江苏省2020届高三数学模拟试题理.doc
江苏省2020届高三数学教学质量调研试题理一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}(3)0x x x -<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A B ＝ ．答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{}(3)0x x x -<， 所以A ＝(0，3)，又B ＝{﹣1，0，1，2，3}， 所以A B ＝{1，2}．2．已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空）． 答案：充分必要考点：常用的逻辑用语，充要条件解析：当a ＝1时，两直线平行；当两直线平行时，a ＝1，故“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的充要条件． 3．函数y =的定义域为 ．答案：(1，2]考点：函数的定义域解析：由题意得：12log (1)010x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，则21x x ≤⎧⎨>⎩，故原函数的定义域为(1，2]．4．若不等式210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[0，4)考点：一元二次不等式解析：当a ＝0时，1＞0符合题意； 当2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上所述，则实数a 的取值范围为[0，4)．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的焦点到渐近线的距离是 ．考点：双曲线的标准方程及性质解析：因为双曲线22221x y a b -=的焦点到渐近线的距离是b ，故双曲线22143x y -=的焦点到渐6．设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最大值为 ．答案：18考点：线性规划解析：由题意，图中阴影部分即为可行域，设图中的两条直线的交点为A(4，3)，显然，当位于可行域中A 点时，23z x y =+的值最大，即z max ＝2×3＋3×4＝18．7．若5cos 26sin()04παα++=，α∈(2π，π)，则sin2α＝ ． 答案：﹣1考点：三角恒等变换 解析：∵5cos 26sin()04παα++=∴225(cos sin )6cos )02αααα-+⨯+=化简得：(sin cos )[5(cos sin )0αααα+-+= 当34πα=时，sin2α＝﹣1；当5(cos sin )αα-+0，即cos sin αα-=则181sin 225α-=，所以7sin 225α= 而α∈(2π，π)，2α∈(π，2π)，所以sin 2α＜0，可得7sin 225α=（舍）综上所述，sin2α＝﹣1． 8．将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称，则ϕ＝ ． 答案：3π-考点：三角函数的图像与性质解析：因为函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称 即函数55sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数 所以53k πϕπ-+=，k Z ∈ 则53k πϕπ=+，k Z ∈ 因为2πϕ<，求得ϕ＝3π-． 9．已知点F 是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点，A 为右顶点，点P 是椭圆上一点，PF ⊥x轴，若PF ＝1AF 4，则该椭圆的离心率为 ． 答案：34考点：椭圆的离心率解析：∵点P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，∴PF ＝2b a∵PF ＝1AF 4∴2b a ＝1()4a c +将222b ac =-代入上式，并化简得：22430c ac a +-= 等式两边同时÷2a 得：2430e e +-=，解得34e =（负值已舍去） 综上所述，该椭圆的离心率为34．10．设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式2(21)()0f x f x -+≤的解集为 ．答案：[﹣1，12] 考点：函数的奇偶性与单调性 解析：∵()2()xx f x ee xf x --=-+=-，∴()f x 是奇函数又∵()20x xf x e e -'=+-≥，∴()f x 是单调增函数∵2(21)()0f x f x -+≤，则2(21)()()f x f x f x -≤-=- ∴221x x -≤-，解得﹣1≤x ≤12，故不等式的解集为[﹣1，12]． 11．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝存在线段AB 的中点P ，使得点P 关于x 轴对称的点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围是 ． 答案：[43-，0] 考点：直线与圆解析：根据AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝AB 的中点P 满足CP ＝1，即点P 在以C(2，2)为圆心，1为半径为圆上，由于点P 关于x 轴对称的点为Q ，则动点Q 在以(2，﹣2)为圆心，1为半径的圆上运动，又点Q 在直线30kx y ++=上，则(2，﹣2)到该直线的距离小于等于11≤，求得403k -≤≤，故实数k 的取值范围是[43-，0]． 12．已知a ，b R +∈，且(2)7a b b ++=，则32ab a b ++的最小值为 ． 答案：10考点：基本不等式解析：因为(2)7a b b ++=，则729211a b a a -==-++， 所以93272327141ab a b a b a b a b a a ++=--++=++=++++410≥= 当且仅当2a =，1b =时取“＝”． 故32ab a b ++的最小值为10．13．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点A(α，sin α)(0＜α＜2π)，且直线l 与函数()y f x =的图象交于点B(β，sin β)，若α﹣β＝π，则tan α的值为 ．答案：2π 考点：利用导数研究函数的切线，诱导公式，同角三角函数关系式解析：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以在点A 处切线斜率为cos α，由题意可得：sin sin cos αβααβ-=-，又α﹣β＝π，则β＝α﹣π所以sin sin()cos ααπαπ--=，化简得：2sin cos ααπ=，故tan α＝2π． 14．若函数()1xx af x e-=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[212e -，﹣1) 考点：函数与方程解析：要使函数()1xx af x e -=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点 则方程1xx ae--＝0在x ∈[﹣2，+∞)有三个不相等的实数根 即函数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点 当y x a =-与函数xy e =相切时，求得a ＝﹣1，则要使数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点，需满足：2(2)1a e a -⎧--≥⎨<-⎩，解得2121a e -≤<-．故实数a 的取值范围是[212e -，﹣1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ﹣b )sinA ＝(b ＋c )(sinC ﹣sinB)．（1）求角C 的值；（2）若cos(B ＋6π)＝13，求sinA ．16．（本题满分14分）已知函数22164()2()f x x a x x x=+--，x ∈[1，2]． （1）求函数()f x 的最小值()g a ；（2）对于（1）中的()g a ，若不等式2()212g a a at <++对于任意a ∈(﹣3，0)恒成立，求实数t 的取值范围．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一条准线方程为3x =右焦点0)，圆O ：222x y b +=，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P 且与椭圆相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△OAB 的面积为7，求直线l 的斜率．18．（本题满分16分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，)，右焦点F 到右准线和左顶点的距离相等，经过点F 的直线l 交椭圆于点M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是直线l 上在椭圆外的一点，且PM ·PN ＝PF 2，证明：点P 在定直线上．19．（本题满分16分）某市在精准扶贫和生态文明建设的专项工作中，为改善农村生态环境，建设美丽乡村，开展农村生活用水排污管道“村村通”．已知排污管道外径为1米，当两条管道并行经过一块农田时，如图，要求两根管道最近距离不小于0.25米，埋设的最小覆土厚度（路面至管顶）不低于0.5米．埋设管道前先挖一条横截面为等腰梯形的沟渠，且管道所在的两圆分别与两腰相切．设∠BAD＝α．（1）为了减少对农田的损毁，则当α为何值时，挖掘的土方量最少？（2）水管用吊车放入渠底前需了解吊绳的长度，在（1）的条件下计算O1B长度．20．（本题满分16分）已知：函数()1ln f x x bx =+-，21()1g x x=-． （1）求函数()g x 在点(1，0)处的切线方程； （2）求函数()f x 在(0，1]上的最大值；（3）当b ＝0时，试讨论函数()()()1h x f x a g x =-⋅-的零点个数．附加题（每题10分，共40分）21(A)．已知线性变换T 1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换T 2：3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N ． （1）写出矩阵M 、N ；（2）若直线210x y +-=先经过T 1变换，再经过T 2变换后的曲线方程．21(B)．已知曲线C 的参数方程为sin 2cos x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，直线l 过点P(0，1)．（1）求曲线C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．22．为迎接国庆汇演，学校拟对参演的班级进行奖励性加分表彰，每选中一个节目，其班级量化考核积分加3分．某班级准备了三个文娱节目，这三个节目被选中的概率分别为12，13，14，且每个节目是否被选中是相互独立的． （1）求该班级被加分的概率；（2）求该班级获得奖励性积分ξ的分布列与数学期望．23．已知抛物线E ：24y x ，过点Q(2，0)作直线与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 是抛物线上异于A ，B 两点的一动点，直线PA ，PB 与直线x ＝﹣2交于M ，N 两点． （1）证明：M ，N 两点的纵坐标之积为定值； （2）求△MNQ 面积的最小值．。
江苏省苏州园区2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏州园区2025届高三第三次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>3．已知集合{}A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．03B ．0或3C ．13D ．1或34．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2±5．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-6．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 7．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF =22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ,BF 所成的角为定值8．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D 1059．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．810．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．6001011．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．16912．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为23的等边三角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．34B ．73C ．377D ．74二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学模拟试卷10套精编(理科)含答案及解析
A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】x1=x2=0，则 ， ，
令x1=x，x2=-x，
则 ，
所以 ，
即 ， 为奇函数，故选C.
6.在 中，“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【答案】C
【解析】
因为向量 ，且a∥b,
∴ .
