下面是一个简单的Python代码示例，演示了如何使用Logistic映射来生成混沌序列：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义Logistic映射函数
def logistic(x):
return 4 * x * (1 - x)
# 生成混沌序列
x = 0.5
xs = [x]
for i in range(1000):
x = logistic(x)
xs.append(x)
# 绘制混沌序列的图像
plt.plot(xs)
plt.show()
在这个示例中，我们首先定义了Logistic映射函数，该函数将一个介于0和1之间的数映射到另一个介于0和1之间的数。然后，我们使用该函数生成了一个混沌序列，该序列由1000个数字组成。最后，我们使用Matplotlib库将该序列绘制成图像。
需要注意的是，混沌算法的应用非常广泛，不仅可以用于生成混沌序列，还可以用于加密、图像处理、优化问题等领域。但是，由于混沌算法的复杂性和不确定性，在使用时需要特别小心，避免出现不可预测的结果。
联合二维logistic混沌映射与比特重组的彩色图像加密算法
第４０卷第８期 ２０１３年８月 计算机科学 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｖｏ１．４０ Ｎｏ．８ Ａｕｇ．２０１３
联合二维ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射与比特重组的彩色图像加密算法
庹朝永 秦拯。黎谦。
（湖南机电职业技术学院 长沙４１０１５１） （湖南大学信息科学与工程学院 长沙４１００８２）。
摘要通常的彩色图像加密算法未能充分考虑ＲＧＢ各颜色分量之间的内在联系，抵抗统计分析能力不强。为进一
步增强图像置乱程度与加密安全性，在结合混沌置乱的基础上，提出一种新的彩色图像加密算法。算法首先利用二维
ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射产生随机性很强的伪随机序列进行像素置乱，然后将ＲＧＢ ３种颜色分量视为一个整体，并联合比特异或
与随机重组对各像素值进行灰度变换，最后对各２４位像素值进行ＲＧＢ重新分割得到加密图像。仿真结果表明，该算 法置乱效果好，相较于通常的彩色图像加密方案，具有更少的时间开销与更好的安全性。
关键词图像加密，二维１ｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射，比特重组，彩色图像
中图法分类号ＴＰ３０９．７ 文献标识码Ａ
Ｃｏｌｏｒ Ｉｍａｇｅ Ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ２Ｄ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ Ｃｈａｏｔｉｃ Ｍａｐ ａｎｄ Ｂｉｔ Ｒｅａｒｒａｎｇｅ
ＴＵＯ Ｃｈａｏ－ｙｏｎｇ ＱＩＮ Ｚｈｅｎｇ２ ＬＩ Ｑｉａｎ２ （Ｈｕｎａｎ Ｍｅｃｈａｎｉｃ＆Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１０１５１，Ｃｈｉｎａ）１
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８２）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｕｓｕａｌ ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆａｉｌ ｔｏ ｔａｋｅ ｆｕｌｌ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ
基于改进Logistic映射的混沌图像加密算法设计
科技信息 ０机械与电子０ ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ２０１３年第１７期
图３伸缩栅格机构示意图 由翼梢小翼设计手册可知．若其高度过高．在高升力非设计状态 将导致严重的边界层分离．因此翼梢小翼的高度一般不超过机翼翼尖 弦长。本文算例中翼梢小翼的高度在１．０２９ｒｎ～１．２５０７ｒｎ范围内变化．在 Ｔｒｅｆｔｚ平面内计算机翼和翼梢小翼的流场分布特性．计算结果如表３ 所示。 表３加装可变高度翼梢小翼的飞机气动性能数据 由计算结果可以知．翼梢小翼的高度在１．０２９ｍ～１．２５０７ｍ范围内 变化时，升力系数最多可提高０．２０５２％，诱导阻力系数最多可降低 ０．５６７％，而翼根弯矩系数最多增加０．０６２３％。可以较好的改善飞机起 飞及爬升状态时的气动眭能。 ４可变高度翼梢小翼对飞机气动性能的影响 ５结论 本文采用基于涡格法的ＡＶＬ软件分析翼梢小翼高度变化对飞机 气动性能的影响 涡格法（ｖｏｒｔｅｘ ｌａｔｔｉｃｅ ｍｅｔｈｏｄ）可以计算形状比较复 杂的薄机翼加装翼梢小翼的亚声速空气动力特性 原理是用一组离散 马蹄涡代替机翼和翼梢小翼上一系列连续分布的马蹄涡．从而把解偏 微分方程问题转化为求解一组线性代数方程组问题．并可采用基本解 叠加原理进行求解。