中考数学第一轮复习精品讲解(专题突破)
A．55
B．42
图 Z1－2 C．41
D．29
[解析] 第一个图形 1 个，第 2 个图形有：2(1＋2)－1＝5，第 3 个图形有：2(1＋2＋3)－1＝11，„，第 6 个图形有：2(1＋2＋ 3＋4＋5＋6)－1＝41(个)．
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专题突破一
3．[2011· 菏泽]填在下面各正方形中的四个数之间都有相同 158 的规律，根据这种规律，m 的值是________.
[解析]规律是每个数的末位数是 2,4,8,6，„，四个数循环，2010÷ 4 ＝502„„2，所以 22010 末位数与 22 的末位数 4 相同.
数字规律型问题是研究按一定规律排列的数之间的相互关系或大 小变化规律的问题，解决这类问题的关键是仔细分析前后各数之间 的联系，从而发现其中所蕴含的规律.
3 5．[2011· 湛江]已知：A2 3＝ 3×2 ＝ 6， A 5＝ 5×4×3 ＝ 60 ， 2 A5 ＝5×4×3×2＝120，A3 6＝6×5×4×3＝360，„，观察前面 < 的计算过程，比较 A5 A3 9________ 10.(填“>”或“<”或“＝”)
5 [解析] A9 －A3 10＝9×8×7×6×5－10×9×8×7×6×5×4×3<0.
专题突破一
规律探索题
专题突破二
专题突破三 专题突破四 专题突破五 专题突破六 专题突破七 专题突破八 专题突破九
新概念型题
图标信息题 阅读理解题 开放探究题 动手操作题 方案设计题 动态型问题 综合型问题
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专题突破一
专题突破一 规律探索题
பைடு நூலகம்
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专题突破一
1．如图 Z1－1，下面是按照一定规律画出的“数形图”， 经观察可以发现：图 A2 比图 A1 多出 2 个“树枝”， 图 A3 比图 A2 多出 4 个“树枝”， 图 A4 比图 A3 多出 8 个“树枝”，„， 照此规律，图 A6 比图 A2 多出“树枝”( C )
[解析] 当 x＜2 时，2x＜x＋2; 当 x≥2 时，2x≥x＋2；根据 min{x，y}意义应选 A，而其他选项均不符合 min{x，y}表示 x， y 两个数中的最小值这一意义．
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专题突破二
1 1 4．[2011· 荆州]对于非零的两个实数 a、b，规定 a⊗b＝b－a， 若 1⊗(x＋1)＝1，则 x 的值为( D ) 3 1 1 A. B. C. 2 3 2 1 D．－ 2
[解析] 根据定义的变换法则 P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2， －2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，从而找出其规 律：P2n(1，－1)＝(2n－2n)，P2n－1(1，－1)＝(0,2n)，因此 P2011(1， －1)＝(0,21006)．
图 Z1－3
[解析] 阴影部分的两个数分别为 12,14，所以 m＝12×14－10＝158.
1 1 1 4．[2011· 桂林]若 a1＝1－m，a2＝1－ ，a3＝1－ ，„ ， a1 a2 1 1－m ．(用含 m 的代数式表示) 则 a 的值为______
2011
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专题突破一
m－1 m 1 [解析] a1＝ m ，a2＝1－ ＝－ ，a3＝1＋(m－1)＝m. m－1 m－1 1 a4＝1－m，„.由此知规律为：每三项开始循环，2011÷ 3，余数是 1 1，所以 a2011 的值为 1－m.
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专题突破一
通常给定一些代数式、等式或者不等式，猜想其中蕴含的规 律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比 (比较 同一等式中不同的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的 数量关系)，找出各部分的特征，写成符合条件的格式.
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专题突破二
专题突破二 规律探索题
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专题突破二
1 1 1．[2011· 菏泽]定义一种运算☆，其规则为 a☆b＝a＋b，根 据这个规则计算 2☆3 的值是( A ) 5 1 A. B. C．5 D．6 6 5 1 1 1 1 5 [解析] 由 a☆b＝a＋b，可知 2☆3＝ ＋ ＝ . 2 3 6
2．[2011· 龙岩]现定义运算“★”，对于任意实数 a、b，都有 a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5，若 x★2＝6，则实数 x 的值是( B ) A．－4 或－1 B．4 或－1 C．4 或－2 D．－4 或 2
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专题突破一
6．[2011· 益阳]观察下列算式： ① 1 × 3－22＝3－4＝－1； ② 2 × 4－32＝8－9＝－1； ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1； ④ __________________________， „ (1)请你按以上规律写出第 4 个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来； (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
…
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专题突破一
(2)归纳结论： 12＋22＋32＋„＋n2＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(1＋2)×3＋„＋[1 ＋(n－1)]n ＝1＋0×1＋2＋1×2＋3＋2×3＋„＋n＋(n－1)×n ＝(________________) 1＋2＋3＋„＋n ＋[_________________________________] 0×1＋1×2＋2×3＋„＋(n－1)×n 1 1 1 n ( n ＋ 1) n ( n ＋ 1)( n － 1) n(n＋1)(2n＋1) ＝____________ ＋________________ ＝ ×________________. 2 3 6 (3)实践应用： 通过以上探究过程，我们就可以算出当 n 为 100 时，正方形网格 338350 中正方形的总个数是________________ ．
2n－1· 180° ＋α 180° ＋α ∠An＋1BnBn＋1＝θn，则(1)θ1＝________ ；(2)θn＝________________. 2n 2
1 [解析] (1)因为 OA1＝OB1，所以∠OA1B1＝ (180° －α)， 2 180° ＋α 1 ∴θ1＝α＋ (180° －α)＝ ； 2 2 2n－1· 180° ＋α (2)同理可求 θn＝ . 2n
A．28
B．56
图 Z1－1 C．60
D．124
[解析] 分析题目中“树枝”的规律，从第一个图开始的“树枝” 数依次是：(2－1)，(22－1)，(23－1)，„，第六个图有(26－1)个， 所以 A6 比图 A2 多出“树枝”数为(26－1)－(22－1)＝60.
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专题突破一
2． [2011· 重庆]下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定 的规律组成，其中，第①个图形中一共有 1 个平行四边形，第② 个图形中一共有 5 个平行四边形，第③个图形中一共有 11 个平 行四边形，„，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( C )
图 Z1－4 (1)根据上面的规律，写出(a＋b)5 的展开式； (2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.
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专题突破一
解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5； (2) 原式＝ 25 ＋ 5×24×( － 1) ＋ 10×23×( － 1)2 ＋ 10×22×( － 1)3 ＋ 5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.
图 X6－1
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专题突破一
► 类型之三 数式规律型 例 3 [2011· 内江] 同学们，我们曾经研究过 n×n 的正方形网格，得到了网 格中正方形的总数的表达式为 12＋22＋32＋„＋n2.但 n 为 100 时，应如何 计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先， 1 通过探究我们已经知道 0×1＋1×2＋2×3＋„＋(n—1)×n＝ n(n＋ 3 1)(n—1)时，我们可以这样做： (1)观察并猜想： 12＋22＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＝1＋0×1＋2＋1×2＝(1＋2)＋(0×1＋1×2) 12＋22＋32＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(1＋2)×3 ＝1＋0×1＋2＋1×2＋3＋2×3 ＝(1＋2＋3)＋(0×1＋1×2＋2×3) (1＋3)×4 ＝1＋ 12＋22＋32＋42＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(1＋2)×3＋____________ 0×1＋2＋1×2＋3＋2×3＋____________ 4＋3×4 ＝(1＋2＋3＋4)＋ (___________________________) 0×1＋1×2＋2×3＋3×4
1 [解析] 根据所规定的运算，因为 1⊗(x＋1)＝1， － 1＝ 1 ， x＋ 1 1 1 所以 ＝2，x＝－ . 2 x＋ 1
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专题突破二
5．[2011· 永州]对点(x，y )的一次操作变换记为 P1(x，y )，定 义其变换法则如下：P1(x，y )＝(x＋y，x－y)；且规定 Pn(x，y)＝ P1(Pn－1(x，y))(n 为大于 1 的整数)．如 P1(1,2 )＝(3，－1)，P2(1,2 ) ＝P1(P1(1,2 ))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2 )＝P1(P2(1,2 ))＝P1(2,4) ＝(6，－2)．则 P2011(1，－1)＝( D ) A．(0,21005 ) B．(0，－21005 ) C．(0，－21006) D．(0,21006)
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专题突破一
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专题突破一
► 类型之一 数字规律型 例 1 [2010· 深圳] 观察下列算式， 用你所发现的规律得出 22010 的末 位数字是( B ) 21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，„ A.2 B．4 C．6 D．8
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专题突破二
名师中考数学(金华地区)第一轮系统复习课件 第1讲 实数及其运算
数轴：规定了________、_______、________的直线叫做数轴； 实数与数轴上的点是一一对应的． 答案：原点；正方向；单位长度
11．数轴上表示－2的点与原点的距离是__2__．
13．已知 m，n 为两个连续的整数，且 m＜ 11＜n，则 m＋n＝__7__．
3．倒数：实数 a(a≠0)的倒数是________；a 与 b 互为倒数⇔________．
4．绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的________，
叫做数 a 的绝对值，记作|a|；|a|＝
（a＞0）， （a＝0）， （a＜0）.