本题选择C选项.
3.已知 ，且 ，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数基本关系求出结果．
【详解】因为 ， >0，故
即 ，
又 ，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
【详解】作函数 ， ， ， 的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为 、 、 ，所以 ．
故选A．
【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8.设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下述四个结论：
10.已知函数 ，若将其图象向右平移 个单位长度后所得 图象关于原点对称，则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数 的解析式化简为 ，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出 的表达式，即可得出正数 的最小值.
【详解】 ，
将其图象向右平移 个单位长度后所得的图象的函数解析式为 ，
江苏省南京市2020届高三年级月考模拟考试数学试卷及参考答案
江苏省南京市2020届高三年级月考模拟考试2019.12数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{}1,0,2U =-，集合{}1,0A =-，则U C A = ▲ ． 2．已知复数z =(i 为虚数单位)，复数的共轭复数为z ，则z z ⋅= ▲ ． 3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为30的样本，其中高一年级抽12人，高三年级抽8人，若该校高二年级共有学生500人，则该校学生总数为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ． 5．已知42a =，log 2a x a =，则正实数x = ▲ ． 6．函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ ． 7．已知锐角θ满足θθcos 6tan =，则=-+θθθθcos sin cos sin ▲ ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若bsinAsinB 十acos 2B - 2c ，则a c的值为 ▲ ．9．已知椭圆 C 1 : 22221x y a b+= (a > b > 0) 与圆 C 2 : 222x y b += ，若椭圆 C 1 上存在点 P ，由点P 向圆 C 2 所作的两条切线 PA , PB 且 ∠APB = 60︒ ，则椭圆 C 1 的离心率的取值范围是▲ .10．将一个半径为8cm 、圆心角为4π的扇形薄铁片，焊接成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于 ▲ 3cm ．11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则789a a a ++= ▲ .12．已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段, AB AC 上的动点, D E 分别满足, (12) ()AD AB AE AC λλλ==-∈R ，设DE 中点为F ，记||()||FG R BC λ=，则()R λ的取值范围为 ．14．已知函数1()2cos sin 2262x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若对任意实数15[,]62x ππ∈--，都存在唯一的实数2[0,]x m ∈，使得12()()0f x f x +=，则实数m 的范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 限内的动点，过点P 作x 轴的垂线分别与x 轴，直线y x =点M ，N ，设MOP ∠=α,(0)4πα∈，．（1）若1sin 5α=,求cos PON ∠； （2）求OP ON ⋅uur uuu r的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点．（1）求证：MN ∥平面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：（第16题图）17．（本小题满分14分） 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为100m 的扇形土地OAB 上建造市民广场．规划设计如图：矩形EFGH (其中E ，F 在圆弧AB 上，G ，H 在弦AB 上)区域为运动休闲区，△OAB 区域为文化展示区，其余空地为绿化区域，已知P 为圆弧AB 中点，OP 交AB 于M ，cos ∠POB ＝720，记矩形EFGH 区域的面积为Sm 2． （1）设∠POF ＝θ(rad)，将S 表示成θ的函数； （2）求矩形EFGH 区域的面积S 的最大值．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆E 上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆E 的离心率e =. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点.①若点1F 为椭圆的左焦点，点2F 为椭圆的右焦点，1F 关于直线PN 的对称点为Q ，当点P的坐标为时，求证：点2,,P Q F 三点共线．②试判断直线PN 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论.19．（本小题满分16分）已知函数1)(3++-=mx x x f ，R ∈m ．(1)若函数()y f x =的图象在1x =处的切线垂直于直线210x y -+=，求m 的值； (2)求函数)(x f 的单调区间；(3)若函数)(x f 在()2,1-上的极小值也是)(x f 的最小值，求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列．（1）若12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列，求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）在（1）的条件下，数列{}n a 的前n 和为n S ，设122111n n n nb S S S ++=+++，若对任意的n *∈N ，不等式n b k ≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）若数列{}n a 中有两项可以表示为某个整数(1)c c >的不同次幂，求证：数列{}n a 中存在无穷多项构成等比数列．江苏省南京市2020届高三年级月考模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-b a A ，其中R b a ∈,，若点)2,1(P 在矩阵A 的变换下得到的点)4,2(1P（1）求实数b a ,的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 极坐标方程为6cos =ρθ，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的直角坐标方程．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．22. （本小题满分10分）某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．(1)求恰有2次击中目标的概率；(2)现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记X 为射手射击3次后的总得分，求X 的概率分布列与数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>过点(2,1)，直线l 过点(0,1)P - 与抛物线C 交于,A B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ',连接A B '. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）问直线A B '是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请请说明理由.高三数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．{2} 2．14 3．1500 4．1 5. 126. 56 7.8. 2 9．3[,1)11. 448 12. 4[,0]3- 13. 1,24⎡⎢⎣⎦14. 5[,)26ππ二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）(1)因为MOP ∠=α,(0)4πα∈，，且点P 在以原点为圆心 的单位圆上，所以点P 坐标为()cos ,sin αα， 又PN x ⊥轴，点N 在直线y x =上， 所以点N 坐标为()cos ,cos αα，因为1sin 5α=，且(0)4πα∈，，所以cos α=所以1cos cos 4225PON π⎛⎫∠=-α=⋅= ⎪⎝⎭；(2) ()()2cos ,sin cos ,cos cos sin cos OP ON ⋅=αα⋅αα=α+ααu u u r u u u r()1cos2111sin 2sin 2cos22222+α=+α=α+α+ 1242π⎛⎫=α++ ⎪⎝⎭， 当242ππα+=，即8πα=时，OP ON ⋅uur uuu r 1216．（本小题满分14分）证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，//MN ∴平面PAB （2）在平面PAD 内过点A 作直线PM 的垂线，垂足为H ， 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC平面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂平面PADAH ∴⊥平面PMC ，CM ⊂平面PMC ，AH ∴⊥CM ，PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ,PA AH A =，PA 、AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，CM AD ∴⊥．17．（本小题满分14分）（1）由题意知100OF OB ==. 7cos 1003520OM OB POB =∠=⨯= 在矩形EFGH 中，2sin 200sin EF OF POF θ=∠=…………………………2分cos 100cos 35FG OF POF OM θ=∠-=-故200sin (100cos 35)1000sin (20cos 7)S EF FG θθθθ==-=-g g ………4分 即所求函数关系是1000sin (20cos 7).0S POB θθθ=-<<∠………………6分（2）令()1000sin (20cos 7).0f POB θθθθ=-<<∠则2()1000cos (20cos 7)1000sin (20sin )1000(40cos 7cos 20)f θθθθθθθ=-+-=--…………………………8分由'()0f θ=，即240cos 7cos 200θθ--=，解得：4cos 5θ=或5cos 8θ=-. 因为0POB θ<<∠，所以cos cos POB θ>∠，所以4cos 5θ=………………10分设04cos 5θ=，且00POB θ<<∠则当0(0,)θθ∈时，'()0f θ>，()f θ是增函数，当0(,)POB θθ∈∠时，'()0f θ<，()f θ是减函数…………………………………………………………………………12分所以当0θθ=，即4cos 5θ=时，()f θ取得最大值，此时S 有最大值为25400m 即区域EFGH 的面积最大值为25400m ……………………………………………14分 18．（本小题满分16分）解（1）依题设条件可得：2ab =，c a =.又222a c b -=，解得24a =，21b =， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=..……………4分（2）①直线AP的方程为2)=+y x ，求得点M的坐标为，点N的坐标为，直线PN 的斜率1=-k直线PN的方程为=-+y x ，.………………6分设左焦点F （）关于直线PN 的对称点为11(,)Q x y，则112=⎪=-⎪⎩y ，解得11⎧=⎪⎨=⎪⎩x y即Q ，. ………………8分所以直线PQ的斜率14=k 直线2PF的斜率24===+k 所以12=k k ，即点2,,P Q F 三点共线． ………………10分 ②直线PN 与椭圆E 相切于点P .证明如下： 设00(,)P x y ，又(2,0)A -，所以直线AP 的方程为00(2)2y y x x =⋅++， 令2x =，得0042y y x =+，即004(2,)2y M x +..………………12分 又(2,0)B ，N 为MB 的中点，所以002(2,)2yN x +于是直线PN 的方程为000022()2y y x y y x x x -+-=⋅--，即000020()4x yy x x y x =-+-.因为220014x y +=，所以220044x y -=-，所以000020()4x y y x x y y =-+-，整理得0044x xy y -=.………………14分由22001444x y y x x y y ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪=⎪⎩消去y 并整理得22220000(4)816160x y x x x y +-+-=，即220020x x x x -+=，此方程的根的判别式2200(2)40x x ∆=--=，所以直线PN 与椭圆E 相切 于点P .………………16分 19．