即可求出机翼加装翼梢小翼的空气动力特性 本文选用某型支线客机机翼外型。针对飞机的起飞、爬升状态（飞 行速度Ｍａ＝０．３．迎角 ＝８。），利用ＡＶＬ软件计算机翼的升力系数、诱 导阻力系数和翼根弯矩系数．通过这三个系数综合评估小翼高度变化 对飞机性能的影响。机翼和翼梢小翼的几何尺寸详见表１、表２。 表１机翼几何尺寸 ｆ 机翼几何形状 ｆ 半展长 Ｉ ｈｉ２ ． Ｉ １２ ９１８ｍ 半机翼面积 Ｊ ＳＩ２ ３８ １４ｍ２ 根弦长 ｆ ｅ ５．５８１９ｍ ｌ／４弦线后掠角 Ｉ ｘ。 ２５．０。 翼尖弦长 ｅ Ｊ １．２５￣ｍ 后缘转折处弦长 ： ３．０１９７ｍ 表２翼梢小翼几何尺寸 小翼平面形状 高度 １．Ｏ２９ｍ 前缘后掠角 ｆ ０ ３０。 倾斜角 Ｙ １０。 翼根弦长 ０．８２９ｍ ｌ 根梢比 Ａ １．７３６５ ｆ上接第１４５页） ▲－一 ▲ 本文针对传统翼梢小翼仅针对飞机巡航阶段设计所存在的不足． 设计了一种伸缩栅格结构．将其用于翼梢小翼中可实时改变其高度． 优化飞机的气动效率 通过ＡＶＬ计算证明．变高度翼梢小翼可使升力 系数提高０．２０５２％．并使诱导阻力系数降低Ｏ．５６７％．改善了飞机在起 飞，爬升阶段的气动效率 由于起飞和着陆是整个飞行过程中气流状况最复杂、也是最重要 的阶段，变体翼梢小翼可提高飞机起飞和着陆的安全系数 此外。大型 客机的机翼在起飞和着陆状态会产生两个很大的气漩留在飞机后面． 形成机翼尾迹 由于尾迹对机场空域的影响．每架飞机放飞和着陆的时 间间隔必须大于或等于２分钟．直到尾迹漩涡减弱到不起作用的程度 若在尾迹漩涡还没有减弱前放飞．跟进的飞机会受到严重影响．发生激 烈滚转或突然猛烈下降．小型飞机甚至会翻滚坠地。变体翼梢小翼能有 效减弱大型客机的尾迹，降低放飞时间间隔堤高机场使用效率。ｌ 【参考文献】 ［１］唐登斌，钱家祥，史明泉．机翼翼尖装置的应用和发展Ⅲ．南京航空航天大学 学报．１９９４． ［２］方保瑞．飞机气动布局设计ｆＭ】．北京：航空工业出版社，１９９７． ［３］Ｋｉｃｈｉｏ Ｋ Ｉ．Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｗｉｎｇｌｅｔｓ［Ｊ１ｌ ＡＩＡＡ ７６— ９４０，１９７６． ｆ４］Ｂｏｕｒｄｉｎ．Ｐ．Ｇａｔｔｏ Ａ ａｎｄ Ｆｒｉｓｗｅｌ１．Ｍ．Ｉ．Ａｉｒｃｒａｆｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｖｉａ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃａｎｔ—ａｎｇｌｅ ｗｉｎｇｌｅｔｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｉｒｃｒａｆｔ，２００８，４５（２）：４１４—４２３． ［５］Ｂｏｕｒｄｉｎ．Ｐ，Ｇａｔｔｏ．Ａ ａｎｄ Ｆｒｉｓｗｅｌ１．Ｍ．Ｉ．Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃａｎｔ ａｎｇｌｅ ｗｉｎｇｌｅｔｓ ｆｏｒ ｍｏｒｐｈｉｎｇ ａｉｒｃｒａｆｔ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｃ】．Ｓａｎ Ｆｒａｎｃｉｓｃｏ：ＡＩＡＡ，２００６． ［６￣Ａｍｅｒｉ．Ｎ，Ｌｏｗｅｎｂｅｒｇ．Ｍ．Ｈ ａｎｄ Ｆｒｉｓｗｅｌ１．Ｍ．Ｉ．Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ａ ｍｏｒｐｈｉｎｇ ｗｉｎｇ ｗｉｔｈ ａｃｔｉｖｅ ｗｉｎｇｌｅｔｓ［Ｃ］．Ｈｉｌｔｏｎ Ｈｅａｄ：ＡＩＡＡ，２００７． ［７］Ｕｒｓａｅｈｅ．Ｎａｒｃｉｓ Ｍ，Ｍｅｌｉｎ．Ｔｏｍａｓ，Ｉｓｉｋｖｅｒｅｎ．Ａｓｋｉｎ Ｅ ｅｔ ａ１．Ｍｏｒｐｈｉｎｇ ｗｉｎｇｌｅｔｓ ｆｏｒ ａｉｒｃｒａｆｔ ｍｎｈｉ－ｐｈａｓｅ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ［Ｃ］．Ｎｏｒｔｈｅｒｎ Ｉｒｅｌａｎｄ：ＡＩＡＡ，２００７ ［８］Ｇａｔｔｏ．Ａ，Ｍａｔｔｉｏｎｉ．Ｆ，ａｎｄ Ｆｆｉｓｗｅｌ１．Ｍ．Ｉ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｓｔａｂｌｅ ｗｉｎｇｌｅｔｓ ｔｏ ｅｎｈａｎｃｅ ｗｉｎｇ ｌｉｆｔ ｔａｋｅｏｆｆ ｃａｐａｂｉｌｉｔｙ【Ｊ１＿Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｉｒｃｒａｆｔ，２００９，４６（２］： ６４７—６５５． ［责任编辑：王迎迎］ ０ 辩 镪 瞄 濑 （ａ）明文图像的直方图 （ｂ）密文图像的直方图 图４明文图像和密文图像的直方图 图４（ａ），（ｂ）分别是明文图像和密文图像的直方图，图４（ａ）表明 明文图像的像素值分布数目是不均的；而图４（ｂ）则表明密文图的像 素值在数目上呈现均匀分布。这就使加密算法具有良好的抵抗统计分 析攻击的能力。 【参考文献】 ［１］张小红，黄剑，谢斐．一种基于Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射的数字图像迭代混沌加密方法Ｌ『］． 电脑学习。２００３，５：３６—３７ ［２］管春阳，高飞．一种基于混沌序列的加密算法【Ｊ１＿北京理工大学学院，２００３，２３ （３）：３６３－３６６． ［３］孙克辉，刘巍，张泰山．一种混沌加密算法的实现［Ｊ１计算机应用，２００３，２３（１）： １ Ｓ一１７ ［责任编辑：王迎迎］