5．平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根(也叫二次方根)，数 a 的平方根记作________．
1．(2016·杭州) 9＝( B )
A．2
B．3
C．3 或－3
D．5
2．(2016·金华)若实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列判断错 误的是( D )
A．a<0 B．ab<0 C．a<b D．a，b 互为倒数
3．(2016·湖州)计算：tan45°－sin30°＋(2－ 2)0.
解： 原式＝1－12＋1＝32
数学
第1讲 实数及其运算
1．理解有理数、无理数和实数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有 理数的大小．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值 ，知道|a|的含义．
3．了解乘方与开方互为逆运算，理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会 求一个数的算术平方根、平方根、立方根．
2023中考数学一轮复习专题1
专题1.1 实 数（知识讲解）【基本考点要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识点梳理】 考点一、实数的分类 1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 特别说明：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数nm24ππ、（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 特别说明：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数. 4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作． 5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．特别说明：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的. 考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ,a a =0a ≥；-,a a =0a ≤；-a b (0)a a ≠a11a b ⇔⋅=a ±a3.对于实数a 、b ， 若a-b>0a>b ；a-b=0a=b ；a-b<0a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2a>b ；或利用倒数转化：如比较与.特别说明：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数011(0)(0).ppa a aa a -==≠，≠ 特别说明：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10（其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．特别说明：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10，其中1≤＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1； ⇔⇔⇔⇔b a >⇔417-154-nn na（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10，其中1≤＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）2-的相反数是__________，13-的绝对值是________，立方等于64-的数是_______．【答案】213-4 解：﹣2的相反数是2，的绝对值是，立方等于﹣64的数是﹣4．（2）（2021·四川广元·中考真题）如图，实数m 在数轴上所对应的点分别为A ，B ，C ，点B 关于原点O 的对称点为D ．若m 为整数，则m 的值为________．【答案】-3【分析】先求出D 点表示的数，再得到m 的取值范围，最后在范围内找整数解即可． 解：∵点B 关于原点O 的对称点为D ，点B ∵点D 表示的数为∵A 点表示C 点位于A 、D 两点之间， ∵m < ∵m 为整数， ∵3m =-； 故答案为：3-．【点拨】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．（3）（2020·辽宁朝阳·中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元． na【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．解：580亿＝58000000000=5.8×1010．故答案为：5.8×1010．【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．．举一反三：【变式1】下列说法正确的是（）A．1的相反数是﹣1B．1的倒数是﹣1C．1的立方根是±1D．﹣1是无理数【答案】A解：A、1的相反数为-1，故A正确；B、1的倒数是1，故B错误；C、1的立方根是1，故C错误；D、-1是有理数，是整数，故D错误．故选A考点：相反数的定义【变式2】（2016·山东烟台·中考真题）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ．解：根据题意得，等腰∵ABC中，OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得OC∵AB，根据勾股定理可得，又因M考点：勾股定理；实数与数轴．【变式3】（2020·辽宁朝阳·中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．解：580亿＝58000000000=5.8×1010． 故答案为：5.8×1010．【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．类型二、实数的分类与计算2．（2018·黑龙江绥化·中考真题）在163，3，π， 1.6-，25这五个数中，有理数有______个.【答案】3【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.解：根据题意可得有理数有163， 1.6-5=π为无理数， 所以有理数有3个， 故答案为3．【点拨】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义. 举一反三：（2018·河南新乡·）下列实数10.727，，π中，无理数有_______个.【答案】3解：根据无理数的定义可得：2π是无理数，共3个，故答案为：3.3．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）计算：27+（13）﹣2﹣3tan60°+（π2-）＝_____．【答案】10【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．+（13）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝﹣＝10． 故答案为：10．【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 举一反三：【变式1】（2021·四川内江·中考真题）计算：0216sin 45|1(2021)()2π-︒---． 【答案】-3【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．解：原式61)14=--14=-3=-．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．【变式2】（2020·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣2|+02cos30°． 【答案】324-【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．解：（﹣2）﹣2﹣2|+02cos30°＝14﹣﹣2﹣＝﹣234．【点拨】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关键．类型三、实数大小的比较4．（2021·山东临沂·中考真题）比较大小：26___5（选填“>”、“ =”、“ <” ）． 【答案】＜【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．解：∵5而24＜25， ∵5． 故答案为：＜．【点拨】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．举一反三：【变式1】 （2017·甘肃张掖·与0.5______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）【答案】＞解：-12，2＞0，0． 故答案为：＞【变式2】（2017·河北·中考真题）对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{min =_________；若{}22min (1),1x x -=，则x=_________．【答案】 2或-1 解：因为，所以min{，}=. 当时，，解得(舍)，； 当时，，解得，(舍).考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程. 类型四、平方根的应用5．（2021·四川达州·中考真题）已知a ，b 满足等式216903a ab +++-=，则20212020a b =___________．【答案】-3【分析】先将原式变形，求出a 、b ，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．解：由2690a a ++，变形得()230a +， ∵130,03a b +=-=，∵13,3a b =-=， ∵()()()()20202020202020212020202120201113=33=33=3333ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：-3【点拨】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a 、b 的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．【变式1】 （2019·山东临沂·中考真题）一般地，如果()40x a a =≥，则称x 为a 的四次方根，一个正数a 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为10=，则m =_____．【答案】 10±【分析】利用题中四次方根的定义求解．解：10=， ∵4410m =， ∵10m =±. 故答案为10±.【点拨】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个． 【变式】（2013·四川巴中·中考真题）若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足b 40-=，则该直角三角形的斜边长为_____．【答案】5．解：b 40-=，∵2a 6a 9-+=0，b －4=0，解得a=3，b=4． ∵直角三角形的两直角边长为a 、b ，∵该直角三角形的斜边长5=．类型五、实数运算中的规律探索6．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】2m m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．解：由题意规律可得：2399100222222++++=-．∵1002=m ∵23991000222222=2m m +++++==，∵22991001012222222+++++=-，∵10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=． 102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=．……∵1999922m =． 故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=① 12310022222S ++++=②∵-∵，得10021S -= ∵10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=-故答案为：2m m -．【点拨】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．举一反三：【变式1】（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：1311212x ==+⨯；2711623x ==+⨯；313111234x ==+⨯； …… 根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______． 【答案】12021-【分析】根据题意，找到第n 等式右边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120202021⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12020﹣12021﹣2021 ＝2020+1﹣12021﹣2021 ＝12021-． 故答案为：12021-． 【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．【变式2】（2020·湖南张家界·中考真题）观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，…… 根据上面的规律计算：222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________． 【答案】20202021 【分析】 本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题． 由题干信息可抽象出一般规律：211a b a b =-•（,a b 均为奇数，且2b a =+）． 故2222=13355720192021++++⨯⨯⨯⨯原式 1111111=1335572019202111111111()()()335520192019202112020120212021-+-+-++-=+-+-++--=-=． 故答案：20202021． 【点拨】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．。