（本小题满分16分） （1）'2()3f x x m =-+因为函数1)(=x x f 在处的切线垂直于直线210x y -+=所以'(1)2f =-，即32m -+=-，所以1m =；………………………3分 （2）'2()3f x x m =-+，当0m ≤时，'()0f x ≤恒成立，所以函数)(x f 的单调减区间为(,)-∞+∞，无增区间；………………………4分所以单调增区间为：( ………………………8分 （3）由（2）知)(x f 的极小值为(f ，令0x = 设方程0()()f x f x =的根为t ，则330011x mx t mt -++=-++，即22000()()0t x t tx x m -++-=，………………………10分 所以22000,t tx x m ++-=因为0()()f x f x =有两个相等实根0x ，所以22000t tx x m ++-=必有一根为0x ，………………………12分设另一个根为3t ，则300t x x +=-， 所以302t x =-，即12030,2t t x t x ===-，即3t =………………………14分 因为函数)(x f 在区间()2,1-上的极小值也是)(x f 的最小值，所以133⎧-<-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得332m ≤<所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23 ………………………16分20．（本小题满分16分） （1）因为213242,.(1)a a a a ==+又因为{}n a 是正项等差数列，故0d ≥所以2(22)(2)(33)d d d +=++，得2d =或1d =-(舍去) ，所以数列的通项公式2n a n =．………………………………………………4分（2） 因为(1)n S n n =+，122111111(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n b S S S n n n n n n ++=+++=++++++++，1111111223221n n n n n n =-+-++-+++++ 211112123123n nn n n n n n=-==++++++， 令1()2(1)f x x x x =+≥，则21()2f x x x'=-.当1x ≥时，()0f x '>恒成立， 所以()f x 在[1,)+∞上是增函数.故当1x =时，min [()](1)3f x f ==，即当1n =时，max 1[]6n b =， 要使对任意的正整数n ， 不等式n b k ≤恒成立，则须使max 1]6n k b =≥[， 所以实数k 的最小值为16．…………………………10分（3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以0d >，设,,r s i j c a c a ==其中,i j a a 是数列的项，c 是大于1的整数，,r s i j <<， 令t s r =-，则(1)s r r t c c c c -=-，{}n a故s r j i c c a a -=-是d 的整数倍，对c 的r kt +次幂r kt c +， 所以(1)(1)(1)(1)r kt r r kt r t k t c c c c c c c +--=-=-++，右边是d 的整数倍．所有r kt c +这种形式是数列{}n a 中某一项，因此有等比数列{}n b ，其中1,r t s r b c q c c -===． …………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准A.解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422111b a ，……………………2分所以⎩⎨⎧=+=-4222b a 所以⎩⎨⎧==24b a ．……………………4分（2）61214)det(=-=A ，……………………6分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32316161646261611A ．……………………10分 B ．解：设弦OM 中点为(,)N ρθ，则(2,)M ρθ，因为点M 在圆A 上，由圆A 的极坐标方程为6cos =ρθ，所以26cos =ρθ， 即3cos =ρθ， ……………………………4分 又点M 异于极点O ，所以0ρ≠，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为3cos (0)=≠ρθρ．…………………………6分即直角坐标方程为2230(0)+-=≠x y x x ……………………………………………10分C ．因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．.................................... 8分 又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥． (10)分22. 解:(1)设X 为射手在3次射击中击中目标的次数,则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.在3次射击中,恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49. ………………………………………5分(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (X ＝1)＝123212()339C =；P (X ＝2)＝23×13×23＝427； P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827；P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.X8分所以X 的数学期望()E X ＝2488861236927272727⨯+⨯+⨯+⨯=．………………10分23. 解：（1）将点(2,1)代入抛物线C ：22x py =的方程得，2p = 所以，抛物线C 的标准方程为24x y = ……………………4分 （2）设直线l 的方程为1y kx =-，又设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)A x y '-由2141y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得2440x kx -+= 则2121216160,4,4k x x x x k ∆=->⋅=+=所以22212121211244()4A Bx x y y x x k x x x x '---===--+ 于是直线A B ' 的方程为22212()44x x x y x x --=- ……………………8分所以，2212212()1444x x x x x y x x x --=-+=+当0x =时，1y =所以直线A B '过定点(0,1). ……………………10分。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷(不含附加题)附答案
2020届江苏省如皋中学高三创新班数学试卷202006一、填空题：1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 .2. 已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为 .3. 已知实数,a b 满足22182a b +=θθ+取最大值时，tan θ=___ 4. 已知等差数列{}n a 满足：22158,a a +=则12a a +的最大值为______5. 已知函数2()(1)2xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为_____ 6. 直线2:2(1)440,,l mx m y m m R l +---=∈与定圆相切，则定圆方程为__________7. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为_________8. 用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的取值范围为__________9. 四棱锥P-ABCD 中，2,PA BC CD PB PC PD AB AD ========，则四棱锥P-ABCD 的体积为_____10. .已知向量,a b u r r 满足||1,||3a b ==r r，若存在不同的实数1212,(0)λλλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r 且()()0i i c a c b --=u r r u r r (1,2)i =，则12||c c -u r u u r的取值范围是______11. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，(2,1),(2,1)A B -，则cos APB ∠的最大值为_____12. 已知|2|||1,||1a e b e e -=-==r r r r r，则向量a b ⋅r r 的最小值为____________13. 三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是_____14.已知数列{}n b 为首项为1正项等比数列，数列{}n c 为公差为1等差数列，数列{}n a 满足2,n n n b a a +=- 12n n n c a a +=+，若11,a =，则数列{}n a 前50项的和为________二、解答题：15. 如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．．1）求证：sin 2sin()C A B =-．．2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .17．动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4. （1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；（2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 18.某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ的周长最大，并求出最大周长．P (2,0)A y GH P C C C Q Q l 'C S T 、2211||||QS QT +Q19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，111(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠-（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q R ∈，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．20. 已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.（1）求的解析式；（2）若函数有两个极值点，，且， 求的取值范围.()()ln 0f x a x a =≠212y x e=(),P s t ()f x ()()()21g x x mf x =-+1x 2x 12x x <()21g x x2020届江苏省如皋中学高三创新班数学试卷202006一、填空题：1. 62.2x =-3. 14. 55. 102a a ≤≥或6. 22(2)(2)4x y -+-=7.38. 513[,]612ππ 9. 3 10.[2,U 11.12. 14-13. 1614.1275 二、解答题： 15. ．1）证明：因12BD AD c -=． 所以1cos cos 2a Bb Ac -=． 由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=． 所以()sin 2sin C A B =-．．2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-． 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-． 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =．4tan 9B =． 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅．16.（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG .因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以1C E ⊥平面BDE . 17．【解析】（1）设，由题意知：.当点不在轴上时，过做，交于点，则为的中点，，.又，，化简得；当点在轴上时，易知点与点重合.也满足，曲线的方程为.（2）假设存在，满足题意.设､.由题意知直线的斜率必不为0，(,)P x y PA PG =P y P PB GH ⊥GH B B GH 122GB GH ∴==24PG x ∴=+22(2)PA x y =-+Q 222(2)4x y x ∴-+=+24(0)y x x =≠P y P O (0,0)P 24y x =∴C 24y x =(,0)Q a ()11,S x y ()22,T x y l '设直线的方程为. 由得.，. ，. ，，， .， 当时，上式，与无关，为定值. ∴ 存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值.18.（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，l '()110x t y a t =+≠124x t y a y x=+⎧⎨=⎩21440y t y a --=1214y y t ∴+=124y y a ⋅=-()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+2221212116x x y y a ⋅=⋅=()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+()()22114244t a t =++()222221161QS QT a t ⋅=+()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++2a =221114QS QT +=1t (2,0)Q Q l 'C S T 、2211QS QT +141637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+，24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为：222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+102-<Q ，开口向下，∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合． 19.