基于二维Logistic混沌映射DWT脆弱数字水印算法
ｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
基于二维Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射ＤＷＴ脆弱数字水印算法
陈善学，彭娟，李方伟 （重庆邮电大学移动通信安全研究所，重庆４０００６５）
摘要：提出一种基于二维Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射的ＤＷＴ变换域脆弱数字水印算法。首先ｆｔ．１用原始图 像的特征信息结合密钥生成二维混沌映射的初值从而生成水印信息；为了实现盲检测，该算法结合 小波变换后的特征信息将水印信息嵌入到经小波变换后的高频部分；最后将修改后的小波系数与其 他系数重组做离散小波反变换ＩＤＷＴ，从而得到含水印的图像。实验证明，该算法不但能增强水印的 安全性，还有良好的不可见性和图像定位篡改能力。 关键词：脆弱数字水印；二维Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌；离散小波变换 中图分类号：ＴＮ３９１．４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—７７２０（２０１３）０６—００３８—０３
ＤＷＴ－ｄｏｍａｉｎ ｆｒａｇｉｌｅ ｗａｔｅｒｍａｒｋｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ２Ｄ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｍａｐｓ
Ｃｈｅｎ Ｓｈａｎｘｕｅ，Ｐｅｎｇ Ｊｕａｎ，Ｌｉ Ｆａｎｇｗｅｉ ｆＭｏｂｉｌｅ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｓｅｃｕｒｉｔｙ Ｌａｂ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｏｓｔｓ ａｎｄ Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００６５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｈｅ ｆｒａｇｉｌｅ ｗａｔｅｒｍａｒｋｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｔｈｅ ＤＷＴ（Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｗａｖｅｌｅｔ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔａｋｅ ａｄｖａｎ— ｔａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｉｍａｇｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｈｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ２Ｄ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｍａｐｓ，ＳＯ ａｓ ｔｏ ｐｒｏｄｕｃｅ ｗａｔｅｒ— ｍａｒｋ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｋｅ ｙ．Ｔｈｅｎ ｐｕｔ ｔｈｅ ｗａｔｅｒｍａｒｋ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉａｇｏｎａｌ ｄｅｔａｉｌ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ —ｌｅｖｅｌ ＤＷＴ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｓｔｒｅｎｇｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｔｅｒｍａｒｋ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｎｖｉｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｔａｍｐｅｒ ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｂｉｌｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｒａｇｉｌｅ ｄｉｇｉｔａｌ ｗａｔｅｒｍａｒｋｉｎｇ；２Ｄ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｍａｐｓ；ＤＷＴ 随着计算机网络和通信技术的飞速发展，数字媒体 （图像、视频、音频）得到了广泛的应用，与此同时，数字 媒体的信息安全、知识产权保护和完整性认证等问题也 变得日益突出。