中考数学一轮总复习精品讲义
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
限时训练一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（2017宝山二模）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 5的相反数是（ ） A. 2；B. -5；C. 5;D.；2. 方程的实数根的个数是（ ）A. 0；B. 1；C. 2；D. 3；3. 下列函数中，满足的值随的值增大而增大的是（ ）A. ；B. ；C. ；D. ；4. 下列命题为真命题的是（ ）A. 有两边及一角对应相等的两三角形全等；B. 两个相似三角形的面积比等于其相似比；C. 同旁内角相等；D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7. 计算：8. 计算：9. 计算：10. 方程的解是____________；11. 如果正比例函数的图像经过原点和第一、第三象限，那么ba ab =)()(bc a c ab =ac ab c b a +=+)(5101232=+-x x y x x y 2-=3-=x y xy 1=2x y =________;3165=÷-()________;22=-b a ________;321=∙x x 0=+x x ()x k y 1-=________;k对值是（ ）【点睛】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际1．﹣2的绝对值是（ ）A ．2 B ．﹣2 C ．±2 D.122.﹣3的绝对值是（ ）A ．3B ．﹣3C ．﹣D ．3.计算：|1﹣3|= ．考点典例三、相反数【例3】的相反数是【 】（A ）（B ）（C ）（D ）【点睛】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0.【举一反三】1.的倒数是（ ）A.B.2C.D. 2.－的相反数是（ ）A. － B. － C. D.3.﹣的相反数的倒数是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2016D ．﹣2016考点典例四、倒数【例4】的倒数是（ ）A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣【点睛】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．31-31-313-321212-21-434334433420161212121．本题考查了平方根、立方根的定义，利用了开方运算即可求一个数的立方根和平方根．注小即可得出正确的结论.【举一反三】1.下列各数中，比﹣2小的数是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．0D ．22.当0＜x ＜1时，x 2、x 、的大小顺序是（ ）A ． B ． C ． D ．考点典例七、科学记数法【例7】宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学计数法表示为（）A. 0.845×1010元B. 84.5×108元C. 8.45×109元D. 8.45×1010元【点睛】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值. 在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）..【举一反三】1.长株潭城际铁路通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，则数据99500用科学记数法表示为（ ）A ．0.995×105B ．9.95×105C ．9.95×104D ．9.5×1042.地球的平均半径约为6 371 000米，该数字用科学记数法可表示为A.B.C. D.考点典例八、实数的运算【例8】计算5＋(－3)的结果为_______．【例9】对于实数a ，b ，定义运算“*”：a *b =．例如：因为4＞2，所以4*2=x1xx x 12<<21x x x <<x x x <<21x x x 12<<7106371.0⨯610371.6⨯710371.6⨯310371.6⨯2 ()()a ab a b a b a b ⎧-≥⎨-<⎩的倒数是（ ）A ．a •b ＞0B ．a+b ＜0C ．|a|＜|b|D ．a ﹣b ＞08.如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）A ．亏损3% B ．亏损8% C ．盈利2% D ．少赚3%9.-8的立方根是( )A 、2 二．填空题10.如图所示，数轴上点A 所表示的数的相反数是 ．11.2的相反数是 ．12.﹣3的相反数是 ；的立方根是 ．13.的相反数的倒数是 ．14.如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为（ ）A ．+3B ．﹣3C ．D ．15.﹣|﹣2|的倒数是（ ）A ．2 B ．C ．D ．﹣2考点二：实数的计算一．选择题1．下列各数中最小的是（ ）A ．0B ．﹣3C ．﹣D ．12.﹣12等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣22.-B 2.±C 32.-D 1812016-13+13-1212-某地连续四天每天的平均气温分别是：互为倒数则算加减，如果有括号，先算括号里的．与实数一一对应的结果是（(分）统计，数用科学记数法表示为（8×10…………（）技园区的上海超级计算中心内，被称为5果，如果今年PM21教师姓名学生姓名年级初三上课时间学科数学课题名称待提升的知识点/题型考点提炼聚焦考点☆（整式）一．单项式1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如是6次单项式．二、多项式1、多项式几个单项式的和叫做多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值．注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入．2、同类项b a 2314-b a 2313-c b a 235-所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．3、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号．（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号．三、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项．整式的乘法： 整式的除法：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．（6）（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的．聚焦考点☆（因式分解）1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分),(都是正整数n m a a a nm nm+=∙),(都是正整数）（n m aa mnn m =)()(都是正整数n b a ab nnn =22))((ba b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-)0,,(≠=÷-a n m aa a nm nm都是正整数),0(1);0(10为正整数p a aaa a p p≠=≠=-解因式．2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）运用公式法： （3）分组分解法：（4）十字相乘法：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．)(c b a ac ab +=+))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++考点精析名师点睛☆典例分类（整式）考点典例一、单项式乘以单项式【例1】（）A .B .C .D . 【答案】C .【解析】.故选C .【点睛】根据单项式乘单项式运算法则:单项式乘以单项式，系数与系数、相同的字母分别相乘，计算即可.【举一反三】1.下列计算正确的是A .B .C .D . 2.下列运算结果正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．（a 2）3=a 6C ．a 2•a 3=a 6D ．3a ﹣2a =1考点典例二、单项式乘以多项式【例2】化简的结果是( )A .B .C .D . 【答案】D 【解析】试题分析：根据整式的乘法（去括号法则或乘法分配律）用-16区分别乘以括号内的各项，注意符号变化，可直接计算为-16（x -0.5）=-16x +16×0.5=-16x +8.故选D考点：整式的乘法23a (2a)⋅-=312a -36a -312a 26a 2233a (2a)3a 4a 12a ⋅-=⋅=633a a a =+33=-a a 523)(a a =32aa a =⋅()160.5x --160.5x --5.016+x 816-x 168x -+【点睛】根据单项式乘以多项式法则即用-16与括号里的“x ”和“-0.5”分别相乘，再把所得的积相加即可求出答案.【举一反三】1.计算：a (a ＋1)＝_________．2.计算的结果是（ ）A .B .C .D .考点典例三、列代数式、代数式求值【例3】三个连续整数中，n 是最大的一个，这三个数的和为 ．【答案】3n ﹣3．【解析】试题分析:用n 表示出最小的数为n -2，中间的整数为n -1，则这三个数的和为n ﹣2+n ﹣1+n =3n ﹣3．考点：列代数式.【例4】若mn =m +3，则2mn +3m -5nm +10=_____.【答案】1.【解析】试题分析：由mn =m +3可得mn -m =3，所以2mn +3m -5nm +10=3m -3mn +10=3(m -mn )+10=10-9=1.考点：整体思想；求代数式的值.【点睛】用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果．代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入．【举一反三】若x 2﹣3y ﹣5=0，则6y ﹣2x 2﹣6的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．16D ．﹣16考点典例四、整式的混合运算【例5】下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．5a ﹣2a =3a 2C ．（a 3）4=a 12D ．（x +y ）2=x 2+y 2()2x 3-2x 62x 6-2x 92x9-【答案】C .【解析】试题分析：选项A ，根据同底数幂的乘法可得a 2•a 3=a 5，故此选项错误；选项B ，根据合并同类项法则可得5a ﹣2a =3a ，故此选项错误；选项C ，根据幂的乘方可得（a 3）4=a 12，正确；选项D ，根据完全平方公式可得（x +y ）2=x 2+y 2+2xy ，故此选项错误；故答案选C ．考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．【举一反三】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．（﹣a 3）2=﹣a 6C ．（ab ）2=ab 2D ．2a 3÷a =2a 22.下列运算正确的是A .B .C .D . 3.下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．名师点睛☆典例分类（因式分解）考点典例一、提取公因式【例1】分解因式：x 2y ﹣4y = ．【答案】y （x +2）（x ﹣2）．【解析】试题分析：提取公因式y ，后再利用平方差公式分解，即x 2y ﹣4y =y （x 2﹣4）=y （x +2）（x ﹣2）．考点：分解因式.【点睛】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式m 即可.【举一反三】1.分解因式：a 3﹣4a = ．623a a a =⋅4312a a a =÷()333b a b a +=+()623a a =2222236x y xy x y -⋅=-22(2)(2)4x y x y x y --+=-322623x y x y xy ÷=32294(4)16x y x y=2.因式分解：6x 2﹣3x = ．考点典例二、公式法【例2】因式分解：_______________.【答案】（x +6）（x -6）.【解析】试题分析：利用平方差公式直接分解即可，原式=（x +6）（x -6）.考点：因式分解.【点睛】根据所给多项式可以看出是两个数的平方差，因此利用平方差公式进行分解即可.【举一反三】1．分解因式：（2a +b ）2﹣（a +2b ）2= ．2.已知，，则的值为 ．3.分解因式：= ．考点典例三、提取公因式与公式法综合运用【例3】分解因式：2a 2-2= ．【答案】.【解析】试题分析：原式＝2＝.考点：分解因式.【点睛】首先提取公因式2，剩下的因式又是两个数的平方差，进而利用平方差公式进行分解即可．【举一反三】1．（分解因式：= ．2.分解因式：x 3﹣4x = ．3.分解因式：=_____________．考点典例四、分解因式的应用【例5】若，则代数式的值为．=-362x 3a b +=1a b -=-22a b -2242a a -+2(1)(1)a a +-2(1)a -2(1)(1)a a +-22mn mn m ++2288xy xy x -+-a b 1-=22a b 2b --【答案】1.【解析】试题分析：∵，∴.【点睛】利用因式分解可以求代数式的值，先将代数式a 2-b 2-2b 进行因式分解含有（a -b ）的因式，再进行整体代入即可求出答案.【举一反三】1小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣y ，x +y ，a +b ，x 2﹣y 2，a 2﹣b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．宜晶游C ．爱我宜昌D ．美我宜昌2.如图边长为a 、b 的矩形的周长为14，面积为10，则a ²b +ab ²的值为A .140B .70C .35D .24课堂测评限时作业☆能力提升（整式）一．选择题1．计算正确的是（ ）A ．aB ．C ．D ．2.计算的结果是（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣3.计算正确的是（ ）A .(-5)0=0B .x 2+x 3=x 5C .(ab 2)3=a 2b 5D .2a 2·a -1=2a4. 