【详解】（1）n=1时，11a S a ==，2n ≥时，()1111n n n n n n aa S S q q aq q---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n nq q q q q N q =++∈≥ 可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n nq q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n nq q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n nn n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．20.【解析】（1）根据题意，函数与， 可知，， 两图象在点处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即，化简得代入两个函数可得， 综合上述两式可解得，所以.（2）函数，定义域为，，因为，为函数的两个极值点， 所以，是方程的两个不等实根， 由根与系数的关系知，， 又已知，所以，， 将式代入得，令，，，令，解得， 当时，，在单调递减； ()()ln 0f x a x a =≠212y x e=()a f x x '=1y x e'=(),P s t 1a s e s ⨯=s =(),P s t 2ln 2es a s =1a =()ln f x x =()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+()0,∞+()()22221m x x mx x g x x-+=-='+1x 2x ()g x 1x 2x 2220x x m -+=121x x =+122mx x =()*12x x <121012x x <<<<()()2222111ln g x x m x x x -+=()*()()2221221112ln g xx x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln1x x x x x x x x =-+-=-+-()12ln h t t t t =-+1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭()2ln 1h t t '=+()0h t '=t =12t ⎛∈⎝()0h t '<()h t 12⎛ ⎝当时，，在单调递增； 所以，，， 即的取值范围是. t ⎫∈⎪⎭()0h t '>()ht ⎫⎪⎭()min 11e h t h ===-()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭()21g xx 1⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭。
(完整版)高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试卷（满分150 分）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1．已知全集 U={1,2,3,4,5} ，会集 M ＝{1,2,3} ， N ＝ {3,4,5} ，则 M ∩ ( e U N)＝（）A. {1,2}B.｛ 4,5｝C.｛ 3｝D.｛ 1,2,3,4,5｝ 2. 复数 z=i 2(1+i) 的虚部为（）A. 1B. iC.- 1D. -i3．正项数列 { a } 成等比， a +a =3， a +a =12,则 a +a 的值是（）n1 23445A. - 24B. 21C.24D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（）A.2 34B.3C.2 3 4 54 3 4 3+D.2735．双曲线以一正方形两极点为焦点，另两极点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. 2 2B.2 +1C.2D. 1uuur uuur6． 在四边形 ABCD 中，“ AB =2 DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（）A. 充足不用要条件B. 必要不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7．设 P 在 [0,5] 上随机地取值，求方程x 2+px+1=0 有实根的概率为（ ）A. 0.2B. 0.4C.0.5D.0.6y8． 已知函数 f(x)=Asin( ωx +φ)(x ∈ R, A>0, ω>0, |φ|<)5f(x)的解析式是（2的图象（部分）以下列图，则）A ．f(x)=5sin( x+)Ｂ． f(x)=5sin(6 x-)O256 66xＣ． f(x)=5sin(x+)Ｄ． f(x)=5sin(3x- )366－ 5二、填空题：（每题 5 分，共30 分）9. 直线 y=kx+1 与 A （ 1,0）， B （ 1,1）对应线段有公共点，则 k 的取值范围是 _______. 10．记 (2x1)n 的张开式中第 m 项的系数为 b m ，若 b 32b 4 ，则 n =__________.x311 ． 设 函 数 f ( x) xx 1x 1、 x 2、 x 3、 x 41 2的 四 个 零 点 分 别 为 ， 则f ( x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；12、设向量 a(1，2)， b (2，3) ，若向量a b 与向量 c (4， 7)共线，则x 111. lim______ .x 1x 23x 414. 对任意实数 x 、 y ，定义运算 x* y=ax+by+cxy ，其中a、 b、c 常数，等号右的运算是平时意的加、乘运算 .已知 2*1=3 ， 2*3=4 ，且有一个非零数m，使得任意数x，都有 x* m=2x， m=.三、解答：r r15．（本 10分）已知向量 a =(sin(+x), 3 cosx)，b =(sin x,cosx),f(x)=⑴求 f( x)的最小正周期和增区；2⑵若是三角形 ABC 中，足 f(A)=3，求角 A 的．216．（本 10 分）如：直三棱柱（棱⊥底面）ABC — A 1B1C1中，∠ ACB =90°， AA 1=AC=1 ， BC= 2，CD ⊥ AB, 垂足 D.C1⑴求： BC∥平面 AB 1C1;A1⑵求点 B 1到面 A 1CD 的距离 .PCA D r r a ·b .B 1B17．（本 10 分）旅游公司 4 个旅游供应 5 条旅游路，每个旅游任其中一条.（ 1）求 4 个旅游互不一样样的路共有多少种方法;（2）求恰有 2 条路被中的概率 ;（3）求甲路旅游数的数学希望.18.（本 10 分）数列 { a n} 足 a1+2a2 +22a3+⋯+2n-1a n=4 n.⑴求通a n；⑵求数列 { a n} 的前 n 和S n.19．（本 12 分）已知函数f(x)=alnx+bx,且 f(1)= - 1， f′(1)=0 ，⑴求 f(x)；⑵求 f(x)的最大；⑶若 x>0,y>0, 明： ln x+lny≤xy x y 3.220．（本 14 分） F 1, F 2 分 C :x2y 21(a b 0) 的左、右两个焦点，若 Ca 2b 2上的点 A(1,3124.)到 F ， F 两点的距离之和等于2⑴写出 C 的方程和焦点坐 ；⑵ 点 P （ 1，1）的直 与 交于两点 D 、 E ，若 DP=PE ，求直 DE 的方程 ;4⑶ 点 Q （ 1，0）的直 与 交于两点 M 、N ，若△ OMN 面 获取最大，求直 MN 的方程 .21. （本 14 分） 任意正 数 a 1、 a 2、 ⋯ 、an ；求1/a 1+2/(a 1 +a 2)+⋯ +n/(a 1+a 2+⋯ +a n )<2 (1/a 1+1/a 2+⋯ +1/a n )9 高三数学模 答案一、 :. ACCD BAD A二、填空 ：本 主要考 基 知 和基本运算．每小 4 分，共 16 分 .9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1 14. 35三、解答 ：15．本 考 向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性 ，要修业生能运用所学知 解决 ．解：⑴ f(x)= sin xcosx+3 + 3 cos2x = sin(2x+ )+ 3⋯⋯⋯2 23 2 T=π， 2 k π - ≤ 2x+≤ 2 k π +， k ∈ Z,232最小正周期 π， 增区[ k π -5, k π + ], k ∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212⑵由 sin(2A+ )=0 , <2A+ <7 ,⋯⋯⋯⋯⋯33 或533∴ 2A+ =π或 2π，∴ A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33616．、本 主要考 空 、 面的地址关系，考 空 距离角的 算，考 空 想象能力和推理、 能力， 同 也可考 学生灵便利用 形， 建立空 直角坐 系， 借助向量工具解决 的能力． ⑴ 明：直三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， BC ∥ B 1C 1,又 BC 平面 A B 1C 1，B 1C 1 平面 A B 1C 1，∴ B 1C 1∥平面 A B 1C 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵（解法一）∵ CD ⊥ AB 且平面 ABB 1A 1⊥平面 AB C,C 11 1 1∴ CD ⊥平面 ABBA ，∴ CD ⊥AD 且 CD ⊥A D ,∴∠ A DA 是二面角 A 1— CD —A 的平面角，1A 1B 1在 Rt △ ABC,AC=1,BC= 2 ,PC∴ AB= 3 , 又 CD ⊥ AB ，∴ AC 2=AD × ABADB∴ AD=3， AA1131=1，∴∠ DA 1B 1=∠ A DA=60 °，∠ A 1 B 1A=30°，∴ A B 1 ⊥A D又 CD ⊥ A 1D ，∴ AB 1⊥平面 A 1CD ， A 1D ∩ AB 1=P, ∴ B 1P 所求点 B 1 到面 A 1CD 的距离 . B P=A 1 B 1cos ∠ A 1 B 1A= 33cos30 =° .12即点 B 1 到面 A 1 CD 的距离 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 × 3 1 z （ 2）（解法二） 由 V B 1- A 1CD =V C - A 1B 1D =C 132×6 = 2，而 cos ∠ A 1 CD= 2 × 6 = 3 ,AB13 6 2 3 31△A 1CD1 ×2 ×6 ×6 =2,B 1 到平面CS=3 332A ByA 1CD 距离 h, 1×22, 得 h= 3所求 .Dx h=33 6 2⑶（解法三）分 以CA 、CB 、CC 1 所在直 x 、y 、z 建立空 直角坐 系（如 ）A （ 1，0， 0）， A 1（ 1， 0， 1），C （0， 0， 0）， C 1（ 0， 0， 1），B （0，2 ， 0）， B 1（ 0， 2 ， 1），uuurr∴ D （ 2 ， 2， 0） CB =（ 0， 2 ， 1）， 平面 A 1CD 的法向量 n =（ x ， y ， z ），3 31r uuur3n CD2x2y 0rruuur，取 n=（ 1， -2 ， - 1）n CA 1 x z 0r uuur点 B 1 到面 A 1CD 的距离d= n CB 13r⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n217．本 主要考 排列，典型的失散型随机 量的概率 算和失散型随机 量分布列及希望等基 知 和基本运算能力．解：（ 1） 4 个旅游 互不一样样的 路共有：A 54=120 种方法； ⋯（2）恰有两条 路被 中的概率 ：P 2 C 52 (2 42) 28=54⋯125（3） 甲 路旅游 数ξ， ξ～ B(4, 1)14⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5∴希望 E ξ=np=4×=5 5答 : （ 1） 路共有120 种，（2）恰有两条 路被 中的概率 0.224, （ 3）所求希望 0.8 个数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18．本 主要考 数列的基 知 ，考 分 的数学思想，考 考生 合 用所学知 造性解决 的能力．解：（ 1） a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n - 1a n =4n ，∴ a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n a n+1=4n+1，相减得 2n a n+1=3× 4n , ∴ a n+1=3× 2n ,4(n1) 又 n=1 a 1=4，∴ 上 a n =2n 1所求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(n 2)⑵ n ≥2 ， S n=4+3(2 n- 2), 又 n=1 S 1=4 也建立， ∴ S n =3× 2 n - 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．本 主要考 函数、 数的基本知 、函数性 的 理以及不等式的 合 ，同 考 考生用函数放 的方法 明不等式的能力．解：⑴由 b= f(1)= - 1, f ′(1)= a+b=0, ∴ a=1, ∴f(x)=ln x- x 所求； ⋯⋯⋯⋯⋯⑵∵ x>0,f ′(x)=1- 1=1x ,xxx 0<x<1x=1 x>1 f (′x) +0 - f(x)↗极大↘∴ f (x)在 x=1 获取极大 - 1，即所求最大 - 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⑶由⑵得 lnx ≤x- 1 恒建立， ∴ln x+ln y=ln xy+ ln x ln y ≤ xy 1 + x 1 y 1 = xy x y 3建立⋯⋯⋯22 22220．本 考 解析几何的基本思想和方法，求曲 方程及曲 性 理的方法要求考生能正确分析 ， 找 好的解 方向， 同 兼 考 算理和 推理的能力， 要求 代数式合理演 ，正确解析最 ．解：⑴ C 的焦点在 x 上，由 上的点A 到 F 1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a= 4，即 a=2 .；3134 1.得 b 2=1，于是 c 2=3 ；又点 A(1,) 在 上，因此222b 2因此 C 的方程x 2y 2 1,焦点 F 1 ( 3,0), F 2 ( 3,0). ，⋯⋯⋯4⑵∵ P 在 内，∴直DE 与 订交，∴ D( x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入 C 的方程得x 12+4y 12- 4=0, x 22+4y 22- 4=0,相减得 2(x 1- x 2 )+4× 2× 1 (y 1- y 2)=0 , ∴斜率 k=-11 4∴ DE 方程 y- 1= - 1(x-), 即 4x+4y=5; ⋯⋯⋯4(Ⅲ )直 MN 不与 y 垂直，∴MN 方程 my=x- 1，代入 C 的方程得（ m 2+4) y 2+2my- 3=0,M( x 1,y 1 ),N( x 2 ,y 2), y 1+y 2=-2m 3 ,且△ >0 建立 .m 2 4, y 1y 2=-m 2 4又 S △ OMN = 1|y 1- y 2|= 1 ×4m212(m 24) = 2 m23， t=m 2 3 ≥ 3 ,2 2m 2 4m 24S△OMN =2,(t+1t1tt ) ′=1 - t-2>0t≥ 3 恒建立，∴t=3t+1获取最小， S△OMN最大，t此 m=0, ∴ MN 方程 x=1⋯⋯⋯⋯⋯。