传统的加密系统在数据传输过程中可以 起到保密的作用，但数据一旦被解密，保护作用也随之 消失。数字水印ｆ１ 作为传统加密方法的有效补充手段 已经在各种多媒体的保护领域得到应用。鲁棒性数字水 印用于数字产品的版权保护，脆弱数字水印常用于数字 产品的完整性认证和内容篡改的定位。 目前脆弱数字水印技术主要有空间域和变换域两 种方法。空间域方法是基于像素的脆弱水印技术和基于 分块的脆弱水印技术，是最早的基于ＬｓＢ的方法。参考 文献【４】对原始图像的特征与一个有意义的二值水印图 像经过异或操作后嵌入到图像中最低有效位，该算法具 有定位特性，可以非常直观地看出被篡改的区域，但其 嵌入的水印信息量较小。变换域方法更容易对图像被篡 改的特征进行描绘，因此更多的脆弱水印算法采梢在变 换域中。参考文献［５】对原始图像ＤＣＴ低频系数进行二 进制编码后的数据嵌入到图像的最低有效位，这种方法 对原始图像进行恢复。参考文献【６１介绍了一种图像小 波父系数和子系数之间的水印算法，该算法通过计算图 像中隐藏的水印信息和基于接收到的图像构造的水印 信息之间的相似度来描述图像变化的强度 因为混沌系统对初值的极度敏感性，很多研究都把 混沌系统引入到水印的生成。参考文献［７１提出了一种 基于混沌的ＤＣＴ域脆弱数字水印算法，该算法将图像 ＤＣＴ次高频系数和水印密钥合成为Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射初 值从而生成水印，再将水印嵌入到图像ＤＣＴ变换后的 高频系数中得到水印图像，它可以精确检测到对水印图 像的一个像数点的改变，并具有良好的定位篡改能力。 参考文献【８］提出基于混沌映射的小波域脆弱数字水印 算法，该算法在生成水印信息和检测水印时映射到每个 ｉ 五 小波系数，并运用混沌理论在提取水印 １４５５，渝发￣［２００９］１５３７）；重庆市自然科学基金项目（ＣＳＴＣ，２０１０ＢＢ２４０７，ＣＳＴＣＪＪＡ４０００２） 时实现盲检测，它具有良好的验证功能。 ３８ 《微型机与应用》２０１３年
高次logistic映射的混沌运动
第２４卷 第０６期 计 算 机 仿 真 ２００７年Ｏ６月
文章编号：１００６—９３４８（２００７）０６—０３３４一Ｏ３
高次ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射的混沌运动
管迪，陈乐生
（福州大学机械工程及自动化学院，福建福州３５０００２）
摘要：ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射具有简单的形式，但却有复杂的动力学性质。构造了一种高次ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射，对这类映射的动力学特性做了 研究。通过稳定性分析，得到了定点的稳定条件。数值迭代发现，此类映射都具有相似的稳定定点经倍周期分岔进入混沌的
道路，反映了典型的Ｆｅｉｇｅｎｂａｕｍ途径。当参数超过某个临界值时存在混沌吸引子的突然消失和突然膨胀，分别称为边界激 变和内部激变。特别的当参数取一定值时会出现一种内部激变，使得混沌吸引子突然增大并且关于ｘ轴对称，这是ｌｏｇｉｓｔｉｃ映
射所没有的。分析高次ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射中的这种激变对动力学的研究具有一定的意义。 关键词：高次逻辑斯谛映射；混沌；倍周期分岔；激变 中图分类号：０３２２ 文献标识码：Ａ
Ｃｈａｏｓ ｏｆ Ｈｉｇｈ Ｄｅｇｒｅｅ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ—－Ｌｉｋｅ Ｍａｐ
ＧＵＡＮ Ｄｉ．ＣＨＥＮ Ｌｅ—ｓｈｅｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｆｕｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ Ｆｕｊｉａｎ ３５０００２，Ｃｈｉｎａ）
ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｍａｐ ｉｓ ｆｏｒｍａｌｌｙ ｓｉｍｐｌｅ，ｂｕｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ．Ｔｈｉｓ
ａｒｔｉｃｌｅ ｂｕｉｌｔ ａ ｈｉｇｈ ｄｅｇｒｅｅ ｌｏｇｉｓｔｉｃ—ｌｉｋｅ ｍａｐ，ａｎｄ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｏｆ ｍａｐ．
Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｗｅｒｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ，ｉｔ ｉｓ
logistic-tent混沌映射的matlab程序 -回复