下列运算正确的是（ ）a b 1-=()()()22a b 2b a b a b 2b a b 12b a b 1--=+--=+⋅-=-=32a a ⋅5a 6a 9a 22()x y -42x y 42x y 22x y 22x yA ．2a +3b =5abB ．2（2a ﹣b ）=4a ﹣2bC ．D ．5. 化简（﹣x ）3（﹣x ）2，结果正确的是（ ）A ．﹣x 6B ．x 6C ．x 5D ．﹣x 56.（x 2y ）3的结果是（ ）A ．x 5y 3B ．x 6yC ．3x 2yD ．x 6y 37. 若﹣x 3y a 与x b y 是同类项，则a +b 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58. 下列计算正确的是（ ）A ．（xy ）3=xy 3B ．x 5÷x 5=xC ．3x 2•5x 3=15x 5D ．5x 2y 3+2x 2y 3=10x 4y 99某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x ，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）A ．100（1+x ）B ．100（1+x ）2C ．100（1+x 2）D ．100（1+2x ）10．若x 2﹣3y ﹣5=0，则6y ﹣2x 2﹣6的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．16D ．﹣16二．填空题11. 计算：3a ﹣（2a ﹣1）= ．12.若x =3﹣，则代数式x 2﹣6x +9的值为 ．13．某工厂去年的产值是a 万元，今年比去年增加10%，今年的产值是 万元．14.若a m =2，a n =8，则a m +n = ．三、解答题1.（本题6分）先化简，再求值：，其中2.老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：235()a a =623a a a÷=2)3()1)(1(x x x x -+-+2=x－(1)求所捂的二次三项式：(2)若5nm +将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 分解因式，得（=xA ．a =2，b =3B ．a =﹣2，b =﹣3C ．a =﹣2，b =3D ．a =2，b =﹣35.因式分解a 2b ﹣b 的正确结果是（ ）A ．b （a +1）（a ﹣1）B ．a （b +1）（b ﹣1）C ．b（a 2﹣1）D ．b （a ﹣1）26.下列因式分解正确的是()A ．B ．C ．D ．二．填空题7.因式分解：x 2﹣4= ． 8．把多项式ax 2+2a 2x +a 3分解因式的结果是 ．9.分解因式：2x 2﹣4x +2= ．10.分解因式：a 3－16a ＝_____________.11.因式分解：xy 2﹣4xy +4x = ． 12.分解因式： ．13.分解因式：= ．14.分解因式：= ．15.分解因式：=.16分解因式：2a 2b ﹣8b = ，计算：8x 6÷4x 2= ．17.已知实数a ，b 满足ab =3，a ﹣b =2，则a 2b ﹣ab 2的值是．回顾总结1．因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．2．基本方法(1)提取公因式法：()()22x 22x 1x 1=-+-()22x 2x 1x 1+-=-()22x 1x 1+=+()2x x 2x x 12+=-+-22(2a 1)a +-=222m -322x x x -+()2x x 38--)ab1.（上海市2002年3分）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）91.（上海市2002年2分）如果分式分解因式：4.（上海市2005年3分）计算：＝．5.（上海市2005年3分）分解因式：＝ ．6.（上海市2006年3分）计算：= ．7.（上海市2006年3分）分解因式： 8.（上海市2007年3分）分解因式： ．9.（上海市2007年3分）化简：．10.（上海市2008年4分）分解因式：．11.（上海市2009年4分）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是，那么该商品现在的价格是 元（结果用含的代数式表示）．12.（上海市2010年4分）计算：=.13.（上海市2010年4分）计算： .14.（上海市2010年4分）分解因式：= .15.（上海市2011年4分）计算：．16.（上海市2011年4分）因式分解： ．17.（2012上海市4分）因式分解：xy ﹣x = ．18.（2013年上海市4分）因式分解： =．19.（2013年上海市4分）计算：= ．20．（上海市2014年4分）计算：a (a ＋1)＝_________．21．（上海市2014年4分）某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔_________支．22、（上海市2015年4分）如果分式有意义，那么的取值范围是____________．23、（上海市2015年4分）同一温度的华氏度数(℉)与摄氏度数(℃)之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是℃，那么它的华氏度数是________℉．24．（上海市2016年4分）计算：__________．()22x22a a -12x x+2x xy +=222a ab -=111x x -=+24x -=m m 32a a ÷()()11x x +-=2a ab -23a a ⋅=229x y -=2a 1-23b aa b⨯23xx +x y x 9325y x =+253a a ÷=市)(x化简，再求值：教师姓名学生姓名年级初三上课时间学科数学课题名称整式方程（组）及应用（含综合练习）待提升的知识点/题型考点提炼聚焦考点☆整式方程（组）及应用一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2021年春中考数学一轮复习小专题突破：弧长的计算1(附答案)
2021年春中考数学一轮复习小专题突破：弧长的计算1（附答案）1．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣2．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2C．π﹣D．﹣3．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π5．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π6．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣7．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．28．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．﹣D．10．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（）A．2πB．πC．D．6π11．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2D．2πm212．如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A．2﹣πB．4﹣πC．2﹣πD．π14．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π15．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．2C．D．116．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π17．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．18．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．19．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．20．如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为．21．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．（结果保留π）22．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．24．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．25．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为．26．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为．27．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．28．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是．29．如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．30．用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为．31．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）33．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为．34．如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为．35．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．36．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE ⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．37．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．38．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AE＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．39．如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90度．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？（2）求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积．（阴影部分）40．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DP A＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．41．如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是多少？42．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．参考答案1．解：如图：正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．故选：A．2．解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1＝π﹣．故选：A．3．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．4．解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝，故选：A．5．解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE＝＝3，∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，故选：A．6．解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．故选：A．7．解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，∴△ABC的面积为＝，S扇形BAC＝＝π，∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，故选：D．8．解：∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×（﹣）＝2×175π＝350πcm2，故选：B．9．解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝，∴S扇形ABD＝＝．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD＝．故选：A．10．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴阴影部分的面积＝＝2π．故选：A．11．解：连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝2m，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝m，∴阴影部分的面积是＝（m2），故选：A．12．解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OB，OC，∴OD是BC的垂直平分线，∵＝，∴AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∴A、O、D共线，∵∠ACB＝75°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．13．解：∵D为AB的中点，∴BC＝BD＝AB，∴∠A＝30°，∠B＝60°．∵AC＝2，∴BC＝AC•tan30°＝2•＝2，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形CBD＝×2×2﹣＝2﹣π．故选：A．14．解：S＝＝12π，故选：C．15．解：连接AE，OD、OE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又∵∠BED＝120°，∴∠AED＝30°，∴∠AOD＝2∠AED＝60°．