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题(解析版)
数学试题
2020．5
第 I 卷（必做题，共 160 分）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．）
1．已知集合 M＝ x x2 − 2x 0 ，N＝ x −1 x 1 ，则 M 与 N 的并集 M N＝
方米，周长为 l 米（周长是指图 2 中实线部分），圆的半径为 r 米．设计的理想要求是面积 S
尽可能大，周长 l 尽可能小，但显然 S、l 都是关于 r 的减函数，于是设 f (r) = S ，当 f (r) l
的值越大，满意度就越高．试问 r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时 π 以 3 代入运算）
− sin cos
(其中
(0，
))作用变换后得到直线
l′：y＝2x，
若直线 l 与 l′垂直，求 的值．
的通项公式．
20．（本小题满分 16 分）
设函数
f
(x)
=
(x) ex
，
g(x)
=
ln x (x)
，其中 ( x)
恒不为
0．
（1）设(x) = x2 ，求函数 f (x) 在 x＝1 处的切线方程；
（2）若 x0 是函数 f (x) 与 g(x) 的公共极值点，求证： x0 存在且唯一；
（3）设(x) = ax + b ，是否存在实数 a，b，使得 f (x) g(x) 0 在(0， + )上恒成
33
AB
值范围是
．
13．设函数 f (x) = x2 − 2ax + b 2x ，若函数 y = f (x) 与函数 y = f ( f (x)) 都有零点，且它
高三数学模拟试题三(理科)
高三数学模拟试题三（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}53|≤<-=x x M ,{}5,5|>-<=x x x N 或，则N M ＝A.﹛x |x ＜－5，或x ＞－3﹜B.﹛x |－5＜x ＜5﹜C.﹛x |－3＜x ＜5﹜D.﹛x |x ＜－3，或x ＞5﹜ 2. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z =A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 23. 已知映射B A f→:,其中R B A ==，对应法则21||:xy x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是A ．0≤kB ．0>kC ．0≥kD ． 0<k 4. 已知函数)sin(2ϕω+=x y 满足)()(x f x f =-，其图象与直线2=y 的某两个交点横坐标为21,x x ，21x x -的最小值为π，则 A. 21=ω，4πϕ=B. 2=ω，4πϕ=C. 21=ω，2πϕ=D. 2=ω，2πϕ=5. 实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0,002204y x y x y x ,则yx -2的最小值为 A ．16 B ．4 C ．1 D ．21 6. 下列命题中正确命题的个数是 （1）0cos ≠α是)(22Z k k ∈+≠ππα的充分必要条件；（2）若,0,0>>b a 且112=+ba ，则4≥ab ； （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若p P =>)1(ξ，则.21)01(p P -=<<-ξ A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7. 10)31(xx -的展开式中含有x 的正整数幂的项的个数是 A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =的图象与x e y =的图象关于直线x y =对称.而函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于y 轴对称，若1)(-=m g ，则m 的值是A ．eB ． e 1C ．e -D ．e1- 9. 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是（ ）A. 31B.32C. 1D. 34 10. 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆4222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若)(21+=，则双曲线的离心率为 A ．10B ．510C ．210 D ．211. 在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若ACc +0=+PB b PA a ，则ABC ∆的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.12. 直线t x =（0>t ）与函数1)(2+=x x f ，x x g ln )(=的图象分别交于A 、INPUT xIF 0<x THEN2)^2(+=x yELSEIF0=xTHEN4=yB 两点，当||AB 最小时，t 值是A. 1B.22 C. 21D.33 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.已知21cos sin =-αα，2,0(πα∈，则=-)42cos παα . 14. 右图所示的程序是计算函数)(x f 函数值的程序，若输出的y 值为4，则输入的x 值是 .15. 已知抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 .16. 四棱锥ABCD P -的三视图如右图所示,四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是 棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为 .三．解答题：17. (本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列}{n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求通项公式n a ；（Ⅱ）设na nb 2=,求数列{}n b 的前n 项和n S .18．某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩(单位：秒)如下：(I)请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．(Ⅱ)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩．．中至少有一个比12．8秒差的概率．(Ⅲ)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11．5，14．5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0．8秒的概率．19．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，CDAD ，AB∥CD,221===CD AD AB ,点M 在线段EC 上. （I ）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平 面ADEF ；（II ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角 的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积.20. (本小题满分12分)22=+yx上，⊥PD x点M在射线DP上，且满足DPλ.DMλ=)0(≠（Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹C 程，并根据λ取值说明轨迹C的形状.（Ⅱ）设轨迹C与x轴正半轴交于点A，与y交于点B，直线0x与轨迹C交于点E、F，点G3-y2=在直线AB上，满足6=，求实数λ的值.21．已知函数1)(2++=x bxax x f ，曲线)(x f y =在点（)1(,1f ）处的切线方程是.0145=+-y x（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）设),()1ln(2)(x mf x x g -+=若当[)+∞∈,0x 时，恒有0)(≤x g ，求m 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O ⊙是△ABC 的外接圆，D 是AC⌒ （Ⅰ）求证：DB DE DC ⋅=2； （Ⅱ）若32=CD ，O到AC 的距离为123．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ． 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲已知函数|1||2|)(+--=x x x f ． （Ⅰ）求证：3)(3≤≤-x f ；（Ⅱ）解不等式x x x f 2)(2-≥.高三数学模拟试题三（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A ；2C ；3D ；4D ；5D ；6B ；7B ；8D ；9A ；10C ；11C.；12B.. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.214-；14.-4,0,4；15.1-=x ；16.π12三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分12分) 解：（1）由题意知⎩⎨⎧++=+=+).6)(()2(,106411211d a d a d a d a …………………………3分 解得⎩⎨⎧=-=321d a ……………………………………………………… 5分所以a n =3n －5.………………………………………………………… 6分（Ⅱ）∵15384122--⋅===n n a nn b ∴数列{b n }是首项为41，公比为8的等比数列，---------------------------9分所以;281881)81(41-=--=n n n S …………………………………………12分.18.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ) 茎叶图…………2分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；………………4分（Ⅱ）设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：=P ))((1B A P -=541051041=⨯-；……………8分(此部分，可根据解法给步骤分:2分)（Ⅲ）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则0.8x y -<，……………10分 得0.80.8x y x -+<<+，如图阴影部分面积即为33 2.2 2.2 4.16⨯-⨯=，则4.16104(0.8)(0.80.8)33225P x y P x y x -<=-+<<+==⨯. …………12分19．(本小题满分12分) 解：（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,2(A ，)0,2,2(B )0,4,0(C ，)2,0,0(E ，所以)1,2,0(M . ∴)1,0,2(-=BM ————————2分又，)0,4,0(=OC 是平面ADEF 的一个法向量. ∵0=⋅即⊥∴BM ∥平面ADEF ——————4分 （2）设),,(z y x M ，则)2,,(-=z y x ， 又)2,4,0(-=EC设10(<<=λλ，则，λλ22,4,0-===z y x 即)22,4,0(λλ-M .——6分设),,(111z y x =是平面BDM 的一个法向量，则02211=+=⋅y x 0)22(411=-+=⋅z y λλ取11=x 得 λλ-=-=12,111z y 即 )12,1,1(λλ--=n 又由题设，)0,0,2(=OA 是平面ABF 的一个法向量，——————8分∴ 2166)1(4222|,cos |22=⇒=-+==><λλλn OA ————10分即点M 为EC 中点，此时，2=DEM S ∆，AD 为三棱锥DEM B -的高，∴ =-BDEM V 342231=⋅⋅=-DEMB V ————————————12分20. (本小题满分12分) 解：（1）设),(y x M 、),(00y x P ，由于DP DM λ=和⊥PD x 轴，所以⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⇒==λλyy xx y y xx 0000 代入圆方程得：144222=+λy x --------------2分当11<<λ时，轨迹C 表示焦点在x 轴上的椭圆；当1=λ时轨迹C 就是圆O ；当1>λ时轨迹C 表示焦点是y 轴上的椭圆.---------------4分 （2）由题设知)0,2(A ，)2,0(λB ，E ，F 关于原点对称，所以设)32,(11x x E ，)32,(11y x F --，)32,(00x x G ，不妨设01>x ---------------6分直线 AB 的方程为：122=+λy x 把点G 坐标代入得2360+=λλx 又， 点E 在轨迹C 上，则有⇒=+19422121λx x 49621+=λλx -------8分∵ GF EG 6=即 )(60110x x x x --=- 1075x x =⇒-----------10分 ∴⋅=+75236λλ4962+λλ（>λ）⇒9821or=λ----------12分21．(本小题满分12分)解：（1）22)1()()1)(2()(++-++='x bx ax x b ax x f .