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Logistic Tent Map is a chaotic mapping function that is widely
used in mathematics and computer science. In this article, we will
explore the concept of chaotic systems and understand the key
features and properties of the Logistic Tent Map. Additionally, we
will provide a step-by-step guide on how to implement the
Logistic Tent Map in MATLAB.
Introduction to Chaotic Systems:
Chaotic systems are deterministic systems that exhibit sensitive
dependence on initial conditions. This means that a small change
in the initial condition of such a system can lead to significantly
different results over time. Chaotic systems often display
randomness, irregularity, and instability, making them fascinating
and challenging to study.
The Logistic Tent Map:
The Logistic Tent Map is a one-dimensional, discrete-time chaotic
Logistic映射产生的混沌序列
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Logistic映射产生的混沌序列
作者：刘臣等
来源：《卷宗》2014年第06期
摘 要：混沌理论是一门专门研究奇异函数、奇异图形的数学理论，是一门研究自然界有序、无序规律的学科。混沌学被很多学者认为是二十世纪继相对论、量子力学之后，物理学发生的第三次大革命。混沌学中的混沌是貌似无序的有序，紊乱中的规律。混沌学的面世，标志着人类历史上又一次重大科学的进步，因为人们可以从更接近实际的角度去认识这个既无序又有序的世界。混沌序列的产生有多种方法，常用的是Logistic映射和Chebyshev映射，本文采用的是Logistic映射的满映射。
关键字：混沌；logistic映射；序列
1963年美国气象学家E.N.Lorenz提出了著名的“蝴蝶效应”，“蝴蝶效应”大意为：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，不经意间扇动几下翅膀，两周后可能就会在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，会导致其身边的空气系统发生变化，并会产生微弱的气流，而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一系列的连锁反映，最终可能会导致其他系统的极大变化。
这是他在研究大气时发现，当选取一定量的参数时，一个由确定三阶常微分方程组描述的大气对流模型变得不可预测。经过长期反复的数值实验和理论思考， Lorenz从同一系统出现的一系列非周期无规则行为中发现了混沌运动，这为后来的混沌研究奠定了基础。
一般地，当一个接近实际而没有内在随机性的模型，仍然具有貌似随机的行为，我们就可以说这个真实物理系统是混沌的。混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性，即蝴蝶效应；二是奇异吸引子，这里是非线性事件的发生点，它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而产生了不可预测性；三是分形，它具有二个普通特征：自始至终都是不规则的以及在不同的尺度上，不规则程度却是一个常量，这同时也表明了有序和无序的统一。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西回去之后，经过变换再出来，循环往复，任何初始值的微小变动都会按指数放大，因此会导致系统内在长期的不可预测性。
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OpenText是一家加拿大企业，成立于1991年，总部位于安大略省的滑铁卢市。OpenText是全球领先的企业信息管理解决方案提供商，专注于提供企业内容管理、业务流程管理、客户通讯管理和数据管理等方面的解决方案。OpenText的软件产品得到了全球众多企业的信任和广泛应用。
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