∵OA＝OD∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°，∵点E为BC的中点，∠AEB＝90°，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．∴∠BOE＝∠EOD＝60°，∴和弦BE围成的部分的面积＝和弦DE围成的部分的面积．∴阴影部分的面积＝S△EDC＝×22＝．故选：A．16．解：∵在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，∴∠C＝120°，∴图中阴影部分的面积是：＝3π，故选：C．17．解：过D点作DF⊥AB于点F．∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，∴阴影部分的面积：4×1﹣﹣2×1÷2＝4﹣π﹣1＝3﹣π．故答案为：3﹣π．18．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故答案为：+．19．解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，∵半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°，∴CF＝，∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积＝﹣×＝π﹣（cm2）三角形ODE的面积＝OD×OE＝（cm2），∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积＝﹣（π﹣）﹣＝π+﹣（cm2）．故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．故答案为：（π+﹣）．20．解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∴S阴影＝S扇形COD＝•π•＝×π×＝．故答案为：．21．解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO≌△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′＝，∴B′C′＝，∴S扇形B′OB＝＝π，S扇形C′OC＝＝，∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣＝π；故答案为：π．22．解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO＝S弓形CO，在Rt△BOD中，OD＝DE＝R＝2，OB＝R＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠AOC＝60°，∴S阴影＝S扇形AOC＝＝．故答案为：．23．解：连接DB′，BD．∵△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，DB′＝＝＝，A′B′＝＝＝2，∴S阴＝﹣×1×1﹣×1×2＝π﹣．故答案为π﹣．24．解：连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵点D为AB的中点，∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，在△DCH和△DBG中，，∴△DCH≌△DBG（ASA），∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．故答案为﹣．25．解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，∵点O′的坐标是（1，），∴O′M＝，OM＝1，∵AO＝2，∴AM＝2﹣1＝1，∴tan∠O′AM＝＝，∴∠O′AM＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC＝S△O′AC′，∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′＝﹣＝，故答案为：．26．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴CE＝BC＝4，∴CE＝2CD，∴∠DEC＝30°，∴∠DCE＝60°，由勾股定理得：DE＝2，∴阴影部分的面积是S＝S扇形CEB′﹣S△CDE＝﹣×2×2＝，故答案为：．27．解：根据题意得，S阴影部分＝S扇形BAD﹣S半圆BA，∵S扇形BAD＝＝4πS半圆BA＝•π•22＝2π，∴S阴影部分＝4π﹣2π＝2π．故答案为2π．28．解：在Rt△ACB中，AB＝＝2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝，∴D为半圆的中点，S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．故答案为π﹣1．29．解：∵AB＝BC，CD＝DE，∴＝，＝，∴+＝+，∴∠BOD＝90°，∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π．故答案是：π．30．解：如图，设的中点为P，连接OA，OP，AP，△OAP的面积是：×12＝，扇形OAP的面积是：S扇形＝，AP直线和AP弧面积：S弓形＝﹣，阴影面积：3×2S弓形＝π﹣．故答案为：π﹣．31．解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．32．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．33．解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAC＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵的长为，∴＝，解得：R＝2，∴AB＝AD cos30°＝2，∴BC＝AB＝，∴AC＝＝＝3，∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．故答案为：．34．解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．35．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°．∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为：．36．解：（1）∵∠D＝60°，∴∠B＝60°（圆周角定理），又∵AB＝6，∴BC＝3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥AC，∴OE∥BC，又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝；（2）连接OC，则易得△COE≌△AFE，故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，S扇形FOC＝＝π．即可得阴影部分的面积为π．37．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝，在Rt△OCD中，CD＝OC，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．38．（1）证明：连接BD，∵AB，CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠AEB＝90°，∵点B恰好为的中点，∴＝，∴∠A＝∠C，∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，∴∠ABE＝∠CDB，∴＝，∴AE＝BC；（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠A＝∠ABE，∴∠A＝30°，在Rt△ABE中，cos∠A＝，∴AB＝＝＝4，∴⊙O的半径为2．（3）连接OE，∵∠A＝30°，∴∠EOB＝60°，∴△EOB是等边三角形，∵OB＝OE＝2，∴S△EOB＝×2×＝，∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．39．解：（1）∠BFG＝∠BGF；理由如下：连OD，∵OD＝OF（⊙O的半径），∴∠ODF＝∠OFD；∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC；又∵∠C＝90°，即GC⊥AC，∴OD∥GC，∴∠BGF＝∠ODF；又∵∠BFG＝∠OFD，∴∠BFG＝∠BGF．（2）连OE，∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，∴DC＝CE，OD⊥AC，OE⊥BC，∵∠C＝90°，∴四边形ODCE为正方形，∵AO＝BO＝AB＝＝3，∴OD＝BC＝×6＝3，∵∠BFG＝∠BGF，∴BG＝BF＝OB﹣OF＝3﹣3；从而CG＝CB+BG＝3+3；∴S阴影＝S△DCG﹣S正方形ODCE+S扇形ODE＝S△DCG﹣（S正方形ODCE﹣S扇形ODE）＝•3•（3+3）﹣（32﹣π•32）＝．40．解：（1）连接OF，∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝1．∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE．设CO＝x，则OE＝2x．由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．x＝．∴OE＝2x＝．即⊙O的半径为．（2）在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°﹣45°＝45°．∴∠EOF＝2∠D＝90°．∴S扇形OEF＝＝π．∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝S Rt△OEF＝＝．∴S阴影＝S扇形OEF﹣S Rt△OEF＝π﹣．41．解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°＝540°，则五个阴影部分的面积之和＝＝6π．42．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED，（2）解：连接CD，OD，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵OA＝OB，AE＝ED，∴，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣＝3π﹣．。
(沪科版)中考数学总复习课件：专题突破(3)新定义问题
例2
[2014·自贡 ] 如图 ZT3 － 1①，在四边形 ABCD 的边
AB上任取一点 E(点 E不与 A， B重合) ，分别连接 ED， EC，可以 把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似， 我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三 个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强 相似点”．
出了关于这种运算的几点结论：
③若a＋b＝0，则(a
④若a
b＝0，则a＝0.
①③ 在横线上填上你认为所 其中正确的结论序号是________( 有正确结论的序号)． 专题三 新定义问题
变式题
对于实数 a，b，定义一种运算“
为 a
b＝a
2
＋ab －2.有下列命题： ①1 3＝2； 1＝0 的根为 x1＝－2， x2＝1；
∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．
(2)作法：以 CD为直径作圆，它与 AB交于点 E1 ， E2，点 E1 ，
E2即为所作．
(3) 点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个“强相似点”， 可分两种情况： 第一种情况：△MAE∽△EBC∽△MEC， AM AE AE AE 则有 ＝ ＝ ＝ . ME EC CD AB 过点 E 作 EN⊥MC 于点 N. 由角平分线的性质定理易证 AE＝EN ＝EB， AM AE 1 则 E 为 AB 的中点， ＝ ＝ ， ME AB 2
(2)对于结论①，定义中的a，b分别是多少？ (3)按照定义，结论②的左边等于什么？右边等于什么？
(4)结论③的左边含有哪些运算？如何利用条件 a ＋b＝0
将(a
a)＋(b b)的结果进行化简？
(5)根据新定义，a
2024年中考数学一轮复习+课件+第15讲+函数的综合
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夯实基础
考点1利用点坐标确定函数解析式
知识梳理
1．首先确定函数类型(一次函数，二次函数或者反比例函数)．
2．再设出相应的函数解析式．
(1)一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)；
(2)二次函数
①一般式：
y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)；
直接写出OD长度的取值范围．
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解：(1)依题意，点B到地面的距离为2 m．
设点B的坐标为(x，2)．把(x，2)代入y= ，解得x=5．
∴点B的坐标为(5，2)．
∵点C距地面的距离为1 m，距点B的水平距离CE为 m，
∴点C的坐标为( +5，1)．
设滑道BCD所在抛物线的解析式为y=a(x－5)2+2．
两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(0，
3)．求函数y1和y2的解析式．
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解：∵点A(2，1)在y2= (x>0)的图象上，
∴k2=2×1=2．
∴y2= ．
∵直线y1=k1x+b经过A(2，1)，C(0，3)，
+ = ，
= −，
∴一次函数的解析式为y=－x－1．
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中考演练
【例】(2023·广东江门校考一模)如图是某水上乐园为亲子游乐区新设
滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6 m的平台，PO垂直于水平
面．滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y=
的一部分，BCD段是抛
2013年浙江中考数学第一轮复习课件 专题突破强化训练专题十规律探索与开放性问题
2 013π 2 2 013π C. 4 A.
2 013π 3 2 013π D. 6 B.