由于直线.0145=+-y x 的斜是45，且过点（23,1）， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=+⇒='=21454323245)1(23)1(b a b a b a f f 即1)(2++=x xx x f -------4分（2）由（1）知：),1(12)1ln(2)(2->++-+=x x xx m x x g 则22)(22)22()(+-+-+-='x mx m mx x g ，--------------------------6分令m x m mx x h 22)22()(2-+-+-=，当0=m 时，22)(+=x x h ，在[)+∞∈,0x 时，0)(>x h 0)(>'x g 即，)(x g 在 [)+∞,0上是增函数，则0)0()(=≥g x g ，不满足题设.当0<m 时，∵011222<-=---mm m 且022)0(>-=m h ∴[)+∞∈,0x 时，0)(>x h 0)(>'x g 即，)(x g 在[)+∞,0上是增函数，则)0()(=≥g x g ，不满足题设.----------------------------------8分当10<<m时，则0)1(4)22(4)22(22>-==+-=m m m m ∆，由0)(=x h 得01121<---=m m m x ； 01122>-+-=mm m x则，),0[2x x ∈时，0)(>x h ，0)(>'x g 即，)(x g 在[)2,0x 上是增函数，则)0()(2=≥g x g ，不满足题设.--------------------------------------10分当1≥m 时，0)1(4)22(4)22(22≤-==+-=m m m m ∆，0)(≤x h 0)(≤'x g 即，)(x g 在[)+∞,0上是减函数，则0)0()(=≤g x g ，满足题设. 综上所述，),1[+∞∈m -------------------------------------------------12分请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 解：（I ）证明：∵CBD ABD ∠=∠，ECD ABD ∠=∠∴ECD CBD ∠=∠，又EDC CDB ∠=∠，∴△BCD ～△CED ，∴DBDCDCDE=， ∴CD 2=DE ·DB ； ………………（5分）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=---------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ）---------------------5分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ 得 0332=--ρρ-----------------------------7分设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ， 则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB .---------10分（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-<<-+--≤=)2(3)21(12)1(3)(x x x x x f ，------------------3分又当21<<-x 时，3123<+-<-x ，∴3)(3≤≤-x f -----------------------------------------------5分（2）当1-≤x 时，121322=⇒≤≤-⇒≤-x x x x ；当21<<-x 时，11111222≤<-⇒≤≤-⇒+-≤-x x x x x ； 当2≥x 时，φ∈⇒-≤-x x x 322；-------------------------8分综合上述，不等式的解集为：[]1,1-.-------------------------10分。
2020年江苏省高三数学冲刺模拟试题2套(含答案)
江苏省南京市2020届高三数学5月模拟试题含答案(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|0≤x ≤2}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．5. 函数f(x)＝x ＋log 2(1－x)的定义域为________．6. 如图是一个算法流程图，则输出k 的值为________．(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则实数b 的值为________．9. 已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)(0<φ<π)是定义在R 上的奇函数，则f(－π8)的值为________．10. 如果函数f(x)＝(m －2)x 2＋2(n －8)x ＋1(m ，n ∈R 且m ≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为________．11. 已知椭圆x 22＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：y ＝12x 上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标为________．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，k ∈N *，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，则满足2 019≤S m ≤3 000的正整数m 的所有取值为________．14. 已知等边三角形ABC 的边长为2，AM →＝2MB →，点N ，T 分别为线段BC ，CA 上的动点，则AB →·NT →＋BC →·TM →＋CA →·MN →取值的集合为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010. (1) 求cos(α－3π4)的值；(2) 若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为－55，求α＋β的值．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C 的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交于点M ，N.试判断NF 1MF 1是否为定值，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1·a 2·…·a n ＝2n （n ＋1）2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2(n ∈N *)，且b 1＝1，b 2＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1，记T n 是数列{c n }的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的n ∈N *均有T m ≥T n .设a为实数，已知函数f(x)＝axe x，g(x)＝x＋ln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1，二阶矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.(1) 求矩阵B ；(2) 求矩阵B 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋π4)＝1相切，求a 的值．C. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，点M为PC的中点．(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)．(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求L(n)的表达式．数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －33. 184. 135. [0，1)6. 37. 433 8. －13 9. － 2 10.18 11. 2＋2212. (6，3) 13. 20，21 14. {－6}15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010. 从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分) (2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55， 所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ，∵ 四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴ 四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分)∵ OE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵ 平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD ⊥平面ACEF ，BD 平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵ 正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴ 四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM ⊥BD ，且OF ∩BD ＝O ，OF 平面BDF ，BD 平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ 与半圆C 相切于点Q ，所以CQ ⊥PQ ，所以PQ 2＝PC 2－CQ 2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ 的周长为f(θ)＝CO ＋OP ＋PQ ＋QC ＝40＋202cos θ，即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ 的面积为S(θ)，则S(θ)＝S △OCP ＋S △QCP ＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos 2θ－2sin 2θ)＝100(－4sin 2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2)．(12分)令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28. 列表：sin θ (0，34－28) 34－28 (34－28，1) S′(θ) ＋ 0 － S(θ)增最大值减答：要使改建成的展示区COPQ 的面积最大，sin θ的值为34－2.(14分) 18. 解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分)② 设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2②，(12分)由①式，得3＝m 2－4k 2③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|， ∴ NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19. 解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)② 当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a n a 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n2＝2n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n ≥2) ②.由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2， 即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n ≥2) ③， 所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n ≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n ≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]，(10分) 所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n， 当n ≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0， 所以当n ≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n ≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]<0.(14分)因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>…所以对任意的n ∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x>0，所以ae x≥2x ＋b 对任意的a ≥1及任意的x>0恒成立．由于e x >0，所以ae x ≥e x ，所以e x－2x ≥b 对任意的x>0恒成立．(4分)设φ(x)＝e x －2x ，x>0，则φ′(x)＝e x－2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)min ＝φ(ln 2)＝2－2ln 2， 所以b ≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x ＋ln x ，得h′(x)＝a(x ＋1)e x＋1＋1x ＝（x ＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.① 若a ≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)② 若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x ≥2－2ln 2>0，所以e x>2x ，所以xe x>2x 2，所以当x>0时，函数xe x的值域为(0，＋∞)．