60π× 1 π 60π× 2 2π 60π× 3 ＝ ，l2＝ ＝ ，l3＝ 180 3 180 3 180 60π×4 4π 3π nπ 2 013π ＝ ，l4＝ ＝ ，按照这种规律可以得到：ln＝ ，∴l 2 013＝ . 3 180 3 3 3 解析：由图知，每段弧的度数都等于 60° ，l 1＝
1 2 3 n
2n 从分数分母可知存在的规律为 2 ＋3,2 ＋ 3,2 ＋3，„，2 ＋3；即第 n 个数是 n . 2 ＋3
(2012· 铜仁)如图，第①个图形中一共有 1 个平行四边形，第②个图形中一共有 5 个平行四边形，第③个图形中一共有 11 个平行四边形，„„则第⑩个图形中平行四边形的 个数是( )
2 4 8 16 32 (2012· 遵义)猜数字游戏中，小明写出如下一组数： ， ， ， ， ，„，小亮 5 7 11 19 35 64 猜想出第六个数字是 ，根据此规律，第 n 个数是________． 67
【思路点拨】 分别探索分子和分母与序号的关系 → 得出第n个数
2n 【解析】 n 2 ＋3 从分数分子可知存在的规律为 21,22,23，„，2n；因为分母比分子大 3，
答案：B
二、填空题 5．如图，▱ ABCD 中，E、F 分别为 BC、 AD 边上的点，要使 BF＝DE，需添加一个条 件：__________.
解析：四边形 ABCD 是平行四边形，可得对边相等，对边平行，对角相等；要使 BF＝ DE，从两个角度考虑，一是证明四边形 BEDF 是平行四边形，可添加 BE＝DF 或 BF∥DE 或∠BFD＝∠BED 或∠AFB＝∠ADE 等；二是证明△ABF≌△ CDE，可添加 AF＝CE 或∠ AFB＝∠CED 等．
2021年春中考数学一轮复习专题突破训练：平面内两点间的距离问题(附答案)
2021年春中考数学一轮复习专题突破训练：平面内两点间的距离问题（附答案）1．两根木条，一根长20cm，另一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（）A．2cm B．4cm C．2cm或22cm D．4cm或44cm 2．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为（）A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm3．下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知线段AB＝8cm，点C是直线AB上一点，BC＝2cm，若M是AB的中点，N是BC 的中点，则线段MN的长度为（）A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm5．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，若M、N分别为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为（）A．7cm B．1cm C．7cm或1cm D．无法确定6．如图，下列关于图中线段之间的关系一定正确的是（）A．x＝2x+2b﹣c B．c﹣b＝2a﹣2b C．x+b＝2a+c﹣b D．x+2a＝3c+2b7．已知点A、B、P在一条直线上，则下列等式中，能判断点P是线段AB的中点的个数有（）①AP＝BP；②BP＝AB；③AB＝2AP；④AP+PB＝AB．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知线段AB＝16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点，则DE的长（）A．4cm B．8cm C．10cm D．16cm9．下列说法中正确的有（）①射线比直线小一半；②连接两点的线段叫两点间的距离；③过两点有且只有一条直线；④两点之间所有连线中，线段最短A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，线段AB＝DE，点C为线段AE的中点，下列式子不正确的是（）A．BC＝CD B．CD＝AE﹣AB C．CD＝AD﹣CE D．CD＝DE11．如图，线段AB表示一条对折的绳子，现从P点将绳子剪断．剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm．若AP＝BP，则原来绳长为（）cm．A．55cm B．75cm C．55或75cm D．50或75cm12．如图，已知线段AB＝10cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm13．下列说法正确的个数是（）①射线AB与射线BA是同一条射线；②两点确定一条直线；③两点之间直线最短；④若AB＝BC，则点B是AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，已知线段AB＝6cm，在线段AB的延长线上有一点C，且BC＝4cm，若点M为AB中点，那么MC的长度为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．无法确定15．如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝4，线段BC的长是线段AC长的两倍，点D 是线段AB的中点，则线段CD的长是（）A．1B．2C．3D．416．如图，已知线段AB＝18cm，M为AB的中点，点C在线段AB上且CB＝AB，则线段MC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm17．下列说法中，正确的是（）A．过两点有且只有一条直线B．连接两点的线段叫做两点间的距离C．两点之间，直线最短D．到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点18．如图，点D把线段AB从左至右依次分成1：2两部分，点C是AB的中点，若DC＝3，则线段AB的长是（）A．18B．12C．16D．1419．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝6cm，BC＝4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为（）A．5 cm B．1 cm C．5或1 cm D．无法确定20．如图，线段CD在线段AB上，且CD＝2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（）A．28B．29C．30D．3121．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝cm．22．如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为cm．23．如图，若D是AB的中点，E是BC的中点，若AC＝8，BC＝5，则AD＝．24．如图，点C、D、E是线段AB上的三个点，下面关于线段CE的表示，其中正确的有．①CE＝CD+DE；②CE＝CB﹣EB；③CE＝CB﹣DB；④CE＝AD+DE﹣AC25．已知线段AB和BC在同一条直线上，若AC＝6cm，BC＝2cm，则线段AC和BC中点间的距离为．26．如图，数轴上线段AB＝2，CD＝4，点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16，若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当B点运动到线段CD上时，P是线段AB上一点，且有关系式＝3成立，则线段PD的长为．27．如图，点C为线段AB的中点，AD＝2BD，则CD：AB的值为．28．已知线段AB＝8cm，点C是线段AB所在直线上一点．下列说法：①若点C为线段AB 的中点，则AC＝4cm；②若AC＝4cm，则点C为线段AB的中点；③AC＞BC，则点C 一定在线段AB的延长线上；④线段AC与BC的长度和一定不小于8cm，其中正确的有（填写正确答案的序号）．29．如图，BC＝AB，AC＝AD，若BC＝1cm，则CD的长为．30．已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝100，线段BC的中点为Q，BC＝60，则线段PQ的长为．31．如图，点A、B、C、D在直线上，则BD＝BC+＝AD﹣．32．如图，C是线段BD的中点，AD＝2，AC＝5，则BC的长等于．33．已知点M是线段AB的三等分点，E是AM的中点，AB＝12cm，则线段AE长．34．如图，将一根绳子对折后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为cm．35．已知一直线上有A、B、C三点，且线段AB＝5，线段AC＝2，D为线段BC上一点，且BD＝BC，则CD的长为．36．已知线段AB＝8cm，点C在直线AB上，AC＝AB，则BC＝cm．37．已知点O在直线AB上，且线段AB＝4cm，线段OB＝6cm，E，F分别是OA，OB的中点，则线段EF＝cm．38．如图，已知CD＝AD＝BC，E、F分别是AC、BC的中点，且BF＝40cm，则EF 的长度为cm．39．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由40．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ＝AB；（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．41．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．（1）若B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若C为原点，p又是多少？（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p．42．如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．43．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C 在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．44．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是；（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．45．如图，已知B是线段AC的中点，D是线段CE的中点，若AB＝4，CE＝AC，求线段BD的长．46．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝1cm，（1）求AC的长；（2）若点E在直线AD上，且EA＝2cm，求BE的长．参考答案1．解：如图，设较长的木条为AB＝24cm，较短的木条为BC＝20cm，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM＝12cm，BN＝10cm，∴①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝12+10＝22cm，②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝12﹣10＝2cm，综上所述，两根木条的中点间的距离是2cm或22cm；故选：C．2．解：当PB的2倍最长时，得PB＝30cm，AP＝PB＝20cm，AB＝AP+PB＝50cm，这条绳子的原长为2AB＝100cm；当AP的2倍最长时，得AP＝30cm，AP＝PB，PB＝AP＝45cm，AB＝AP+PB＝75cm，这条绳子的原长为2AB＝150cm．故选：C．3．解：①经过一点有无数条直线，这个说法正确；②两点之间线段最短，这个说法正确；③经过两点，有且只有一条直线，这个说法正确；④若线段AM等于线段BM，则点M不一定是线段AB的中点，因为A、M、B三点不一定在一条直线上，所以这个说法错误；⑤连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，所以这个说法错误．所以正确的说法有三个．故选：C．4．解：如图1，由M是AB的中点，N是BC的中点，得MB＝AB＝4cm，BN＝BC＝1cm，由线段的和差，得MN＝MB+BN＝4+1＝5cm；如图2，由M是AB的中点，N是BC的中点，得MB＝AB＝4cm，BN＝BC＝1cm，由线段的和差，得MN＝MB﹣BN＝4﹣1＝3cm；故选：B．5．解：如图1，当点B在线段AC上时，∵AB＝8cm，BC＝6cm，M，N分别为AB，BC的中点，∴MB＝AB＝4，BN＝BC＝3，∴MN＝MB+NB＝7cm，如图2，当点C在线段AB上时，∵AB＝8cm，BC＝6cm，M，N分别为AB，BC的中点，∴MB＝AB＝4，BN＝BC＝3，∴MN＝MB﹣NB＝1cm，故选：C．6．解：∵x﹣c+2b＝2a，∴x+2a＝2x+2b﹣c，故选项A错误；∵2a﹣2b＝x﹣c，故选项B错误；∵x+b＝2a+c﹣b，故选项C正确；∵2a﹣2b＝x﹣c，∴﹣x+2a＝﹣c+2b，故选项D错误，故选：C．7．解：如图所示：①∵AP＝BP，∴点P是线段AB的中点，故本小题正确；②点P可能在AB的延长线上时不成立，故本小题错误；③P可能在BA的延长线上时不成立，故本小题错误；④∵AP+PB＝AB，∴点P在线段AB上，不能说明点P是中点，故本小题错误．故选：A．8．解：∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB而AB＝16cm，∴DE＝×16＝8（cm）．故选：B．9．解：①射线比直线小一半，根据射线与直线都无限长，故这个说法错误；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，此这个说法错误；③过两点有且只有一条直线，此这个说法正确；④两点之间所有连线中，线段最短，此这个说法正确；故正确的有2个．故选：B．10．解：因为点C为线段AE的中点，且线段AB＝DE，则BC＝CD，故本选项正确；B中CD＝AC﹣AB＝BC＝CD，故本选项正确；C中CD＝AD﹣BC﹣AB＝CD，故本选项正确；D中CD≠DE则在已知里所没有的，故本选项错误；故选：D．11．解：AP＝BP，设BP＝3x，AP＝2x（1）对折点为A处，三段绳子为：4x，3x，3x，4x＝30，x＝7.5，绳子为10x＝75（2）对折点为B处，三段绳子为：6x，2x，2x，6x＝30，x＝5，绳子为10x＝50故选：D．12．解：∵AB＝10cm，M是AB中点，∴BM＝AB＝5cm，又∵NB＝2cm，∴MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3cm．故选：C．13．解：①射线AB与射线BA不是同一条射线，故①错误；②两点确定一条直线，故②正确；③两点之间线段最短，故③错误；④若AB＝BC，则点B不一定是AC的中点，故④错误．故选：A．14．解：∵M是线段AB的中点，AB＝6cm，∴MB＝AB＝3cm，∵BC＝4cm，∴MC＝MB+BC＝3+4＝7（cm），故选：C．15．解：∵AC＝4，线段BC的长是线段AC长的两倍，∴BC＝8，∴AB＝AC+BC＝12，∵点D是线段AB的中点，∴AD＝AB＝6，∴CD＝AD﹣AC＝2．故选：B．16．解：∵线段AB＝18cm，M为AB的中点，∴BM＝AB＝9cm，∵CB＝AB＝6cm，∴MC＝BM﹣BC＝3cm，故选：C．17．解：A、过两点有且只有一条直线，故符合题意；B、连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故不符合题意；C、两点之间，线段最短，故不符合题意；D、在线段上且到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点，故不符合题意；故选：A．18．解：∵D把线段AB从左至右依次分成1：2两部分，点C是AB的中点，∴AD＝AB＝AB，AC＝AB，∴DC＝AB﹣AB＝AB，∵DC＝3，∴AB＝3×6＝18．故选：A．19．解：如图1，当点B在线段AC上时，∵AB＝6cm，BC＝4cm，M，N分别为AB，BC的中点，∴MB＝AB＝3，BN＝BC＝2，∴MN＝MB+NB＝5cm，如图2，当点C在线段AB上时，∵AB＝6cm，BC＝4cm，M，N分别为AB，BC的中点，∴MB＝AB＝3，BN＝BC＝2，∴MN＝MB﹣NB＝1cm，故选：C．20．解：由题意可得，图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB＝（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB＝AB+AB+CD+AB＝3AB+CD，∵CD＝2，线段AB的长度是一个正整数，AB＞CD，∴当AB＝8时，3AB+CD＝3×8+2＝26，当AB＝9时，3AB+CD＝3×9+2＝29，当AB＝10时，3AB+CD＝3×10+2＝32．故选：B．21．解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，∴AP＝3+1＝4cm，∵P为AB的中点，∴AB＝2AP＝8cm，∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，∴CB＝5cm，∵N为CB的中点，∴CN＝BC＝cm，∴PN＝CN﹣CP＝cm．故答案为：．22．解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，∴BC＝AB＝×8＝4（cm），∵BD＝3cm，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），则CD的长为1cm；故答案为：1．23．解：∵D是AB中点，E是BC中点，∴AD＝DB，BE＝EC，∴AB＝AC﹣BC＝3，∴AD＝1.5．故答案为：1.5．24．解：观察图形可知：CE＝CD+DE；CE＝BC﹣EB．故①②正确．BC＝CD+BD，CE＝BC﹣EB，CE＝CD+BD﹣EB．故③错误AE＝AD+DE，AE＝AC+CE，CE＝AD+DE﹣AC故④正确．故选①②④．25．解：设AC、BC的中点分别为E、F，∵AC＝6cm，BC＝2cm，∴CE＝AC＝3cm，CF＝BC＝1cm，如图1，点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF＝3+1＝4（cm），如图2，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF＝3﹣1＝2（cm），综上所述，AC和BC中点间的距离为4cm或2cm．故答案为：4cm或2cm．26．解：设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x，PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|，PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x），∵＝3，∴BD﹣AP＝3PC，∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|，即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|，①当C点在P点右侧时，18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x，∴x+8t＝15，∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5；②当C点在P点左侧时，18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x，∴x+8t＝，∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣＝3.5；∴PD的长有2种可能，即5或3.5．故答案为：5或3.5．27．解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝AB，∵AD＝2BD，∴BD＝AB，∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣AB＝AB，∴CD：AB＝，故答案为：．28．解：∵线段AB＝8cm，点C是线段AB所在直线上一点，∴①若点C为线段AB的中点，则AC＝4cm是正确的；②若AC＝4cm，则点C为线段AB的中点或在线段AB的反向延长线上，原来的说法是错误的；③AC＞BC，则点C可能在线段AB上，原来的说法是错误的；④线段AC与BC的长度和一定不小于8cm是正确的．故答案为：①④．29．解：∵BC＝AB，AC＝AD，∴AB＝4BC，AC＝AB，AD＝4AC，∵BC＝1cm，∴AB＝4BC＝4cm，∴AC＝3cm，∴AD＝12cm，∴CD＝AD﹣AC＝12﹣3＝9（cm）．故答案为：9．30．解：①当点C在AB的延长线上时，如图1所示∵P是AB的中点，Q是BC的中点，∴PB＝AB＝50，QB＝BC＝30，∴PQ＝PB+QB＝50+30＝80．②当点C在AB上时，如图2所示：∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点∴PB＝AB＝50，QB＝BC＝30．∴PQ＝PB﹣QB＝50﹣30＝20．综上所述：PQ的长为20或80．故答案为：20或80．31．解：由图形可知，BD＝BC+CD＝AD﹣AB．故答案为：CD，AB．32．解：∵AD＝2，AC＝5∴CD＝AC﹣AD＝5﹣2＝3∵C是线段BD的中点∴BC＝CD＝3故填333．解：如图1，∵点M是线段AB的三等分点，AB＝12cm，∴AM＝AB＝4cm，∵E是AM的中点，∴AE＝AM＝2cm，如图2，∵点M是线段AB的三等分点，AB＝12cm，∴AM＝AB＝8cm，∵E是AM的中点，∴AE＝AM＝4cm，综上所述，线段AE长为4cm或2cm，故答案为：4cm或2cm．34．解：①当PB的2倍最长时，得PB＝30，∴AP＝PB＝20，∴AB＝AP+PB＝50，∴这条绳子的原长为2AB＝100cm，②当AP的2倍最长时，得AP＝30，∵AP＝PB，∴PB＝AP＝45，∴AB＝AP+PB＝75，∴这条绳子的原长为2AB＝150cm．故答案为：100cm或150cm．35．