所以存在x 0>0，使得ax 0ex 0＋1＝0，即ax 0ex 0＝－1 ①，且当x<x 0时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． 因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1.又由①式，得x 0ex 0＝－1a.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a ∈(－1e ，0)．(11分)当a ∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1e e ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e<1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a >e ，设F(t)＝－e t＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t>2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a )<0.由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a )·h(x 0)<0，同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点． 综上，a ∈(－1e，0)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.(5分) (2) 矩阵B 的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B 的特征值为1或－1.(10分)B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝2ay ，整理得x 2＋(y －a)2＝a 2.(3分) 将直线ρcos(θ＋π4)＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a ＋2|2＝a ，(9分)解得a ＝2＋ 2.(10分)C. 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD 平面ABCD ， 所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD.因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为点M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)．所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4分)所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分) 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]， 所以λ的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)(2) 设m 为沿x 轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以m ＝0，1，2，……，[n 2](其中[n 2]为不超过n2的最大整数)，总共走n 步，首先任选m 步沿x 轴正方向走，再在剩下的n －m 步中选m 步沿x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C m n ·C m n －m ·2n －2m，江苏省2020届高三数学考前最后精卷（5月）全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}11A x x =-<<，}20|{<<=x x B ，则=B A Y ▲． 2．若复数ii z +-=11，则z 的实部是▲．3．高三某班级共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，先将学生按01至48进行随机编号，再用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大编号为45，则抽到的最小编号为▲．开始是否是否a ab =- b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b >4．执行右侧程序框图．若输入a 的值为4，b 的值为8，则执行该程 序框图输出的结果为▲．5．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取一个数 记为x ，则x 2log 为整数的概率为▲．6．设⎩⎨⎧<--≥+=0,10,1)(2x x x x x f ,5.07.0-=a ,7.0log 5.0=b ，5log 7.0=c ,则比较)(),(),(c f b f a f 的大小关系▲．（按从大到小的顺序排列） 7．已知R b a ∈,，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为▲．8．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为▲．9．设实数,x y 满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则y x 32-的最大值为▲．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且12a =，则10=a ▲． 11. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，过原点作一条倾斜角为6π直线分别交双曲线左、右两支P ,Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ,则双曲线离心率为▲．12．在面积为26的ABC ∆中，32=⋅AC AB ，若点M 是AB 的中点，点N 满足NC AN 2=，则CM BN ⋅的最大值是▲ .13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2eln x ，x>0，x 3＋x ， x≤0，若函数g(x)＝f(x)－ax 2(a∈R )有三个零点，则a 的取值范围是▲.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）（第4题）在正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面ABCD 对角线的交点．求证：（1） 111//D AB O C 面； (2) 111D AB C A 面⊥16．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．x3π 712π x ωϕ+0 2ππ32π 2π()f x24求：（1）函数()f x 的解析式； （2）已知212=⎪⎭⎫ ⎝⎛αf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα6132sin 的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆方程为1422=+y x ，圆C ：222)1(r y x =+-．（1）求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；（2）如图，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数xx x g x x f 1)(,ln )(-==． （1）①若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；②令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间]1,[+a a 上的最大值． （2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（本小题满分16分）数列{a n }中，对任意给定的正整数n ，存在不相等的正整数,i j ()i j <，使得n i j a a a =，且i n ≠，j n ≠，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）若仅有3项的数列1,,a b 具有性质P ，求a b +的值； （2）求证：数列{}2019nn +具有性质P ；（3）正项数列{}n b 是公比不为1的等比数列．若{}n b 具有性质P ，则数列{}n b 至少有多少项？请说明理由．第二部分（加试部分） （总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效． 21．（A ） [选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知点A 在变换T ：3x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(4,3)-，求点A 的坐标．（B ）[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.22．（本小题满分10分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望．5432123．（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足111(*)122n a n N n n n=+++∈++L ． （1）求123,,a a a 的值；（2）对任意正整数n ，n a 小数点后第一位数字是多少？请说明理由．参考答案 （数学） 第一部分一、填空题1． }21|{<<-x x 2．0 3． 03 4． 4 5． 526． )()()(c f b f a f >> 7．418． 223π 9． 2 10． 20 11. 2 12．62338- 13. (){}2-1,0Y 14.34 二、解答题15． （1）连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1，∵ABCD-A 1B 1C 1D 是正方体∴A 1ACC 1是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且A 1C 1=AC又∵O 1，O 分别是A 1C 1，AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO∴O 1C 1OA 是平行四边形∴C 1O ∥AO 1，AO 1⊂平面A 1B 1D 1，C 1O ⊄平面A 1B 1D 1， ∴C 1O ∥面A 1B 1D 1；（2）∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1，又∵A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C 即B 1D 1⊥A 1C ，同理可证AB 1⊥A 1C ，又B 1D 1∩AB 1=B 1，∴A 1C ⊥面AB 1D 1； 16．解：（1）由题意得：3327212ππωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：256ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩又sin 02sin 42A B A B π+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：22A B =⎧⎨=⎩∴5()2sin(2)26f x x π=++（2）由212=⎪⎭⎫⎝⎛αf 得4365sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2652sin 6132sin ππαπα8165sin 21652cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπα．17． 解：（1）PC min ＝63（1） 当AB 的斜率不存在与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有两条；当AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 124＋y 12＝1x224＋y22＝1两式相减得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14 即k AB ·y 0x 0＝－14,由题可知直线MC 的斜率肯定存在，且k MC ＝y 0x 0－1， 又MC ⊥AB ,则k AB ＝－x 0－1y 0，所以－x 0－1y 0·y 0x 0＝－14，x 0＝43 ，因为M 在椭圆内部，则x 024＋y 02＜1，0＜y 20＜59 ，所以r 2＝(x 0－1)2＋y 02＝19＋y 02∈(19，23) ， 故半径r ∈(13，63) .〖教学建议〗（1）问题归类与方法： 1.直线与圆相切问题方法1：利用d ＝r ；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直． 2.直线与椭圆有两交点位置关系判断方法1：联立方程组利用△＞0 ；方法2：弦中点在椭圆内部.（2）方法选择与优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线AB 为y ＝kx ＋m 联立椭圆得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0(*) ，利用韦达定理得M (－4km 4k 2＋1，m 4k 2＋1) ，由MC ⊥AB得m ＝－4k 2＋13k 由(*)△＞0得m 2＜4k 2＋1 ，将m ＝－4k 2＋13k 代入解得k 2＞15 ，所以r ＝|k ＋m |k 2＋1＝131＋1k 2∈(13，63) .19. 解（1）设切点(x 0，y 0)，f '(x )＝1x .所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ln x 0y 0＝kx 0＋1k ＝1x所以x 0＝e 2，k ＝1e 2.（2）因为g (x )＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0．所以h (x )＝f (x )－|g (x )|＝ln x －|x －1x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋x －1x，0＜x ＜1，ln x －x ＋1x，x ≥1．当0＜x ＜1时，h (x )＝ln x ＋x －1x ，h '(x )＝1x＋1＋1x2＞0，当x ≥1时，h (x )＝ln x －x ＋1x ，h '(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x2＜0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h (x )max ＝h (1)＝0． 当0＜a ＜1时，h (x )max ＝h (1)＝0； 当a ≥1时，h (x )max ＝h (a )＝ln a －a ＋1a．（3）令F (x )＝2ln x －k (x －1x)，x ∈(1，＋∞)．所以F '(x )＝2x －k (1＋1x 2)＝－kx 2＋2x －kx2． 设φ(x )＝－kx 2＋2x －k ，①当k ≤0时，F '(x )＞0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，又F (1)＝0，所以不成立； ②当k ＞0时，对称轴x 0＝1k，当1k≤1时，即k ≥1，φ(1)＝2－2k ≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x )＜0，所以F '(x )＜0，又F (1)＝0，所以F (x )＜0恒成立；当1k＞1时，即0＜k ＜1，φ(1)＝2－2k ＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x )＝0，x ＝x 0，所以x ∈(1，x 0)，φ(x )＞0，即F '(x )＞0；x ∈(x 0，＋∞)，φ(x )＜0，即F '(x )＜0， 所以F (x )max ＝F (x 0)＞F (1)＝0，所以不满足F (x )＜0恒成立． 综上可知：k ≥1.20．解：（1）∵数列1,,a b 具有性质P ∴1ab a b =⎧⎨=⎩∴11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩∴2a b +=或2a b +=-； ……………………3分（2）假设存在不相等的正整数,i j ()i j <，使得n i j a a a =，即201920192019n i jn i j =⋅+++（*） 解得：(2019)i nj i n +=-，取1i n -=，则存在1(2020)i n j n n =+⎧⎨=+⎩，使得（*）成立∴数列{}2019nn +具有性质P ； ……………………8分（3）设正项等比数列{}n b 的公比为q ，0q >且1q ≠，则11n n b b q -=⋅． ∵数列{}n b 具有性质P∴存在不相等的正整数,i j ()i j <，i n ≠，j n ≠，使得11111i j b b q b q --=⋅⋅⋅，即121i j b q +-=，且3n ≥∵1j i >≥，且,*i j N ∈∴21i j +-≥ 若21i j +-=，即11b q=∴21b =，3b q = 要使11i j b b b q ==，则21q 必为{}n b 中的项，与11b q=矛盾；∴21i j +-≠ 若22i j +-=，即121b q =∴21b q=，31b =，4b q =， 要使121i j b b b q ==，则31q 必为{}nb 中的项，与121b q =矛盾；∴22i j +-≠ 若23i j +-=，即131b q =∴221b q=，31b q =，41b =，5b q =，26b q =，37b q =， 这时对于1,2,,7n =L ，都存在n i j b b b =，其中i j <，i n ≠，j n ≠．∴数列{}n b 至少有7项． ……………………16分第二部分（加试部分）21．（A ）解：设(,)A x y ，则A 在变换T 下的坐标为(3,)x y y +，又绕原点逆时针旋转90︒对应的矩阵为0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……………………4分 所以01341033x y y y x y -+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得433y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得94x y =-⎧⎨=⎩所以点A 的坐标为(9,4)-．……………………10分（B ）解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩可得22212cos 2()48x y x α===，又因为1cos 1α-≤≤，所以44x -≤≤．所以曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-≤≤…………………6分将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）所以直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．…………………10分22．解：（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左．∴34411()()24P A C ==…………………3分（2）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0,1,2,3．∴3127(0)(1)464P X ==-=，1231127(1)(1)4464P X C ==⨯-=，223119(2)()(1)4464P X C ==⨯-= 311(3)()464P X ===∴X 的分布列为……………7分272791483()012364646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯==………………9分 答：落入4号容器的小球个数X 的数学期望为34．………………10分 23．解：（1）112a =，2712a =，33760a =………………2分 （2）12,a a 小数点后第一位数字均为5，3a 小数点后第一位数字为6………………3分 下证：对任意正整数(3)n n ≥，均有0.60.7n a << 注意到11111021221(21)(22)n n a a n n n n n +-=+-=>+++++ 故对任意正整数(3)n n ≥，有30.6n a a ≥>………………5分 下用数学归纳法证明：对任意正整数(3)n n ≥，有10.74n a n≤- ①当3n =时，有3371110.70.70.760124343a ==-=-≤-⨯⨯，命题成立； ②假设当*(,3)n k k N k =∈≥时，命题成立，即10.74k a k≤- 则当1n k =+时，11110.7(21)(22)4(21)(22)k k a a k k k k k +=+≤-+++++∵1111104(21)(22)4(1)4(1)4(1)22k k k k k k k k k --=->+++++++ ∴1114(21)(22)4(1)k k k k ->+++∴11110.70.74(21)(22)4(1)k a k k k k +≤-+≤-+++ ∴1n k =+时，命题也成立；综合①②，任意正整数(3)n n ≥，10.74n a n≤-． 由此，对正整数(3)n n ≥，0.60.7n a <<，此时n a 小数点后第一位数字均为6．所以12,a a 小数点后第一位数字均为5，当3,*n n N ≥∈时，n a 小数点后第一位数字均为6．…10分。
江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷
江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷一、填空题 (共14题；共14分)1．（1分）设全集 U ={1,2,3,4,5} ，若集合 A ={3,4,5} ，则 C U A = . 2．（1分）已知复数 z =21+i+2i （ i 是虚数单位），则 z 的共轭复数为 ． 3．（1分）函数f （x ） =1√x−1的定义域为 ． 4．（1分）根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 ．5．（1分）某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是 ．6．（1分）若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为 y =±x ，则双曲线的离心率为 ．7．（1分）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 2cm ，则该棱锥的体积为 cm 3 .8．（1分）函数 f(x)={x 2−3x +2，x ≤012x ，x >0 ，则f （f （0））＝ ． 9．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为 √13 ，圆心在y 轴上，且圆C 与直线2x+3y ﹣10＝0相切于点P （2，2），则圆C 的标准方程是 ．10．（1分）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点， AD =12AB ，BE =23BC ，若 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1CB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝ ． 11．（1分）已知e 为自然对数的底数．若不等式（e x ﹣1﹣1）（x ﹣a ）≥0恒成立，则实数a 的值是 ．12．（1分）在等差数列{a n }中，已知公差d≠0，a 22＝a 1a 4，若 a 1，a 3，a k 1，a k 2，⋯，a k n ，…成等比数列，则k n ＝ ．13．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是曲线M ：y ＝sinx （x ∈[0，π]）在点A 处的一条切线，且l ∥OP ，其中P 为曲线M 的最高点，l 与x 轴交于点B ，过A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 14．（1分）在锐角三角形ABC 中，已知4sin 2A+sin 2B ＝4sin 2C ，则1tanA +1tanB +1tanC的最小值为 ．二、解答题 (共6题；共65分)15．（10分）如图，在△ABC 中，已知B =π4 ，AB ＝3，AD 为边BC 上的中线，设∠BAD ＝α，若cosα =2√55．（1）（5分）求AD 的长； （2）（5分）求sinC 的值．16．（10分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，BD ＝CD ，E ，F 分别为BC ，PD 的中点．（1）（5分）求证：EF ∥平面PAB ； （2）（5分）求证：平面PBC ⊥平面EFD ．17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3．（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ的面积．18．（10分）如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区，已知tan∠MON=−3，OA=6（百米），Q到直线OM，ON的距离分别为3（百米），6√105（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区.（1）（5分）求有轨观光直路AB的长；（2）（5分）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，r=2√at（百米）（0≤t≤9，0<a<1）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以√2（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.19．（15分）在数列{a n}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有a n+1＝λa n+2×3n，其中常数λ＞0．（1）（5分）设b n=a n3n，n∈N∗．当λ＝3时，求数列{b n}的通项公式；（2）（5分）若λ≠1且λ≠3，设c n＝a n+2λ−3×3n，n∈N∗，证明：数列{c n}为等比数列；（3）（5分）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有a n≥M，求实数M的最大值．20．（10分）已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）（5分）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）（5分）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2< ln(4a2)．答案解析部分1．【答案】{1,2}【解析】【解答】∵全集U={1,2,3,4,5}，集合A={3,4,5}，∴C U A=={1，2}，故答案为：{1,2}．【分析】利用补集定义直接求解即可2．【答案】1−i【解析】【解答】∴z=21+i+2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i∴z̅=1−i．故答案为1−i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得z，再由共轭复数的定义得答案．3．【答案】（1，+∞）【解析】【解答】由题,若函数有意义,则x−1>0,解得x>1,所以定义域为(1,+∞), 故答案为: (1,+∞)【分析】若函数有意义,则x−1>0,求解即可.4．【答案】65【解析】【解答】由题, i=1, S=2,i=1+3=4, S=3×4+2=14,i=4+3=7, S=3×7+14=35,i=7+3=10, S=3×10+35=65,此时输出,故答案为:65【分析】根据程序伪代码列出程序的每一步,进而可得输出结果.5．【答案】75%【解析】【解答】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=34,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,故答案为: 75%【分析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a ,则a+13a=1,进而求解即可.6．【答案】√2【解析】【解答】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，根据题意知±ba=±1，所以b a=1.双曲线的离心率e=ca =√c2a2=√a2+b2a2=√1+b2a2=√2.故答案为：√2.【分析】利用双曲线求渐近线方程的公式结合已知条件求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。