解：当点C在线段AB上时，如图1：∵AB＝5，AC＝2，∴BC＝AB﹣AC＝5﹣2＝3，∴BD＝BC＝1，∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1﹣2；当点C在线段BA的延长线上时，如图2：∵AB＝5，AC＝2，∴BC＝AB+AC＝2+5＝7，∴BD＝BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝7﹣＝．故答案为：2或．36．解：点C在直线AB上，于是应该分C点在线段AB上与在线段AB外两种情况①若点C在线段AB上∵AC＝AB，∴BC＝AB＝×8＝6②若点C在线段AB外∵AC＝AB，∴BC＝AB+AC＝AB＝×8＝10故答案为6或10．37．解：分情况讨论：①点O在点B右边时，由线段AB＝4cm，线段OB＝6cm，可得OA＝10cm，∵E，F分别是OA，OB的中点，∴，BF＝OB＝3cm，∴AF＝AB+BF＝4+3＝7cm，∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2cm；②点O在点B左边时，如图，由线段AB＝4cm，线段OB＝6cm，可得OA＝2cm，∵E，F分别是OA，OB的中点，∴AE＝OA＝1cm，OF＝OB＝3cm，∴AF＝OF﹣OA＝3﹣2＝1cm，∴EF＝AE+AF＝1+1＝2cm，∴线段EF的长度为2cm．故答案为：238．解：∵点F是BC的中点，且BF＝40cm，∴BC＝2BF＝80cm，∵CD＝AD＝BC，∴CD＝×80＝16cm，AD＝64cm，∴AC＝AD﹣CD＝48cm，∵E、F分别是AC、BC的中点，∴CE＝AC＝24cm，CF＝BF＝40cm，∴EF的长度为CE+CF＝64cm，故答案为：64．39．解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC，∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；（2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，∴AC＝12×＝4cm或AC＝12×＝6cm或AC＝12×＝8cm；故答案为：4或6或8；（3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6）①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．②当P为A、Q的巧点时，Ⅰ．AP＝AQ，即，解得s；Ⅱ．AP＝AQ，即，解得s；Ⅲ．AP＝AQ，即，解得t＝3s；③当Q为A、P的巧点时，Ⅰ．AQ＝AP，即，解得s（舍去）；Ⅱ．AQ＝AP，即，解得t＝6s；Ⅲ．AQ＝AP，即，解得s．40．解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t＝8﹣2t，解得：t＝2，∴当t＝2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，又PQ＝AB＝×10＝5，∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3，∴当：t＝1或3时，PQ＝AB；（4）∵点M表示的数为＝﹣2，点N表示的数为＝+3，∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．41．解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，∴p＝1+0﹣2＝﹣1；若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，∴p＝﹣3﹣1+0＝﹣4；（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A 表示﹣31，∴p＝﹣31﹣29﹣28＝﹣88．42．解：（1）如图1，由题意得：AP＝2t，则PB＝|12﹣2t|，∵M为AP的中点，∴AM＝t，由PB＝2AM得：|12﹣2t|＝2t，即12﹣2t＝2t或2t﹣12＝2t，t＝3，答：出发3秒后，PB＝2AM；（2）如图1，当P在线段AB上运动时，BM＝12﹣t，2BM﹣BP＝2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）＝24﹣2t﹣12+2t＝12，∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；（3）选①；如图2，由题意得：MA＝t，PB＝2t﹣12，∵N为BP的中点，∴PN＝BP＝（2t﹣12）＝t﹣6，①MN＝P A﹣MA﹣PN＝2t﹣t﹣（t﹣6）＝6，∴当P在AB延长线上运动时，MN长度不变；所以选项①叙述正确；②MA+PN＝t+（t﹣6）＝2t﹣6，∴当P在AB延长线上运动时，MA+PN的值会改变．所以选项②叙述不正确．43．解：（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；（2）点P与点Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P与点Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P表示的数是1；当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或．44．解：（1）∵A，B表示的数分别为6，﹣4，∴AB＝10，∵P A＝PB，∴点P表示的数是1，故答案为：1；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，则：AC＝6x BC＝4x，AB＝10，∵AC﹣BC＝AB，∴6x﹣4x＝10，解得，x＝5，∴点P运动5秒时，追上点R；（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝5．②当点P运动到点B左侧时（如图②），MN＝PM﹣PN＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝5；综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．45．解：∵点B、D分别是AC、CE的中点，∴BC＝AB＝AC，CD＝DE＝CE，∴BD＝BC+CD＝（AC+CE），∵AB＝4，∴AC＝8，∵CE＝AC，∴CE＝6，∴BD＝BC+CD＝（AC+CE）＝（8+6）＝7．46．解：（1）∵点B为CD的中点，BD＝1cm，∴CD＝2BD＝2cm，∵AD＝8cm，∴AC＝AD﹣CD＝8﹣2＝6cm（2）若E在线段DA的延长线，如图1∵EA＝2cm，AD＝8cm∴ED＝EA+AD＝2+8＝10cm，∵BD＝1cm，∴BE＝ED﹣BD＝10﹣1＝9cm，若E线段AD上，如图2EA＝2cm，AD＝8cm∴ED＝AD﹣EA＝8﹣2＝6cm，∵BD＝1cm，∴BE＝ED﹣BD＝6﹣1＝5cm，综上所述，BE的长为5cm或9cm．。
2013年浙江中考数学第一轮复习课件 专题突破强化训练专题一数与式
)
答案：D
·· 1 3 4． (2012· 温州市实验中学模拟)数字 2， ， π ， 8， cos 45° ， 0.32中无理数的个数为( 3 A．1 B．2 C．3 D．4
)
答案：C
3 5. 27 的值为( A． 3
) B．－ 3
C．－2
D ．2
答案：A
6. 下列运算正确的是( ) －2 2 3 6 A．x · x ＝x B．3 ＝－6 C．(x3)2＝x5 D．40＝1
解析：观察数字，可以发现将左右两个数字相加后进行平方，再把所得结果减去 1，就 得到图中下方的数字．所以第 n 个圆中，m＝(n＋2n)2－1，化简得：m＝9n2－1.
答案：9n2－1
三、解答题 1－ 18．计算：|－ 3|－ 12＋2sin 60° ＋( ) 1. 3
解：原式＝ 3－2 3＋2×
【思路点拨】 代入 → 完全平方公式整式乘法 → 结果 或平方差公式因式分解
【解析】 解法一：A 2－B 2＝(2x ＋y) 2－(2x－y) 2＝(4x 2＋4xy ＋y2) －(4x 2－4xy＋y 2) ＝4x 2＋ 4xy＋y2－4x 2＋4xy－y 2＝8xy. 解法二：A2－B 2＝(2x＋y) 2－(2x－y) 2＝(2x＋y＋2x－y)· (2x＋y －2x＋y)＝4x· 2y ＝8xy.
a b a b 22．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 ＝ad－bc.例如： c d c d 1 2 －2 4 ＝1×4－2×3＝－2， ＝(－2)×5－4×3＝－22. 5 3 4 3 5 6 (1)按照这个规定请你计算 的值； 7 8 x＋1 2x 2 (2)按照这个规定请你计算：当 x －4x＋4＝ 0 时， 的值． x－1 2x －3
浙江中考数学第一轮复习课件 专题突破强化训练专题四几何初步与图形变换
答案：A
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12.已知，直角坐标系中，点 A(－4，2)，以 O 为旋转中心，把△AOB 旋转 90°，则点 A 的对应点 A′的坐标为( )
A．(2,4)或(－2，－4) C．(2，－4)
B．(4,2)或(－4，－2) D．(－2,4)
解析：当点 A 顺时针旋转时 A′的坐标为(2,4)，当点 A 逆时针旋转时 A′的坐标为(－2， －4)．
∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2.
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一、选择题 1．如图，点 A，O，B 在一条直线上，∠AOC＝∠BOC，若∠1＝∠2，则图中互余的角 共有( )
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【思路点拨】(1) 作CC1和AA1的垂直平分线 →
由图形可知，交点为O → O就是旋转中心 连结OC和OC1 → ∠COC1就是旋转角
(2) 分别作出各顶点旋转后的对应点 → 顺次连结即可得到旋转后的图形
(3)
旋转的性质
→
四边形CC1C2C3和四边形 AA1A2B是正方形
→
利用面积法证明勾股定理
答案：D
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11．如图，若正方形 EFGH 由正方形 ABCD 绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的 是( )
A．M 或 O 或 N C．E 或 O 或 N
B．E 或 O 或 C D．M 或 O 或 C
解析：若以 M 为旋转中心，把正方形 ABCD 顺时针旋转 90°，A 点对应点为 H，B 点对 应点为 E，C 点对应点为 F，D 点对应点为 G，则可得到正方形 EFGH；若以 O 为旋转中心， 把正方形 ABCD 旋转 180°，A 点对应点为 G，B 点对应点为 H，C 点对应点为 E，D 点对应 点为 F，则可得到正方形 EFGH；若以 N 为旋转中心，把正方形 ABCD 逆时针旋转 90°，A 点对应点为 F，B 点对应点为 G，C 点对应点为 H，D 点对应点为 E，则可得到正方形 EFGH.